实数——算术平方根
实数-平方根、算术平方根、立方根
培根教育学科教师辅导教案学员编号：年级：初二课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：张金刚教学目的实数---平方根立方根授课日期及时段教学内容这次课我们来学习一下，形如当x2=a （a≥0）时，x是什么数的问题。
当x2=4时，因为22=4，（-2）2=4，所以x=±2；当x2=9时，因为32=9，（-3）2=9，所以x=±3；当x2=100时，因为102=100，（-10）2=100，所以x=±10；当x2=169时，因为132=169，（-13）2=169，所以x=±13；可以看出，使x2=a（a>0）成立的两个数，它们互为相反数。
数学上规定：如果x2=a （a≥0），那么x叫做a的平方根，也称作二次方根，记作“a”。
结论：一个正数有2个平方根，它们互为相反数。
0的平方根是0负数没有平方根。
求一个数的平方根的运算叫做开平方。
例一求下列各数的平方根。
（1） 25 （2）1681（3）15 （4）0.09平方根在做开平方的运算时，我们时常会碰到一些带有实际意义的量。
在这些计算时，是不是2个平方根都是可行的呢？比如正方形的面积为100平方米，那么它的边长为几？ 比如勾股定理中，一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，另一条直角边为几？我们发现，得出的这些量都是只取了正数，而把和实际意义不符合的负数舍掉了。
规定：一个数的正平方根叫做这个数的算术平方根，记作“a ”（a 0≥）。
0的算术平方根是0.求下列各数的算术平方根（1）361 （2）12164 （3）2.25 （4）17 （6）410-三、能力检测题1、49的平方根是＿＿＿＿；算术平方根是_____________。
2、36 有 个平方根，它们是 ；它们的和是 ；它们互为 ；3、0.04的算术平方根是_________,开平方等于±5的数是_______.4、23-的算术平方根是_______, 算术平方根是5、81的平方根是 ；2(5)-的平方根是6、算术平方根等于它本身的数是＿＿＿＿；平方根等于它本身的数是＿＿＿＿7、下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③ a 2的算术平方根是a ；④（π-4）2的算术平方根是π-4；⑤算术平方根不可能是负数。
八年级数学 实数
一、基础测试1．算术平方根：如果一个正数x 等于a ，即x 2=a ，那么这个x 正数就叫做a 的算术平方根，记作 ，0的算术平方根是 。
2．平方根：如果一个数x 的 等于a ,即x 2=a 那么这个数a 就叫做x 的平方根（也叫做二次方根式），正数a 的平方根记作 ．一个正数有 平方根，它们 ；0的平方根是 ；负数 平方根． 特别提醒：负数没有平方根和算术平方根．3．立方根：如果一个数x 的 等于a ，即x 3= a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根，记作 ．正数的立方根是 ，0的立方根是 ，负数的立方根是 。
4、实数的分类_________⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎭⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎫⎧⎨⎬⎪⎩⎪⎭⎩______整数____________有限小数或循环小数______实数负分数____________________________________________5．实数与数轴：实数与数轴上的点______________对应．6．实数的相反数、倒数、绝对值：实数a 的相反数为______；若a,b 互为相反数，则a+b=______；非零实数a 的倒数为_____(a ≠0)；若a ，b 互为倒数，则ab=________。
7.______(0)||______(0)a a a ≥⎧=⎨<⎩ 8. 数轴上两个点表示的数，______边的总比___边的大；正数_____0，负数_____0，正数___负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而____。
9．实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．_______(0,_______(0,0).a b a b =≥≥=≥>二、专题讲解：专题1 平方根、算术平方根、立方根的概念若a ≥0，则a的平方根是a；若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a【例1______【例2】327 的平方根是_________【例3】下列各式属于最简二次根式的是（ ） A【例4】（2010山东德州）下列计算正确的是（Ａ）020=（Ｂ）331-=- （Ｃ） （Ｄ）【例5】（2010A ．3B ．3-C ．3±D ． 9 专题2 实数的有关概念无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含π的数，如：12,2ππ等，开方开不尽010 001…等；某些三角函数，如sin60o ，cos45 o等。
6.1.1 实数之算术平方根
解：（1） 1 1 （2）
9 3 25 5
（3）
4 4
2
（4） 0 0
第二课时
（1）9的算术平方根是
3
。 。
（2）0.01的算术平方根是 0.1
（3）10的算术平方根是 （4）256的算术平方根是
（5）72的算术平方根是
10 。
16 7
。
。
（6）（-6）2的算术平方根是
2 2 （7） （ ） 的算术平方根是 5
第六章 实数
§6.1.1 算术平方根
①什么叫乘方？什么叫幂？
答：求相同因数的积的运算叫做乘方； 乘方的运算结果叫做幂。
底数
n a
指数 幂
乘方是已知底数和指数，求幂。
把乘方反过来：
已知一个正数的平方等于16，
问：这个正数是谁？ 解：设这个正数为x
由题意得： x 2 = 16
x 2 = 16
即已知：指数2及幂16，求底数。
6
2 5
。
。
（8） 25 的算术平方根是
5
。
4或-2 1. （m 1） 3，则m 。
2
解：由题意得：
( m 1) 3
2
m 1 3
m 1 3 m 3 1 m4
m 1 3 m 3 1 m 2
拓展延伸 已知：2a-1的算术平方根是3，
3a+b-1的算术平方根是4， 求：a+2b的算术平方根.
小 结
求一个数的算术平方根与求一个非负
数的平方正好是互逆的过程。 因此,求一个非负数的算术平方根实 际上可以转化为求一个数的开平方运算。 只不过,负数是没有算术平方根的.
人教版初一数学下册实数——算术平方根
蔡甸区常福中学七年级下册教学案课题： 6.1.1算术平方根第_4_周主备人向俊伟教研组长向俊伟审核人_____ 授课人______ 授课时间____________ 编号学案教案一、学习目标1、了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。
2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。
二、课堂前置（一）自学思考问题：学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为25dm 的正方形画布，画上自己的得意之作参比赛，这块正方形画布的边长应取多少？答：1.画布的边长= ，理由是：2.填表：正方形的面积1 9 16 36254 2边长？3.上面的问题实际上是已知一个，求这个的问题。
4.方法归纳：已知一个正数的平方，是怎样求这个正数的？. （二）展示交流1.什么叫算术平方根？如何表示？一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的，记为，读作，a叫做。
在等式2x=a (x≥0)中，规定x =a. a≥0即a为非负数。
2.为什么规定：0的算术平方根是0？.3.为什么负数没有算术平方根？.4.式子a中，a的取值范围是，a的取值范围是教学重点：教学难点：一、课堂导入二、揭示目标三、合作探究自学课本P40---44，完成学案自主学习部分的问题。
5. 625表示的意义是 ，它的值为49的算术平方根是 ，用符号表示为三、合作探究1.求下列各数的算术平方根：(1) 100；（2）4964；（3）0.0001；（4）164；（5）1.21；（6）4-2.你知道下列式子表示什么意思吗? 你能求出它们的值吗?（1）1； （2）925； （3）23； （4）24-）（思考：81的算术平方根是9；那么81的算术平方根是多少了？你是怎样理解的？四、检测练习1、下列命题中,正确的个数有( )①1的算术平方根是1;②(-1)2的算术平方根是-1;③一个数的算术平方根等于它本身,这个数只能是零；④-4没有算术平方根.A.1个B.2个C.3个D.4个2、一个自然数的算术平方根是x,则下一个自然数的算术平方根是( )A.x +1B.1x +C. 21x +D.x+1 3、x 是16的算术平方根,那么x 的算术平方根是( ) A.4 B.2 C.2 D.±4 4、36的算术平方根是__,8的算术平方根是__. 25的算术平方根是________5、算术平方根等于它本身的数是_______.四、归纳小结五、检测练习·参见学案。
初中数学平方根、算术平方根、实数(含解析)
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ．
【巩固】求下列各式中x的值．
（1） ；（2）
（3） （4）
【难度】1星
【解析】本题考察的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．
（1） ；（2） ；
（3） ；或 ，解得 或 ．
（4）平方根等于本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0，1，立方根等于它本身的数是0，1， ；
联系：
（5）平方根与立方根相等的数是0．
（6）平方根与立方根都是与乘方运算互为逆运算．
模块三实数
1无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
注意：
（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数．
（1）小于 的所有正整数；（2）绝对值小于 的所有整数．
【难度】2星
【解析】略
【答案】（1）1，2，3，4；（2） ， ， ， ， ．
【例24】一个底为正方形的水池的容积是3150m3，池深14m，求这个水底的底边长．
读作“三次根号 ”， 读作“二次根号 ”， 读作“根号 ”．
任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， 的立方根为 ．
立方根的计算：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．
能运用圆的性质解决有关问题
实数
了解实数的概念
会进行简单的实数运算
重难点：
1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系；
2.会求一个数的平方根和立方根并了解其限定条件
第三章 实数 考点2 算术平方根(解析版)
第三章实数（解析板）2、算术平方根知识点梳理算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．同步练习一．选择题（共14小题）1．4的算术平方根是（）A．B．±2C．2D．±【考点】算术平方根．【分析】依据算术平方根的定义解答即可．【解答】解：4的算术平方根是2．故选：C．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根．2．的算术平方根是（）A．B．C．±2D．2【考点】算术平方根．【分析】直接利用算术平方根的定义得出即可．【解答】解：＝2，2的算术平方根是．故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，利用算术平方根即为正平方根求出是解题关键．3．的算术平方根是（）A．2B．4C．±2D．±4【考点】算术平方根．【分析】利用算术平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：＝4，4的算术平方根是2，故选：A．【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．4．下列等式正确的是（）A．B．C．D．【考点】算术平方根．【分析】A、根据算术平方根的定义即可判定；B、根据负数没有平方根即可判定；C、根据立方根的定义即可判定；D、根据算术平方根的定义算术平方根为非负数，负数没有平方根．【解答】解：A、，故选项A错误；B、由于负数没有平方根，故选项B错误；C、，故选项C错误；D、，故选项正确．故选：D．【点评】本题所考查的是对算术平方根的正确理解和运用，要求学生对于这些基本知识比较熟练．5．的算术平方根为（）A．9B．±9C．3D．±3【考点】算术平方根．【分析】直接根据算术平方根的定义进行解答即可．【解答】解：∵＝9，32＝9∴的算术平方根为3．故选：C．【点评】本题考查的是算术平方根的定义，即一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．6．已知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（）A．1dm B．dm C．dm D．3dm【考点】算术平方根．【分析】根据正方体的表面积公式：s＝6a2，解答即可．【解答】解：因为正方体的表面积公式：s＝6a2，可得：6a2＝12，解得：a＝．故选：B．【点评】此题主要考查正方体的表面积公式的灵活运用，关键是根据公式进行计算．7．的算术平方根是（）A．±B．C．±D．5【考点】平方根；算术平方根．【分析】直接根据算术平方根的定义计算即可．【解答】解：因为＝5，所以的算术平方根是，故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．8．下列计算正确的是（）A．＝2B．＝±2C．＝2D．＝±2【考点】算术平方根．【分析】根据＝|a|进行计算即可．【解答】解：A、＝2，故原题计算正确；B、＝2，故原题计算错误；C、＝4，故原题计算错误；D、＝4，故原题计算错误；故选：A．【点评】此题主要考查了算术平方根，关键是掌握一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．9．已知a＝，b＝，则＝（）A．2a B．ab C．a2b D．ab2【考点】算术平方根．【分析】将18写成2×3×3，然后根据算术平方根的定义解答即可．【解答】解：＝＝××＝a•b•b＝ab2．故选：D．【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，难点在于对18的分解因数．10．9的算术平方根是（）A．3B．﹣3C．±3D．【考点】算术平方根．【分析】根据算术平方根的定义解答．【解答】解：∵32＝9，∴9的算术平方根是3．故选：A．【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．11．已知|a|＝5，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）A．2或12B．2或﹣12C．﹣2或12D．﹣2或﹣12【考点】算术平方根．【分析】首先分别根据绝对值的和算术平方根的定义可求出a，b的值，然后把a，b的值代入|a+b|＝a+b中，最终确定a，b的值，然后求解．【解答】解：∵|a|＝5，∴a＝±5，∵＝7，∴b＝±7，∵|a+b|＝a+b，∴a+b＞0，所以当a＝5时，b＝7时，a﹣b＝5﹣7＝﹣2，当a＝﹣5时，b＝7时，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12，所以a﹣b的值为﹣2或﹣12．故选：D．【点评】此题主要考查了绝对值的意义：即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0．也利用了算术平方根的定义．12．289的平方根是±17的数学表达式是（）A．＝17B．＝±17C．±＝±17D．±＝17【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据平方根的定义求解可得．【解答】解：289的平方根是±17的数学表达式是±＝±17，故选：C．【点评】此题主要考查了平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．13．16的算术平方根是（）A．4B．﹣4C．±4D．8【考点】算术平方根．【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，直接利用此定义即可解决问题．【解答】解：∵4的平方是16，∴16的算术平方根是4．故选：A．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，此题要注意平方根、算术平方根的联系和区别．14．的值等于（）A．B．﹣C．±D．【考点】算术平方根．【分析】根据算术平方根解答即可．【解答】解：，故选：A．【点评】此题考查算术平方根，关键是熟记常见数的算术平方根．二．填空题（共5小题）15．4是16的算术平方根．【考点】算术平方根．【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．【解答】解：∵42＝16，∴4是16的算术平方根．故答案为：16．【点评】此题主要考查了算术平方根的概念，牢记概念是关键．16．的算术平方根是3．【考点】算术平方根．【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根．【解答】解：∵＝9，又∵（±3）2＝9，∴9的平方根是±3，∴9的算术平方根是3．即的算术平方根是3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是知道，实际上这个题是求9的算术平方根是3．注意这里的双重概念．17．9的算术平方根是3．【考点】算术平方根．【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．【解答】解：∵（±3）2＝9，∴9的算术平方根是3．故答案为：3．【点评】本题考查了数的算术平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．18．的算术平方根是．【考点】算术平方根．【分析】根据平方根、算术平方根的定义即可求解．【解答】解：∵＝3，∴的算术平方根是：．故答案是：．【点评】本题考查平方根及算术平方根的知识，难度不大，关键是掌握平方根及算术平方根的定义．19．的算术平方根是．【考点】算术平方根．【分析】根据算术平方根的定义进行化简，再根据算术平方根的定义求解即可．【解答】解：∵52＝25，∴＝5，∴的算术平方根是．故答案为：．【点评】本题考查了算术平方根的定义，先把化简是解题的关键．三．解答题（共8小题）20．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，求a+2b的值．【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据平方根的定义列式求出a的值，再根据算术平方根的定义列式求出b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，∴2a﹣1＝9，∴a＝5，∵3a+b﹣1的算术平方根是4，∴3a+b﹣1＝16，∴3×5+b﹣1＝16，∴b＝2，∴a+2b＝5+2×2＝9．【点评】本题考查了算术平方根与平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．21．已知2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求3a﹣4b的平方根．【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据平方根和算术平方根的定义列方程求出a、b的值，然后求出3a﹣4b的值，再根据平方根的定义解答．【解答】解：∵2a+1的平方根是±3，∴2a+1＝9，解得a＝4，∵5a+2b﹣2的算术平方根是4，∴5a+2b﹣2＝16，解得b＝﹣1，∴3a﹣4b＝3×4﹣4×（﹣1）＝12+4＝16，∴3a﹣4b的平方根是±4．【点评】本题考查了平方根的定义，算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．22．已知＝x，＝2，z是9的算术平方根，求：2x+y﹣z的平方根．【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据＝x，＝2，z是9的算术平方根，可以求得x、y、z的值，从而可以解答本题．【解答】解：∵＝x，＝2，z是9的算术平方根，∴x＝5，y＝4，z＝3，∴＝，即2x+y﹣z的平方根是．【点评】本题考查算术平方根、平方根，解答本题的关键是明确它们各自的含义和计算方法．23．已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．【考点】平方根；算术平方根．【分析】先根据2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4求出ab的值，再求出a+2b的值，由平方根的定义进行解答即可．【解答】解：∵2a﹣1的平方根为±3，∴2a﹣1＝9，解得，2a＝10，∵3a+b﹣1的算术平方根为4，∴3a+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16，解得b＝2，∴a+2b＝5+4＝9，∴a+2b的平方根为：±3．【点评】本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解答此题的关键．24．工人师傅准备从一块面积为36平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为24平方分米的长方形的工件．（1）求正方形工料的边长；（2）若要求裁下的长方形的长宽的比为4：3，问这块正方形工料是否满足需要？（参考数据：≈1.414，≈1.732）【考点】算术平方根．【分析】（1）求出的值即可；（2）设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米，得出方程4a•3a＝24，求出a＝，求出长方形的长和宽和6比较即可．【解答】解：（1）正方形工料的边长为＝6分米；（2）设长方形的长为4a分米，则宽为3a分米．则4a•3a＝24，解得：a＝，∴长为4a≈5.656＜6，宽为3a≈4.242＜6．满足要求．【点评】本题考查了算术平方根，长方形，正方形的性质的应用，用了转化思想，即把实际问题转化成数学问题．25．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例：1，4，9这三个数，＝2，＝3，＝6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．（1）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方（2）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值．【考点】算术平方根．【分析】（1）对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”；（2）分三种情况讨论：①当9≤a≤25时，②当a≤9＜25时，③当9＜25≤a时，分别依据“和谐组合”的定义进行计算即可．【解答】解：（1）∵＝6，＝4，＝12，∴2，18，8这三个数是“和谐组合”，∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12．（2）分三种情况讨论：①当9≤a≤25时，＝3，解得a＝0（不合题意）；②当a≤9＜25时，＝3，解得a＝（不合题意）；③当9＜25≤a时，＝3，解得a＝81，综上所述，a的值为81．【点评】本题主要考查了算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．26．某地气象资料表明：某地雷雨持续的时间t（h）可以用下面的公式来估计：，其中d（km）是雷雨区域的直径．（1）雷雨区域的直径为8km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（2）如果一场雷雨持续了2h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？【考点】算术平方根．【分析】（1）根据，其中d＝8（km）是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案；（2）根据，其中t＝2h是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案．【解答】解：（1）根据，其中d＝8（km），∴t2＝，∵t＞0，∴t＝（h），答：这场雷雨大约能持续h；（2）根据，其中t＝2h，∴d2＝3600，∵d＞0，∴d＝60（km），答：这场雷雨区域的直径大约是60km．【点评】本题考查了算术平方根，注意一个正数的算术平方根只有一个．27．小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片．（1）请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；（2）若使长方形的长宽之比为3：2，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由．【考点】算术平方根．【分析】（1）直接利用算术平方根的定义正方形纸片的边长，进而得出答案；（2）直接利用算术平方根的定义长方形纸片的长与宽，进而得出答案．【解答】解：（1）设面积为400cm2的正方形纸片的边长为a cm，∴a2＝400，又∵a＞0，∴a＝20，又∵要裁出的长方形面积为300cm2∴若以原正方形纸片的边长为长方形的长，则长方形的宽为：300÷20＝15（cm）∴可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形；（2）∵长方形纸片的长宽之比为3：2，∴设长方形纸片的长为3xcm，则宽为2xcm，∴6x2＝300，∴x2＝50，又∵x＞0，∴x＝，∴长方形纸片的长为，又∵＞202即：＞20∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确开平方是解题关键。
第六章实数,算术平方根
第六章 实数 6．1 平方根第1课时 算术平方根01 教学目标1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根． 2．掌握算术平方根的非负性，会求非负数的算术平方根． 02 预习反馈阅读教材第40页，完成下列各题． 情景导入 问题：学校要举行美术作品比赛，同学们准备了一些正方形的画布，你能计算出它们的面积吗？如果知道一些正方形画布的面积，你能算出它们的边长吗？总结：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0． 03 名校讲坛例 (教材P40例1)求下列各数的算术平方根： (1)100； (2)4964； (3)0.000 1.【解答】 (1)因为102＝100，所以100的算术平方根是10，即100＝10.(2)因为(78)2＝4964，所以4964的算术平方根是78，即4964＝78. (3)因为0.012＝0.000 1，所以0.000 1的算术平方根是0.01，即0.000 1＝0.01.思考：从上面的例题中，你能发现被开方数与算术平方根之间的规律吗？ 被开方数越大，对应的算术平方根也越大． 这个结论对所有正数都成立．【跟踪训练1】 9的算术平方根是(C)A ．－3B ．±3C ．3D ．±3【跟踪训练2】 3是9的算术平方根，16的算术平方根是2．【跟踪训练3】 有一块面积为16 cm 2的正方形钢板，它的边长是多少？ 解：钢板的边长是4 cm. 04 巩固训练1.4的算术平方根是(C)A ．2B ．±2 C. 2D ．±22．下列说法正确的是(D)A.（－3）2＝－3B.－9＝－3C ．因为（－4）2＝16，所以16＝－4D ．1的算术平方根是它本身3．已知一个正方体的表面积为24 dm 2，则这个正方体的棱长为2dm. 4．求下列各数的算术平方根： (1)121； (2)0； (3)964； (4)0.01.解：(1)11.(2)0.(3)38. (4)0.1.05 课堂小结1．一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数． 2．0的算术平方根是0. 3．负数没有算术平方根．。
实数,平方根等知识
实数知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=； （C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
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蔡甸区常福中学七年级下册教学案
课题： 6.1.1算术平方根
第_4_周主备人向俊伟教研组长向俊伟审核人_____ 授课人______ 授课时间____________ 编号
学案教案
一、学习目标
1、了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，
并了解算术平方根的非负性。
2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的
算术平方根。
二、课堂前置
（一）自学思考
问题：学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出
一块面积为25dm 的正方形画布，画上自己的得意之作参
比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
答：
1.画布的边长= ，理由是：
2.填表：
正方形的面
积1 9 16 36
25
4 2
边长？
3.上面的问题实际上是已知一个，求这个
的问题。
4.方法归纳：已知一个正数的平方，是怎样求这个正数的？
. （二）展示交流
1.什么叫算术平方根？如何表示？
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的，记为，读作，a叫做。
在等式2x=a (x≥0)中，规定x =a. a≥0即a为
非负数。
2.为什么规定：0的算术平方根是0？
.
3.为什么负数没有算术平方根？
.
4.式子a中，a的取值范围是，a的取值
范围是教学重点：
教学难点：
一、课堂导入
二、揭示目标
三、合作探究
自学课本P40---44，完成学案自主学习部分的问题。
5. 625表示的意义是 ，它的值为
49的算术平方根是 ，用符号表示为
三、合作探究
1.求下列各数的算术平方根：
(1) 100；（2）4964；（3）0.0001；（4）164
；（5）1.21；（6）4-
2.你知道下列式子表示什么意思吗? 你能求出它们的值
吗?
（1）1； （2）925； （3）23； （4）24-）（
思考：81的算术平方根是9；那么81的算术平方根是多少了？你是怎样理解的？
四、检测练习
1、下列命题中,正确的个数有( )
①1的算术平方根是1;②(-1)2的算术平方根是-1;③一个数的算术平方根等于它本身,这个数只能是零；④-4没有算术平方根.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2、一个自然数的算术平方根是x,则下一个自然数的算术平方根是( )
A.x +1
B.1x +
C. 21x +
D.x+1 3、x 是16的算术平方根,那么x 的算术平方根是( ) A.4 B.2 C.2 D.±4 4、36的算术平方根是__,8的算术平方根是__. 25的算术平方根是________
5、算术平方根等于它本身的数是_______.
四、归纳小结
五、检测练习
·参见学案。
·检测练习的结果由小组进行评价，教师及时
点拨。
六、课堂评价（学后反思）。