(完整版)双曲线简单几何性质知识点总结,推荐文档

北安一中高二数学导学案 主备人：陈叔彤 审阅人：高二数学组 备课日期 ：2012-10-17

课题：§双曲线简单几何性质知识点总结

课时： 课时 班级： 姓名：

【学习目标】

知识与技能：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等

几何性质

2．掌握双曲线的另一种定义及准线的概念3．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念

过程与方法：进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育情感态度与价值观：辨证唯物主义世界观。【学习重点】双曲线的几何性质及其应用。【学习难点】双曲线的知识结构的归纳总结。

【学法指导】 1.课前依据参考资料，自主完成，有疑问的地方做好标记. 2.课前互相讨论交流，课上积极展示学习成果.

【知识链接】双曲线的定义：_________________________________________________【学习过程】

1．范围： 由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图

122

22=-b

y a x 象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。

X 的取值范围________ y 的取值范围______2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：长为2a, a 叫做半实轴长21A A 虚轴：长为2b ，b 叫做虚半轴长

21B B 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，

这是两者的又一差异4．离心率：

双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 a

c

a c e ==

22范围：___________________

双曲线形状与e 的关系：，e 越大，即渐112

222

2-=-=-=

=e a

c a a c a b

k 近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔

5．双曲线的第二定义：

到定点F 的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是l )0(>>=

a c a

c

e 双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数e 是双曲线的离心率．准线方程：

对于来说，相对于左焦点对应着左准线，

12222=-b y a x )0,(1c F -c a x l 2

1:-=相对于右焦点对应着右准线；

)0,(2c F c

a x l 2

2:=对于来说，相对于上焦点对应着上准线；

12222=-b x a y ),0(1c F -c a y l 2

1:-=相对于下焦点对应着下准线),0(2c F c

a y l 2

2:=

6．渐近线

过双曲线的两顶点，作Y 轴的平行线，经过作X

122

22=-b

y a x 21,A A a x ±=21,B B 轴的平行线，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程

b y ±=是____________或（

），这两条直线就是双曲线的渐近线 0=±b

y

a x 双曲线无限接近渐近线，但永不相交。

7．等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 性质：（1）渐近线方程为：；

x y ±=（2）渐近线互相垂直；

（3）离心率=e 8．共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为，x a b y ±

=)0(>±=k x ka

kb

那么此双曲线方程就一定是：或写成 )0(1)()(2

222>±=-k kb y ka x λ=-22

22b

y a x

9．共轭双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线

区别：三个量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同

共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1

10.双曲线的焦半径

定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半21,F F 径

焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，

设双曲线 ，是其左右焦点

)0,0( 122

22>>=-b a b

y a x 21,F F 则由第二定义：

，

e d MF =1

1 ∴

e c

a x MF =+

2

010

1ex a MF +=∴同理

2ex a MF -=即有焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：

⎩⎨

⎧-=+=∴0

201ex a MF ex a MF 同理有焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：

（ 其中分别是双曲线的下上焦点）

⎩⎨

⎧-=+=∴0

201ey a MF ey a MF 21,F F 点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果

要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为：左加右减，上减下加（带绝对值号）11．通径：

定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦

直接应用焦点弦公式，得到 a

d =

【达标检测】

双曲线与（a>0,b>0）的区别和联系

12222=-b y a x 122

22=-b

x a y

【小结】

【学后反思】______________________________________________________________________

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