符号检验和符秩检验
计 • 建立原假设为真前提下的下列检验统计
量：
学
Z P 0.5 ~ N (0,1)
0.25
n
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三、威尔科克森配对符号秩检验
统 • 以上所介绍的两总体情形下符号检验方法，
用配对观测之间差别的符号进行检验，而不
计
注重差别的大小，因此对资料的利用不够充 分。
学
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• 如果改革没有引起居民经济情况的变 化，那么居民经济情况的前后差异就
统
完全是由于各种随机因素的影响形成
的（假定其它重要的影响因素都已控
计
制不变），于是正差值的个数与负差
值的个数会大体相等。
学 • 把0差值舍去后，对总体（正差值与负 差值组成的总体）作独立重复贝努里
试验，每次试验出现正号的概率是
统 • 取正差值的个数,近似服从正态分布， 所以通常可以将其标准化为标准正态变
计 量，作为检验统计量。 • 建立原假设为真前提下的下列检验统计
学 量：
Z 0.5n ~ N (0,1)
0.25n
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二、两总体问题的符号检验
• 两总体符号检验适用于检验配对样本情
统
形下，两总体分布在位置特征上是否有
统
符号检验与符秩检验
计
学
主讲人：杨贵军 教授
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主要内容
统 • 单总体问题的符号检验 计 • 两总体问题的符号检验
• 威尔科克森配对符号秩检验 学
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一、单总体问题的符号检验
• 单总体符号检验适用于检验总体中位数 统 是否在某一指定位置。
• 检验时，可根据样本中正号的数目来决 计 定是否拒绝原假设：
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• 相反，如果中等水平假定偏低，则正差 统 值的个数会比负差值的个数多。
计
• 如果中等水平假定偏高，则正差值的个 数会比负差值的个数少。
学 • 对正差值与负差值组成的总体作独立重 复贝努里试验，每次试验出现正号的概
率是 >0.5。
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• 检验所针对的原假设是： H0:中等水平居民的经济状况为y0
=0.5。
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• 相反，如果改革引起了居民经济情况的 统 明显好转，则正差值的个数会比负差值
的个数多。
计 • 对正差值与负差值组成的总体作独立重
学
复贝努里试验，每次试验出现正号的概
率是 >0.5。
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• 检验所针对的原假设是：
H0:改革没有引起居民经济情况的变化 统 （总体X与Y没有差别），或等价地：
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• 如果中等水平假定合理，那么居民经
济情况的差异就完全是由于各种随机
统
因素的影响形成的（假定其它重要的
影响因素都已控制不变），于是正差
计
值的个数与负差值的个数会大体相等。
• 把0差值舍去后，对总体（正差值与负
学
差值组成的总体）作独立重复贝努里
试验，每次试验出现正号的概率是
=0.5。
• 当配对观测之间的差别可以从数量上来测定 时，威尔科克森（Wilcoxon）配对符号秩检
验比符号检验更有效 。
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具体做法是：
统 • 首先，将样本配对观测之间的差di= yi xi按
计
其绝对值| di |大小递增排列，并从1至n给以 秩次。
• 如果出现0差值项，就略去该项，对这样的
将其标准化为标准正态变量，作为检验
学 统计量。即
Z 0.5n ~ N (0,1)
0.25n
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• 假设某地区居民在经济改革后的经济状
况记作变量Y。中等水平居民的经济状
统
况记作y0
计
• 第i户居民改革后的经济状况分别为yi。 二者之间的变化记作di= yi y0 。
学
• 现在不关心具体数值，只关心它的为正 号的个数。
计
Z T E(T )
学
V (T )
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• 若 n 不够大，T 的临界值可由附表 6 来 统 确定。该表所给出的是，对一定的 n 和
计
，满足关系式 P ( T T ) 的值。
• 在单尾检验时若T T ，在双尾检验时
学
若T T/2 ，就拒绝原假设。
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• 假若样本中正号与负号的数目大体相等， 学 这时没有理由拒绝原假设，也就是说，
总体中中位数等于0的假设有可能是对
的；
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• 如果出现了太少的正号，认为样本可能
来自中位数小于0的总体；
统
• 如果出现了太多的正号，认为样本可能
来自中布，所以通常可以
• 在原假设成立的前提下，威尔科克森T 统计量的数学期望和方差分别是：
统
计
E(T ) n(n 1) 4
学
V (T ) n(n 1)(2n 1) 24
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• 当n≥25时（n是正负号的总数，不包括0 差值项数），威尔科克森T统计量近似服
统 从正态分布。这时，可构造Z统计量
• 为检验两总体平均水平是否有差异，可建立 原假设 H0: ∑秩(+)与∑秩()
统
• 这一假设表明，在差数总体D中，正差和负
计
差不仅个数相同，而且在均值0的两侧对称分 布。
学
• 也就是表明，总体X与Y没有差异。两个秩中 较小的一个，通常称作威尔科克森T统计量，
将其作为检验统计量。
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学 项不给秩次，并相应地减少样本量n；
• 如果出现差值相同的项，则用这些项所在位 置的秩次的简单算术平均数来代替原来的秩 次。
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统
• 其次，对每个秩次按照di的正负号赋以正 负号。
计
• 再次，分别对正号秩与负号秩计算秩和， 所得之秩和不带正负号，记作∑秩(+)与∑
学
秩() 。
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差异。
计 • 所谓配对样本，是指对每一个观测单元
学
（个体）作两次观测。
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• 假设某地区居民在经济改革前的经济状
况记作变量X，改革后的经济状况记作 统 变量Y。第i户居民改革前后的经济状况
计
分别为xi，yi。二者之间的变化记作di= yi xi。
学
• 请注意，现在我们不关心具体数值，只 关心它的符号。
第二十七课符号检验和Wilcoxon符号秩检验
0.0898 0.2120 0.3953 0.6047 0.7880 0.9102 0.9713 0.9935 0.9991 0.9999 1.0000
从表 27.2 的累计概率列中我们看到， 正号出现的次数大于 10 的概率为 1－0.9713=0.0287， 或者换一种方法计算为=0.0001+0.0009+0.0056+0.0222=0.0287， 二者的微小差异是因为小数点 后舍入问题造成的。而试验的结果：正号出现的次数为 11，大于 10，出现的概率不会超过 0.0287，我们开始设定的显著性水平为 0.1，由于 0.0287<0.1，所以我们拒绝原假设，接受备 选假设。如果我们的原假设为 p =0.5，既训练前后学生素质相等，那么就是双侧检验，应该 加上正号出现的次数小于 4 的概率 0.0287，即 2×0.0287=0.0574<0.1，同样是拒绝原假设，接 受区间为 4 次到 10 次，而拒绝区间为小于等于 3 次（小于 4 次）或大于等于 11 次（大于 10 次） 。 2. 大样本时的正态近似概率计算 当 n 20 时，样本可以认为是大样本。我们可以利用二项分布的正态近似，即对于
由于试验的结果只有两种可能，正号或负号，对每一个学生试验出现正号的假定概率为 p =0.5，负号为 1— p =0.5，这样整个试验的概率是相同的，并且每一个试验是相互独立的。 因此在 n =14 次独立的试验中，正号出现的次数服从二项分布 B(14,0.5) ，见表 27.2 所示。 表 27.2 二项分布的概率和累计概率 n=14,p=0.5 正号出现的次数 0 1 2 3
上海财经大学经济信息管理系IS/SHUFE Page 4 of 8
S T
秩和检验【医学统计学】
568.4
14.0
384.6
3.0
556.2
13.0
369.1
1.0
435.7
7.0
377.8
2.0
574.8
15.0
436.7
8.0
468.7
12.0
662.9
19.5
433.4
6.0
582.8
16.5
442.3
10.0
438.1
9.0
426.1
5.0
n1 10
T1 101
n2 12
T2 152
2.求检验统计量T 值
①省略所有差值为0的对子数，观察单位数减去0对子数 的个数 ②按差值的绝对值从小到大编秩，绝对值相等的差值若 符号不同取平均值，并保持原差值的正负号；
③任取正秩和或负秩和为T，本例取T-=3。
3. 确定P 值，作出推断结论
2020/8/8
15
检验步骤
查附表12 • 本例T=3，n=10，
3 9 6 8 7 -1 10 4 -2 5
T 52 T 3
2020/8/8
10
配对符号秩检验基本思想
• 当H0（差值的总体中位数Md=0)成立,任一配对差值出现正号、负号的 机会均等，秩和T-与T+的理论数也应相等为n(n+1)/4
• 可以证明：
• H0为真时，秩统计量T是对称分布 • H0非真时，T呈偏态分布
单纯⑴虚寒型 ⑵3 ⑶6 ⑷25 ⑸26 13 ⑻ 73
喘息虚寒型
1
3 10
9
3 26
虚寒阻塞型 16 28 61 27 ⑹9 141
2020/8/8
21
Wilcoxon符号秩检验
第二节Wilcoxon符号秩检验Wilcoxon符号秩检验符号检验只用了差的符号，但没有利用差值的大小。
12 3Wilcoxon符号秩检验(Wilcoxon signed-rank test) 把差的绝对值的秩分别按照不同的符号相加作为其检验统计量。
显然，相比较于符号检验，Wilcoxon符号秩检验利用了更多的信息。
Wilcoxon符号秩检验：条件u Wilcoxon符号秩检验需要一点总体分布的性质；它要求假定样本点来自连续对称总体分布；而符号检验不需要知道任何总体分布的性质。
u在对称分布中，总体中位数和总体均值是相等的；因此，对于总体中位数的检验，等价于对于总体均值的检验。
u Wilcoxon符号秩检验实际是对对称分布的总体中位数（或均值）的检验。
Wilcoxon符号秩检验：基本原理u计算差值绝对值的秩。
u分别计算出差值序列里正数的秩和（W+）以及负数的秩和（W-）。
u如果原假设成立，W+与W-应该比较接近。
如果W+和W-过大或过小，则说明原假设不成立。
u将正数的秩和或者负数的秩作为检验统计量，根据其统计分布计算p值，从而可以得出检验的结论。
具体步骤设定原假设和备择假设。
分别计算出差值序列中正数的秩和W+以及负数的秩和W-。
根据W+和W-建立检验统计量，计算p值并得出检验的结论。
在双侧检验中检验统计量可以取为W=min(W+,W-)。
显然，如果原假设成立，W+与W-应该比较接近。
如果二者过大或过小，则说明原假设不成立。
秩的计算注意问题计算差值绝对值的秩时，注意差值等于0值不参与排序。
下面一行R i就是上面一行数据Z i的秩。
Z i159183178513719 R i75918426310数据中相同的数值称为“结”。
结中数字的秩为它们所占位置的平均值Z i159173178513719 R i758.518.5426310关于P值u有了检验统计量W，我们就可根据其统计分布计算p值了，双侧检验的p值等于，式中w为检验统计量的样本观测值。
常见的几种非参数检验方法
常见的几种非参数检验方法非参数检验是一种不需要对数据进行假设检验的统计方法，它不需要满足正态分布等前提条件，因此被广泛应用于实际数据分析中。
在本文中，我们将介绍常见的几种非参数检验方法。
一、Wilcoxon符号秩检验Wilcoxon符号秩检验是一种用于比较两个相关样本之间差异的非参数检验方法。
它基于样本差异的符号和秩来计算统计量，并通过查表或使用软件进行显著性判断。
二、Mann-Whitney U检验Mann-Whitney U检验是一种用于比较两个独立样本之间差异的非参数检验方法。
它基于样本排名来计算统计量，并通过查表或使用软件进行显著性判断。
三、Kruskal-Wallis H检验Kruskal-Wallis H检验是一种用于比较多个独立样本之间差异的非参数检验方法。
它基于样本排名来计算统计量，并通过查表或使用软件进行显著性判断。
四、Friedman秩和检验Friedman秩和检验是一种用于比较多个相关样本之间差异的非参数检验方法。
它基于样本排名来计算统计量，并通过查表或使用软件进行显著性判断。
五、符号检验符号检验是一种用于比较两个相关样本之间差异的非参数检验方法。
它基于样本差异的符号来计算统计量，并通过查表或使用软件进行显著性判断。
六、秩相关检验秩相关检验是一种用于比较两个相关样本之间关系的非参数检验方法。
它基于样本排名来计算统计量，并通过查表或使用软件进行显著性判断。
七、分布拟合检验分布拟合检验是一种用于检验数据是否符合某个特定分布的非参数检验方法。
它基于样本数据与理论分布之间的差异来计算统计量，并通过查表或使用软件进行显著性判断。
八、重复测量ANOVA重复测量ANOVA是一种用于比较多个相关样本之间差异的非参数检验方法。
它基于样本方差和均值来计算统计量，并通过查表或使用软件进行显著性判断。
九、Bootstrap法Bootstrap法是一种用于估计总体参数和构建置信区间的非参数方法。
它基于自助重采样技术来生成大量虚拟样本，以此估计总体参数和构建置信区间。
威尔克森符号秩检验
威尔克森符号秩检验是一种非参数统计方法，用于比较两组相关样本的中位数差异。
它是基于秩次的方法，适用于非正态分布的数据或小样本量的情况。
该检验方法通常用于医学和行为科学领域，以观察在不同条件下个体的秩次变化。
威尔克森符号秩检验的原假设是两组数据中的差异没有显著性，而备择假设则是两组数据中的差异具有显著性。
具体步骤如下：1.将两组相关样本的数据进行配对，确保每个配对都有相关观测值。
配对的方式可以是两组数据中的相同个体或具有相似性质的个体。
2.对配对的数据进行排序，从最小到最大排列。
如果有相同的观测值，可以采用平均秩次的方式进行排序。
3.对每一个配对的差值取绝对值，并且给予符号，表示差值的正负方向。
正差值用“+”表示，负差值用“-”表示。
4.对每个差值的绝对值按照符号进行秩次排序，取得秩次。
5.计算正差值的秩次总和（Sum of positive ranks）和负差值的秩次总和（Sum of negative ranks）。
6.计算秩次总和的统计量W，公式为W = min(Sum of positive ranks,Sum of negative ranks)。
W的值越小，表示两组数据之间的差异越显著。
7.使用临界值或p值来判断W的显著性。
临界值和p值可以从统计表中查找或使用软件进行计算。
威尔克森符号秩检验的优势在于对数据的分布没有要求，而且对小样本量的情况也适用。
但它也有一些限制，例如只能比较两组相关样本的中位数差异，不能扩展到多组数据的比较。
使用威尔克森符号秩检验时，需要注意数据的选择和配对方式的合理性。
确保配对样本的观测值具有相关性，并且样本容量足够大以保证检验结果的可靠性。
总之，威尔克森符号秩检验是一种非参数统计方法，适用于比较两组相关样本的中位数差异。
通过对样本数据进行配对、排序和秩次计算，可以得到检验统计量W，并判断差异的显著性。
这个方法在实际应用中具有一定的优势和限制，需要结合具体情况进行合理选择。
配对设计样本差值的wilcoxon符号秩和检验,检验统计量
配对设计样本差值的wilcoxon符号秩和检验,检验统计量在配对设计中，常常需要比较两个相关样本之间的差异。
为了检验它们之间的显著性差异，可以使用Wilcoxon符号秩和检验。
这种非参数检验方法不需要对数据的分布做出任何假设，而且也适用于小样本情况。
Wilcoxon符号秩和检验的原假设为两个相关样本之间的中位数差异为0，备择假设为中位数差异不为0。
在这种检验中，首先对每个配对样本计算差值，然后对这些差值的绝对值进行排序，并赋予符号，正号表示差值为正，负号表示差值为负。
然后，计算每个符号的秩次，将秩次加和得到检验统计量W。
如果W的值较小，那么说明负号的秩次比正号的秩次更大，即差值更可能为负。
如果W的值较大，那么说明正号的秩次比负号的秩次更大，即差值更可能为正。
因此，在原假设成立的情况下，W的分布应该接近于中心的正态分布。
在进行Wilcoxon符号秩和检验时，可以使用统计软件进行计算。
通常设置显著性水平为0.05，如果检验统计量的P值小于0.05，就拒绝原假设，认为两个相关样本之间的中位数存在显著差异。
否则，就接受原假设，认为两个相关样本之间的中位数没有显著差异。
- 1 -。
威尔科克森符号秩检验结果解释
威尔科克森符号秩检验结果解释
威尔科克森符号秩检验是一种非参数检验方法，主要用于比较两个独立样本的中位数是否相等。
它的原理是将两个样本中的所有数据按大小顺序排列，然后对其中所有的符号进行秩次的赋值，即大于中位数的为1，小于中位数的为-1，等于中位数的为0。
然后将两个样本的符号秩次加总，得到一个统计值W，通过W的大小来判断两个样本的中位数是否有显著性差异。
在进行符号秩检验后，得到的结果包括W值和p值。
W值越大，说明两个样本中位数差异越显著；p值越小，则表示两个样本中位数的差异越显著。
通常，如果p值小于0.05，则认为差异显著，否则认为两个样本中位数没有显著性差异。
需要注意的是，威尔科克森符号秩检验对于样本数据的分布形态没有要求，可以适用于正态分布、偏态分布或无法确定分布形态的数据。
同时，样本量也没有限制，可以适用于小样本和大样本。
但是，由于计算过程较为繁琐，需要较长的计算时间，因此在实际应用中，可能会选用其他非参数检验方法来替代符号秩检验。
- 1 -。
SAS课件_第二十七课符号检验和Wilcoxon符号秩检验
第二十七课 符号检验和Wilcoxon 符号秩检验在统计推断和假设检验中，传统的检验统计量都叫做参数检验，因为它们都依赖于确定的概率分布，这个分布带有一组自由的参数。
参数检验被认为是依赖于分布假定的。
通常情况下，我们对数据进行分析时，总是假定误差项服从正态分布，这是人们易于接受的事实，因为正态分布的原始出发点就是来自于误差分布，至于当样本相当大时，数据的正态近似，这是由于大样本理论所保证的。
但有些资料不一定满足上述要求，或不能测量具体数值，其观察结果往往只有程度上的区别，如颜色的深浅、反应的强弱等，此时就不适用参数检验的方法，而只能用非参数统计方法（non-parametric statistical analysis ）来处理。
这种方法对数据来自的总体不作任何假设或仅作极少的假设，因此在实用中颇有价值，适用面很广。
一、 单样本的符号检验符号检验（sign test ）是一种最简单的非参数检验方法。
它是根据正、负号的个数来假设检验。
首先需要将原始观察值按设定的规则，转换成正、负号，然后计数正、负号的个数作出检验。
该检验可用于样本中位数和总体中位数的比较，数据的升降趋势的检验，特别适用于总体分布不服从正态分布或分布不明的配对资料，有时当配对比较的结果只能定性的表示，如试验前后比较结果为颜色从深变浅、程度从强变弱，成绩从一般变优秀，即不能获得具体数字，也可用符号检验，例如用正号表示颜色从深变浅，用负号表示颜色从浅变深。
用于配对资料时，符号检验的计算步骤为：首先定义成对数据指定正号或负号的规则，然后计数正号的个数+S 及负号的个数-S ，由于在具体比较配对资料时，可能存在配对资料的前后没有变化，或等于假设中的中位数，此时仅需要将这些观察值从资料中剔除，当然样本大小n 也随之减少，故修正样本大小-++=S S n 。
当样本n 较小时，应使用二项分布确切概率计算法，当样本n 较大时，常利用二项分布的正态近似。
符号秩和检验法
符号秩和检验法
符号秩和检验法是一种非参数检验方法，它不需要对数据的分布进行任何假设，因此适用于各种类型的数据。
该方法的基本思想是将数据转换为符号，然后计算符号秩和，通过比较两组数据的符号秩和来判断它们是否来自同一总体。
符号秩和检验法的步骤如下：
1. 将数据转换为符号。
对于两组数据，将其中一个作为基准组，另一个作为比较组。
对于基准组中的每个观测值，如果它大于比较组中的相应观测值，则将其标记为“+”，否则标记为“-”。
如果两组数据相等，则将其标记为“0”。
2. 计算符号秩和。
对于基准组中的每个观测值，将其符号秩相加，得到基准组的符号秩和。
同样地，对于比较组中的每个观测值，将其符号秩相加，得到比较组的符号秩和。
3. 比较符号秩和。
如果两组数据来自同一总体，则它们的符号秩和应该接近。
可以使用统计学方法来计算两组数据的符号秩和之差的概率分布，从而判断它们是否显著不同。
符号秩和检验法的优点是它不需要对数据的分布进行任何假设，因此适用于各种类型的数据。
此外，它也比较容易计算和解释。
然而，它的缺点是它对于小样本数据可能不够敏感，因此在这种情况下可能需要使用其他的方法。
总之，符号秩和检验法是一种非参数检验方法，适用于各种类型的数据，不需要对数据的分布进行任何假设。
它的基本思想是将数据转换为符号，然后计算符号秩和，通过比较两组数据的符号秩和来判断它们是否来自同一总体。
2-符号检验法
• 例 如右表是某种 商品在12家超市促 销活动前后的销售 额对比表，用符号 检验分析促销活动 的效果如何？
连 促销前 促销后 锁 销售额 销售额 符号 店 1 42 40 + 2 57 60 3 38 38 0 4 49 47 + 5 63 65 6 36 39 7 48 49 8 58 50 + 9 47 47 0 10 51 52 11 83 72 + 12 27 33 -
X 0 统计量定义为 t 这时就要考虑用非参数 方法. s/ n
下面通过一个例子来看 符号检验
例1 由资料说明 1998年某市各行业高级技师 的年收入的 中位数为21700元。现从某行业中抽取 50名高级技师组成 的样本，数据如下：
23072 24370 20327 24296 22256 19140 25669 22404 26774 26774 23406 20438 24890 24815 24556 18472 21514 22516 25112 23480 26522 24074 18064 22590 25261 21180 26188 21625 24333 23146 18324 3598 26040 20846 20438 19474 19214 23072 26744 23443 24630 26893 26485 18138 20719 26774 23554 25706 21558 17990
9.8 10 .1 9 .7 9.9 9.9 9.8 9.8 10.0， 9.7 10.0 10.0 9.9 9.8 9.8 9.8 10.1 9.7 ， 10.0 9.7 ， 9.9