高等数学-二重极限1
二重极限的几种求法
时 ,有 x = 0 ,而
lim
x =0 y→ 0
= lim
y→ 0
y | y|
解 :设 x = rcosθ, y = r sinθ. 有
lim ( x + y ) ln ( x 2 + y 2 ) =
x→ 0 y→ 0 r→ 0
不存在 , 所以
lim
x→ 0 y→ 0
ln ( x + ey )
4
lim lim f ( x , y ) = lim lim
x→ 0 y→ 0 x→ 0 y→ 0
x + y = x 2 + 2 y2
不存在 . 3 ) 对于一些难以找到的路线 , 可以利用极坐标 来证明 . 例 9 证明lim
x→ 0 y→ 0
lim
x→ 0
x x = 0; 2 = lim x→ 0 x
x 2 + y2
) ln r2 lim r ( sinθ + cosθ
Πθ:0 Φ θ Φ 2π, 有 θ ) ln r2 | Φ| 4 rln r | . | r ( sinθ + cos 由一元函数极限知道 lim+ 4 rln r = 0 . 于是由定
r→ 0
不存在 .
2) 当 P 沿着 D 中两条不同的连续曲线趋近于
[3 ] 孙涛 . 数学分析经典习题解析 [ M ] . 北京 : 高等教育出版
极限一定不存在 .
社 ,2004.
Several Methods f or Evaluating the Double Limits
例 7 证明lim
x→ 0 y→ 0
ln ( x + ey )
用极坐标变换计算二重极限
么
．
¨
趋 向于 ０也有 两层含 义 ： 意方 向和任意 路径 ． 任 从而 在极坐标 系 中判 断 函数极 限不 存在 的依 据为 ： １ 如 果存在 一 条路径 ， ） 函数 的极 限不 存在 ； ２ 如果存 在两 条路 径 ，函数 的极 限虽然 都存 ）
在 但不相 等． 下面， 我们利 用上 述思 想来 求解 例 １ ． 解 根据前 述 分析 ， 限 过程 （ ）一 （ ，） 极 ｚ， ０ Ｏ 等 价于 ｒ ０ 一 ．因此 ，
， ｏ） 一（． 百 。十 Ｖ ０Ｘ
，
可见 ， 这两个 路径 上 函数 的极 限虽然 都存 在但 不 在 相 等．因此 ，原二 重极 限不存 在．
参 考 文献
［ ］罗俊芝 ．能否 用极坐 标方法求 二重极 限［］ １ Ｊ．高等数学
研 究 ， ０ ７ ０ ２ ：８１ ． ２ ０ ，１ （ ）１ －９
在直角坐标 系下 ， 当 ，，一 （ｏ３） ， ３ ） Ｘ ，， 时 二元 函 ｏ
数 ｚ ｆ ｘ 的极 限定义为 ： ＝ （ ，） 当点 Ｐ ｘ，）以任意方 （ ３ ，
式趋 向于点 Ｐ （ｏｙ）时 ， ｏＸ ，ｏ 如果 函数 ｆ ｘ３ （ ，）的极 限 Ｊ
都是一 个 确 定 的常 数 Ａ， 么 Ａ 即 为 函数 ｆ ｘ， 那 （ ）
极 限存在 的两 种情 况 ； 还讨 论 了特殊 类型 函数
ｆ（ ）： ｆ（ｃｓ ，ｒｉＯ ｘ， ｒｏＯ ｓｎ ）一 （） ｒ （）
坐标变换 的特点 ， 从而造成 错误． ［－］ 出了一些 文 １３ 给 使 用极坐标变换 计算二重极 限 的方 法和技巧．
极 限不存 在 的三种 情形 ．
高数下试题
(D) 2π R3 。
9、微分方程 y"-3y' + 2 y = 0 的通解为
【】
( A) y = C1ex + C2e2x ；
(B) y = C1e-x + C2e2x ；
(C) y = C1ex + C2e-2x ；
(D) y = C1e-x + C2e-2x 。
∑ 10、幂级数 ∞ 2 n x n 的收敛域为 n=1 n
∫1
( A)
xdx − ydy ；
2L
∫1
(B)
ydy − xdx ；
2L
【】
∫1
(C)
xdy − ydx ；
2L
∫1
(D)
ydx − xdy 。
2L
v∫ 8、设 L 为圆周 x2 + y2 = R2 ,则 (x2 + y2 )ds = L
【】
( A) 2π R2 ； (B) 4π R3 ；
(C) 2π R4 ；
院（系）
专业班级 装
学号
姓名
订
线
兰州理工大学
年 季学期 高等数学 2 试题
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分
得分
一、选择题(每小题 2 分，共 20 分)
1、二重极限 l i m s i n ( x y ) =
x→ 4 y→ 0
y
【】
( A) 0；
(B) 1；
(C) 2；
(D) 4。
【】
( A) [− 1 , 1]； (B) [− 1 , 1) ； (C) (− 1 , 1] ； (D) (− 1 , 1) 。
22
2018考研数学：二重极限
2018考研数学：二重极限
以下是中公考研数学研究院的老师为大家整理了2018考研数学:二重极限的题型讲解，供大家复习参考。
高等数学的研究对象是函数，而极限则是研究函数的最重要的工具，对于一元函数如此，对于多元函数亦是如此。
那么在学习多元微分学之前，首先来认识多重极限的概念，在此以二重极限为例进行说明。
2. 考试要求会计算二重极限，最直接的想法就是一元函数求极限的方法中哪些还可以继续使用，其中四则运算法则，等价无穷小替换和夹逼定理及其推论(无穷小量乘以有界量等于无穷小量)可以使用。
【注记】1. 取路径的方法只是用来验证函数的极限不存在，不能用于求极限。
并且路径一般取为直线，便于计算。
2.考试不会直接考查二重极限的计算，而是在研究函数的连续性、可导性和可微性的时候需要计算二重极限。
最后，中公考研祝全体考生考研成功!。
二重极限的计算方法(学年论文)
二重极限的计算方法小结内容摘要本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。
及二重极限不存在的几种证明方法。
关键词：二重极限变量代换等不存在的证明目录序言 (1)一、利用特殊路径猜得极限值再加以验证 (1)(一)利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (1)(二)由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)(三)采用对数法求极限 (2)(四)利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)(五)等价无穷小代换 (3)(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)(七)多元函数收敛判别方法 (4)(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)(九)极坐标代换法 (6)(十)用多元函数收敛判别的方法 (7)二、证明二重极限不存在的几种方法 (7)总结 (10)参考文献 (11)序言二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。
对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。
虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。
对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。
二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。
由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量),(y x 的不同变化趋势和函数),(y x f 的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。
一、二重极限的计算方法小结(一) 利用特殊路径猜得极限值再加以验证利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出δ来。
二重极限考研真题
二重极限考研真题二重极限是高等数学中的一个重要概念，也是考研数学中的一道经典题型。
在考研数学中，二重极限题目常常涉及到多元函数的极限问题，需要我们熟练掌握相关的理论知识和解题方法。
首先，我们来回顾一下二重极限的定义。
对于二元函数f(x, y)，当自变量(x, y)的取值趋于某个点(x0, y0)时，如果对于任意给定的ε>0，都存在一个正数δ>0，使得当点(x, y)满足0<√((x-x0)^2+(y-y0)^2)<δ时，有|f(x, y)-A|<ε成立，那么我们就称A是函数f(x, y)在点(x0, y0)处的二重极限，记作lim_(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = A。
接下来，我们来看一道典型的二重极限考研真题。
已知函数f(x, y) = (x^2+y^2)/(x^2-y^2)，求lim_(x,y)→(1,-1) f(x, y)。
首先，我们可以直接代入(x0, y0) = (1, -1)得到f(1, -1) = (1^2+(-1)^2)/(1^2-(-1)^2) = 2/0，这个结果是无意义的，因为分母为0，所以我们不能直接代入求值。
接下来，我们可以尝试利用二重极限的定义来解题。
我们可以以(x0, y0) = (1, -1)为中心，以r为半径画一个圆，然后取圆上的任意一点(x, y)，计算f(x, y)与A的差值，然后通过极限的定义来求解。
我们可以将f(x, y) = (x^2+y^2)/(x^2-y^2)进行化简，得到f(x, y) =(1+(2y^2)/(x^2))/(1-(2y^2)/(x^2))。
然后我们可以将分子和分母展开，得到f(x, y) = (1+2y^2/x^2)/(1-2y^2/x^2)。
接下来，我们可以将x和y进行适当的变换，使得计算更加方便。
我们可以令x = 1+u，y = -1+v，其中u和v是趋于0的无穷小量。
代入上式，得到f(1+u, -1+v) = (1+2(-1+v)^2/(1+u)^2)/(1-2(-1+v)^2/(1+u)^2)。
二重积分极限表达式
二重积分极限表达式二重积分是高等数学中的一个重要概念。
它在物理、工程、经济学和其他领域中都有着广泛的应用。
当我们谈论二重积分时，我们通常会把它看作是一个求取平面区域上某个量的积分的过程。
因此，掌握一些有关二重积分极限表达式的知识对于我们深入理解二重积分的概念至关重要。
以下是一些关于二重积分极限表达式的基本概念：一、二重积分的定义二重积分的定义是：设D为平面上有界区域，f(x,y)是定义在D上的函数，则在D上的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dσ其中dσ是表示平面微元的面积元素。
二、二重积分的性质二重积分有一系列的性质，这些性质能够帮助我们更好地理解二重积分的概念。
以下是几个重要的性质：1. 线性性质二重积分具有线性性质，即若f和g是D上的二重可积函数，c为常数，则有：∬D(cf+g)dσ = c∬Df(x,y)dσ + ∬Dg(x,y)dσ2. 积分区域的可加性若D可以分为两个互不相交的有界区域D1和D2，则有：∬Df(x,y)dσ = ∬D1f(x,y)dσ + ∬D2f(x,y)dσ3. 积分顺序的可交换性如果f(x,y)在D上连续，那么积分的顺序是可以交换的，即：∬Df(x,y)dσ = ∬a^b∬c^df(x,y)dydx = ∬c^d∬a^bf(x,y)dxdy三、二重积分极限表达式的基本概念在二重积分中，极限表达式是非常重要的一部分。
极限表达式可以帮助我们更好地理解二重积分的概念。
以下是一些基本的极限表达式：1. 上限为无穷大的积分如果D的上界是无穷大，那么二重积分的极限表达式可以表示为：limR→+∞∬Df(x,y)dσ这里R表示D的半径（即D中距离原点最远的点的距离）。
2. 重心与积分中平均值的关系对于D上的二重积分，假设M(x1,y1)是D的重心。
如果f(x,y)在D上可积，那么有：f(M) = (1/|D|)∬Df(x,y)dσ其中|D|表示D的面积。
3. 积分区域的划分对于任何一个平面区域D，我们都可以通过划分D的方法，将D划分为若干个小的平面区域。
二重极限的计算方法总结
239科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION学 术 论 坛DOI：10.16661/ki.1672-3791.2019.08.239二重极限的计算方法总结①张敏(郑州商学院 河南巩义 451200)摘 要：函数的极限求解是高等数学中比较重要的一个问题，由于自变量个数的增加和极限趋近路径的任意性，二重极限的求解相较于一元函数的极限问题更加复杂。
一般情况下，高等数学教材中关于二重极限的求解都比较简单，对初学者来说比较抽象。
该文从不同角度介绍了6种不同的求解二重极限的方法，并给出了相应的例题及解析，拓宽了初学者的求解思路，给予了初学二重极限者一定的启发。
关键词：二元函数 二重极限 连续中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2019)03(b)-0239-02①作者简介：张敏（1988—），女，汉族，河南郑州人，研究生，助教，研究方向：数学教育，计算数学。
1 预备知识1.1 二元函数的定义定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点(,)x y ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数Z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在点(,)x y 处的函数值记为f (,)x y ，即Z =f (,)x y ，其中(,)x y 称为自变量，Z 称为因变量。
点集D 称为该函数的定义域，数集{|(,),(,)}z z f x y x y D =∈称为该函数的值域。
1.2 二重极限的定义定义2 设函数Z =f (,)x y 的定义域为D ,000(,)P x y 是xOy 平面内的定点。
若存在常数A ，0ε∀>，0δ∃>，当点0(,)(,)P x y D U P δ∈时，恒有|()||(,)|f P A f x y A ε−=−<，则称常数A为二元函数f (,)x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限（也称为二重极限），记作00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A→=或00(,)((,)(,))f x y A x y x y →→，也可记作0lim ()P P f P A →=或0()()f P A P P →→。
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y0 )
处连续
lim
(x,y )(0,0)
z
0
lim ( x , y ( 0,0 )
f (x0
x, y0
y)
f (x0 , y0 )
例 6 9 lim ln(x2 ey ) f (2,1) ln(4 e)
x y ( x, y)(2,1)
n
1
(xi ai )2 ]2 ,
xr
( xr ,
r 0)
[
n
1
(xi )2 ]2
i 1
i 1
定义 6.1 设 {xr k }为 Rn 中的一个点列, ar Rn.
若 0, K,当 k K 时,有(xr k , ar ) xr k ar ,
则称点列{xr k}收敛于 ar,记作 lim xr k ar.
多元函数的定义域: 例6 3 求 u ln[(x 1)( y 2)] e z 的定义域.
6.1.4 二元函数的极限
定义 6-4(二重极限)设 z f (x, y) 在 D R2 中有定义,
P0 (x0 , y0 ) R2. 若 0, 0,当
0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时, 有 f (x, y) A ,
第6章 多元函数微分学
6.1 多元函数的基本概念 6.1.1 n维点集 n 维空间 Rn {(x1, x2,L , xn ) xi R(i 1, 2,L , n)}. 在 2 维空间中 R2 {(x, y) x, y R}中: 1.两点间距离公式.
2.点 P0 的 邻域. 点 P0 的去心 邻域.
则称 A 为 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限.
记作 lim f (x, y) A 或 lim f (x, y) A,
( x, y )( x0 , y0 )
x x0 y y0
或 f (x, y) A ((x, y) (x0, y0 ))
二重极限的等价定义 :
若 (x, y) 沿路径 L1 趋于 (x0, y0) 时, f (x, y) A1,
而 (x, y) 沿路径 L2 趋于 (x0, y0) 时, f (x, y) A2,
且
A1
A2
,
则
(
x
,
y
lim
)( x0
,
y0
)
f
(x,
y)不存在.
例65
设
f
(x,
y)
xy x2 y2
,
讨论当 (x, y) (0,0) 时, f (x, y) 的极限是否存在?
2
2
5
作业: 习题 6-1
3(2),(4--6) 4 5(3) 8
当 n 2 时,称 f (x, y) 为二元函数,记作 z f (x, y) 当 n 3时, 称 f (x, y, z) 为三元函数, 记作 u f (x, y, z) 例如, z 3x 5y 6 是三维空间中的一个平面, z x2 y2 是三维空间中的一个圆锥面, 一般,z f (x, y) 为三维空间中的一个曲面.
例:
f
(x,
y)
x2
sin
1 y
y2
sin
1 x
,
xy
0 ,
f
(x,
y)
x2
xy y2
,
x2
y2
0
0, xy 0
0,(x, y) 0
f (x, y) x y x2 y2 , f (x, y) y sin 1
x y
x
6.1.5 多元函数的连续性
x2 y2 x2 y2
0
注1. 两种定义是等价的.
注 2. 在二重极限中,(x, y) (x0, y0)可有多个方向趋于(x0, y0),
lim
( x, y)( x0 , y0 )
f
(x,
y)
A
不管
(x,
y)
沿何路径趋于
( x0 ,
y0 ),
f (x, y)都以 A 为极限.因此,
若 0, 0, 当 x x0 , y y0 ,
且 (x x0 )2 ( y y0 )2 0 时,
有 f (x, y) A ,则称
A 为 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限.
例 64
用定义证明: lim (x, y)(0,0)
定义.
若 lim ( x, y( x0 , y0 )
f (x, y)
f (x0 , y0 )
则称函数 f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处连续.
语言 :函数 f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处连续
0, 0,当 (x x0 )2 ( y y0 )2 时, 有 f (x, y) f (x0 , y0 ) .
累次极限
令I ( y) lim f (x, y),再求 lim I ( y),
x 限(二次极限) :
lim lim f (x, y)
y y0 xx0
同理,有先 y 后 x 的累次极限(二次极限) :
lim lim f (x, y)
xx0 y y0
二重极限的性质
(1)唯一性 (2)局部有界性 (3)局部保号性 (4)夹逼法则 (5)四则运算法则.
例 6 6 求 lim
xy
(x, y)(0,0) 1 xy 1
例 6 7 求 lim sin(xy)
(x, y)(0,2)
y
例68
求
(
x,
lim
y )( 0,0)
sin(x2 y) x2 y2
3. 有界集 : E R2 有界 r 0,使得 x2 y2 r2,(x, y) E.
4.无界集.
6.1.2 n维空间中点列的极限
记 xr (x1, x2 ,L , xn ) , ar (a1, a2,, an )为 Rn 中的点,
(xr, ar ) [
k
定理 6.1 设 xr k (xk , xk ,L , xk ),则
1
2
n
lim xr k
k
ar
对每个i(1 i
n),有 lim xk k i
ai
6.1.3 多元函数的定义
定义 6.3 设 D Rn. 若存在一对应法则 f ,使对任意 的xr (x1, x2,L , xn ) D, 存在唯一的 u R 与之对应, 则称 f 为 D 上的 n 元函数.记作 u f (x1, x2,L , xn ).
增量语言:令 x x x0 , y y y0. 称
z f (x, y) f (x0 , y0 ) f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 )
为函数 f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处的全增量. 则
函数
f
( x,
y)
在
(x0 ,
二重极限与累次极限的关系
1. 两个累次极限不一定都存在,即使存在也不一定相等.
2. 二重极限与累次极限没有蕴含关系.
3. lim f (x, y) A, lim lim f (x, y) B A B
( x, y)( x0 , y0 )
y y0 xx0
4.两个累次极限存在但不相等, 则二重极限不存在.