第4课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用
两角和与差的正弦、余弦、正切公式PPT优秀课件
由勾股定理，可得
y
P1P22=P1Q2+QP22
N2(0, y2)
∟
.
P2(x2, y2)
=┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2
=(x1–x2)2+(y1–y2)2, 由此得到平面内
M1(x1, 0)
.∟
O
∟∟ ∟
M2(x2, 0)
x
Q
P1(x1, y1), P2(x2, y2)
P1(x1, y1) N1(0, y1)
本课小结： 在这节课中，我们研究了两个角的
和与差的正弦、余弦和正切公式，这些 公式在今后有大量的应用，应熟练地、 灵活地掌握。
(例3就是反过来用公式的例子).
再见
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
2 3 2 1 6 2;
2 2 22
4
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、
余弦和正切的值.
tan15°= scions1155°°
6 6
2 2 3; 2
或 tan15°=tan(45°–30°)
tan45tan30 1tan45tan30
1 3
3
3
11 3 3
3
3 2 3; 3
+ sin2α+2sinα sinβ+ sin2β， 2–2cos(α+β) =2–2cosα cosβ +2sinα sinβ，
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 课件
探
究
返 首 页
17
课
前 自 主
5．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝
.
回 顾
课
1 7
[tan β＝tan[(α＋β)－α]＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα＝1＋12－12×31 31＝17.]
课 后 限 时 集 训
堂
考
点
探
究
返 首 页
18
课
前
自
主回顾 第1课时Fra bibliotek时 集 训
堂
考 点 探 究
cos 2α＝ccooss22αα－＋ssiinn22αα＝11－ ＋ttaann22αα.
返 首 页
7
课 前
2．降幂公式
自
主 回 顾
sin2α＝1－c2os 2α；
课 后
限
课
cos2α＝1＋c2os 2α；
时 集 训
堂
考 点 探
sin αcos α＝12sin 2α.
究
用．
返
首
页
34
公式的变形用
课
1
前 自
sin235°－2
主
(1)化简cos 10°cos 80°＝
.
回
课
顾
(2)化简sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α的结果是
．
后 限 时
课 堂 考 点
(1)－1
(2)12
[(1)cossin1203°5c°o－s 8120°＝1c－osc1o20s°s7i0n°－1012°＝－112cos
课
前
二、教材改编
自
主 回 顾
1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cosπ4＋α为(
高中数学必修4-两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、 重点、难点教学重点：以两角和与差的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 二、课堂教学首先回顾两角和与差的正弦、余弦和正切公式，βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-sin()sin cos sin cos αβαββα+=+ sin()sin cos sin cos αβαββα-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（把上述公式中β看成α即可），()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 变型： 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈。
三、例题讲解 例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<．又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-．于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯=⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 例2、 在△ABC 中,cosA=54,tanB=2,求tan(2A+2B)的值. 解：在△ABC 中,由cosA=54,0<A<π,得:sinA=.53)54(1cos 122=-=-A所以tanA=A A cos sin =53×45=43,tan2A=724)43(1432tan 1tan 222=-⨯=-AA 又tanB=2, 所以tan2B=.342122tan 1tan 222-=-⨯=-B B于是tan(2A+2B)=.17744)34(7241347242tan 2tan 12tan 2tan =-⨯--=-+B A B A 例3、求cos36°cos72°.的值．解：原式= 36sin 472cos 72sin 236sin 272cos 36cos 36sin 2=∙=41.例4.已知cos α=71,cos(α-β)=1413,且0<β<α<2π,(1)求tan2α的值; (2)求β.解:(1)由cos α=71,0<α<2π,得sin α=a 2cos 1-=.734)71(12=- ∴tan α=aa cos sin =17734⨯=43.于是tan2α=.4738tan 1342tan 1tan 222-=-⨯--a a a(2)由0<α<β<2π,得0<α-β<2π. 又∵cos(α-β)=1413,∴sin(α-β)=.1433)1413(1)(cos 122=-=--βa 由β=α-(α-β),得 cos β=cos ［α-(α-β)］=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=71×1413+1433734⨯=21. ∴β=3π. 例5 化简x x sin cos 3- 解：原式=)3sin(2)sin 3cos cos 3(sin 2)sin 21cos 23(2x x x x x -=-=-πππ 或解：原式=)6cos(2)sin 6sin cos 6(cos 2x x x +=-πππ例6 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求函数)125cos()12cos(x x y +--=ππ的值域 解： )3cos(2)125cos()12cos(x x x y -=+--=πππ∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ∴336πππ≤-≤-x∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-1,21)3cos(x π ∴函数y 的值域是⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡2,22例7 已知135)4sin(=-x π，40π<<x 求)4cos(2cos x x +π的值解：∵135)4sin(=-x π135)4sin()4(2cos =-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x x πππ 即：135)4cos(=+x π∵40π<<x ∴244πππ<+<x从而1312)4(=+x si π而16912013513121351312)4cos()4(cos 2cos =⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=x x x ππ∴1324135169120)4cos(2cos ==+x x π 例8已知0sin 2)2sin(=++ββα 求证tan α=3tan(α+β) 证：由题设：)](sin[2])sin[(βαααβα+-=++即)sin(cos 2)cos(sin 2sin )cos(cos )sin(βααβαααβααβα+-+=+++ ∴)cos(sin cos )sin(3βαααβα+=+ ∴tan α=3tan(α+β) 例9 已知432παβπ<<<，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求sin2α的值 解：∵01312)cos(>=-βα 432παβπ<<< ∴40πβα<-< ∴135)sin(=-βα ∴23πβαπ<+<又53)sin(-=+βα ∴54)cos(-=+βα∴sin2α=)sin()(0)cos()sin()]()sin[(βαβαβαβαβαβα-++-+=-++s c=655613554131253-=⨯-⨯-例10求证：tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°＝1选题意图：考查两角和与差的正切变形公式的应用证明：左端＝︒⋅︒+︒+︒20tan 40tan )40tan 20(tan 33右端==︒︒+︒︒-=︒︒+︒︒-︒=120tan 40tan 40tan 20tan 120tan 40tan )40tan 20tan 1(60tan 33说明：可在△ABC 中证明2tan2tan2tan2tan2tan2tan=++A C C B B A课时对点练一、选择题1．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°·tan 50°＝( )A. 3B.33C ．－33D ．－ 33．若3sin x －3cos x ＝23sin(x －φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝ ( )A ．－π6B.π6C.5π6D ．－5π64．(2010·烟台调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( )A.725B.1625C.1425D.19255．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α的值是 ( )A.2＋33B ．－2＋33C.2－33D.－2＋33二、填空题6．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________． 7．(2010·汕头二模)若0＜α＜π2＜β＜π，且cos β＝－13，sin(α＋β)＝13，则cos α＝________.8．已知α、β为锐角，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则β的值为________．三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分) 9．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值；(2)求sin 2α－cos2α1＋cos 2α的值．10．(2010·湖南卷)已知函数2()sin 22sin f x x x =-(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x 的集合．11．如图在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐 角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已 知A 、B 两点的横坐标分别为210、255. (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的大小．12．(2010·珠海质量检测)已知函数44cos 2cos 21()2cos 2x x f x x--=.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1112π的值；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，求g(x)＝f(x)＋sin 2x 的最大值和最小值．答案1 解析：y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ∴周期为π的奇函数．答案：A2 解析：tan 70°＋tan 50°－3tan 70°·tan 50° ＝tan 120°(1－tan 70°·tan 50°)－3tan 70°·tan 50° ＝－ 3. 答案：D3 解析：23sin(x －φ)＝23(sin xcos φ－cos xsin φ) ＝3sin x －3cos x ，∴cos φ＝32，sin φ＝12. 又φ∈(－π，π)， ∴φ＝π6. 答案：B 4 解析：sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725. 答案：A5 解析：sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α ＝1－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝2＋33.答案：A6 解析：y ＝(2cos 2x －1)＋sin 2x ＋1＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1 ∴y 的最小值为1－ 2. 答案：1－ 27 解析：∵0＜α＜π2＜β＜π，∴π2＜α＋β＜3π2， ∴sin β＝223， cos(α＋β)＝－223， ∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋13×223 ＝49 2. 答案：4298 解析：cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝17×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114＋437×5314＝12. ∴β＝π3. 答案：π39 解：(1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝12. 解得tan α＝－13.(2)sin 2α－cos2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos2α2cos2α ＝tan α－12＝－56.10 解：(1)因为f(x)＝sin 2x －(1－cos 2x) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－1.所以函数f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知，当2x ＋π4＝2k π＋π2， 即x ＝k π＋π8(k ∈Z)时，f(x)取最大值2－1.因此函数f(x)取最大值时x 的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π8，k ∈Z.11、解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cos α＝210，cos β ＝255.因为α为锐角，故sin α>0，从而sin α＝1－cos2α＝7210，同理可得sin β＝55，因此tan α＝7，tan β＝12.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－－12＝－1.又0<α<π2，0<β<π2，故0<α＋2β<3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4.12解：f(x)＝－＋－2cos2xcos 2x＝＋－2cos 2xcos 2x＝2cos 2x ＋1－2＝2cos 2x －1＝cos 2x.(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π12＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫－11π12＝cos 11π6＝cos π6＝32.(2)g(x)＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由0≤x＜π4，故π4≤2x＋π4＜3π4，∴22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1,1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤ 2.即g(x)的最小值是1，最大值是 2.。
新教材高中数学第5章三角恒等变换第4课时二倍角的正弦余弦正切公式pptx课件新人教A版必修第一册
−
π
4
24
π
－1＝－ ，因为x∈ቀ ，
25
2
，因此cos 2x＝－ 1 −
1
2
3
4
7
－
2x＝________．
25
7
2
sin 2＝－ ．]
25
• 回顾本节知识，自主完成以下问题：
• 1．本节学习了哪些二倍角公式？
[提示]
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
1
α＝ sin
2
sin 2
2 tan
2
2
α＝
，cos α－sin α＝cos2α，
＝tan2α．
2 sin
1−tan2
• (3)一般地，sin 2nα＝2·sin 2n-1αcos 2n-1α⇒cos αcos 2αcos 22α…
• cos
sin 2
n-1
2 α＝
．
2 sin
π
4
sin
cos
−
π
+2
2
π
+
4
− ＝cos
π
π
π
∴ ＋x∈ ，
4
4
2
π
4
π
4
的值．
4
＝
2 sin
+
，∴sin
12
24
∴原式＝2× ＝ ．
13
13
5
π
cos 2
＝ ，0<x< ，求
π
13
4
cos
+
高中数学-两角和与差的正弦余弦和正切公式
§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；(2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；(5)公式T (α－β)：tan(α－β)＝；tan α－tan β1＋tan αtan β(6)公式T (α＋β)：tan(α＋β)＝.tan α＋tan β1－tan αtan β2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.a 2＋b 2ba 2＋b 2aa 2＋b 2知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．tan αtan β＝1－＝－1.tan α＋tan βtan (α＋β)tan α－tan βtan (α－β)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任tan α＋tan β1－tan αtan β意角α，β都成立．( × )(4)sin α＋cos α＝sin .( × )3212(α＋π3)教材改编题1．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于( )45(α＋π4)A ．－B.210210C ．－ D.72107210答案 C解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，1－cos2α35∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－×＋×＝－.(α＋π4)π4π43522(－45)2272102．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝ .答案 12解析 原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝.123．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝.1312答案 17解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝＝.12－131＋12×1317题型一 两角和与差的三角函数公式例1 (1)(2022·包头模拟)已知cos α＋cos ＝1，则cos 等于( )(α－π3)(α－π6)A. B.1312C. D.2233答案 D解析 ∵cos α＋cos＝1，(α－π3)∴cos α＋cos α＋sin α＝cos α＋sin α12323232＝3(32cos α＋12sin α)＝cos＝1，3(α－π6)∴cos＝.(α－π6)33(2)化简：①sin x ＋cos x ＝.3答案 2sin(x ＋π3)解析 sin x ＋cos x ＝23(12sin x ＋32cos x)＝2sin.(x ＋π3)②sin ＋cos ＝.24(π4－x )64(π4－x )答案 sin 22(7π12－x )解析 原式＝22[12sin (π4－x )＋32cos (π4－x)]＝sin 22(π4－x ＋π3)＝sin .22(7π12－x)教师备选1．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin ＝1，则sin 等于( )(θ＋π3)(θ＋π6)A. B. C. D.12332322答案 B解析 因为sin θ＋sin(θ＋π3)＝sin ＋sin (θ＋π6－π6)(θ＋π6＋π6)＝sincos －cos sin ＋sin cos ＋cos sin (θ＋π6)π6(θ＋π6)π6(θ＋π6)π6(θ＋π6)π6＝2sincos ＝sin ＝1.(θ＋π6)π63(θ＋π6)所以sin＝.(θ＋π6)332．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )35(π2，π)12A ．－ B. C. D ．－211211112112答案 A解析 ∵α∈，(π2，π)∴cos α＝－，tan α＝－，4534又tan(π－β)＝，12∴tan β＝－，12∴tan(α－β)＝＝＝－.tan α－tan β1＋tan α·tan β－34＋121＋(－34)×(－12)211思维升华 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．跟踪训练1 (1)函数y ＝sin ＋sin 的最小值为( )(2x ＋π4)(2x －π4)A. B ．－22C ．－ D.23答案 C解析 y ＝sin＋sin(2x ＋π4)(2x －π4)＝sin 2x cos ＋cos 2x sin ＋sin 2x cos －cos 2x sin ＝sin 2x .π4π4π4π42∴y 的最小值为－.2(2)已知cos＝cos α，tan β＝，则tan(α＋β)＝.(α＋π6)333答案 －33解析 因为cos＝cos α－sin α＝cos α，所以－sin α＝cos α，故tan α＝－，(α＋π6)3212333所以tan(α＋β)＝＝tan α＋tan β1－tan αtan β－3＋331＋3×33＝＝－.－233233题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用与变形例2 (1)(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法(0，π2)正确的是( )A ．cos(β－α)＝12B ．cos(β－α)＝13C ．β－α＝－π3D ．β－α＝π3答案 AD解析 由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，∴cos(β－α)＝，即选项A 正确，B 错误；12∵γ∈，(0，π2)∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，而α，β∈，(0，π2)∴0<β－α<，π2∴β－α＝，π3即选项D 正确，C 错误．(2)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝，则tan A tan B 的值为( )233A. B.1413C. D.1253答案 B解析 ∵C ＝120°，∴tan C ＝－.3∵A ＋B ＝π－C ，∴tan(A ＋B )＝－tan C .∴tan(A ＋B )＝，3tan A ＋tan B ＝(1－tan A tan B )，3又∵tan A ＋tan B ＝，233∴tan A tan B ＝.13延伸探究 若将本例(2)的条件改为tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则C 等于( )A ．45° B ．135°C ．150° D ．30°答案 A解析 在△ABC 中，因为tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，所以tan(A ＋B )＝＝－1＝－tan C ，tan A ＋tan B1－tan A tan B 所以tan C ＝1，所以C ＝45°.教师备选1．若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .3π4答案 2解析 tan＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，(－3π4)tan α＋tan β1－tan αtan β所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.2．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝.答案 －12解析 ∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，12∴sin(α＋β)＝－.12思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．跟踪训练2 (1)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝(sin 56°－cos 56°)，c ＝22，则a ，b ，c 的大小关系是( )1－tan239°1＋tan239°A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >c >b答案 D解析 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝(sin 56°－cos 56°)22＝sin 56°－cos 56°2222＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan239°1＋tan239°＝1－sin239°cos239°1＋sin239°cos239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x 在x ∈上单调递增，[0，π2]所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .答案 4解析 (1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4.题型三 角的变换问题例3 (1)已知α，β∈，若sin＝，cos ＝，则sin(α－β)的值为( )(π3，5π6)(α＋π6)45(β－5π6)513A. B.16653365C. D.56656365答案 A解析 由题意可得α＋∈，π6(π2，π)β－∈，5π6(－π2，0)所以cos ＝－，(α＋π6)35sin＝－，(β－5π6)1213所以sin(α－β)＝－sin[(α＋π6)－(β－5π6)]＝－×＋×45513(－35)(－1213)＝.1665(2)(2022·青岛模拟)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝，tan α＝.答案 －1 12解析 ∵tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝tan (α＋2β)－tan β1＋tan (α＋2β)tan β＝2－(－3)1＋2×(－3)＝－1.tan α＝tan(α＋β－β)＝＝.－1－(－3)1＋(－1)×(－3)12教师备选(2022·华中师范大学第一附属中学月考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.4355(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解 (1)因为tan α＝，43tan α＝，sin αcos α所以sin α＝cos α.43因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝，925因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－.725(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，55所以sin(α＋β)＝＝，1－cos2(α＋β)255因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝，43所以tan 2α＝＝－，2tan α1－tan2α247因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－.211思维升华 常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－α＋β2α－β2π4π2等．(π4－α)跟踪训练3 (1)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝.551010答案 π4解析 因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.π2π2又sin(α－β)＝－，1010所以cos(α－β)＝.31010又sin α＝，55所以cos α＝，255所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.5531010255(－1010)22所以β＝.π4(2)已知0<α<<β<π，tan α＝，cos(β－α)＝，则sin α＝，cos β＝.π243210答案 －4522解析 因为0<α<，且tan α＝，π243所以sin α＝，cos α＝，4535由0<α<<β<π，π2则0<β－α<π，又因为cos(β－α)＝，210则sin(β－α)＝，7210所以cos β＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α＝×－×＝－.2103572104522课时精练1．(2022·北京模拟)tan 105°等于( )A ．2－ B ．－2－33C.－2 D ．－33答案 B解析 tan 105°＝tan(60°＋45°)＝tan 60°＋tan 45°1－tan 60°·tan 45°＝3＋11－3＝(3＋1)2(1－3)(1＋3)＝＝－2－.4＋23－232．已知点P (x ，2)是角α终边上一点，且cos α＝－，则cos 等于( )213(π6＋α)A ．－B.3＋2263＋226C.D.3－22622－36答案 A解析 因为点P (x ，2)是角α终边上一点，2则有cos α＝＝，xx 2＋(22)2xx 2＋8而cos α＝－，13于是得＝－，解得x ＝－1，xx 2＋813则sin α＝＝，22x 2＋8223因此，cos ＝cos cos α－sin sin α(π6＋α)π6π6＝×－×32(－13)12223＝－，3＋226所以cos ＝－.(π6＋α)3＋2263.等于( )sin 10°1－3tan 10°A ．1 B.14C. D.1232答案 B解析 sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4(12cos 10°－32sin 10°)＝sin 20°4sin (30°－10°)＝.144．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于( )5531010A. B.或3π4π43π4C. D ．2k π＋(k ∈Z )π4π4答案 C解析 由sin α＝，cos β＝，5531010且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝，2551010故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×25531010551010＝，22又0<α＋β<π，故α＋β＝.π45．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( )A ．cos(－15°)＝6－24B ．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0C ．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12D ．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝12答案 BCD解析 对于A ，方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos30°·cos45°＋sin30°sin45°＝×＋×＝.322212226＋24方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝，A 错误．223222126＋24对于B ，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B 正确．对于C ，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝，C 正确．12对于D ，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝，D 正确．126．(多选)已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是( )55513A ．sin 2α＝B ．cos(α－β)＝121319565C ．cos αcos β＝D ．tan αtan β＝8565118答案 AC解析 因为cos(α＋β)＝－，55cos 2α＝－，其中α，β为锐角，513所以sin 2α＝＝，故A 正确；1－cos22α1213因为sin(α＋β)＝，255所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝×＋×＝，(－513)(－55)121325529565故B 错误；cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]12＝＝，12(－55＋29565)8565故C 正确；sin αsin β＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]12＝＝，12[29565－(－55)]21565所以tan αtan β＝，故D 错误．2187．化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝ .答案 sin(α＋γ)解析 sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．8．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin ＝，则cos ＝.(3π4，π)35(β－π4)1213(α＋π4)答案 －5665解析 因为α，β∈，(3π4，π)所以<α＋β<2π，3π2<β－<，π2π43π4因为sin(α＋β)＝－，35sin＝，(β－π4)1213所以cos(α＋β)＝，45cos＝－，(β－π4)513所以cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin (β－π4)(β－π4)＝×＋×45(－513)(－35)1213＝－.56659．已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin ＝，求cos(α＋β)的值．π2(α－β2)19(α2－β)23解 ∵0＜β＜＜α＜π，π2∴－＜－β＜，π4α2π2＜α－＜π，π4β2∴cos ＝＝，(α2－β)1－sin2(α2－β)53sin＝＝，(α－β2)1－cos2(α－β2)459∴cos ＝cosα＋β2[(α－β2)－(α2－β)]＝cos cos ＋sin sin(α－β2)(α2－β)(α－β2)(α2－β)＝×＋×(－19)5345923＝，7527∴cos(α＋β)＝2cos 2－1＝2×－1＝－.α＋β249×572923972910．已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.3513(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解 (1)∵α，β∈，∴－＜α－β＜.(0，π2)π2π2又∵tan(α－β)＝－＜0，13∴－＜α－β＜0.π2∴sin(α－β)＝－.1010(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.31010∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝.3545∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.453101035(－1010)9105011．已知cos ＝2cos(π－α)，则tan 等于( )(π2－α)(π4＋α)A ．－3B.13C ．－D ．313答案 C解析 由cos ＝2cos(π－α)得(π2－α)sin α＝－2cos α，即tan α＝－2，∴tan ＝(π4＋α)tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝＝－.1－21－1×(－2)1312．(多选)下列结论正确的是( )A ．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)B ．3sin x ＋3cos x ＝3sin1555(x ＋π6)C ．f (x )＝sin ＋cos 的最大值为2x2x2D ．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1答案 AD解析 对于A ，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)·sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A 正确；对于B ，3sin x ＋3cos x ＝61555(32sin x ＋12cos x)＝6sin，故B 错误；5(x ＋π6)对于C ，f (x )＝sin ＋cos ＝sin ，x2x22(x 2＋π4)所以f (x )的最大值为，故C 错误；2对于D ，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan(12°＋33°)·(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D 正确．13．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则(－π2，π2)α＋β＝ .答案 －3π4解析 依题意有Error!所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝＝1.－3a 1－(3a ＋1)又Error!所以tan α<0且tan β<0，所以－<α<0且－<β<0，π2π2即－π<α＋β<0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－.3π414．(2022·阜阳模拟)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ．答案 [－1，1]解析 由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，∴－π≤α－β≤π，∴α－β＝，π2∴Error!即≤α≤π，π2∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)(2α－α＋π2)＝cos α＋sin α＝sin .2(α＋π4)∵≤α≤π，π2∴≤α＋≤，3π4π45π4∴－1≤sin≤1，即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1，1]．2(α＋π4)15．(2022·河北五校联考)已知x ，y ∈，sin(x ＋y )＝2sin(x －y )，则x －y 的最大值为( )(0，π2)A. B. C. D.π3π6π4π8答案 B解析 由sin(x ＋y )＝2sin(x －y )得sin x cos y ＋cos x sin y ＝2sin x cos y －2cos x sin y ，则tan x ＝3tan y ，所以tan(x －y )＝tan x －tan y1＋tan x tan y＝＝≤，2tan y1＋3tan2y 21tan y＋3tan y33当且仅当tan y ＝时等号成立，33由于f (x )＝tan x 在x ∈上单调递增，(0，π2)又x ，y ∈，(0，π2)则x －y 的最大值为.π616.如图，在平面直角坐标系Oxy 中，顶点在坐标原点，以x 轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O 分别交于A ，B两点，x 轴的非负半轴与单位圆O 交于点M ，已知S △OAM ＝，点B 的纵坐标是.55210(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解 (1)由题意知，|OA |＝|OM |＝1，因为S △OAM ＝|OA |·|OM |sin α＝，1255所以sin α＝，255又α为锐角，所以cos α＝.55因为点B 是钝角β的终边与单位圆O 的交点，且点B 的纵坐标是，210所以sin β＝，cos β＝－，2107210所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.55(－7210)2552101010(2)因为sin α＝，cos α＝，25555cos(α－β)＝－，1010sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，255(－7210)5521031010所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－，22因为α为锐角，sin α＝>，25522所以α∈，所以2α∈，(π4，π2)(π2，π)又β∈，(π2，π)所以2α－β∈，(－π2，π2)所以2α－β＝－.π4。
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式在三角函数中，我们经常需要计算两个角的和或差的正弦、余弦或正切值。
这些公式被广泛应用于数学、物理、工程等领域的问题求解中。
本文将详细介绍两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
一、两角和与差的正弦公式首先，我们来讨论两个角的和的正弦公式。
设有两个角A和B，那么它们的和角记为(A+B)。
根据三角函数的定义，我们知道正弦的定义为一个角的对边与斜边之比，可以表示为sin(x)=opposite/hypotenuse。
根据这个定义，我们可以得到如下的两角和的正弦公式：sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinB这个公式很重要，可以帮助我们计算两个角的和的正弦值。
在实际应用中，我们经常需要计算两个角的和的正弦，而不是两个角分别的正弦。
所以这个公式非常有用。
接下来，我们来讨论两个角的差的正弦公式。
设有两个角A和B，那么它们的差角记为(A-B)。
根据三角函数的定义，我们可以得到如下的两角差的正弦公式：sin(A-B) = sinA*cosB - cosA*sinB这个公式与两角和的正弦公式类似，也非常有用。
二、两角和与差的余弦公式类似于正弦公式，我们也可以推导出两角和与差的余弦公式。
设有两个角A和B，那么它们的和角记为(A+B)。
根据三角函数的定义，我们知道余弦的定义为一个角的邻边与斜边之比，可以表示为cos(x)=adjacent/hypotenuse。
根据这个定义，我们可以得到如下的两角和的余弦公式：cos(A+B) = cosA*cosB - sinA*sinB同样地，我们也可以得到两角差的余弦公式：cos(A-B) = cosA*cosB + sinA*sinB这两个公式和两角和与差的正弦公式一样重要，经常被应用于实际问题中。
三、两角和与差的正切公式最后，我们来讨论两角和与差的正切公式。
设有两个角A和B，那么它们的和角记为(A+B)。
根据三角函数的定义，我们知道正切的定义为一个角的对边与邻边之比，可以表示为tan(x)=opposite/adjacent。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
即 tan(α－β)＝________，这就是两角差的正切公式．
练习 5：1t＋an4ta5n°4－5°ttaann1155°°＝________________.
tan α－tan β 1＋tan αtan β
练习：5.
3 3
思考应用
3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特 征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 kπ＋π2(k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进 行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋π2；同除 cos α、cos β， 得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋π2，cos β≠kπ＋π2.cos x≠0， 保证了 tan x 有意义．
∵cos(α－β)＝1134，∴sin(α－β)＝3143， 由 β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝7×4914＝12， ∵0<β<π2，所以 β＝π3.
点评： 解答此类问题分三步：第一步，求角的某 一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三 步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的 某一个三角函数值，是取正弦？还是取余弦？应先缩 小所求角的取值范围，最好把角的范围缩小在某一三 角函数值的一个单调区间内．
sin αcos β＋cos αsin β
以－β 代替公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
中的 β，得到 sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋
cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合运用
= sin 180 17 sin 180 43 sin 180 73 sin 360 47 = sin17 - sin 43 43 - sin 73 - sin 47
= sin 73 cos 43- cos 73 sin 43 = sin 73 43 = sin 30 1 = 2
2 5 3 10 5 10 = 5 10 5 10 2 = 2 又由已知可得 (0, ), 4
二、典型例题剖析
5 10 例3.已知 sin ,sin ,且 , 0, , 5 10 2 求角 的大小.
5 10 变式:在ABC ,已知 sin A ,sin B ,求角C . 5 10 分析 : 由cos C cos ( A B ) cos( A B )
二、典型例题剖析
5 10 例3.已知 sin ,sin ,且 , 0, , 5 10 2 求角 的大小.
5 10 解： sin ,sin , 且， （0， ） 分析:对于求角的问题可考虑先求该角的某一三角 5 10 2 . 函数值;由已知条件可求该角的正弦或余弦值 2 5 3 10 2 2 cos = 1 sin ,cos = 1 sin 5 10 cos( ) cos cos sin sin
三 角 计 算 及 其 12.2.3 两角和与差的正弦、余弦、 应 正切的综合应用 用
一、基础知识回顾
请同学们回顾前面学习的基本公式: 两角和的余弦公式: cos( ) cos cos sin sin
两角差的余弦公式: cos( ) cos cos sin sin 两角和的正弦公式: sin( ) sin cos cos sin 两角差的正弦公式: sin( ) sin cos cos sin 两角和与差的正切公式: tan tan ( , , k , k Z ) tan( ) 2 1 tan tan tan tan ( , , k , k Z ) tan( ) 2 1 tan tan
新教材高中数学5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第4课时)教师用书新人教A版必修第一册
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式问题导学预习教材P220－P223，并思考以下问题：1．在公式C (α＋β)，S (α＋β)和T (α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？ 2．在上述公式中，若α＝β，能得出什么结论？二倍角的正弦、余弦、正切公式正确理解二倍角公式(1)要注意公式应用的前提是所含各三角函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如4α是2α的2倍，α是α2的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)10α是5α的倍角，5α是5α2的倍角．( )(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (4)对于任意角α，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( )A.75 B.125 C.1225D.2425答案：D计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33D.32答案：B已知tan α＝43，则tan 2α＝________．答案：－247已知sin α＋cos α＝13，则sin 2α＝________．答案：－89给角求值求下列各式的值． (1)sin π8cos π8；(2)cos2π6－sin 2π6；(3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)cos π5cos 2π5.【解】 (1)sin π8cos π8＝12×2sin π8cos π8＝12×sin π4＝12×22＝24.(2)cos2π6－sin 2π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＝cos π3＝12.(3)原式＝tan (2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos2π52sinπ5＝sin 4π54sin π5 ＝sinπ54sinπ5＝14.给角求值问题的两类解法(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．1．cos 4 π12－sin 4 π12等于( )A ．－12B ．－32C.12D.32解析：选D.原式＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2 π12－sin 2 π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2 π12＋sin 2 π12＝cos π6＝32.2．求下列各式的值． (1)tan 30°1－tan 230°； (2)1sin 10°－3cos 10°. 解：(1)tan 30°1－tan 230°＝12×2tan 30°1－tan 230° ＝12tan 60°＝32. (2)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°＝4sin （30°－10°）sin（2×10°）＝4sin 20°sin 20°＝4.给值求值已知π2<α<π，sin α＝45.(1)求tan 2α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4的值．【解】 (1)由题意得cos α＝－35，所以tan α＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－831－169＝247.(2)因为sin α＝45，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725，sin 2α＝2sin α·cos α＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＝cos 2α·cos π4＋sin 2α·sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－725×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425×22＝－31250.三角函数求值问题的一般思路(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)注意几种公式的灵活应用，如：①sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；②cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .1．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A.724 B ．－724C.247D ．－247解析：选D.由cos x ＝45，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， 得sin x ＝－35，所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247，故选D.2．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A.118 B ．－118C.1718D ．－1718解析：选D.cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，代入原式，得6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－1718.化简与证明(1)化简2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α；(2)证明tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2tan 2α. 【解】 (1)原式＝cos 2α2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4－α＝cos 2α2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－2α＝cos 2αcos 2α＝1.(2)证明：法一：左边＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin 2α12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2sin 2αcos 2α＝2tan 2α＝右边． 所以等式成立．法二：左边＝1＋tan α1－tan α－1－tan α1＋tan α＝4tan α1－tan 2α＝2tan 2α＝右边．故原式成立．三角函数式的化简与证明(1)化简的方法①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.(2)证明三角恒等式的方法①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．1．若α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝________．解析：因为α为第三象限角，所以cos α＜0，sin α＜0，所以1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝2cos 2αcos α－2sin 2αsin α＝－2cos αcos α－－2sin αsin α＝0.答案：02．求证：4sin αcos α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan 2α. 证明：左边＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α＝右边．1．已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( ) A ．2 B ．－2 C.34D ．－34解析：选D.因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34.2．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________．解析：因为sin θ2＋cos θ2＝233，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22＝43， 即1＋2sin θ2cos θ2＝43，所以sin θ＝13，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.答案：13 793.⎝⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12的值为________． 解析：原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.答案：324．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin 2α，cos 2α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解：(1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35.(2)由(1)知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.[A 基础达标]1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x 的值为( ) A.1925 B.1625 C.1425D.725解析：选D.因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝725.2．已知sin α＝55，则cos 4α－sin 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C.15D.35解析：选 D.cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)·(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝1－2sin 2α＝1－25＝35.3．设－3π<α<－5π2，化简1－cos （α－π）2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2解析：选 C.因为－3π<α<－5π2，－3π2<α2<－5π4，所以1－cos （α－π）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13，则sin(－3π＋2α)＝( ) A.79 B ．－79C.35D ．－35解析：选A.易得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝ 2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132－1＝－79.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin 2α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝79.故选A.5．化简tan 14°1－tan 214°·cos 28°的结果为( ) A.sin 28°2B ．sin 28°C ．2sin 28°D ．sin 14°cos 28°解析：选A.tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12tan 28°·cos 28°＝sin 28°2，故选A. 6．已知sin α－2cos α＝0，则tan 2α＝________．解析：由sin α－2cos α＝0，得tan α＝sin αcos α＝2， tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×21－22＝－43. 答案：－437．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________． 解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 答案：－568.1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________． 解析：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1. 答案：19．已知sin 2α＝513，π4<α<π2，求sin 4α，cos 4α的值． 解：由π4<α<π2，得π2<2α<π. 因为sin 2α＝513， 所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213. 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－120169； cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝119169.10．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1的值． 解：原式＝22（sin α＋cos α）2sin αcos α＋2cos 2α＝2（sin α＋cos α）4cos α（sin α＋cos α）. 因为α为第二象限角，且sin α＝154， 所以sin α＋cos α≠0，cos α＝－14， 所以原式＝24cos α＝－ 2. [B 能力提升]11．已知tan x ＝2，则tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4等于( ) A.43B ．－43 C.34 D ．－34解析：选C.tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x＝－1－tan 2x 2tan x ＝4－12×2＝34. 12．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________． 解析：1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝2 2 ⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)，所以sin 2θ＝－12，所以sin θ＋cos θ<0， 所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π， 所以cos 2θ＝32，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin 2θ·cos π3＋sin π3cos 2θ＝12. 答案：1213．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos(2α＋π4)的值． 解：因为π2≤α＜3π2， 所以3π4≤α＋π4＜7π4. 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4>0，所以3π2<α＋π4<7π4. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45. 所以cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2 ＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725. 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－725＝－31250.14．已知sin x 2－2cos x 2＝0. (1)求tan x 的值；(2)求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin （π＋x ）的值． 解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0， 知cos x 2≠0，所以tan x 2＝2， 所以tan x ＝2tan x 21－tan 2 x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)知tan x ＝－43， 所以cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin （π＋x ） ＝cos 2x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x （－sin x ） ＝cos 2x －sin 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x sin x＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）22（cos x －sin x ）sin x ＝2×cos x ＋sin x sin x＝2×1＋tan x tan x ＝24. [C 拓展探究]15．如图所示，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿由点B 到点E 的方向前进30 m 至点C ，测得顶端A 的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 3 m 到点D ，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．解：因为∠ACD ＝θ＋∠BAC ＝2θ，所以∠BAC ＝θ，所以AC ＝BC ＝30 m .又∠ADE ＝2θ＋∠CAD ＝4θ，所以∠CAD ＝2θ，所以AD ＝CD ＝10 3 m.所以在Rt △ADE 中，AE ＝AD ·sin 4θ＝103sin 4θ(m)， 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin 2θ＝30sin 2θ(m )，所以103sin 4θ＝30sin 2θ，即203sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，所以cos 2θ＝32， 又2θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2θ＝π6， 所以θ＝π12， 所以AE ＝30sin π6＝15(m)， 所以θ＝π12，建筑物AE 的高为15 m.。
两角和差的正弦余弦正切公式
两角和差的正弦余弦正切公式两角和差的正弦、余弦、正切公式是解决三角函数的运算中的常用工具。
它们可以通过已知两个角的三角函数值来求解它们的和或差的三角函数值。
这些公式在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
下面将详细介绍这些公式，以及它们的推导和应用。
1.两角和差的正弦公式sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)其中A和B为任意两个角。
为了推导这个公式，我们可以使用三角函数的和差角公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)通过观察可以发现，两角和差的正弦公式可以通过将cos(A ± B)公式正负号变化得到。
2.两角和差的余弦公式cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)其中A和B为任意两个角。
可以看到，这个公式可以通过将sin(A ± B)的公式正负号变化得到。
3.两角和差的正切公式tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B))/(1 ∓ tan(A)tan(B))其中A和B为任意两个角。
这个公式可以通过两角和差的正弦公式和余弦公式相除得到。
使用公式sin(A)/cos(A) = tan(A)和cos(A)cos(B) -sin(A)sin(B)=cos(A+B)得到。
这些公式在解决三角函数运算中有着广泛的应用。
例如，我们可以将它们用于证明或求解三角恒等式。
以下是一些常见的应用示例：1.求两个特定角的正弦、余弦或正切值的和或差的问题。
例如，已知sin(A) = 0.6，cos(B) = 0.8，求sin(A+B)的值。
根据两角和差的正弦公式，我们可以有：sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)= 0.6*0.8 + cos(A)*sin(B)如果我们已经知道了cos(A)和sin(B)的值，就可以计算出sin(A+B)的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第4课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用
班级__________姓名__________学号____________
一、选择题：
1.在ABC ∆中，tan tan 1A B >，则ABC ∆是
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
2.有四个等式： ①sin()sin sin αβαβ+=+；②cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+ ③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
--=-；④cos sin 2sin()4πααα+=+； 其中成立的个数是 A.0
B.1
C.2
D.3 3.若3sin 3cos 23sin()x x x ϕ-=+，[,)ϕππ∈-，则ϕ等于 A.6π
- B.6π C.56π D.56
π- 4.已知sin sin 1αβ⋅=，那么cos()αβ+的值为
A.1-
B.0
C.1
D.1±
5.在ABC ∆中，已知sin()cos A B B -+cos()sin 1A B B -≥，则它是
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰非直角三角形 6.若,αβ为两个锐角，则
A.cos()cos cos αβαβ+>+
B.cos()cos cos αβαβ+<+
C.cos()sin sin αβαβ+>+
D.cos()sin sin αβαβ+<+ 7.已知34παβ+=
，则(1tan )(1tan )αβ--的值等于 A.2
B.2-
C.1-
D.1 8.已知sin14cos14a =+ ，62c =
，sin16cos16b =+ ，则 A.a b c << B.a c b <<
C.b c a <<
D.b a c << 9.,αβ均为锐角，且1sin sin 2αβ-=-，1cos cos 2αβ-=，则tan()αβ-= A.73 B.73- C.73± D.377
- 10.已知,A B 是ABC ∆的内角，且(1tan )(1tan )2A B ++=，则A B += A.4
π B.34π C.54π D.()4k k Z ππ+∈
二、填空题：
11.cos 43cos77sin 43cos167+= ____________.
12.1tan 66tan 69tan 66tan 69++-= _____________.
13.已知3,(,)4παβπ∈，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，则cos()4
πα+=__________. 14.函数cos cos()3
y x x π=++的最大值是_____________. 15.已知tan t α=，1tan t β=，6
παβ-=，则正实数t =____________. 16.函数sin23cos2y k x k x ππ=+的最小正周期是1T =，则实数k =_________.
17.已知,,A B C 皆为锐角，且tan 1A =，tan 2,tan 3B C ==,则A B C ++=_____________.
三、解答题:
18.已知1tan()2πα+=-，求：2cos (sin cos )1tan αααα
-+的值.
19.在ABC ∆中，已知：tan tan 3tan tan 3B C B C ++=,且3tan 3tan tan A B A +=⋅ t a n
1B -，试判断ABC ∆的形状.
20.已知,αβ为锐角，
24
sin()
25
αβ
+=，
4
cos
5
α=，且cos sin
αβ
>，求sinβ.
21.已知
21
sin,cos,,
34
αβαβ
==-为相邻象限的角，求sin()
αβ
+与sin()
αβ
-的值.
22.若tan 3,tan 3x x αβ-==，且6παβ-=
，求x 的值.。