两角和差正余弦公式的证明
三角函数两角和差公式证明过程
三角函数两角和差公式证明过程一、两角和的余弦公式cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B的证明。
1. 利用单位圆证明（几何法）- 在单位圆x^2+y^2 = 1上，设角A、B的终边分别与单位圆交于点P_1(cos A,sin A)和P_2(cos B,sin B)。
- 则→OP_1=(cos A,sin A)，→OP_2=(cos B,sin B)。
- 角A + B的终边与单位圆交于点P。
- 根据向量的数量积定义，→OP_1·→OP_2=|→OP_1||→OP_2|cos(A - B)，因为|→OP_1|=|→OP_2| = 1，所以→OP_1·→OP_2=cos(A - B)。
- 又因为→OP_1·→OP_2=cos Acos B+sin Asin B，所以cos(A - B)=cos AcosB+sin Asin B。
- 令B=-B，则cos(A + B)=cos Acos(-B)+sin Asin(-B)。
- 由于cos(-B)=cos B，sin(-B)=-sin B，所以cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B。
2. 利用复数证明（代数法）- 设z_1=cos A + isin A，z_2=cos B + isin B。
- 根据复数乘法法则z_1z_2=(cos A + isin A)(cos B + isin B)- 展开得z_1z_2=cos Acos B-sin Asin B+i(sin Acos B+cos Asin B)。
- 另一方面，根据复数的三角形式乘法z_1z_2=cos(A + B)+isin(A + B)。
- 比较实部可得cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B。
二、两角和的正弦公式sin(A + B)=sin Acos B+cos Asin B的证明。
1. 利用两角和的余弦公式推导。
两角和与差的余弦公式的五种推导方式之对照
两角和与差的余弦公式的五种推导方式之对照第一种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp其中，adj表示邻边的长度，hyp表示斜边的长度。
现在考虑两个角度的和，即θ1+θ2、根据余弦函数的定义，我们可以得到：cos(θ1 + θ2) = adj1/hyp1现在我们将θ1和θ2分别表示为它们的余弦函数：cosθ1 = adj1/hyp1cosθ2 = adj2/hyp2将这两个式子相加，得到：cosθ1 + cosθ2 = (adj1 + adj2) / (hyp1 + hyp2)这就是两角和的余弦公式。
第二种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp我们还知道余弦函数的复合角公式，即：cos(θ1 + θ2) = cosθ1⋅cosθ2 - sinθ1⋅sinθ2现在我们将θ1和θ2表示为它们的余弦函数和正弦函数：cosθ1 = adj1/hyp1cosθ2 = adj2/hyp2sinθ1 = opp1/hyp1sinθ2 = opp2/hyp2将这些式子代入复合角公式中，得到：cos(θ1 + θ2) = (adj1/hyp1)⋅(adj2/hyp2) -(opp1/hyp1)⋅(opp2/hyp2)= (adj1⋅adj2 - opp1⋅opp2) / (hyp1⋅hyp2)这就是第二种推导方式。
第三种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp我们还知道正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1，即：sin²θ + cos²θ = 1现在我们考虑θ1和θ2的和，即(θ1+θ2)。
我们可以得到：cos(θ1 + θ2) = adj1+2/hyp1+2现在我们将θ1+2表示为(θ1+θ2)的余弦函数和正弦函数：cos(θ1 + θ2) = adj1+2/hyp1+2= (adj1⋅cosθ2 - opp1⋅sinθ2) / (hyp1⋅cosθ2 + hyp2⋅sinθ2) = (adj1⋅adj2 - opp1⋅opp2) / (hyp1⋅ hyp2)这就是第三种推导方式。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(基础知识+基本题型)(含解析)
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（基础知识+基本题型）知识点一、两角差的余弦公式 如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ，则)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==OB OA . 由向量数量积的定义，有)cos()cos(||||βαβα-=-=⋅OB OA OB OA ，由向量数量积的坐标表示，得βαβαsin sin cos cos +=⋅OB OA . 于是有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-. 由以上的推导过程可知，βα,是任意角，则)(βα-也应为任意角，即对于任意角βα,有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，此公式称为差角的余弦公式，简记为)(βα-C【提示】（1）适用条件：公式中的βα,都是任意角，可以为常量，也可以为变角（2）公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反 【拓展】（1）逆用：)cos(sin sin cos cos βαβαβα-=+（2）角变换后使用：ββαββαββααsin )sin(cos )cos(])cos[(cos +++=-+= （3）移项使用：βαβαβαsin sin )cos(cos cos --=；βαβαβαcos cos )cos(sin sin --=（4）特殊化使用导出诱导公式：ααπαπαπsin sin 2sincos 2cos)2cos(=+=-知识点二 两角和的余弦公式 运用)(βα-C 和诱导公式，有)](cos[)cos(βαβα--=+ )sin(sin )cos(cos βαβα-+-= βαβαsin sin cos cos -=，即βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+此公式就是两角和的余弦公式，简记作)(βα+C 提示：（1）公式中的βα,都是任意角（2）两角和与差的余弦公式右边函数名的排列顺序为：余⋅余 正⋅正，左右两边加减运算符号相反 （3）一般情况下，两角和的余弦公式不能按分配律展开，即βαβαcos cos )cos(+≠+ 【拓展】要学会顺用（从左至右，即展开）、逆用（从右至左，即化简）、变用（移项变形）公式()C αβ± （1）顺用公式()C αβ±，如：()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβααβααβααβ+=++=+-+⎡⎤⎣⎦；()cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβαβ+=-，()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ=+-=+++⎡⎤⎣⎦（2）逆用公式()C αβ±，如：()()()()cos cos sin sin αβαβαβαβ+--+- ()()cos cos 2αβαβα=++-=⎡⎤⎣⎦（3）变用公式()C αβ±，如：()cos sin sin cos cos αβαβαβ++=； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ--=知识点三 两角和与差的正弦公式 运用()C αβ-和诱导公式，有()()sin cos cos 22ππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+=-+=-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin sin cos cos sin 22ππαβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+.这就是两角和的正弦公式，简记作sin cos cos sin αβαβ+()S αβ+. 在公式()S αβ+中，用β-代替β，可得()()()sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβ+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦，即()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-. 这就是两角差的正弦公式，简记作()S αβ-. 【提示】（1）公式中的,αβ均为任意角.（2）两角和与差的正弦公式右边函数名的排列顺序为：正余±余正，左右两边加减运算符号相同. （3）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即()sin sin sin αβαβ±=±.知识点四 两角和与差的正切公式 ()()()sin sin cos cos sin tan tan tan cos cos cos sin sin 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ++++===+--， 即()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-.这就是两角和的正切公式，简记作()T αβ+. 以β-代替上式中β，可得 ()()()tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβ+--+-==⎡⎤⎣⎦--+，即()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+.这就是两角差的正切公式，简记作()T αβ-. （1）适用条件：公式()T αβ±只有在(),,Z 222k k k k πππαπβπαβπ≠+≠+±≠+∈时才成立，否则不成立，这是由正切函数的定义域决定的.（2）特殊情况：当tan α或tan β或()tan αβ±的值不存在时，不能使用()T αβ±处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法.例如，化简tan 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为tan 2π的值不存在，不能利用公式()T αβ-，所以改用诱导公式来解.sin cos 2tan 2sin cos 2πβπββπββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭. （3）公式()T αβ-也可以这样推导： ()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ---==-+若cos cos 0αβ≠，则将上式得分子、分母都除以cos cos αβ，得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+.【拓展】（1）正切公式的逆用： ()()()tan tan tan tan 1tan tan αβααβαβαβα+-=+-=⎡⎤⎣⎦++；tantan 1tan 4tan 1tan 41tan tan 4πααπαπαα++⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭-（2）正切公式的变形应用：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-； ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+； ()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-=+；()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+=-知识点五 辅助角公式辅助角公式：()sin cos tan b a x b x x a ϕϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭推导过程：sin cos a x b x x x ⎫+=+⎪⎭令cos ϕϕ==，)sin cos sin cos cos sin a x b x x x ϕϕ++()x ϕ+其中角ϕ所在象限由,a b 的符号确定，角ϕ的值由tan ba ϕ=确定或由cos ϕϕ==共同确定【提示】 （1）关于形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）的式子，引入辅助角可以变形为()sin A x ϕ+的形式，有时也变形为()cos A x ϕ+的形式（2）辅助角公式能将异名三角函数式转化为同名三角函数式，它本身就是一个化简得过程，化简后，可轻松地求出函数的周期、最值、单调区间等考点一 三角函数式的化简 【例1】 化简下列各式 （1）sin 7cos15sin8cos7sin15sin8︒+︒︒︒-︒︒；（2）()2sin50sin101⎡⎤︒+︒︒⎣⎦；（3）()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦ 解：（1）原式()()sin 158cos15sin8sin15cos8cos15sin8cos15sin8tan15cos 158sin15sin8cos15cos8sin15sin8sin15sin8︒-︒+︒︒︒︒-︒︒+︒︒==︒︒-︒-︒︒︒︒+︒︒-︒︒()1tan 45tan 30tan 45301tan 45tan 30︒-︒=︒-︒==+︒︒2=-（2）原式2sin 50sin10⎛=︒+︒ ⎝⎭2sin 50cos102sin10cos50cos10︒︒+︒︒⎡⎤=︒⎢⎥︒⎣⎦)sin 50cos10sin10cos50=︒︒+︒︒()5010=︒+︒== （3）原式()()()1sin cos sin sin 2αβαααβαβα=+-++-+-⎡⎤⎣⎦ ()()1sin cos 2sin cos 2αβαααβ=+-+⎡⎤⎣⎦ ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+ ()sin sin αβαβ=+-= 化简三角函数式的标准和要求： （1）能求出值得应求出值；（2）使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少； （3）使三角函数式的次数尽可能低； （4）使分母中尽量不含三角函数式和根式 考点二 三角函数的求值 【例2.】.（1）求sin105︒的值；（2）已知3sin 5θ=-，且θ是第三象限角，求cos 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（3）已知1tan ,tan 20,322ππαβαβπ⎛⎫==-<<<< ⎪⎝⎭，求()tan αβ-及αβ+的值解：（1）()sin105sin 6045︒=︒+︒sin 60cos45cos60sin 45=︒︒+︒︒ （2）因为3sin 5θ=-，且θ是第三象限角，所以4cos 5θ=-所以413cos cos cos sin sin 666525πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）因为1tan ,tan 23αβ==-，所以()12tan tan 3tan 721tan tan 13αβαβαβ+--===+- ()12tan tan 3tan 121tan tan 13αβαβαβ-++===--+ 因为0,,22ππαβπ<<<<所以 322ππαβ<+<所以34παβ+=三角函数的求值问题主要包括三类：给角求值、给值求值、给值求角 （1）给角求值的求解策略求解的关键是能将所求角转化为特殊角，并注意公式的选用 （2）给值求值的求解策略已知角,αβ的某种三角函数值，求αβ±的余弦、正弦或正切的方法；先根据平方关系求出,αβ的另一种三角函数值，求解过程中应注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，再根据求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的正弦、余弦、正切公式中，求出和角或差角的正弦、余弦、正切（3）给值求角的方法解答这类题目的步骤：①求出角的某一个三角函数值；②确定角所在的范围；③求角 考点三 三角恒等式的证明 【例3】求证：()()sin 2sin 2cos .sin sin αββαβαα+-+=证明：因为sin 0α≠，()()sin 22cos sin αβαβα+-+()()=sin 2cos sin αβααβα++-+⎡⎤⎣⎦()()()sin cos cos sin 2cos sin αβααβααβα=+++-+ ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+()sin αβα=+-⎡⎤⎣⎦ sin β=，所以()()sin 2sin 2cos sin sin αββαβαα+-+=.证明三角恒等式常用以下方法：（1）从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等.在证明的过程中，应时刻“盯”住目标，分析其特征，向着目标“奔”去；（2）从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子； （3）作差法，证明左边-右边=0. 考点四 辅助角公式的应用【例4】 将下列各式化成()sin A x ϕ+的形式：（1cos x x -；（2）.4444x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：（1）12cos 2x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭原式2cos sin sin cos 66x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin .6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）1sin cos 22424x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦原式sin sin cos cos 26464x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 246212x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2212x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭5sin .212x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 通过引入辅助角ϕ，可以将sin cos a x b x +这种形式的三角函数式化为一个角的一种三角函数的形式.这种变形方法可解决sin cos a x b x +的许多问题，如值域、最值、周期、单调区间等.另外，（2）在解法上充分体现了角的变换和整体思想.。
两角和与差的正弦余弦和正切公式推导过程
两角和与差的正弦余弦和正切公式推导过程首先，我们假设有两个角α和β，它们的和为α+β，差为α-β。
我们将利用这两个和与差来推导公式。
1.两角和的正弦公式的推导：首先，根据三角恒等式sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ，我们可以将α+β的正弦表示为两个正弦的和的形式。
然后，利用三角恒等式可以写出cos(-β)=cosβ，sin(-β)= -sinβ，我们可以将α+(-β)的正弦再次表示为两个正弦的和的形式。
即，sin(α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ = sinαcos(-β) + cosαsin(-β)。
这样，我们可以得到：sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ = sinαcos(-β) +cosαsin(-β)。
2.两角和的余弦公式的推导：首先，根据三角恒等式cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ，我们可以将α+β的余弦表示为两个余弦的和的形式。
然后，利用三角恒等式可以写出cos(-β)=cosβ，sin(-β)= -sinβ，我们可以将α+(-β)的余弦再次表示为两个余弦的和的形式。
即，cos(α+β) = cosαcosβ- sinαsinβ = cosαcos(-β) - sinαsin(-β)。
这样，我们可以得到：cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ = cosαcos(-β) -sinαsin(-β)。
3.两角差的正弦公式的推导：首先，根据三角恒等式sin(α-β) = sinαcos(-β) - cosαsin(-β)，我们可以将α-β的正弦表示为两个正弦的差的形式。
然后，利用三角恒等式可以写出cos(-β)=cosβ，sin(-β)= -sinβ，我们可以将α-(-β)的正弦再次表示为两个正弦的差的形式。
即，sin(α-β) = sinαcos(-β) - cosαsin(-β) = sinαcosβ + cosαsinβ。
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式属于高中数学的重要内容，主要通过利用三角函数的性质，研究两个角的和与差的三角函数值之间的关系。
在解决三角方程、证明恒等式等问题时，这些公式的应用非常广泛。
本文将从公式的定义、推导及应用方面进行详细解析。
一、两角和的三角函数公式1.余弦和公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
我们知道，其对应的三条直角边分别是x、x'、x"和y、y'、y"，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个内角之和应该等于180°，即有：∠POR+∠POQ+∠QOR=180°∠A+∠B+∠(A+B)=180°2A+B=180°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：cos(A+B) = x" = x'x - y'y = cosAcosB - sinAsinB2.正弦和公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
同样，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个边长之和应该等于2，即有：PR+PQ+QR=2∠POR+∠POQ+∠QOR=360°∠A+∠B+∠(A+B)=360°2A+B=360°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：sin(A+B) = y" = xy' + yx' = sinAcosB + cosAsinB二、两角差的三角函数公式1.余弦差公式：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A-B。
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
＝ × ＋ × ＝ ＝ .∵0<β< ，所以β＝ .
变式3．(1)已知tanα＝2，tanβ＝3，且α，β都是锐角，求α＋β；
(2)已知α，β均为锐角，sinα＝ ，cosβ＝ ，求α－β.
解析：(1)tan ＝ ＝ ＝－1.
∵α，β都是锐角，∴0<α＋β<π，由上式知α＋β＝ .
课堂练习：
练习1：cos(450+300)=
练习2：cos200cos700-sin200sin700=
练习3： 练习4：
1．下列式子中，正确的个数为()
①sin ＝sinα－sinβ；②cos ＝cosα－cosβ；
③sin ＝sinαcosβ－cosαsinβ；④cos ＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
解析：(1)原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin ＝sin 30°＝ .
(2)原式＝sinxcos ＋cosxsin ＋2sinxcos －2cosxsin － cos cosx－ sin sinx＝3sinxcos －cosxsin － cos cosx－ sin sinx＝ sinx－ cosx
＝－ × ＋ × ＝－ ，故得－sin ＝－ ，即sin ＝ .
变式2．化简求值：
(1)sin 75°；(2)sin 15°；
(3)若α，β均为锐角，sinα＝ ，sin(α＋β)＝ ，求cosβ.
解析：(1)原式＝sin ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝ × ＋ × ＝ .
课题
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1．注意到 ，由公式C(α+β).，可以推出：
5.5.1两角和差的正弦余弦公式第一课时课件(人教版)
- =-
-()
=-.
因为 tan β=- ,β∈(0,π),所以β∈(,π)且 sin β=- cos β.
2
2
由 sin β+cos β=1 知 sin β=,cos β=-.
所以 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=(-)×(-)+×=.
sin cos cos sin
sin cos cos sin .
故两角差的余弦公式为：
sin sin cos cos sin
简记为: S( )
3、两角和与差的正弦、余弦角公式：
sin sin cos cos sin
13
13
13
所以 cos( ) cos cos sin sin
3
5
4
12
33
( ) ( ) ( ) .
5
13
5
13
65
思考：由 cos( ) cos cos sin sin 如何
求: cos( ) ?
分析：注意到 （ ）
所以 cos α=- - =- ,sin β= - = ,
所以 tan α=
=- ,tan β=
=- ,所以 tan(α-β)=
-
+
= .
[例 2] 已知 0<α<β<π,且 cos(α-β)=,tan β=,求 tan α的值.
两角及差正余弦公式的证明
两角及差正余弦公式的证明两角和差正余弦公式的证明：我们知道，任意角的正弦、余弦等三角函数都可以通过单位圆的定义得到。
所以，为了证明两角和差正余弦公式，我们先来考察它们在单位圆上的几何意义。
一、两角和公式的几何意义：设在单位圆上有点A和点B，OA和OB分别为半径。
假设点A对应的角为θ1，点B对应的角为θ2，那么点P是单位圆上点A和点B对应的角的和，即θ1+θ2、我们要研究的是点P的坐标。
首先，我们可以将圆心O作为直角坐标系的原点，点A和点B所在的直线即为直角坐标系的x轴。
我们知道，点A和点B的坐标分别可以表示为：A(x1, y1) = (cosθ1, sinθ1)B(x2, y2) = (cosθ2, sinθ2)点P的坐标为(x, y) = (cos(θ1 + θ2), sin(θ1 + θ2))。
我们需要推导出点P的坐标。
为此，我们利用三角恒等式：cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβsin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ我们令α=θ1，β=θ2，代入上面的恒等式，得到：cos(θ1 + θ2) = cosθ1cosθ2 - sinθ1sinθ2sin(θ1 + θ2) = sinθ1cosθ2 + cosθ1sinθ2即点P的坐标为：P(x, y) = (cosθ1cosθ2 - sinθ1sinθ2, sinθ1cosθ2 +cosθ1sinθ2)可以看出，点P的坐标与三角函数的和公式是完全对应的。
这就证明了两角和公式的几何意义，也就是说，两个角的正余弦的和等于一个新角的正余弦。
二、两角差公式的几何意义：在上面的单位圆中，点A和点B表示的角分别为θ1和θ2，设点Q 为点A和点B对应的角的差，即θ1-θ2、我们要研究的是点Q的坐标。
同样地，我们可以得到点Q的坐标为(x, y) = (cos(θ1 - θ2), sin(θ1 - θ2))。
仿照上面的方法，我们利用三角恒等式：cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβsin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ令α=θ1，β=θ2，代入上面的恒等式，得到：cos(θ1 - θ2) = cosθ1cosθ2 + sinθ1sinθ2sin(θ1 - θ2) = sinθ1cosθ2 - cosθ1sinθ2即点Q的坐标为：Q(x, y) = (cosθ1cosθ2 + sinθ1sinθ2, sinθ1cosθ2 -cosθ1sinθ2)可以看出，点Q的坐标与三角函数的差公式是完全对应的。
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两角和差正余弦公式的证明
两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。
下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。
由角, 的三角函数值表示的正弦或余弦值, 这正是两角和差的正余弦公式的功能。
换言之, 要推导两角和差的正余弦公式, 就是希望能得到一个等式或方程,
将或与,
的三角函数联系起来。
根据诱导公式, 由角的三角函数可以得到的三角函数。
因此, 由和角公式容易得到对应的差
角公式, 也可以由差角公式得到对应的和角公式。
又因为
, 即原角的余弦等于其余角的正弦, 据此, 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。
因此, 只要解决这组公式中的一个, 其余的公式将很容易得到。
(一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式
注意到单位圆比较容易表示, 和, 而且角的终边与单位圆的交点坐标可
与,
的三角以用三角函数值表示, 因此, 我们可以用单位圆来构造联系
函数值的等式。
1. 和角余弦公式
使, 和, 并作角, 中作单位圆在直角坐标系, 如图所示1) 方法(
于点A, 终边交于点B；角始边为, 终边交的始边为角, 交
于点。
从而点始边为A, B, 终边交, C和于点C；角D的坐标分别为
,。
,
,
由两点间距离公式得
；。
注意到, 因此。
注记：这是教材上给出的经典证法。
它借助单位圆的框架, 利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。
注意, 公式中的和为任意角。
2. 差角余弦公式
仍然在单位圆的框架下, 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。
这就是
(方法2) 如图所示, 在坐标系中作单位圆, 并作角和, 使角和
终边交于点。
, , , 的始边均为交于点C角终边交于点A角从而。
的坐标为B, A点,．
由两点间距离公式得。
由余弦定理得。
从而有。
注记：方法 2 中用到了余弦定理, 它依赖于是三角形的内角。
因此, 还需
的情形。
容易验证要补充讨论角和的终边共线, 以及大于, 公式在以上情形中依然成立。
在上边的证明中, 用余弦定理计算的过程也可以用勾股定理来进行。
也可以用向量法来证明。
二) 在三角形的框架下推导和差角正弦公式(除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式, 还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角的正弦公式。
1. 和角正弦公式(一)
则。
从而有, ,
,
, ,
,。
因此,。
注意到,
从而有：,
整理可得：。
注记：在方法 3 中, 用和与底角, 相关的三角函数, 从两个角度来表示
, 边上高从而得到所希望的等式关系。
这一证明所用的图形是基于钝角三角形的, 对基于直角或锐角三角形的情形, 证明过程类似。
利用方法 3 中的图形, 我们用类似于恒等变形的方式, 可以得到下面的
(方法4) 如图所示,
为的边上的高, 设边上的高。
为。
则, ,
, 则有,注意到即。
从而有。
利用正弦定理和射影定理, 将得到下面这个非常简洁的证法。
注意证明利用的图形框架与方法3,4 所用的图形框架是相同的。
(方法5) 如图所示,
为的边上的高。
设,
,, 则有。
由正弦定理可得
,
其中d为的外接圆直径。
由得,
从而有。
．
) ( 2. 和角正弦公式二
如果将这两, 放在三角形的两个底角上。
和 5 利用的图形框架是将角方法3,4 个角的和作为三角形的一个内角, 将会有下面的几种证法( 方法6~11)。
(方法6) 如图所示, 作于D, 交外接圆于E, 连和。
设
, ,
则。
,,
设的外接圆直径为d, 则有,
,,。
所以有。
注意到, 从而。
边上的高。
设为, 边上的高的为, 如图所示7) 方法(
则。
设, , , 则
, , ,,。
又
从而。
整理可得。
(方法8) 如图所示, 作于D, 过D作于F, 于G。
,, 从而设则, 设,
,,,。
所以。
注意到, 则有。
如果我们用两种方得到了和角的正弦公式。
, 我们用两种不同的方法计算注记：
由上图可得, 则可以得到和角的余弦公式。
法来计算
,
,
从而有。
注意到,
从而可得。
方法6,7 和8 都是用角, 的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段, 从而构造出我们所希望的等式关系。
(方法9 ) 如图所示, 设为,
设边上的高。
的从而有, ,
,．
利用面积关系构造三角恒等式。
下面这两个证法的思路则有所不同。
9 方法．
(方法10) 如图所示, 设为,
设。
d长度为d, 的外接圆直径从而, 则,
, 是圆内接四边形的对角线则有注记：这一证明用到了托勒密定理：若和。
(方法11) 如图所示,
为的边上的高。
设,
则, 设。
则,
( 托勒密定理或正弦定理), 构造出我们希望的等线段, 再通过联系这些线段的几何定理式关系。
3. 差角正弦公式
仍然还是在三角形中, 我们可以在三角形的内角里构造出差角来。
方法12 和13 便是用这种
想法来证明的。
, 从而有, 则, 于E
(方法13) 如图所示,
为的外接圆直径, 长度为d。
设,
从而。
,
则,
借此来构造等式关, 13 的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段方法12 和系。
, 在这十二种证法中, 方法1 和2 更具普遍性。
很显然换言之, 这两种方法中出
现的角,
是任意角。
而其余方法中, 角和则有一定的限制, 它们都是三角形和的内角( 甚至都
是锐角)。
因此, 对于方法3~13, 我们需要将我们的结果推广到角
是任意角的情形。
具体而言, 我们要证明：如果公式对任意成立, 则对任意角也成立。
容易验证, 角和中至少有一个是轴上角( 即终边在坐标轴上的角), 我们的和都是象限角( 即终边在坐标系的某一象限中的公式是成立的。
下面证明, 角
不妨设我们的公式也成立。
, 时) 角从而有, 为第三象限角,
为第二象限角
从而
同理可证, 公式对于象限角和的其它组合方式都成立。
因此, 我们可以将方法
是任意角的情形。
,
3~13 推导的公式推广到角两角和差的正余弦公式是三角学中很基本的一组公式。
其推
导证明对指导学生进行探究性学习很有帮助。
从上文中可以看到, 这一探究过程可分为四个步骤：
(1) 明确推导证明的目标：构造联系和三角函数与或
；的等式或方程；其余的都可由它推出, 简化课题：四个公式只要解决一个(2)
(3) 解决问题：利用单位圆或三角形作为联系和三角函数与或
；寻找我们希望的等式关系, 的工具(4) 完善解决问题的方法：考察方法是否有普遍性。
如果普遍性有欠缺, 可考虑将其必要时还要进行分类讨论。
, 化归为已解决的情形．。