二次谐波-相位匹配及其实现方法
shg的相位匹配条件
shg的相位匹配条件1.引言1.1 概述相位匹配是在光学中非常重要的概念。
在激光技术、光通信、光谱分析等领域中，相位匹配条件的实现对于光的传播和调控具有关键性的影响。
相位匹配条件是指在非线性光学效应中，通过调整光的波矢或折射率，使得不同频率的光在介质中传播时，相位速度保持一致的条件。
在这种匹配条件下，不同频率的光能够进行相互作用，从而实现一系列重要的光学过程。
对于二阶非线性光学过程，如二次谐波产生（SHG），相位匹配条件是其有效实现的关键。
在SHG过程中，通过将两个频率相互关联的入射光束输入到非线性晶体中，可以实现光频率的加倍。
然而，由于不同频率的光在晶体中的传播速度不同，如果不满足相位匹配条件，那么SHG的效率将会大大降低。
在实际应用中，为了满足相位匹配条件，可以通过选择合适的晶体材料、调整入射光束的入射角度或改变晶体的温度等方法来实现。
这些调控手段可以有效地使得不同频率的光在晶体中传播时，其相位速度保持一致，从而最大限度地提高二次谐波产生的效率。
相位匹配条件的实现对于光学器件的性能和效率有着重要的影响。
因此，在光学领域中，对相位匹配条件的研究是一个非常热门和重要的课题。
通过深入理解相位匹配条件的原理和调控方法，可以为光学器件的设计和应用提供有力的理论指导和技术支持。
本文将重点探讨SHG的相位匹配条件及其在光学领域中的应用。
接下来的章节将分别介绍相位匹配条件的基本原理、相位匹配条件的调控方法，以及未来相位匹配技术的发展趋势。
通过对这些内容的深入研究，我们可以更加全面地认识和理解相位匹配条件在光学中的重要作用，为光学器件的设计和优化提供有益的启示。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以这样编写：1.2 文章结构本文分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将概述相关背景信息，介绍shg的相位匹配条件的重要性，并明确文章的目的。
接下来，在正文部分，将分别讨论第一个要点和第二个要点。
在第一个要点中，将详细介绍shg的相位匹配条件的基本原理、公式和模型，并给出实际应用中的示例。
相位匹配及实现方法
相位匹配及实现方法相位匹配（Phase Matching）是光学领域中一个重要的概念，指的是将不同波长或频率的光束进行匹配，使其在特定的光学介质中具有相同的相位速度，并能够有效地进行光学交互或干涉。
在光学器件或系统中，相位匹配是实现各种光学效应和应用的关键步骤，如广义的非线性光学过程（如和二次谐波，差频，和和频，以及光学参量放大等），光学波导中的耦合效应，以及光学分子束松弛和谐变等。
相位匹配是基于光波的相位速度相等原理，即在特定的介质中，不同波长的光束的相位速度差等于零。
光波的相位速度是指波前通过其中一点的速度，一般用vg表示。
相位速度等于光速c除以折射率n，即vg = c/ n。
在普通的介质中，折射率随波长而变化，从而导致不同波长的光束具有不同的相位速度。
为了实现相位匹配，需要通过选择合适的光学材料、设计合理的结构或施加特殊的相位调制手段，来调节不同波长光束的相位速度，使其相等。
相位匹配的实现方法有多种，下面列举几种常用的方法：1.正常相位匹配：正常相位匹配是最简单的相位匹配方式，即通过选择合适的光学材料，使得光束在该材料中的折射率随波长的变化足够小，从而实现相位匹配。
这种方法适用于波长较长（红外或中红外）的光束。
2.利用非线性光学晶体：非线性光学晶体具有特殊的频率响应特性，可以实现泵浦光和信号光在特定波长下的相位匹配。
这种方法常用于二次谐波，和差频等非线性光学过程。
3.使用光学波导：光学波导是一种能够限制光的传播方向和有效控制光传输的器件。
通过选择合适的波导材料和结构，可以实现不同波长光束在波导中的相位匹配，从而实现光的耦合和传输。
4.利用光栅或光子晶体：通过在特定的光学材料中制作周期性的光栅结构或光子晶体结构，可以实现不同波长光束的衍射，使其相位速度相等化。
这种方法常用于光学滤波器和光学分光仪等光学设备。
5.使用光学段通用接口（OBCI）技术：OBCI技术是一种基于宏观时间相位匹配思想的光传输接口。
二次谐波法
二次谐波法二次谐波法是一种常用的测量方法，在多个领域中广泛应用。
本文将介绍二次谐波法的原理、测量步骤和应用范围，以便读者能够更好地了解和运用该方法。
二次谐波法是利用待测物质对入射光产生的二次谐波进行测量的方法。
当入射光通过非线性介质时，会产生二次谐波信号。
该信号的频率为原始频率的两倍，且具有特定的强度与待测物质的浓度相关。
三、测量步骤1. 准备工作：确保实验环境稳定，并校准所使用的光源和检测器。
2. 设置实验条件：根据待测物质和实验需求，选择适当的光源频率和功率，调整入射角度和检测器位置。
3. 放置样品：将待测物质放置在二次谐波发生器中，并调整信号放大器以获得清晰的信号。
4. 开始测量：启动二次谐波发生器，记录并分析得到的二次谐波信号。
5. 数据处理：根据测量结果，进行数据处理和分析，得出所需的待测物质浓度或其他相关信息。
四、应用范围二次谐波法在多个领域中得到广泛应用，包括但不限于以下几个方面：1. 材料科学：通过测量材料的二次谐波信号，可以获得材料的非线性光学参数，从而为材料的设计和应用提供重要参考。
2. 化学分析：通过对待测化合物的二次谐波信号进行测量和分析，可以实现对化合物浓度的准确测定，并用于质量控制等领域。
3. 生物医学：应用二次谐波法可以对生物体内的某些分子或组织进行非侵入性的测量，例如对组织中的胶原纤维浓度进行评估，以及肿瘤标记物的检测等。
4. 光学设备测试：二次谐波法可用于光学元件的测试和校准，例如检测激光器的输出功率稳定性以及光学谐振腔的谐振频率等。
二次谐波法是一种常用的测量方法，可以通过测量样品产生的二次谐波信号来获得相关参数或信息。
本文介绍了该方法的原理、测量步骤和应用范围，并强调了其在材料科学、化学分析、生物医学和光学设备测试等领域中的重要性和应用价值。
读者可以根据实际需求，灵活运用二次谐波法进行相应的测量和分析工作。
二次谐波法
二次谐波法二次谐波法是一种用于研究物质性质的实验方法，通过观察和记录二次谐波信号来分析材料的非线性光学特性。
在这篇文章中，我们将介绍二次谐波法的原理、应用和实验步骤。
二次谐波法基于非线性光学效应，即光的能量在介质中传播时，会与介质分子发生相互作用，导致光的频率发生变化。
二次谐波信号的产生是通过光的二次谐波效应，即将一个光波分裂成两个频率相等的光波。
在实验中，我们首先需要一个激光器作为光源，激光器可以产生单色、相干的光束。
然后，将激光束通过一个透明的非线性晶体或介质样品，这个样品具有二次非线性光学效应。
当激光束通过样品时，部分光子会与样品中的分子相互作用，产生频率为原始光的二倍的光子。
这些二次谐波光子会被收集并进一步分析。
为了观察和记录二次谐波信号，我们通常使用一个光谱仪或者一个二次谐波发生器。
光谱仪可以将光的不同频率分离开来，并通过探测器将其转换为电信号。
二次谐波发生器则可以将二次谐波信号转换为可见光，并通过摄像机或其他成像设备进行观察和记录。
二次谐波法在许多领域都有广泛的应用。
在材料科学中，二次谐波法可以用来研究材料的非线性光学性质，例如材料的非线性折射率、非线性吸收系数等。
这些性质对于光学器件的设计和制造非常重要。
在生命科学中，二次谐波法可以用来研究生物分子的结构和功能，例如蛋白质的二级结构和分子运动等。
在进行二次谐波实验时，需要注意一些实验步骤和注意事项。
首先，要保证实验环境的稳定性，例如温度、湿度等。
其次，要选择合适的样品和光源，以及适当的检测器和分析设备。
在实验过程中，要注意安全，避免直接接触激光束和二次谐波信号。
二次谐波法是一种非常有用的实验方法，可以用于研究材料的非线性光学性质。
通过观察和记录二次谐波信号，我们可以了解材料的非线性响应和光学特性。
这种方法在材料科学和生命科学等领域有广泛的应用，并为相关研究提供了重要的实验手段。
希望通过这篇文章的介绍，读者对二次谐波法有更深入的理解和认识。
第4讲 二次谐波产生、相位匹配考虑
产生基频波的电极化场波矢：
d E2 z dz
二次谐波混频 耦合波方程:
1 2 0 w2 ;w1 , w1 E 1 z E 1 z 2
2w1 2 i P w2 , z e ikz 2 0 n2c
' kn 2k1
产生二次谐波的电极化场波矢：
二次谐波、基频波与介质相互作用产生的极化场：
' 1 2 ikn P ( t ) P wn , z e z e iwnt c .c . 2 2 2 1 1 ik1z iw1t ik2 z iw2 t 0 E 1 z e e E2 ze e c .c . 2 2 激励出新基频波的电极化强度P(w1 ) 复振幅（频率内）：
E2 L i
对方程(2)积分得，
w1d eff
n2 c
E
2 1
i kz 0 e dz L 0
i kL i kL w d e 1 e 1 1 eff 2 2 i E1 0 i E1 0 L n2 c i k n2c i kL
2 2 2 w d L 4 1 1 eff 2 2 kL 0 n2c 2 2 E1 0 sinc 2 2 n2 c
二次谐波小信号解及讨论
二次谐波光强（Intensity of the generated second harmonic)
k k k i L i L i L sin kL / 2 i 2k L e ikL 1 e kL e 2 e 2 sinc e 2 e kL / 2 2 ikL ikL i k L 2
bbo晶体相位匹配
BBO晶体相位匹配1. 介绍BBO（β-BaB2O4）晶体是一种非线性光学晶体，具有广泛的应用领域，包括激光技术、光通信、光学成像等。
在这些应用中，相位匹配是一个重要的概念，它可以帮助优化光学器件的性能。
本文将深入探讨BBO晶体的相位匹配原理、方法和应用。
2. 相位匹配原理在非线性光学中，相位匹配是指将入射光波的相位与晶体中的非线性极化相位进行匹配，以实现最大的非线性效应。
BBO晶体具有正交非线性极化，因此需要满足相位匹配条件才能实现最大的非线性转换效率。
相位匹配条件可以通过相位匹配角度和相位匹配温度来实现。
相位匹配角度是指入射光波矢量与晶体中的非线性极化矢量之间的夹角，而相位匹配温度是指晶体的温度，使得晶体的折射率与入射光波的折射率相匹配。
3. 相位匹配方法相位匹配方法主要包括类型-I相位匹配和类型-II相位匹配。
在类型-I相位匹配中，入射光波和非线性极化矢量具有相同的偏振态，而在类型-II相位匹配中，入射光波和非线性极化矢量具有正交的偏振态。
对于BBO晶体，类型-I相位匹配是最常用的方法。
在类型-I相位匹配中，需要选择适当的入射光波波长、角度和温度，以实现最佳的相位匹配效果。
可以使用光学参数计算软件或实验方法来确定最佳的相位匹配条件。
4. 相位匹配应用BBO晶体的相位匹配技术在许多光学应用中发挥着重要作用。
以下是一些常见的应用示例：4.1 高效二次谐波产生通过相位匹配技术，可以在BBO晶体中实现高效的二次谐波产生。
二次谐波产生是一种将入射光波频率加倍的方法，利用BBO晶体的非线性效应可以将红外激光转换为可见光激光。
相位匹配条件的选择可以实现最大的转换效率。
4.2 光学参量放大器BBO晶体可以用作光学参量放大器的非线性介质。
通过相位匹配技术，可以实现在特定波长范围内的高增益放大效果。
这在激光技术和光通信中具有重要的应用，可以实现高效的信号放大和传输。
4.3 光学波长转换相位匹配技术可以实现光学波长转换，将输入光波的频率转换为不同的频率。
二次谐波的产生及其解
二次谐波的产生及其解§2.3 二次谐波的产生及其解二次谐波或倍频是一种很重要二阶非线性光学效应，在实践中有广泛的应用，如Nd:YAG 激光器的基频光(1.064μm)倍频成0.532μm 绿光，或继续将0.532μm 激光倍频到0.266μm 紫外区域。
本节从二阶非线性耦合波方程出发，求解出产生的二次谐波光强小信号解，并解释相位匹配对二次谐波产生的影响。
2.3.1 二次谐波的产生设基频波的频率为1ω，复振幅为1E ；二次谐波的频率为()2212ωωω=，复振幅2E 。
由基频波在介质中极化产生的二阶极化强度()2P ，辐射出的二次谐波场()3E z 所满足的非线性极化耦合波方程()()()222202222ik z d E z i P z e dz k μω-= (2.3.1-1) ()()()()()1222110211;,ik z P z z E z e εχωωω=-:E (2.3.1-2)注意简并度1D =，212ωω=()()()()()()()()()22202110211221112112;,2;,i kzi kzd E z i E z E ze dz k iE z E z e n cμωεχωωωωχωωω∆∆=-:=-: (2.3.1-3)波矢失配量，122k k k ∆=-(2.3.1-4)写成单位矢量（光波的偏振方向或电场的振动方向）和标量的乘积形式333E a E =，基频光场可能有两种偏振方向，即'1111,a E a E ，两种偏振方向可以是相互平行也可以是相互垂直，并有331a a ⋅=()()()()'222121121112;,i kz dE z i a a a E z e dz n c ωχωωω∆⎡⎤=⋅-::⎢⎥⎣⎦ (2.3.1-5)基频波与产生的二次谐波耦合产生的极化场强度()21P ，辐射出基频光场满足的非线性极化耦合波方程。
如何在晶体中实现相位匹配
相位匹配技术在光学二次谐波过程中经常要求倍频光和基频光满足相位匹配条件，下面我们将讨论一下如何在晶体中实现相位匹配条件。
倍频光和基频光共线的相位匹配条件是：0231=-=∆k k k（1.1） 由波矢公式nck ω=，得到ωωωω222n c n c=或 ωω2n n = （1.2）为描述光波在各向异性介质中传播可以用折射率椭球方法。
设想在主轴坐标系xyz o 中建立方程，即1222222=++zyxn zn yn x（1.3）y图 1-1对于各向异性的单轴晶体，若选z 轴为光轴c ，则有0n n n y x ==，0n n n e z ≠= 折射率椭球为：1222222=++eoonz ny nx （1.4）若o e n n >，为正单轴晶体；若o e n n <为负单轴晶体。
取椭球在zoy 面上的投影椭圆y图 1-2椭圆方程为：12222=+eonz ny (1.5)如图（1-2）[][]1sin )(cos )(2222=+-ee oe nn nn θθθθ （1.6）22222cos sin )(1oee n n n θθθ+=（1.7）令θπβ-=2/则方程（1.7）可化为：[][]1sin )(cos )(2222=+oe ee nn nn βθβθ（1.8） 以β为极角，)(θe n 为极径建立极坐标系，则图形仍为椭圆。
图1-3对负单轴晶体，即e o n n >，其o 光折射率与e 光折射率椭圆如图1-4所示图1-4很显然，图中ω2的e 椭圆与ω的o 椭圆的交点处满足相位匹配条件 由方程组[]22222222)(cos )(sin )(1ωωωθθθo m e m en n n +=（1.9）[]22222)()2/(cos )()2/(sin )2/(1ωωωπππo e en n n+=（1.10）得 222222222)()()()()(sin ωωωωωωθe o o o oem n n n n n n --= （1.11）这称为第一类相位匹配，表示为e o o →+图1-5如图1-5，可以通过调节光轴C 和和入射波矢之间的夹角θ，使之满足式（1.11），实现角度相位匹配。
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二次谐波的应用二次谐波成像是近年发展起来的一种三维光学成像技术，具有非线性光学成像所特有的高空间分辨率和高成像深度，可避免双光子荧光成像中的荧光漂白效应。
此外二次谐波信号对组织的结构对称性变化高度敏感，因此二次谐波成像对于某些疾病的早期诊断或术后治疗监测具有很好的生物医学应用前景.二次谐波英文名称：second harmonic component定义：将非正弦周期信号按傅里叶级数展开，频率为原信号频率两倍的正弦分量。
SHG的一个必要条件是需要没要反演对称的介质其次是必须满足相位匹配，传播中的倍频光波和不断昌盛的倍频极化波保持了相位的一致性.谐波产生的根本原因是由于非线性负载所致。
当电流流经负载时，与所加的电压不呈线性关系，就形成非正弦电流，从而产生谐波。
ＳＨＧ实验装置ＳＨＧ实验装置按二次谐波信号收集方式可分为前向和后向，图２为前向和后向二次谐波产生的实验装置示意图．以图２（ａ）为例：由激光器产生的角频率为的入射基频光，经过物镜聚焦到样品上，产生频率为２的二次谐波，由另一个高数值孔径的物镜收集，滤光片（一般为窄带滤光片）滤掉激发光和可能产生的荧光和其他背景光，再用探测器件（如ＰＭＴ）和计算机系统进行信号的采集、存储、分析和显示．要实现二次谐波微成像需要对以下因素进行最优化考虑：超短脉冲激光、高数值孑Ｌ径的显微物镜、高灵敏度的非解扫面探测器、准相位匹配和具有高二阶非线性的样品Ｊ．激光器：掺Ｔｉ蓝宝石飞秒激光器因具有高重复频率（８０ＭＨｚ）和高峰值功率，单脉冲能量低且町在整个近红外区（７００～１０００ｎｍ）内连续调谐，所以是二次谐波显微成像的理想光源．激光的重复频率对ＳＨＧ也有影响，如果提高激发光的重复频率，激发光的平均功率可相应提高，二次谐波信号也得到增强．物镜：一般情况下，二次谐波主要非轴向发射，即信号收集时必须有一个足够大的数值孑Ｌ径来有效接收整个二次谐波信号．滤光片：为保证所收集的信号为二次谐波信号，必须使用滤光片．一般采用一长波滤光片和窄带滤光片（带宽１０ｎｍ）组合以过滤任何干扰信号．信号收集系统：为尽晕减少二次谐波信号在系统中的损失，提高系统的探测灵敏度，最好采用非解扫（ｎｏｎ．ｄｅｓｃａｎｎｅｄ）的信号．信号收集系统中的主要部件是ＰＭＴ探测器．首先，为收集整个二次谐波信号，需要探测器的接收面足够宽．其次，对于由可调谐Ｔｉ：蓝宝石飞秒激光器，要接收的二次谐波信号处于３５０～５００ｎｍ波段，故可采用双碱阴极光电倍增管．由于激发光波长离探测器的响应区很远，故可有效探Ｎ－－次谐波信号．除了使用不同的滤光片外，二次谐波显微成像和双光子激发荧光显微成像在系统结构上是完全兼容的．已有人成功地将激光扫描共聚焦显微镜改造成双光子系统９，同样，也可以方便的用改造后的系统进行两者的复合成像二次谐波显微成像技术的发展及其在生物医学中的应用.细胞膜电压的测量对理解细胞信号传递过程有重要作用. 使用合适的膜染剂进行标记, 通过对染剂分子的二次谐波显微成像, 信号强度变化便能反映膜电压的大小.近年来, 二次谐波显微成像的一个主要领域, 就是发展具有高时空分辨率及高灵敏度的活细胞中横跨膜电压的光学测量方法.ＳＨＧ成像用于膜电压测量细胞膜电压的测量对理解细胞信号传递过程有重要作用．使用合适的膜染剂进行标记，通过对染剂分子的二次谐波显微成像，信号强度变化便能反映膜电压的大小．近年来，二次谐波显微成像的一个主要领域，就是发展具有高时空分辨率及高灵敏度的活细胞中横跨膜电压的光学测量方法．１９９３年，ＯＢｏｕｅｖｉｔｃｈ等人¨证明，所加电场可强烈地调制ＳＨＧ强度．１９９９年，ＰＪＣａｍｐａｇｎｏ！ａ等人则证明了ＳＨＧ信号随膜电压变化．实验结果表明，激发波长为８５０ｎｍ时，ＳＨＧ对膜电压的灵敏度为１８／１００ｍＶ，而ＴＰＥＦ只有１０／１００ｍＶ＿Ｊ．２００４年，Ａｎｄｒｅｗ等人进一步研究了苯乙烯基染剂产生的二次谐波信号对膜电压的敏感性．实验表明，使用８５０～９１０ｎｍ的激发波长，膜染剂ｄｉ－４．ＡＮＥＰＰＳ和ｄｉ４．ＡＮＥＰＭＰＯＨ使ＳＨＧ对膜电压的敏感度高达２０／１００ｍＶ，且由于共振增强，使用９５０—９７０ ｎｍ的激发 波长时，敏感度达到４０／１００ ｍＶ ．这些研究结果 进一步巩固了ＳＨＧ在活细胞中膜电压的功能成像 中的重要性． 最近，Ｃｏｒｎｅｌｌ大学的科学家，通过使用一种低 毒性的有机染剂ＤＨＰＥＳＢＰ，对海参神经细胞进行 二次谐波 微成像（如图５），并成功实现了脑组 织巾的电脉冲成像¨ ，这对于解渎大脑工作过程， 解释大脑退化疾病如Ａｌｚｈｅｉｍｅｒ’ｓ症等，具有巨大度、高空间分辨率和对生物的低杀伤性特点，为活 体测量提供了一种新方法，有望成为组织形态学和 生理学研究的・个强大工具．目的，ＳＨＧ在神经科 学、药理学及疾病早期 断方面的应用研究已取得 一些进展．但二次谐波成像还是一¨不很成熟的技 术，随着研究的逐步深入，对它的应用仍然有待进 一步的开发．随着微光纤技术的发展，二次谐波成 像技术还可与光纤光学结合进行人体内窥镜检查， 实现活体生物体内深处的组织在分子水平的成像． 随着信号检测技术和计算机技术等的发展，还可运 用二次谐波成像实时观察生物细胞活动．由于二次 谐波显微应用于肌纤维长度的精确度已达到２０ ｎｍ＿¨ ，活体未标记心脏和肌肉组织的纳米药理学 研究也将发挥很大的作用．本实验室正着手研究将 ■次谐波成像、共聚焦显微成像以及双光子激发荧 光成像结合，根据视网膜的分层结构和特点，采用 不 方法成像，进而揭示视网膜的正常生理结构及 病变部位，为视网膜疾病的早期诊断提供一种新型 的具有三维高空间分辨牢的手段相位匹配及实现方法实验证明，只有具有特定偏振方向的线偏振光，以某一特定角度入射晶体时，才能获得良好的倍频效果，而以其他角度入射时，则倍频效果很差，甚至完全不出倍频光。
根据倍频转换效率的定义 ωω2ηP P =， （15）经理论推导可得2ω222)2/()2/(sin ηE L d k L k L •••∆•∆•∝。
（16）η与L ∙∆k/2关系曲线见图1。
图中可看出，要获得最大的转换效率，就要使L ∙∆k/2＝0，L 是倍频晶体的通光长度，不等于0，故应∆k ＝0，即图1 倍频效率与L ∙∆k/2的关系相对光强-2π 2π π -π L ∙∆k/20)n n (422121=-λπ=-=∆ωωk k k ， （17）就是使ωω=2n n ， （18）n ω和n 2ω分别为晶体对基频光和倍频光的折射率。
也就是只有当基频光和倍频光的折射率相等时，才能产生好的倍频效果，式（18）是提高倍频效率的必要条件，称作相位匹配条件。
由于v ω＝c/n ω，v 2ω＝c/n 2ω，v ω和v 2ω分别是基频光和倍频光在晶体中的传播速度。
满足（18）式，就是要求基频光和倍频光在晶体中的传播速度相等。
从这里我们可以清楚地看出，所谓相位匹配条件的物理实质就是使基频光在晶体中沿途各点激发的倍频光传播到出射面时，都具有相同的相位，这样可相互干涉增强，从而达到好的倍频效果。
实现相位匹配条件的方法：由于一般介质存在正常色散效果，即高频光的折射率大于低频光的折射率，如n 2ω―n ω大约为10－2数量级。
∆k ≠0。
但对于各向同性晶体，由于存在双折射，我们则可利用不同偏振光间的折射率关系，寻找到相位匹配条件，实现∆k ＝0。
此方法常用于负单轴晶体，下面以负单轴晶体为例说明。
图2中画出了晶体中基频光和倍频光的两种不同偏振态折射率面间的关系。
图中实线球面为基频光折射率面，虚线球面为倍频光折射率面，球面为o 光折射率面，椭球面为e 光折射率面，z 轴为光轴。
折射率面的定义：从球心引出的每一条矢径到达面上某点的长度，表示晶体以此矢径为波法线方向的光波的折射率大小。
实现相位匹配条件的方法之一是寻找实面和虚面交点位置，从而得到通过此交点的矢径与光轴的夹角。
图中看到，基频光中o 光的折射率可以和倍频光中e 光的折射率相等，所以当光波沿着与光轴成θm 角方向传播时，即可实现相位匹配，θm 叫做相位匹配角，θm 可从下式中计算得出22o 22e 22o 2o m 2)n ()n ()n ()n (sin -ω-ω-ω-ω--=θ， (19)式中ωωω2e 2o o n ,n ,n 都可以查表得到，表1列出几种常用的数值。
图2 负单轴晶体折射率球面I ω I 2ω t 1 t 2 t 1 t t 1t 2 t 2 tν1 ν1ν2ν2 ν ν 0.53 1.507 1.467z 方向的夹角，而不是与入射面法线的夹角。
为了减少反射损失和便于调节，实验中一般总希望让基频光正入射晶体表面。
所以加工倍频晶体时，须按一定方向切割晶体，以使晶体法线方向和光轴方向成θm ，见图3。
以上所述，是入射光以一定角度入射晶体，通过晶体的双折射，由折射率的变化来补偿正常色散而实现相位匹配的，这称为角度相位匹配。
角度相位匹配又可分为两类。
第一类是入射同一种线偏振光，负单轴晶体将两个e 光光子转变为一个倍频的o 光光子。
第二类是入射光中同时含有o 光和e 光两种线偏振光，负单轴晶体将两个不同的光子变为倍频的e 光光子，正单轴晶体变为一个倍频的o 光光子。
见表2晶体种类 第一类相位匹配 第二类相位匹配偏振性质 相位匹配条件 偏振性质 相位匹配条件正单轴 o e e →+ ωω=θ2o m e n )(n o e o →+ ωωω=θ+2o m e o n )](n n [21 负单轴 e o o →+ )(n n m 2e o θ=ωω e o e →+ )(n ]n )(n [21m 2e o m e θ=+θωωω相位匹配的方法除了前述的角度匹配外，还有温度匹配，这里不作细述。
在影响倍频效率的诸因素中，除前述的比较重要的三方面外，还需考虑到晶体的有效长度L s 和模式状况。
图4为晶体中基频光和倍频光振幅随距离的变化。
如果晶体过长，例L>L s 时，会造成倍频效率饱和；晶体过短。
例L<L s ，则转换效率比较低。
L s 的大小基本给出了倍频技术中应该使用的晶体长度。
模式的不同也影响转换效率，如高阶横模，方向性差，偏离光传播方向的光会偏离相位匹配角。
所以在不降低入射光功率的情况下，以选用基横模或低阶横模为宜。
1．5． 倍频光的脉冲宽度和线宽 通过对倍频光脉冲宽度t 和相对线宽v 的观测，还可看到两种线宽都比基频光变窄的现象。
这是由于倍频光强与入射基频光强的平方成比例的缘故。
图基频光ω Z θm 图3 非线性晶体的切割晶面法线 晶体 L s L 2L s 图4 晶体中基频光和倍频光振幅随距离的变化5中，假设在t＝t0时。