等价无穷小替换公式
18个等价无穷小替换公式
18个等价无穷小替换公式(1)x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(x+1)~e^x-1~ln(x+根号(1+x^2))~(a^x-1)/lna~[(1+x)^a-1]/a; (共10个等阶无穷小量)(2)x^2~2-2cosx~2根号(1+x^2)-2；(共3个等阶无穷小量)；(3)x^3~6x-6sinx~3tanx-3x~6arcsinx-6x~2tanx-2sinx.(共5等阶无穷小量).不难发现，每一组等阶无穷小量都有一个关于x的等项式与之对应。
可以说，第一组是一阶无穷小量，第二组是二阶无穷小量，而第三组是三阶无穷小量。
这里的"阶"指的是关于x的单项式中，x的指数。
所谓等阶无穷小，指的是两个无穷小量的商的极限等于1. 比如最常见的是第一个重要极限lim(x->0)sinx/x=1. 事实上，这个极限的倒数形式lim(x->0)x/sinx=1也是成立的。
三组等阶无穷小量，一共18个无穷小量其实不止组成类似于第一个重要极限这样的等阶无穷小公式。
其实第一组等阶无穷小量可以组成55个类似的公式；第二组等阶无穷小量可以组成6个类似的公式；第三组等阶无穷小量可以组成15个类似的公式。
这里无法一一累述，希望你可以自己动手试一试，以加强对它们的理解和记忆。
等阶无穷小最主要的用途，当然就是应用在求极限时的等阶无穷小替换了。
下面举几个运用等阶无穷小替换求极限的例子：利用等阶无穷小量替换求极限：(1)lim(x->0)arctanx/sin(4x)；(2)lim(x->0)(tanx-sinx)/sinx^3；(3)lim(x->无穷大)(xarctan(1/x))/(x-cosx)；(4)lim(x->0)(根号(1+x^2)-1)/(1-cosx).解：(1)因为arctanx~x, sin4x~4x,所以原极限=lim(x->0)x/(4x)=1/4.(2)因为tanx-sinx=sinx(1-cosx)/cosx，又sinx~x, 1-cosx~x^2/2，sinx^3~x^3，lim(x->0)cosx=1，所以原极限=lim(x->0)(x^3/2)/x^3=1/2.(3)因为arctan(1/x)~1/x, 且cosx有界，所以原极限=lim(x->无穷大)1/(x-cosx)=0.(4)因为根号(1+x^2)-1~x^2/2, 1-cosx~x^2/2, 即根号(1+x^2)-1~1-cosx，所以原极限=1.怎么样，等阶无穷小替换运用起来是不是很简单啊？一切都建立在对等阶无穷小的理解以及上面三组等阶无穷小量的记忆的基础上。
常用的等价无穷小替换公式
常用的等价无穷小替换公式在微积分中，等价无穷小替换公式是一种常用的方法，用于求解极限问题。
通过将一个复杂的函数替换为一个等价的简单函数，可以简化计算过程并得到更加精确的结果。
本文将介绍一些常用的等价无穷小替换公式，并说明它们的应用场景。
1. sin(x) ≈ x当 x 趋向于 0 时，可以使用sin(x) ≈ x 进行等价无穷小替换。
这个公式可以用于求解诸如lim(x→0) sin(x)/x 的极限问题。
通过将sin(x) 替换为 x，可以将原问题转化为求解常数的极限，简化计算过程。
2. tan(x) ≈ x当 x 趋向于 0 时，可以使用tan(x) ≈ x 进行等价无穷小替换。
这个公式可以用于求解诸如lim(x→0) tan(x)/x 的极限问题。
通过将tan(x) 替换为x，可以将原问题转化为求解常数的极限，简化计算过程。
3. e^x - 1 ≈ x当 x 趋向于 0 时，可以使用 e^x - 1 ≈ x 进行等价无穷小替换。
这个公式可以用于求解诸如lim(x→0) (e^x - 1)/x 的极限问题。
通过将e^x - 1 替换为x，可以将原问题转化为求解常数的极限，简化计算过程。
4. ln(1 + x) ≈ x当 x 趋向于 0 时，可以使用ln(1 + x) ≈ x 进行等价无穷小替换。
这个公式可以用于求解诸如lim(x→0) ln(1 + x)/x 的极限问题。
通过将 ln(1 + x) 替换为 x，可以将原问题转化为求解常数的极限，简化计算过程。
5. (1 + x)^n ≈ 1 + nx当 x 趋向于 0 时，可以使用(1 + x)^n ≈ 1 + nx 进行等价无穷小替换。
这个公式可以用于求解诸如lim(x→0) ((1 + x)^n - 1)/x 的极限问题。
通过将 (1 + x)^n 替换为 1 + nx，可以将原问题转化为求解常数的极限，简化计算过程。
6. sin(x) ≈ x - x^3/6当 x 趋向于 0 时，可以使用sin(x) ≈ x - x^3/6 进行等价无穷小替换。
全部等价无穷小替换公式
全部等价无穷小替换公式无穷小是微积分中一个重要的概念，它表示一个趋近于零的量。
在微积分中，我们经常会遇到一些复杂的公式，而使用等价无穷小替换公式可以简化计算过程，并使问题更易解决。
等价无穷小替换公式是一种将复杂的表达式替换为等价的无穷小的方法。
这种方法在求极限、求导数等计算中非常有用。
下面，我们将介绍几个常见的等价无穷小替换公式，并通过实例进行说明。
1. 无穷小的乘积替换公式：当两个无穷小相乘时，可以将其替换为一个无穷小。
例如，当x 趋近于零时，x*sin(x)可以替换为x^2。
这个公式在求极限时经常使用。
2. 无穷小的和差替换公式：当两个无穷小相加或相减时，可以将其替换为一个无穷小。
例如，当x趋近于零时，sin(x)/x可以替换为1。
这个公式在求极限时经常使用。
3. 高阶无穷小替换公式：当一个无穷小的高阶项与其他无穷小相乘时，可以将其忽略。
例如，当x趋近于零时，sin(x)/x可以替换为1。
这个公式在求极限时经常使用。
4. 无穷小的幂替换公式：当一个无穷小的幂趋近于零时，可以将其替换为一个无穷小。
例如，当x趋近于零时，x^n可以替换为0，其中n为正整数。
这个公式在求极限时经常使用。
通过使用等价无穷小替换公式，我们可以将复杂的计算问题简化为求解无穷小的问题。
这样不仅可以提高计算效率，还可以减少计算错误的可能性。
下面，我们通过一个实例来说明等价无穷小替换公式的应用。
例题：求极限lim(x→0) (sin(x) - x)/x^3。
解：根据等价无穷小替换公式，我们可以将sin(x) - x替换为一个等价的无穷小。
当x趋近于零时，sin(x) - x可以替换为0。
因此，原极限可以转化为lim(x→0) 0/x^3。
进一步化简，得到lim(x→0) 0，即极限为0。
通过以上实例，我们可以看到，使用等价无穷小替换公式可以将复杂的计算问题简化为求解无穷小的问题，从而更容易求得极限值。
需要注意的是，在使用等价无穷小替换公式时，我们要确保替换后的无穷小与原表达式在相应的极限下是等价的。
等价无穷小替换公式表
等价无穷小替换公式表1.当x趋向于0时，以下等式成立：
- sin(x) ≈ x
- tan(x) ≈ x
- arcsin(x) ≈ x
- arctan(x) ≈ x
- ln(1+x) ≈ x
-e^x-1≈x
- (1+x)^n - 1 ≈ nx (其中 n 是常数)
2.当x趋向于无穷大时，以下等式成立：
- sin(x) ≈ 0
- tan(x) ≈ 0
- arcsin(x) ≈ π/2
- arctan(x) ≈ π/2
- ln(x) ≈ ∞
-e^x≈∞
-(1+x)^n≈∞(其中n是正整数)
3.当x趋向于a（a是常数）时，以下等式成立：-(x-a)≈0
- sin(x-a) ≈ 0
- tan(x-a) ≈ 0
- arcsin(x-a) ≈ 0
- arctan(x-a) ≈ 0
- ln(x-a) ≈ 0
-e^(x-a)≈0
-(1+x-a)^n≈0(其中n是正整数)
4.当x趋向于1时，以下等式成立：
- ln(x) ≈ x - 1
-e^x≈e
- (1+x)^n ≈ 1 + nx (其中 n 是常数)
5.当x趋向于-1时，以下等式成立：
- ln(x+1) ≈ x + 1
-e^x≈1/e
- (1+x)^n ≈ 1 - nx (其中 n 是常数)
这些等价无穷小替换公式可以有效地简化计算，并且在数学分析、微积分、极限和近似计算等领域有着广泛的应用。
掌握这些常用等价无穷小替换公式可以帮助我们更加方便地处理各种数学问题。
等价无穷小替换公式加减使用条件
等价无穷小替换公式加减使用条件1.当常数a为有限值时，有以下等价无穷小替换公式：-a*ε≈0（其中ε为无穷小量）-ε/a≈0（其中ε为无穷小量）2.当函数f(x)为有界函数时，有以下等价无穷小替换公式：-f(x)*ε≈0（其中ε为无穷小量）3.当函数f(x)在其中一点x=a处连续且不为零时，有以下等价无穷小替换公式：-f(x)≈f(a)（当x趋近于a时）-ε/f(x)≈0（当x趋近于a时）在加减运算中使用等价无穷小替换公式的条件如下：1.替换公式的使用要满足数学定义的条件。
例如，进行除法运算时，被除数不能为零。
2.进行替换时，需要将等价无穷小放在有界函数或常数的前面进行替换。
即等价无穷小应该在乘法或除法运算中作为因子，而不是作为被乘数或被除数。
3.在进行替换时，需要注意确保替换后的函数与原函数在极限点处的极限值是相等的。
如果替换后的函数与原函数的极限值不相等，可能导致计算结果的误差。
举例说明，在计算极限的过程中使用等价无穷小替换公式：例题1：计算极限lim(x->0) (3x - sinx) / x由于sin(x)是一个连续函数且lim(x->0) sinx = 0，因此可以使用等价无穷小替换公式将sinx替换为0。
即lim(x->0) (3x - sinx) / x ≈ lim(x->0) (3x - 0) / x =lim(x->0) 3 = 3例题2：计算极限lim(x->0) (sinx - 2x) / (1 - cosx)由于lim(x->0) sinx = 0且lim(x->0) 1 - cosx = 0，所以可以使用等价无穷小替换公式将sinx替换为0，cosx替换为1即lim(x->0) (sinx - 2x) / (1 - cosx) ≈ lim(x->0) (0 - 0) / (1 - 1) = 0在以上例题中，都是通过使用等价无穷小替换公式简化计算过程，但在应用中需要注意使用等价无穷小替换公式的条件，确保计算结果的准确性。
等价无穷小等价替换公式
等价无穷小等价替换公式一、等价无穷小等价替换的概念等价无穷小等价替换是指在求解极限、积分、微分等数学问题时，将一个无穷小量替换为与它具有相同极限的无穷小量，从而简化计算的过程。
等价无穷小等价替换的基本思想是在保持原有极限不变的前提下，用一个更便于计算的表达式替代原有函数或者无穷小量。
二、等价无穷小等价替换的原理等价无穷小等价替换的原理可以用极限的定义来解释。
假设函数f(x)和g(x)在x=a的一些邻域内定义，且f(x)和g(x)在x=a处连续，如果有lim(x→a)g(x)=0，lim(x→a)g(x)≠0，则称g(x)是f(x)在x=a点处的等价无穷小。
根据无穷小的定义，对于任意一个无穷小g(x)，它满足lim(x→a)g(x)=0。
那么如果g(x)是f(x)在x=a点处的等价无穷小，就意味着lim(x→a)(f(x)-g(x))=0。
这样，我们可以用g(x)替代f(x)，从而简化计算的过程。
1.当x趋于0时，有以下等价无穷小等价替换公式：(1) sin(x) ~ x(2) tan(x) ~ x(3) arcsin(x) ~ x(4) arctan(x) ~ x(5) ln(1+x) ~ x(6)e^x-1~x2.当x趋于正无穷时，有以下等价无穷小等价替换公式：(1)e^x~+∞(2)a^x~(x→+∞)+∞(其中a>1)(3)(1+x)^n~+∞(其中n为正整数)3.当x趋于负无穷时，有以下等价无穷小等价替换公式：(1)e^(-x)~0(2)a^(-x)~0(其中a>1)四、例子下面通过具体的例子来说明等价无穷小等价替换的应用。
例1：求极限lim(x→0)sin(x)/x。
解：根据等价无穷小等价替换公式，当x趋于0时，有sin(x)~x。
所以原极限可以等价替换为lim(x→0)x/x=1例2：求极限lim(x→0)(ln(1+x))/x。
解：根据等价无穷小等价替换公式，当x趋于0时，有ln(1+x)~x。
等价无穷小常见替换公式
等价无穷小常见替换公式在我们学习数学的漫漫征途中，等价无穷小可是个相当厉害的“武器”，它能帮我们在解决极限问题时，披荆斩棘，轻松过关。
今天咱就来好好聊聊等价无穷小常见的替换公式。
先来说说啥是等价无穷小。
简单讲，就是当两个函数在某个变化过程中，它们的比值趋向于 1 ，那这两个函数就叫做等价无穷小。
比如说，当 x 趋向于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。
常见的等价无穷小替换公式有不少呢。
比如当 x 趋向于 0 时，tan x 等价于 x ，1 - cos x 等价于 1/2 x²，ln(1 + x) 等价于 x 等等。
我记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个学生特别可爱。
他瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑了笑，给他举了个例子。
假如我们要计算极限：lim(x→0) (tan x - sin x) / x³。
如果直接算，那可就头疼了。
但如果我们用等价无穷小替换，把 tan x 换成 x ，sin x换成 x ，式子就变成了lim(x→0) (x - x) / x³ = 0 ，是不是一下子就简单多啦？等价无穷小的替换在计算极限的时候，能大大简化运算过程，提高解题效率。
但这里要注意一个重要的点，那就是等价无穷小的替换只能在乘除运算中使用，如果是加减运算，就得小心啦，不能随便替换，不然可能会出错。
比如说，计算极限lim(x→0) (sin x - x) / x³，如果直接把 sin x 换成x ，那就错啦，因为这是个加减运算。
再给大家举个例子加深印象。
计算极限lim(x→0) (1 - cos x) / x²，因为 1 - cos x 等价于 1/2 x²，所以可以替换，结果就是 1/2 。
等价无穷小的替换公式就像是一把神奇的钥匙，能打开很多复杂极限问题的大门。
但要记住，使用的时候一定要谨慎，遵循规则，不然可就打不开这扇门咯。
常用的等价无穷小替换公式
常用的等价无穷小替换公式一、什么是无穷小在微积分中，我们常常会遇到无穷小的概念。
无穷小是指当自变量趋于某个值时，相应的函数值趋近于零的量。
在数学中，无穷小通常用符号“ε”或“δ”表示。
二、常见的等价无穷小替换公式在处理极限问题时，我们常常会用到等价无穷小替换公式，这些公式能够将复杂的极限问题转化为简单的计算。
下面是一些常见的等价无穷小替换公式：1. 当x趋于零时，sin(x)与x等价。
这个公式可以简化一些含有三角函数的极限问题。
例如，当x趋于零时，lim(x→0) sin(x)/x = 1。
2. 当x趋于零时，tan(x)与x等价。
这个公式可以简化一些含有切线函数的极限问题。
例如，当x趋于零时，lim(x→0) tan(x)/x = 1。
3. 当x趋于零时，ln(1+x)与x等价。
这个公式可以简化一些含有对数函数的极限问题。
例如，当x趋于零时，lim(x→0) ln(1+x)/x = 1。
4. 当x趋于无穷大时，e^x与x^n等价。
这个公式可以简化一些指数函数和幂函数的极限问题。
例如，当x 趋于无穷大时，lim(x→∞) e^x/x^n = ∞，其中n为任意正整数。
5. 当x趋于无穷大时，sinh(x)与e^x等价。
这个公式可以简化一些双曲函数和指数函数的极限问题。
例如，当x趋于无穷大时，lim(x→∞) sinh(x)/e^x = 1。
6. 当x趋于无穷大时，(1+1/x)^x与e等价。
这个公式可以简化一些含有指数函数的极限问题。
例如，当x趋于无穷大时，lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。
以上只是一些常见的等价无穷小替换公式，它们在求极限的过程中起到了重要的作用。
通过使用这些公式，我们可以将复杂的极限问题简化为易于计算的形式。
三、等价无穷小替换公式的应用举例下面通过一些具体的例子来展示等价无穷小替换公式的应用。
例一：求极限lim(x→0) sin(3x)/x。
根据等价无穷小替换公式1，我们知道sin(3x)与3x等价，所以极限可以简化为lim(x→0) 3x/x = 3。