模糊建模和模糊辨识
模糊优化方法
模糊建模与模糊优化
模糊建模是指从模糊信息的 描述到建立一个适当的数学模型 的过程。模糊优化是指模糊模型 的求解过程。一般地，对于一个 复杂问题，从建立模糊优化模型 （模糊建模）到求解模糊优化模 型（模糊优化）需要经过以下五 个基本环节
1
A
B C
模糊建模阶段
基于对问题本身的理解，分析问题中存在哪些模糊信息，以及出现的 形式（如模糊目标，可行集、约束集或参数）和方式，如非精确的量 化形式或者是含糊不清的语言等。 模糊信息的描述与表达，采取适当的方式，如隶属函数、可能性分布 函数，以线性形式或非线性形式等来描述模糊信息。在这个过程中， 应该充分反映决策者的意愿和观点，即主观性或偏爱。
模糊性出现的形式包括：
1）目标描述的非精确定义 2）模糊关系（模糊等式，模糊不等式）表达的线性系统约束
3）具有模糊效益/价格系数ci的目标函数
4）具有模糊技术系数Aij和模糊资源可用量bi的线性系统约束
4
模糊线性规划问题的分类与描述
据此，将模糊线性规划问题FLP分为以下两类： I)清晰系数型。包括: i)模糊资源型(FLP1)——模糊关系定义的线性系统约束； ii)模糊目标-资源型(FLP2)——非精确定义的目标和模糊关系定义的线 性系统约束。 II)模糊系数型。包括: i)模糊资源可用量型(FLP3)——资源可用量是模糊数； ii)模糊效益/价格系数型(FLP4)——目标函数中效益/价格系数是模糊数 ； iii)模糊技术系数和资源可用型(FLP5)——技术系数和资源可用量都是 模糊数； iv)系数全模糊型(FLP6)——效益/价格系数，技术系数和资源可用量都 是模糊数。
模糊优化在生产实际中的应用也成为模糊优化理论和方法的重要研究内容。通过查找相 关文献，总结了模糊优化的理论与方法，主要包括五个部分：
模糊系统的辨识与自适应控制
模糊系统的辨识与自适应控制在现代控制理论研究中，模糊控制是一种重要的控制方法。
模糊控制是对非线性系统的一种解决方案，这种控制方法利用模糊逻辑来处理不确定性和信息丢失问题，从而提高了控制的效率和精度，因此在自适应控制中得到了广泛的应用。
一、模糊系统辨识模糊系统辨识是指对模糊控制系统进行参数辨识和模型识别，目的是为了找到最佳的控制方案。
模糊系统的辨识过程也是确定模糊控制系统结构和参数的过程。
模糊控制系统需要依赖于模糊规则库和隶属函数来完成参数辨识和模型识别。
模糊规则库是一个包含了各种规则的数据库，其中每个规则由一组条件和一组相应的控制动作组成。
隶属函数用来描述输入变量和输出变量之间的映射关系。
在模糊系统辨识的过程中，需要收集大量的数据来分析和处理，以便从中提取有用的信息。
这里的数据包括输入数据和输出数据，输入数据包括控制输入和环境输入，输出数据包括控制输出和系统响应。
通过对这些数据进行分析、模型识别和参数辨识，可以得到一个模糊控制系统的模型，并对其进行优化调整，以使其更好地适应所需的控制任务。
二、自适应控制模糊系统的自适应控制是利用模糊控制系统的动态特性，不断根据控制系统的变化自动调整控制参数，以达到最优的控制效果。
因此，自适应控制算法是一种重要的控制算法，它可以自动调整控制参数以快速响应外部变化。
自适应控制有多种方法，包括自适应模糊控制、自适应神经网络控制、自适应PID控制、自适应模型预测控制等。
其中，自适应模糊控制是一种广泛应用的控制方法，它可以自动调整模糊规则库、隶属函数以及控制输出，以适应不同的控制任务和环境条件。
三、结论总之，在现代控制领域中，模糊控制方法是一种重要的控制方法之一，具有较高的鲁棒性和鲁棒性。
模糊控制方法除了能够处理非线性系统，还可以处理模糊系统，因此在实际控制中被广泛应用。
模糊系统的辨识和自适应控制是模糊控制方法的两个基本方面，它们为模糊控制的优化和应用提供了基础和保障。
模糊系统
m
B (zi ) zi
zO
i 1 m
B (zi )
i 1
下图所示的是规则数为2（m=2），变量个数为 2(n=2)的Mamdani推理过程。
图 精确输入Mamdani推理法图示
TS模糊模型
模糊分类系统
样本类别的确定
基于遗传算法的模糊神经网络建模
1、模糊空间划分 模糊空间划分是模糊系统建模的重要组成部分，近年来基
图精确输入mamdani推理法图示tsts模糊模型模糊模型模糊分类系统模糊分类系统样本类别的确定基于遗传算法的模糊神经网络建模基于遗传算法的模糊神经网络建模11模糊空间划分模糊空间划分模糊空间划分是模糊系统建模的重要组成部分近年来基模糊空间划分是模糊系统建模的重要组成部分近年来基于模糊聚类技术的模糊空间划分已经取得了不少成功的应于模糊聚类技术的模糊空间划分已经取得了不少成功的应用但这种划分一般都是一种散播划分主要追求的是模用但这种划分一般都是一种散播划分主要追求的是模糊系统的精确度忽视了对模糊系统解释性的要求这些糊系统的精确度忽视了对模糊系统解释性的要求这些划分都不满足模糊划分的完全性
1973年，L.A.Zadeh 教授又进一步研究 了模糊语言处理，建立了模糊推理的理论 基础。
1974年，英国科学家Mamdani将基于模 糊推理规则的模糊系统应用到蒸汽发电机 的压力和速度控制中，并取得了成功。
一般而言，模糊系统是指那些与模糊概念和 模糊逻辑有直接关系的系统。
模糊逻辑使用了类似于人类交流和推理的
图3.隶属函数的重叠
3、编码设计
我们采用二进制编码形式来表示模糊空间划分问题。一个个体由N+1 个二进制串组成，其中包括N个输入变量和1个输出变量。每个个体 表示有效输入变量和输出变量的模糊子集数，通过我们预先定义的对 应关系可以确定一个有效的模糊空间划分。
模糊解释结构模型方法
模糊解释结构模型方法
模糊解释结构模型方法（Fuzzy Interpretive Structural Modelling，简称FISM）是一种基于模糊集理论和解释性结构建模的方法，用于分析和理解复杂系统中各个组成部分之间的相互关系和影响。
FISM的核心思想是将系统中的各个元素（变量、要素、因素等）通过模糊关系进行连接，并建立一个结构模型来描述它们之间的相互作用。
在FISM中，通过专家或相关研究人员的判
断和经验，确定元素之间的关系强度，并将这些关系表示为模糊集合。
模糊集合中的隶属度函数用来描述元素之间的模糊关系，反映了关系的强度和程度。
在建立结构模型时，FISM采用了图论的概念和方法。
通过分
析元素之间的相互作用，建立起一个包含有向图、边和节点的结构模型。
节点表示系统中的元素，边表示元素之间的相互作用关系。
通过对结构模型进行分析和解释，可以识别出系统中的主导因素、子系统、关键路径等信息，进而为问题解决和决策提供依据和建议。
FISM方法具有较强的灵活性和适应性，可以应用于各种复杂
系统的建模与分析，如社会系统、经济系统、环境系统等。
它不仅可以提供深入的结构分析和理解，还可以通过模拟和预测，为系统的改进和优化提供指导。
数学建模案例分析-- 模糊数学方法建模2小麦品种的模糊模式识别
§2 小麦品种的模糊模式识别把一批来自同一品种的小麦称为一个小麦亲本。
小麦有各种不同的品种，某一品种的小麦有它自己的很多特性，如抽穗期、株高、有效穗数、主穗粒数和百粒重量等数量性质。
然而对于小麦的一个亲本，我们不能凭其中某一粒或某一株小麦去鉴定它的品种。
实际上，同一品种的小麦中，各株小麦的抽穗期显然是不完全相同的。
在同一种小麦中，百粒重量的每一次样本也是不完全相同的，但总是在各自的均值附近摆动。
这样我们就可以把某一品种的小麦看成是一个模糊集。
不同品种的小麦就对应着不同的模糊集。
如果能肯定待识别小麦亲本的模糊集与某一已知品种小麦的模糊集最贴近，那就可以断言它属于该种小麦了。
由于模糊集合是用隶属函数来表示的，而隶属函数又不同于普通的函数，怎样来度量模糊集的模糊性以及怎样比较两个模糊集是否相贴近还是差别很大，这就要引入一些有关模糊集度量的概念。
一、单个模糊集度量 1、模糊度在论域U 上的任意模糊子集~A 的模糊度)(~A D 应满足：（ⅰ）对任意的U x ∈，当且仅当x 对~A 的隶属度)(~x A μ只取0和1时，)(~A D =0 ；（ⅱ）当)(~x A μ=0.5时，)(~A D 应取最大值，即)(~A D =1；（ⅲ）对任意的U x ∈，设U 的两个模糊子集~A 和~B ，若5.0)()(~~≥≥x x B A μμ或5.0)()(~~≤≤x x B A μμ，则有)()(~~A D B D ≥。
2、模糊熵在模糊数学中，用模糊熵描述模糊度，是模糊集合所含模糊性大小的一种度量，这里仅介绍较其它方法为好的仙农函数引出的模糊熵定义。
设~A 是论域U 上的任意模糊子集，当U x ∈时，记))((2ln 1)(~1~i Ai x S n A H μ∑∞==叫做模糊集~A 的熵，此处)1ln()1(ln )(x x x x x S ----=。
容易验证，上述模糊熵满足模糊度的三个条件。
二、多个模糊集度量 1、海明距离设论域U 上的两个模糊子集~A 和~B ，它们之间的海明距离定义为∑=-=ni i B i A x x B A d 1~~)()(),(~~μμ这个定义适用于论域为有限集时，n 是论域中元素的个数，它又称为绝对海明距离。
自动化控制系统中的模糊控制方法与调参技巧
自动化控制系统中的模糊控制方法与调参技巧自动化控制系统中的模糊控制方法是一种基于模糊逻辑的控制策略，可以处理系统模型复杂、不确定性强的问题。
模糊控制方法通过将模糊逻辑应用于控制器设计中，能够有效地应对实际系统中的各种非线性、时变和不确定性因素，提高控制系统的鲁棒性和自适应能力。
在模糊控制系统中，模糊逻辑通过将模糊的自然语言规则转化为数学形式，对系统的输入和输出进行模糊化处理，从而实现对系统的自动控制。
模糊控制方法主要包括模糊推理、模糊建模和模糊控制器设计三个主要步骤。
首先，模糊推理是模糊控制方法的核心，它根据一组模糊规则对输入变量进行模糊推理，从而确定最终的控制策略。
在模糊推理中，需要定义一组模糊规则，每个模糊规则都由若干个模糊集和若干个模糊关系所组成。
通过对输入变量的模糊化处理和模糊规则的匹配，可以得到控制器的输出。
其次，模糊建模是模糊控制方法的前提，它是将实际系统映射为模糊控制系统的关键步骤。
模糊建模可以通过实验数据、专家知识或模型等方式获得系统的输入输出数据，然后利用聚类和拟合等方法建立系统的模糊模型。
模糊建模的目的是找到系统的内在规律和数学模型，以便后续的模糊控制器设计和参数调优。
最后，模糊控制器设计是模糊控制方法的具体实现，它根据模糊推理和模糊建模的结果，确定模糊控制器的结构和参数。
模糊控制器的结构包括输入变量的模糊集合和输出变量的模糊集合，参数则决定了模糊控制器的具体行为。
参数调优是模糊控制器设计的关键环节，通过合理地设置参数，可以使模糊控制器在实际系统中具有良好的控制性能和鲁棒性。
为了获得较好的控制性能，模糊控制系统中的调参技巧是必不可少的。
调参技巧通常包括以下几个方面：首先，选取适当的输入变量和输出变量，并对其进行模糊化处理。
输入变量和输出变量的选择应考虑到系统的特性和控制目标，而模糊化处理的方法则可以采用三角函数、梯形函数等常用的模糊集合类型。
其次，确定模糊规则的数量和形式。
模糊规则的数量和形式直接影响到模糊控制系统的稳定性和鲁棒性。
模糊系统与智能控制技术
模糊系统与智能控制技术随着人工智能技术的不断发展，智能控制技术作为重要的一部分也得到了快速的发展。
其中，模糊系统作为智能控制的重要手段之一，逐渐在工程技术中得到了广泛应用。
一、模糊系统概述模糊系统指的是一类基于模糊数学理论为基础的人工智能系统，用于处理不确定、模糊、复杂的信息和控制问题。
模糊系统一般由模糊集合、模糊逻辑、模糊推理和模糊控制等组成。
模糊集合是模糊系统中的基本概念，通过模糊集合的模糊度来描述信息的不确定性和模糊性。
二、模糊系统在智能控制中的应用在智能控制中，模糊系统应用广泛，主要表现在以下方面：1.模糊控制模糊控制是模糊系统在控制领域中的一种应用，其核心是建立模糊控制器，通过输入变量经过模糊化、规则匹配和解模糊等过程，输出模糊控制量，控制被控对象达到某种期望状态或优化目标。
2.模糊识别模糊识别是指将输出与输入之间的模糊关系进行建模，并通过一定的方法求解识别问题。
常用的模糊识别方法包括模糊C均值聚类、模糊决策树等。
3.模糊优化模糊优化是将模糊规划和优化算法相结合，通过求解模糊集合上的优化问题，确定最优决策方案。
三、模糊系统的优势和不足模糊系统作为一种智能控制技术，在实际应用中有其独特的优势，包括：1.建模简单对于一些复杂、模糊、不易准确建模的问题，采用模糊系统可以使建模过程更加容易，而且表现出的精度和可靠性也比较高。
2.适应性强模糊系统具有一定的自适应性和鲁棒性，在面对变化和不确定性的环境中，能够更好地适应环境变化。
但是，模糊系统也有一定的不足之处，主要包括：1.复杂性高由于模糊系统需要考虑许多未知且不可测的因素，因此其模型结构比较复杂，不易于实现。
2.性能不稳定模糊系统的性能受到多种因素的影响，因此在一些极端情况下，很难保证控制效果的稳定性。
四、结语综上所述，模糊系统作为一种智能控制技术，在实际应用中能够解决许多不确定、模糊、复杂的信息和控制问题，并具有一些独特的优势。
随着人工智能技术的不断发展，相信模糊系统在未来的应用中也会发挥更大的作用。
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常用的数学建模方法，它通过建立线性函数和约束条件，寻找最优解。
线性规划可以应用于各种实际问题，如生产调度、资源分配、运输问题等。
通过确定决策变量、目标函数和约束条件，可以建立数学模型，并利用线性规划算法求解最优解。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量为整数。
整数规划模型常用于一些离散决策问题，如旅行商问题、装箱问题等。
通过引入整数变量和相应的约束条件，可以将问题转化为整数规划模型，并利用整数规划算法求解最优解。
三、非线性规划模型非线性规划是一类目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。
非线性规划模型常见于工程设计、经济优化等领域。
通过建立非线性函数和约束条件，可以将问题转化为非线性规划模型，并利用非线性规划算法求解最优解。
四、动态规划模型动态规划是一种通过将问题分解为子问题并以递归方式求解的数学建模方法。
动态规划常用于求解具有最优子结构性质的问题，如背包问题、最短路径问题等。
通过定义状态变量、状态转移方程和边界条件，可以建立动态规划模型，并利用动态规划算法求解最优解。
五、排队论模型排队论是一种研究队列系统的数学理论，可以用于描述和优化各种排队系统，如交通流、生产线、客户服务等。
排队论模型通常包括到达过程、服务过程、队列长度等要素，并通过概率和统计方法分析系统性能，如平均等待时间、系统利用率等。
六、图论模型图论是一种研究图结构和图算法的数学理论，可以用于描述和优化各种实际问题，如网络优化、路径规划、社交网络等。
图论模型通过定义节点、边和权重，以及相应的约束条件，可以建立图论模型，并利用图算法求解最优解。
七、随机模型随机模型是一种考虑不确定性因素的数学建模方法，常用于风险评估、金融建模等领域。
随机模型通过引入随机变量和概率分布，描述不确定性因素，并利用概率和统计方法分析系统行为和性能。
八、模糊模型模糊模型是一种用于处理模糊信息的数学建模方法，常用于模糊推理、模糊控制等领域。
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这里的每条规则推得的输出是一个通 过代数积把激活强度按比例进行缩减 的模糊集合。
因为对象都采用精确值作为输入，故需使用一个解模糊器把模糊集合转换成精确值。最常 用的解模糊方法是重心法，定义如下： 其中 c ( z) 为总隶属函数。
'
3.2.2
Takagi-Sugeno模糊系统
前面定义的模糊系统称为“标准模糊系统”。现在定义一种“函数模糊系 统”，并讨论它的一种特例——Takagi-Sugeno模糊系统。
那么，cf1 , c R, f1 ( x) f 2 ( x), f1 ( x) f 2 ( x)分别是
因为隶属函数是高斯型 的，它们的乘积也是高 斯型的，所以 cf1 , f1 ( x) f 2 ( x), f1 ( x) f 2 ( x) 仍然保持模糊系统的形 式（ 3 - 7），即cf1 Y, f1 ( x) f 2 ( x) Y, f1 ( x) f 2 ( x) Y。
第三章 模糊建模和模糊辨识
3.1.引言 3.2.模糊模型的类型与分割形式 3.3. 模糊系统的通用近似特性
3.4. 模糊辨识的数据选择
3.5.模糊辨识和估计的最小二乘算法 3.6.模糊辨识和估计的梯度法 3.7.模糊的聚类法 3.8.复合法
3.1.引言
模糊推理系统的基本结构从概念上分为三部分：规则 库、数据集和推理机构。规则库包含一系列规则；数据集 定义模糊规则中用到的隶属函数类型及参数；推理机构按 照模糊推理原理完成给定条件和规则的推理过程以获得一 个合理的输出或结论。
3.3.2
模糊系统的通用逼近性
模糊系统具有非常强的函数近似功能。模糊系统可以用模糊基函数的线性组合来 描述，它能够用来辨识和控制的前提是能逼近任意连续实函数，下面是其理论证明。
定理3.1 （Stone Weierstrass）定理 假设Z是一个在紧密集论域 U上的连续实函数的集合 ，如果 (1) Z对加法、乘法和数乘运 算是封闭的； (2)对于任意x, y U , x y, 存在f Z，使得f ( x) f ( y ); (3)对每个x U , 存在f Z , 使得f ( x) 0。 那么，Z的一致闭包包含 U上所有的连续实函数， 即( Z, d )在(C[U ], d )中是密集的。 其中d ( f1 , f 2 ) sup (| f1 ( x) f 2 ( x) |)是无穷大范数， C[U ], d 为一个赋范空间， C[U ]
3.2.3
Tsukamoto模糊模型
在Tsukamoto模糊模型中，每条模糊if-then规则的结论可由一个具有单调隶属 函数的模糊集合表示，如图3-3所示。因此，每条规则推得的输出可定义为由规则 的激活强度产生的精确值。总的输出可以取每条规则输出的加权平均值。图3-3说 明了一个双输入、双规则系统的全部推理过程。 既然每条规则都推导出了一个精确输出， Tsukamoto模糊模型通过加权平均的 方法把每条规则的输出集成起来，这样就避免了耗时的解模糊过程。
中，反之亦然。人们更 希望二者不完全相同， 这样可以更真实地评价 近似的准确性。我们
从本质上讲，只有式（ 3 - 15 ）和式（ 3 - 10）的结果足够小，才能 保证函数近似的准确性 。 但是因为对所有可能的 输入点测试，就无法完 全保证可以用 f表示g。特别强调的是所选 择函数f的类型对最终的函数近 似准确性有很大影响。
当x分别取x0和y 0时，f ( x0 )和f ( y 0 )可根据式（ 3 - 7）求得，即
2 ( xi0 yi0 ) 因为x y , 总有某个i, x y , 使得 exp[ ] 1, 1 。只要选择z 0, z 1, 2 那么f ( x 0 ) 1 , f ( y 0 ) ,即f ( x 0 ) f ( y 0 ) 0 0 0 i 0 i
其中x(t ) [ x1 (t ), x2 (t ),...,xn (t )]T 是n维状态（这里 n可以不是输入的个数） ; u (t ) [u1 (t ), u2 (t ),...,um (t )]T 是m维模型输入； A i和Bi , i 1,2,...,R, 是适当维的状态和输入 矩阵；z (t ) [ z1 (t ), z2 (t ),...,z p (t )]T 是p维 的模糊系统输入。此 T - S模糊系统以z (t )作为输入，单输出
式中j 1,2,...,M ( M是规则数)；Ai j 是xi的模糊集合，隶属函数 为 A j ( xi ), i 1,2,...,n; B j 是y的
i
模糊集合，隶属函数为 B j ( y )。假设输入变量模糊集 合的隶属函数为高斯函 数，即
输出变量的隶属函数为 单一模糊化（ Singleon ） ,即
3.3 模糊系统的通用近似特性
3.3.1 模糊基函数
考虑一个MISO模糊系统，它的输入变 量为x1 , x2 ,..., xn , 用向量x [ x1 , x2 ,..., xn ]T 表示，x的 论域是实空间上的紧密 集，即x U R n , 模糊系统的输出变量为 y, y的论域是实数域上的 紧密集，即y V R n , 模糊规则的一般形式为
其中M 表示测试集合中已知的 输入 - 输出数据的数目。注意 ：中的数据不一定包含在 G 不知道对于每个 x X用测试集合计算的函数ห้องสมุดไป่ตู้ ( x)和模糊系统f ( x | )之间的估计误差能否 和g ( x)和f ( x | )之间的真实测量误差相 同，但是这是利用已知 信息所唯一能做的，因 此用 来测量估计误差。
j
3.3.3
用于函数近似的模糊系统求解
“通用近似性质”只是保证存在一种方法来定义一个模糊系统f(u)(如通 过选择隶属函数的参数)，也就是说，只是保证了存在这样一个模糊系统，但 是没有说明如何去发现这个模糊系统，而这往往又是非常困难的。进一步的 研究显示，实现任意精度的近似意味着需要任意多的规则。 1.模糊系统求解 模糊系统的通用近似性质的价值只是说明如果在调整参数时比较恰当， 应该能够满足要求的模糊系统。尤其是对于控制，这意味着在用模糊控制器 实现非线性函数时有很大的灵活性。不过一般来讲，通过适当调整给定的模 糊控制器不能保证一定满足稳定性和性能指标，还需要选择合适的控制器输 入和输出，这是因为对于某些对象，无论如何努力地调整模糊控制器（如非 最小相位系统所能取得性能指标就有某些限制），模糊系统会存在一些根本 的限制，使它无法达到某些控制目标。
图3-3 Tsukamoto模糊模型
3.2.4 模糊模型的分割形式
图3-4 输入空间的不同分割方法
三分割如图（b）所示，它显示了一个典型 的三分割，这里每个区域通 过相应的决定数被唯一指定。三分割可解决规则数按指数增长的问题。不 过为了定义这些模糊区域的每个输入需要定义更多的隶属函数，并且这些 隶属函数通常没有清楚的语言意义，比如“小”和“大”等。 散开分割如图（c）所示，通过覆盖整个输入空间的一个子集，也就是 输入向量可能发生的区域，散开分割可以把规则数限制到一个合理的数量 上。
(3)最后证明 (Y , d )对U中的任何x都有f , 使得f ( x) 0。 假设x 0 U , 权值修改公式如下：
其中， i F0i F ( si ), F0i 为应有的输出， F ( si )和 | A* | c为综合聚类神经元数， 只要选择所 有的z 0( j 1,2,...,M ), 就可以使f ( x 0 ) 0, 因此这样的f是存在的。 因为FBF是连续实函数， f ( x)作为FBF的线性展开式也是连续 实函数。Y是在紧密集U R n 上的一个连续实函数的 集合，并且满足以上三 个条件，根据 Stone Weierstrass定理，Y包含 U上的所有连续实函数。 所以，总有f(x) 能以任意精度逼近紧密 集U上的任意连续实函数 g(x)
对于函数模糊系统，采用单一模糊化，第i条MISO形式的规则为
对于一个函数模糊系统，可以采用适当的操作（如最小化或乘积）来表示条件，按式 （3-2）进行解模糊，即
其中定义 这里假设函数模糊系统是恰当定义的，使得无论输入为何值，都满足
i 1
R
i
0
T-S模糊系统可以用任何线性映射作为输出函数。把一个线性动态系统作 为输出函数的映射，这样第i条规则的形式如下：
定义3.1 如果
存在，定义为估计误差 的上限。根据这个定义 ，要求g完全已知，但是这正是 所要求解 的，由于只知道一个有 限的数据集合 G，因此只能在由某些输 入 - 输出数据集合给出的 一些点，通过计算 g ( x)和f ( x | )之间的误差来评价估计 的准确性。这些输入- 输出数据 集合称为测试集合，用 表示，即
xU
是U上所有连续函数的集合 。 定理3.2FBF展开式的通用逼近性 假设Y是所有FBF展开式（ 3 - 8）的集合，FBF的定义见式（ 3 - 9） .对于在紧密集U R n 上的任何给定的连续实 函数g和任何 0, 都存在f Y , 使得
证明 (1)首先证明 (Y , d )对代数运算的封闭性。 假设f1 , f 2 Y , 它们可以表示为
2.辨识，估计和预测之间 的关系 模糊系统f ( x | )定义如下：
令N q p 1, x(k )和是N 1维向量。 类似于传统的线性系统 辨识，对于模糊辨识， 在式（ 3 - 18）定义一个合适的递归 向量x, 通过调节模糊系统 f ( x | )使得e( x)减小。因为模糊系统 f ( x | )比线性系统具有更好的 函 数近似能力，适当调节 模糊系统的参数可以更 准确地完成非线性系统 的辨识。
(2)其次证明 (Y , d )可以分离U中的元素。 假设任意x 0 , y 0 U , x 0 y 0 , 要构造一个f Y , 使得f ( x 0 ) f ( y 0 )。设计只有2条规则，即