平行线的性质2
平行线的性质及推导方法
平行线的性质及推导方法平行线，是指在同一个平面内，永不相交的两条直线。
平行线的性质与推导方法是几何学中的重要内容，下面我们将详细介绍平行线的性质及推导方法。
一、平行线的性质1. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线将被两条平行线所截成的锐角和钝角互补。
证明：设直线l与平行线m和n相交于A点，BC与m、n平行。
由平行线的性质可知∠ABC=∠ACD，又∠ABC+∠ACD=180°（线l与m、n相交，∠ABC和∠ACD互补），所以∠ABC和∠ACD互补。
2. 平行线的性质之间的关系：如果两条平行线被一条交线所截，那么它们与这条交线所构成的内错角、内外错角、对顶角以及同位角是相等的。
证明：设直线l与平行线m和n相交于点O，AB与m平行，CD与n平行。
先证明内错角相等，连接AC、BD。
由三角形的内角和为180°可知∠ACB+∠BCA+∠CDA+∠DAB=180°，∠ACB+∠BCA+∠ADB=180°（∠CDA和∠DAB互补），所以∠ACB+∠BCA+∠CDA+∠DAB=∠ACB+∠BCA+∠ADB，化简得∠CDA=∠ADB。
同理可证∠ACD=∠ABC，∠BAC=∠DCB，∠ADC=∠BCD。
二、平行线的推导方法1. 利用平行线的性质证明线段比例关系。
证明：设AB与CD分别是平行线m和n上的两个点，交线AC与BD相交于E点。
若已知AE:EC=BD:DE，要证明AB:BC=BD:DC（即证明∆ABD∽∆CBD）。
由已知的比例关系可得：AE/EC=BD/DE，即AE/BD=EC/DE。
又因为∠AEB和∠CDE为同位角，根据同位角定理可知∠AEB=∠CDE。
由此可得∆ABE∽∆CDE，进一步得出AB:BE=CD:DE。
同理可证∆CBD∽∆ADE，从而得出BC:BD=DE:DA。
综合上述比例关系，可以得出AB:BC=BD:DC，证明了平行线性质下的线段比例关系。
五年级下册人教版数学知识点认识平行线与垂直线
五年级下册人教版数学知识点认识平行线与垂直线五年级下册人教版数学知识点：认识平行线与垂直线在五年级下册的数学学习中，平行线与垂直线是一个重要的知识点。
正确理解和掌握平行线与垂直线的概念及其性质对我们进一步学习几何知识具有重要意义。
本文将介绍平行线与垂直线的定义、特性以及如何在平面图形中判断它们的关系。
一、平行线的定义与特性1. 平行线的定义：平行线是在同一个平面内，永不相交的直线。
当两条直线之间没有任何交点时，它们是平行线。
2. 平行线的性质：平行线具有以下重要性质：（1）平行线之间的距离相等：若两条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离相等，那么这两条直线是平行线。
（2）平行线与平面图形的关系：如果一条直线与一个平面内的一条直线平行，那么它与这个平面内的平行线都平行。
（3）平行线传递性：如果有一条直线与另外两条直线分别平行，那么这两条直线也是平行的。
（4）平行线的判定：通过测量线段长度、使用两角相等定理等方法可以判定直线是否平行。
二、垂直线的定义与特性1. 垂直线的定义：垂直线是与另一条线段或直线形成直角的线段或直线。
2. 垂直线的性质：垂直线具有以下重要性质：（1）垂直线之间的夹角为90度：两条直线相交而形成的夹角为90度时，它们是垂直线。
（2）垂直线的判定：通过测量角度、使用垂直角性质等方法可以判定直线是否垂直。
三、平行线与垂直线在平面图形中的应用1. 平行线的应用：在解决几何问题中，平行线的应用非常广泛。
例如，我们可以利用平行线的性质来判断图形的对称性、计算物体的阴影长度、构造几何图形等。
2. 垂直线的应用：垂直线在几何问题的解决中也占有重要地位。
比如，我们可以利用垂直线的性质来判断几何图形的直角、计算图形的面积等。
总结：通过对五年级下册人教版数学的学习，我们了解到了平行线与垂直线的定义、性质以及在平面图形中的应用。
正确理解和掌握这些知识点，有助于我们在解决几何问题时能够灵活运用，提高数学解题的能力。
(新人教版)数学七年级下册：5.3.1《平行线的性质(第2课时)》教学设计(两套)
5.3.2平行线的性质(第2课时)平行线的性质(二)教学目标1.经历观察、操作、推理、交流等活动,进一步发展空间观念,推理能力和有条理表达能力.2.理解两条平行线的距离的含义,了解命题的含义,会区分命题的题设和结论.3.能够综合运用平行线性质和判定解题. 重点、难点重点:平行线性质和判定综合应用,两条平行的距离,命题等概念. 难点:平行线性质和判定灵活运用. 教学过程 一、复习引入1.平行线的判定方法有哪些?(注意:平行线的判定方法三种,另外还有平行公理的推论)2.平行线的性质有哪些.3.完成下面填空.已知:如图,BE 是AB 的延长线,AD ∥BC,AB ∥CD,若∠D=100°,则∠C=_____, ∠A=______,∠CBE=________.4.a ⊥b,c ⊥b,那么a 与c 的位置关系如何?为什么?cb二、进行新课1.例1 已知:如上图,a ∥c,a ⊥b,直线b 与c 垂直吗?为什么?学生容易判断出直线b 与c 垂直.鉴于这一点,教师应引导学生思考:(1)要说明b ⊥c,根据两条直线互相垂直的意义, 需要从它们所成的角中说明某个角是90°,是哪一个角?通过什么途径得来?(2)已知a ⊥b,这个“形”通过哪个“数”来说理,即哪个角是90°.(3)上述两角应该有某种直接关系,如同位角关系、内错角关系、同旁内角关系,你能确定它们吗?让学生写出说理过程,师生共同评价三种不同的说理. 2.实践与探究(1)下列各图中,已知AB ∥EF,点C 任意选取(在AB 、EF 之间,又在BF 的左侧).请测量各图中∠B 、∠C 、∠F通过上述实践,试猜想∠B 、∠F 、∠C 之间的关系,写出这种关系,试加以说明.E D C B AFECBAFECBA(1) (2) 教师投影题目:学生依据题意,画出类似图(1)、图(2)的图形,测量并填表,并猜想:∠B+∠F=∠C.在进行说理前,教师让学生思考:平行线的性质对解题有什么帮助? 教师视学生情况进一步引导:①虽然AB ∥EF,但是∠B 与∠F 不是同位角,也不是内错角或同旁内角. 不能确定它们之间关系.②∠B 与∠C 是直线AB 、CF 被直线BC 所截而成的内错角,但是AB 与CF 不平行.能不能创造条件,应用平行线性质,学生自然想到过点C 作CD ∥AB,这样就能用上平行线的性质,得到∠B=∠BCD.③如果要说明∠F=∠FCD,只要说明CD 与EF 平行,你能做到这一点吗?以上分析后,学生先推理说明, 师生交流,教师给出说理过程.FEDCB A作CD ∥AB,因为AB ∥EF,CD ∥AB,所以CD ∥EF(两条直线都与第三条直线平行, 这两条直线也互相平行).所以∠F=∠FCD(两直线平行,内错角相等).因为CD ∥AB.所以∠B=∠BCD(两直线平行,内错角相等).所以∠B+∠F=∠BCF. (2)教师投影课本P23探究的图(图5.3-4)及文字.①学生读题思考:线段B 1C 1,B 2C 2……B 5C 5都与两条平行线的横线A 1B 5和A 2C 5垂直吗?它们的长度相等吗?②学生实践操作,得出结论:线段B 1C 1,B 2C 2……,B 5C 5同时垂直于两条平行直线A1B5和A 2C 5,并且它们的长度相等.③师生给两条平行线的距离下定义.学生分清线段B 1C 1的特征:第一点线段B 1C 1两端点分别在两条平行线上,即它是夹在这两条平行线间的线段,第二点线段B 1C 1同时垂直这两条平行线. 教师板书定义:(像线段B 1C 1)同时垂直于两条平行线, 并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离.④利用点到直线的距离来定义两条平行线的距离.F EDCBA教师画AB ∥CD,在CD 上任取一点E,作EF ⊥AB,垂足为F.学生思考:EF 是否垂直直线CD?垂线段EF 的长度d 是平行线AB 、CD 的距离吗? 这两个问题学生不难回答,教师归纳:两条平行线间的距离可以理解为:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离.教师强调:两条平行线的距离处处相等,而不随垂线段的位置改变而改变. 3.了解命题和它的构成.(1)教师给出下列语句,学生分析语句的特点.①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行; ②等式两边都加同一个数,结果仍是等式; ③对顶角相等;④如果两条直线不平行,那么同位角不相等.这些语句都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断. (2)给出命题的定义.判断一件事情的语句,叫做命题.教师指出上述四个语句都是命题,而语句“画AB ∥CD”没有判断成分,不是命题.教师让学生举例说明是命题和不是命题的语句. (3)命题的组成.①命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项. ②命题的形成.命题通常写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.有的命题没有写成“如果……，那么……”的形式，题设与结论不明显，这时要分清命题判断了什么事情，有什么已知事项，再改写成“如果……，那么……”形式. 师生共同分析上述四个命题的题设和结论,重点分析第②、③语句. 第②命题中,“存在一个等式”而且“这等式两边加同一个数”是题设， “结果仍是等式”是结论。
平行线与相交线的关系知识点
平行线与相交线的关系知识点在几何学中，平行线和相交线是两个基本的几何概念，它们之间有着密切的关联。
本文将介绍平行线与相交线的性质以及它们之间的一些重要关系。
一、平行线的定义与性质平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线。
两条平行线之间的距离始终保持相等，且它们的斜率也相等。
平行线具有以下性质：1. 平行线的性质一：同一平面内两直线要么相交于一点，要么平行。
2. 平行线的性质二：如果一条直线与另外两条平行线相交，那么这两条平行线之间的对应角相等。
3. 平行线的性质三：平行线的倾斜角度相等。
4. 平行线的性质四：两条平行线与一条相交线所构成的内角和为180度。
二、相交线的定义与性质相交线是指在同一个平面上交于一点的两条直线。
相交线之间的夹角是它们各自的内角和，且夹角的大小和形状取决于直线的倾斜程度。
相交线具有以下性质：1. 相交线的性质一：相交线之间夹角的大小可以是锐角、直角或钝角。
2. 相交线的性质二：相交线之间夹角的大小等于其对应的对顶角。
3. 相交线的性质三：两条相交线若交于一点，则点的坐标满足这两条直线的方程。
三、平行线与相交线的关系平行线与相交线之间有以下重要的关系：1. 平行线切割相交线：如果一条直线与一对平行线相交，那么它将会把这对平行线切割成相似的线段。
2. 内错角与同旁内角：当一条直线与两条平行线相交时，所构成的对应角（内错角）相等，而相应于同旁外角（同旁内角）也相等。
3. 平行线的判定：如果两条直线与一条相交线所构成的内外角相等，那么这两条直线是平行的。
4. 平行线的传递性：如果直线a与直线b平行，直线b与直线c平行，那么直线a与直线c也平行。
通过对平行线和相交线的定义、性质以及它们之间的关系的认识，我们能够更好地理解几何学中的相关概念，并应用它们解决问题。
总结：平行线是在同一平面上永不相交的直线，其性质包括对应角相等、倾斜角相等以及内角和为180度等；相交线是在同一平面上交于一点的直线，其性质包括夹角等于内角和以及夹角的种类；平行线与相交线之间的关系包括平行线切割相交线、内错角与同旁内角相等、平行线的判定方法以及平行线的传递性。
初中数学《平行线的性质》第2课时课件
5.如何过直线外一点画已知直线的平行线。
看一看，想一想
楼梯的两边像两条 平行线，观察思考：楼 梯的宽度指的是哪些线 段的长？它们都相等吗？ 这些线段与这两条平行 线有怎样的位置关系？
画一画，量一量
画两条平行线，过其中一条直线 上任意一点画另一条直线的垂线，测 量垂线段的长度，再过直线上的另一 点画平行线的垂线段，度量所画线段 的长度，你有什么发现？
例题分析
已知：直线AB//直线CD，△ACD的面积是8，CD=4， （1）求：这两条平行线之间的距离； （2）求：△BCD的面积 （3）通过计算你发现△BCD的面积与△ACD的面积有什么 关系？ （4）请找出面积相等的三角形有哪几对？
【总结提升】
1.三种距离：两点之间的距离 点到直线的距离
ห้องสมุดไป่ตู้两条平行线之间的距离
2.平行线性质：两条平行线间的距离处处相等. 转化为符号语言：
∵直线m//直线n， AB ⊥直线n, CD⊥直线n,
∴AB=CD 3.应用找平行线间的等积三角形。
谢谢大家！祝同学们学习进步！
反思发现
平行线间的距离 两条平行线，其中一条直线上的任
意一点到另一条直线的距离叫做这两条平 行线间的距离.
如图：直线s//直线t，AB ⊥直线t, 则AB的长是直线s、t的距离
平行线性质 文字语言： 两条平行线间的距离处
处相等. 符号语言：∵直线m//直线n，
AB⊥直线n, CD⊥直线n, ∴AB=CD
两条平行线之间的距 离
明确目标
1.通过实际操作、观察、思考、总结两 条平行线之间的距离的定义和两条平行 线之间距离处处相等的性质。体会新知 识的形成过程。 2.会画图测量两条平行线之间的距离. 3.能运用平行线之间的距离这一概念及 平行线的性质进行简单的计算和说理。
平行线与垂直线
平行线与垂直线平行线和垂直线是几何学中的两种特殊线段关系。
它们在数学和日常生活中都有重要的应用。
本文将详细介绍平行线和垂直线的概念、性质以及它们在几何学中的应用。
一、平行线平行线是指位于同一个平面内且不相交的两条直线。
它们之间的距离始终保持相等，永远不会相交或交叉。
平行线的符号表示为“∥”。
1. 平行线的定义两条直线如果在同一个平面内且不相交，那么它们就是平行线。
2. 平行线的性质（1）平行线之间的距离始终相等，任意延长都不会相交。
（2）平行线的斜率相等，即具有相同的倾斜度。
（3）平行线的角度和内角相等，外角互补。
3. 平行线的应用平行线在现实生活中有各种应用。
例如，在建筑设计中，平行线用于确保建筑物的结构稳定；在地图绘制中，平行线用于标记纬度线，帮助导航和地理定位。
二、垂直线垂直线是指与另一条线段相交成直角的线段。
两条垂直线段之间的夹角为90度，称为“直角”。
垂直线的符号表示为“⊥”。
1. 垂直线的定义两条线段如果相交成直角，则它们是垂直线。
2. 垂直线的性质（1）垂直线之间的夹角为90度。
（2）垂直线的斜率互为相反数，即一个为正斜率，另一个为负斜率。
（3）垂直线上任意两点连线的斜率为-1。
3. 垂直线的应用垂直线在几何学和物理学中起着重要作用。
在建筑设计中，垂直线用于确保建筑物的垂直和水平度；在电路设计中，垂直线用于表示电子元件之间的正交关系。
总结：平行线和垂直线是几何学中重要的概念。
平行线位于同一个平面内且永不相交，而垂直线则与另一条线段相交成直角。
它们各自具有特定的性质和应用。
了解这些概念对于解决几何问题以及应用于实际生活中的设计和测量都是非常重要的。
通过对平行线和垂直线的学习，我们可以更好地理解空间关系，增强我们的几何思维能力，并运用它们解决实际问题。
因此，对于学生来说，掌握平行线和垂直线的概念和性质是数学学习中的基础知识，也是迈向高级数学和应用数学的第一步。
无论是在日常生活还是在其他学科中，平行线和垂直线都具有广泛的应用，我们应当加强对它们的理解和运用。
平行线的定律
平行线的定律平行线的定律是几何学中重要的基本原理之一，它被广泛应用于各种数学问题的解决中。
平行线的定律在我们的日常生活中也有着许多应用，比如在建筑设计、道路规划和电子设备制造等领域。
本文将详细介绍平行线的定律以及其应用。
一、平行线的定义平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条直线。
根据平行线的定义，我们可以得出以下定理：1.同位角定理：当一条直线被两条平行线所切割时，同位角相等。
2.内错角定理：当两条平行线被一条横截线所切割时，内错角相等。
3.同旁内角定理：当两条平行线被一条横截线所切割时，同旁内角互补。
二、平行线的性质平行线的定律不仅具有上述定义和定理，还有一些基本性质需要我们了解和运用。
1.平行线具有传递性：如果直线A与直线B平行，直线B与直线C 平行，那么直线A与直线C也平行。
2.平行线具有对称性：如果直线A与直线B平行，那么直线B与直线A也平行。
3.平行线与交线的关系：如果两条直线相交，那么它们所形成的相邻内角互补，即和为180度。
三、平行线的应用平行线的定律在我们的日常生活中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用示例：1.建筑设计：在建筑设计中，平行线的定律被用于确定建筑物的平面布局。
例如，在设计一个多层建筑时，需要考虑楼层之间的平行性，以确保建筑物的结构稳定。
2.道路规划：在道路规划中，平行线的定律被用于确定道路的走向和交叉口的位置。
平行的道路可以提高车辆的通行效率，减少拥堵。
3.电子设备制造：在电子设备制造中，平行线的定律被用于设计电路板和连接器的布局。
平行的导线可以减少干扰和信号损失，提高电子设备的性能。
四、结语平行线的定律是几何学中的重要内容，具有广泛的应用。
通过学习平行线的定义、定理和性质，我们可以更好地理解和运用平行线的概念。
在实际问题中，我们可以利用平行线的定律解决各种数学和几何问题，也可以应用到我们的日常生活中。
希望本文对你理解平行线的定律有所帮助。
17平行线的性质2
练习3
如图，⑴如果AB//PC， 2 3 ∠P=35°，那么 5 4 ∠PAB=_____ ； 145° B C ⑵如果AD//BC，∠2=18°， 58° ； ∠5=40°，那么ABC=_____ 3 ； ⑶如果AP//BD，那么∠P=∠___
A
P
1 D
180° ⑷如果AB//CD，那么∠ABC+ ∠C =____.
复习回顾
两直线平行
性质 条件
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
条件：角的关系 性质：线的关系
线的关系 角的关系
举手回答
（1）因为AB//CD 所以∠1=∠2（ ） （2）因为∠3＝∠1 所以 //__（ ） （3）因为∠1＋∠（ ） ＝180 ， 所以AB//CD（ ）
（1）若∠1=∠2，可以判定哪两条 直线平行？根据是什么？ （2）若∠2=∠M，可以判定哪两条 直线平行？根据是什么？ （3）若∠2 +∠3=180°，可以判定 哪两条直线平行？根据是什么？
如图 ， AB∥CD，如果∠1=∠2， 那么 EF 与 AB 平行吗？说明理由
例2
如图，已知直线a∥b，直线 c∥d，∠1=107°，求∠2，∠3 的度数.
练习2
如图，AE∥CD，若∠1 = 37°， ∠D =54°，求∠2 和∠BAE的 度数.
A
B
例3
C
1
E
2
D
如图，直线AB//CD，E在AB与 CD之间，且∠B=61°， ∠D=34°.求∠BE知AG//CF，AB//CD，∠A＝40求 ∠C的度数。（注意解题步骤）
解: ∵ AG//CF(已知 ) ∴ ∠A=∠1 G
E
A (两直线平行,同位角相等)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
使此洞两边准确接通。
〖点拨方法〗实际应用问题，数形结合，先引导
学生在讲义上画出符合条件的路线图，再利用平行线的性质进行求解。
（3）如图EF ∥AD ，∠1＝∠2，∠BAC ＝70°，求∠AGD 的度数?
3
2
1
G
D F
B
C
A E
2.小组合作探究题：
（1）如图：∠1＝∠2，能判断AB ∥DF 吗？为什么？若不能判断AB ∥DF ，
你认为还需要再添加的一个条件是什么呢？写出这个条件，并说明你的理由。
〖点拨方法〗发散型的题目，可以有很多解，请
学生小组讨论尝试，然后派小组代表上前演示，方法越多越好。
可以通过小组竞赛的方式，看哪个组的方法最多最准确，来提高学生的积
〖参考答案〗92°
〖讲评策略〗教师提示，学生独立思
考后写出完整过程，与同伴交流。
2．已知：如图∠1＝∠2， ∠A ＝∠C , 说明：AE ∥BC 。
〖参考答案〗∵∠1＝∠2（已知）
∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行） ∴∠A ＝∠3（两直线平行，同位角相等） ∵∠A ＝∠C （已知） ∴∠3＝∠C （等量代换）
∴AE ∥BC （内错角相等，两直线平行） 〖讲评策略〗本题过程不算复杂，可由学生讲评，并在黑板上板书完整的推理过程，再由教师进行点拨。
3．如图，在∆ABC 中，CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F ，AC //ED ，CE 是∠ACB 的平分线，则∠EDF =∠BDF ，请说明理由。
时，两直线平行 数量 → 位置 ②性质是说：当两直线平行时，具备什么性质 位置 → 数量
⑵两点间的距离：连接两点的线段的长度.。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
两平行线的距离：夹在两平行线间的垂线段的长度。
强调：
①夹在这两条平行线间的线段必须与这两条平行线垂直；
②线段是图形，而距离是长度，是一个数量；
③两条平行线间的距离处处相等。
2.方法指导
在解决复杂的证明时，常采取执果索因、执因索果同时进行的方法，即由已知条件找出能得到的结论，由结论索取需要的条件，这样当这两条思路汇合在一处时，再好好组织语言，用综合法书写解题过程。
〖设计说明〗通过对知识的总结，强化学生的理解和记忆，符合认知规律。
并且引导学生自我学习时也能够合理归纳思考。
〖参考答案〗∵CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F （已知） ∴∠DFE ＝∠CEA ＝90°（垂直的定义）
∴DF ∥CE （同位角相等，两直线平行）
∴∠EDF ＝∠3（两直线平行，内错角相等）∵AC//ED （已知）∴∠1＝∠BDF(两直线平。