升降幂公式
三角函数升幂公式和降幂公式
三角函数升幂公式和降幂公式升幂公式：(cosA)^2=(1+cos2A)/2，降幂公式：(sinA)^2=(1-cos2A)/2。
升幂公式是三角恒等变形中的常用公式，与降幂公式相对应。
它是二倍角公式的变形，是将一个角的三角函数变形成为二次的该角三角函数的形式，变换后该角缩小了1/2倍，因此也叫升幂缩角公式。
三角函数中的降幂公式可降低三角函数指数幂。
多项式各项的先后按照某一个字母的指数逐渐减少的顺序排列,叫做这一字母的降幂。
直接运用二倍角公式就是升幂，将公式Cos2α变形后可得到降幂公式。
拓展知识：三角函数的降幂公式是什么三角函数的降幂公式是：cos²α=(1+cos2α)/2sin²α=(1-cos2α)/2tan²α=(1-cos2α)/(1+cos2α)运用二倍角公式就是升幂，将公式cos2α变形后可得到降幂公式：cos2α=cos²α－sin²α=2cos²α－1=1－2sin²α∴cos²α=(1+cos2α)/2sin²α=(1-cos2α)/2降幂公式，就是降低指数幂由2次变为1次的公式，可以减轻二次方的麻烦。
2初中三角函数的公式锐角三角函数公式sinα=∠α的对边/斜边cosα=∠α的邻边/斜边tanα=∠α的对边/∠α的邻边cotα=∠α的邻边/∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA.CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)(注：SinA^2是sinA的平方sin2(A))三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B。
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sin sin 2sin
cos
22sin sin 2cos sin
22
cos cos 2cos cos
22cos cos 2sin sin
22
αβ
αβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβ+-+=⋅+--=⋅+-+=⋅+--=-⋅
[][]
[]
[]
1
sin cos sin()sin()21
cos sin sin()sin()2
1
cos cos cos()cos()21
sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⋅=
++-⋅=+--⋅=++-⋅=-+--
化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）
22sin cos sin()a x b x a b x φ±=+±
其中φ角所在的象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan b
a
φ
=
确定
六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
”。
高中数学概念公式大全
高中数学概念公式大全一、 三角函数1、以角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴正半轴建立直角坐标系,在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ,点P 到原点的距离记为r ,则sin α=r y ,cos α=r x ,tg α=x y ,ctg α=y x ,sec α=xr ,csc α=y r ; 2、同角三角函数的关系中,平方关系是：222222 倒数关系是：1=⋅ααctg tg ,1csc sin =⋅αα,1sec cos =⋅αα； 相除关系是：αααcos sin =tg ,αααsin cos =ctg ; 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变,符号看象限;如：=-)23sin(απαcos -,)215(απ-ctg =αtg ,=-)3(απtg αtg -; 4、函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +,最小值是A B -,周期是ωπ2=T ,频率是πω2=f ,相位是ϕω+x ,初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω,凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心;5、三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈,递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈,递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈,tgx y =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈,ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈;6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ±=±)cos(βαβαβαsin sin cos cos=±)(βαtg βαβαtg tg tg tg ⋅± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2⋅cos2α=αα22sin cos -=1cos 22-α=α2sin 21-tg2α=αα212tg tg -; 8、三倍角公式是：sin3α=αα3sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43-9、半角公式是：sin 2α=2cos 1α-± cos 2α=2cos 1α+± tg 2α=ααcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +;10、升幂公式是：2cos2cos 12αα=+ 2sin 2cos 12αα=-; 11、降幂公式是：22cos 1sin 2αα-=22cos 1cos 2αα+=; 12、万能公式：sin α=21222ααtg tg + cos α=212122ααtg tg +- tg α=21222ααtg tg - 13、sin βα+sin βα-=βα22sin sin -,cos βα+cos βα-=βα22sin cos -=αβ22sin cos -;14、)60sin()60sin(sin 400ααα+-=α3sin ；)60cos()60cos(cos 400ααα+-=α3cos ；)60()60(00ααα+-tg tg tg =α3tg ;15、ααtg ctg -=α22ctg ; 16、sin180=415-; 17、特殊角的三角函数值：18、正弦定理是其中R 表示三角形的外接圆半径：R Cc B b A a 2sin sin sin === 19、由余弦定理第一形式,2b =B ac c a cos 222-+ 由余弦定理第二形式,cosB=acb c a 2222-+ 20、△ABC 的面积用S 表示,外接圆半径用R 表示,内切圆半径用r 表示,半周长用p 表示则：① =⋅=a h a S 21；② ==A bc S sin 21； ③C B A R S sin sin sin 22=；④R abc S 4=； ⑤))()((c p b p a p p S ---=；⑥pr S =21、三角学中的射影定理：在△ABC 中,A c C a b cos cos ⋅+⋅=,…22、在△ABC 中,B A B A sin sin <⇔<,…23、在△ABC 中：-tgC B)+tg(A -cosC B)+cos(A sinC=B)+sin(A == 2cos 2sin C B A =+ 2sin 2cos C B A =+ 22C ctg B A tg =+ tgC tgB tgA tgC tgB tgA ⋅⋅=++24、积化和差公式：①)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅, ②)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅, ③)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅,④)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅;25、和差化积公式： ①2cos 2sin2sin sin y x y x y x -⋅+=+, ②2sin 2cos 2sin sin y x y x y x -⋅+=-, ③2cos 2cos 2cos cos y x y x y x -⋅+=+, ④2sin 2sin 2cos cos y x y x y x -⋅+-=-; 二、 函数1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素,则集合A 的所有不同的子集个数为n 2,所有非空真子集的个数是22-n ;二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是ab x 2-=,顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，;用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即（一般式）c bx ax x f ++=2)(,（零点式）)()()(21x x x x a x f -⋅-=和n m x a x f +-=2)()( 顶点式;2、 幂函数nm x y = ,当n 为正奇数,m 为正偶数,m<n 时,其大致图象是3、 函数652+-=x x y 的大致图象是由图象知,函数的值域是)0[∞+，,单调递增区间是)3[]5.22[∞+，和，,单调递减区间是]35.2[]2(，和，-∞;三、 反三角函数1、x y arcsin =的定义域是-1,1,值域是]22[ππ，-,奇函数,增函数； x y arccos =的定义域是-1,1,值域是]0[π，,非奇非偶,减函数； arctgx y =的定义域是R,值域是)22(ππ，-,奇函数,增函数； arcctgx y =的定义域是R,值域是)0(π，,非奇非偶,减函数;2、当x x x x x ==-∈)cos(arccos )sin(arcsin ]11[，时，，； 221)cos(arcsin 1)sin(arccos x x x x -=-=，x x x x arccos )arccos(arcsin )arcsin(-=--=-π，2arccos arcsin π=+x x对任意的R x ∈,有： 2)()()()(ππ=+-=--=-==arcctgx arctgx arcctgx x arcctg arctgx x arctg xarcctgx ctg x arctgx tg ，， 当x arctgx ctg x arcctgx tg x 1)(1)(0==≠，时，有：; 3、最简三角方程的解集：{}{}{}{}。
高一数学必修一所有公式归纳
高一数学必修一所有公式归纳高一数学必修一所有公式归纳是如下：1、锐角三角函数公式：sinα=∠α的对边/斜边。
2、三倍角公式：sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)。
3、辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)。
4、降幂公式：sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2。
5、推导公式：tanα+cotα=2/sin2α。
数学必修一数学公式如下：1、2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)。
2、tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)。
3、cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a。
4、tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)。
5、-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB。
数学必修一公式归纳：一、指数与指数幂的运算1、根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈*.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。
注意：当是奇数时，当是偶数时。
2、分数指数幂。
正数的分数指数幂的意义，规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.3、实数指数幂的运算性质。
三角函数公式记忆方法
9、辅助角公式：������ = ������������������������ ������ + ������ ������������������ ������
√������2 + ������2 b
a
3.弧长及扇形面积公式： 弧长公式： l = r
----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径
4.任意角的三角函数
扇形面积公式:S= 1 l r = 1 r2
22
y
设 是一个任意角，它的终边上一点 p（x，y）, (r= x2 + y 2 >0)
(1)正弦 sin = y
余弦 cos = x
正切 tan = y
r
r
x
x
(2)各象限的符号：（口诀：全正切余）
y
+
+
O
x
+—
—
y
—+
+
x
—O +
y
—+ O
+—
sin
cos
tan
5.同角三角函数的基本关系：
（1）平方关系：sin2 + cos2 =1。 （2）商数关系： sin =tan （ + k , k z ）
奇偶性
减区间： 增区间：
增区间：
8、两角和差公式：口诀（正弦：正余余正，符号相同。 余弦：余余正正，符号相反）
+
−
2
sin
cos
tan
降幂公式： 1+cos = 2 cos 2
2
1-cos = 2sin2
2
升幂公式 ： cos2 = 1 + cos 2
三角恒等变换(和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公式)(学生版) 2025年高考数学一轮复习学案
第02讲三角恒等变换（和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公式）（14类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等或偏难，分值为5-11分【备考策略】1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用，需加强复习备考1.正弦的和差公式()βαsinβααβ=sin++sincoscos ()ββαsinααβ-=sincoscossin-2.余弦的和差公式()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-3.正切的和差公式()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=-4.正弦的倍角公式⇒=αααcos sin 22sin ααα2sin 21cos sin =5.余弦的倍角公式()()αααααααsin cos sin cos sin cos 2cos 22-+=-=升幂公式：αα2sin 212cos -=，1cos 22cos 2-=αα降幂公式：22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=6.正切的倍角公式ααα2tan 1tan 22tan -=7.半角公式(1)sin α2＝(2)cos α2＝(3)tan α2＝±＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.以上称之为半角公式，符号由α2所在象限决定．8.万能公式22222tan1tan 2tan222sin cos tan 1tan1tan 1tan 222x x x x x x xxx -===++-9.和差化积与积化和差公式sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=2sin cos sin()sin()A B A B A B =++-2cos cos cos()cos()A B A B A B =++-2sin sin cos()cos()A B A B A B =--+10.推导公式2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα11.辅助角公式x b x a y cos sin +=，)0(>a )sin(22ϕ++=⇒x b a y ，其中a b =ϕtan ，)2,2(ππϕ-∈1．（福建·高考真题）sin15cos 75cos15sin105°°+°°等于（ ）A ．0B ．12C ．1D2．（全国·高考真题）o o o o sin 20cos10cos160sin10-=A．BC ．12-D ．123．（2020·全国·高考真题）已知πsin sin =31q q æö++ç÷èø，则πsin =6q æö+ç÷èø（ ）A ．12BC ．23D4．（2024·全国·高考真题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ+，则sin()αβ+=.1．（2024高三·全国·专题练习）sin 435=o ．2．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(P -，则πsin 6αæö-=ç÷èø（ ）A ．12-B ．12C D ．13．（2024高三·全国·专题练习）化简：ππsin cos cos sin 33æöæö+-+=ç÷ç÷èøèøαααα．4．（2024·河南·三模）若1sin()6αβ-=，且tan 2tan αβ=，则sin()αβ+=（ ）A B C ．23D ．125．（2024·云南·模拟预测）若πsin sin 3q q æö++=ç÷èøπsin 6q æö+=ç÷èø（ ）A ．12B C ．13D1．（高考真题）()sin163sin223sin253sin313 °°+°°=A ．12B ．12-C D ．2．（2024·全国·高考真题）已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（ ）A ．3m-B ．3m-C ．3m D ．3m3．（2023·全国·高考真题）已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（ ）．A ．79B ．19C ．19-D ．79-1．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππcos ,sin 33P æöç÷èø，则πcos 6αæö-=ç÷èø（ ）A ．0B ．12C D 2．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知35=cos α，π0,2αæö∈ç÷èø，12sin 13β=，π,π2βæö∈ç÷èø，则()cos αβ-=（ ）A ．3365B ．5665C ．6365D ．1665-3．（2024·四川宜宾·模拟预测）若πcos cos 13ααæö-+=-ç÷èø，则πcos 6αæö-=ç÷èø（ ）A ．BCD ．4．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知()1cos 3αβ+=，1tan tan 4αβ=，则()cos 22αβ-=（ ）A ．3181B ．59C ．3181-D ．59-5．（2024·全国·模拟预测）已知π,02q æö∈-ç÷èø，32tan 25sin2q q =，则πcos 4q æö-=ç÷èø（ ）A B C ．D ．1．（2019·全国·高考真题）tan255°=A ．－2B ．－C ．2D ．2．（重庆·高考真题）若11tan ,tan()32ααβ=+=,则tan =βA ．17B ．16C ．57D ．563．（2024·全国·高考真题）已知cos cos sin ααα=-πtan 4αæö+=ç÷èø（ ）A ．1+B ．1C D ．14．（2020·全国·高考真题）已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．25．（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβæö+++=+ç÷èø，则（ ）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-1．（2024·山西吕梁·二模）已知角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点()，则tan π6αæö-=ç÷èø（ ）A ．B ．CD 2．（2024·重庆·三模）已知ππcos 3cos 44ααæöæö-=+ç÷ç÷èøèø，则tan α=（ ）A ．2B ．12C ．3D ．133．（2024·江苏·模拟预测）若3sin 4cos 5αα+=，则πtan 4αæö+=ç÷èø（ ）A ．7-B ．7C ．17D ．17-4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知()()()1sin 2cos ,tan 2αβαβαβ-=+-=，则tan tan αβ-=（ ）A ．35B ．53C ．45D ．655．（2024·贵州黔东南·二模）已知0παβ<<<，且()()sin 2cos αβαβ+=+，sin sin 3cos cos 0αβαβ-=，则()tan αβ-=（ ）A ．1-B ．C ．12-D ．121．（2024·四川·模拟预测）已知π,π2αæö∈ç÷èø，π1sin 65αæö+=ç÷èø，则sin α=（ ）A B C D2．（浙江·高考真题）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos （+α）=，cos （﹣）=，则cos （α+）=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣3．（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）已知()1cos 3αβ-=，1sin sin 12αβ=-，则22cos sin αβ-=（ ）A ．12B ．13C ．16D ．184．（22-23高一下·江西景德镇·期中）已知()0,πα∈，ππ,22βæö∈-ç÷èø满足π1sin 33αæö+=ç÷èø，πcos 6βæö-ç÷èø则()sin 2αβ+=（ ）A B C D ．1．（2024·河北石家庄·三模）已知角,αβ满足()1tan ,2sin cos sin 3αβαβα==+，则tan β=（ ）A ．13B ．16C ．17D ．22．（2024·山西·三模）若()sin 2αβα=-=，且π3π,π,π,42αβéùéù∈∈êúêúëûëû，则()cos αβ+=（ ）A B C D3．（2024·重庆·模拟预测）已知,αβ都是锐角，1cos sin()7ααβ=+cos 2β的值为（ ）A ．12-B ．12C ．D1．（23-24高三上·贵州铜仁·阶段练习）已知sin αβ=α和β均为钝角，则αβ+的值为（ ）A ．π4B ．5π4C ．5π4或7π4D ．7π42．（2024高三·全国·专题练习）已知()1tan 2αβ-=,1tan 7β=-,且α,(0,)βπ∈,则2αβ-=（ ）A ．34π-B ．4πC ．34πD ．4π-3．（22-23高三·全国·期末）已知()()π0,cos 2cos 212cos cos 2αβαβαβαβ<<<++=-++，则（ ）A ．π6αβ+=B ．π3αβ+=C ．π6βα-=D ．π3βα-=1．（2023高三·全国·专题练习）已知cos α=sin β=，且0,2παæö∈ç÷èø，0,2πβæö∈ç÷èø，则αβ+的值是（ ）A ．34πB ．4πC ．74πD ．54π2．（22-23高三上·山东青岛·期中）已知ππ4α££，3ππ2β££，4sin 25α=，()cos αβ+=则βα-=（ ）A ．3π4B ．π4C ．5π4D ．π23．（2024·吉林长春·模拟预测）已知cos 2α=()sin αβ+=π0,2αéù∈êúëû，π,02βéù∈-êúëû，则αβ-=（ ）A ．π4B ．3π4C ．5π4D ．π4或3π41．sin15cos15=o o （ ）A ．14B ．14-C D ．2．（2024·河南·二模）已知1sin cos 3x x +=，则πcos 22x æö-=ç÷èø（ ）A ．35-B ．35C ．89D ．89-3．（2024·四川自贡·三模）已知角α满足1cos 23sin 2αα-=，则sin 2α=（ ）A．BC ．35-D ．351．（2024·山东济南·三模）若sin cos αα-=，则tan α=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．（2024·山东·模拟预测）已知4sin25α=-，则tan2πtan 4αα=æö+ç÷èø（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．4-1．（山东·高考真题）已知3cos 4x =，则cos 2x =（ ）A ．14-B ．14C ．18-D ．182．（2022·北京·高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在,26ππæö--ç÷èø上单调递减B ．()f x 在,412ππæö-ç÷èø上单调递增C ．()f x 在0,3πæöç÷èø上单调递减D ．()f x 在7,412ππæöç÷èø上单调递增3．（2021·全国·高考真题）22π5πcoscos 1212-=（ ）A ．12BCD4．（全国·高考真题）函数44()cos sin f x x x =-的最小正周期是A ．2πB ．πC ．2πD ．4π1．（2020·全国·高考真题）若2sin 3x =-，则cos 2x =．2．（2024·北京顺义·三模）已知函数()22cossin 22x xf x =-，则（ ）A ．()f x 为偶函数且周期为4πB ．()f x 为奇函数且在ππ,412æö-ç÷èø上有最小值C ．()f x 为偶函数且在π0,3æöç÷èø上单调递减D ．()f x 为奇函数且π,04æöç÷èø为一个对称中心3．（2022·浙江·高考真题）若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=，cos 2β=．1．（浙江宁波·期末）12πsin 2=A B C ．34D ．142．（2024·浙江·模拟预测）若8tan 3cos αα=，则cos 2=α ．3．（2024·浙江·三模）已知ππ1cos cos 23264q q æöæö+-=ç÷ç÷èøèø，则πcos 23q æö+=ç÷èø（ ）A ．12-B ．12C ．D4．（2024·全国·模拟预测）已知,αβ为锐角，满足()1sin sin 9αβαβ+=+=-，则sin 2αβ+= ，()cos αβ-=．1．（2024·浙江绍兴·二模）若5π1sin 123αæö+=ç÷èø，则πcos 26αæö-=ç÷èø（ ）A B ．C ．79D ．79-2．（2024·安徽合肥·三模）已知2sin 1αα=+，则πsin 26αæö-=ç÷èø（ ）A ．18-B ．78-C ．34D ．783．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知π1sin 35ααæö+=ç÷èø，则sin 26παæö-=ç÷èø ．4．（2024·黑龙江·三模）已知()11cos ,sin sin 23αβαβ-==，则()cos 22αβ+=.5．（2024·湖南长沙·二模）已知 ππ12cos 2cos cos312124x x x æöæö+--=ç÷ç÷èøèø ，则 πcos 23x æö+=ç÷èø1．（2024高三·全国·专题练习）若1tan(π)2α-=，则tan 2α= ．2．（2024·安徽合肥·三模）已知ππ20,,tan tan 243q q q æöæö∈+=-ç÷ç÷èøèø，则tan 2q = .3．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知π(0,)2q ∈，且sin sin 2sin cos qq q q=+，则tan q =（ ）A1B1C1D11．（2024高三·全国·专题练习）2π1tan 8πtan 8-=．2．（2024·辽宁沈阳·二模）已知()0,πa ∈，且1sin cos 5a a +=，则tan2a =（ ）A ．127B ．127-C ．247D ．247-3．（2024·全国·模拟预测）已知π0,2q æö∈ç÷èø，2π1sin 842q æö+=ç÷èøπtan 24q æö-=ç÷èø（ ）A ．113B ．1731C ．3117D ．131．（2023·全国·高考真题）已知α为锐角，cos αsin 2α=（ ）．A B C D 2．（2024·湖南邵阳·二模）已知α为锐角，若1sin 4α=，则2cos2α=（ ）A B C D 3．（2023·浙江·二模）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords ，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点C 为半圆O 上一点，CH AB ^，垂足为H ，记COB q Ð=，则由tan BHBCH CHÐ=可以直接证明的三角函数公式是（ ）A ．sin tan 21cos qq q =-B ．sin tan 21cos qq q =+C ．1cos tan2sin qq q-=D ．1cos tan2sin qq q+=1．（2024·全国·模拟预测）已知角α是第二象限角，且终边经过点()3,4-，则tan 2α=（ ）A ．3B ．12C ．2D ．12或22．（2023·全国·模拟预测）已知α是锐角，1cos 3α=，则πcos 26αæö+=ç÷èø（ ）A ．12B ．12C -D 3．若3sin 5q =，5π3π2q <<，则tan cos 22q q+=（ ）A ．3+B ．3C ．3D ．31．（2024·全国·高考真题）函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ．2．（2020·北京·高考真题）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为 ．3．（全国·高考真题）设当x q =时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos q = .4．（2024高三·湖北·二模）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1cos 3C =，8c =，则当a b +取得最大值时，sin A = .1．（2024·湖北·二模）函数()3cos 4sin f x x x =-，当()f x 取得最大值时，sin x =（ ）A ．45B ．45-C ．35D ．35-2．（2024·四川南充·二模）已知函数()3sin 4cos f x x x =+．设x q =时，()f x 取得最大值．则πcos 4q æö+=ç÷èø（ ）AB．CD．3．（2024·山东·模拟预测）若函数()()πcos sin 3f x x x ϕæö=-++ç÷èø的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为 ．4．（2024·河北保定·三模）已知锐角α，β（αβ¹）满足sin 2cos sin 2cos ααββ+=+，则sin()αβ+的值为（ ）ABC ．35D ．451．（21-22高三上·四川成都·阶段练习）已知α为锐角且tan 23tan 4απα=-æö+ç÷èø，则sin 22παæö+ç÷èø的值是 ．2．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知πsin(212α-ππtan()tan()312αα++=．1．（2022·四川眉山·模拟预测）若0,2παæö∈ç÷èø，2sin 2cos αα=，则cos 2α的值为（ ）A ．35-B ．12-C ．0D ．352．（2024高三·全国·专题练习）已知ππsin 2sin 44ααæöæö+=-ç÷ç÷èøèø，则πsin 24αæö-=ç÷èø（ ）A ．BCD ．1．（2024高三·全国·专题练习）已知43cos cos ,sin sin 55αβαβ+=-=-，则()tan αβ-的值为（ ）A ．247-B ．724-C ．724D ．2472．（2024·安徽阜阳·一模）已知()sin sin ,cos cos 0a b ab αβαβ+=+=¹，则()cos αβ-= ，()sin αβ+= .3．（2024·广东·一模）已知()2211cos cos ,sin 124αβαβ-=--=，则()cos 22αβ+=（ ）A ．79-B ．79C ．29-D ．291．（2024·山东·模拟预测）已知1sin cos cos sin 2x y x y +=，1cos 2cos 24x y -=，则()sin x y -=（ ）A ．12B ．14C ．34-D ．14-2．（2024·全国·模拟预测）已知角A ，B ，C 满足πA B C ++=，且cos cos cos 1A B C ++=，则(1cos A -)(1cos B -)(1cos C -)=（ ）A ．0B ．1CD1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数()(1cos )f x x x =+的最大值为（ ）ABC ．58D ．942．（2024·新疆·一模）已知: ()()()sin 20sin 20sin 400q q q -+++-=o o o，则tan q =（ ）A．B．CD3．（2024·全国·模拟预测）已知角,αβ满足：()sin sin 5sin αβαβ+=-，其中π2πk αβ-¹+，π2πk α¹+，()π2πk k β¹+∈Z ，则tan 2tan2αβ=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．524．（2024·辽宁丹东·一模）已知π(0,)2α∈1=，则sin 2α=（ ）ABCD1．（2024·安徽阜阳·一模）已知()sin sin ,cos cos 0a b ab αβαβ+=+=¹，则()cos αβ-= ，()sin αβ+= .2．（2024·重庆·三模）已知函数()f x 满足()1tan sin 2f x x=.若12x x 、是方程2202420240x x +-=的两根，则12()()f x f x += .3．（2024·湖北荆州·三模）设π02αβ<<<，tan tan m αβ=，()3cos 5αβ-=，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =， tan tan αβ=.4．（2024·四川成都·三模）若ABC V 为锐角三角形，当2tan 9tan 17tan A B C ++取最小值时，记其最小值为m ，对应的tan A n =，则mn =.1．（2024·上海·高考真题）下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（ ）A ．sin cos x x +B ．sin cos x x C ．22sin cos x x+D ．22sin cos x x-2．（2024·河北保定·二模）若154tan sin αα=，则cos2α=（ ）A ．18B ．18-C ．78D ．78-3．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知2πsin2,0,34ααæö=∈ç÷èø，则πsin 4αæö+=ç÷èø（ ）A B ．56C D 4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知ππsin sin cos sin 63ααααæöæö+=-ç÷ç÷èøèø，则πtan 24αæö+=ç÷èø（ ）A ．2B ．2-C ．2D ．2-+5．（2024·江苏扬州·模拟预测）若ππ44αβ-<<<，且1cos sin 2αβ=，tan 2tan 3αβ=，则()cos αβ-=（ ）A B ．C D ．6．（2024·陕西·模拟预测）已知ππ,24αæö∈--ç÷èø，若3tan 2tan 24πααæö=-+ç÷èø，则2sin 22cos tan ααα+=（ ）A ．185-B ．25-C ．25D ．185二、填空题7．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：()cos 72cos 36°-°= .8．（2024·上海·模拟预测）已知7cos 9α=-，3(π,π)2α∈，则cos 2α= ．9．（2024·江苏苏州·三模）函数()|sin |cos f x x x =+的值域是.10．（2024·湖南·模拟预测）已知tan 3α=，tan()5αβ+=-，则tan(2)αβ+=.1．（2024·山东·模拟预测）已知π4cos cos 35ααæö--=ç÷èø，则πsin 26αæö+=ç÷èø（ ）A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-2．（2024·河北衡水·三模）已知sin(3)sin()tan(2)tan m n αβαβαβα-=--=，，则m ，n 的关系为（ ）A ．2m n=B ．1m n m+=C ．1m n m =-D ．11m n m +=-3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知()()()cos 10cos 50cos 50ααα-+°°-°=+，则tan α=（ ）A B ．C D ．4．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设,αβ∈R ，则“()()cos 2cos sin 2sin sin cos cos sin 4444ππππαββαββααααæöæöæöæö+++=+--+-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø”是“ππ8k α=+，()k ∈Z ”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．（2024·福建泉州·二模）若π3,0,,tan tan ,sin()25m αβαβαβæö∈=-=ç÷èø，且α与β存在且唯一，则tan tan m αβ+=（ ）A ．2B ．4C ．12D ．146．（2024·江苏南通·模拟预测）已知π02βα<<<，()4sin 5αβ-=，tan tan 2αβ-=，则sin sin αβ=（ ）A ．12B ．15C ．25D7．（2024·山西吕梁·三模）设函数()sin 1f x x x =++.若存在实数,,a b ϕ使得()()1af x bf x ϕ+-=对任意x ∈R 恒成立，则a b -=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1±8．（2024·重庆·模拟预测）（多选）在ABC V 中，若22sin sin 1A B +=，则下列说法正确的是（ ）A ．sin cos A B=B ．π2A B +=C ．sin sin A B ×的最大值为12D ．tan tan 1A B ×=9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知π,(0,)2a β∈，sin(2)2sin αββ+=，2tan 3α=，则tan()αβ+= ．10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知()()()cos 20cos 20cos 400q q q °-+°+-°-=，则tan q = .1．（2023·全国·高考真题）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（ ）A ．1BCD2．（2021·北京·高考真题）函数()cos cos 2f x x x =-是A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为983．（2021·浙江·高考真题）已知,,αβg 是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββg g α三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2020·全国·高考真题）已知πsin sin =31q q æö++ç÷èø，则πsin =6q æö+ç÷èø（ ）A ．12BC ．23D5．（2020·全国·高考真题）已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．26．（2020·浙江·高考真题）已知tan 2q =，则cos 2q =；πtan(4q -= ．7．（2020·江苏·高考真题）已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是 .8．（2020·全国·高考真题）若2sin 3x =-，则cos 2x =．9．（2019·全国·高考真题）已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BCD10．（2019·江苏·高考真题）已知tan 2π3tan 4αα=-æö+ç÷èø，则πsin 24αæö+ç÷èø的值是 .11．（2019·北京·高考真题）函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是．12．（2019·全国·高考真题）函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为 ．13．（2018·全国·高考真题）已知51tan 45παæö-=ç÷èø，则tan α= ．14．（2018·全国·高考真题）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+ ．15．（2018·全国·高考真题）若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-16．（2018·全国·高考真题）函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π17．（2018·全国·高考真题）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4。
高一三角函数公式及诱导公式习题(附答案)
三角函数公式1． 同角三角函数基本关系式sin 2α＋cos 2α=1 sin αcos α =tan αtan αcot α=12． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)（一）sin(π－α)＝sin α sin(π+α)＝-sin α cos(π－α)＝-cos α cos(π+α)＝-cos α tan(π－α)＝-tan α tan(π+α)＝tan α sin(2π－α)＝-sin α sin(2π+α)＝sin α cos(2π－α)＝cos α cos(2π+α)＝cos α tan(2π－α)＝-tan α tan(2π+α)＝tan α（二） sin(π2 －α)＝cos α sin(π2+α)＝cos αcos(π2 －α)＝sin α cos(π2+α)＝- sin αtan(π2 －α)＝cot α tan(π2 +α)＝-cot αsin(3π2 －α)＝-cos α sin(3π2 +α)＝-cos αcos(3π2 －α)＝-sin α cos(3π2 +α)＝sin αtan(3π2 －α)＝cot α tan(3π2+α)＝-cot αsin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α3． 两角和与差的三角函数cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β sin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin β sin (α－β)=sin αcos β－cos αsin β tan(α+β)= tan α+tan β1－tan αtan βtan(α－β)= tan α－tan β1＋tan αtan β4．二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α＝2 cos2α－1＝1－2 sin2αtan2α=2tanα1－tan2α5．公式的变形（1）升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α 1—cos2α＝2sin2α（2）降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2sin2α＝1－cos2α2（3）正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β)（1－tanαtanβ） tanα－tanβ＝tan(α－β)（1＋tanαtan β)（4）万能公式（用tanα表示其他三角函数值）sin2α＝2tanα1+tan2αcos2α＝1－tan2α1+tan2αtan2α＝2tanα1－tan2α6．插入辅助角公式asinx ＋bcosx=a 2+b 2 sin(x+φ) (tan φ= ba )特殊地：sinx ±cosx ＝ 2 sin(x ±π4)7． 熟悉形式的变形（如何变形）1±sinx ±cosx 1±sinx 1±cosx tanx ＋cotx 1－tan α1＋tan α 1＋tan α1－tan α若A 、B 是锐角，A+B ＝π4，则（1＋tanA ）(1+tanB)=28． 在三角形中的结论若：A ＋B ＋C=π , A+B+C 2 =π2则有tanA ＋tanB ＋tanC=tanAtanBtanCtan A 2 tan B 2 ＋tan B 2 tan C 2 ＋tan C 2 tan A2＝1三角函数的诱导公式1一、选择题1．如果|cos x |=cos （x +π），则x 的取值集合是（ ）A ．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π B．－2π+2k π≤x ≤2π3+2k πC ． 2π+2k π≤x ≤2π3+2k π D．（2k +1）π≤x ≤2（k +1）π（以上k ∈Z ）2．sin （－6π19）的值是（ ）A ． 21 B ．－21 C ．23D ．－233．下列三角函数：①sin （n π+3π4）；②cos （2n π+6π）；③sin（2n π+3π）；④cos ［（2n +1）π－6π］；⑤sin ［（2n +1）π－3π］（n∈Z ）．其中函数值与sin 3π的值相同的是（ ）A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤4．若cos （π+α）=－510，且α∈（－2π，0），则tan （2π3+α）的值为（ ）A ．－36 B ．36 C ．－26D ．26 5．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ）A ．cos （A +B ）=cosC B ．sin （A +B ）=sin C C ．tan （A +B ）=tan CD ．sin 2B A +=sin 2C6．函数f （x ）=cos 3πx （x ∈Z ）的值域为（ ）A ．{－1，－21，0，21，1} B ．{－1，－21，21，1} C ．{－1，－23，0，23，1} D ．{－1，－23，23，1}二、填空题7．若α是第三象限角，则)πcos()πsin(21αα---=_________．8．sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=_________． 三、解答题9．求值：sin （－660°）cos420°－tan330°cot（－690°）．10．证明：1)πtan(1)π9tan(sin 211cos )πsin(22++-+=--⋅+θθθθθ．11．已知cos α=31，cos （α+β）=1，求证：cos （2α+β）=31．12． 化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．13、求证：)π5sin()πcos()π6cos()π2sin()π2tan(θθθθθ+-----=tan θ．14． 求证：（1）sin （2π3－α）=－cos α；（2）cos （2π3+α）=sin α．参考答案1一、选择题1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 二、填空题7．－sin α－cos α 8．289三、解答题 9．43+1．10．证明：左边=θθθθ22sin cos cos sin 2-1-- =－θθθθθθθθθθcos sin cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 2-+=-++，右边=θθθθθθθθcos sin cos sin tan tan tan tan -+=1-1+=1+-1--，左边=右边，∴原等式成立．11．证明：∵cos （α+β）=1，∴α+β=2k π．∴cos （2α+β）=cos （α+α+β）=cos （α+2k π）=cos α=31．12．解：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21=)360270cos()70180sin()36070cos()36070sin(21︒⨯+︒+︒+︒︒+︒︒+︒-+=︒-︒︒︒-70sin 70cos 70cos 70sin 21=︒-︒︒-︒70sin 70cos )70cos 70(sin 2=︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin =－1．13．证明：左边=θθθθθθθθθθsin cos cos )sin )(tan ()sin )(cos ()cos()sin()tan(--=-----=tan θ=右边，∴原等式成立．14证明：（1）sin （2π3－α）=sin ［π+（2π－α）］=－sin （2π－α）=－cos α．（2）cos （2π3+α）=cos ［π+（2π+α）］=－cos （2π+α）=sin α．三角函数的诱导公式2一、选择题：1．已知sin(4π+α)=23，则sin(43π-α)值为（ ） A. 21 B. —21 C.23 D. —23 2．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A.23 B. 21C. 23±D. —23 3．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得（ ）+cos2 D.± (cos2-sin2)4．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是（ ）α=sinβ B. sin(α-π2) =sinβ α=cosβ D. cos(π2-α) =-cosβ5．设tanθ=-2, 2π-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于（ ），A. 51（4+5） B. 51（4-5） C. 51（4±5） D.51（5-4）二、填空题：6．cos(π-x)=23，x ∈（-π，π），则x 的值为 ． 7．tanα=m，则=+-+++)cos(-sin()cos(3sin(απα）απ）απ ．8．|sinα|=sin（-π+α），则α的取值范围是 ． 三、解答题：9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．已知：sin （x+6π）=41，求sin （)67x +π+cos 2（65π-x ）的值．11． 求下列三角函数值：（1）sin 3π7；（2）cos 4π17；（3）tan （－6π23）；12． 求下列三角函数值：（1）sin 3π4·cos 6π25·tan 4π5；（2）sin ［（2n +1）π－3π2］.13．设f （θ）=)cos()π(2cos 23)2πsin()π2(sin cos 2223θθθθθ-+++-++-+，求f （3π）的值.参考答案21．C 2．A 3．C 4．C 5．A6．±65π 7．11-+m m 8．[(2k-1) π,2k π] 9．原式=)cos (·sin()cos()n s (sin αα）παπα--+--αi =)cos ?(sin )cos (sin 2αααα--= sinα 10．161111．解：（1）sin 3π7=sin （2π+3π）=sin 3π=23.（2）cos 4π17=cos （4π+4π）=cos 4π=22.（3）tan （－6π23）=cos （－4π+6π）=cos 6π=23.（4）sin （－765°）=sin ［360°×（－2）－45°］=sin （－45°）=－sin45°=－22.注：利用公式（1）、公式（2）可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.12．解：（1）sin 3π4·cos6π25·tan 4π5=sin （π+3π）·cos（4π+6π）·tan（π+4π）=（－sin 3π）·cos 6π·tan 4π=（－23）·23·1=－43.（2）sin ［（2n +1）π－3π2］=sin （π－3π2）=sin 3π=23.13．解：f （θ）=θθθθθcos cos 223cos sin cos 2223++-++ =θθθθθcos cos 223cos cos 1cos 2223++-+-+ =θθθθθcos cos 22)cos (cos 2cos 2223++---=θθθθθcos cos 22)1(cos cos )1(cos 223++---=θθθθθθθcos cos 22)1(cos cos )1cos )(cos 1(cos 222++--++-=θθθθθcos cos 22)2cos cos 2)(1(cos 22++++-＝cos θ－1，∴f （3π）=cos 3π－1=21－1=－21.。
三角恒等变换知识点和例题
三角恒等变换基本解题方法一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-1、下列各式中，值为12的是 A 、1515sin cos B 、221212cos sin ππ- C 、22251225tan .tan .- D 、1302cos + 2、由0tan(A B )+=____________（能/不能）推出0tan A tan B +=3、已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为_____________4、131080sin sin -的值是_____________二. 三角函数的化简、计算、证明的变形技巧（1）巧变角:()()ααββαββ=+-=-+，2()()αβαβα=+--，()()222αββααβ+=--- 4、已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____5、已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值(2)切化弦：6、求值sin50(13tan10)+(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。
7、设ABC ∆中，33tan A tan B tan Atan B ++=，34sin Acos A =，求角A,B(4)三角函数次数的降升 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= 升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=8、函数2553f (x )sin xcos x cos x =-532(x R )+∈的单调递增区间为___________9、若1(0,),sin cos 2απαα∈+=，求tan α的值。