浙教版初中数学七年级下册乘法公式(提高)知识讲解
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乘法公式(提高)
【学习目标】
1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征,并能从广义上理解公式中字母的含义;
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义,能利用公式进行乘法运算;
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【要点梳理】
【 乘法公式 知识要点】
要点一、平方差公式
平方差公式:22
()()a b a b a b +-=-
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
要点诠释:在这里,b a ,既可以是具体数字,也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征:既有相同项,又有“相反项”,而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型:
(1)位置变化:如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型
(2)系数变化:如(35)(35)x y x y +-
(3)指数变化:如3232()()m n m n +-
(4)符号变化:如()()a b a b ---
(5)增项变化:如()()m n p m n p ++-+
(6)增因式变化:如2244()()()()a b a b a b a b -+++
要点二、完全平方公式
完全平方公式:()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=-
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.
要点诠释:公式特点:左边是两数的和(或差)的平方,右边是二次三项式,是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍.以下是常见的变形:
()2222a b a b ab +=+-()2
2a b ab =-+ ()()22
4a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,
括到括号里的各项都改变符号.
要点诠释:添括号与去括号是互逆的,符号的变化也是一致的,可以用去括号法则检查添括号是否正确.
要点四、补充公式
2()()()x p x q x p q x pq ++=+++;2
233()()a b a ab b a b ±+=±; 33223()33a b a a b ab b ±=±+±;2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.
【典型例题】
类型一、平方差公式的应用
1、计算(2+1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)+1.
【思路点拨】本题直接计算比较复杂,但观察可以发现2+1与2-1,221+与221-,421+与421-等能够构成平方差,只需在前面添上因式(2-1),即可利用平方差公式逐步计算.
【答案与解析】
解:原式=(2-1)(2+1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) +1 =(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)+1
=642-1+1=642. 【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题,不妨先仔细观察,看是否有规律,然后去解决,会事半功倍,提高解题能力.
举一反三:
【 乘法公式 例1(7)(8)】
【变式1】计算:
(1)2(3)(9)(3)x x x -++
(2)(a +b )( a -b )( 22a b +)( 44
a b +)
【答案】
解:(1)原式=[(x +3)(x -3)](29x +)=(29x -)(29x +)=481x -.
(2)原式=[(a +b )( a -b )]( 22a b +)( 44a b +)
=[(22a b -)( 22a b +)]( 44a b +)
=(44a b -)( 44a b +)=88a b -.
【变式2】(2015•内江)(1)填空:
(a ﹣b )(a+b )= ;
(a﹣b)(a2+ab+b2)= ;
(a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)= .
(2)猜想:
(a﹣b)(a n﹣1+a n﹣2b+…+ab n﹣2+b n﹣1)= (其中n为正整数,且n≥2).(3)利用(2)猜想的结论计算:29﹣28+27﹣…+23﹣22+2.
【答案】
解:(1)(a﹣b)(a+b)=a2﹣b2;
(a﹣b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3;
(a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4;
故答案为:a2﹣b2,a3﹣b3,a4﹣b4;
(2)由(1)的规律可得:
原式=a n﹣b n,
故答案为:a n﹣b n;
(3)29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=(2﹣1)(28+26+24+22+2)=342.
2、(2014春•牟定县校级期末)新实验中学校园正在进行绿地改造,原有一正方形绿地,现将它每边都增加3米,面积则增加了63平方米,问原绿地的边长为多少?原绿地的面积又为多少?
【答案与解析】
解:设原绿地的边长为x米,则新绿地的边长为x+3米,
根据题意得,(x+3)2﹣x2=63,
由平方差公式得,(x+3+x)(x+3﹣x)=63,
解得,x=9;
∴原绿地的面积为:9×9=81(平方米);
答:原绿地的边长为9米,原绿地的面积为81平方米.
【总结升华】本题主要考查了平方差公式的应用,两个数的和与这两个数的差相乘,等于这两个数的平方差;(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2,熟练应用平方差公式可简化计算.
举一反三:
【变式】解不等式组:
(3)(3)(2)1, (25)(25)4(1). x x x x
x x x x
+--->
⎧
⎨
---<-
⎩
【答案】
解:
(3)(3)(2)1,
(25)(25)4(1).
x x x x
x x x x
+--->
⎧
⎨
---<-
⎩
①
②
由①得22
921
x x x
--+>,210
x>,5
x>.
由②得222
5(2)44
x x x
-<-,22
25444
x x x
-<-,425
x
-<-, 6.25
x>.
∴不等式组的解集为 6.25
x>.
类型二、完全平方公式的应用