金融工程讲义古典classical投资组合理论

第四讲 古典（classical ）投资组合理论一．马尔科维茨资产组合理论的基本假设 马尔科维茨的资产组合理论有很多假设，但是这些假设基本上可以归为两大类：一类是关于投资者的假设；另一类是关于资本市场的假设。

㈠关于投资者的假设⑴投资者在投资决策中只关注投资收益这个随机变量的两个数字特征：投资的期望收益和方差。

期望收益率反映了投资者对未来收益水平的衡量，而收益的方差则反映了投资者对风险的估计。

⑵投资者是理性的，也是风险厌恶的。

即在任一给定的风险程度下，投资者愿意选择期望收益高的有价证券；或者在期望收益一定时，投资者愿意选择风险程度较低的有价证券。

⑶投资者的目标是使其期望效用)),(()(2σr E f U E =最大化，其中)(r E 和2σ分别为投资的期望收益和方差。

对于一个风险厌恶的投资者来说，其期望效用函数)(U E 是单调凸函数。

㈡关于资本市场的假设⑴资本市场是有效的。

证券的价格反映了其内在价值，证券的任何信息都能够迅速地被市场上每个投资者所了解，不存在税收和交易成本。

⑵资本市场上的证券是有风险的，也就是说收益具有不确定性，证券的收益都服从正态分布，不同证券的收益之间有一定的相关关系。

⑶资本市场上的每种证券都是无限可分的，这就意味着只要投资者愿意，他可以购买少于一股的股票。

⑷资本市场的供给具有无限弹性，也就是说资产组合中任何证券的购买和销售都不会影响到市场的价格。

⑸市场允许卖空（sell short ）(市场不允许卖空的情况在此不做讨论)。

在所有的这些假设中，最值得我们注意的是马尔科维茨独创性地用期望效用（expected utility ）最大化准则代替了期望收益最大化准则。

在现代资产组合理论诞生之前，人们在研究不确定条件下的投资时，关于投资者的目标是假定他追求期望收益的最大化，但是这种假设却存在这样的问题：如果资本市场上仅存在一种具有最高收益的资产，投资者只需要将全部资金投资于该种资产即可实现期望收益最大化；如果同时有几种资产具有相同的最大收益，那么对投资者而言，在这些资产中进行组合投资与只投资于一种资产将毫无区别。

因此，在资本市场上存在大量的资产时，期望收益最大化准则就无法解释为什么要进行多元化的投资，也无法解释组合投资的效应。

针对这一问题，马尔科维茨假定投资者是追求期望效用最大化的。

也就是说，理性的投资者不光追求高的期望收益，同时还要考虑风险问题，要在风险和收益之间做出权衡，选择能带来最大效用的风险和收益组合。

因此，用期望效用最大化原则代替期望收益最大化原则是更符合实际的。

二．无差异曲线根据投资者对资产的风险和收益的偏好不同，可以将投资者划分为三类：风险规避（risk-awesome ）者、风险偏好（risk-loving ）者和风险中立（risk-neutral ）者。

在资产组合理论中，我们假定投资者是风险规避者，因此，其无差异曲线(indifference curve)就如图4.2所示：沿着无差异曲线移动，投资者或者承担较多的风险并获得较高的收益，或者承担较少的风险同时获得较低的收益，这也正体现了风险规避者的特点。

无差异曲线的基本特征是：第一， 位于无差异曲线上的所有组合（δ),(R E ）都向投资者提供了相同的期望效用。

第二， 当无差异曲线向左上移动时，投资者的期望效用增加。

第三， 无差异曲线代表单个投资者对期望收益和风险的均衡点的个人评估，也就是说，无差异趋势是主观确定的，曲线的形状因投资者的不同而不同。

三．最小方差投资组合由前面关于投资者的假设2，我们知道马尔科维茨资产组合理论中的最优资产组合必须符合以下两个条件之一：⑴在预期收益水平确定的情况下，即a ='μω，求ω使风险达到最小，即∑'='ωωω)var(x 最小；⑵在风险水平确定的情况下，即∑='σωω(已知)，求ω使收益最大，即x ω'达到最大。

将这两个条件写成数学表达式，分别为： ⑴∑'ωωmin ，它满足约束条件：a ='='μωω,11⑵μω'max ，它满足约束条件：∑='='0,11σωωω实际上，这两个条件是等价的。

下面，我们用拉格朗日（Lagrange ）乘数法对∑'ωωmin 式进行求解。

令)(2)11(221a L -'--'-'=∑μωλωλωω则0212221=--=∂∂∑μλλωωL解得：)1(211μλλω-=∑-对)1(211μλλω-=∑-式两边同乘1'，得)1(11211μλλω-'='∑-由约束条件可得μλλ∑∑--'+'=12111111对)1(211μλλω-=∑-)两边同乘以μ'，得μμλμλμλλμωμ∑∑∑---'+'=+'='12112111)1(由约束条件可知μμλμλ∑∑--'+'=12111a令111∑-'=A μ∑-'=11B μμ∑-'=1C由μλλ∑∑--'+'=12111111式和μμλμλ∑∑--'+'=12111a 式可得方程组：⎩⎨⎧=+=+aC B B A 21211λλλλ 解得∆-=∆=aBC C a B 11λ∆-=∆=BaA A B A 12λ 其中2B AC -=∆将1λ，2λ的值代入)1(211μλλω-=∑-式，得μμω∑∑∑∑----∆-+∆-=∆-+⎪⎭⎫⎝⎛∆-=111111B aA aB C B aA aB C a即μλλω∑∑--+=12111a此证券组合预期收益x a 'ω的方差为：AB a A AC A B a Aa a BaA aB C B aA aB C B aA aB C x a a a a 1)2()2(111)(22112+-∆=+-∆=∆-+∆-='∆-+'∆-=⎪⎭⎫⎝⎛∆-+∆-'='∑∑∑--μωωμωωσ说明1：最小方差资产组合是由给定的期望收益a 确定的，故用a ω表示。

对应不同的a ，有不同的a ω，它满足11='ω，a ='μω，并使得风险∑'ωω达到最小，相应的风险记为)(2x a 'ωσ。

对于给定的收益（如a ），我们将所有大于最小方差)(2x a 'ωσ的资产组合ω称为“可行组合”。

说明2：由AB a A x a 1)2()(22+-∆='ωσ式可得 22)(1AB A A -∆=-μσ故A12≥σ 式中，μ是任意的一个数（与a 含义相同），表示资产组合的预期收益水平，而2σ则表示与μ相对应的证券组合的方差。

对22)(1A B A A -∆=-μσ式两边同乘以A ∆，可得 AA AB 1()(22-∆=-σμ两边开平方并移项，得)1(2AA AB -∆±=σμ 在),(2μσ平面上AA AB 1()(22-∆=-σμ式表示了一条抛物线，该抛物线的顶点为),1(ABA 。

现在我们要确定的是抛物线的开口方向。

因为 0111>'=∑-A （正定），01>'=∑-μμC 由柯西-席瓦尔兹不等式(Cauchy Schwarz inequality)可得：2121212121212121211()11(11BA =''≤'='∑∑∑∑∑∑∑-------μμμ故AC B ≤2，从而0>∆，所以0>∆A，抛物线开口向右。

经过上面的分析，我们知道最小方差资产组合的图形在),(2μσ平面上是一条抛物线，其图形如图4-1所示：说明3：在),(2μσ平面上，由22)(1ABA A -∆=-μσ式得： AA B A 1)(22+-∆=μσ 其图形如图4-2所示：对AA B A 1)(22+-∆=μσ式移项得 1)(111)(11)(2222222=∆--=∆*--=-∆-A A B AA A AB AAA B A μσμσμσ 在),(μσ平面上，1)(1222=∆--A AB Aμσ式为双曲线的标准型，中心在),0(A B ，对称轴为0=σ和BA=μ。

由于0>σ，故只取双曲线在第一象限那一支。

双曲线的图形如图4-3所示：说明4：在图4-3中的g 点是一个特殊的点，它是双曲线在第一象限中图形的顶点。

由图可知，g 所代表的组合是所有可行组合中方差最小的，我们将其称为“全局最小方差组合”。

由图4-3可知，g 点的组合是：A B g =μ Ag 12=σ 以g μ的值代替∆-=∆=aBC C a B11λ式和∆-=∆=BaA A B A 12λ式中a 得： A11=λ 02=λ 再将1λ和2λ的值代人)1(211μλλω-=∑-式得：1111111∑∑∑---'==Agω关于g 点就是全局最小方差组合的严格证明如下：命题4—1 A g 1)(2≥ωσ，且A g 1)(2=ωσ的充分必要条件是AB a g ==μ。

证明：由于0>A ，0>∆，由AB a A x a 1)2()(22+-∆='ωσ 式知：Ag 1)(2≥ωσ必要性：设A g 1)(2=ωσ 由A B a A x a 1)2()(22+-∆='ωσ式可知：0)(2=-A B a AB a =充分性：反之，当A B a =，由AB a A x a 1)2()(22+-∆='ωσ式可得 Ag 1)(2=ωσ g 点以下的前沿是所有可行组合中方差相同而期望收益较小的组合，任何一个理性的投资者都不会选择这样的组合。

g 点以上的边缘是所有可行组合中方差相同而期望收益较大的组合，我们将这些组合称为有效组合，也就是投资者实际上可以选择的组合。

所有有效组合的总和称为有效前沿（efficient frontier ）。

投资者在有效前沿上具体选择哪个投资组合，取决于他的期望效用函数)),(()(2σr E f U E =。

期望效用函数在图形上表示为一系列无差异曲线。

同一条无差异曲线上的每一个组合对该投资者来说效用都是一样的，但是不同无差异曲线所代表的效用是有差别的，位置越靠近左上的曲线代表的效用水平越高。

—邑确定了投资者的无差异曲线，则投资者的最优投资组合就是无差异曲线和有效前沿的切点，这一切点是所有的可行组合中能给投资者带来最大效用的组合，图4-4中的点M 就是这样一个最优组合。

说明：pσ表示证券组合P 收益的标准差，p R 表示证券组合的收益，1IDC 、2IDC 分别表示两条无差异曲线。

说明5：前面我们已经假设了n 种资产，其收益为),,2,1(n i x i =,i x 随机变量，且⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n x E x E x E x E μμμμ 2121)()()()( 毫无疑问，0>i μ；否则，若0≤i μ，则此种证券无人投资。