金融工程讲义古典classical投资组合理论

1 / 16 第四讲 古典（classical）投资组合理论 一．马尔科维茨资产组合理论的基本假设 马尔科维茨的资产组合理论有很多假设，但是这些假设基本上可以归为两大类：一类是关于投资者的假设；另一类是关于资本市场的假设。 ㈠关于投资者的假设 ⑴投资者在投资决策中只关注投资收益这个随机变量的两个数字特征：投资的期望收益和方差。期望收益率反映了投资者对未来收益水平的衡量，而收益的方差则反映了投资者对风险的估计。 ⑵投资者是理性的，也是风险厌恶的。即在任一给定的风险程度下，投资者愿意选择期望收益高的有价证券；或者在期望收益一定时，投资者愿意选择风险程度较低的有价证券。

⑶投资者的目标是使其期望效用)),(()(2rEfUE最大化，其中)(rE和2分别

为投资的期望收益和方差。对于一个风险厌恶的投资者来说，其期望效用函数)(UE是单调凸函数。 ㈡关于资本市场的假设 ⑴资本市场是有效的。证券的价格反映了其内在价值，证券的任何信息都能够迅速地被市场上每个投资者所了解，不存在税收和交易成本。 ⑵资本市场上的证券是有风险的，也就是说收益具有不确定性，证券的收益都服从正态分布，不同证券的收益之间有一定的相关关系。 ⑶资本市场上的每种证券都是无限可分的，这就意味着只要投资者愿意，他可以购买少于一股的股票。 ⑷资本市场的供给具有无限弹性，也就是说资产组合中任何证券的购买和销售都不会影响到市场的价格。 ⑸市场允许卖空（sell short）(市场不允许卖空的情况在此不做讨论)。 在所有的这些假设中，最值得我们注意的是马尔科维茨独创性地用期望效用（expected utility）最大化准则代替了期望收益最大化准则。在现代资产组合理论诞生之前，人们在研究不确定条件下的投资时，关于投资者的目标是假定他追求期望收益的最大化，但是这种假设却存在这样的问题：如果资本市场上仅存在一种具有最高收益的资产，投资者只需要将全部资金投资于该种资产即可实现期望收益最大化；如果同时有几种资产具有相同的最大收益，那么对投资者而言，在这些资产中进行组合投资与只投资于一种资产将毫无区别。因此，在资本市场上存在大量的资产时，期望收益最大化准则就无法解释为什么要进行多元化的投资，也无法解释组合投资的效应。 针对这一问题，马尔科维茨假定投资者是追求期望效用最大化的。也就是说，理性的投资者不光追求高的期望收益，同时还要考虑风险问题，要在风险和收益之间做出权衡，选择能带来最大效用的风险和收益组合。因此，用期望效用最大化原则代替期望收益最大化原则是更符合实际的。

二．无差异曲线 根据投资者对资产的风险和收益的偏好不同，可以将投资者划分为三类：风险规避（risk-awesome）者、风险偏好（risk-loving）者和风险中立（risk-neutral）者。 在资产组合理论中，我们假定投资者是风险规避者，因此，其无差异曲线(indifference 2 / 16

curve)就如图4.2所示： 沿着无差异曲线移动，投资者或者承担较多的风险并获得较高的收益，或者承担较少的风险同时获得较低的收益，这也正体现了风险规避者的特点。 无差异曲线的基本特征是：

第一， 位于无差异曲线上的所有组合（),(RE）都向投资者提供了相同的期望效用。 第二， 当无差异曲线向左上移动时，投资者的期望效用增加。 第三， 无差异曲线代表单个投资者对期望收益和风险的均衡点的个人评估，也就是说，无差异趋势是主观确定的，曲线的形状因投资者的不同而不同。

三．最小方差投资组合 由前面关于投资者的假设2，我们知道马尔科维茨资产组合理论中的最优资产组合必须符合以下两个条件之一：

⑴在预期收益水平确定的情况下，即a，求使风险达到最小，即



)var(x

最小；

⑵在风险水平确定的情况下，即0(已知)，求使收益最大，即x达到最大。 将这两个条件写成数学表达式，分别为：

⑴min，它满足约束条件：

a,11 ⑵max，它满足约束条件： 3 / 16

0,11

实际上，这两个条件是等价的。 下面，我们用拉格朗日（Lagrange）乘数法对min 式进行求解。令

)(2)11(221aL

则 0212221

L

解得： )1(211

对)1(211式两边同乘1，得 )1(11211

由约束条件可得 121

11111

对)1(211)两边同乘以，得 12112111)1(

由约束条件可知 121

11a

令 111A

11B

1C

由12111111式和12111a式可得方程组：

aCBBA21211



解得

aBCCaB1

1 4 / 16

BaAABA12 其中 2BAC

将1，2的值代入)1(211式，得



1111

11

BaAaBC

BaAaBC

a

即 121

11a

此证券组合预期收益xa的方差为：

ABaAACABaAaaBaAaBCBaAaBCBaAaBCxaaaa1)2()2(111)(22112

















说明1：最小方差资产组合是由给定的期望收益a确定的，故用a表示。对应不同的a，

有不同的a，它满足11，a，并使得风险达到最小，相应的风险记为)(2xa。对于给定的收益（如a），我们将所有大于最小方差)(2xa

的资产组合

称为“可行组合”。

说明2：由ABaAxa1)2()(22式可得

22)(1ABAA 5 / 16

故 A12

式中，是任意的一个数（与a含义相同），表示资产组合的预期收益水平，而2则表示与相对应的证券组合的方差。

对22)(1ABAA式两边同乘以A，可得

AAAB1()(22

两边开平方并移项，得 )1(2AAAB

在),(2平面上AAAB1()(22式表示了一条抛物线，该抛物线的顶点为),1(ABA。现在我们要确定的是抛物线的开口方向。因为

0111A（正定），01C 由柯西-席瓦尔兹不等式(Cauchy Schwarz inequality)可得：

2121212121212121211()11(11BA

故ACB2，从而0，所以0A，抛物线开口向右。 经过上面的分析，我们知道最小方差资产组合的图形在),(2平面上是一条抛物线，其图形如图4-1所示： 6 / 16

说明3：在),(2平面上，由22)(1ABAA式得：

AABA1)(22 其图形如图4-2所示：

对AABA1)(22式移项得 7 / 16

1)(111)(11)(2222222AABA

AAABA

AABA





在),(平面上，1)(1222AABA式为双曲线的标准型，中心在),0(AB，对称轴为0和BA。由于0，故只取双曲线在第一象限那一支。 双曲线的图形如图4-3所示：

说明4：在图4-3中的g点是一个特殊的点，它是双曲线在第一象限中图形的顶点。由图

可知，g所代表的组合是所有可行组合中方差最小的，我们将其称为“全局最小方差组合”。由图4-3可知，g点的组合是：

ABg Ag12

以g的值代替aBCCaB11式和BaAABA12式中a得：