第二学期高二数学(文)期末试题及答案
安徽省十联考2024年高二下学期期末联考数学试题+答案
合肥一中2023~2024学年度高二下学期期末联考数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.2.答题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知命题:,11p x x ∀∈+>R ，命题2:0,10q x x x ∃>−+=，则（ ） A.命题p ､命题q 都是真命题B.命题p 的否定､命题q 都是真命题C.命题p ､命题q 的否定都是真命题D.命题p 的否定､命题q 的否定都是真命题2.给定两个随机变量x 和y 的5组数据如下表所示，利用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为5ˆˆ1.yx a =+，则（ ）x1 2 3 4 5 y24478A.0.5,3ˆa x =时的残差为-1B.0.5,3ˆa x =时的残差为1C.0.4,3ˆa x =时的残差为-0.9D.0.4,3ˆax =时的残差为0.93.若质点A 运动的位移S （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系是()2(1S t t t=−≥），那么该质点在t =3s 时的瞬时速度和从1s t =到3s t =这两秒内的平均速度分别为（ ） A.22,39−B.22,39C.22,93−D.22,934.子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.对于实数,,,a b c d ，下列说法正确的是（ ）A.若a b >，则11a b a>− B.若,a b c d <<，则ac bd > C.若0a b c >>>，则b ca c ab >−− D.若1a b >>，则11a b a b+>+6.在二项式n的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项（未知数x 的指数为奇数的项）都互不相邻的概率为（ ） A.135 B.16 C.14 D.277.现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为ξ，已知()21140P ξ==，则本次测试的不合格率为（ ） A.10% B.20% C.30% D.40%8.已知1,,,,13a b c d ∈ ，则222222a b c dab bc cd+++++的取值范围是（ ）A.52,2B.102,3C.510,23D.[)2,∞+二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选择对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列说法中正确的是（ ）A.若()0,1N ξ∼，且(1)P p ξ>=，则1(10)2P p ξ−<=− B.设(),B n p ξ∼，若()()30,20E D ξξ==，则90n = C.已知随机变量X 的方差为()D X ，则()()2323D X D X −=− D.若()10,0.8X B ∼，则当8X =时概率最大10.已知*,m n ∈N 且1n m ≥>，下列等式正确的有（ ） A.11A A mm n n m −−= B.12111A A A n nn n n n n +−+−−=C.3333202134520232024C C C C C ++++= D.()()()22212C C CC n n nnnn+++= 11.设函数()222,0e ,0x x ax a xf x a x −−−<= −≥，则下列说法正确的是（ ）A.若函数()f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是(],0∞−B.若函数()f x 有3个零点，则实数a 的取值范围是()2,∞+C.设函数()f x 的3个零点分别是()123123,,x x x x x x <<，则12313x x x +−的取值范围是1,4ln23∞−−−D.存在实数a ，使函数()f x 在()1,1−内有最小值三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.全集[](),4,8,0,6U A B ===R ，则()U A B ∩=__________. 13.已知0a >，函数()2322a f x ax x =−+有两个不同极值点12,x x ，则()()12f x f x +=__________. 14.从一列数()12332,,,,3,m a a a a m m +≥∈Z 中抽取,(132)i j a a i j m <<<+两项，剩余的项分成()()()1211211232,,,,,,,,,,,i i i j j j m a a a a a a a a a −++−+++ 三组，每组中数的个数均大于零且是3的倍数，则,i j a a 有__________种不同的取法.（答案用m 表示）四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明证明､过程或演算步骤.）15.（13分）（1）解关于x 的不等式：()210x a x a −++≥.（2）关于x 的不等式230x ax −+≥在[]1,2x ∈上有解，求实数a 的取值范围.16.（15分）为了研究合肥市某高中学生是否喜欢篮球和学生性别的关联性，调查了该中学所有学生，得到如下等高堆积条形图：从所有学生中获取容量为100的样本，由样本数据整理得到如下列联表：（1）根据样本数据，依据0.01α=的独立性检验，能否认为该中学学生是否喜欢篮球和学生性别有关联？与所有学生的等高堆积条形图得到的结论是否一致？试解释其中原因.（2）将样本列联表中所有数据扩大为原来的2倍，依据0.01α=的独立性检验，与原样本数据得到的结论是否一致？试解释其中原因参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++其中)n a b c d =+++.α 0.050 0.010 0.001 x α3.8416.63510.82817.（15分）对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，定义()()22()()s x x a f x b =−+−，若存在()()00,P x f x ，使()0s x 是()s x 的最小值，则称点P 是函数()f x 到点M 的“最近点”.（1）对于()1(0)f x x x=>和点()0,0M ，求点P ，使得点P 是()f x 到点M 的“最近点”. （2）对于()()ln ,0,1f x x M =，请判断是否存在一个点P ，它是()f x 到点M 的“最近点”，且直线MP 与()f x 在点P 处的切线垂直，若存在，求出点P ；若不存在，说明理由.18.（17分）某商场回馈消费者，举办活动，规则如下：每5位消费者组成一组，每人从,,A B C 三个字母中随机抽取一个，抽取相同字母最少的人每人获得300元奖励.（例如：5人中2人选,2A 人选,1B 人选C ，则选择C 的人获奖；5人中3人选,1A 人选,1B 人选C ，则选择B 和C 的人均获奖；如,,A B C 中有一个或两个字母没人选择，则无人获奖）（1）若甲和乙在同一组，求甲获奖的前提下，乙获奖的概率；（2）设每组5人中获奖人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；（3）商家提供方案2：将,,A B C 三个字母改为A 和B 两个字母，其余规则不变，获奖的每个人奖励200元.作为消费者，站在每组5人获取总奖金的数学期望的角度分析，你是否选择方案2？19.（17分）函数()e xf x x=. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）已知函数()()xg x f x =，当函数()y g x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上的截距的取值范围；（3）设()()2sin x f x x ϕ=−，若x a =是函数()x ϕ在()π,0−上的极值点，求证：()02a ϕ<<.合肥一中2023~2024学年度高二下学期期末联考数学参芳答案一.单选题1.【答案】D【解析】对于命题p ，当1x =−时，101x +=<，故p 是假命题，则p 的否定为真命题，对于命题,Δ0q <，故q 是假命题，q 的否定是真命题，综上可得，p 的否定和q 的否定都是真命题.故选D. 2.【答案】A【解析】由已知12345244783,555x y ++++++++====， 因为点(),x y 在回归直线5ˆˆ1.y x a =+上， 所以ˆ0.5a=， 所以3x =时残差为()4341ˆ5y−=−=−. 故选：A. 3.【答案】D【解析】()()()223Δ3Δ23Δ3ΔΔΔ33ΔS t S S t t t t t −++−+===+， 所以0022lim lim 3(3)9t t S t t ∆→∆→∆==∆+∆.即该质点在3t s =时的瞬时速度为29； 从1t s =到3t s =这两秒内的平均速度为()()312313S S −=−； 故选：D. 4.【答案】B【解析】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良.从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具；反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿. 故选：B. 5.【答案】D【解析】对于选项A ，若1,1a b ==−时，11a b a<−，则A 错误. 对于选项B ，若,a b c d <<，当1,1,2,3a b c d =−===，则ac bd <，则B 错误.对于选项C ，若取3,2,1a b c ===，则1b ca c a b==−−，故错误. 对于选项D ，因为函数1y x x=+在()1,∞+上单调递增，故D 正确. 故选：D. 6.【答案】A【解析】在二项式n展开式中，二项式系数的和为62642n==，所以6n =.则n即6，通项公式为6316C (2)(1),0,1,2,,6r r r rr T x r −−+=⋅−⋅= ， 故展开式共有7项，当0,2,4,6r =时，展开式为奇次项，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项都互不相邻，即把其它的3个偶次项先任意排，再把这4 个奇次项插入其中的4个空中，方法共有3434A A 种，故奇次项都互不相邻的概率为343477A A 1A 35P ==， 故选：A. 7.【答案】C【解析】设10名学生中有n 名不合格，从中抽取3人，其中不合格人数为ξ，由()21140P ξ==，得1210310C C 21C 40n n−=，化简得()()109637n n n −−=××，解得3n =，即本次测试的不合格率为3100%30%10×=. 故选：C. 8.【答案】B【解析】因为2222222222222222a b c d a b b c c d ab bc cdab bc cd ab bc cd ab bc cd++++++++++==++++++，当且仅当a b c d ===时等号成立.1,,13a b∈，由对勾函数性质，所以103b a a b + ，则()22310ab a b +，同理()()222233,1010bc b c cd c d ++则()222222222222222210332210a b c d a b c d ab bc cd a b c d ++++++=+++++ ，故222222a b c d ab bc cd+++++的取值范围是102,3 . 故选：B.二､多选题9.【答案】ABD【解析】对于选项A ，若()12(1)10,1,(10)22P N P p ξξξ−>∼−<==− ，则A 正确.对于选项B ，设(),B n p ξ∼，则()()()30120E np D np p ξξ == =−= ，解得9013n p = =，则B 正确.对于选项C ，()()234D X D X −=，故C 错误. 对于选项D ，因为()10,0.8X B ∼，则()1010C 0.80.2kkkP x k −==⋅；因为()()1191010101C 0.80.2404C 0.80.21k k k kk k P x k k P x k k ++−−=+⋅−===⋅+，若404391815k k k −=⇒=<+， 则当7k ≤时，()()1P x k P x k =+>=，当8k ≥时，()()1P x k P x k =+<=，即(1)(2)(7)(8)(9)(10)P x P x P x P x P x P x =<=<<=<=>=>= ，所以当8X =时概率最大，故D 正确. 故选：ABD. 10.【答案】BD【解析】对于选项A ，()()()()111!!A A !11!mm n n n n n n n m n m −−−==⋅=− −−− ，则A 错误.对于选项B ，()()()121211A A 1!!!11!,A 1!!n nn n n n n n n n n n n nn n n +−+−−=+−=+−=⋅=−=⋅，所以12111A A A n n n n n n n +−+−−=，则B 正确.对于选项33334333433420203452023445202355202320242024C,C C C C C C C C C C C C C ++++=++++=+++=== ，故C错误.对于选项D ，考虑二项式2(1)n x +展开式的n x 前的系数是2C nn ，又因为2(1)(1)(1)n n n x x x +=+⋅+的n x 前的系数可看成0011C C C C C C n n n n n n n n ⋅+⋅++⋅ ，故D 正确.故选：BD. 11.【答案】BC【解析】对于选项A ，若函数()f x 在R 上单调递增，则20221aa a a− −=−≥ − −≤− ，即01a a ≤ ≥− ，即[]1,0a ∈−，则A 错误.对于选项B ，令()0f x =，当0x ≥时，e x a =，若函数()f x 有3个零点，则e x a =需有一个零点，则1a ≥；当0x <时，得2220x ax a −−−=，若函数()f x 有3个零点，则2220x ax a ++=需有两个不等的负实根，则2Δ(2)42020a a a =−⋅>>，解得2a >. 故若函数()f x 有3个零点，则a 的取值范围是()2,∞+，则B 正确. 对于选项C ，设函数()f x 的3个零点分别是()123123,,x x x x x x <<，则3122e x x x a a +=−=，得123112ln 33x x x a a +−=−−，令()()12ln ,2,3g x x x x ∞=−−∈+则()161233x g x x x −−=−−=′，则()g x 在()2,∞+上单调递减，()max 1()24ln23g x g ==−− 当x 趋近于∞+时，()g x 趋近于负无穷大，则函数()g x 的取值范围为1,4ln23∞ −−−即12313x x x +−的取值范围是1,4ln23∞−−−，故C 正确.对于选项D ，当0x <时，函数()2122f x x ax a =−−−是开口向下的二次函数，故函数()1f x 只能在两边端点处取得最小值；当0x ≥时，函数()2e xf x a =−单调递增，故()2min 2()01f x f a ==−；要使函数()f x 在()1,1−内有最小值，即()()11111021f af a a −=−≥− =−≥− ，即21a a ≥ ≤− ，故a 无解，所以不存在a ，故错误. 故选：BC.三､填空题12.【答案】[]6,8解析：][()U ,06,B ∞∞=−∪+ ，所以()[]U 6,8A B ∩= 13.【答案】4.解析：由三次函数对称性可知()()124f x f x +=.答案：4. （24年全国1卷18题第2问思路）另解：()22302a f x ax ′=−=解得12x x == 所以()()124f x f x f f +=+14.答案：213122m m −+. 解析：设三组中的数的个数分别为()3,3,3,,x y z x y z +∈N则333232x y z m +++=+，所以x y z m ++=隔板法可得()()2211213C 1222mm m m m −−−==−+. （24年全国1卷19题第3问思路）四､解答题15.解析：（1）因为()210x a x a −++=解得12, 1.x a x == 当1a >时，不等式解集为][(),1,a ∞∞−∪+；当1a =时，不等式解集为R ； 当1a <时，不等式解集为][(),1,a ∞∞−∪+.（2）易知233x a x x x+≤=+在[]1,2x ∈上有解，所以max 3a x x ≤+ ..因为[]1,2x ∈，所以34x x+≤. 所以4a ≤. 答案：4a ≤16.解析：（1）零假设为0H ：是否喜欢篮球和学生性别没有关联.()()()()220.01() 4.167 6.635n ad bc x a b c d a c b d χ−≈<=++++. 根据0.01α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即该高中学生是否喜欢篮球和学生性别没有关联.5分不一致.原因是根据全面调查数据作判断，其结论是确定且准确的.而根据样本数据作判断，会因为随机性导致样本数据不具代表性，从而不能得出与全面调查一致的结论..（2）将样本列联表中所有数据扩大为原来的2倍，经计算： ()()()()220.01()8.333 6.635n ad bc x a b c d a c b d χ−≈>=++++. 根据0.01α=独立性检验，可以推断该高中学生是否喜欢篮球和学生性别有关联与原样本数据得到的结论不一致，样本变大为原来的2倍，相当于样本量变大为原来的2倍，导致推断结论发生了变化.17.解析：（1）()2212,(0)s x x x x=+≥>，当且仅当1x =时，等号成立，所以当()1,1P 时， 点P 是()f x 到点M 的“最近点”；.（2）()22(ln 1),(0)s x x x x =+−>； 所以()2222ln ;x x s x x−+=⋅⋅′ 记()21ln ,(0)h x x x x =−+>，则()h x 在()0,∞+上单调递增， 因为()10h =，所以()s x 在()0,1单调递减，在()1,∞+单调递增，所以()()1s x s ≥，即点()1,0P 是()f x 到点M 的“最近点”.切点为()1,0P ，则()f x 在点P 处的切线l 的斜率为1，10101MP k −==−− 所以直线MP 与()f x 在点P 处的切线垂直，当且仅当取()1,0P 时，它是()f x 到点M 的“最近点”，且直线MP 与()f x 在点P 处的切线垂直. 18.解析：（1）设甲获奖为事件A ，乙获奖为事件B.()()()332133443322A 1A C 7C A A A n AB P B n A ===+∣.（2）X 的可能取值为0,1,2⋅⋅()23131535335C A C A C 9303243P X ++=== ()()121133545433222255C C C C A A A A 90601;2;32433243P X P X ====== 所以X 的分布列为：X 的数学期望()93906070012.24324324381E X =×+×+×= （3）选择方案1获取奖金总额的数学期望为707000300.8127×= 设选择方案2获奖人数为,Y Y 的可能取值为0,1,2. 则()()()1222252522555C A C A A 210200;1;2;232232232P Y P Y P Y ========= 方案2获奖人数的数学期望()210202501232323216E Y =×+×+×=. 选择方案2获取奖金总额的数学期望为25625200162×=. 因为6257000227>.所以选择方案2. 19.解析：（1）()f x 的定义域为{}0xx ≠∣ ()()22e 1e e 0x x x x x f x x x′−−===.得到1x =. 所以()f x 在()1,∞+单调递增，在(),0∞−和()0,1单调递减.（2）因为()2ex x g x =，所以()2222e e 2,.e e x x x x x x x x g x x ′−−==∈R设切点坐标为()0200,e x x x −，则切线方程为()002200002e .e x x x x y x x x −−−=− 因为曲线()y g x =的切线的斜率为负数，所以020020ex x x −<，解得00x <或02x >. 在切线方程中，令0y =，得()002200002e e x x x x x x x −−−=−， 解得20000022 3.22x x x x x x −==−++−− 令02t x =−，则23(2x t t t=++<−或0)t >， 可得()),03x ∞∞ ∈−∪++ .即l 在x 轴上的截距的取值范围为()),03∞∞ −∪++ . （3）因为()e 2sin x x x x ϕ=−.则()()221e 2cos .x x x x x xϕ−−′= 当π,02x ∈−时，()0x ϕ′<.故()x ϕ在π,02 − 上单调递减. 当ππ,2x ∈−−时，令()()21e 2cos x h x x x =−− 则()()2e 4cos 2sin e 4cos 2sin 0,x x h x x x x x x x x x x ′=−+=−+< 所以()h x 在ππ,2−−上单调递减，因为()ππ0,02h h −>−< ， 所以()h x 在ππ,2−−上有唯一零点.即()x ϕ在ππ,2 −− 上有唯一零点.x a = 当()π,x a ∈−时，()0h x >，即()0x ϕ′>， 当(),0x a ∈时，()0h x <，即()0x ϕ′<，所以x a =时()x ϕ取最大值.所以()()π2π22πe 1πe 0,2sin 2sin 22πe a a a a a a ϕϕϕ − >−=>=−<−< ， 即()02a ϕ<<得证.。
东城区2023-2024学年第二学期期末高二数学试题答案
第1页（共7页）东城区2023-2024学年度第二学期期末教学统一检测高二数学参考答案及评分标准2024.7一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）A （3）D （4）A （5）C （6）B （7）B （8）C （9）A （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）(1,)+∞（12）2213y x -=（13）540（14）20（15）①③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）设事件A ：单局比赛中甲4:0领先，则44114()552225P A =⨯⨯⨯=．……………………………………6分所以单局比赛中甲4:0领先的概率是425．（Ⅱ）设事件B ：乙以3:1赢得比赛，则133212()()3327P B C =⨯⨯=．所以乙以3:1赢得比赛的概率为227．……………………………………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）依题意，(0)f a b ==.因为()e 1x f x a '=+，所以(0)1f a '=+.依题意，(0)1f '=-，故11a +=-，得2a =-.所以2a b ==-.……………………………………7分第2页（共7页）(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()21x f x e '=-+.令()0f x '=，解得ln 2x =-.令()0f x '>，得ln 2x <-，所以()f x 在区间(,ln 2)-∞-上单调递增；令()0f x '<，得ln 2x >-，所以()f x 在区间(ln 2,)-+∞上单调递减.所以()f x 的单调递增区间为(,ln 2)-∞-；单调递减区间为(ln 2,)-+∞.………………………………………….……13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）设事件A ：遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，品牌1A 被选中，则15261()3C P A C ==．所以遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，品牌1A 被选中的概率是13．………………………………………….……4分（Ⅱ）12个整点或半点中，“峰时”有6个，“平时”有4个，“谷时”有2个．X 的所有可能取值为36，45，54．2(36)12P X ==，4(45)12P X ==，6(54)12P X ==，所以X 的分布列为X364554P 161312所以111()36455448632E X =⨯+⨯+⨯=（元）.…………………….……9分（Ⅲ）按新车使用8年计算，燃油汽车使用的燃油费为30000831440005⨯⨯=（元），新能源汽车使用电费最多为300008(1.00.8)864005⨯⨯+=（元），因为购买新能源汽车比燃油汽车多花费40000元，第3页（共7页）所以144000400008640017600--=（元）．新能源汽车至少比燃油车总花费少17600元，所以选择新能源汽车总花费更少．…………………….……14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点0（，得b =.因为3AFB π∠=，所以1c =．由于222a b c =+，解得24a =.所以E 的方程为22143x y +=．…………………….……4分（Ⅱ）设直线PQ 的方程为1x my =+．由221,143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=,所以222(6)36(34)1441440m m m ∆=++=+>.设1122(,),(,)P x y Q x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+.直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得点M 的纵坐标为11116623M y y y x my ==++.同理可得点N 的纵坐标为2263N y y my =+.()()12121244141339N M N M y y y y y y k k my my =⋅==--++12212123()94y y m y y m y y +++=22222363491893434m m m m m =-+--+++1=-.所以12k k 为定值.…………………….……15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.第4页（共7页）当2a =时，222(1)()2x f x x x x-'=-=.令()0f x '=，解得1x =，或1x =-(舍).当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x (0,1)1(1,)+∞()f x '-0+()f x 单调递减0单调递增因此，当1x =时，()f x 有极小值，极小值为(1)0f =.（Ⅱ）22()2a x a f x x x x-'=-=.(1)当2a ≤时，因为(1,)x ∈+∞，所以220x a ->.所以()0f x '>.所以()f x 在区间(1,)+∞上单调递增.故()(1)0f x f >=，满足题意.(2)当2a >时，令()0f x '<，得212x <<.所以()f x 在区间22上单调递减.所以2((1)02f f <=,不符合题意.综上可知，(,2]a ∈-∞.…………………….……9分（Ⅲ）当2a ≤时，由（Ⅱ）知，对任意(1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，所以()f x 在区间(1,)+∞没有零点，不符合题意.当2a >时，因为()fx 在区间上单调递减，且(1)0f =，所以()f x 在区间上无零点.因为()f x 在区间(1,)+∞上存在唯一零点0x ，所以022x >.因为当2x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()2+∞上单调递增.要证20e a x -<，只要证20()(e )a f x f -<，即只要证2(e )0a f ->.224(e )e (2)1a a f a a --=---，令20t a =->，只要证2e (2)10t t t -+->.第5页（共7页）令2()e (2)1(0)x g x x x x =-+->，2()2e 22x g x x '=--.令2()2e 22x h x x =--，当0x >时，24e 2)0(x h x -'=>，所以()g x '在区间(0,)+∞上单调递增，则有()(0)0g x g ''>=.所以()g x 在区间(0,)+∞上单调递增，则有()(0)0g x g >=，于是2(e )0a f ->得证.故20e a x -<.…………………….……15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）因为数列4:1,2,3,4A ，4():3,1,4,2T A ，所以24():4,3,2,1T A ，34():2,4,1,3T A ，44():1,2,3,4T A ．…………….……4分（Ⅱ）对数列4A 的任意变换T ，①若存在{1,2,3,4}i ∈，有()i i T a a =，则35()i i i T a a a -=≠，则T 不是4A 的3阶逆序变换．②若对{,,,}{1,2,3,4}i j s t =，有()i j T a a =，()j i T a a =，()s t T a a =，()t s T a a =，则32()()()i j i T a T a T a ==，3()()j j T a T a =，3()()s s T a T a =，3()()t t T a T a =．所以34()T A 和4()T A 是相同的数列．若34()T A 是4A 的逆序排列，则4()T A 也是4A 的逆序排列．所以T 不是3阶逆序变换．③若对{,,,}{1,2,3,4}i j s t =，有()i j T a a =，()j s T a a =，()s t T a a =，()t i T a a =，则32()()()i j s t T a T a T a a ===，32()()()t i j s i T a T a T a a a ===≠．所以T 不是4A 的3阶逆序变换．综上所述，对于4项数列4A ，不存在3阶逆序变换．………………….……9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，4项数列4A 不存在3阶逆序变换．第6页（共7页）对于3项数列3123:,,A a a a ，①若11()T a a =，则3113()T a a a =≠，所以变换T 不是3A 的3阶逆序变换．②若12()T a a =，当21()T a a =时有33()T a a =，则3331()T a a a =≠，所以变换T 不是3A 的3阶逆序变换．当23()T a a =时有31()T a a =，则3212313()()()T a T a T a a a ===≠，所以变换T 不是3A 的3阶逆序变换．③若13()T a a =，同②可知，变换T 不是3A 的3阶逆序变换．所以3项数列3A 不存在3阶逆序变换．对于5项数列512345:,,,,A a a a a a ，若存在3阶逆序变换T ，则315()T a a =，324()T a a =，333()T a a =，342()T a a =，351()T a a =．①若33()T a a =，则对于数列41245:,,,A a a a a 和上述的变换T ，有315()T a a =，324()T a a =，342()T a a =，351()T a a =．所以这个4项数列41245:,,,A a a a a 存在3阶逆序变换，与（Ⅱ）结论矛盾．②若33()T a a ≠，因为333()T a a =，则存在,{1,2,4,5}i j ∈，有3()i T a a =，()i j T a a =，3()j T a a =．此时，3235()()()i j i i T a T a T a a a -===≠，与T 是3阶逆序变换矛盾．所以，5项数列5A 不存在3阶逆序变换．第7页（共7页）对于6项数列6123456:,,,,,A a a a a a a ，存在变换T 使得6236145():,,,,,T A a a a a a a ，则26365214():,,,,,T A a a a a a a ，36654321():,,,,,T A a a a a a a ．所以6项数列6A 存在3阶逆序变换．综上，n 的最小值为6．…………………….……15分。
海淀区2023-2024学年第二学期期末高二数学试题答案
数学参考答案第1页（共6页）海淀区2024年高二年级学业水平调研数学参考答案2024.07一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）B （3）C （4）B （5）A （6）B（7）C（8）C（9）D（10）D二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）（11）24（12）0,1；23（13）21n n --（14）0.7；0.22（15）①③④三、解答题（共4小题，共40分）（16）（共8分）解：（Ⅰ）()f x 在(,0)-∞上单调递增，证明如下：因为2()(1)e x f x x x =--，所以'()e (1)e 2e 2(e 2)x x x x f x x x x x x =+--=-=-，又因为(,0)x ∈-∞，从而e 2120x -<-<，所以'()(e 2)0x f x x =->，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：'()(e 2)x f x x =-，因为(0,)x ∈+∞，令'()0f x =，得ln 2x =．()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：xln 2(0,)ln 2ln 2(,)+∞'()f x -+()f x ↘极小↗数学参考答案第2页（共6页）因为02(0)(01)e 010f =--=-<，2222(2)(21)e 2e 20f =--=->，所以由零点存在定理及()f x 单调性可知，()f x 在(0,)+∞上恰有一个零点．（17）（共10分）解：（Ⅰ）记A 表示“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足1A q >且2B q >”．用频率估计概率，则3()10P A =．所以该产品满足1A q >且2B q >的概率为310.（Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为0，1，2.511(0)10816P X ==⨯=，51571(1)1081082P X ==⨯+⨯=，577(2)10816P X ==⨯=.所以X 的分布列为X 012P11612716所以X 的数学期望为11711012162168EX =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）甲生产线上的产品质量更好，因为甲生产线上Q 值的平均值0.800.0810Q ==甲，乙生产线上Q 值的平均值0.870.18Q =>乙，所以甲生产线上Q 值的平均值明显比乙小，所以甲生产线上的产品质量更好．其它理由：计算甲生产品的Q 值小于乙的概率744+5+5+4+3+5+2+691810162++=>⨯（注：答案不唯一，理由需要支撑相应结论，只计算甲乙方差不能作为理由。
山东省青岛第二中学分校2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题(含答案)
青岛二中分校2023-2024学年度第二学期期末教学质量检测高二数学试题考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，，则（ ）A. B. C. D. 2. 下列函数中，是偶函数且值域为的是（ ）．A. B. C. D. 3. 已知函数，在下列区间中包含零点的区间是（ ）A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. ( 3，4)4. 设，，，则，，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 5. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2024年3月25日，斐济附近海域发生里氏5.1级地震，它所释放的能量是同日我国新疆阿克苏地区发生里氏3.1级地震的（ ）A. 10倍B. 100倍C. 1000倍D. 10000倍6. 函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 7. 函数的部分图象大致为（ ）.{}|3A x =≤{}|31,B x x n n ==-∈N A B ⋂=∅{}3,6,9{}2,5,8{}1,2,5,8-[)0,+∞()21f x x =-()12f x x =()2log f x x=()f x x =3()ln f x x x =-()f x 0.40.5a =0.5log 0.3b =2log 0.4c =a b c a b c <<c b a <<c<a<b b<c<a E M lg 4.8 1.5E M =+()()2ln 2f x x x =--+()(),21,-∞-+∞ 1-2-2（，）1-12（）1+∞（，）()221sin 2e e x x x x f x --+=-A. B.C. D.8. 已知函数对任意都有，且，当时，.则下列结论正确的是（ ）A. 函数的图象关于点对称B. 函数图象关于直线对称C. 当时，D. 函数的最小正周期为2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知实数满足，则（ ）A. B. C. D. 10. 已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除这两点后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（ ）A. 变量与具有正相关关系B. 去除后的回归方程为C. 重新求得回归直线必过点D. 去除后相应于样本点的残差为-0.05的的()f x x ∈R ()()2f x f x +=-()()f x f x -=-(]1,1x ∈-()3f x x =()y f x =()(),0k k ∈Z ()y f x =()2x k k =∈Z []2,3x ∈()()32f x x =-()y f x =,a b ,1a b a b >+=2a ab＞2ab b >14ab ≤221a b +≥(){},1,2,,i i x y i n = ∣ˆ 1.50.5y x =+3x =()1.3,2.1()4.7,7.9x y 1.2.6ˆ1yx =+()3,5()2,3.7511. 下列命题为真命题的是（ ）A. 幂函数的图像过点，则B. 函数的定义域为，则的定义域为C. ，是奇函数，是偶函数，则D. 关于的方程与的根分别为，，则第Ⅱ卷（共92分）三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 函数恒过定点______.13. 设函数的最小值是，则实数的取值范围是__________．14. 已知函数，则使得成立的实数的取值范围为__________.四、解答题：本题共5个小题，共77分.15. 随着新高考改革，高中阶段学生选修分为物理方向和历史方向，为了判断学生选修物理方向和历史方向是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下列联表：物理方向历史方向总计男生13a 23女生72027总计bc 50（1）计算a ，b ，c 的值；（2）问是否有95%的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关？()f x A 12,8⎛⎫ ⎪⎝⎭()3f x x -=()1f x +[]0,1()2x f []2,4R x ∀∈()f x ()1f x -()20240f =x 5log 4x x +=54x x +=m n 4m n +=()log (32)2a f x x =-+21,2()1log ,2x a x f x x x ⎧⎛⎫-+< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩1-a ()121e 1x f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭()()21f a f a >+a附：，.0250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.82816. 已知命题“使不等式成立”是假命题（1）求实数m 的取值集合；（2）若是的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.17. 已知函数为奇函数．（1）求实数k 的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数m 的取值范围．18. 近年来，随着人们对健康饮食重视和市场对禽肉需求的增长，养鸡业发展迅速，我国养鸡企业发展也取得了显著成就．某小型养鸡场从2017年到2023年每年养鸡数量（单位：千只）的统计结果如下表所示．年份2017201820192020202120222023年份代码1234567养鸡数量千只237581113（1）由统计表看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（系数精确到0.01）；（2）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），并预测该小型养鸡场2026年养鸡的数量．．参考公式：相关系数中斜率和截距的最小二乘估计公式.的()()()()()22n ad bc x a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P k χ≥0k :p ,x ∃∈R 210mx mx --≥A :44q m a -<-<p ⌝()3(2)3()x x f x k x -=+-⋅∈R []2,1x ∀∈--()36xf x m +⋅≤y t/y y t y t 3.74≈nt y r =ˆˆˆy a bt=+分别为．19 已知函数，.（1）若，求函数在的值域；（2）若的值；（3）令，则，已知函数在区间有零点，求实数的取值范围..()()()121,ˆˆˆni ii n i i abt t t t y y b y t ==--==--∑∑()21log f x x =+()2xg x =()()()()()F x f g x g f x =⋅()F x []1,4x ∈()H x =12320212022202220222022H H H H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1h x f x =-()()()()24G x h x k f x =+-()G x []1,4k青岛二中分校2023-2024学年度第二学期期末教学质量检测高二数学试题答案第Ⅰ卷（共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】ACD第Ⅱ卷（共92分）三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5个小题，共77分.【15题答案】【答案】（1），，（2）有95%的把握认为选修物理方向和历史方向是否与性别有关【16题答案】【答案】（1）；（2）【17题答案】【答案】（1）（2）【18题答案】【答案】（1）答案略 （2），17760只．【19题答案】【答案】（1）（2） （3）.(1,2)1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭1,0(0,1)3⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭10a =20b =30c ={}40A m m =-<≤(]4,0-1k =26m ≤ˆ 1.790.14yt =-[]4,40202121643k ≤≤。
安徽省滁州市九校联谊会(滁州二中、定远二中等11校)2020学年高二数学下学期期末考试试题 文(含解析)
滁州市2020学年度第二学期期末联考高二数学（文科） 考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷〔选择題)和第Ⅱ卷(非选择題)两部分。
满分150分,考试时间120分钟。
2.考生作答时,请将答案答在答題卡上。
第Ⅰ卷毎小题选出答案后.用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围:必修1-5,30%，修2-1,2-2,2-3,70%.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合={1,3,5}A ，={-3,1,5}B ，则A B =I （ ） A. {1} B. {3}C. {1,3}D. {1,5}【答案】D 【解析】 【分析】根据交集定义求解．【详解】由题意{1,5}A B =I ． 故选D ．【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题．2.若复数(6)z i i =+，则复数z 在复平面内的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【分析】把复数为标准形式，写出对应点的坐标．【详解】2(6)616z i i i i i =+=+=-+，对应点(1,6)-，在第二象限． 故选B ．【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题．3.“240x x ->”是“4x >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】求出240x x ->的x 的范围，根据集合之间的关系选择正确答案． 【详解】24004x x x x ->⇔<>或， 因此240x x ->是4x >的必要不充分条件． 故选B ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，充分必要条件队用定义判定外还可根据集合之间的包含关系确定．如p 对应集合是A ，q 对应集合是B ，则A B ⊆⇔p 是q 的充分条件q ⇔是p 的必要条件．4.若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线与直线2y x =垂直，则该双曲线的离心率为（ ）C.2D. 2【答案】A 【解析】由垂直关系得出渐近线的斜率，再转化为离心率e 的方程即可． 【详解】∵双曲线的一条渐近线与直线2y x =垂直，∴12b a -=-， 2222214b c a a a -==，22254c e a ==，∴e = 故选A ．【点睛】本题考查双曲线的渐近线，掌握两直线垂直的充要条件是解题基础．5.若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线与直线2y x =垂直，则该双曲线的离心率为（ ）D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由垂直关系得出渐近线的斜率，再转化为离心率e 的方程即可． 【详解】∵双曲线的一条渐近线与直线2y x =垂直，∴12b a -=-， 2222214b c a a a -==，22254c e a ==，∴2e = 故选A ．【点睛】本题考查双曲线的渐近线，掌握两直线垂直的充要条件是解题基础．6.将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后,得到函数()f x 的图象,则函数()f x 的单调增区间为（ ）A. 5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B. 5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZC. ,()36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZD. ,()63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z【答案】D 【解析】 【分析】求出图象变换的函数解析式，再结合正弦函数的单调性可得出结论．【详解】由题意()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222()262k x k k πππππ--+∈Z 剟，∴()63k x k k ππππ-+∈Z 剟，故选D ．【点睛】本题考查三角函数的平移变换，考查三角函数的单调性．解题时可结合正弦函数的单调性求单调区间．7.已知,x y 的取值如下表，从散点图知，,x y 线性相关，且$$0.6y x a =+，则下列说法正确的是（ ）A. 回归直线一定过点(2.2,2.2)B. x 每增加1个单位，y 就增加1个单位C. 当5x =时，y 的预报值为3.7D. x 每增加1个单位，y 就增加0.7个单位 【答案】C 【解析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得a 值，进一步求得线性回归方程，然后逐一分析四个选项即可得答案． 【详解】解：由已知得，1234 2.54x +++==， 1.4 1.8 2.4 3.22.24y +++==，故A 错误；由回归直线方程0.6ˆˆy x a =+恒过样本中心点（2.5，2.2），得2.20.6 2.5a =⨯+$，解得a =$0.7．∴回归直线方程为0.60.7y x =+$．x 每增加1个单位，y 就增加1个单位，故B 错误； 当x ＝5时，y 的预测值为3.7，故C 正确；x 每增加1个单位，y 就增加0.6个单位，故D 错误． ∴正确的是C ． 故选C ．【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题关键是性质：线性回归直线一定过点(,)x y ．8.今年全国高考,某校有3000人参加考试，其数学考试成绩X : 2(100,)N a (0a >，试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩高于130分的人数为100，则该校此次数学考试成绩高于100分且低于130分的学生人数约为（ ） A. 1300 B. 1350 C. 1400 D. 1450【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性计算，即【详解】100分是数学期望，由题意成绩高于130分的有100人，则低于70分的也有100人，70到130的总人数为3000－200＝2800，因此成绩高于100分低于130分的人数为280014002=．【点睛】本题考查正态分布，解题关键是掌握正态分布曲线中的对称性，即若2(,)X N μσ:，则()()P X P X μμ>=<，()()(0)P X m P X m m μμ>+=<->．9.函数2cos (1sin )y x x =+在区间[0,]2π上的最大值为（ ）A. 2B. 1+C. 1 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数'y ，利用导数确定函数的单调性，从而可确定最大值． 【详解】2cos (1sin )2cos sin 2y x x x x =+=+，()2'2sin 2cos 22sin 212sin 2(2sin 1)(sin 1)y x x x x x x =-+=-+-=--+当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，'0y ≥；,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，'0y ≤， ∴已知函数在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，max 2cos 1sin 662y ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 故选D ．【点睛】本题考查用导数求函数的最值．解题时先求出函数的导函数，由导函数的正负确定函数 的增减，从而确定最值，在闭区间的最值有时可能在区间的端点处取得，要注意比较．10.在“一带一路”的知识测试后甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲:我的成绩最高. 乙:我的成绩比丙的成绩高 丙:我的成绩不会最差成绩公布后,三人的成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序可能为（ ） A. 甲、丙、乙 B. 乙、丙、甲 C. 甲、乙、丙 D. 丙、甲、乙【答案】D 【解析】 【分析】假设一个人预测正确，然后去推导其他两个人的真假，看是否符合题意． 【详解】若甲正确，则乙丙错，乙比丙成绩低，丙成绩最差，矛盾；若乙正确，则甲丙错，乙比丙高，甲不是最高，丙最差，则成绩由高到低可为乙、甲、丙；若丙正确，则甲乙错，甲不是最高，乙比丙低，丙不是最差，排序可为丙、甲、乙．A 、B 、C 、D 中只有D 可能． 故选D ．【点睛】本题考查合情推理，抓住只有一个人预测正确是解题的关键，属于基础题．11.若抛物线22(0)y px p =>的焦点是221x y p p-=的一个焦点，则p =（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点定义形成等式解得答案.【详解】若抛物线22(0)y px p =>的焦点是221x y p p-=的一个焦点82pp == 故答案选D【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的焦点，属于基础题型.12.已知函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⎪⎩…，若函数()1y f x ax =--有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. (0,1)B. (1,)+∞C. (1,0)-D.(,1)-∞-【答案】B 【解析】 【分析】分别计算0x <和0x ≥时，函数()1y f x ax =--的零点情况：0x ≥函数()1y f x ax =--有一个零点，所以0x <也必须是一个零点，计算得到答案.【详解】0x <时，10x ax --=，1111x a x x-==-> 0x ≥时，3211(1)1032x a x -+-=，令3211()(1)132g x x a x =-+-，2'()(1)g x x a x =-+，当10a +>时，()g x 在[0,1]a +上是减函数，在[1,)a ++∞上是增函数，(0)1g =-，(1)(0)0g a g +<<，当3(1)362a x +>+>时， 2211()(1)11032g x x x a x ⎡⎤=-+->->⎢⎥⎣⎦，∴()g x 在(0,)+∞上有1个零点， 即1a >时，函数()f x 有2个零点，当10a +<时，同样可知函数()1y f x ax =--至多有1个零点， 所以()1y f x ax =--有2个零点时，1a >. 故答案选B【点睛】本题考查了函数的零点问题，判断0x ≥函数()1y f x ax =--有一个零点是解题的关键.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若复数312iz i+=+，则||z =__________．【解析】 【分析】化简复数，再计算复数模.【详解】3(3)(12)5511255i i i iz i z i ++--====-⇒=+【点睛】本题考查了复数的计算和模，属于基础题型.14.高二（3）班有32名男生，24名女生，用分层抽样的方法，从该班抽出7名学生，则抽到的男生人数为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据分层抽样按照比例抽取. 【详解】男生人数为：32743224⨯=+故答案为4【点睛】本题考查了分层抽样，属于简单题.15.若函数()f x 是偶函数,且在[0,)+∞上是增函数,若(2)1f =,则满足2(2)1f x -<的实数x 的取值范围是__________． 【答案】(2,0)(0,2)-U 【解析】 【分析】根据偶函数性质得出()f x 在(,0]-∞上是减函数，由此可得不等式2222x -<-<． 【详解】∵()f x 是偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，(2)1f =， ∴()f x 在(,0]-∞上是减函数，(2)1f -=． 又2(2)1(2)f x f -<=，∴2222x -<-<，解得22x -<<且0x ≠． 故答案为(2,0)(0,2)-U ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，由奇偶性和单调性结合起来解函数不等式，这种问题一类针对偶函数，一类针对奇函数，它们有固定的解题格式．如偶函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，()(2)f x f <可转化为22x -<<，奇函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，首先把不等式转化为12()()f x f x <再转化为12x x <．16.过点(3,0)的直线与抛物线26y x =的两交点为,A B ，与y 轴的交点为C ，若3AB BC =u u u r u u u r，则||AB =__________．【答案】2【解析】 【分析】设AB 方程为(3)y k x =-，联立方程得()22226690k x k x k -++=，利用韦达定理21212266,9k x x x x k++==，根据3AB BC =u u u r u u u r 得到k ，解得答案. 【详解】设AB 方程为(3)y k x =-，()()1122,,,,(0,3)A x y B x y C k -，()2121,AB x x y y =--u u u r ，()22,3BC x k y =---u u u r，∵3AB BC =u u u r u u u r ，∴124x x =，由2(3)6y k x y x =-⎧⎨=⎩，得()22226690k x k x k -++=21212266,9k x x x x k ++==，∴2249x =，232x =， ∴2266152k k +=，24k =∴||AB ==故答案为2【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，计算量大，意在考查学生的计算能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3133a a ==. （1）求n S ； （2）求数列1{}nS 的前n 项和n T . 【答案】（1）22n n nS +=（2）21n n +【解析】 【分析】（1）直接利用公式解方程得到答案.（2）由（1）知12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再利用裂项求和得到答案. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，则11233a d a +==，∴11a =，1d =，{}n a 的前n 项和21(1)22n n n n nS na d -+=+=（2）由（1）知，12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴1{}n S 的前n 项和11111122121223111n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用. 18.在ABC ∆中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，且22(sin sin )sin sin sin A B C A B +=+.（1）求C ；（2）若2,3a c ==，求ABC ∆的面积.【答案】（1）23C π=（2【解析】 【分析】（1）由正弦定理把已知角的关系转化为边的关系，再由余弦定理求得cos C ，从而求得C ；（2）由(1)及2,3a c ==代入可解得b ，再由in 12s S ab C =求得面积． 【详解】解：（1）由22(sin sin )sin sin sin A B C A B +=+及正弦定理得：22()a b c ab +=+，∴222a b c ab +-=-，由余弦定理得：1cos 2C =-，∵0C π<<， ∴23C π=（2）由222a b c ab +-=-，及2,3a c ==， 得2492b b +-=-， ∴2250b b +-=∴16b =-+∴ABC ∆的面积为1323sin 2ab C -=.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查三角形面积公式，解题关键是由正弦定理把已知角的关系转化为边的关系．19.在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，1=23AA ，E 是AB 的中点，F 是1BB 的中点.（1）求证：//EF 平面11A DC ； （2）求点A 到平面11A DC 的距离. 【答案】（1）见解析（2）217【解析】 【分析】（1）通过证明1//EF DC 得到//EF 平面11A DC . （2）利用等体积法计算1111A A DC C AA D V V --=，得到答案.【详解】（1）证明：连接1AB ，∵,E F 分别为1,AB BB 的中点， ∴1//EF AB∵长方体1111ABCD A B C D -中，11AD B C =，11//AD B C ， ∴四边形11ADC B 是平行四边形， ∴11//AB DC ，∴1//EF DC∵EF ⊄平面11A DC ，1DC ⊂平面11A DC ，∴//EF 平面11A DC（2）解： 由底面ABCD 是边长为2的正方形，知长方体中，11A D C D =，1122AC = 由123AA =114A D C D == 设A 到平面11A DC 的距离为d11A DC ∆面积为122162272⨯-=1AA D ∆的面积为3由1111A A DC C AA D V V --=，得112723233d ⨯=⨯，∴221d =即点A 到平面11A DC 的距离为2217. 【点睛】本题考查了线面平行，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20.今年全国高考结束,某机构举办志愿填报培训班,为了了解本地考生是否愿意参加志愿填报培训,随机调查了80名考生,得到如下2×2列联表 愿意不愿意 合计男 a5M 女 b c40 合计 N2580(1)写出表中,,,,a b c M N 的值,并判断是否有99.9%把握认为愿意参加志愿填报培训与性别有关;(2)在不愿意参加志愿填报培训的学生中按分层抽样抽取5名学生,再在这5人中随机抽取两名做进一步调研,求两人都是女生的概率.参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++附：.【答案】（1）40M=，35a=，20c=，20b=，55N=，有99.9%的把握认为愿意参加志愿者填报培训与性别有关.（2）35【解析】【分析】(1)完善列联表，计算2K，与临界值表作比较得到答案. (2)抽取的5名学生中有男生1人，设为a，女生4人，设为1,2,3,4，排列出所可能和满足情况的种数，相除得到答案. 【详解】(1) 804040M=-=，40535a=-=，25520c=-=，402020b=-=，802555N=-=，∵2K的观测值2080(2035520)13.0910.82840402555k⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯∴有99.9%的把握认为愿意参加志愿者填报培训与性别有关.（2）由题知，抽取的5名学生中有男生1人，设为a，女生4人，设为1,2,3,4，在这5人中抽取2人共有(,1)(,2)(,3)(,4)(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(2,5)a a a a，共10种，其中都为女生的有(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(2,5)共6种，∴两人都是女生的概率63105P==.【点睛】本题考查了独立性检验，概率的计算，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.21.已知定点(1,0)A -及直线:2l x =-,动点P 到直线l 的距离为d ,若||2PA d =. (1)求动点P 的轨迹C 方程；(2)设,M N 是C 上位于x 轴上方的两点, B 坐标为(1,0),且//AM BN ,MN 的延长线与x 轴交于点(3,0)D ,求直线AM 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）1)y x =+【解析】 【分析】（1）直接把条件2PA d =用坐标表示，并化简即可； （2）设1122(,),(,)M x y N x y ，由//AM BN 可得12,x x 的关系，12,y y 的关系，再结合,M N 在曲线C 上，可解得1122,,,x y x y ，从而能求得AM 的方程．【详解】（1）设(,)P x y ，则由(1,0)A -，知||PA = 又:2l x =-，∴|2|d x =+2=∴2221(1)(2)2x y x ++=+∴2222x y +=∴点P 的轨迹方程为2212x y +=（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，()120,0y y >> ∵(1,0)(1,0),(3,0)A B D -⋅ ∴B 为AD 中点，∵//AM BN∴1212,322x x y y +== ∴1223x x =-又221112x y +=，∴()222223412x y -+= 又222212x y +=，∴2151,42x x ==- ∵0y >，∴14y =，∴t 112AM y k x ==+∴直线AM方程为(1)2y x =+ 【点睛】本题考查椭圆的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，求轨迹方程用的是直接法，另外还有定义法、相关点法、参数法、交轨法等．22.已知函数()ln 1f x x x =+.（1）求()f x 在[],2t t +（0t >）上的最小值； （2）证明：(0,)x ∀∈+∞,都有2()1e ex x f x >-+. 【答案】（1）min111,0e e ()1ln 1,e t f x t t t ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩…（2）见解析【解析】 【分析】（1）求导'()ln 1f x x =+，得到单调区间，讨论t 和1e的关系得到最小值.（2）由（1）知，当(0,)x ∈+∞时，()ln 1f x x x =+的最小值为min 11()1e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭设2()1((0,))x x m x x =-+∈+∞e e，求函数的最大值得证. 【详解】解： （1）'()ln 1f x x =+，令'()0f x =，得1x e=当1(0,)x e ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减，当1(,)x e∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增，因为0t >，122t e +>>，①当10t e <<时，min 11()1f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，②当1t e≥时，min ()()ln 1f x f t t t ==+，所以min111,0e e ()1ln 1,e t f x t t t ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩…（2）证明：由（1）知，当(0,)x ∈+∞时，()ln 1f x x x =+的最小值为min 11()1e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭设2()1((0,))x x m x x =-+∈+∞e e 则1'()e x xm x -=∴1x <时，'()0m x >，()m x 为增函数，1x >时，'()0m x <，()m x 为减函数，∴max 121()(1)11e e e m x m ==-+=-从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12()1e e xf x x>-+成立.【点睛】本题考查了函数的最值，恒成立问题，构造函数2()1((0,))x x m x x =-+∈+∞e e是解题的关键.。
龙岗区2010—2011学年第二学期期末高二文科数学试题及答案
龙岗区2010—2011学年第二学期期末学业评价试题高二数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损；考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考号.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
不按要求填涂的，答案无效.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损，考试结束后，将答题卡交回. 参考公式：附：临界值表参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．()3i -()i 是虚数单位的值等于A ．1B ．iC ．-1D ．i -2．由75108>，981110>，1392521>，…若0a b >>且0m >，则b m a m ++与ba 之间大小关系为 A ．相等B ．前者大C ．后者大D ．不确定3．用反证法证明：若整系数一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是 A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数4．某文具用品店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每只定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一只羽毛球；②按总价的92%付款.某人计划购买4副球拍和30只羽毛球，两种优惠方法中，更省钱的一种是 A ．不能确定B ．①②同样省钱C ．②省钱D ．①省钱5．两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的模型是 A ．模型1的相关指数2R 为0.98B ．模型2的相关指数2R 为0.80C ．模型3的相关指数2R 为0.50D ．模型4的相关指数2R 为0.256．设11,,1,2,32n ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使得()n f x x =为奇函数，且在区间()0,+∞上单调递减的n 的个数是A ．1B ．2C ．3D ．47．工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为x ˆ9060yˆ+=，下列判断正确的是A ．劳动生产率为1000元时，工资为50元B ．劳动生产率提高1000元时，工资提高150元C ．劳动生产率提高1000元时，工资提高90元D ．劳动生产率为1000元时，工资为90元8．设i 是虚数单位，则复数21ii-+的实部与虚部之和为A ．2B ．1C ．-1D ．-2 9．函数()245f x x mx =-+在区间[)2,-+∞上是增函数，则()1f 的取值范围是A ．()125f ≥B ．()125f =C ．()125f ≤D ．()125f > 10．已知集合{}10A x ax =+=,{}1,1B =-,若A B ⊆，则实数a 的取值的集合A ．{}1,1-B ．{}1-C ．φD ．{}1,0,1-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．三个数0.60.7,0.70.7,0.7log 2的大小关系为 . 12．定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示.设()()()02f x x x x =⊗-⊗.则()2f = .13．用二分法研究函数()331f x x x =+-的零点时，第一次经计算()00f <,()0.50f >，可得其中一个零点所在范围0x ∈ ；第二次应计算 ，这时可判断0x ∈ .（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．如图，CD 是圆O 的切线,切点为C ,点B 在圆O 上，2BC =，30o BCD ∠=，则圆O 的面积为 ．15．在极坐标系中，过圆6cos ρθ=的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）设集合{}2,21,4A x x =--，{}5,1,9B x x =--，若{}9AB =，求AB .17．（本小题满分12分）已知复数()()22lg 2232z m m m m =--+++i ，求下列条件中实数m 的值. （1）z 为纯虚数； （2）z 为实数；（3）z 对应的点在复平面内的第二象限内.18．（本小题满分14分）设()f x 为奇函数，且当0x >时，()12log f x x =. （1）求当0x <时，()f x 的解析表达式； （2）解不等式()2f x ≤.19．（本小题满分14分）在平面内有n ()*,2n N n ∈≥条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，这n 条直线把平面分成的平面区域个数记为()f n . （1）求()2f ，()3f ，()4f ； （2）试归纳()f n 与()1f n -的关系； （3）求()f n 的表达式．20．（本小题满分14分）2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏. 某国际组织用分层抽样的方法从心理专家、核专家、地质专家三类专家中抽取若干人组成研究小组赴日本工作，有关数据见表1（单位：人）.核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随机选取了110只羊进行了检测，并将有关数据整理为不完整的2×2列联表（表2）.（1）求研究小组的总人数；（2）写出表2中A 、B 、C 、D 、E 的值，并判断有多大的把握认为羊受到高度辐射与身体不健康有关；（3）若从研究小组的心理专家和核专家中随机选2人撰写研究报告，求其中恰好有1人为心理专家的概率.21．（本小题满分14分）已知()31112xf x x a ⎛⎫=+⋅ ⎪-⎝⎭（0a >且1a ≠） （1）求函数()f x 的定义域； （2）讨论()f x 的奇偶性；（3）若()0f x >在定义域上恒成立，求a 的取值范围.高二文科数学参考答案一、选择题：BBBDA ACCAD.二、填空题：11. 2log 7.07.07.07.06.0>>； 12. 2-； 13. ()5.0,0，()25.0f ，()5.0,25.0；14. π4； 15. 3cos =θρ.三、解答题：16解：∵ 9B A = ∴ A 9∈ …………1分由91x 2=- 得 5x = 此时{}4,25,9A -=，{}9,4,0B -=.∴{}4,9B A -= 这与{}9B A = 条件不符，故舍去. …………5分由92=x 得3±=x 经检验3=x 不合题意，∴3-=x 此时{}4,7,9A --=，{}9,4,8B -= …………10分因而{}9,4,4,7,8B A ---= . …………12分17解：(Ⅰ)若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧≠++=--0230)22lg(22m m m m 解得m=3 …………4分 (Ⅱ)若z 为实数，则0232=++m m 解得m=-1或m=-2 …………8分(Ⅲ)若z 对应的点在复平面内的第二象限内，则⎪⎩⎪⎨⎧>++>--<--0230220)22lg(222m m m m m m解得 311-<<-m 或331<<+m …………12分18解：（Ⅰ）设0<x ,则0>-x又)(x f 是奇函数 ∴)x (f )x (f -=- …………2分∴)(x f ==--)(x f )x (log 21--=)x (log 2-因而：0<x 时，)(x f =)(log 2x - …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<->)0x (),x (log )0x (,x log 221 …………7分 ∵ ()2x f ≤由 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>2x log 0x 21 解得：41x ≥ …………10分由 ⎩⎨⎧≤-<2)x (log 0x 2 解得：0x 4<≤- …………13分因而不等式()2x f ≤的解集为：[)⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,410,4 . …………14分19解：(Ⅰ)通过动手作图，可知()42f =，()73f =，()114f =. …………3分(Ⅱ)从中可归纳推理，得出()()n 1n f n f +-=. …………6分 (Ⅲ) 由()()n 1n f n f =-- ()()1n 2n f 1n f -=--- ()()2n 3n f 2n f -=--- ()()3n 4n f 3n f -=--- …… …… ()()32f 3f =- 将以上各式累加得：()()()()()23n 2n 31n n 2f n f +-=++-+=-则有()()()()22n n 23n 2n 2f n f 2++=+-+=. …………14分20解：(Ⅰ)依题意，72648y 24x ==, 解得：2x =，4y = 研究小组的总人数为12642=++（人）. …………4分 (Ⅱ)根据列联表特点得: 20A =，50B =，80C =，30D =，110E = …………6分 假设羊受到高度辐射与身体不健康无关. …………7分可求得22110(30105020)7.486 6.635.50608030K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 由临界值表知, 有99％的把握认为羊受到高度辐射与身体不健康有关. ……9分 (Ⅲ) 设研究小组中两名心理专家为12,,a a 四名核专家为1234,,,,b b b b 从这六人中随机选2人，共有15种等可能结果，列举如下：121112131421222324121314,,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b a b a b a b bb bb bb 232434,,.b b b b b b …12分其中恰好有1人为心理专家的结果有8种：121112131421222324,,,,,,,,.a a a b a b a b a b a b a b a b a b所以恰好有1人为心理专家的概率为158P =. …………14 分21解：(Ⅰ)由题意得：01≠-x a 即1≠xa ∴0≠x∴)x (f 的定义域为：()()+∞∞-,00,U …………3分(Ⅱ)3x 3x )21a 1a ()x (211a 1)x (f +--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=- =)x (f x )211a 1(x )211a 11a (3x 3xx =+-=--+-= ∴)x (f 是偶函数 …………7分(Ⅲ)由(Ⅱ)知在其定义域()()+∞∞-,00,U 上是偶函数若()0x f >在其定义域上恒成立，则只需0>x 时()0x f >恒成立. 因而当0>x 时0211a 1x >+- 恒成立 * ............9分 当1>a 时 1a 0x x >∴> ∴* 式恒成立 (11)分当10<<a 时 1a 00x x <<∴> 由*知0>x 时2111->-x a 即 2111<-xa ∴1-2>x a 即 1-<xa 不合题意 …………13分∴1>a 因而a 的取值范围是()+∞,1. (14)分。
湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题(含答案)
郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学（试题卷）注意事项：1.试卷分试题卷和答题卡.试卷共6页，有四大题，19小题，满分150分.考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准者证条形码粘贴在答题卡的指定位置，3.考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个最佳答案，多选或不选得0分）1.设x ∈R ，则“3x >”是“2x >”的（ ）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知i 为虚数单位，若复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,1,2-，则复数12z z ⋅=（ ）A.5iB.5i -C.45i +D.45i-+1sin170=（ ）A.-4B.4C.-2D.24.已知P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一动点，12F F ､分别为其左右焦点，直线1PF 与C 的另一交点为2,A APF 的周长为16.若1PF 的最大值为6，则该椭圆的离心率为（ ）A.14 B.13 C.12 D.235.若n 为一组数8,2,4,9,3,10的第六十百分位数，则二项式1nx ⎫+⎪⎭的展开式的常数项是（ ）A.28B.56C.36D.406.三位老师和4名同学站一排毕业留影，要求老师们站在一起，则不同的站法有：（ ）A.360种B.540种C.720种D.900种7.已知函数()2(0,0)f x x bx c b c =-+>>的两个零点分别为12,x x ，若12,,2x x -三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式0x bx c-≤-的解集为（ ）A.(](),45,∞∞-⋃+B.[]4,5C.()[),45,∞∞-⋃+D.(]4,58.设函数()f x 在R 上存在导数(),f x x '∀∈R ，有()()2f x f x x -+=，在()0,∞+上()f x x '<，若()()932262f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）A.1,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B.1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C.[)1,∞+D.3,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,M 为11A D 的中点，动点P 在正方形ABCD 内（包含边界）运动，且MP =.下列结论正确的是（ ）A.动点P 的轨迹长度为π；B.异面直线MP 与1BB 所成角的正切值为2；C.MP AB ⋅的最大值为2；D.三棱锥P MAD -的外接球表面积为25π4.10.已知定义域在R 上的函数()f x 满足：()1f x +是奇函数，且()()11f x f x -+=--，当[]()21,1,1x f x x ∈-=-，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 的周期4T =B.5324f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.()f x 在[]5,4--上单调递增D.()2f x +是偶函数11.锐角ABC 中，角,,A B C 的对边为,,a b c .且满足4,2a b c ==+.下列结论正确的是（）A.点A的轨迹的离心率e =3c <<C.ABC 的外接圆周长()4π,5πl ∈D.ABC 的面积()3,6ABC S ∈ 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若直线:220l kx y k -+-=与曲线:C y =k 的取值范围是__________.13.已知数列{}n a 满足：()()111,11n n a na n a n n +=-+=+.若()1n nnb n a =+，则数列{}n b 的前n 项和n S =__________.14.暑假将临，大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹.已知某座山高䇯入人云，整体呈圆锥形，其半山腰（母线的中点）有一座古寺，与上山入口在同一条母线上，入口和古寺通过一条盘山步道相连，且当时为了节省资金，该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的.如图，已知该座山的底面半径()2km R =，高)km h =，则盘山步道的长度为__________，其中上山（到山顶的直线距离减小）和下山（到山顶的直线距离增大）路段的长度之比为__________.（第一空2分，第二空3分）四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.（本题满分13分）在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,a b ，c ，且满足()sin cos sin 1cos c A B b C A =+.（1）证明：2A B =；（2）求ca的取值范围.16.（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面,2,ABCD PA AD E ==为线段PD 的中点，F 为线段PC （不含端点）上的动点.（1）证明：平面AEF ⊥平面PCD ；（2）是否存在点F ，使二面角P AF E --的大小为45 ？若存在，求出PFPC的值，若不存在，请说明理由.17.（本题满分15分）已知函数()2cos e ,xf x ax x a =+-∈R .（1）若()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）当0a =时，求证()1f x <在ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上恒成立.18.（本题满分17分）已知()2,A a 是抛物线2:2C y px =上一点，F 是抛物线的焦点，已知4AF =，（1）求抛物线的方程及a 的值；（2）当A 在第一象限时，O 为坐标原点，B 是抛物线上一点，且AOB 的面积为1，求点B 的坐标；（3）满足第（2）问的条件下的点中，设平行于OA 的两个点分别记为12,B B ，问抛物线的准线上是否存在一点P 使得，12PB PB ⊥.19.（本题满分17分）材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件A 发生的概率为p ，试验进行到事件A 第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为ξ，其分布列为()()1(1)1,2,3,k P k p p k ξ-==-⋅=⋯，我们称ξ服从几何分布，记为()GE p ξ~.材料二：求无穷数列的所有项的和，如求2311111112222k k S ∞-==++++=∑ ，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前n 项和11112122nn k nk S -=⎛⎫==- ⎪⎝⎭∑，再求n ∞→时n S 的极限：1lim lim 2122n nn n S S →∞→∞⎛⎫==-= ⎪⎝⎭根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量X.（1）证明：1()1k P X k∞===∑；（2）求随机变量X的数学期望()E X；（3）求随机变量X的方差()D X.郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学参考答案和评分细则一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个最佳答案，多选或不选得0分）1-5BABCA6-8CDD二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.ACD 10.BC11.CD三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦13.1nn +14.5:2四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.（本题满分13分）（1）由()sin cos sin 1cos c A B b C A =+，结合正弦定理得()sin sin cos sin sin 1cos ,sin 0C A B C B A C =+≠ 可得sin cos cos sin sin A B A B B -=，所以()sin sin A B B -=，所以A B B -=或()πA B B -+=（舍去），所以2A B=（2）在锐角ABC 中，02022032B A B C B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，即ππ64B <<，cos B <<sin sin3sin2cos cos2sin 12cos sin sin2sin22cos c C B B B B B B a A B B B+====-.令1cos ,2,2B t y t t t ==-∈，因为122y t t =-在上单调递增，所以y y>=<=，所以ca∈.16.（1）证明： 底面ABCD为正方形，CD AD∴⊥.PA⊥平面,ABCD PA CD∴⊥.PA AD A⋂=CD∴⊥平面PAD.又AE⊂平面,PAD CD AE∴⊥.,PA PD E=为PD的中点，AE PD∴⊥.,CD PD D AE⋂=∴⊥平面PCD.AE⊂平面,AEF∴平面AEF⊥平面PCD.（2）以AB AD AP､､分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，()()0,0,0,2,0,0A B，()()()()2,2,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1C D P E设(01)PF PCλλ=<<，()()2,2,22,0,1,1AF AP PF AP PC AEλλλλ=+=+=-=，设平面AEF的法向量()111,,m x y z=，则(),12,,m AEmm AFλλλ⎧⋅=⎪=--⎨⋅=⎪⎩()()2,2,0,0,0,2AC AP==，设平面APF的法向量()222,,n x y z=，则,n ACn AP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩解得()1,1,0n=-由题意得：cos45m nm n⋅===，即13λ-=，解得23λ=.从而23PFPC=.17.（1）解：函数(),2cos e xf x ax x=+-，则()2sin e xf x a x=--'，对任意的()()0,,0x f x∞∈+'≤恒成立，所以()2e sinxa x g x≤+=，故()e cos1cos0xg x x x x=+≥++>'，所以()min 2()01a g x g ≤==，故实数a 的取值范围为1,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦；（2）证明：由题意知，要证在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，上，cos e 1x x -<，令()cos e xh x x =-，则()sin e xh x x =--'，显然在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭上()h x '单调减，()π0,002h h ⎛⎫->< ⎪⎝⎭''，所以存在0π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则()000sin e 0x h x x '=--=，所以当0π,2x x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h x '>，则()h x 单调递增，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，则()h x 单调递减，所以()0max 00000π()cos ecos sin 04x h x h x x x x x ⎛⎫==-=+=+< ⎪⎝⎭，故()1f x <在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，上恒成立.18.解：（1）由题意242pAF =+=，解得4p =，因此抛物线的方程为2:8C y x =点()2,A a 在抛物线上可得216a =，故4a =±（2）设点B 的坐标为()11,,x y OA 边上的高为h ，我们知道AOB 的面积是：112S h =⨯=1h h =⇒==直线OA 的方程是2y x =，利用B 到直线OA 的距离公式可得：化简得：1121x y -=由于点B 在抛物线上，代入条件可得：22111121184y y y y ⋅-=⇒-=可以得到211440y y --=或211440y y -+=，解这个方程可以得到12y ===±12y =代入拋物线方程可以得到：1x ==或1x ==112x =综上所述，点B的坐标有三个可能的值：12312,2,,22B B B ⎛⎫+- ⎪⎝⎭（3）不存在，理由如下：由（2）知122,2B B +-则12,B B 的中点3,22M ⎛⎫⎪⎝⎭12B B ===M 到准线2x =-的距离等于37222+=因为73.52=>所以，以M 为圆心122B B 为半径的圆与准线相离，故不存在点P 满足题设条件.19.（1）证明：可知()()1151,1,2,3,666k X GE P X k k -⎛⎫⎛⎫~⋅==⋅=⋯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012515151515115615666666666616nn nn S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅=⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-则15()lim lim 1 1.6n n n n k P X k S ∞→∞→∞=⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.（2）设1()nn k T k P X k ==⋅=∑0121152535566666666n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12151525155666666666n nn n n T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减，0121115151515566666666666n nn n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭01215555555616666666n n n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+-⨯=--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则随机变量X 的数学期望55()lim lim 61666n nn n n E X T n →∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）1221151()(6)()lim (6)66k nn k k D X k P X k k -∞→∞==⎛⎫=-⋅==-⋅⋅⎪⎝⎭∑∑()2211111236()()(12)()36()k k k k k k P X k k P X k k P X k P X k ∞∞∞∞=====-+⋅===+-=+⋅=∑∑∑∑2211()12636()36;k k k P X k k P X k ∞∞====-⨯+==-∑∑【也可利用()()()22D XE XE X =-】而012122222151515151()123466666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 121222215515151()12(1)6666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯==+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 两式相减：012121151515151()135(21)666666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 112()()2()111k k k P X k P X k E X ∞∞===⋅=-==-=∑∑从而：21()66k kP X k ∞===∑.那么21()()3630k D X k P X k ∞===-=∑.。
江西省赣州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学 含解析
赣州市2023~2024学年度第二学期期末考试高二数学试卷一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}21,30A x xB x x x =<=-<，则A B = （ ）A. {}01x x << B. {}0x x < C. {1x x <或3}x > D. {}3x x <2. 已知命题:0,e 1x p x x ∀>≥+，则p ⌝为（ ）A. 0,e 1x x x ∀≤<+ B. 0,e 1x x x ∀><+C. 0,e 1x x x ∃≤<+ D. 0,e 1x x x ∃><+3. 正项等比数列{}n a 中，24627a a a =，则3137log log a a +=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，函数()y xf x ='的图象如图，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的增区间是()()2,0,2,∞-+B. 函数()f x 的减区间是()(),2,2,∞∞--+C. 2x =-是函数的极大值点D. 2x =是函数的极大值点5. “1m £”是“函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数tan h 是比较常用的一种，其解析式为()e e tan e ex xxxh x ---=+.关于函数()tan h x ，下列结论错误的是（ ）A. ()tanh 1x ≤-有解 B. ()tanh x 奇函数C. ()tan h x 不是周期函数D. ()tan h x 是单调递增函数7. 已如A 是函数()2ln f x x x =-图像上的动点，B 是直线20x y ++=上的动点，则,A B 两点间距离AB 的最小值为（ ）AB. 4C.D.8. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为10110,1a d a <<-，则下列结论正确的是（ ）A. 45180a a a ++< B. 使得0n S <成立的最小自然数n 是20C.910910S S > D.21222122S S a a >二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错项得0分.9. 已知,a b ∈R ，且a b >，,,a b c 都不为0，则下列不等式一定成立的是（ ）A.11a b< B. a c b c+>+C. 22a b c c> D. 1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10. 已知正数,a b 满足45a b ab ++=，则下列结论正确的是（ ）A. ab 的最大值为1 B. 4a b +的最小值为4C. 2216a b +的最小值为9D.111a b++的最小值为10911. 记方程1x xe =的实数解为Ω（Ω是无理数），Ω被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论正确的是（ ）A. ln ΩΩ0+=B. 11Ω,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是.C. 2Ω2Ω10+->D. 函数()1ln e xxf x x+=-最小值为()Ωf 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数()y f x =是R 上的奇函数，()()1,031,0x f x x g x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()0g g =__________.13. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1πsin 12n n a n n =++，则2024S =__________.14. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x -=+，当[)0,3x ∈时，()231exx x f x -+=，则()y f x =在[]1012,1012-上的零点个数为__________个.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知函数()()32f x ax bxx =+∈R 的图象过点()1,2P -，且在点P 处的切线恰好与直线340x y ++=平行.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]4,1-上的最大值和最小值.16. 已知等差数列{}n a 的公差41370,5,,,d a a a a >=成等比数列，数列{}n b 的前n 项和公式为()*22n n S b n =-∈N .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式：（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .17. 已知函数()f x 为二次函数，有()()10,45f f -==，__________，从下列条件中选取一个，补全到题目中，①1322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②函数()1f x +为偶函数，③()23f =-（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()()222log 3log 1g x x x =+-+，若对任意的[]11,2x ∈，总存在(]21,2x ∈-，使得()()211g x f x mx ≤+成立，求实数m 的取值范围.的18. 已知函数()()2ln ,f x x x ax f x ⋅'=-为()f x 导函数，记()()g x f x '=，其中a 为常数.（1）讨论()g x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，①求a 取值范围；②求证：121x x a+>.19. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列1,5,4,7,3：依次构造，第()*n n ∈N次得到的数列的所有项之和记为na，如11438a ++==.（1）求3a ；（2）求{}n a 的通项公式；（3）证明：1231111524n a a a a ++++< .的的赣州市2023~2024学年度第二学期期末考试高二数学试卷一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}21,30A x xB x x x =<=-<，则A B = （ ）A. {}01x x << B. {}0x x < C. {1x x <或3}x > D. {}3x x <【答案】A 【解析】【分析】先解一元二次不等式，求解集合B ，再求交集即可.【详解】因为{}(){}{}2303003B x x x x x x x x =-<=-<=<<，又{}1,A x x =<所以AB = {}01x x <<.故选：A.2. 已知命题:0,e 1x p x x ∀>≥+，则p ⌝为（ ）A. 0,e 1x x x ∀≤<+ B. 0,e 1x x x ∀><+C. 0,e 1x x x ∃≤<+ D. 0,e 1x x x ∃><+【答案】D 【解析】【分析】全称量词命题的否定，首先把全称量词改成存在量词，然后把后面结论改否定即可.【详解】因为命题:0,e 1xp x x ∀>≥+是全称量词命题，则命题p ⌝为存在量词命题，由全称量词命题的否定得，命题p ⌝：0,e 1x x x ∃><+.故选：D.3. 正项等比数列{}n a 中，24627a a a =，则3137log log a a +=（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的性质求出4a 即可得解.【详解】由等比数列性质可知3246427a a a a ==，解得43a =，所以23137317343log log log log 2log 32a a a a a +====，故选：B4. 已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，函数()y xf x ='的图象如图，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的增区间是()()2,0,2,∞-+B. 函数()f x 的减区间是()(),2,2,∞∞--+C. 2x =-是函数的极大值点D. 2x =是函数的极大值点【答案】C 【解析】【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值.【详解】根据()y xf x '=的图象可知：当<2x -时，()0f x ¢>；20x -<<时，()0f x '<，当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x ¢>.所以()f x 在()(),2,2,-∞-+∞上单调递增，在()2,2-上单调递减.因此函数()f x 在2x =时取得极小值，在2x =-取得极大值.故ABD 错误，C 正确.故选：C5. “1m £”是“函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】.【分析】利用对数函数与复合函数的单调性计算即可.【详解】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知：要满足函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增，需要21021110m m m ⎧≤⎪⇒≤⎨⎪-⨯-≥⎩，因为01<，所以“1m £”是“函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增”的必要不充分条件．故选：B ．6. 在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数tan h 是比较常用的一种，其解析式为()e e tan e ex xxxh x ---=+.关于函数()tan h x ，下列结论错误的是（ ）A. ()tanh 1x ≤-有解 B. ()tanh x 是奇函数C. ()tan h x 不是周期函数 D. ()tan h x 是单调递增函数【答案】A 【解析】【分析】考虑函数的值域可判断A ，根据函数的奇偶性定义判断B ，由复合函数的单调性分析可判断D ，由D 结合周期定义判断C.【详解】由2e e 2e 2tan ()11e e e e e 1x x x x x x x x h x -----==-=-+++，因2e 11x +>，则2221e 0x<<+，可得2111e 21x -<-<+ ，即tan ()(1,1)h x ∈-，故A 错误；因为tan ()h x 的定义域为R ，且e e e e tan ()tan ()e e e ex x x xx xx x h x h x -------==-=-++，所以tan ()h x 是奇函数，故B 正确；2e e 2tan ()1e e e 1x x x x x h x ---==-++，因2e x是增函数，2e 1x +是增函数且恒为正数，则21e 1x+是减函数，故tan ()h x 是增函数，故D 正确；由D 可知函数在R 上单调递增，所以当0T ≠时，()tan tan ()h x h x T +≠，所以函数不是周期函数，故C 正确.故选：A7. 已如A 是函数()2ln f x x x =-图像上的动点，B 是直线20x y ++=上的动点，则,A B 两点间距离AB 的最小值为（ ）A. B. 4C.D.【答案】C 【解析】【分析】先求函数()f x 斜率为1-的切线，然后切线与直线20x y ++=的距离即为所求.【详解】因为()2ln f x x x =-，（0x >），所以()21f x x'=-，由()1f x '=-，得1x =，又()11f =，所以()f x 过()1,1点的切线为：()11y x -=--即20x y +-=.直线20x y +-=与20x y ++=的距离为：d ==.故选：C8. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为10110,1a d a <<-，则下列结论正确的是（ ）A. 45180a a a ++< B. 使得0nS <成立的最小自然数n 是20C. 910910S S > D.21222122S S a a >【答案】C 【解析】【分析】根据题意可知数列单调递减且101110110,0,0a a a a ><+>，由通项公式化简可判断A ，由等差数列的性质及求和公式结合条件可判断B ，根据n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列即可判断C ，由,n n a S 的关系及20,22S S 的符号可判断D.【详解】由公差为10110,1a d a <<-可知，等差数列{}n a 为递减数列且101110110,0,0a a a a ><+>，对A ，45181932430a a a a a d =+++=>，故A 错误；对B ，因为10110a a +>，所以12010110a a a a +=+>，所以1202020()20a a S +>=，故B 错误；对C ，因为11(1)222n n n na dS d n a n n d -==+-+，且02d <，所以由一次函数单调性知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递减数列，所以910910S S >，故C 正确；对D ，由B 知200S >，且2111210S a =<，所以2221220S S a =+<，因为2121212120S S a S S =-，1222222222S S a S S -=，若21222122S S a a >，则212221202221S S S S S S >--，且()()212022210S S S S -->，即()()212221222120S S S S S S ->-，即2212220S S S <，而200S >，220S <，显然矛盾，故21222122S S a a >不成立，故D 错误.故选：C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错项得0分.9. 已知,a b ∈R ，且a b >，,,a b c 都不为0，则下列不等式一定成立的是（ ）A.11a b< B. a c b c+>+C. 22a b c c> D. 1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BC 【解析】【分析】由不等式的性质和函数单调性，判断选项中的不等式是否成立.【详解】当0a b >>时，有11a b>，A 选项错误；a b >，则()()0a c b c a b +-+=->，得a c b c +>+，B 选项正确；a b >，2220a b a bc c c --=>，得22a b c c>，C 选项正确；函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，a b >，则1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项错误.故选：BC10. 已知正数,a b 满足45a b ab ++=，则下列结论正确的是（ ）A. ab 的最大值为1B. 4a b +的最小值为4C. 2216a b +的最小值为9D.111a b++的最小值为109【答案】ABD 【解析】【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB ，先变形2216a b +为关于ab 的二次函数求最值判断C ，利用条件变形可得()1(4)9a b ++=，转化111a b++为关于b 的式子由均值不等式判断D.【详解】由正数,a b 满足45a b ab ++=，可得45a b ab +=-≥，解得01<≤，即1ab ≤，当且仅当4a b =，即1,22a b ==时等号成立，故A 正确；由正数,a b 满足45a b ab ++=，可得2114454442a b a b ab +⎛⎫+-=-⨯≥-⨯ ⎪⎝⎭，解得44a b +≥或420a b +≤-（舍去），当且仅当4a b =，即1,22a b ==时等号成立，故B 正确；()()2222216(4)858956a b a b ab ab ab ab +=+-=--=--，由A 知1ab ≤，由二次函数的单调性知()22956(19)568ab --≥--=，即1ab =时，2216a b +的最小值为8，故C 错误；由45a b ab ++=可得449a b ab +++=，即()1(4)9a b ++=，所以1441999b b a +==++，所以144109999111b b a b +=+≥+=++，当且仅当19b b =，即3b =，27a =时等号成立，故D 正确.故选：ABD11. 记方程1x xe =的实数解为Ω（Ω是无理数），Ω被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论正确的是（ ）A. ln ΩΩ0+=B. 11Ω,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C. 2Ω2Ω10+->D. 函数()1ln e xxf x x+=-的最小值为()Ωf 【答案】ACD【解析】【分析】构建()e 1xg x x =-，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断B 选项，对于A ：对e 1ΩΩ=，()Ω0.5,1∈，取对数整理即可；对于C ：根据二次函数单调性判断；对于D ：结合不等式ln 10x x --≥分析可知()1f x ≥，当且仅当1x xe =时，等号成立.【详解】构建()e 1xg x x =-，则Ω为()g x 的零点，因为()()1e xg x x +'=，若1x <-，则()0g x '<，可知()g x 在(),1∞--内单调递减，且()0g x <，所以()g x 在(),1∞--内无零点；若1x >-，则()0g x '>，可知()g x ()1,∞-+内单调递增，()0.510g =<且()1e 10g =->，所以()g x 在()1,∞-+内存在唯一零点()Ω0.5,1∈；对于选项A ：因为e 1ΩΩ=，()Ω0.5,1∈，即1e Ω=Ω，两边取对数可得：1lnlne Ω==ΩΩ，ln ΩΩ0+=，故A 正确；对于选项B ：由上可知()Ω0.5,1∈，故B 不正确；对于选项C ：2Ω2Ω1y =+-对称轴为Ω1=-，而()Ω0.5,1∈，故2Ω2Ω1y =+-单调递增，当Ω0.5=，2Ω2Ω1y =+-最小值为0.25，所以2Ω2Ω10+->，故C 正确；对于选项D ：构建()ln 1,0h x x x x =-->，则()11h x x'=-，令()0h x '>，解得1x >；令()0h x '<，解得01x <<；可知()h x 在()0,1内单调递减，在()1,∞+内单调递增，则()()10h x h ≥=，可得ln 10x x --≥，当且仅当1x =时，等号成立，0t >可得ln 10t t --≥，令e x t x =，()()e ln e 10,e ln ln e 10,e ln 10,e ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x--≥-+-≥---≥--≥则()e -ln 11x x x xf x x x-=≥=，在当且仅当1x xe =，即1e xx=时，等号成立，所以()f x 的最小值为(Ω)f ，故D 正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数()y f x =是R 上的奇函数，()()1,031,0xf x xg x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()0g g =__________.【答案】2【解析】【分析】根据奇函数的定义得出(0)0f =，再由()g x 解析式得解.【详解】因为函数()y f x =是R 上的奇函数，所以(0)0f =，所以()()()()001(1)312g g g f g =+==-=，故答案为：213. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1πsin 12n n a n n =++，则2024S =__________.【答案】20242025【解析】【分析】先按通项进行分组求和，再由分式数列用裂项法求和，而数列πsin 2n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是周期为4的数列，所以按每4个数一组求和即可.【详解】由()1π11πsin sin 1212n n n a n n n n =+=-+++得：20241111111111101001223344520242025S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++--+-++⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111111111112024101001122334452024202520252025⎛⎫=-+-+-+-+⋅⋅⋅+-++-++⋅⋅⋅+=-= ⎪⎝⎭，故答案为：20242025.14. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x -=+，当[)0,3x ∈时，()231exx x f x -+=，则()y f x =在[]1012,1012-上的零点个数为__________个.【答案】1350【解析】【分析】由题意可得函数为周期函数，再由一个周期内[)0,3内有两个零点，且一个零点小于1，一个大于2，即可得出在[]1012,1012-上零点个数.【详解】由()()12f x f x -=+可得()(3)f x f x =+，所以周期3T =，当[)0,3x ∈时，()231exx x f x -+=，令()0f x =，解得()()210,1,2,3x x ==，即一个周期内有2个零点，因为(1012)(33731)f f =⨯+，所以()y f x =在[]1012,1012-上的零点个数为()2233711350⨯⨯+=.故答案为：1350四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知函数()()32f x ax bxx =+∈R 的图象过点()1,2P -，且在点P 处的切线恰好与直线340x y ++=平行.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]4,1-上的最大值和最小值.【答案】（1）()323f x x x =+（2）最大值为4；最小值为：16-的【解析】【分析】（1）根据函数的图象过点P ，得到关于,a b 的一个关系式，再根据函数在=1x -处的导数为3-，又得到关于,a b 的一个关系式，可求,a b 的值.（2）利用导数分析函数的单调性，可求函数的最大、最小值.【小问1详解】因为函数()32f x ax bx =+的图象过点()1,2P -，所以2a b -+=.又因为()232f x ax bx '=+，且()f x 在点P 处的切线恰好与直线340x y ++=平行，所以()1323f a b -=-=-'，由2323a b a b -+=⎧⎨-=-⎩得：13a b =⎧⎨=⎩，所以()323f x x x =+.【小问2详解】由（1）知：()()23632f x x x x x '=+=+，由()0f x '<⇒20x -<<，由()0f x ¢>⇒<2x -或0x >.所以()f x ()4,2--上单调递增，在()2,0-上单调递减，在()0,1上单调递增，又()416f -=-，()24f -=，()00f =，()14f =，所以()f x 在[]4,1-上的最大值为4，最小值为16-.16. 已知等差数列{}n a 的公差41370,5,,,d a a a a >=成等比数列，数列{}n b 的前n 项和公式为()*22n n S b n =-∈N .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式：（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+，2n n b =（2）12n n T n +=⋅【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式求等差数列的通项公式，根据数列的前n 项和，求数列{}n b 的通项在公式.（2）利用错位相减求和法求数列的前n 项和.【小问1详解】由题意：14353a a d d =-=-，345a a d d =-=-，74353a a d d =+=+，因为137,,a a a 成等比数列，所以2317a a a =⋅⇒()()()255353d d d -=-+⇒0d =或1d =，又0d >，所以1d =，所以1532a d =-=.所以1n a n =+.对数列{}n b ：当1n =时，1122b b =-⇒120b =≠，当2n ≥时，22=-n n S b ，1122--=-n n S b ，两式相减得：122n n n b b b -=-⇒12n n b b -=，所以{}n b 是以2为首项，2为公比得等比数列，所以2nn b =.【小问2详解】由（1）知：()12nn c n =+⋅，所以：()12322324212nn T n =⨯+⨯+⨯+++⋅ ，()23412223242212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⋅++⋅ ，两式相减得：()()231422212nn n T n +-=++++-+⋅ ()()21121241212n n n -+-=+-+⋅-12n n +=-⋅，所以12n n T n +=⋅.17. 已知函数()f x 为二次函数，有()()10,45f f -==，__________，从下列条件中选取一个，补全到题目中，①1322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②函数()1f x +为偶函数，③()23f =-（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()()222log 3log 1g x x x =+-+，若对任意的[]11,2x ∈，总存在(]21,2x ∈-，使得()()211g x f x mx ≤+成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()223f x x x =--（2）[)5,+∞【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式.（2）分别求函数的值域，根据两个函数值域之间的关系求参数.【小问1详解】设()()20f x ax bx c a =++≠，由题意：01645a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，两式相减的：31a b +=若选①，则：抛物线的对称轴为：1x =，即12ba-=⇒20a b +=.所以123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以()223f x x x =--；若选②，则：抛物线的对称轴为：1x =，同上；若选③，则：423a b c -+=-，由01645423a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩，得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以()223f x x x =--.综上：()223f x x x =--【小问2详解】对()g x ：()()()22l 1n 221ln 3x g x x x '=-++()()()()222213l 1n 3x x x x x +-+=++()()223ln 2231x x x x =+++-()()()()2ln 23131x x x x +-=++当(]1,2x ∈-时，由()0g x '>⇒12x <≤；由()0g x '<⇒11x -<<；所以()g x 在()1,1-上单调递减，在()1,2上单调递增，所以(]1,2x ∈-时，()()221log 4log 21g x g ≥=-=.当[]1,2x ∈时，()()2231f x mx x m x +=+--≥恒成立，所以2442x m x x x--≥=-在[]1,2上恒成立.观察可知，函数4y x x =-在[]1,2上单调递减，所以max4413x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，由23m -≥⇒5m ≥.所以实数m 的取值范围是：[)5,+∞18. 已知函数()()2ln ,f x x x ax f x ⋅'=-为()f x 的导函数，记()()g x f x '=，其中a 为常数.（1）讨论()g x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，①求a 的取值范围；②求证：121x x a+>.【答案】（1）见解析 （2）①10,2⎛⎫⎪⎝⎭；②证明见解析【解析】【分析】（1）求出()g x '，分类讨论，利用()0g x '>，()0g x '<解不等式即可得解；（2）①先分析0a ≤不合题意，再求出0a >时函数()f x 在有两个极值点()1212,x x x x <的必要条件，再此条件下分析即可得解；②对结论进行转化，只需证()1212122ln x x x x x x -<+，换元后利用导数确定函数单调性，得出函数最值，即可得证.【小问1详解】定义域为(0,)+∞.()ln 12f x x ax '=+- ，()ln 12g x x ax =+-∴，()1122axg x a x x-=-=' ，当0a ≤时，g ′(x)>0恒成立，()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0a >时，令()0g x '>，则120ax ->，解得12x a<，令()0g x '<，则120ax -<，解得12x a>，()g x ∴在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减.综上，当0a ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减.【小问2详解】由（1）知，0a ≤时，()0f x '= 最多一个根，不符合题意，故0a >，函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，()0g x ∴=在()0,∞+有两个不同零点的必要条件是=ln 12a >0，解得102a <<，当102a <<，()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，=ln 12a >0,g =−2ae <0,x→+∞,g (x )→−∞，∴由零点存在性定理得：()f x 在11,e 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭各有1个零点，a ∴的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.② 函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，11ln 120x ax ∴+-=①22ln 120x ax +-=②①-②得：()1212ln ln 2x x a x x -=-，要证121x x a +>，即证x 1+x 2>2(x 1−x 2)ln x 1−ln x 2，即证()1212122ln ln x x x x x x --<+，即证()1212122lnx x x x x x -<+，令()1201x t t x =<<，则()21ln 1t t t -<+，令()()21ln 1t R t t t -=-+，则R ′(t )=1t −4(t +1)2=(t−1)2t (t +1)2>0，()y R t ∴=在(0,1)上单调递增，()()10R t R ∴<=，∴()21ln 01t t t --<+在(0,1)上成立，121x x a∴+>，得证.【点睛】关键点点睛：要证明不等式121x x a+>，关键点之一在于消去a 后对结论进行恰当变形，转化为证明()1212122ln x x x x x x -<+成立，其次关键点在于令()1201x t t x =<<换元，转化为证明()21ln 1t t t -<+成立.19. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列1,5,4,7,3：依次构造，第()*n n ∈N次得到的数列的所有项之和记为na，如11438a ++==.（1）求3a ；（2）求{}n a 的通项公式；（3）证明：1231111524n a a a a ++++< 【答案】（1）356a = （2）223nn a =+⨯ （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出第三次得到数列再求和即可；（2）设出第n 次构造后得到的数列求出n a ，则得到第1n +次构造后得到的数列求出1n a +，可得1n a +与n a 关系，再利用构造法求通项即可；（3）利用放缩法求等比数列和可得答案.【小问1详解】因为第二次得到数列1,5,4,7,3，所以第三次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3所以31659411710356++++++++==a ；.【小问2详解】设第n 次构造后得的数列为121,,,,,3 k x x x ，则1213n k a x x x =+++++ ，则第1n +次构造后得到的数列为1112211,1,,,,,,,3,3-++++ k k k k x x x x x x x x x ，则11112211133+-=+++++++++++++ n k k k k a x x x x x x x x x ()12183131243k k n x x x x a -=+++++++-=-+ ，()1232n n a a +-=-，可得1322n n a a +-=-，126a -=，所以{}2n a -是以3为公比，6为首项的等比数列，所以1263n n a --=⨯，即223nn a =+⨯；【小问3详解】由（2）得111111163223123-==⨯<⨯⨯++n nn n a ，所以当1n =时，1115824=<a ，当2n ≥时，所以2312311111111182333n n a a a a ⎛⎫++++=++++ ⎪⎝⎭21111111511533182241232413n n --⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=-⋅<-，综上所述，1231111524n a a a a ++++< .【点睛】关键点点睛：（2）问中解题关键点是已知相邻两项关系构造等比数列，进而得到数列的通项公式；（3）问中根据的通项公式，应用放缩变成等比数列的前项和，应用公式计算即可.。
湖北五市州2024年高二下学期期末联考数学试题+答案
2024年湖北省五市州高二期末联考数学试卷命题单位：宜昌市教科院 审题单位：恩施州教科院2024.7本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某质点的位移y （单位：m ）与时间t （单位：s ）满足函数关系式22y t t =+，当1t =时，该质点的瞬时速度为（）A.4B.3C.2D.12.下列等式不正确的是（）A.281010C C = B.6!23!=C.56566A A = D.333663A C A =⋅3.根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得到28.988χ=.依据0.001α=的独立性检验，正确的结论为（ ）（附：0.01 6.635x =，0.0057.879x =，0.00110.828x =）A.变量x 与y 不独立B.变量x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001C.变量x 与y 独立D.变量x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.0014.函数2ln ()x f x x=的图象大致为（）A. B.C. D.5.甲､乙､丙､丁､戊共5名同学参加100米比赛，决出第1名到第5名的名次.比赛结束后甲说：“我不是第1名”，乙说：“我不是第5名”.根据以上信息，这5人的名次排列情况种数为（ ） A.72 B.78 C.96 D.1206.随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高.据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的3倍，和谐号列车的正点率为0.98，复兴号列车的正点率为0.99，则一列车能正点到达该车站的概率为（ ） A.0.9825 B.0.9833 C.0.9867 D.0.98757.设随机变量()2~0,2X N ，随机变量()2~0,3Y N .则（ ）A.(2)(2)P X P Y ≤−=≤− B.(3)(3)P X P Y ≥>≤− C.(2)(3)P X P Y ≤−=≥ D.()()11P X P Y ≤<≤ 8.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ′，对于任意的实数x 都有2()e ()x f x f x =−，且0x >时，()()f x f x ′>.若(1)e f a =，(ln 2)2f b =，13ln 3c f=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.a c b >> B.a b c >> C.c a b >> D.c b a >>二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在成对数据的统计分析中，下列说法正确的是（ ）A.经验回归直线ˆˆˆybx a =+过点(,)x y B.残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好C.若样本相关系数r 越大，则成对样本数据的线性相关程度越强D.在回归方程ˆ28y x =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加2个单位10.设函数11()1ln (0)f x x x a a ax=−+−≠ ，则（ ） A.当0a <时，()f x 有两个极值点 B.当0a <时，()1f x >C.当01a <<时，()f x 在(0,1)上单调递增D.当01a <<时，()f x x ≤恒成立11.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》中.“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第(1)n n ≥行的各项从左往右依次是二项式()n a b +展开式中各项的二项式系数.下列结论正确的是（ ）A.333345610C C C C 330++++=B.第2024行中从左往右第1013个数是该行中所有数字中最大的C.记第n 行的第i 个数为i a ，则1134n i n ii a+==∑D.记第2行第3个数字为1b ，第3行第3个数字为2b ，…，第1n +行的第3个数字为n b ，则1211121n nb b b n +++=+ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量~(10,0.2)X B ，则(21)D X +=__________. 13.已知曲线sin y x x =在点ππ,22处的切线与二次函数2(23)1y ax a x =+−+的图象只有一个公共点，则实数a 的值为__________.14，甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”的游戏.游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀.每一局游戏甲､乙､丙同时出“剪刀､石头､布”中的一种手势，且相互独立.在一局游戏中某人赢1个人得1分，赢2个人得3分，其他情况得0分.设一局游戏后3人总得分为ξ，则随机变量ξ的数学期望()E ξ的值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知2nx 的展开式中各二项式系数的和为64. （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中各项系数的和；（3）若把展开式中所有的项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率. 16.（15分）已知函数32()69(,)f x ax bx x a b =+−+∈R 在1x =处有极小值4. （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 在[1,2]−上的值域. 17.（15分）某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费x （单位：万元）和增加收益y （单位：万元）的数据如下表：为了进一步了解技术革新投入经费对增加收益的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①ˆˆˆy nx m =+，②ˆˆyc =+. （1）根据以上数据，计算模型①中y 与x 的相关系数r （结果精确到0.01）；（2）若0.95||1r ≤≤，则选择模型①；否则选择模型②.根据（1）的结果，试建立增加收益y 关于技术革新投入经费x 的回归模型，并预测16x =时y 的值（结果精确到0.01）.附：（i ）回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率､截距的最小二乘估计以及相关系数分别为： ()()()112211ˆnni i iii i n n i ii i x x y y x y nx ybx xxnx===−−−=−−∑∑∑∑，ˆˆa y bx=−，nx x y y r −−=（ii ）参考数据：设i v =54.18≈171.35≈， 2.78v ≈，()5211.33i i v v =−≈∑，()()5129.91iii v v y y =−−≈∑.18.（17分）在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数（即下四分位数）与第75百分位数（即上四分位数）.四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示.已知A ，B 两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示.（1）估计A ，B 两个班级平均分较高的是哪个班级？（直接给出结论即可，不必说明理由）（2）据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中A 班3人，B 班5人，从中抽取3人作学习经验分享，设这3人中来自B 班的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.（3）在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自A 班和B 班的概率分别是多少？ 19.（17分）已知1a >，函数()f xax a =+，()e x g x =. （1）证明：方程()()f x g x =有两个解；（2）设（1）中方程的两个解为()1212,x x x x <，直线()12x m x m x =<<与曲线()y g x =交于点A ，直线()y f m =与曲线()y g x =交于点B ，证明：存在唯一的实数m ，使得曲线()y f x =上的点(,())C m f m 与A ，B 两点构成等腰直角三角形.高二参考答案与评分标准选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案ABCDBACCABDBCDBD8.解：令()(),e xf xg x =对于任意的实数x 都有()()()()2e e ex x xf x f x f x f x −−=∴=−， 即()()(),g x g x g x −=∴为偶函数；()()()()1,ln2,ln3ln3a g b g c g g ===−=；又当0x >时，()()()()(),0,exf x f x f x f xg x ′∴−=>′>′当0x >时，()g x 为增函数；又ln21ln3<<，()()()ln31ln2g g g ∴>>，即c a b >>，故选：C.11.解：由11C C C m m m nn n −++=可得33334333343334561044561055610C C C C C C C C C 1C C C C 1+++=++++−=++++− 4334671011C C C 1C 1329+++−− ，故A 错误；第2024行是偶数，中间一项最大，即10122023C ，也就是第2024行中第1013个数，故B 正确； 第n 行的第i 个数为1C i i n a −=，所以1021321133C 3C 3C 3C 3(13)34n i n n n n in n n n i a++==++++=+=×∑ ，故C 错误；由题意知()2122212231111111222C ,C C C 12231nn n n b b b b n n ++=++…+=++…+=++…+×××+11111212231n n =−+−+…+− + 122111n n n=−= ++ .故D 正确. 填空题：12.6.4 13.1或4 14.7314.解析：()()()()2111333333333C C C C A 311511570;2;30233933399393P P P E ξξξξ+==========×+×+×=ξ0 2 3解答题：15.解：（1） 二项式系数之和为264n =，解得6,n =.()3362166220,1,2,,6rr r r r r r T C C x r x −−+ =⋅=⋅=，令3302r −=解得2r =， 则常数项为360T =. （2）令1x =则展开式中各项系数的和为66(12)3729+==.（3）由（1）可知()3321620,1,2,,6r rrr T C xr −+=⋅=，令332r −∈Z 则0,2,4,6r =即展开式中有理项有4项.设事件A =“有理项互不相邻”，()434377135A A P A A ⋅==. 16.解：（1）函数()()3269,f x ax bx x a b =+−+∈R ，则()2326f x ax bx ′=+−()()13260134f a b f a b +− =++= ′，解得43a b = =−. 当43a b ==−时，令()212660f x x x =−−=′，解得121,12x x =−=. 则()()1,,0,2x f x f x ∞ ∈−−′>单调递增；()()1,1,0,2x f x f x ∈−< ′单调递减；()1,x ∞∈+，()()0,f x f x ′>单调递增.1x =是极小值点.故()324369f x x x x =−−+.（2）由（1）知()[]324369,1,2f x x x x x =−−+∈−，则()11,,2x f x∈−−单调递增；1,12x∈−，()f x 单调递减；()()1,2,x f x ∈单调递增.当1x =时，函数()f x 取得极小值()14f =.当12x =−时，函数()f x 取得极大值14324f −= 而()()18,217f f −==.故()f x 的值域[]4,17.17.解：（1）模型①中，相关系数r.1600.93171.35≈，（2）因为0.930.95r =<，所以选择模型②， 令i v =y 关于v 的线性回归方程，由于()()()5152129.91ˆ22.491.33iii i i v v y y dv v ==−−=≈−∑∑， ˆˆ4822.49 2.7814.52cy dv =−=−×≈−， 所以y 关于v 的线性回归方程为2ˆ14.522.49y v =−+，即2ˆ14.5y =−+当16x =时，14.5275.44ˆy =−+=（万元） 答：若投入经费16万元，收益约为75.44万元. 18.（1）B 班（2）()3338C 10C 56P X ===； ()213538C C 151C 56P X === ()123538C C 152;C 28P X ===()3538C 53C 28P X === ()115155150123565628288E X =×+×+×+×=.（3）设事件M =“该同学来自A 班”，事件N =“该同学来分数高于120分”1111(),(),(),()2242P M P M P N M P N M ====∣∣ 所以()()()()()()()P N P MN P MN P N M P M P N M P M =+=⋅+⋅∣∣1111342228×+×= ()()()()()()11142338P NM P M P MN P M N P N P N ×⋅====∣∣11()()()222()3()()38P MN P NM P M P M N P N P N ×⋅====∣∣.则该同学来自A 班的概率为13，来自B 班的概率为23. 19.【解析】（1）()()e xf xg x a =⇔+=，设()e xh x ax a =−−， 则()e ,xh x a =−′令()0h x ′=，得ln x a =，所以()h x 在(),ln a ∞−单调递减，在()ln ,a ∞+单调递增，所以()min ()ln ln ln 0h x h a a a a a a a ==−−=−<， 又()110eh −=>，且ln 0a >，所以存在()11,ln x a ∈−使得()10h x =. 又当0x >时，e xx >，则2e 2x x >，所以2e 4xx >， 所以()()()()2211e 111444xx x x h x ax a a x a x x a −− =−−>−+>−+=+−， 所以()410h a +>，且ln 41a a a <<+，所以存在()2ln ,41x a a ∈+使得()20h x =. 所以()h x 有两个零点，故()()f x g x =有两个解.（2）设()()()()(),e,,,ln ,mA m C m am aB am a am a +++，若()(),C m f m 与,A B 构成等腰直角三角形，则BC CA =，即证明关于m 的方程()ln e m am a m am a +−=+−在()12,x x 仅有一解.由()ln e mam a m am a +−=+−得()()()()e ln 10,1,mH m am a a m a m ∞=++−+−=∈−+，()()211e 1,e 1(1)m m H m a H m m m ′+−−′−+′=+，则()H m ′′在()1,∞−+单调递增，. 又()00H ′′=，所以()H m ′在()1,0−单调递减，在()0,∞+单调递增，又()010H a =−<′， 因为()010h a =−<，所以由（1）知121041x x a −<<<<+而()1111e 11x H x a x ′+−−+，又11e 1x a x =+， 所以()()1111111111111e 1e 1e e 1011111x x x x x x x H x x x x x x ′−=+−−=−=>+++++()()2222222222222e 1e 1e e 1011111x x x x x x x H x x x x x x ′−=+−−=−=>+++++ 所以存在()()1122,0,0,m x m x ∈∈，使得()()120Hm H m ′==′， 所以()H m 在()11,x m 单调递增，在()12,m m 单调递减，在()22,m x 单调递增， 因为()11111e e 0xxH x x x =+−−=，同理()20H x =，又()01ln 0H a a =−+<，所以()()120,0H m H m ><，所以()ln e mam a m am a +−=+−在()12,x x 仅有一解，原命题得证.。
2023-2024学年上海中学高二下学期数学期末试卷及答案(2024.06)
1上海中学2023-2024学年第二学期高二年级数学期末2024.06一、填空题(每题3分，共36分)1.已知事件A 满足()0.3P A =，则()P A =___________.2.将4封不同的信投入3个不同的信箱，则不同的投递方式共有___________种.3.已知3223n n C P =，则n =___________.4.在()101x +的展开式中，3x 的系数为.___________(以数字作答)5.函数()242f x lnx x x =−−的驻点为___________.6.若随机变量X 服从正态分布()1,3,21N Y X =+，则[]D Y =___________.7.集合A 是{}12,3,4,5,6,7,8,9,10，的子集，且A 中的元素有完全平方数，则满足条件的集合A 共有___________个.8.从正方体的12条棱中选择两条，这两条棱所在直线异面直线的概率为___________. 9.若不等式x e ax ≥对任意1x ≥−成立，则a 的取值范围是___________.10.对于在定义域上恒大于0的函数()f x ，令()()g x lnf x =.已知()f x 与()g x 的导函数满足关系式()()()f x f x g x ′=′.由此可知，函数()2x f x x =在1x =处的切线方程为___________.11.甲、乙、丙、丁、戊乘坐高铁结伴出行并购买了位于同一排座位的五张车票，因此他们决定自行安排这些座位.高铁列车的座位安排如图，甲希望坐在靠窗的座位上，乙不希望坐在B 座，丙和丁希望坐在相邻的座位上(中间不能隔着过道)，则满足要求的座位安排方式共有___________种.12.将1,2,3,4,5,6的所有排列按如下方式排序:首先比较从左至右第一个数的大小，较大的排列在后;若第一个数相同，则比较第二个数的大小，较大的排列在后，依此类推.按这种排序2方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是___________. 二、选择题(每题4分，共16分) 13.设()2f x sin x =，则()f x ′=（ ）(A)2cos x (B)2cos x − (C)22cos x (D)22cos x −14.某班级共有40名同学，其中15人是团员.现从该班级通过抽签选择10名同学参加活动，定义随机变量X 为其中团员的人数，则X 服从（ ）(A)二项分布 (B)超几何分布 (C)正态分布 (D)伯努利分布 15.将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为12，且三次抛掷的结果互相独立.记事件A 为“至少两次结果为正面”，事件B 为“第三次结果为正面”，则()P B A =∣（ ） (A)12 (B)23 (C)34 (D)7816.现有编号分别为()1,2,,*n n N …∈的小球各两个，每个球的大小与质地均相同.将这2n 个球排成一列，使得任意编号相同的球均不相邻，记满足条件的排列个数为n a ，则（ ） ①对任意,*n n N a ∈都是偶数;②()()()11212n n a n n a n −>−−≥.(A)①②都是真命题 (B)①是真命题，②是假命题 (C)①是假命题，②是真命题 (D)①②都是假命题 三、解答题(本大题共5题，共48分，解答各题须写出必要的步骤) 17.(本题8分)求函数()()231x f x e x x =⋅−+的单调区间.18.(本题8分)某公司对购买其产品的消费者进行了调研，已知这些消费者在一年内再次购买产品的概率为33%，且这些消费者可以分为A B C、、三类.其中A类消费者占30%，其在一年内再次购买产品的概率为60%;B类消费者占40%，其在一年内再次购买产品的概率为30%;C类消费者占比x%，其在一年内再次购买产品的概率为y%.(1)求x与y的值.(2)若一名消费者在一年内再次购买了产品，求其是B类消费者的概率.19.(本题10分)某学校举办知识竞赛，该竞赛共有三道问题，参赛同学须回答这些问题，以其答对的问题的得分之和作为最终得分.每个问题的得分与参赛同学答对的概率如下表(每次回答是否正确相互独立).定义随机变量X为最终得分.(1)求()50P X=.(2)求[]D X.E X与[]3420.(本题10分)设函数()()()1f x x x x a =−−，其中1a >.且()f x 在0x =与x a =处的切线分别为12,l l .(1)若1l 与2l 平行，求a 的值.(2)记(1)中a 的值为0a .当0a a >时，记12,l l 与x 轴围成的三角形面积为S .当S 取到最小值时，求a 的值.21.(本题12分)仿照二项式系数，可以定义“三项式系数”k n T 为()21nx x ++的展开式中kx 的系数()02k n ≤≤，即()201122221.nn n n n n n x x T T x T x T x ++++++其中0122,,,,n n n n n T T T T Z …∈. (1)求234333,,T T T 的值:(2)对于给定的*n N ∈，计算以下两式的值:20n knk T =∑与20nk n k k T =∑(3)对于*n N ∈，记0122,,,,n n n n n T T T T …中偶数的个数为n a ，奇数的个数为n b .是否存在n 使得2024n n a b −≥?若存在，请给出一个满足要求的n 并说明理由;若不存在，请给出证明.5参考答案一、填空题1.0.7;2.81;3.11;4.120;5.1;6.12;7.896;8.411;9.1,e e−; 10.210x y −−=； 11.11 12.2，3，4，6，1，5二、选择题13.C 14.B 15.C 16.A 三．解答题17.（1）增区间为()(),1,2,−∞−+∞，减区间为[]1,2− 18.（1）30,10x y == （2）123319.（1）0.36 （2）[]57E X =，[]853D X = 20．（1）2 （221．（1）234333676,,T T T ===（2）203nnk nk T ==∑，203n nk n k k T n ==⋅∑ （3）1024n =。
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高中二年数学（文）科试卷 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．若集合A={),(yx041yx} ,B={1,4},则下面选项正确的是（ ） A．BA B．A B C．A=B D． A∩B= 2.命题“02000,2xxx”的否定为 （ ） A．20,2xxx B．20,2xxx C．20,2xxx D．20,2xxx
3. 下列函数中,既是偶函数又在区间),0(上单调递减的是( )
A．21yx B．xy5 C．1yx． D．lg||yx 4. “x<2”是“1xx<0” 成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．下列各组函数)()(xgxf与的图象相同的是（ ）
A. 01xxf与1xg B. xxf与2xxg
C. 24(),()22xfxgxxx D. (0)(),()(0)xxfxxgxxx 6．若0.522,log3,log0.5abc,则（ ） A.abc B.bac C.cab D.bca 7．函数)(xf的图像如图所示，下列选项中正确的是（ ）
A. 23320ffff y B. 23230ffff C. 22330ffff D. 32230ffff O 1 2 3 4 x 8．为了得到函数1()3xy的图像，可以把函数13()3xy的图象（ ） A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位 C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位 9．若函数333fxxaxa在区间0,2内有极小值，则a的取值范围是（ ）
A.0a B. 02a C. 04a D. 2a 10. 若定义在R上的函数()fx满足(2)()fxfx，且当1,1x时，()fxx，则函数xxfy31log的零点个数是 ( ) A．0 B．2 C．4 D．8 11．定义在区间[0,1]上的函数()fx的图象如右图所示， 以A（0，0()f），B（1，1()f），C（x,()fx）为顶点的ABC的 面积记为函数()Sx,则函数()Sx的导函数()Sx的大致图象为( )
12．定义：如果函数()fx在ba,上存在1212,()xxaxxb满足 1()()'()fbfafxba
，abafbfxf2,则称函数()fx是ba,上的“双中值函数”.
已知函数mxxxf2331是m,0上的“双中值函数”,则实数m的取值范围是( ) A. 3,21 B. 3,1 C. 23,0 D. 3,23
第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知幂函数f(x)的图象经过(9,3)，则f(4)= __________
14．函数y＝1x＋x＋4的定义域为__________
15.已知函数11232xaxxxxxf，若aff0，则实数a= ． 16.将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是
xO
1
S'(x)1S'(x)
OxxO
S'(x)1A B C D xO
S'(x)1
1AC
B
O
y
x（第11题图） 梯形，记s＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s的最小值是________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）
计算（1 ）438116-023-211691 （2）
2lg225lg39log8log7log
293
18.（本小题满分12分） 已知函数Rxxxxf13223．
(1)求函数fx的图像在点A6,1处的切线方程； (2)求fx的单调区间
19.（本小题满分12分） 设命题p:实数x满足ax1其中0a;命题q：实数x满足1362xx
（1）若命题p中1a，且pq为真，求实数x的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
20．（本题满分12分） 已知函数21()fxaxx，其中a为常数
(1)根据a的不同取值，判断函数()fx的奇偶性，并说明理由； (2)若的取值范围上恒成立，求在axxxfxh2,101。
21．（本小题满分12分） 2015年10月18日青运会开幕，为了更好的迎接青运会，做好夏季降温的同时要减少能源损耗。福州市海峡奥体中心的体育馆外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用304
年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为2万元．该建筑物每年的能源消耗费用C万元与隔热层厚度xcm满足关系：5kCxx (010x，k为常数)，若不建隔热层，
每年能源消耗费用为3万元．设()fx为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和． （1）求k的值及()fx的表达式； （2）隔热层修建多厚时，总费用()fx达到最小？并求最小值．
22. （本小题满分12分） ,1000,10PeyttxAx的图象交于点与函数，直线如图，已知
与x轴交于点H，记APH的面积为()ft.
（1）求函数()ft的解析式； （2）求函数()ft的最大值.
（3）若
004613tbtttetftgt
探究：是否存在实数m，使得方程mtg有且只有三个实数解，若存在 求出m的取值范围，若不存在，请说明理由。 高中二年数学（文）科参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B A B D A C A C B D D 二、填空题（每小题5分，共20分） 13、2 14、 [－4,0)∪(0，＋∞)
15、－4 16、3233 三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题满分10分）（1 ）1681－34－02-3-211691=89„„„„5分 （2）2lg225lg39log8log7log293=9„„„„10分 18. （本小题满分12分） 解：(1)因为xxxf662，„„„„2分 所以121f，„„„„4分 函数fx的图像在点6,1处的切线方程为：1126xy „„„„5分 即: 612xy „„„„6分 (2) 16662xxxxxf „„„„7分 10,0'xxxf或则令 „„„„9分
01,0'xxf则令 „„„„11分
011,,,0，减区间为的增区间为xf „„„„12分
19、（1）当1a时，p:02xxx或 „„„„ 1分
q：32xx „„„„ 2分 又pq真，所以,pq都为真 „„„„ 3分 由3202xxx或 得3202xx或 „„„6分
（2）0,11,1:aaxaxaxp或 „„„„ 7分 p:0,11aaxa „„„„ 8分
∴满足条件p的解集A=0,11aaxax
q：B=32xx p是q的必要不充分条件
321310,aaaaAB „„„„ 12分
20.[解]（1）()fx的定义域为{0,}xxxR,关于原点对称，„„„„„1分 2211()()fxaxaxxx
，„„„„„2分
当0a时，()()fxfx为奇函数„„„„„4分 当0a时，由(1)1,(1)1fafa，知(1)(1)ff，故()fx即不是奇函数也不是偶函数。„„„„„6分 分即分上恒成立在依题意得91
82,102max2xaxaxxh
分分分上是减函数在1211111102,11maxaxxy
21．解：（1）当0x时，3c，15k，………………2分 515xxC ………………3分
10054502515302xxxxxxf……………………6分（定义域没写扣1分）