学年河南省洛阳市九年级(上)期末数学试卷
2022-2023学年河南洛阳伊川数学九年级第一学期期末质量跟踪监视试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分） 1．对于反比例函数8y x=，下列说法不正确的是（ ） A ．图像分布在第一、三象限 B ．当0x >时，y 随x 的增大而减小C ．图像经过点(4,2)--D ．若点()()1122,,,A x y B x y 都在图像上，且12x x <，则12y y <2．如图，等腰直角△ABC 中，AB=AC=8，以AB 为直径的半圆O 交斜边BC 于D ，则阴影部分面积为（结果保留π）（ ）A ．24﹣4πB ．32﹣4πC ．32﹣8πD ．163．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上位于直径AB 两侧的点，连接AC ，AD ，BD ，CD ，若⊙O 的半径是13，BD ＝24，则sin ∠ACD 的值是（ ）A ．1213B ．125C ．512D ．5134．如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c ＞0；④a+b≥m （am+b ）（m 为实数）；⑤当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①②⑤C ．②③④D ．③④⑤5．如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB a =，宽BC b.=将纸片对折，折痕为EF ，所得矩形AFED 与矩形ABCD 相似，则a ：b (= )A ．2：1B ．2：1C ．3：3D ．3：26．如图，在△ABC 中，DE∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，错误的结论是（ ）．A ．AD AEDB EC= B ．AB ACAD AE= C ．AC ECAB DB= D ．AD DEDB BC= 7．一个盒子中装有2个蓝球，3个红球和若干个黄球，小明通过多次摸球试验后发现，摸取到黄球的频率稳定在0.5左右，则黄球有（ ）个． A ．4B ．5C ．6D ．108．圆的直径是13cm ，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm ，那么该直线和圆的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相切C ．相交D ．相交或相切95x -x 的值可以是（ ）A ．2B ．0C ．1D ．910．一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．2311．如图，四边形ABCD 是正方形，以BC 为底边向正方形外部作等腰直角三角形BCE ，连接AE ，分别交BD ，BC于点F ，G ，则下列结论：①△AFB ∽△ABE ；②△ADF ∽△GCE ；③CG=3BG ；④AF=EF ，其中正确的有（ ）.A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④12．在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有60个，除颜色外其他完全相同，一同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率稳定在25%和45%，盒子中白色球的个数可能是（ ） A ．24个B ．18个C ．16个D ．6个二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，AE ，AD ，BC 分别切⊙O 于点E 、D 和点F ，若AD=8cm ，则△ABC 的周长为_______cm.14．如图，AC 为圆O 的弦，点B 在弧AC 上，若∠CBO=58°，∠CAO=20°，则∠AOB 的度数为___________15．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，将斜边AB 绕点A 逆时针旋转90︒至AB '，连接B C '，则AB C '∆的面积为_______．16．经过点（1，﹣4）的反比例函数的解析式是_____．17．如图，ABCD 是平行四边形，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，AD ＝OA ＝2，则图中阴影部分的面积为______．18．数据2，3，5，5，4的众数是____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在A港口的正东方向有一港口B．某巡逻艇从A港口沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶2小时到达港口B．求A，B两港之间的距离（结果保留根号）．20．（8分）如图1，将边长为2的正方形OABC如图放置在直角坐标系中．（1）如图2，若将正方形OABC绕点O顺时针旋转30时，求点A的坐标；（2）如图3，若将正方形OABC绕点O顺时针旋转75 时，求点B的坐标．21．（8分）已知，如图，△ABC中，AD是中线，且CD2＝BE·BA．求证：ED·AB＝AD·BD．22．（10分）已知在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．（1）求证：ED＝DC；（2）若CD＝6，EC＝3AB的长．23．（10分）计算：（1）x（x﹣2y）﹣（x+y）（x+3y）（2）（53a-+a+3）÷2442a aa-+-24．（10分）请完成下面的几何探究过程：(1)观察填空如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D为斜边AB上一动点(不与点A，B重合)，把线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连DE，BE，则①∠CBE的度数为____________；②当BE=____________时，四边形CDBE为正方形．(2)探究证明如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2AC=4，点D为斜边AB上一动点(不与点A，B重合)，把线段CD绕点C 顺时针旋转90°后并延长为原来的两倍得到线段CE，连DE，BE则：①在点D的运动过程中，请判断∠CBE与∠A的大小关系，并证明；②当CD⊥AB时，求证：四边形CDBE为矩形(3)拓展延伸如图2，在点D的运动过程中，若△BCD恰好为等腰三角形，请直接写出此时AD的长．25．（12分）如图，一次函数y＝kx+b（b＝0）的图象与反比例函数y＝mx（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（﹣3，4），点B的坐标为（6，n）（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接OB ，求△AOB 的面积； （3）若kx +b ＜mx，直接写出x 的取值范围． 26． (1)计算：2sin30°+cos30°•tan60°.(2)已知 23a b= ，且a+b=20，求a ，b 的值.参考答案一、选择题（每题4分，共48分） 1、D【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后即可求解．【详解】解：A 、k=8＞0，∴它的图象在第一、三象限，故本选项正确，不符合题意； B 、k=8＞0，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，故本选项正确，不符合题意； C 、∵824=--，∴点（-4，-2）在它的图象上，故本选项正确，不符合题意； D 、点A （x 1，y 1）、B （x 2、y 2）都在反比例函数8y x=的图象上，若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 2，故本选项错误，符合题意． 故选D. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数()0ky k x=≠，（1）k ＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；（2）k ＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大． 2、A【解析】试题分析：连接AD ，OD ，∵等腰直角△ABC中，∴∠ABD=45°．∵AB是圆的直径，∴∠ADB=90°，∴△ABD也是等腰直角三角形，∴AD BD=．∵AB=8，∴AD=BD=42，∴S阴影=S△ABC-S△ABD-S弓形AD=S△ABC-S△ABD-（S扇形AOD-S△ABD）=12×8×8-12×42×42-9042360π⨯+12×12×42×42=16-4π+8=24-4π．故选A．考点：扇形面积的计算．3、D【解析】首先利用直径所对的圆周角为90°得到△ABD是直角三角形，然后利用勾股定理求得AD边的长，然后求得∠B的正弦即可求得答案．【详解】∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半径是13，∴AB＝2×13＝26，由勾股定理得：AD＝10，∴sin∠B＝1052613 ADAB==∵∠ACD ＝∠B ， ∴sin ∠ACD ＝sin ∠B ＝513， 故选D ． 【点睛】本题考查了圆周角定理及解直角三角形的知识，解题的关键是能够得到直角三角形并利用锐角三角函数求得一个锐角的正弦值，难度不大． 4、A【分析】由抛物线的开口方向判断a 与2的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与2的关系，然后根据对称轴判定b 与2的关系以及2a+b=2；当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ；然后由图象确定当x 取何值时，y ＞2． 【详解】①∵对称轴在y 轴右侧， ∴a 、b 异号， ∴ab ＜2，故正确； ②∵对称轴1,2bx a=-= ∴2a+b=2；故正确； ③∵2a+b=2， ∴b=﹣2a ，∵当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜2， ∴a ﹣（﹣2a ）+c=3a+c ＜2，故错误； ④根据图示知，当m=1时，有最大值； 当m≠1时，有am 2+bm+c≤a+b+c ， 所以a+b≥m （am+b ）（m 为实数）． 故正确．⑤如图，当﹣1＜x ＜3时，y 不只是大于2． 故错误． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定 抛物线的开口方向，当a ＞2时，抛物线向上开口；当a ＜2时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞2），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜2），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于（2，c ）．5、B【分析】根据折叠性质得到AF ＝12AB ＝12a ，再根据相似多边形的性质得到AB AD AD AF＝，即12a bb a ＝，然后利用比例的性质计算即可．【详解】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF ， ∴AF ＝12AB ＝12a ， ∵矩形AFED 与矩形ABCD 相似，∴AB AD AD AF＝，即12a b b a ＝，∴a ∶b. 所以答案选B. 【点睛】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 6、D【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质进行分析可得出结论. 【详解】由DE∥BC，可得△ADE ∽△ABC ，并可得：AD AE DB EC =，AB ACAD AE =，AC EC AB DB=，故A ，B ，C 正确；D 错误； 故选D ． 【点睛】考点：1.平行线分线段成比例；2.相似三角形的判定与性质． 7、B【分析】设黄球有x 个，根据用频率估计概率和概率公式列方程即可. 【详解】设黄球有x 个，根据题意得：23xx++＝0.5，解得：x ＝5， 答：黄球有5个； 故选：B ． 【点睛】此题考查的是用频率估计概率和根据概率求球的数量问题,掌握用频率估计概率和概率公式是解决此题的关键. 8、D【分析】比较圆心到直线距离与圆半径的大小关系，进行判断即可.【详解】圆的直径是13cm，故半径为6.5cm. 圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么圆心到直线的距离可能等于6.5cm也可能小于6.5cm，因此直线与圆相切或相交.故选D.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，需注意圆的半径为6.5cm，那么圆心与直线上某一点的距离是6.5cm是指圆心到直线的距离可能等于6.5cm也可能小于6.5cm.9、D为二次根式，根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可得x-5≥0，解不等式就可得到答案.有意义，∴x-5≥0，∴x≥5，观察个选项，可以发现x的值可以是9.故选D.【点睛】本题考查二次根式有意义的条件.10、B【解析】列表得：∵共有12种等可能的结果，这两个乒乓球上的数字之和大于5的有4种情况，∴这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为：41123=．故选B．11、B【解析】连接AC，交BD于O，过点E作EH⊥BC于H，由正方形的性质及等腰直角三角形的性质可得∠ADF=∠ABD=∠BCE=∠CBE=45°，可得∠ABE=135°，根据外角性质可得∠AFD=∠FAB+∠ABF>45°，利用平角定义可得∠AFB<135°，即可证明∠AFB≠∠ABE，可对①进行判断；由EH⊥BC可证明EH//AB，根据平行线的性质可得∠HEG=∠FAB，根据角的和差关系可证明∠DAF=∠CEG，即可证明△ADF∽△GCE；可对②进行判断，由EH//AB 可得△HEG∽△BAG，根据相似三角形的性质即可得出BG=2HG，根据等腰直角三角形性质可得CH=BH，进而可得CG=2BG，可对③进行判断；根据正方形的性质可得OA=BE，∠AOF=∠FBE=90°，利用AAS可证明△AOF≌△EBF，可得AF=EF，可对④进行判断；综上即可得答案.【详解】如图，连接AC，交BD于O，过点E作EH⊥BC于H，∵ABCD是正方形，△BCE是等腰直角三角形，∴∠ADF=∠ABD=∠BCE=∠CBE=45°，∴∠ABE=135°，∵∠AFD=∠BAF+∠ABF=∠BAF+45°>45°，∴∠AFB=180°-∠AFD<135°，∴∠AFB≠∠ABE，∴△AFB与△ABE不相似，故①错误，∵EH⊥BC，∠ABC=90°，∴EH//AB，∴∠HEG=∠FAB，∴∠AFD=∠FAB+∠ABD=45°+∠HEG=∠CEG，又∵∠ADB=∠GCE=45°，∴△ADF∽△GCE，故②正确，∵EH//AB，∴△HEG∽△BAG，∴EH HG AB BG=,∵△BCE是等腰直角三角形，∴EH=CH=BH=12BC=12AB，∴HGBG=12，即BG=2HG，∴CH=BH=3HG，∴CG=CH+HG=4HG，∴CG=2BG，故③错误，∵ABCD是正方形，△BCE是等腰直角三角形，∴∠AOF=90°，∠FBE=∠DBC+∠CBE=45°+45°=90°，OA=22AB，BE=22BC，∴∠AOF=∠FBE，OA=BE，在△AOF和△EBF中，AFO BFEAOF FBE OA BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOF≌△EBF，∴AF=EF，故④正确，综上所述：正确的结论有②④，故选：B.【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键.12、B【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数，计算白球的个数．【详解】解：∵摸到绿色球、黑色球的频率稳定在25%和45%，∴摸到白球的频率为1-25%-45%=30%，故口袋中白色球的个数可能是60×30%=18个．故选：B．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值．二、填空题（每题4分，共24分）13、16【解析】∵AE，AD，BC分别切O于点E. D和点F，∴AD=AC，DB=BF，CE=CF，∴AB+BC+AC=AB+BF+CF+AC=AB+BD+CE+AC=AD+AE=2AD=16cm，故答案为：16.14、76°【分析】如图，连接OC．根据∠AOB＝2∠ACB，求出∠ACB即可解决问题．【详解】如图，连接OC．∵OA＝OC＝OB，∴∠A＝∠OCA＝20°，∠B＝∠OCB＝58°，∴∠ACB＝∠OCB−∠OCA＝58°−20°＝38°，∴∠AOB＝2∠ACB＝76°，故答案为76°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15、8【分析】过点B'作B'E⊥AC于点E，由题意可证△ABC≌△B'AE，可得AC=B'E=4，即可求△AB'C的面积．【详解】解：如图：过点B'作B'E⊥AC于点E∵旋转∴AB=AB'，∠BAB'=90°∴∠BAC+∠B'AC=90°，且∠B'AC+∠AB'E=90°∴∠BAC=∠AB'E，且∠AEB'=∠ACB=90°，AB=AB'∴△ABC≌△B'AE（AAS）∴AC=B'E=4∴S △AB'C= '11448.22AC B E •=⨯⨯= 故答案为：8．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用旋转的性质解决问题是本题的关键．16、﹣4x【分析】直接利用反比例函数的性质得出解析式．【详解】∵反比例函数经过点（1，﹣4），∴xy ＝﹣4，∴反比例函数的解析式是：y ＝﹣4x ． 故答案为：y ＝﹣4x． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，是近几年中考的热点问题，要熟练掌握.17【分析】根据题意，作出合适的辅助线，由图可知，阴影部分的面积＝△CBF 的面积，根据题目的条件和图形，可以求得△BCF 的面积，从而可以解答本题．【详解】连接OD 、OF 、BF ，作DE ⊥OA 于点E ，∵ABCD 是平行四边形，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，AD ＝OA ＝2，∴OA ＝OD ＝AD ＝OF ＝OB ＝2，DC ∥AB ，∴△DOA 是等边三角形，∠AOD ＝∠FDO ，∴∠AOD ＝∠FDO ＝60°，同理可得，∠FOB ＝60°，△BCD 是等边三角形，∵弓形DF 的面积＝弓形FB 的面积，DE ＝OD•sin60°∴图中阴影部分的面积为：22，【点睛】本题考查了求阴影部分面积的问题，掌握三角形面积公式是解题的关键．18、1【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．【详解】解：∵1是这组数据中出现次数最多的数据，∴这组数据的众数为1．故答案为：1．【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．三、解答题（共78分）19、A，B间的距离为（206+202）海里．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据题意可得，∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，BC＝20×2＝40，然后根据锐角三角函数即可求出A，B间的距离．【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，根据题意可知：∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，BC＝20×2＝40，∴在Rt△BCD中，CD＝BD＝22BC＝2，在Rt△ACD中，AD＝CD•tan60°＝6，∴AB＝AD+BD＝62（海里）．答：A ，B 间的距离为（206+202）海里． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是掌握方向角的定义．20、（1）A ()3,1-；（2）B ()6,2- 【分析】（1）作AD x ⊥轴于点D ，则30AOD ∠=︒，2AO =,求得AD=1，根据勾股定理求得OD=3，即可得出点A 的坐标；（2）连接BO ，过点B 作BE x ⊥轴于点E ，根据旋转角为75°，可得∠BOE ＝30°，根据勾股定理可得22OB =，再根据Rt △BOD 中，122==BE OB ，6OE =，可得点B 的坐标． 【详解】解：（1）如图1,作AD x ⊥轴于点D ，则30AOD ∠=︒，2AO =1AD ∴=，2213=-=OD∴点A 的坐标为()3,1-．图1（2）如图2，连接OB ，过点B 作BE x ⊥轴于点E ，则75AOE ∠=︒，45BOA ∠=︒30BOE ∴∠=︒在Rt BOA ∆中，22OB =在Rt BOE ∆中，122==BE OB 6OE = ∴点B 的坐标为6,2-．图2【点睛】本题主要考查了旋转变换以及正方形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．21、证明见解析【解析】试题分析：由AD是中线以及CD2＝BE·BA可得BE BDBD AB=，从而可得△BED∽△BDA，根据相似三角形的性质问题得证.试题解析：∵AD是中线，∴BD＝CD，又CD2＝BE·BA，∴BD2＝BE·BA，即BE BD BD AB=，又∠B＝∠B，∴△BED∽△BDA，∴ED BD AD AB=，∴ED·AB＝AD·BD.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得到△BED∽△BDA是解决本题的关键.22、（1）证明见解析；（2）AB＝3【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得出∠DEC=∠A，根据等腰三角形的性质得出∠A=∠C，求出∠DEC=∠C，根据等腰三角形的判定得出即可；（2）连接BD，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质求出AC长，再求出△DEC∽△BAC，得出比例式，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵A、B、E、D四点共圆，∴∠DEC＝∠A，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴ED＝DC；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∵AB＝BC，CD＝6，∴AD＝DC＝6，∴AC＝12，∵∠A＝∠DEC，∠C＝∠C，∴△DEC∽△BAC，∴CD EC BC AC=,∴643 BC=，解得：BC＝3∵AB＝BC，∴AB＝3【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．23、（1）﹣6xy﹣3y2；（2）23 aa+ -【分析】（1）根据整式的混合运算顺序和运算法则,即可求解；（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则即可求解．【详解】（1）原式＝x2﹣2xy﹣（x2+3xy+xy+3y2）＝x2﹣2xy﹣x2﹣3xy﹣xy﹣3y2＝﹣6xy﹣3y2；（2）原式＝（53a -+293a a --）÷2(2)2a a -- ＝243a a --÷（a ﹣2） ＝(2)(2)3a a a +--•12a - ＝23a a +-． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算和分式的混合运算，掌握合并同类项法则和分式的通分和约分是解题的关键.24、（1）①45°，②（2）①CBE A ∠=∠，理由见解析，②见解析；（3或4【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质得出45A ABC ∠=∠=︒，由旋转的性质得：ACD BCE ∠=∠，CD CE =，证明BCE ACD ∆≅∆，即可得出结果；②由①得45CBE ∠=︒，求出90DBE ABC CBE ∠=∠+∠=︒，作EM BC ⊥于M ，则BEM ∆是等腰直角三角形，证出CME ∆是等腰直角三角形，求出90BEC ∠=︒，证出四边形CDBE 是矩形，再由垂直平分线的性质得出BE CE =，即可得出结论；（2）①证明BCE ACD ∆∆∽，即可得出CBE A ∠=∠；②由垂直的定义得出90ADC BDC ∠=∠=︒，由相似三角形的性质得出90BEC ADC ∠=∠=︒，即可得出结论； （3）存在两种情况：①当CD BD =时，证出CD BD AD ==，由勾股定理求出AB ，即可得出结果； ②当4BD BC ==时，得出4AD AB BD ===即可．【详解】解：（1）①90ACB ∠=︒，AC BC =，45A ABC ∴∠=∠=︒， 由旋转的性质得：ACD BCE ∠=∠，CD CE =，在BCE ∆和ACD ∆中，BC AC BCE ACDCE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE ACD SAS ∴∆≅∆，45CBE A ∴∠=∠=︒；故答案为：45︒；②当BE =CDBE 是正方形；理由如下：由①得：45CBE ∠=︒，90DBE ABC CBE ∴∠=∠+∠=︒，作EM BC ⊥于M ，如图所示：则BEM ∆是等腰直角三角形， 22BE =2BM EM ∴==，2CM BC BM ∴=-=，BM CM EM ∴==，CME ∴∆是等腰直角三角形， 45CEM ∴∠=︒，454590BEC ∴∠=︒+︒=︒， 又90ACB ∠=︒，∴四边形CDBE 是矩形，又EM 垂直平分BC ，BE CE ∴=，∴四边形CDBE 是正方形； 故答案为：22（2）①CBE A ∠=∠，理由如下： 由旋转的性质得：BCE ACD ∠=∠， 2BC AC =，2CE CD =，∴2BC CE AC CD==， BCE ACD ∴∆∆∽，CBE A ∴∠=∠； ②CD AB ⊥，90ADC BDC ∴∠=∠=︒，由①得：BCE ACD ∆∆∽，90BEC ADC ∴∠=∠=︒，又90DCE ∠=︒，∴四边形CDBE 是矩形；（3）在点D 的运动过程中，若BCD ∆恰好为等腰三角形，存在两种情况：①当CD BD =时，则DCB DBC ∠=∠，90DBC A ∠+∠=︒，90ACD DCB ∠+∠=︒，A ACD ∴∠=∠，CD AD ∴=，CD BD AD ∴==， 12AD AB ∴=， 22222425AB AC BC =+=+=，5AD ∴=；②当4BD BC ==时，254AD AB BD =-=-；综上所述：若BCD ∆恰好为等腰三角形，此时AD 5254-．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定、正方形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质，证明三角形相似是解决问题的关键，注意分类讨论．25、（1）12yx=，y＝﹣23x+2；（2）9；（3）x＞6或﹣3＜x＜1【分析】（1）根据A的坐标求出反比例函数的解析式，求出B点的坐标，再把A、B的坐标代入y＝kx+b，求出一次函数的解析式即可；（2）先求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式求出即可；（3）根据A、B的坐标和图象得出即可．【详解】解：（1）把A点的坐标（﹣3，4）代入y＝mx得：m＝﹣12，即反比例函数的解析式是y＝12x，把B点的坐标（6，n）代入y＝﹣12x得：n＝﹣2，即B点的坐标是（6，﹣2），把A、B的坐标代入y＝kx+b得：4326k bk b=-+⎧⎨-=+⎩，解得：k＝﹣23，b＝2，所以一次函数的解析式是y＝﹣23x+2；（2）设一次函数y＝﹣23x+2与x轴的交点是C，y＝﹣23x+2，当y＝1时，x＝3，即OC＝3，∵A（﹣3，4），B（6，﹣2），∴△AOB的面积S＝S△AOC+S△BOC＝11343222⨯⨯+⨯⨯＝9；（3）当kx+b＜mx时x的取值范围是x＞6或﹣3＜x＜1．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，掌握一次函数和反比例函数的图象和性质、三角形面积公式是解题的关键．26、 (1)52； (2) a =8，b =12 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，根据二次根式的运算法则计算即可； （2）设 23a b ==k ，即a=2k,b=3k,代入a+b=20，求出k 的值，即可求出a ，b 的值.【详解】（1）原式=122⨯=1+32=52； （2）设 23a b ==k ，即a=2k,b=3k,代入a+b=20，得 2k+3k=20,∴k=4,∴a=8,b=12.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，比例的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.。
2020-2021学年第一学期期末教学质量检测人教版九年级数学试卷(含答案)
2020--2021学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷（考试时间：90分钟满分：120分）一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2.将抛物线y＝﹣2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝3．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则下列选项错误的是（）A．B．C．D．4．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）A．18%B．20%C．36%D．40%5.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°6.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（）A．4B．6.25C．7.5D．97．从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为（）A．B．C．D．8.若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y1＜y2＜y39.若二次函数的与的部分对应值如下表：x-2-10123y1472-1-2-1则当x=5时，y的值为（）A．-1B．2C．7D．1410.已知，则函数和的图象大致是（）A．B．C．D．二.填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）11.方程x2＝3x根为．12.关于x的一元二次方程（x+3）2＝m有实数根，则m的值可以为（写出一个即可）．13.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是m．14.如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′与B是对应点，点A′落在直线BC上，连接AB′，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则AB′的长为．15.一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的侧面积为．16.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是．17.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．④一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；上述结论中正确的是．（填上所有正确结论的序号）第14题第16题第17题三.解答题（一）（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）18.解方程：19.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．⑴画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的OA1B1，并写出点A1的坐标；⑵在⑴的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．19.如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2．求半径OB的长．三.解答题（二）（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）21.如图，反比例函数和一次函数y＝kx﹣1的图象相交于A（m，2m），B两点．⑴求一次函数的表达式；⑵求出点B的坐标，并根据图象直接写出满足不等式＜kx﹣1的x的取值范围．22.甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球（除标号外无其它差异）．从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示．若x+y为奇数，则甲获胜；若x+y为偶数，则乙获胜．⑴用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；⑵你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．23.新冠疫情期间，某网店以100元/件的价格购进一批消毒用紫外线灯，该网店店主结合店铺数据发现，日销量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价和日销售量的四组对应值如表：售价（元/件）150160170180日销售量（件）200180160140另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元．注：日销售纯利润=日销售量×（售价-进价）-每日固定成本.（1）求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）日销售纯利润为（元），求出与的函数表达式；（3）当售价定为多少元时，日销售纯利润最大，最大纯利润是多少．三.解答题（三）（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）24.如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC，点Q是上的一点．⑴求证：BC是⊙O的切线；⑵已知∠BAO＝25°，求∠AQB的度数；⑶在⑵的条件下，若OA＝18，求的长．25．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB 上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E．⑴求抛物线解析式；⑵当点P运动到什么位置时，DP的长最大？⑶是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．惠城区2020--2021学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷答案一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.D2.B3.D4.B5.C6.A7.B8.C9.C10.A二.填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）11.0，312.略（m即可）13.1014.15.6π16.417.②③④三.解答题（一）（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）18.解：19.解：⑴如图所示，点A1的坐标是（1，﹣4）；……2分⑵∵点A（4，1），∴OA＝，∴线段OA在旋转过程中扫过的面积是：．……6分20.解：∵半径OC⊥弦AB于点D，∴＝，……2分∴∠E＝∠BOC＝22.5°，∴∠BOD＝45°，∴△ODB是等腰直角三角形，……4分∵AB＝2，∴DB＝OD＝1，∴OB＝……6分三.解答题（二）（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）21.解：⑴∵A（m，2m）在反比例函数图象上，∴2m＝，∴m＝1，∴A（1，2）．……2分又∵A（1，2）在一次函数y＝kx﹣1的图象上，∴2＝k﹣1，即k＝3，∴一次函数的表达式为：y＝3x﹣1．……4分⑵由解得或，∴B（﹣，﹣3）……6分∴由图象知满足不等式＜kx﹣1的x的取值范围为﹣＜x＜0或x＞1．……8分22.解：树状图如图所示，……3分⑴共有16种等可能的结果数；……5分⑵x+y为奇数的结果数为8，x+y为偶数的结果数为8，∴P（甲胜）＝，P（乙胜）＝，∴P（甲胜）＝P（乙胜），∴这个游戏对双方公平．……8分23.解：(1)(3分)设一次函数的表达式为y=kx+b，将点(150,250)，(160,180)代入上式得解得故y关于x的函数解析式为y=-2x+500.(2)（2分）由题意得：=y(x-100)-2000=(-2x+500)(x-100)-2000=-2x2+700x-52000(3)（3分），∵-2＜0，∴有最大值，∴当175(元/件)时，的最大值为9250（元）．三.解答题（三）（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）24.⑴证明：连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵PC＝CB，∴∠CPB＝∠PBC，∵∠APO＝∠CPB，∴∠APO＝∠CBP，∵OC⊥OA，∴∠AOP＝90°，∴∠OAP+∠APO＝90°，∴∠CBP+∠ABO＝90°，∴∠CBO＝90°，∴BC是⊙O的切线；……4分⑵解：∵∠BAO＝25°，∴∠ABO＝25°，∠APO＝65°，∴∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，∴∠AQB＝（∠AOP+∠POB）＝130°＝65°……7分⑶解：由⑵得，∠AQB＝65°，∴∠AOB＝130°，∴的长＝的长＝＝．……10分25.解：⑴∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0）∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3……2分⑵过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3∴A（0，3）∴直线AB解析式为y＝x+3∵点P在线段AB上方抛物线上∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）∴D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝∵∴当时，DP的长最大此时，点P运动到坐标为（﹣，）.……6分⑶存在点P使△PDE为等腰直角三角形设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴对称轴为直线x＝﹣1∵PE∥x轴交抛物线于点E∴E、P关于对称轴对称∴﹣（﹣1）＝（﹣1）﹣t∴＝﹣2﹣t∴PE＝|﹣|＝|﹣2﹣2t|……8分∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°∴PD＝PE①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t，如图(1)∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2∴P（﹣2，3）②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t，如图(2)∴﹣t2﹣3t＝2+2t解得：t1＝，t2＝（舍去）∴P（，）综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时，使△PDE为等腰直角三角形．……10分图(1)图(2)备用图。
2017-2018上学期九年级数学期末试卷
2017—2018学年度九年级数学期末测试卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）. 1．如图所示的几何体的俯视图是（ ）2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补3．矩形的长为x ，宽为y ，面积为8，则y 与x 之间的函数关系式用图象表示大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2﹣8x +12=0的两个根，则该三角形的周长是（ ）A ．10 B ．14 C ．10或14D ．不能确定5．如图，取一张长为a ，宽为b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a 、b 应满足的条件是（ ）A ．b B ．a=2b C ．b D ．a=4b6．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如上图所示，对称轴是直线x =1，下列结论：①ab ＜0； ②b 2＞4ac ；③3a +c ＜0；④a +b +2c ＜0．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．②④C ．①②④D ．①④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 7．方程x 2=2x 的解为 ．8．已知两个相似的三角形的面积之比是16：9，那么这两个三角形的周长之比是 ．CDBA正面9．某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标 志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉60只黄羊，发现其中2只有标志．从而估计该地区有 黄羊 只． 10．如下图1，双曲线(0)ky k x=≠上有一点A ，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为2，则该双曲线的表达式为 ______ ．11．如下图2，在A 时测得某树的影长为4m ，B 时又测得该树的影长为16m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．12．如下图3，四边形ABCD 是菱形，∠BAD =60°，AB =6，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在AC 上，若OE CE 的长为 ．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．(1)计算：sin 245°＋cos30°•tan60°；(2) 如图，已知：∠BAC =∠EAD ，AB =20.4，AC =48，AE =17，AD =40．求证：△ABC ∽△AED ．14．(1)如图（1），将平行四边形剪一刀，再拼成一个与其面积相等的矩形；(2)如图（2），将菱形剪两刀，再拼成一个与其面积相等的矩形.15．市某中学拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行开展安全逃生疏散演练活动，请完成下列问题：（1）周二没有被选择的概率；（2）选择2天恰好为连续两天的概率．16．已知关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0．（1）若该方程有实数根，求a的取值范围．（2）若该方程一个根为﹣1，求方程的另一个根．17．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D是AB的中点，分别过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，求证：四边形CEDF是正方形．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．如图，在△ABC中，∠A=30°，cos B=45，ACAB的长．19．某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，该阅览室在2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率；（2）已知2017年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2018年达到1440人．如果2017年至2018年图书借阅总量的增长率不低于2015年至2017年的年平均增长率，那么2018年的人均借阅量比2017年增长a%，求a的值至少是多少？20．如图（1），太极揉推器是一种常见的健身器材，基本结构包括支架和转盘.如图（2）是该太极揉推器的左视图，立柱AB的长为125cm，支架OC的长为40cm，支点C到立柱顶点B的距离为25cm，支架OC与立柱AB的夹角OCA=120°，转盘的直径DE为60cm，点O是DE的中点，支架OC与转盘直径DE垂直.求转盘最低点E离地面的高度.（结果保留根号）五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）.21．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．（4）直接写出抛物线上一点P的坐标，使得S△PAB=S△ABC。
河南省洛阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
河南省洛阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．2．用配方法解方程241x x +=，变形后的结果正确的是（ ）A ．()223x +=B ．()243x +=C ．()225x +=D ．()245x += 3．如图，在ABC V 中，50A ∠=︒，将ABC V 绕点B 逆时针旋转，得到BDE V ，点D 恰好落在AC 的延长线上，则旋转角的度数是（ ）A ．90︒B ．80︒C ．70︒D ．60︒ 4．如图，四边形ABCD 内接于O e ，若110D ∠=︒，则AOC ∠的度数为（ ）A ．70︒B ．130︒C ．140︒D ．150︒ 5．如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用16m 长的篱笆围成一个矩形()ABCD 花圃，这个花圃的最大面积是（ ）下面有三个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．其中合理的是（ ）A ．①B ．②C ．①②D ．①③ 10．如图，平面直角坐标系中，()0,0A ，()14,0,B APB V 是等腰直角三角形且190P ∠=︒，把1APB △绕点B 顺时针旋转180︒得到2CP B V，把2CP B V 绕点C 顺时针旋转180︒得到3CP D △，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点2024P 的坐标为（ ）A ．()8090,2B ．()8094,2C ．()8090,2-D ．()8094,2-二、填空题11．请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式： ．12．已知方程x 2+mx +3=0的一个根是1，则它的另一个根是．13．如图，平面直角坐标系中有一段弧经过格点（正方形网格交点）A 、B 、C ，其中()2,3B ，则圆弧所在圆的圆心坐标为．14．如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用3，4，5这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为．15．如图，在ABC V 中，9037BAC AB BC ∠=︒==，，，将ABC V 绕顶点A 顺时针旋转得到11AB C △，取AB 的中点11D B C ，的中点E ，则在旋转过程中，线段ED 的最小值为．三、解答题16．解下列方程：(1)()22140x --=；(2)23410x x -+=． 17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，OAB V 的顶点坐标分别为()0,0O ，()5,0A ，()4,B -3，将OAB V绕点O 顺时针旋转90︒得到OA B ''△，点A 旋转后的对应点为A '．(1)画出旋转后的图形OA B ''△，并写出点A '的坐标；(2)求点B 经过的路径¼BB '的长（结果保留π）．2。
河南省洛阳市2023-—2024学年上期期中九年级数学试卷
2023–2024 学年第一学期期中形成性调研九年级数学试卷一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.1.刺绣是中国民间传统手工艺之一.下列刺绣图案中，是中心对称图形的为( )2.根据下列表格的对应值：判断方程 x²+x−1=0一ˊ个解的取值范围是( )x0.590.600.610.620.63x²+x﹣1-0.061-0.04-0.0180.00440.027A. 0.59<x<0.60B. 0.60 <x<0.61C. 0.61<x<0.62D. 0.60<x<0.633.若关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )A. a>−1B. a>−1且a≠0C. a≥−1D. a<−14.设A(-2, y₁), B(1, y₁), C(2, y₁)是抛物线 y=−3(x+1)²x+4m(m)为常数)上的三点,则y₁,y₁,y₁的大小关系为( )A.y₃<y₂<y₁B.y₂<y₁<y₃C.y₃<y₁<y₂D.y₁<y₂<y₃5.据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆，1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6080 人次，若进馆人次的月平均增长率相同.设进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为( )A. 1280 +1280(1+x) +1280(1+x)²=6080B. 6080(1+x) +6080(1−x)²=1280C. 1280(1+x)²=6080D . 6080(1−x)²=12806.在平面直角坐标中，点A的坐标是(1，3).将点A绕原点O 顺时针旋转90°得到点A',则点 A'的坐标是( )A. (1, -3)B. (-3, 1)C. (3, -1)D. ( -1, 3)7.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角( a(0°<a<180°)得到△ADE,点 B 的对应点 D 恰好落在 BC边上,若 DE⊥AC,∠CAD=25°则旋转角 a 的度数是( )A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°8.若二次函数 y=x²−2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，则 c 应满足的条件是( )A. c=0B. c=1C. c=0或c=−1D. c=0或c=19.如图,正方形ABCD 的边长为2cm,动点 P, Q 同时从点 A 出发,在正方形的边上,分别按A→D→C,A→B→C的方向,都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ 的面积为 ycm²，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是( )10.已知二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图示示，对称轴是直线,下列结论：x=−13①ab>0;②a+b+c<0;③b+2c<0;④a+4c>2b, 其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题(每小题 3 分,共 15 分)11.已知等腰三角形两边长分别是方程 x²−8x+15=0两根，求此等腰三角形的周长 .12.关于x的一元二次方程 −x²+x−n=0有有实数根，则抛物线 y=−x²+x−n的点点在第___象限.13.把二次函数 y=−2(x−1)²的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线的点点坐标是 .14.如图，“爱心”图案是由函数 y=−x²+6的分分图象与其关于直线γ=x的对称图形组成. 点A是直线y=x上方“爱心”图案上的任意一点，点B 是其对称点.若 AB=4√2,则点 A 的坐标是 .15.如图,直角△ABC中,∠ACB=90°, ∠A=30°, BC=4,点E是边AC上一点,将 BE绕点 B 顺时针旋转60°到点 F,则 CF长的最小值是 .三、解答题(本大题共8 个小题，满分 75分)16.(10 分)解下列方程:(1)(x−1)²=2x(1−x)(2)3x²+5x+1=017.(9分) △ABC在平面直角坐标系中如图：(1)画出将 △ABC向左平移5个单位，向上平移2个单位示得到的 △A₁B₁C₁;(2)画出 △ABC关 于原点成中心对称的 △A₂B₂C₂;(3)若点 P 是y轴上的点，且使得 PA+PB的值最小，则点 P 的坐标为18.(9 分)关于 x 的方程 x²+4x+m+2=0有两个不相等的实数根.(1)求 m 的取值范围;(2)若 m 为正整数，求此时方程的根.x+2与x轴、y轴分别交于点A、B(如图).抛物线19.(9分)在平面直角坐标系xOy中，直线 y=−12y=ax²+bx(a≠0)经过点 A.(1)求线段AB 的长;(2)如果抛物线 y=ax²+bx经过线段AB上的另一点C，且 BC=√5,求这条抛物线的表达式；(3)如果抛物线 y=ax²+bx的点点 D 位于 △AOB内，求a 的取值范围。
2019-2020学年河南省洛阳市九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
2019-2020学年河南省洛阳市九年级上学期期末考试数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）.
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（3分）一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（）
A．﹣1B．2C．1和2D．﹣1和2
3．（3分）下列事件中，是随机事件的是（）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．任意一个四边形的外角和等于360°
C．早上太阳从西方升起
D．平行四边形是中心对称图形
4．（3分）二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是（）x……﹣3﹣2﹣101……
y……﹣17﹣17﹣15﹣11﹣5……
A．x＝﹣3B．x＝﹣2.5C．x＝﹣2D．x＝0
5．（3分）在同平面直角坐标系中，函数y＝x﹣1与函数y=1
x的图象大致是（）
A．B．
C．D．
6．（3分）某果园2017年水果产量为100吨，2019年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为（）
A．10%B．20%C．25%D．40%
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河南省洛阳市汝阳县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
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点坐标为（ ）
A．
1 2
,
2
B．
1 3
,1
C． 1, 2
D．
1 4
,
2
二、填空题 11．若二次根式 1 有意义，则 x 的取值范围是__________．
x 1 12．在一个不透明的袋中装有大小和质地都相同的 5 个球：2 个白球和 3 个红球．从中 任意取出 1 个球，取出的球是红球的概率是 ___． 13．如图，A，B，C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为 1，则 cos∠BAC 的 值为____．
高度为（ ）mm
A． 4.36
B． 29.08
C． 43.62
D．121.17
9．二次函数 y ax2 bx 的图象如图所示，当 1 x m 时， y 随 x 的增大而增大，m 的
取值取值范围是（ ）
A． m 1
B． 1 m 1
C． m 0
D． 1 m 2
10．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心 的位似图形，且相似比为 1 ，点 A ， B ， E 在 x 轴上，若正方形 BEFG 的边长为 6，则 D
河南省洛阳市孟津县九年级数学上学期期末考试试题(含解析) 新人教版-新人教版初中九年级全册数学试题
某某省某某市孟津县2016届九年级数学上学期期末考试试题一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．以下关于x的方程一定是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．2（x﹣1）2=2x2+2C．（k+1）x2+3x=2 D．（k2+1）x2﹣2x+1=02．若a＜1，化简﹣1=（）A．a﹣2 B．2﹣a C．a D．﹣a3．如图，在△ABC中两条中线BE、CD相交于点O，记△DOE的面积为S1，△COB的面积为S2，则S1：S2=（）A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：24．用配方法解方程x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2=1 B．（x﹣2）2=﹣1 C．（x﹣2）2=3 D．（x+2）2=35．“服务他人，提升自我”，七一学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的5名同学（3男两女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是（）A．B．C．D．6．如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα＞tanβ，②sinα＞sinβ，③cosα＞cosβ．正确的结论为（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③7．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里．A．25B．25C．50 D．258．如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（）A．5 B．6 C．7 D．12二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）9．如果关于x的方程3x2﹣mx+3=0有两个相等的实数根，那么m的值为．10．已知，则x3y+xy3=．11．如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°=．12．已知y=++3，则=．13．如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm．若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）14．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色其他外完全相同，小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别为15%和45%，则口袋中白色球的数目很可能是．15．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴和y轴上，OA=1，OB=，连接AB，过AB中点C1分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别是点A1、B1，连接A1B1，再过A1B1中点C2作x轴和y 轴的垂线，照此规律依次作下去，则点的坐标为．三、解答题（共8小题，满分55分）16．计算：6tan230°﹣2sin60°﹣2cos45°．17．关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m有两个不相等的实数根x1，x2，求m的取值X围；若x1，x2满足等式x1x2﹣x1﹣x2+1=0，求m的值．18．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，a+b=3+，请你根据此条件，求斜边c的长．19．小明为班上联欢会设计一个摸扑克牌获奖游戏，先将梅花2、3、4、5和红心2、3、4、5 分别洗匀，并分开将正面朝下放在桌子上，游戏者在4X梅花牌中随机抽1X，再在4X红心牌中随机抽1X，规定：当再次所抽出的牌面上数字之积为奇数时，他就可获奖．（1）利用树状图或列表方法表示游戏所有可能出现的结果；（2）游戏者获奖的概率是多少？20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC的垂直平分线交BC于点E，交CA的延长线于D，交AB于点F，求证：AE2=EF•ED．21．如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）22．如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD上一动点（点P异于A、D两点），Q是BC 上任意一点，连结AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．（1）填空：△APE∽△，△DPF∽△．（2）设AP的长为x，△APE的面积为y1，△DPF的面积为y2，分别求出y2和y1关于x的函数关系式；（3）在边AD上是否存在这样的点P，使△PEF的面积为？若存在求出x的值；若不存在请说明理由．23．阅读下面材料：小明遇到下面一个问题：如图1所示，AD是△ABC的角平分线，AB=m，AC=n，求的值．小明发现，分别过B，C作直线AD的垂线，垂足分别为E，F．通过推理计算，可以解决问题（如图2）．请回答，=．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，四边形ABCD中，AB=2，BC=6，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，CD⊥BD．AC与BD相交于点O．（1）=．（2）tan∠DCO=．某某省某某市孟津县2016届九年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．以下关于x的方程一定是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．2（x﹣1）2=2x2+2C．（k+1）x2+3x=2 D．（k2+1）x2﹣2x+1=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、错误，当a=0时，是一元一次方程；B、错误，是一元一次方程；C、错误，当k=﹣1时，是一元一次方程；D、正确，符合一元二次方程的定义．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．若a＜1，化简﹣1=（）A．a﹣2 B．2﹣a C．a D．﹣a【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】根据公式=|a|可知：﹣1=|a﹣1|﹣1，由于a＜1，所以a﹣1＜0，再去绝对值，化简．【解答】解：﹣1=|a﹣1|﹣1，∵a＜1，∴a﹣1＜0，∴原式=|a﹣1|﹣1=（1﹣a）﹣1=﹣a，故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的化简，难度中等偏难．3．如图，在△ABC中两条中线BE、CD相交于点O，记△DOE的面积为S1，△COB的面积为S2，则S1：S2=（）A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心．【分析】根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE=BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．【解答】解：∵BE和CD是△ABC的中线，∴DE=BC，DE∥BC，∴=，△DOE∽△COB，∴=（）2=（）2=，故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．用配方法解方程x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2=1 B．（x﹣2）2=﹣1 C．（x﹣2）2=3 D．（x+2）2=3【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，“配方”一步．【解答】解：x2﹣4x+1=0移项得，x2﹣4x=﹣1，两边加4得，x2﹣4x+4=﹣1+4，即：（x﹣2）2=3．故选C．【点评】此题最重要的一步是在等式两边同时加上一次项系数一半的平方．5．“服务他人，提升自我”，七一学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的5名同学（3男两女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【专题】压轴题；图表型．【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【解答】解：根据题意画出树状图如下：一共有20种情况，恰好是一男一女的有12种情况，所以，P（恰好是一男一女）==．故选：D．【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα＞tanβ，②sinα＞sinβ，③cosα＞cosβ．正确的结论为（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】首先根据图形可得：∠α＞∠β，然后根据各锐角函数的增减性，即可求得答案．【解答】解：根据图形得：∠α＞∠β，∴tanα＞tanβ，sinα＞sinβ，cosα＜cosβ．∴①②正确．故选A．【点评】此题考查了锐角函数的增减性与三角形外角的性质．注意当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．7．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里．A．25B．25C．50 D．25【考点】等腰直角三角形；方向角．【专题】计算题．【分析】根据题中所给信息，求出∠BCA=90°，再求出∠CBA=45°，从而得到△ABC为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答．【解答】解：根据题意，∠1=∠2=30°，∵∠ACD=60°，∴∠ACB=30°+60°=90°，∴∠CBA=75°﹣30°=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∵BC=50×0.5=25，∴AC=BC=25（海里）．故选D．【点评】本题考查了等腰直角三角形和方位角，根据方位角求出三角形各角的度数是解题的关键．8．如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（）A．5 B．6 C．7 D．12【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN=OM：PF，∵EF=x，MO=3，PN=4，∴OE=x﹣3，PF=x﹣4，∴（x﹣3）：4=3：（x﹣4），∴（x﹣3）（x﹣4）=12，即x2﹣4x﹣3x+12=12，∴x=0（不符合题意，舍去），x=7．故选C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）9．如果关于x的方程3x2﹣mx+3=0有两个相等的实数根，那么m的值为±6．【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，建立关于m的方程，求出m的取值．【解答】解：∵方程3x2﹣mx+3=0有两个相等的实数根，∴△=m2﹣4×3×3=0，解得m=±6，故答案为±6．【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．10．已知，则x3y+xy3= 10 ．【考点】二次根式的化简求值．【专题】计算题．【分析】由已知得x+y=2，xy=1，把x3y+xy3分解因式再代入计算．【解答】解：∵，∴x+y=2，xy=1，∴x3y+xy3=xy（x2+y2）=xy[（x+y）2﹣2xy]=（2）2﹣2=10．【点评】解题时注意，灵活应用二次根式的乘除法法则，切忌把x、y直接代入求值．11．如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°=2﹣．【考点】解直角三角形．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】此题可设AB=AC=2x，由已知可求出CD和AD，那么也能求出BD=AB﹣AD，从而求出tan15°．【解答】解：由已知设AB=AC=2x，∵∠A=30°，CD⊥AB，∴CD=AC=x，则AD2=AC2﹣CD2=（2x）2﹣x2=3x2，∴AD=x，∴BD=AB﹣AD=2x﹣x=（2﹣）x，∴tan15°===2﹣．故答案为：2﹣．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形，关键是由直角三角形中30°角的性质与勾股定理先求出CD与AD，再求出BD．12．已知y=++3，则= 2．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的值，进而得出y的值，代入代数式进行计算即可．【解答】解：∵与有意义，∴，解得x=4，∴y=3，∴==2．故答案为：2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．13．如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm．若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 2.7 cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【考点】解直角三角形的应用．【分析】过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．首先在等腰直角△BOD中，得到BD=OD=2cm，则CE=2cm，然后在直角△COE中，根据正切函数的定义即可求出OE的长度．【解答】解：过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm，∴CE=BD=2cm．在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，∵tan37°=≈0.75，∴OE≈2.7cm．∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm．故答案为2.7．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，属于基础题型，难度中等，通过作辅助线得到CE=BD=2cm 是解题的关键．14．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色其他外完全相同，小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别为15%和45%，则口袋中白色球的数目很可能是16 ．【考点】利用频率估计概率．【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案．【解答】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，∴摸到白球的频率为1﹣15%﹣45%=40%，故口袋中白色球的个数可能是40×40%=16个．故答案为：16．【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．15．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴和y轴上，OA=1，OB=，连接AB，过AB中点C1分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别是点A1、B1，连接A1B1，再过A1B1中点C2作x轴和y轴的垂线，照此规律依次作下去，则点的坐标为．【考点】规律型：点的坐标．【专题】规律型．【分析】首先利用三角形中位线定理可求出B1C1的长和C1A1的长，即C1的横坐标和纵坐标，以此类推即可求出点的坐标．【解答】解：∵过AB中点C1分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别是点A1、B1，∴B1C1和C1A1是三角形OAB的中位线，∴B1C1=OA=，C1A1=OB=，∴C1的坐标为（，），同理可求出B2C2==，C2A2==∴C2的坐标为（，），…以此类推，可求出B n=，A n=，∴点的坐标为，故答案为：．【点评】本题考查了规律型：点的坐标的求解，用到的知识点是三角形中位线定理，解题的关键是正确求出C1和C2点的坐标，由此得到问题的一般规律．三、解答题（共8小题，满分55分）16．计算：6tan230°﹣2sin60°﹣2cos45°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．【解答】解：6tan230°﹣2sin60°﹣2cos45°=6×（）2﹣2×﹣2×=2﹣3﹣=﹣1﹣．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值的计算，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．17．关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m有两个不相等的实数根x1，x2，求m的取值X围；若x1，x2满足等式x1x2﹣x1﹣x2+1=0，求m的值．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】原方程可化为x2﹣5x+6﹣m=0，于是得到△=b2﹣4ac=25﹣24+4m=1+4m，根据方程（x﹣2）（x﹣3）=m有两个不相等的实数根，得到△＞0，求得m＞﹣根据根与系数的关系得到x1+x2=5，x1x2=6﹣m解方程即可得到结论．【解答】解：原方程可化为x2﹣5x+6﹣m=0，△=b2﹣4ac=25﹣24+4m=1+4m，∵方程（x﹣2）（x﹣3）=m有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴1+4m＞0，∴m＞﹣∵x1+x2=5，x1x2=6﹣m∴5﹣6+m+1=0，∴m=0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．18．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，a+b=3+，请你根据此条件，求斜边c的长．【考点】解直角三角形．【分析】首先计算出∠B的度数，再根据三角函数可得a=csin60°，b=csin30°，代入a+b=3+中可计算出c的值．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，∴a=csin60°，b=csin30°，∴csin60°+csin30°=3+，∴c=2．【点评】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握三角函数的定义．19．小明为班上联欢会设计一个摸扑克牌获奖游戏，先将梅花2、3、4、5和红心2、3、4、5 分别洗匀，并分开将正面朝下放在桌子上，游戏者在4X梅花牌中随机抽1X，再在4X红心牌中随机抽1X，规定：当再次所抽出的牌面上数字之积为奇数时，他就可获奖．（1）利用树状图或列表方法表示游戏所有可能出现的结果；（2）游戏者获奖的概率是多少？【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】（1）利用树状图法展示所有16种等可能的结果数；（2）先找出数字之积为奇数所占的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）画树状图为：共有16种等可能的结果数；（2）游戏者获奖的概率==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC的垂直平分线交BC于点E，交CA的延长线于D，交AB于点F，求证：AE2=EF•ED．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】利用直角三角形的性质以及等角对等边得出∠B=∠EAB，∠B=∠D，进而得出△AEF∽△DEA，即可得出答案．【解答】解：∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∠D+∠C=90°，∴∠B=∠D，∵BC的垂直平分线交BC于点E，∠BAC=90°．∴BE=EA，∴∠B=∠BAE，∴∠D=∠BAE，∵∠FEA=∠AED，∴△FEA∽△AED，∴=∴AE2=EF•ED．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，根据已知得出∠EAB=∠D 是解题关键．21．如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】应用题．【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE=20米，坡度为i=1：，分别求出EF、CF的长度，在Rt△AEH中求出AH，继而可得楼房AB的高．【解答】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i===tan∠ECF，∴∠ECF=30°，∴EF=CE=10米，CF=10米，∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10）米，在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=（25+10）米，∴AB=AH+HB=（35+10）米．答：楼房AB的高为（35+10）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键．22．如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD上一动点（点P异于A、D两点），Q是BC 上任意一点，连结AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．（1）填空：△APE∽△ADQ ，△DPF∽△DAQ ．（2）设AP的长为x，△APE的面积为y1，△DPF的面积为y2，分别求出y2和y1关于x的函数关系式；（3）在边AD上是否存在这样的点P，使△PEF的面积为？若存在求出x的值；若不存在请说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）根据相似三角形的判定定理证明即可；（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可；（3）根据题意列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵PE∥DQ，∴△APE∽△ADQ，∵PF∥AQ，∴△DPF∽△DAQ，故答案为：ADQ；DAQ；（2）设△ADQ的面积为y，∴S=×AD×AB=3，由△APE∽△ADQ得：y1：y=（）2=，∴y1=x2，同理可得y2=（3﹣x）2；（3）∵PE∥DQ，PF∥AQ，∴四边形PEQF是平行四边形，∴△PEF的面积等于（y﹣y1﹣y2）=﹣x2+x当y=时，则﹣x2+x=，解这个方程得：x=，即存在这样的点P，当x=时是△PEF的面积为．【点评】本题考查的是相似三角形的知识的综合运用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．阅读下面材料：小明遇到下面一个问题：如图1所示，AD是△ABC的角平分线，AB=m，AC=n，求的值．小明发现，分别过B，C作直线AD的垂线，垂足分别为E，F．通过推理计算，可以解决问题（如图2）．请回答，=．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，四边形ABCD中，AB=2，BC=6，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，CD⊥BD．AC与BD相交于点O．（1）=．（2）tan∠DCO=．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】小明的思路是先证明△BDF∽△CDE，得出，再证明△ABF∽△ACE，得出，因此得出．（1）根据小明的结论得；（2）作AE⊥BD于E，证明△AOE∽△COD，求出AE、BE、DE、OD、的长即可求出tan∠DCO的值．【解答】解：；（1）；（2）作AE⊥BD于E，如图所示：∵CD⊥BD，AE⊥BD，∴AE∥CD，∴△AOE∽△COD，∴，∵CD=3，∴AE=1，∵BD平分∠ABC=60°，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴BD=3，∵AB=2，∴BE=，∴DE=2，∴OD=2×=，∴tan∠DCO=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的运用；证明三角形相似是解决问题的关键．。
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201５-2016学年河南省洛阳市九年级(上)期末数学试卷一、选择题（共８小题，每小题３分,满分2４分)1.(3分)下列四种标志图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（)A.B．ﻩC.D．2．(3分）方程x２﹣３x=0的解为(）Ａ.x＝0 B．x=3ﻩC．x1=0，x2=﹣３D．x1=0，x2=33．（3分）下列说法中不正确的是( )A．“某射击运动员射击一次，正中把靶心”属于随机事件B．“１3名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件C.“在标准大气压下,当温度降到﹣1℃时,水结成冰”属于随机事件D．“某袋中只有5个球,且都是黄球,任意摸出一球是白球”属于不可能事件４.(３分)对于反比例函数y=，下列说法正确的是（）A.图象经过点（1，﹣３）ﻩB.图象在第二、四象限C．x>0时,y随ｘ的增大而增大 D.ｘ<0时，y随ｘ增大而减小５．(3分)直角坐标平面上将二次函数y＝x2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（)Ａ.(0,0) B.（1,﹣1)ﻩＣ.（０,﹣1）D．(﹣1，﹣1）6.（3分）如图，扇形ＯAB是圆锥的侧面展开图,若小正方形方格的边长均为１厘米，则这个圆锥的底面半径为（）厘米．A．ﻩB. C.ﻩD．7．(3分）如图,将△ABＣ绕点A逆时针旋转一定角度,得到△ＡＤE．若∠CAＥ=65°，∠E ＝70°,且AＤ⊥BＣ,∠BAC的度数为(）A．60°B．75°ﻩC．85° D.9０°8．（3分）如图，AC、BD为圆O的两条互相垂直的直径，动点P从圆心O出发，沿Ｏ→C→D→O的路线作匀速运动，设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度,那么表示y与t之间函数关系的图象大致为( ）A．ﻩＢ．ﻩC.ﻩD.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分2１分)9.（3分）若点P（m,２）与点Ｑ(３,ｎ）关于原点对称,则（ｍ+n)2０15= .10．（3分)在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别,其中有２个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中,通过大量重复试验后发现,摸到红球的频率稳定于０.2,那么可以推算出n大约是．11．（3分)如图,四边形ABCD内接于⊙O，∠ＢCD=１０0°，AC平分∠ＢＡD,则∠BDＣ的度数为°．１2．(3分)如图，A、B是函数y=的图象上关于原点对称的任意两点,BC∥x轴，AC∥y轴，△AＢＣ的面积记为S,则S= .13．(3分)如图,已知函数y=﹣与y=ａx2+bx（a＞0,ｂ>0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1,则关于x的方程ax２+ｂx+=0的解是．14.（3分)如图，在▱ABCD中，以点Ａ为圆心,AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C,交AD于点E,延长BA与⊙O相交于点F．若的长为，则图中阴影部分的面积为.１5.(3分）如图，在四边形ABCD中，AD=4,CＤ=3，∠ABC＝∠AＣB=∠AＤC=４5°,则BD的长为.三、解答题(共8小题，满分75分）16.(8分)已知关于x的一元二次方程ｘ2＋２（k﹣3）x＋k2﹣9=0有两个不相等的实数根．（1)求实数k的取值范围;（２）0可能是方程的一个根吗?若是,请求出它的另一个根;若不是,请说明理由.17．(９分)“五一劳动节大酬宾!”,某商场设计的促销活动如下:在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“1０元”、“２0元”和“50元”的字样.规定:在本商场同一日内,顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球(第一次摸出后不放回）.商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费30０元．(1）该顾客至多可得到元购物券;(２)请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率.18．（9分)如图，AB为⊙O的直径,D、Ｔ是圆上的两点，且AT平分∠ＢAＤ，过点T作ＡD的延长线的垂线PQ，垂足为C．（1）求证:PQ是⊙O的切线;(2)已知⊙Ｏ的半径为2,若过点O作OE⊥AD，垂足为E,OE＝,求弦ＡＤ的长．19．(９分)如图，一次函数y＝﹣２x+８与反比例函数y=(x>0）的图象交于Ａ(m，6）,B（３，n）两点.(1）求反比例函数的解析式;(2)根据图象直接写出的﹣2x＋8﹣<０时x的取值范围；(3）求△ＡＯＢ的面积．20.（9分)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查,长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司,今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和１2.1万件,现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.（1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2)如果平均每人每月最多可投递0.６万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？２1．(１0分）如图,在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门,足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为３m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为６m.已知球门的横梁高OA为2．4４ｍ.（１）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况) (2)守门员乙站在距离球门2ｍ处,他跳起时手的最大摸高为2.５2m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门?２2．(10分）(1）如图1，平面内有一等腰直角三角板ABC（∠ACB=90°）和一直线MN.过点C作ＣＥ⊥ＭN于点E,过点B作ＢＦ⊥ＭN于点F，试证明线段AF,BF，CE之间的数量关系为AＦ+ＢF=2ＣE.（提示:过点C作BF的垂线,利用三角形全等证明.)(2）若三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，试猜想线段AF、BF、ＣE 之间的数量关系，并证明你的猜想．(3）若三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置,其他条件不变,则线段AF、BF、CE之间的数量关系为23．(1１分）如图，以直线x=1为对称轴的抛物线ｙ=aｘ2+bｘ＋c(a，b,c为常数)经过A（4，０)和B（０，4）两点，其顶点为C．（1）求该抛物线的解析式及其顶点Ｃ的坐标；(2)若点Ｍ是抛物线上的一个动点,且位于第一象限内．①设△ABM的面积为S,试求S的最大值；②若S为整数，则这样的Ｍ点有个．ﻬ２０15-2016学年河南省洛阳市九年级(上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题,每小题3分,满分２4分)1．(3分）(2０16•营口一模)下列四种标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.ﻩB．C．Ｄ．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解:A、不是轴对称图形，是中心对称图形,不符合题意;B、是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意;C、不是轴对称图形，是中心对称图形,不符合题意；Ｄ、是中心对称图形,不是轴对称图形,不符合题意.故选B.【点评】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念.如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2．(3分)（2012•淮安)方程x2﹣３x=0的解为()A．x=0 B．ｘ=3ﻩＣ.x１=０,x2=﹣3 D.x１=0，ｘ2=3【分析】将方程左边的多项式提取x,分解因式后根据两数相乘积为０，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程,求出一次方程的解即可得到原方程的解.【解答】解:方程ｘ2﹣3x＝０,因式分解得：ｘ(x﹣3）＝0，可化为x=0或x﹣3＝0,解得:x1＝0，x2=３．故选D【点评】此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，利用此方法解方程时，应先将方程整理为一般形式，然后将方程左边的多项式分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．3.（3分)（20１5•丹东模拟)下列说法中不正确的是（)Ａ.“某射击运动员射击一次,正中把靶心”属于随机事件B.“13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件C.“在标准大气压下，当温度降到﹣1℃时,水结成冰”属于随机事件D.“某袋中只有5个球，且都是黄球,任意摸出一球是白球”属于不可能事件【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断.【解答】解：A、“某射击运动员射击一次,正中把靶心”属于随机事件，正确;B、“13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件，正确;C、在标准大气压下,当温度降到﹣１℃时，水结成冰”属于必然事件;Ｄ、“某袋中只有5个球,且都是黄球,任意摸出一球是白球”属于不可能事件,正确．故选Ｃ.【点评】本题考查了随机事件、必然事件以及不可能事件的定义，必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件．４．(3分）（20１3•绥化）对于反比例函数y＝,下列说法正确的是(）A．图象经过点（1，﹣３) B．图象在第二、四象限C．x＞0时,y随x的增大而增大D．x<0时,y随x增大而减小【分析】根据反比例函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析得出即可．【解答】解:A、∵反比例函数y=,∴xy=3，故图象经过点（1,3)，故A选项错误;B、∵k>0，∴图象在第一、三象限,故B选项错误;C、∵k>0,∴x＞0时,ｙ随x的增大而减小，故C选项错误;D、∵ｋ>0，∴ｘ<０时,y随x增大而减小,故D选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，根据解析式确定函数的性质是解题关键．5．(３分）（20１6•洛阳模拟）直角坐标平面上将二次函数ｙ=x2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移１个单位,则其顶点为()Ａ.(0，０）ﻩB.（1，﹣1)ﻩC.（0，﹣1）ﻩD．(﹣1,﹣1)【分析】先根据函数图象平移的法则求出函数图象平移后的解析式，再求出其顶点坐标即可. 【解答】解:∵由函数图象平移的法则可知,将二次函数y=ｘ2﹣2的图象向左平移１个单位,再向上平移１个单位,所得函数的解析式为:y=(x+１）2﹣1,∴其顶点坐标为（﹣1,﹣1)．故选D.【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．6．(３分）（2０1６•洛阳模拟)如图，扇形OＡＢ是圆锥的侧面展开图,若小正方形方格的边长均为1厘米，则这个圆锥的底面半径为（)厘米．A.ﻩB.C．D．【分析】易得扇形的半径,进而利用弧长公式可求得扇形的弧长，除以２π即为圆锥的底面半径．【解答】解:扇形的半径为=2厘米，∴扇形的弧长为＝π厘米，∴这个圆锥的底面半径为π÷２π＝厘米，故选Ｂ．【点评】用到的知识点为:扇形的弧长公式为；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．7．（３分）(2013•南昌）如图，将△ABＣ绕点Ａ逆时针旋转一定角度,得到△ADＥ．若∠C ＡE=6５°,∠Ｅ＝７0°,且AＤ⊥BC,∠BAＣ的度数为(）A.60°ﻩB.７5°ﻩC.8５°ﻩD.9０°【分析】根据旋转的性质知，旋转角∠EAＣ=∠BＡD=65°，对应角∠Ｃ=∠E=７０°，则在直角△ABF中易求∠B=25°，所以利用△ABC的内角和是180°来求∠BAC的度数即可．【解答】解：根据旋转的性质知，∠EAC＝∠BAD＝６5°,∠C=∠E=7０°．如图，设AＤ⊥BC于点F．则∠AFＢ=90°,∴在Rt△ABＦ中,∠B=90°﹣∠BAD=25°,∴在△ＡBＣ中,∠BAＣ=１80°﹣∠B﹣∠C=18０°﹣25°﹣７０°=８5°，即∠BAC的度数为８５°.故选Ｃ.【点评】本题考查了旋转的性质．解题的过程中，利用了三角形内角和定理和直角三角形的两个锐角互余的性质来求相关角的度数的．8.(3分)（２015秋•洛阳期末）如图,AＣ、BD为圆O的两条互相垂直的直径,动点Ｐ从圆心O出发,沿O→Ｃ→D→Ｏ的路线作匀速运动,设运动时间为t秒,∠AＰB的度数为y度，那么表示y与t之间函数关系的图象大致为（）Ａ.ﻩＢ. C．ﻩD．【分析】抓住5个关键点:当P与O重合时，P向Ｃ运动过程中,当P运动到C时，当P在弧CD上运动时,当P从D运动到Ｏ时，结合选项即可确定出y与ｔ的大致图象.【解答】解：当P与Ｏ重合时,∠ＡＰB的度数为９0度；P向C运动过程中，∠ＡPB的度数逐渐减小；当P运动到C时，利用圆周角定理得到∠APB的度数为45度;当Ｐ在弧CD上运动时,∠APB的度数不变，都为45度;当Ｐ从D运动到O时，∠ＡPB的度数逐渐增大,作出函数ｙ与ｔ的大致图象,如图所示：故选C.【点评】此题考查了动点问题的函数图象,弄清动点Ｐ运动的轨迹是解本题的关键.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分)９．（3分)(2０１5秋•洛阳期末）若点Ｐ（ｍ，２)与点Q（３,ｎ）关于原点对称,则(m+n)2０15=﹣520１5.【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m，ｎ的值进而得出答案．【解答】解：∵点P(ｍ,2）与点Q(3，n)关于原点对称，∴m＝﹣3，n=﹣2,则（m+n）2０1５＝﹣5２015．故答案为：﹣５2015.【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．1０．(3分)(２014•朝阳)在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有２个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中,通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0．2，那么可以推算出ｎ大约是10 ．【分析】在同样条件下，大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从比例关系入手,列出方程求解.【解答】解:由题意可得，=０.2,解得，n＝10.故估计ｎ大约有10个.故答案为：１0．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系.11．（3分）（2016•洛阳模拟）如图,四边形ABCＤ内接于⊙Ｏ，∠BＣD=1０0°，AC平分∠ＢAD,则∠BDＣ的度数为40°．【分析】由四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=100°，根据圆的内接四边形,即可求得∠BAD 的度数,由AＣ平分∠BAD得出∠ＢＡC,再由圆周角定理即可得出结果．【解答】解:∵四边形AＢCＤ内接于⊙O,∠BCＤ＝１00°，∴∠BＡＤ=１80°﹣∠BCＤ＝８0°,∵ＡC平分∠BAＤ，∴∠BAC=∠BAD=４0°，∴∠BDＣ=∠BAC=４0°；故答案为:40．【点评】此题考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理.熟练掌握圆的内接四边形的性质,由圆周角定理得出结果是解决问题的关键.12．(3分）（２０1２•深圳模拟）如图，A、B是函数y=的图象上关于原点对称的任意两点,ＢC∥x轴，AC∥ｙ轴，△ABＣ的面积记为S,则S＝４．【分析】连接OＣ,设AC与ｘ轴交于点D，ＢＣ与ｙ轴交于点Ｅ.首先由反比例函数y＝的比例系数ｋ的几何意义,可知△AOD的面积等于|ｋ|，再由A、B两点关于原点对称,BC∥ｘ轴，ＡC∥y轴，可知S△AＯC=2×S△AOD,Ｓ△AＢC＝2×S△AOC，从而求出结果.【解答】解:如图，连接OC，设AC与x轴交于点D,BC与y轴交于点Ｅ．∵A、B两点关于原点对称，BC∥x轴，AＣ∥y轴，∴AC⊥ｘ轴,AＤ=CＤ,OA=OB,∴S△COD=S△AOD＝×2=1,∴S△AＯC＝2，∴S△ＢOC=Ｓ△AＯC=2，∴S△ABC=S△ＢOC+S△AOC=4.故答案为:4.【点评】本题主要考查了三角形一边上的中线将三角形的面积二等分及反比例函数的比例系数k的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|ｋ｜.1３．(３分）（2015秋•洛阳期末）如图,已知函数y=﹣与ｙ＝ax2+bｘ(ａ>０,b＞0）的图象交于点Ｐ,点P的纵坐标为1，则关于x的方程aｘ2+bx+＝０的解是ｘ=﹣3．【分析】根据已知函数y=﹣与ｙ=ax2+bｘ(a＞０，b>0）的图象交于点Ｐ，点P的纵坐标为1，可以求得点P的坐标,将y=﹣与y=ax2+bx联立方程组，变形可得ax2+bx+=0,从而可知aｘ２+bx+=０的解就是函数y=﹣与y=ax２＋ｂx(a>0,ｂ＞0）的图象交点得横坐标，本题得以解决.【解答】解:∵点P在函数y=﹣上,点P的纵坐标为1，∴1＝，解得x=﹣3，∴函数y=﹣与y=ax2+bx(a＞０,b>0)的图象交于点P的坐标为(﹣3,1)，∴可得,,∴,解得x=﹣3.故答案为：x=﹣3．【点评】本题考查二次函数的图象、反比例函数的图象,解题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答问题.1４.（3分)(２016•洛阳模拟)如图，在▱AＢCD中,以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与ＣＤ相切于点Ｃ,交AD于点Ｅ，延长BA与⊙O相交于点F.若的长为,则图中阴影部分的面积为２﹣.【分析】连结ＡC，如图,设半径为r,先根据切线的性质得∠AＣD=9０°,再根据平行四边形的性质得ＡB∥CＤ，ＡＤ∥BＣ,则∠CAF=90°，∠1=∠Ｂ，∠２=∠3，利用∠B=∠3易得∠1=∠２=４5°，则根据弧长公式可得=,解得r＝2，然后根据扇形面积公式，利用S阴影部分=S△ＡＣD﹣S扇形CAE进行计算即可.【解答】解:连结ＡＣ,如图，设半径为ｒ,∵AＢ的长为半径的圆恰好与ＣD相切于点C，∴AC⊥CD，∴∠ACD=90°,∵四边形ABＣD为平行四边形,∴AB∥CＤ，AD∥BＣ，∴∠CAF=9０°,∠1=∠B,∠2=∠3，而AB=AC,∴∠B＝∠3，∴∠1=∠2＝45°,∵的长为,∴=，解得r＝２,在Rt△ACＤ中,∵∠2=45°，∴AC=CD＝2，∴S阴影部分=Ｓ△AＣＤ﹣S扇形CAE×2×2﹣=2﹣.故答案为２﹣．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了平行四边形的性质和扇形的面积公式.15.(3分)(2014•武汉)如图，在四边形AＢＣD中，AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACＢ=∠ADC=45°,则ＢD的长为.【分析】根据等式的性质,可得∠BAD与∠CAＤ′的关系，根据ＳAS，可得△BＡD与△CAD′的关系,根据全等三角形的性质,可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．【解答】解:作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′,DＤ′,如图：∵∠BAC+∠CＡD=∠DAD′＋∠CAD，即∠BAD=∠CAD′,在△BＡＤ与△ＣAD′中，，∴△BAD≌△CＡD′（SAS),∴BD=CD′.∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=，∠D′DA+∠ADC＝9０°由勾股定理得CD′＝，∴BD=CＤ′＝,故答案为:.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理,作出全等图形是解题关键．三、解答题(共8小题,满分７５分）16.（8分)（2０１6•洛阳模拟)已知关于ｘ的一元二次方程x2+２（k﹣3)x+ｋ2﹣９=0有两个不相等的实数根.（1）求实数ｋ的取值范围；(２)0可能是方程的一个根吗?若是，请求出它的另一个根；若不是,请说明理由.【分析】(1）直接判断△=b２﹣4ａc＞０，进而得出答案；（2)将ｘ=０代入方程求出k的值，进而解方程得出答案．【解答】解:(1)△＝b２﹣4ac=[2(k﹣3）]2﹣4(k２﹣9）=﹣2４k+７2＞0,解得:k＜3;(2)当0是方程的根，则ｋ2﹣9=0，解得:k1＝3（不合题意舍去），k2=﹣3，故x2﹣12x=０,解得:x1=12，x２=0,故它的另一个根为1２．【点评】此题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解，正确得出k的值是解题关键．17．（9分)(２016•洛阳模拟)“五一劳动节大酬宾!”,某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“1０元”、“20元”和“50元”的字样.规定：在本商场同一日内,顾客每消费满3０0元,就可以在箱子里先后摸出两个球(第一次摸出后不放回).商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券,购物券可以在本商场消费.某顾客刚好消费３00元.（１)该顾客至多可得到70元购物券；(2)请你用画树状图或列表的方法,求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率.【分析】（1)由题意可得该顾客至多可得到购物券:50+20=7０（元）；（2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客所获得购物券的金额不低于5０元的情况,再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：(1）则该顾客至多可得到购物券：50+２0=70（元）;故答案为：70；（2)画树状图得：∵共有１2种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额不低于50元的有6种情况，∴该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率为：=.【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.１8.(9分）（20１６•洛阳模拟）如图，ＡB为⊙Ｏ的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠ＢＡＤ，过点T作AＤ的延长线的垂线PQ，垂足为Ｃ.（１)求证:PQ是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径为2，若过点Ｏ作OE⊥ＡD,垂足为E,OE=，求弦AD的长．【分析】(１）由同圆的半径相等和角平分线证出∠ＯTA=∠CA T,得出OＴ∥AC，由PQ⊥ＡC，证出PQ⊥OT，即可得出结论；(2）由垂径定理得出ＡE=ＤE,由勾股定理求出AE,即可得出AD的长.【解答】(１）证明:连接OT，如图1所示：∵ＯA＝OT,∴∠ＯAＴ=∠OTA,∵ＡＴ平分∠ＢAD,∴∠OＡＴ＝∠CA T,∴∠OＴA=∠CAT，∴OT∥AＣ，∵PＱ⊥AC,∴PＱ⊥OT,∴PQ是⊙O的切线；（２)解：如图２所示：∵OE⊥AD,∴AE=DE，∠AEO＝9０°，∴AE＝=＝1，∴AD=２AE＝2．【点评】本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理、平行线的判定；熟练掌握圆的有关性质,证明平行线和运用垂径定理是解决问题的关键.19．(9分）（2０16•洛阳模拟）如图，一次函数y=﹣２x+8与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6),Ｂ（3,n）两点．（1）求反比例函数的解析式；(２）根据图象直接写出的﹣2ｘ+８﹣<0时x的取值范围;(3）求△ＡOB的面积．【分析】(１）把A（m,６）,Ｂ（3,ｎ)两点分别代入ｙ＝﹣2ｘ＋8可求出m、ｎ的值,确定A 点坐标为（1,6),Ｂ点坐标为（3,2），然后利用待定系数法求反比例函数的解析式;(2）观察函数图象得到当0<ｘ<１或ｘ＞3,反比例函数的图象在一次函数图象上方.(3）求得直线与x轴的交点坐标，根据三角形面积公式即可求得.【解答】解：（1)把A（m,6),B（3，n)两点分别代入y=﹣２x+8得6=﹣m+8，ｎ=﹣2×３+8，解得m＝1，n=2,∴A点坐标为（1,6)，B点坐标为（3,2）,把A（1,6)代入y=求得k=1×6＝6，∴反比例函数解析式为y=;（2）﹣２x+8﹣＜0时x的取值范围是0＜x<1或x＞3．（３)由直线y＝﹣2x+8可知与ｘ轴的交点为(4，0）,∴S△ＡOB=×4×6﹣×4×２=8．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式.也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察图象的能力.20．（9分）(２015•长沙)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查,长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司,今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12．1万件,现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.（１)求该快递公司投递总件数的月平均增长率;（２)如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的2１名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员?【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x,根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.１万件,现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程,解方程即可;(２)首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出２１名快递投递业务员能完成的快递投递任务,比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务,进而求出至少需要增加业务员的人数．【解答】解：（1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得１0（1＋x)2＝１2.1，解得x1=０.1，ｘ２=﹣2.１(不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为１０%;（2)今年6月份的快递投递任务是12.1×(1+10%)=1３.31(万件).∵平均每人每月最多可投递０.６万件，∴２1名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0．6×２1=1２.６<13.３1,∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年６月份的快递投递任务∴需要增加业务员(13.３1﹣1２．6）÷0．6=１≈2（人）.答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年６月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员.【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程,再求解．21.（10分)（2016•洛阳模拟）如图，在某场足球比赛中,球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门,足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为３ｍ时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m.已知球门的横梁高OＡ为2.4４m.(1)在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门?(不计其它情况)（2）守门员乙站在距离球门２m处，他跳起时手的最大摸高为2.5２m,他能阻止球员甲的此次射门吗?如果不能,他至少后退多远才能阻止球员甲的射门?【分析】(1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是(4，3),利用待定系数法即可求得函数的解析式;（2)求出当x=2时,抛物线的函数值,与２．52米进行比较即可判断,再利用y＝２.５２求出x 的值即可得出答案.【解答】解：（1)抛物线的顶点坐标是(4，3）,设抛物线的解析式是：ｙ=a(x﹣4）２+3,把(10,0）代入得36a+3=0,解得ａ=﹣，则抛物线是y=﹣(x﹣4）2+3,当x=0时，y=﹣×16+３＝3﹣=＜2.44米,故能射中球门；(2)当x＝２时,y=﹣（2﹣４）2+3=＞2.52,∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门,当ｙ＝2.52时，y＝﹣(x﹣4）2+3=2.５2,解得:x１＝1.6,x2=6.4（舍去)，∴2﹣1.６＝0.4(m)，答:他至少后退0．4m，才能阻止球员甲的射门.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用,正确求得解析式是关键．22.（１0分）(2015秋•龙安区月考)(1）如图1,平面内有一等腰直角三角板AＢC（∠ACB ＝90°）和一直线MN.过点C作ＣＥ⊥MN于点E,过点Ｂ作BF⊥MN于点F，试证明线段ＡF，ＢF,CＥ之间的数量关系为ＡF+BF=2CE.(提示：过点C作BF的垂线，利用三角形全等证明．)（2)若三角板绕点Ａ顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变,试猜想线段ＡF、BＦ、CE之间的数量关系,并证明你的猜想.(３）若三角板绕点Ａ顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变，则线段AF、BF、CE之间的数量关系为ＢF﹣AＦ＝2CE【分析】（１）过点Ｃ做CD⊥ＢＦ，交FB的延长线于点D,易证△ACＥ≌△BCD,根据全等三角形的对应边相等,即可证得ＡＦ+ＢF=2CＥ.（2）过点Ｃ作ＣG⊥BＦ，交BF延长线于点Ｇ,易证△CＢＧ≌△ＣAＥ，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AＦ＋ＢF=2CE;(3)过点Ｃ做CＤ⊥BＦ,交FB的于点Ｄ,易证△ACE≌△BCＤ，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BF﹣ＡＦ＝２CE.【解答】（１）证明:如图1，过点Ｃ做CD⊥BF，交FＢ的延长线于点D，∵CE⊥MN,CD⊥BＦ，∴∠CEA＝∠Ｄ=90°，∵ＣＥ⊥MN，ＣD⊥BF,BF⊥MN,∴四边形ＣＥFD为矩形,∴∠EＣD=90°,又∵∠ACB=90°，∴∠ACB﹣∠ECＢ=∠ECＤ﹣∠ECＢ，即∠ACE＝∠BCD,又∵△ＡBC为等腰直角三角形，∴AC＝BC,在△ACE和△BCD中，，∴△ＡCE≌△BCＤ（AAS），∴AＥ＝BD，CE=ＣD,又∵四边形ＣEFD为矩形，∴四边形CEFD为正方形，∴ＣE=EＦ=DF=ＣD，∴ＡF+BＦ=AE+EF＋BF=BD＋EF＋BF＝DF+ＥF＝２ＣE，（2)AF﹣ＢＦ=2CE图２中,过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，∵AＣ＝BC可得∠AEＣ=∠CＧB，∠AＣE=∠BCG,在△CＢＧ和△ＣAＥ中，，∴△ＣＢG≌△CAE（AAS)，∴AE=ＢＧ,∵AF=AE+EF，∴AＦ=ＢG+CE=BF+FＧ+CE=2CＥ+BF，∴AF﹣BF=2CE；(3）ＢF﹣AＦ=2ＣE；如图3，过点C做CD⊥ＢF，交FＢ的于点Ｄ，∵AC=ＢC可得∠ＡEＣ=∠ＣＤB,∠ＡCE=∠ＢＣＤ，在△ＣＢD和△CAＥ中,，∴△CＢD≌△CAＥ(ＡAＳ),∴AE=BD,∵ＡF＝AＥ﹣EＦ，∴AF=BD﹣CＥ=BF﹣FＤ﹣CE=ＢF﹣２ＣE,∴ＢF﹣AF=2ＣE.故答案为：BF﹣AF＝２CE.【点评】此题考查几何变换问题,正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键．２3.（11分）(２01６•洛阳模拟)如图,以直线x＝1为对称轴的抛物线y=ax2+ｂｘ+c(a,b,ｃ为常数）经过A(4,０)和B(0，４)两点，其顶点为Ｃ.（1）求该抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（２)若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内．①设△AＢM的面积为S,试求Ｓ的最大值;②若S为整数,则这样的Ｍ点有7 个．（1）先利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标,再设交点式ｙ=a(ｘ【分析】+２)（x﹣4），然后把Ｃ点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式,再把解析式配成顶点式可得Ｃ的坐标；(２）①过M点作MN∥y轴交AB于Ｎ点,如图,利用待定系数法求出直线AB的解析式,则可设M（t,﹣t2+ｔ+4),则Ｎ(t,﹣t＋4)，于是用t可表示出MＮ，再利用S=S△BMＮ+S△ＡMN ＝•4•MＮ得到S与m的二次函数,然后根据二次函数的性质求解;②利用S的整数值可为1、2、3、4,则计算出对应的t的值,从而可判断M点的个数.【解答】解：(1）∵抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线与ｘ轴的一个交点为A（4，０），∴抛物线与ｘ轴的另一个交点为(﹣2,0）,设抛物线的解析式为ｙ＝ａ(ｘ+2）（ｘ﹣4），把B(0,４）代入得a•2•(﹣4)＝4,解得a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣(x+２)(ｘ﹣4),即y=﹣x2+x+4;∵y=﹣（x﹣１）２+，∴抛物线的顶点C的坐标为(1，)；(2)①过Ｍ点作MN∥y轴交AＢ于N点，如图,设AB的解析式为ｙ＝mx+n,把Ｂ(0,4)、A（4，０)代入得,解得，∴直线ＡB的解析式为y=﹣x＋4,设M(t,﹣t２+t+4),则N(t，﹣t+4），∴MＮ=﹣t2+t+4﹣（﹣t+４)＝﹣t２+2ｔ，∴S=S△BMN＋S△AMＮ＝•４•MN=•４•(﹣t2+2t)=﹣ｔ2+4t=﹣（t﹣2)2+4,∴当t=2时,Ｓ有最大值,最大值为4；②∵S的最大值为4,∴S的整数值可为1、2、3、４,当S=１时,﹣(t﹣２)2+4=１,解得t＝２±,当S=2时,﹣（t﹣2）2+４=2，解得t=2±,。