高一第二学期期中考试数学试题(有答案)
高一数学第二学期期中考试试卷含答案(word版)
第二学期期中考试 高一数学试题试题分值 150分 时间 120分钟一、选择题1、集合}{01032<-+=x x x A ，}{410<+<=x x B ，则)(B C A R ⋂＝（ ）A 、}{21<<-x x B 、}{3215≤<-≤≤-x x x 或C 、}{15-≤<-x xD 、}{15-≤≤-x x2、已知135sin =α，α是第一象限角，则cos(π)α-的值为（ ） A.513-B.513C.1213-3、在等差数列{}n a 中，已知112n a n =-，则使前n 项和n S 最大的n 值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.74、在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、， 60B =，4a =，其面积S =，则c =（ ）A.15B.16C.20D.5、已知平面向量→a , →b 满足|→a |=1，|→b |=2，且（→a +→b ）⊥→a ，则→a ，→b 的夹角为A 、23π B 、2π C 、3π D 、6π6、在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、， 4,30a b A ===，则B =（ ）A.60°B.60°或120°C.30°D.30°或150° 7、等比数列{}n a 的前m 项和为4，前2m 项和为12，则它的前3m 项和是（ ） A.28 B.48 C.36 D.52 8、已知等差数列}{n a 的前15项之和为154π，则789tan()a a a ++=（ ） A. 33B. 3C. 1-D. 19、在△ABC 中，2,1AB AC AM AM +==，点P 在AM 上且满足2AP PM =， 则()PA PB PC ⋅+等于（ ） A ．94 Ｂ．34 Ｃ．－34 Ｄ．－9410、已知))()(()(b a b x a x x f >--=其中，若)(x f 的图象如右图所示：则b a x g x+=)(的图象是（ ）xyA 1OxyB 1OxyC1OxyD1O11、在△ABC 中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、，若222c a b ab ≤+-，则C 的取值范围为（ ） A.(0,]3πB.[,)6ππC.[,)3ππD.(0,]6π12、已知等差数列{}n a 满足2222699678sin cos sin cos 1sin()a a a a a a -=+，公差(1,0)d ∈-，当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则该数列首项1a 的取值范围为（ ）A.43(,)32ππ B.43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.74(,)63ππD.74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题13、若3sin 5x =，则cos 2x =__________． 14、在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断：①1tan tan =B A ； ② 1sin sin 3A B <+≤1cos sin 22=+B A ；④C B A 222sin cos cos =+其中正确的序号是____________xy-11O15、在矩形ABCD 中，AB=2BC ，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，在以A 、B 、C 、D 、M 、N 为起点和终点的所有向量中，相等的非零向量共有 对.16.对于实数b a ,，定义运算⎩⎨⎧>-≤-=⊗⊗11:""b a b b a a b a ，设函数)()2()(22x x x x f -⊗-=，若函数c x f y -=)(的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________. 三、解答题17. (本小题满分10分)已知等差数列{}n a 满足：3710,26a a ==． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）请问88是数列{}n a 中的项吗？若是，请指出它是哪一项；若不是，请说明理由．18. (本小题满分12分) 已知向量(cos ,1)2x m =-，2(3sin ,cos )22x x n =， 设函数1()2f x m n =⋅+． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调区间．NCDAB19. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：142318,32b b b b +=⋅=．（1）求数列{}{}n n a b 、的通项公式；（2）若*,N n n n c a b n =⋅∈，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20.(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足()2cos cos a c B b C -=．（1）求B 的值； （2）若3=b ，求c a 21-的取值范围．21、（12分）要将两种大小不同的钢板截成A B C 、、三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A B C 、、三种规格的成品分别15，18，27块，各截这两种钢板多少张可得所需A B C 、、三种规格的成品，且使所用钢板张数最少？213112C 规格B 规格A 规格第一种钢板第二种钢板规格类型钢板类型22、（本小题满分12分） 已知函数）（Z ∈=++-m x x f m m322)(为偶函数，且)5()3(f f <. （1）求m 的值，并确定)(x f 的解析式.（2）若)1,0]()([log ≠>-=a a ax x f y a 且在区间[]3,2上为增函数，求实数a 的取 值范围 .第二学期期中考试 高一理科数学试题试题分值 150分 时间 120分钟 命题教师 侯思超一、选择题1、C2、C3、B4、C.5、A 、6、B.7、A8、C.9、Ｄ． 10、A 11、A.12、A.二、填空题 13、72514、②④ 15、2416. )43,1(]2,(----∞ 三、解答题 17.解析：（1）依题意知73416,4d a a d =-=∴=【3分】()3342n a a n d n ∴=+-=-【5分】（2）令*454588,4288,,N .22n a n n =-==∉即所以 所以88不是数列{}n a 中的项.【10分】 18.解析：（1）依题意得()sin()6f x x π=-，【4分】 ()2f x T π∴=最小正周期为【6分】(2)由22262k x k πππππ-≤-≤+解得22233k x k ππππ-≤≤+， 从而可得函数()f x 的单调递增区间是：2[2,2],33k k k Z ππππ-+∈【9分】 由322262k x k πππππ+≤-≤+解得252233k x k ππππ+≤≤+， 从而可得函数()f x 的单调递减区间是：25[2,2],33k k k Z ππππ++∈【12分】19.解析 ：（1）当2n ≥时，()()221313111312222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎢⎥⎣⎦111,2n a S ===又时符合，所以31n a n =-【3分】 2314b b b b =，14,b b ∴方程218320x x -+=的两根， 41b b >又，所以解得142,16b b ==34182b q q b ∴==∴=112n n n b b q -∴=⋅=【6分】（2）31,2n n n a n b =-=，则n (31)2n C n =-⋅1234225282112(31)2n n T n ∴=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅234512225282112(31)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅将两式相减得：12341=22+32+2+2+2)(31)2-------------------------------------------8n n n T n +⋅--⋅-（分2112(12)43(31)212n n n -+⎡⎤-=+--⋅⎢⎥-⎣⎦1(34)28n n +=-+⋅-【10分】所以1=(34)28n n T n +-⋅+.【12分】20.解析：（1）由已知()2cos cos a c B b C -= 得()2sin sin cos sin cos A C B B C -= 【3分】 化简得1cos 2B =【5分】 故3B π=．【6分】（2）由正弦定理32sin sin sin 3a c bA C B====，得2sin ,2sin a A c C ==， 故122sin sin 2sin sin 2333sin cos 3226a c A C A A A A A ππ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 【9分】因为203A π<<，所以662A πππ-<-< 【10分】 所以133sin (,3)262a c A π⎛⎫-=-∈- ⎪⎝⎭【12分】 21、解：设所需第一种钢板x 张，第一种钢板y 张，共需截这两种钢板z 张，则目标函数为z x y =+约束条件为21521832700x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ 【3分】可行域如下图2x+y =15x +3y=27x +2y=18xy =-x(185,395)yM 【5分】把z x y =+变形为v ，得到斜率为1-，在y 轴上截距为z 的一组平行直线，由上图可知，当直线z x y=+经过可行域上的点M 时，截距z 最小，解方程组327215x y x y +=⎧⎨+=⎩得点1839,55M ⎛⎫⎪⎝⎭，由于1839,55都不是整数，而此问题中最优解(),x y 中，,x y 必须都是整数，所以点1839,55M ⎛⎫⎪⎝⎭不是最优解。
2022-2023学年北京市丰台区学高一下学期期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市丰台区学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．＝（ ）3i1i ++A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i【答案】D【分析】由题意结合复数的除法运算即可得解.【详解】由题意，()()()()3i 1i 3i 42i2i 1i 1i 1i 2+-+-===-++-故选：D.【点睛】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算法则、细心计算是解题关键，属于基础题.2．在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（）z Z z =A ．B ．C ．D ．2i +2i -12i +12i-【答案】B【分析】根据复数在复平面表示的方法，结合共轭复数的定义进行求解即可.【详解】在复平面内，复数对应的点如图所示，所以，因此，z Z 2i z =+2i z =-故选：B 3．已知向量，，且，则（ ）(),4a m =()3,2b =-//a bm =A ．6B ．C ．D ．6-8383-【答案】B【分析】根据平面向量的共线定理，列出方程求出的值.m 【详解】解：向量，，且，(),4a m =()3,2b =-//a b，2430m ∴--⨯=解得.6m =-故选：B.【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用问题，是基础题目.4．已知向量， .若向量与垂直，则（ ）(1,2)a =- (,1)b m = a b + a m =A ．6B ．3C ．7D ．﹣14【答案】C【分析】由题意利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得实数的值．m 【详解】解：已知向量，，若向量与垂直，(1,2)a =- (,1)b m = a b + a 则，求得，()25(2)0a b a aa b m +=+=+-+=7m =故选：C ．【点睛】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．5．函数的最小正周期是sin 3cos3y x x =+A ．B ．C ．D ．6π2π23π3π【答案】C【解析】逆用两角和的正弦公式，把函数的解析式化为正弦型函数解式，利用最小正周期公式求出最小正周期.【详解】,sin 3cos33))4y x x y x x x π=+⇒==+，故本题选C.223T ππω==【点睛】本题考查了逆用两角和的正弦公式、以及最小正周期公式，熟练掌握公式的变形是解题的关键.6．已知长方体的长、宽、高分别为5，4，3，那么该长方体的表面积为（ ）A ．20B ．47C ．60D ．94【答案】D【分析】利用长方体的表面积公式即可求解.【详解】长方体的长、宽、高分别为5，4，3,所以该长方体的表面积为(545343)294⨯+⨯+⨯⨯=故选：D7．在中，，则的形状为ABC cos b c A =⋅ABC A ．等边三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】由正弦定理将边化角，再利用正弦的和角公式求解.【详解】由正弦定理得： sin sin cos ,B C A =又因为：()()sin sin sin ,B AC A C π=-+=+⎡⎤⎣⎦所以 sin cos cos sin sin cos ,A C A C C A +=所以 sin cos 0,A C =又因为 0,0,A C ππ<<<<所以.2C π=故选C.【点睛】本题考查正弦定理的应用即边角互化，和差角公式，属于中档题.8．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则a b （ ）2a b -=A B C ．D ．20【答案】C【分析】根据图可得的坐标，然后可算出答案.,a b 【详解】由图可得，，所以，()()3,0,2,2a b ==()24,2a b -=-所以，2a = 故选：C 9．在中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ）ABC 3A π=1sin 2B <ABCA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先解三角不等式，再结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】在中，由得：或，而，则，因此得ABC 1sin 2B <π06B <<5ππ6B <<3A π=2π03B <<，π06B <<于是得，是钝角三角形，π2πC A B =-->ABC 当是钝角三角形时，取钝角，，ABC 7π12B =7π5ππ1sin sin sin sin 121232B ==>=>即是钝角三角形不能推出，ABC 1sin 2B <所以“”是“是钝角三角形”的充分而不必要条件.1sin 2B <ABC 故选：A10．向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则＝（）,,a b c(),c a b R λμλμ=+∈ λμA ．－8B ．－4C ．4D ．2【答案】C【详解】试题分析：以向量的公共点为坐标原点,,a b建立如图以直角坐标系, 可得,()()()1,1,6,2,1,3a b c =-==--,(),c a b R λμλμ=+∈ 1632λμλμ-=-+⎧∴⎨-=+⎩解之得且,因此，.2λ=-12μ=-2412λμ-==-故选：C ．【解析】1、向量的几何运算；2、向量的坐标运算．11．在直角坐标系中，已知两点， ，则（ ）xOy ()cos110,sin110A (),sin 5500cos B OA OB ⋅=A ．BCD ．112【答案】A【分析】先求向量的坐标，再由数量积的坐标表示和两角差的余弦公式求值.,OA OB【详解】因为，，()cos110,sin110A (),sin 5500cos B所以，，()cos110,sin110OA =()cos50,sin 50OB = 所以，1cos110cos50sin110sin50=cos602OA OB ⋅=+=故选：A.12．函数是（ ）()sin 2tan f x x x =⋅A ．奇函数，且最小值为B ．奇函数，且最大值为02C ．偶函数，且最小值为D ．偶函数，且最大值为02【答案】C【分析】根据题意可知定义域关于原点对称，再利用同角三角函数之间的基本关系化简可得，由三角函数值域即可得，即可得出结果.2()2sin 1cos 2f x x x ==-[)()0,2f x ∈【详解】由题可知，的定义域为，关于原点对称，()sin 2tan f x x x =⋅π|π,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭且，2sin ()sin 2tan 2sin cos 2sin cos xf x x x x x x x =⋅=⋅=而，即函数为偶函数；()22()2sin 2sin ()f x x x f x -=-==()f x 所以，又，2()2sin 1co Z ,ππ,2s 2f k x x x k x ≠+=-∈=(]cos 21,1x ∈-即，可得函数最小值为0，无最大值.[)()1cos 20,2f x x =-∈()f x 故选：C二、填空题13．已知复数，其中是虚数单位，则的模是__.13z i =-+i z【分析】根据复数模的计算公式求解即可.【详解】解：，13z i =-+ z ∴==.【点睛】本题考查了复数的模的计算公式，属基础题.14．在中，若，，则的面积为____________．ABC 3a =c 4B π=ABC 【答案】32【分析】直接利用面积公式计算可得；【详解】解：因为，，3a =c =4B π=所以；113sin 3222ABC S ac B ==⨯=△故答案为：3215．函数在区间上的最小值为___．()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】【分析】利用的范围推出的范围，结合正弦函数的性质计算可得.x π24x -【详解】因为，，，所以，π02x ≤≤02x ≤≤πππ3π2444x -≤-≤πsin 214x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭当即时取得最小值为ππ244x -=-0x =()f x故答案为：16．已知向量满足，与的夹角为，则___．,a b ||2,||1a b == a b 23π2a b +=【答案】2【分析】根据给定条件，求出，再利用数量积的运算律求解作答.a b ⋅ 【详解】由，与的夹角为，得，||2,||1a b == ab 23π2π1||||cos 21()132a b a b ⋅==⨯⨯-=-所以.22a b +====故答案为：217．已知函数的部分图象如图所示，则的最小正周期为______.()sin()(0)f x x ωϕω=+>，()f x【答案】π【分析】观察图象，可列式，解得结果即可.1131264T ππ-=【详解】设的最小正周期为，()f x T 由图可知，，解得.1131264Tππ-=T π=故答案为：.π【点睛】本题考查了由三角函数的图象求最小正周期，属于基础题.18．在如图所示的几何体中，是棱柱的为__.（填写所有正确的序号）【答案】③⑤【分析】由棱柱的结构特征逐一分析五个图形得答案.【详解】解：由棱柱的结构特征，即有两个面互相平行，其余的面都是四边形，并且相邻四边形的公共边互相平行，可得图③⑤为棱柱.故答案为：③⑤.【点睛】本题考查棱柱的结构特征，是基础题.三、解答题19．已知函数.()13sin 126x x f π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（1）函数的最小正周期；（2）函数的最值及相应的的值.x 【答案】（1）；（2），时，函数有最大值为；，时，函4π243x k ππ=+Z k ∈2843x k ππ=+Z k ∈数有最小值为4-【分析】（1）利用三角函数周期公式计算得到答案.（2）根据三角函数的性质分别计算最大值和最小值得到答案.【详解】（1），则.()13sin 126x x f π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2412T ππ==（2）当，即，时，函数有最大值为；12262x k πππ+=+243x k ππ=+Z k ∈2当，即，时，函数有最小值为.132262x k πππ+=+843x k ππ=+Z k ∈4-【点睛】本题考查了三角函数周期和最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用.20．在．ABC 222b c a =+-(1)求；A(2)若，求．a =3B π=b 【答案】(1)4π(2)【分析】（1）利用余弦定理计算可得；（2）利用正弦定理计算可得；【详解】（1，即222b ca =+-由余弦定理，222cos 2b c a A bc +-==因为，所以；()0,A π∈4A π=（2）解：因为，，4A π=a =3B π=由正弦定理，所以sin sin a bA B =sin3b π=b =21．如图，在中，D 在边BC 上，且．ABC6,AB AC BC ===ADC 60∠=(1)求；cos B (2)求线段的长．AD 【答案】(1)；cos =B (2).4=AD 【分析】（1）在中利用余弦定理求解即可；ABC （2）先利用同角关系求，在中利用正弦定理即可求解．sin B ABD △【详解】（1）在中，由余弦定理可得，ABC 222cos2AB BC AC BAB BC +-=⋅又6,AB AC BC ===cos B（2）因为，所以，0πB<<sin 0B >sin B ===由，可得，60ADC ∠= 120ADB ∠=在中根据正弦定理得： ，ABD △sin sin AD ABB ADB =∠又，，sin B 6AB =120ADB ∠= 所以．sin 4sin AB B AD ADB ⋅==∠22．已知点O （0，0），A （2，1），B （1，2）．（1）若，求点P 的坐标；12OP OA OB→→→=+（2）已知．OQ OA OB λμ→→→=+①若点Q 在直线AB ：y ＝－x ＋3上，试写出应满足的数量关系，并说明你的理由；,λμ②若△QAB 为等边三角形，求的值．,λμ【答案】（1）；（2）①，②52,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭1λμ+=λμ+=λμ+=【分析】（1）设出点P 的坐标，得出和的坐标，根据平面向量的坐标运算即可求得；,OA OB →→OP →（2）设出点Q 的坐标，得出的坐标，通过即可算出；OQ →OQ OA OB λμ→→→=+（3）算出线段AB 的中垂线方程，将点Q 的坐标代入即可求出.【详解】（1），设，则，()(),2,11,2OA OB →→==(),P x y (),OP x y →=∴，∴.()()()5,2,11,22212,x y ⎛⎫= ⎪⎝+⎭=52,2P ⎛⎫⎪⎝⎭（2）①.1λμ+=理由如下：∵点Q 在直线AB ：y ＝－x ＋3上，设，∴，(),3Q a a -(),3OQ a a →=-∵，∴，OQ OA OB λμ→→→=+()()()(),32,11,22,2a a λμλμλμ-=+=++∴，得证.2132a a λμλμλμ=+⎧⇒+=⎨-=+⎩②线段AB 的中点为，，∴线段AB 的中垂线为：，33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭1AB k =-3322y x y x -=-⇒=∵△QAB 为等边三角形，∴点Q 在线段AB 的中垂线上，设，(),Q a a∴，解得()()()()2222211221a a -+-=-+-a =所以或或22λμλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22λμλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩λμ+=λμ+=23．已知函数.()2sin 22cos 612f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数的最小正周期；()f x (2)求函数在上的最小值；()f x 3,128ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)若关于的方程在区间上有两个不同解， 求实数的取值范围.x ()0f x =[]0,m m【答案】(1)π(2)2-(3)74,123ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简得，由正弦型函数最小正()52112f x x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭周期的求法可得结果；（2）根据的范围可求得的范围，由正弦型函数值域的求法可求得最小值；x 5212x π-（3）由可得，可得的范围，根据有两个不()0f x =5sin 212x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭5212t x π=-t sin t =同解可构造不等式求得结果.【详解】（1），()5sin 2cos 21216612f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的最小正周期.()f x \22T ππ==（2）当时，，，3,128x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,1243x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦5sin 212x π⎡⎛⎫∴-∈⎢ ⎪⎝⎭⎣.()min 12f x ⎛∴=-=- ⎝（3）令，解得：()0f x =5sin 212x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭令，则当时，，5212t x π=-[]0,x m ∈55,21212t m ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦在上有两个不同解，在有两个不同解，()0f x = []0,m sin t ∴=55,21212m ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，解得：，即实数的取值范围为.35924124m πππ∴≤-<74123m ππ≤<m 74,123ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭。
安徽省阜阳市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
阜阳市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册第六章~第八章8.4.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，，则（）A. B. C. D. 2. 计算的值（ ）A.B.C.D. 3.已知，在上的投影为，则（ ）A.B. C.D. 4. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）A. B. 2C. 3D. 5. 如图，为水平放置的斜二测画法的直观图，且，则的周长为（）{}215M x x =->{}N |15N x x *=∈-<<()M N =Rð{}0,1,2,3{}1,2,3{}0,1,2{}1,2cos 43cos13sin 43sin13︒︒+︒︒12cos572a = b a 13a b ⋅= 1313-2323-()f x R 0x >32()3f x x x =-(1)f -=2-3-A O B '''V AOB V 3,42''''==O A O B AOB VA. 9B. 10C. 11D. 126. 在中，，则（ ）AB.C.D.7. 如图，在中，为的中点，则（ ）A. B. C. D. 8. 如图，在梯形中，，，，，，以所在直线为轴将梯形旋转一周，所得的几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知i 为虚数单位，复数，则（ ）A. 的共轭复数为B. C. 为实数D. 在复平面内对应点在第一象限.的ABC V 2,120AB AC C === sin A =ABC V 4,AB DB P = CD BP =1142AB AC-+1143AB AC-+5182AB AC-+5183AB AC-+ABCD AB AD ⊥//AB DC 4AB =3AD =1DC =AD 16π19π21π24π1212i,2i z z =+=-1z 12i -+12=z z 12z z +12z z ⋅10. 在中，，则的面积可以是（ ）A.B. 1C.D.11. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 函数的解析式B. 直线是函数图象的一条对称轴C. 在区间上单调递增D. 不等式的解集为，三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12 已知函数，则__________.13. 已知，且，则的最小值为______.14. 已知向量满足，若对任意的实数，都有，则的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15. 已知复数满足，．（1）求复数；（2）求复数的实部和虚部．16. 已知向量，且.（1）求的值；.ABC ∆1,6AB AC B π===ABC ∆()3sin()f x x ωϕ=+0ω>π||2ϕ<()f x π()3sin(2)3f x x =+11π12x =-()f x ()f x 3π11π(,263()2f x ≤3ππ[π,π]412k k -+-+Z k ∈()21log ,01,04x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩f f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭12a >2250a b ab -+-=a b +,,a b c ||||2==r r a b x 13a b a xb +≤+ c a c b -+- z 2z z +=22i z =-z 4z ()()()2,4,,1,1,2a b m c ===()2a b c -⊥ m（2）求向量与的夹角的余弦值.17. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.（1）这种“浮球”的体积是多少?（2）要这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶克，共需胶多少克？18. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且．（1）求角B ；（2）若为锐角三角形，，D 是线段AC 的中点，求BD 的长的取值范围．19. 在中，内角对边分别为，已知.（1）求角；（2）已知是边上的两个动点（不重合），记.①当时，设的面积为，求的最小值；②记.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有和的值；若不存在，说明理由.在的a b - 23b c - 8cm 3cm 3cm 10000.02ABC V sin sin sin sin b a C Ac B A--=+ABC V 2AC =Rt ABC △,,A B C ,,a b c cos cos cos A B Ca b c+=+A 2,,c b a P Q ≠=AC ,P Q PBQ θ∠=π6θ=PBQ V S S ,BPQ BQP ∠α∠β==θk ,αβ()sin2sin22cos k k αβαβ++=-θk阜阳市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】AD【11题答案】【答案】ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】8【13题答案】【答案】##【14题答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.【15题答案】【答案】（1）（2）复数的实部为，虚部为.【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）（2）克【18题答案】【答案】（1）（2）【19题答案】【答案】（1）； （2）①；②存在，12-12-+1i z =-4z 4-03m =3400πcm 31760π3B π=π3A =(min 32S =-π,3k θ==。
2022-2023学年安徽省合肥市高一下学期期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省合肥市高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）()242iz a a =-+-a A ．2B ．2或C ．D ．2-2-4-【答案】C【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答.【详解】因为复数为纯虚数，则有，解得，()242i z a a =-+-24020a a ⎧-=⎨-≠⎩2a =-所以实数的值为.a 2-故选：C2．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且，则的形状为ABC 2cos c a B =ABC （ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】A【分析】已知条件用正弦定理边化角，由展开后化简得，可得出等()sin sin C A B =+tan tan A B =腰三角形的结论.【详解】，由正弦定理，得，2cos c a B =()sin sin 2sin cos C A B A B=+=即sin cos cos sin 2sin cos ,A B A B A B +=∴，可得，sin cos cos sin A B A B =tan tan A B =又，∴，0π,0πA B <<<<A B =则的形状为等腰三角形.ABC 故选：A.3．某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）120︒A ．BC ．D 【答案】D【分析】求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面半径，由勾股定理得到圆锥的高，利用圆锥体积公式求解即可.【详解】因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，120︒所以该扇形的弧长为，120π32π180⨯=设圆锥的底面半径为，则，解得：，r 2π2πr =1r =因为圆锥的母线长为3，所以圆锥的高为h =该圆锥的体积为.2211ππ133r h =⨯⨯=故选：D4．中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知，B 的大ABC π4A =a =b =小为（ ）A ．B ．C ．或D ．或π6π3π65π6π32π3【答案】D【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin sin a B b A B B =⇒==由于,，所以或,()0,πB ∈b a>B =π32π3故选：D5．设点P 为内一点，且，则（ ）ABC ∆220PA PB PC ++=:ABP ABC S S ∆∆=A ．B ．C ．D ．15251413【答案】A【分析】设AB 的中点是点D ，由题得，所以点P 是CD 上靠近点D 的五等分点，即14PD PC=- 得解.【详解】设AB 的中点是点D ，∵，122PA PB PD PC+==- ∴，14PD PC=- ∴点P 是CD 上靠近点D 的五等分点，∴的面积为的面积的.ABP ∆ABC ∆15故选：A【点睛】本题主要考查向量的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．如图，在长方体中，已知，，E 为的中点，则异面直1111ABCD A B C D -2AB BC ==15AA =11B C 线BD 与CE 所成角的余弦值为（）ABCD【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义，利用几何法找到所成角，结合余弦定理即可求解.【详解】取的中点F ，连接EF ，CF ，，易知，所以为异面直线BD11C D 11B D 11EF B D BD∥∥CEF ∠与CE所成的角或其补角.因为1112EF B D ==CE CF ====余弦定理得.222cos 2EF EC CF CEF EF EC +-∠====⋅故选：C7．在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相ABCD A B C D -''''等、高为1的“刍童”，其中，“刍童”外接球的表面积为22AB A B ''==2BC B C ''==（ ）A ．B ．CD ．20π20π3【答案】A【分析】根据刍童的几何性可知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为O ，根据几何关系求出外接球半径即可求其表面积．【详解】如图，连接AC 、BD 、、，设AC ∩BD ＝M ，∩＝N ，连接MN ．A C ''B D ''AC ''BD ''∵棱台侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段MN 所在直线上，设外接球球心为ABCD A B C D -''''O ，如图当球心在线段MN 延长线上时，易得，MC ＝2，，，4AC ===2A C ''===1NC '=MN ＝1，由得，，即OC OC '=2222NC ON OM MC '+=+，()()2222141141OM MN OM OM OM OM ++=+⇒++=+⇒=故OC ＝OC ==∴外接球表面积为．24π20π⋅=如图当球心在线段MN 上时，由得，，即OC OC '=2222NC ON OM MC '+=+舍去，()()2222141141MN OM OM OM OM OM +-=+⇒+-=+⇒=-故选：A【点睛】关键点睛：利用刍童的几何性确定外接球的球心是解题的关键.8．如图，直角的斜边长为2，，且点分别在轴，轴正半轴上滑动，点ABC ∆BC 30C ∠=︒,B C x y 在线段的右上方．设，（），记，，分别考查A BC OA xOB yOC =+ ,x y ∈R M OA OC =⋅N x y =+的所有运算结果，则,MN A ．有最小值，有最大值B ．有最大值，有最小值M N M N C ．有最大值，有最大值D ．有最小值，有最小值M N M N 【答案】B【分析】设，用表示出，根据的取值范围，利用三角函数恒等变换化简，OCB α∠=α,M N α,M N 进而求得最值的情况.,M N 【详解】依题意，所以.设，则30,2,90BCA BC A ∠==∠=1AC AB ==OCB α∠=，所以，，所30,090ABx αα∠=+<<()())30,sin 30Aαα++()()2sin ,0,0,2cos B C αα以，当时，取得最大值()()12cos sin 30sin 2302M OA OC ααα==+=++⋅ 23090,30αα+==M 为.13122+=，所以，所以OA xOB yOC =+ ()sin 302cos x y αα+==时，有最小值为()sin 302cos N x y αα+=+=+ 1=290,45αα==N 故选B.1+【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、多选题9．下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（ ）21i z =-A ．z 的虚部为1B ．22iz =C ．z 的共轭复数为D ．1i -+2z =【答案】AB【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解.【详解】,故虚部为1，共轭复数为，()()()21i 21i 1i 1i 1i z +===+--+1i-=，故AB 正确，CD 错误，()221i 2i z =+=故选：AB10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（ ）ABCDEF A ．B ．AC AE BF -= 32AE AC AD+= C ．D ．在上的投影向量为AF AB CB CD ⋅=⋅ AD AB AB 【答案】BCD【分析】对A ，利用向量的减法和相反向量即可判断；对B ，根据向量的加法平行四边形法则即可判断；对C ，利用平面向量的数量积运算即可判断；对D ，利用向量的几何意义的知识即可判断．【详解】连接，与交于点，如图所示，,,,,,AE AC AD BF BD CE CE AD H 对于A ：，显然由图可得与为相反向量，故A 错误；AC AE AC EA EC -=+= EC BF对于B ：由图易得，直线平分角，且为正三角形，根据平行四边形法AE AC=AD EAC ∠ACE △则有，与共线且同方向，2AC AE AH += AH AD易知，均为含角的直角三角形，EDH AEH △π6，即，3AH DH = 所以，34AD AH DH DH DH DH =+=+=又因为，故，26AH DH= 232AH AD=故，故B 正确；32AE AC AD+= 对于C ：设正六边形的边长为，ABCDEF a 则，，22π1cos 32AF AB AF AB a⋅=⋅=- 22π1cos 32CB CD CB CD a ⋅=⋅=-所以，故C 正确；AF AB CB CD ⋅=⋅ 对于D ：易知，则在上的投影向量为，故D 正确，π2ABD ∠=AD AB AB故选：BCD ．11．有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是（ ）AB CD【答案】BCD【分析】分三种情况讨论，作出图形，确定三棱锥中每条棱的长度，即可求出其体积.【详解】如图所示：①若平面，为边长为2的正三角形，，，都是等腰直角三AB ⊥BCD BCD △2AB =ABD △ABC 角形，满足题目条件，故其体积；11222sin 6032V =⨯⨯⨯⨯⨯︒=②若平面，为边长为2的正三角形，,，都是等腰直角三AB ⊥BCD ACD AB =ABD △ABC角形，满足题目条件，故其体积1132V ==③若为边长为2的正三角形，，都是等腰直角三角形，BCD △ABD △ABC，中点，因为，而2AB BC CD AD ====AC =AC E BE AC ⊥，所以，即有平面，故其体积为222DE B D E B +=BE DE ⊥BE ⊥ACD 112232V =⨯⨯=故选：BCD12．如图，已知的内接四边形中，，，，下列说法正确的O ABCD 2AB =6BC =4AD CD ==是（ ）A ．四边形的面积为B ABCDC ．D ．过作交于点，则4BO CD ⋅=- D DF BC ⊥BC F 10DO DF ⋅=【答案】BCD【分析】A 选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出，，进而求出1cos 7D =-1cos 7B =，利用面积公式进行求解；B 选项，在A 选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；Csin ,sin B D 选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；D 选项，结合A 选项和C 选项中的结论，先求出∠DOF 的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算.【详解】对于A ，连接，在中，，，AC ACD 21616cos 32AC D +-=2436cos 24AC B +-=由于，所以，故，πB D +=cos cos 0B D +=22324003224AC AC--+=解得，22567AC =所以，，所以1cos 7D =-1cos 7B =sin sin B D ===故11sin 2622ABC S AB BC B =⋅=⨯⨯=11sin 4422ADC S AD DC D =⋅=⨯⨯= 故四边形，故A 错误；ABCD =对于B ，设外接圆半径为，则，R 2sin AC R B ===B 正确；对于C ，连接，过点O 作OG ⊥CD 于点F ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，则由垂径定理得：BD ，122CG CD ==由于，所以，即，πA C +=cos cos 0A C +=22416163601648BD BD +-+-+=解得，所以，所以，且，BD =1cos 2C =π3C =1cos 632CE BC C =⋅=⨯=所以，即在向量上的投影长为1，且与反向，321EF =-= BO CD EG CD 故，故C 正确；4BO CD EG CD ⋅=-⋅=-对于D，由C 选项可知：，故，π3C =sin 604DF CD =⋅︒== 30CDF ∠=︒因为，由对称性可知：DO 为∠ADC 的平分线，故，AD CD =1302ODF ADC ∠=∠-︒由A 选项可知：，显然为锐角，1cos 7ADC ∠=-12ADC ∠故1cos 2ADC ∠==1sin 2ADC ∠==所以1cos cos 302ODF ADC ⎛⎫∠=∠-︒ ⎪⎝⎭11cos cos30sin sin3022ADCADC =∠⋅︒+∠⋅︒=所以，故D 正确.cos 10DO DF DO ODF DF ∠==⋅=⋅ 故选：BCD三、填空题13．已知向量，，若，则________．()2,4a =(),3b m =a b ⊥ m =【答案】6-【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；0a b ⋅=【详解】因为，且，()2,4a =(),3b m =a b ⊥ 所以，解得.2430a b m ⋅=⨯+⨯=6m =-故答案为：6-14．若复数所对应复平面内的点在第二象限，则实数的取值范围为________；()16z m i i=++m 【答案】60m -<<【分析】先化成复数代数形式得点坐标，再根据条件列不等式解得实数的取值范围.m 【详解】因为对应复平面内的点为，又复数所对应复平面()6z m m i=++6m m +，()16z m i i=++内的点在第二象限，所以06060m m m <⎧∴-<<⎨+>⎩【点睛】本题重点考查复数的概念，属于基本题.复数的实部为、虚部为、模为(,)a bi a b R +∈a b 、对应点为、共轭为(,)a b .-a bi15．已知，是边AB 上一定点，满足，且对于AB 上任一点P ，恒有ABC 0P 014P B AB= ．若，，则的面积为________．00PB PC P B P C ⋅≥⋅ π3A =4AC = ABC【答案】【分析】建立直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算公式，结合二次函数的性质、三角形面积公式进行求解即可.【详解】以所在的直线为横轴，以线段的中垂线为纵轴建立如图所示的直角坐标系，AB AB设，，，因为，所以，()40AB t t =>()2,0A t -()2,0B t 014P B AB =()0,0P t 设，，(),C a b ()(),022P x t x t -≤≤，()()()()002,0,,,,0,,PB t x PC a x b P B t P C a t b =-=-==-由，()()()()2200220PB PC P B P C t x a x t a t x x a t at t ⋅≥⋅⇒--≥-⇒-+++≥设，该二次函数的对称轴为：，()()222f x x x a t at =-++22a tx +=当时，即，222a t x t+=<-6a t <-则有，所以无实数解，()()222042203f t t t a t at t a t-≥⇒++++≥⇒≥-当时，即，222a tx t +=>2a t >则有，所以无实数解，()()22204220f t t t a t at t a t≥⇒-+++≥⇒≤当时，即，2222a tt t +-≤≤62t a t -≤≤则有，而，所以，()()2222400a t at t a ∆=-+-+≤⇒≤⎡⎤⎣⎦20a ≥0a =显然此时在纵轴，而，所以该三角形为等边三角形，()0,C b π3A =故的面积为ABC 1442⨯⨯=故答案为：【点睛】关键点睛：建立合适的直角坐标系，利用二次函数对称轴与区间的位置关系关系分类讨论是解题的关键.16．我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异．意思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k ，则两个几何体的体积比也为k ．已知线段AB 长为4，直线l 过点A 且与AB 垂直，以B 为圆心，以1为半径的圆绕l 旋转一周，得到环体；以A ，B 分别为上M 下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N ；过AB 且与l 垂直的平面为，平面，且距β//αβ离为h ，若平面截圆柱体N 所得截面面积为，平面截环体所得截面面积为，我们可以α1S αM 2S 求出的比值，进而求出环体体积为________．12S S M 【答案】28π【分析】画出示意图的截面，结合图形可得和的值，进而求出圆柱的体积，乘以，可得环1S 2S 2π体的体积，得到答案.M 【详解】画出示意图，可得，14S ==222ππS r r =-外内其中，，(224r =外(224r =内故，即，21π2πS S ==1212πS S =环体体积为.M 22π2π4π8πV =⨯=柱故答案为：28π四、解答题17．如图所示，在中D 、F 分别是BC 、AC 的中点，，，．ABC 23AE AD =AB a =AC b = (1)用，表示向量，；a bAD BF (2)求证：B ，E ，F 三点共线．【答案】(1)，()12AD a b =+ 12BF b a=-(2)证明见解析【分析】（1）由向量的线性运算法则求解；（2）用，表示向量、，证明它们共线即可得证．a bBF BE 【详解】（1）∵，，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AB a =AC b = ∴，()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB a b=+=+=+-=+ ，12BF AF AB b a=-=- （2）由（1），，∴1233BE b a =- 12BF b a=-1312322332BF b a b a BE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∴与共线，又∵与有公共点B ，BF BE BF BE故B ，E ，F 三点共线．18．在中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且．ABC222a b c +=+(1)求C ；(2)若，求A ．tan 2tan B a cC c -=【答案】(1)45C =︒(2)75A =︒【分析】（1）由余弦定理即可求解，（2）利用正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式即可得，进而可求解.60B =︒【详解】（1）∵，∴，∴，222a b c +=+2222a b c ab +-=cos C =由于C 是三角形内角，∴．45C =︒（2）由正弦定理可得，tan 22sin sin tan sin B a c A CC c C --==∴sin cos 2sin sin cos sin sin B C A CB C C -=∴，∴，sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=∴，∴．()sin 2sin cos B C A B+=sin(π)sin 2sin cos A A A B ==-∵，∴，sin 0A ≠1cos 2B =由于B 是三角形内角 ，∴，则．60B =︒180456075A ︒-︒-︒==︒19．如图，数轴的交点为，夹角为，与轴､轴正向同向的单位向量分别是.由平面,x y O θx y 21,e e 向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，OP(),x y 12OP xe ye =+ 我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）.(),x y P xOy xOy(1)若为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；90,OP θ=OP 1e 120 P(2)若，点的坐标为，求向量与的夹角的余弦值.45θ=P (OP 1e【答案】(1)1,2⎛- ⎝【分析】（1）时，坐标系为平面直角坐标系，设点利用求出，再90θ= xOy (),P x y 112⋅=- OP e x 利用模长公式计算可得答案；（2）根据向量的模长公式计算可得答案.，12==OP e e 1⋅OP e【详解】（1）当时，坐标系为平面直角坐标系，90θ=xOy 设点，则有，而，(),P x y (),OP x y =()111,0,e OP e x=⋅=又，所以，又因，111cos1202OP e OP e ⋅=⋅⋅=- 12x =-1OP ==解得的坐标是；y =P 1,2⎛- ⎝（2）依题意夹角为，21,e e 12121245,cos45⋅=⋅==e e e e OP e e12OP e e ∴====，()2111121121cos ,2OP e OP e OP e e e e e e e αα⋅=⋅⋅=⋅=+⋅=+⋅=2,cos αα==20．如图所示，在四棱锥中，平面，，E 是的中点．P ABCD -//BC PAD 12BC AD =PD（1）求证：；//BC AD （2）若M 是线段上一动点，则线段上是否存在点N ，使平面？说明理由．CE AD //MN PAB 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析.【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；（2）取中点N ，连接，，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明．AD CN EN 【详解】证明：（1）在四棱锥中，平面，平面，P ABCD -//BC PAD BC ⊂ABCD 平面平面，ABCD ⋂PAD AD =∴，//BC AD （2）线段存在点N ，使得平面，理由如下：AD //MN PAB取中点N ，连接，，AD CN EN ∵E ，N 分别为，的中点，PD AD ∴，//EN PA ∵平面，平面，EN ⊄PAB PA ⊂PAB ∴平面，//EN PAB 取AP 中点F,连结EF,BF ，，且，//EF AN =EF AN 因为，，//BC AD 12BC AD =所以，且，//BC EF =BC EF 所以四边形BCEF 为平行四边形，所以.//CE BF 又面PAB ，面PAB ，所以平面；CE ⊄BF ⊂//CE PAB 又，CE EN E = ∴平面平面，//CEN PAB ∵M 是上的动点，平面，CE MN ⊂CEN ∴平面PAB ，//MN ∴线段存在点N ，使得MN ∥平面．AD PAB 21．合肥一中云上农舍有三处苗圃，分别位于图中的三个顶点，已知,ABCAB AC ==．为了解决三个苗圃的灌溉问题，现要在区域内（不包括边界）且与B ,C 等距的40m BC =ABC 一点O 处建立一个蓄水池，并铺设管道OA 、OB 、OC．(1)设，记铺设的管道总长度为，请将y 表示为的函数；OBC θ∠=m y θ(2)当管道总长取最小值时，求的值．θ【答案】(1)()202sin π200cos 4y θθθ-⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭(2)π6θ=【分析】（1）根据锐角三角函数即可表示，，进而可求解，20cos BO θ=20sin cos OD θθ=（2）利用，结合三角函数的最值可得.2sin cos k θθ-=k 【详解】（1）由于,在的垂直平分线 上，AB AC ==,OB OC O =∴BC AD 若设，则, ∴OBC θ∠=20cos BO θ=20sin cos OD θθ=20sin 20cos OA θθ=-则；()202sin 202020tan 2200cos cos 4y θπθθθθ-⎛⎫=-+⨯=+<< ⎪⎝⎭（2）令得2sin cos k θθ-=2cos sin k θθ=+≤故，又，故23k≥0k >k ≥min2020y =+此时：得2sin cos θθ-=πsin 2sin 23θθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭πsin 13θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又，故,故π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ32θ+=π6θ=22．数学史上著名的波尔约-格维也纳定理：任意两个面积相等的多边形，它们可以通过相互拼接得到．它由法卡斯·波尔约（FarksBolyai ）和保罗·格维也纳（PaulGerwien ）两位数学家分别在1833年和1835年给出证明．现在我们来尝试用平面图形拼接空间图形，使它们的全面积都与原平面图形的面积相等：（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1、图2），其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形（阴影部分），其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个14缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．(1)试比较图1与图2剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；(2)如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明．【答案】(1)柱锥V V>(2)答案见解析【分析】（1）根据题中的操作过程，结合棱锥、棱锥的体积进行求解比较即可；（2）根据题中操作过程，结合三角形内心的性质、直三棱柱的定义进行操作即可.【详解】（1）依上面剪拼方法，有．柱锥V V >推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正如图所示：在正四面体中，高，DO ===在图2一顶处的四边形中，如图所示：直三棱柱高，()π11tan tan 21622PN PMN MN =∠⋅=⨯⨯-==，13V V h h ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭柱锥柱锥0=>∴．柱锥V V >（2）如图，分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，再将三个四边形拼成上底即可得到直三棱柱．。
2022—2023学年度广东省茂名市第一中学高一第二学期期中考试数学试题及答案
茂名市第一中学2022—2023学年度第二学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分钟总分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．设z ＝1+2i ，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．＝（）A ．B ．C ．D ．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1,3,3===b a A π，则c 等于（）A ．2B ．C ．D ．4．一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图OA ′B ′C ′的面积为2，则原梯形的面积为（）A ．2B ．22C ．24D ．45.为了得到函数ππsin 3cos cos3sin 33y x x =+的图象，可以将函数sin 3y x =图象()A.向左平移π个单位B.向左平移π9个单位C.向右平移π个单位D.向右平移π9个单位6.在空间中，下列命题正确的是（）A ．三点确定一个平面B ．若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行7.在ABC 中，已知2cos c a B =⋅，那么ABC 一定是（）A.等腰直角三角B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形8.已知中，，，点D 是AC 的中点，M 是边BC 上一点，的最小值是()A. B. C. D.二､多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
）9.复数i z 2321+=，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z 的实部是21 B.z 的共轭复数为3122i +C.z 的实部与虚部之和为2 D.z 在复平面内的对应点位于第一象限10.已知平面向量()1,0a =，(1,b = ，则下列说法正确的是（）A.||16a b +=B.()2a b a +⋅= C.33,cos >=<→→b a D.向量+a b在a 上的投影向量为2a11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下结论中正确的有（）A ．若sin A ＞sinB ，则A ＞BB ．若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 一定为等腰三角形C ．若cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＝1，则△ABC 为直角三角形D ．若△ABC 为锐角三角形，则sin A ＜cos B 12.如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点O ，点E 是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（）A.直三棱柱的体积是1B.直三棱柱的外接球表面积是C.三棱锥的体积与点E 的位置有关D.的最小值为三、填空题(每小题5分，共20分)13．设复数z 满足其中i 是虚数单位，则__________.14．圆锥的半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为．15．非零向量→a ＝（sin θ，2），＝（cos θ，1），若→a 与共线，则tan （θ﹣4π）＝．16南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即])2([41222222b a c a c S -+-=（其中S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边）．在斜△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若)cos 3(cos C B c a +=，且B C a sin 3sin =．则此△ABC 面积的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分)17．（10分）已知向量→a ＝（1，1），→b ＝（2，﹣3）．（1）若→c ＝2→a +3→b ，求→c 的坐标；（2）若→a λ﹣2→b 与→a 垂直，求λ的值．18．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足bc a c b -=-22）（．（1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，sinC ＝2sinB ，求△ABC 的面积．19．（12分）（1）已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，求该正四棱锥的体积；（2）如图（单位：cm ），求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的体积．20（12分）已知函数x x x x f 4cos 212sin )1cos 2()(2+-=．（1）求f （x ）的最小正周期及单调递减区间；（2）若α∈（0，π），且22)84(=-παf ，求α的值．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，E 是线段PD 上的点，且，PA ＝PD ＝AD ＝3，32CE =，BC ∥AD ，∠ADC ＝45°．（1）求证：CE ∥平面PAB ；（2）若M 是线段CE 上一动点，则线段AD 上是否存在点N ，使MN ∥平面PAB ？若存在，求出MN 的最小值；若不存在，说明理由．22.（12分）借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB 中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB 的半径为20米，圆心角为π4.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ ，另一部分是三角形观赏台AO C.现计划在弧AB 上选取一点M ，作MN 平行OA 交OB 于点N ，以MN 为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ ，NP 长为5米；同时在水池岸边修建一个满足AO OC =且2COA AOM ∠=∠的三角形观赏台AOC ，记)46(ππ<≤=∠x x AOM .（1）当π6AOM ∠=时,过点M 作OA 的垂线，交OA 于点E ，过点N 作OA 的垂线，交OA 于点F,求ME ,OF 及矩形观赏台MNPQ 的面积；（2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.茂名市第一中学2022—2023学年度第二学期期中考试高一数学试卷答案1【答案】D ．解：∵z ＝1+2i ，∴z 的共轭复数＝1﹣2i ，对应的点为（1，﹣2），故在第四象限，2【答案】D解：根据向量的线性运算法则，可得．3【答案】A解：，则由余弦定理可得，3＝1+c 2﹣2c ×1×cos＝1+c 2﹣c ，∴c 2﹣c ﹣2＝0，解得c ＝2或﹣1（舍）．4【答案】C解：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示；设该梯形的上底为a ，下底为b ，高为h ，则直观图中等腰梯形的高为h ′＝h sin45°；∵等腰梯形的体积为（a +b ）h ′＝（a +b ）•h sin45°＝2，∴（a +b ）•h ＝＝4∴该梯形的面积为4．5【答案】B【详解】依题意，ππππsin 3coscos3sin sin(3)sin 3(3339y x x x x =+=+=+，所以函数sin 3y x =图象向左平移π9个单位可得πsin 3()9y x =+的图象.6【答案】C解：对于A ，不共线的三点确定一个平面，故A 错误；对于B ，l ∥α，则l 与平面α内的直线平行或异面，故B 错误；对于C ，由平面基本性质及其推论得：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故C 正确；对于D ，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或在这个平面内，故D 错误．7【答案】B解：已知2c a cosB ＝，则：2sinC sinAcosB ＝，整理得：()2sin A B sinAcosB +＝，则：()0sin A B -＝，所以：A B ＝.8.【答案】B解：根据题意，建立图示直角坐标系，，，则，，，，是边BC上一点，设，则，，，当时，取得最小值，9【答案】ACD解:由题得A 正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,22，位于第一象限，则D 正确.10【答案】BD解：((11,02,2a b +=++= ，所以4a b +==，故A错误；()1202a a b ⋅+=⨯+⨯=，故B 正确；1313,cos =⋅>=<→→→→→→ba b a b a ，向量+a b 在a 上的投影向量为()2·21a ab a a a a a ⋅+=⨯=，故D 正确．11【答案】AC【解答】解：对于A ，若sin A ＞sin B 成立，由正弦定理可得a ＞b ，所以A ＞B ，故正确；对于B ，由sin2A ＝sin2B ，得到2A ＝2B 或2A +2B ＝π，可得A ＝B 或A +B ＝，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误；对C ，若cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＝1，可得若（1﹣sin 2A ）+（1﹣sin 2B ）﹣（1﹣sin 2C ）＝1，整理得：sin 2A +sin 2B ＝sin 2C ，可得a 2+b 2＝c 2．可得△ABC 为直角三角形，故正确；对于D ，若△ABC 是锐角三角形，则A +B +C ＝π，A +B ＞，A ＞﹣B ，A 、B 、C 均是锐角，由正弦函数在（0，）递增，所以：sin A ＞sin （﹣B ）＝cos B ，故错误．12【答案】AD解：在直三棱柱中，，，所以其体积V=Sh=121121=⨯⨯⨯，故A 正确；对于B ，由直三棱柱结构特征及外接球的对称性可得，其外接球即为长宽高分别为2，1，1的长方体的外接球，所以其外接球半径为，所以其外接球的表面积为，故B 错误；由平面，且点E 是侧棱上的一个动点，，三棱锥的高h 为定值，，，故三棱锥的体积为定值，故C 错误；将四边形沿翻折，使四边形与四边形位于同一平面内，此时，连接与相交于点E ，此时最小，即，故D 正确．13【答案】解：，故14【答案】解：如图，圆锥的母线，圆锥的侧面展开图为扇形，故侧面积为，．15【答案】【解答】解：∵向量＝（sin θ，2），＝（cos θ，1），且与共线，∴＝2，即tan θ＝2，则tan（θ﹣）＝＝＝．16【答案】解：∵，∴sin A＝sin C（cos B+cos C），即sin C cos B+sin C cos C＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，即sin C cos C＝sin B cos C，又C∈（0，π）且C≠，∴sin B＝sin C，∴b＝c，又．∴ac＝b，解得a＝3，＝＝＝，当c＝3时，S max＝．17解：（1）∵＝（1，1），＝（2，﹣3），∴＝2+3＝2（1，1）+3（2，﹣3）＝（8，﹣7）； 4分（2）λ﹣2＝λ（1，1）﹣2（2，﹣3）＝（λ﹣4，λ+6）， 6分∵λ﹣2与垂直，∴1×（λ﹣4）+1×（λ+6）＝0， 9分即λ＝﹣1． 10分18解：（1）因为（b﹣c）2＝a2﹣bc，可得b2+c2﹣a2＝bc， 2分所以cos A＝＝， 3分又A∈（0，π），所以A＝． 5分（2）因为sin C＝2sin B，由正弦定理可得c＝2b， 6分又a＝2，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得4＝b2+c2﹣bc， 8分解得b＝，c＝， 10分所以S△ABC＝bc sin A＝××＝ 12分19【解答】解：（1）正四棱锥的底面边长是a＝6，侧棱长为l＝5，所以正四棱锥的高为h＝＝， 2分所以正四棱锥的体积为V＝Sh＝×62×＝12； 5分（2）图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体，是圆台挖去一个半球，圆台的体积为V圆台＝π（r2+rr′+r′2）h＝×（22+2×5+52）×4＝52π， 8分半球的体积为V半球＝πr3＝×23＝， 10分所以该几何体的体积为V＝V圆台﹣V半球＝52π﹣＝3140（cm3）． 12分20【答案】（1）；；（2）．【解答】解：（1）∵f（x）＝（2cos2x﹣1）sin2x+cos4x＝cos2x sin2x+cos4x 1分＝（sin4x+cos4x）＝sin（4x+）， 3分∴f（x）的最小正周期T＝， 4分令，可得，∴f（x）的单调递减区间为； 6分（2）∵f（）＝，∴， 8分∵α∈（0，π），，∴， 10分∴ 12分21【解答】（1）证明：如图1，在PA上取点F使，连接EF，BF，如图示：∵，∴EF∥AD且， 1分又BC∥AD，且， 2分∴EF∥AD，EF＝AD，∴四边形BCEF为平行四边形，∴CE∥BF， 3分而CE⊄平面PAB， 4分BF⊂平面PAB，则CE∥平面PAB． 5分（2）解：线段AD上存在点N且，使得MN∥平面PAB；理由如下：如图2，在AD上取点N使，连接CN，EN，如图示：∵，，∴EN∥PA， 6分∵EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EN∥平面PAB； 7分由（1）知CE∥平面PAB，又CE∩EN＝E，∴平面CEN∥平面PAB，又M是CE上的动点，MN⊂平面CEN，∴MN∥平面PAB， 8分∴线段AD上存在点N，使得MN∥平面PAB．∵BC∥AN，BC＝AN，∴ND＝2， 9分在△CND中，∠ADC＝45°，，由余弦定理知CN＝2． 10分在△CEN中，CN＝NE＝2，，∴由余弦定理知∠CNE＝120°，∴MN 的最小值为， 11分∴线段AD 上存在点N ，使MN ∥平面PAB ，且MN 的最小值为1． 12分22.【详解】（1）当π6AOM ∠=时，则π1sin 201062ME OM =⋅=⨯=. 2分πcos 2062OE OM =⋅=⨯=. 3分过N 作OA 的垂线，交AO 于点F ，NF ME =.∵π4AOB ∠=，10OF NF ==，∴10MN OE OF =-=-. 4分因为5NP =.矩形MNPQ 的面积())510501S MN NP =⋅=⨯=-平方米.所以矩形观赏台MNPQ 的面积)501平方米. 5分（2）由题意可知，AOM x ∠=，π4AOB ∠=，π4MON x ∠=-，3π4MNO ∠=，在OMN 中，由sin sin MN OM MON MNO =∠∠，得()cos sin 20cos sin MN OM x OM x x x =-=-. 6分矩形MNPQ 的面积()()1520cos sin 100cos sin S MN NP x x x x =⋅=⨯-=-.7分观赏台AOC 的面积211sin 2020sin 2200sin 222S OA OC AOC x x =⋅⋅∠=⨯⨯=.整个观赏台面积()12100cos sin 200sin 2S S S x x x=+=-+. 8分设πcos sin 4t x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，46(ππ<≤x ，∴.2130-≤<t 9分()2222cos sin cos sin 2sin cos 1sin 2t x x x x x x x =-=+-=-.∴2sin 21x t =-. 10分∴()100cos sin 200sin 2S x x x =-+()2211002001200212.54t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭.当]213,0(41-∈=t 时，整个观赏台观赏台S 取得最大值为212.5平方 11分∴整个观赏台的面积S 的最大值为212.5平方米. 12分。
河南省驻马店经济开发区高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含简单答案)
驻马店经济开发区高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题考试时间：120分钟，满分：150分一、单选题单项选择题（本题共8小题，每小题5分．共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的．）1. （ ）A.B. C.D. 2.半径为，圆心角为的弧长为（ ）A. B. C.D.3. 在中，若点满足，则( )A. B. C. D. 4. 已知，则（ ）A. B.C. D.5. 在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，则C ＝A. 60°B. 120°C. 30°D. 45°或135°6. 已知且向量与的夹角是，则向量在方向上的投影数量是（ ）A. B.C. D.7. 把函数图象向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则（ ）A.B.C.D.8. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）的()tan 300-︒=1cm 3π120︒22cm9π2cm 9π2cm9πcm9πABC V D 2B D D C =AD =1233AC AB +5233AB AC -2133AC AB -2133AC AB+3π1sin 83α⎛⎫+=⎪⎝⎭πcos 8α⎛⎫-= ⎪⎝⎭13-13||3,||4a b ==a b π6a b 32-32()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π6πϕ=6π3π23π56π()2,4a =r ()1,b k = a bkA. B. C. D. 二、多选题多项选择题（本题共3小题．每小题6分．共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 已知向量，，是三个非零向量，则下列结论正确的有（ ）A. 若∥，则B. 若∥，∥，则∥C. 若，则或；D. 若，则10. 设函数，则下列结论正确的是（ ）A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线对称C. 的一个零点为D. 在上单调递减11. 对于中，有如下判断，其中正确判断是（ ）A. 若，则符合条件的有两个B. 若，则等腰三角形C. 若，则D. 若，则是钝角三角形三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 已知，且，则______13. 已知，向量与的夹角为，求的值______14. 函数，当时恒有解，则实数的范围是______．四、解答题（本题共5小题，共77分．）15. 已知,.(1)当为何值时,与垂直;(2)若,,且三点共线,求的值.的为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭1,22⎛⎫-⎪⎝⎭1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭a b ca ba b a b⋅=⋅ a b b c a ca b = a b = a b =- a b a b +=- a b⊥ ()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 2π()y f x =x π=()f x 6x π=()f x ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭ABC V 8,10,60a c B === ABC V cos cos A B =ABC V A B >sin sin A B>222sin sin sin A B C +<ABC V ()()3,2,6,a b y =-= //a b y =2,3a b == a b2π3a b + 2()4cos 4cos 3f x x x a =+--2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()0f x =a ()2,0a = ()3,1b =k ka b - 2a b + 52AB a b =-BC a mb =+,,A B C m16. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．（1）求，，；（2）．17. 已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）求在区间上最大值和最小值.18. 在中，已知．（1）求．（2）求边长及的面积．19. 已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值.的αO x (1,2)P -sin αcos αtan αsin(3π)πsin cos(π)2ααα-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭π()2sin 2()6f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ()f x ()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABC V 94,5,cos 16a b B ===sin A c ABC V ()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭()f x ()f x 4π()y g x =[]12,,x x m m π∈-12x x >()()()()1212f x f x g x g x -<-m驻马店经济开发区高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题简要答案一、单选题单项选择题（本题共8小题，每小题5分．共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的．）【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、多选题多项选择题（本题共3小题．每小题6分．共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】AC【11题答案】【答案】BCD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）【12题答案】【答案】【13题答案】【14题答案】【答案】四、解答题（本题共5小题，共77分．）【15题答案】【答案】(1)(2).【16题答案】【答案】（1），，（2）【17题答案】【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为，（2）最大值2，最小值为－1【18题答案】【答案】（1（2）；【19题答案】【答案】（1）（2）为4-[]4,5138k =25m =-sin α=cos α=tan 2α=-1-ππππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z 6c =ABC S =V ()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1724π。
2023-2024学年厦门市高一数学第二学期期中考试卷附答案解析
2023-2024学年厦门市高一数学第二学期期中考试卷（考试时间120分钟，满分150分）考试时间：2024年4月28日考试时长120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数2i i z =-，则z 对应的点Z 在复平面的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量(2,1),(1,4)a b ==- ，则23a b -=（）A ．(7,10)-B ．(1,14)C ．(7,10)-D ．(7,6)3．下列命题中正确的是（）A ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C ．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形4．在空间四边形ABCD 中，AC=BD ，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，顺次连接各边中点E ，F ，G ，H ，所得四边形EFGH 的形状是（）A ．梯形B ．矩形C ．正方形D ．菱形5．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15︒的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30︒，第一排和最后一排的距离为（如图所示），则旗杆的高度为（）A ．10mB ．30mC ．D ．6．在ABC 中，若sin 2sin cos C B B =，且64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则c b 的范围为（）A ．B ．)2C ．()0,2D ．)27．如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线//MN 平面ABC 的是（）A ．B ．C ．D ．8．已知AB AC ⊥ ，||AB t = ，1||AC t= ．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且2||||AB ACAP AB AC =+，则PB PC ⋅ 的最大值为（）A ．13B ．5-C ．5-D ．10+二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设复数12i1i z +=+，则（）A ．z 的实部为32B ．31i 22z =-C ．z 的虚部为1i2D ．1z =10．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列说法正确的是（）A ．若sin :sin :sin 2:3:4ABC =，则ABC 是钝角三角形B ．若sin sin A B >，则a b>C ．若0AC AB ⋅>，则ABC 是锐角三角形D ．若45A =o ，2a =，b =，则ABC 只有一解11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是ABC 内一点，BMC △，AMC ，AMB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅=．以下命题正确的有（）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为AMC 的重心B ．若M 为ABC 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=C ．若45BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，M 为ABC 的外心，则::2:1A B C S S S =D ．若M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++= ，则cos AMB ∠=三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为.13．将边长为2的正方形卷成一个圆柱的侧面，所得圆柱的体积为．14．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若a c =，sin 3,26sin 2A aB =≤≤，则ABC S - 的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin a B ．(1)若2b =，3c =，求a 的值：(2)若2a bc =，判断ABC 的形状．16．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60BAD ︒∠=，E ，F 分别为AB ，BC 上的点，且2AE EB =，2=CF FB ．(1)若DE x AB y AD =+，求x ，y 的值；(2)求AB DE ⋅的值；(3)求cos BEF ∠．17．如右图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点．(1)求证：BD 1∥平面C 1DE ；(2)求三棱锥D －D 1BC 的体积18．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且()3sin sin 32sin A B c bC a b--=+．(1)求sin A ；(2)若ABC①已知E 为BC 的中点，求ABC 底边BC 上中线AE 长的最小值；②求内角A 的角平分线AD 长的最大值．19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos2cos2cos21B C A +-=(1)求A ；(2)若2bc =，设点P 为ABC 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅；(3)设点P 为ABC 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值．1．C【分析】根据虚数单位的性质化简，再由实部、虚部符号确定复数对应点所在象限.【详解】因为2i i=1i z =---，所以z 对应的点Z 在复平面的第三象限，故选：C 2．A【分析】根据向量线性运算的坐标表示计算可得；【详解】解：因为(2,1),(1,4)a b ==-，所以()()()2322,131,47,10a b -=--=- ；故选：A 3．D【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A 不正确；对于B 中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B 不正确；对于C 中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C 不正确；对于D 中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D 正确.故选：D.4．D【分析】根据空间四边形中各点的位置，结合中位线的性质可得EFGH 是平行四边形，再由AC=BD 即可判断四边形EFGH 的形状.【详解】如图所示，空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD 可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到四边形EFGH ，由中位线的性质及基本性质4知，EH ∥FG ，EF ∥HG ；∴四边形EFGH 是平行四边形，又AC=BD ，∴HG=12AC=12BD=EH ，∴四边形EFGH 是菱形.故选：D 5．B【分析】先根据正弦定理求出BC ，再根据直角三角形三角函数关系即可求解.【详解】如图，由题可知：在ABC 中，45A =︒，105ABC ∠=︒，所以30ACB ∠=︒．sin 45BC=︒，所以22BC ==，在Rt CBD △中，3sin 6030(m)2CD BC ︒==⨯=．故选：B 6．A【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到2cos c B b =，结合64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和余弦函数的性质，即可求解.【详解】因为sin 2sin cos C B B =，由正弦定理得2cos c b B =，则2cos cB b=，又因为64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos B <<2cos B <所以cb的范围为.故选：A.7．D【分析】对于A ，根据//MN AC 结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据//MN BE 结合线面平行的判断定理即可判断；对于C ，根据//MN BD ，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D ，根据四边形AMNB 是等腰梯形，AB 与MN 所在的直线相交，即可判断.【详解】对于A,如下图所示，易得//,//AC EF MN EF ,则//MN AC ，又MN ⊄平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,则//MN 平面ABC ，故A 满足；对于B ，如下图所示，E 为所在棱的中点，连接,,EA EC EB ,易得,//AE BC AE BC =,则四边形ABCE 为平行四边形，,,,A B C E 四点共面，又易知//MN BE ，又MN ⊄平面ABC ,BE ⊂平面ABC ,则//MN 平面ABC ，故B 满足；对于C,如下图所示，点D 为所在棱的中点，连接,,DA DC DB ,易得四边形ABCD 为平行四边形，,,,A B C D 四点共面，且//MN BD ,又MN ⊄平面ABC ,BD ⊂平面ABC ,则//MN 平面ABC ，故C 满足；对于D ，连接,AM BN ,由条件及正方体的性质可知四边形AMNB 是等腰梯形，所以AB 与MN 所在的直线相交，故不能推出MN 与平面ABC 不平行，故D 不满足，故选：D.8．B【分析】以A 为原点，建立直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算，以及二次函数的性质，即可求解.【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P （x ，y ）则1(,0),(0,0)B t C t t >，可得(1,0)AB AB = ，2(0,2)||AC AC = ，所以(1,2)AP = ，即(1,2)P ，故(1,2)PB t =-- ，11,2PC t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以221455PB PC t t t t ⎛⎫⋅=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭ 2t t =即t 时等号成立．故选：B．9．AB【分析】根据复数除法求出z ，由复数的概念判断AC ，根据共轭复数判断B ，根据模的定义判断D.【详解】因为()()()()12i 1i 12i 122i i 31i 1i 1i 1i 222z +-+++-====+++-，所以z 的实部为32，虚部为12，31i 22z =-，102z =，故选：AB 10．ABD【分析】对于A ，利用正弦定理及大边对大角，结合余弦定理的推论即可求解；对于B ，利用正弦定理的角化边即可求解；对于C ，利用向量的数量积的定义即可求解；对于D ，利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解.【详解】对于A ，因为ABC 的三个角满足sin :sin :sin 2:3:4A B C =，所以由正弦定理化简得::2:3:4a b c =，设2,3,4a k b k c k ===，c 为最大边，由余弦定理得222222249163cos 02124a b c k k k C ab k +-+-===-<，所以C 为钝角，所以ABC 是钝角三角形，故A 正确；对于B ，由sin sin A B >及正弦定理，得22a b R R>,解得a b >，故B 正确；对于C ，因为0AC AB ⋅>，所以cos cos 0AC AB AC AB A bc A ⋅⋅==> ，所以cos 0A >，所以A 为锐角，但无法确定B 和C 是否为锐角，故C 错误；对于D ，由正弦定理得222sin 45sin B=，解得sin 1B =，因为0180B << ,所以90B = ，所以ABC 只有一解，故D 正确.故选：ABD.11．ABD【分析】A 选项，0MA MB MC ++=，作出辅助线，得到A ，M ，D 三点共线，同理可得M 为ABC 的重心；B 选项，设内切圆半径为r ，将面积公式代入得到0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=；C 选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D 选项，得到::3:4:5A B C S S S =，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设MD m =，MF n =，5ME t =，表示出AM ，BM ，MC ，结合三角函数得到m ，m =，进而求出余弦值；【详解】对A 选项，因为::1:1:1A B C S S S =，所以0MA MB MC ++=，取BC 的中点D ，则2MB MC MD += ，所以2MD MA =-，故A ，M ，D 三点共线，且2MA MD =，同理，取AB 中点E ，AC 中点F ，可得B ，M ，F 三点共线，C ，M ，E 三点共线，所以M 为ABC 的重心，A 正确；对B 选项，若M 为ABC 的内心，可设内切圆半径为r ，则12A S BC r =⋅，12B S AC r =⋅，12C S AB r =⋅，所以1110222BC r MA AC r MB AB r MC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，即0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=，B 正确；对C 选项，若45BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，M 为ABC 的外心，则75ACB ∠=︒，设ABC 的外接圆半径为R ，故290BMC BAC ∠=∠=︒，2120AMC ABC ∠=∠=︒，2150AMB ACB ∠=∠=︒，故2211sin 9022A S R R =︒=，221sin1202B S R R =︒，2211sin15024C S R R =︒=，所以::2A B C S S S =，C错误；对D 选项，若M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++=，则::3:4:5A B C S S S =，如图，AD BC ⊥，CE AB ⊥，BF AC ⊥，相交于点M ，又ABC A B C S S S S =++ ，31124AABC S S == ，即:3:1AM MD =，41123BABC S S == ，即:1:2MF BM =，512CABC S S =，即:5:7ME MC =，设MD m =，MF n =，5ME t =，则3AM m =，2BM n =，7MC t =，因为CAD CBF ∠=∠，sin ,sin 32n mCAD CBF m n∠=∠=，所以32n m m n =，即3m =，3cos 22m BMD n n ∠===，则()cos cos πAMB BMD ∠=-∠=D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断.12．【详解】解：利用正弦定理可知，B 角对的边最大，因为05sin 230,51sin sin sin 2a b aBA b AB A =∴=∴===故答案为：13．2π【分析】先计算底面积，再计算体积.【详解】122R R ππ=∴=22122V R h ππππ=⨯=⨯⨯=故答案为2π【点睛】本题考查了圆柱的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.14【分析】由正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式化简计算可得.【详解】222sin 37,23,,cos sin 229A a c b a b a c B B ac +-=∴==∴==，则sin B =2221922ABC S a a ⎫∴-=-⋅=+=-+⎪⎝⎭ []2,6,ABC a S ∈∴-V Q故答案为：922.15．(1)a =(2)等边三角形．【分析】（1）由正弦定理边化角，求出π3A =，再利用余弦定理可得答案；(2)由余弦定理得结合2a bc =得2220b c bc +-=，进而b c =，从而可得答案.【详解】（1）由正弦定理，33sin sin sin sin ,sin 022a B b A B B B =⇒≠ ，故ππsin 0,223A A A ⎛⎫=∈⇒= ⎪⎝⎭，再由余弦定理得，2222212cos 2322372a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=,从而a =（2）因为π3A =，所以由余弦定理得222a b c bc=+-结合2a bc =得2220b c bc +-=，进而22,b c a b a b c =⇒===，所以ABC 是等边三角形．16．(1)2,13x y ==-(2)203【分析】（1）由向量的运算法则求解（2）分解后由数量积的运算求解（3）由数量积的定义求夹角【详解】（1）23DE DA AE AB AD =+=- ，故2,13x y ==-（2）2220()1642cos 60333AB DE AB AB AD ⋅=⋅-=⨯-⨯⨯︒=（3）111,,333EB AB EF AB AD ==+4||3EB =，27||3EF =16499cos 14||||EB EFBEF EB EF +⋅∠==17．(1)见解析；(2)23.【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）利用等体积11D D BC D DBC V V --=，即可求得三棱锥D ﹣D 1BC 的体积．【详解】（1）证明：连接D 1C 交DC 1于F ，连接EF ，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面四边形DCC 1D 1为矩形，∴F 为D 1C 的中点．又E 为BC 的中点，∴EF ∥D 1B ．∴BD 1∥平面C 1DE ．（2）解：连接BD ，11D D BC D DBCV V --=又△BCD 的面积为12222S =⨯⨯=．故三棱锥D ﹣D 1BC 的体积1111221333D DBC BCD V S D D -∆==⨯⨯=．【点睛】本题考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．(1)sin A =(2)AE，AD【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到1cos 3A =，进而求出sin A ；（2）由面积公式求出16bc =，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解AE 的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解AD 的最值.【详解】（1）由正弦定理，得3()32a b c b a b c --=+，即22223c b a bc +-=，故2221cos 23232bc c b a A bc bc +-===，因为cos 0A >，所以π(0,)2A ∈，所以22sin 3A ==；（2）①由（1）知sin 3A =，因为ABC1n si 2bc A =，解得16bc =，由于()12AE AB AC =+ ，所以()()2222222111212183222cos 2444343433AE AB AC AB AC c b bc A c b bc bc bc bc ⎛⎫⎛⎫=++⋅=++=++≥+=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当b c =时，等号取得到，所以2323AE AE ≥⇒ ②因为AD 为角A 的角平分线，所以1sin sin 2BAD CAD A ∠=∠=，由于ADB ADC ABC S S S += ，所以111sin sin sin sin cos 2222222A A A A AD c AD b bc A bc +==，由于sin02A ≠,所以()2cos 2A AD c b bc +=，由于2212cos 2cos 1cos cos 23232A A A A =-=⇒=⇒，又16bc =，所以()63262cos216233A AD c b bc +==⨯⨯由于8b c +≥，当且仅当b c =时，等号取得到，故()83AD c b AD =+≥=，故3AD ≤，19．(1)π2A =(2)(3)2+【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cos2cos2cos21B C A +-=可得222a b c =+，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.（3）由（1）结论可得2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，利用余弦定理以及勾股定理即可推出2m n mn ++=，再结合基本不等式即可求得答案.【详解】（1）由已知ABC 中cos2cos2cos21B C A +-=，即22212sin 12sin 12sin 1B C A -+--+=，故222sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得222a b c =+，故ABC 直角三角形，即π2A =.（2）由（1）π2A =，所以三角形ABC 的三个角都小于120︒，则由费马点定义可知：120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，设,,PA x PB y PC z === ，由APB BPC APC ABC S S S S ++= 得：111122222xy yz xz +=⨯，整理得xy yz xz ++=，则PA PB PB PC PA PC⋅+⋅+⋅111142222233xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（3）点P 为ABC 的费马点，则2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||||,||,00,,0,PB m PA PC n PA PA x m n x ===>>>，则由PB PC t PA +=得m n t +=；由余弦定理得()22222222π||2cos 13AB x m x mx m m x =+-=++，()22222222π||2cos 13AC x n x nx n n x =+-=++，()2222222222π||2cos 3BC m x n x mnx m n mn x =+-=++，故由222||||||AC AB BC +=得()()()222222211n n x m m x m n mn x +++++=++，即2m n mn ++=，而0,0m n >>，故22()2m n m n mn +++=≤，当且仅当m n =，结合2m n mn ++=，解得1m n ==又m n t +=，即有2480t t --≥，解得2t ≥+2t ≤-故实数t 的最小值为2+【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，结合费马点含义，利用余弦定理推出2m n mn ++=，然后利用基本不等式即可求解.。
上海市上海师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
上师大附中2023学年第二学期高一年级数学期中2024.05一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1．向量()3,4m =-的单位向量为________（用坐标表示）.2．△ABC 中，已知120A =︒，45B =︒，2AC =，则边BC 的长为________.3．已知向量()1,1a = ，()3,5b = ，则b 在a方向上的投影为________（用坐标表示）.4．设1e ，2e 是不平行向量，若124e e - 与12ke e +平行，则实数k 的值为________.5．已知△ABC 三边上的高分别为A h 、B h 、C h ，且::4:5:6A B C h h h =，则此三角形最大角的余弦值为________.6．函数tan 2y x =，,66ππx ⎡⎤∈-⎢⎣⎦的最大值为________.7．在△ABC 中，2AB =，3AC =，3AB AC ⋅=-，则△ABC 的面积为________.8．若函数()cos f x x =，[]0,2x π∈与()tan g x x =的图象交于M 、N 两点，则OM ON +=________.9．如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形ABCD 的边长为4，点P 在四段圆弧上运动，则AP AB ⋅的取值范围为________.10．设函数()sin f x x =，若对于任意2,3ππ⎡⎤α∈⎢⎥⎣⎦，都存在[]0,m β∈，使得()()0f f α+β=，则m 的最小值为________.11．若存在实数ϕ，使函数()()1(0)2f x cos x =ω+ϕ-ω>在[],3x ππ∈上有且仅有2个零点，ω的取值范围为________.12．已知平面向量a 、b ，且2a b == ，2a b ⋅= ，向量c满足22c a b a b --=- ，则当()c b R -λλ∈取最小值时λ的值为________.二、选择题（13~14每题4分，15~16每题5分，共18分，每题有且仅有一个答案正确）13．函数tan y x =是（）.A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为π2的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数14．已知1e 、2e是互相垂直的单位向量，则下列四个向量中模最大的是（）.A．121122e e +B．121233e e +C．123144e e +D．121655e e -+15．设集合2462 sin sin sin sin ,,02023202320232023ππkπA x x k Z k ⎧⎫π==++++∈>⎨⎬⎩⎭，则集合A 的元素个数为（）.A．1012B．1013C．2024D．202516．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,0A 、()0,1B 、()1,1C -、()1,0D -、()0,1E -、()1,1F -．有一封闭图形ABCDEF ，其中图形第一、三象限的部分为两段半径为1的圆弧，二、四象限的部分为线段BC 、CD 、EF 、FA ．角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，α的终边与该封闭图形ABCDEF 交于点P ，点P 纵坐标y 关于α的函数记为()y f =α，则有关函数()y f =α图象的说法正确的是（）.A．关于直线4πα=成轴对称，关于坐标原点成中心对称B．关于直线34πα=成轴对称，且以2π为周期C．以2π为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心D．夹在1y =±之间，且关于点(),0π成中心对称三、解答题（共78分）17．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A -，()2,1B -，(),2C m ．（1）若2m =，求△ABC 的面积S ；（2）是否存在实数m ，使得A 、B 、C 三点能构成直角三角形？若存在，求m 的取值集合；若不存在，请说明理由．18．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）已知函数()y f x =，()2213πf x sin x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．（1）求函数()y f x =的最小正周期和单调增区间；（2）若不等式()1f x t +<在0,4πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数t 的取值范围．19．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB 分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为23π，动点P 在扇形的弧上，点Q 在OB 上，且∥PQ OA ．（1）当50OQ =米时，求PQ 的长；（2）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区△OPQ 的面积尽可能的大．设AOP ∠=θ，求△OPQ 面积的最大值．20．（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）在△ABC 中，120CAB ∠=︒．（1）如图1，若点P 为△ABC 的重心，试用AB 、AC 表示AP ；（2）如图2，若点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧 BC 上运动（包含B 、C 两个端点），且1AB AC ==，设(),AP AB AC R =λ+μλμ∈，求λμ的取值范围；（3）如图3，若点P 为△ABC 外接圆的圆心，设(),AP m AB nAC m n R =+∈，求m n +的最小值．21.（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）已知向量33,22x x a cos sin ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，,22x x b cos sin ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()f x a b m a b =⋅-+ ，m R ∈．（1）若0m =，求6πf ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）用x 表示a b + ，若,34ππx ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，()f x 的最小值为4-，求实数m 的值；（3）设n 为正整数，函数()y f x =在区间()0,nπ上恰有2024个零点，请求出所有满足条件的n 的值及相应m 的取值范围．参考答案一、填空题2.;3.;5.;6.;8.π;11.15,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.311．若存在实数ϕ，使函数()()1(0)2f x cos x =ω+ϕ-ω>在[],3x ππ∈上有且仅有2个零点，ω的取值范围为________.【答案】15,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】因为()()1(0)2f x cos x =ω+ϕ-ω>,由()0f x =,得到()12cos x ω+ϕ=,所以()23x k k Z πω+ϕ=+π∈或()23x k k Z πω+ϕ=-+π∈,所以()()2233k k x k Z x k Z ππ-ϕ+π--ϕ+π=∈=∈ωω或又因为存在实数ϕ,使函数()f x 在[]3x ,∈ππ上有且仅有2个零点,所以7522332k k ππ-ϕ+π-ϕ+π-≤πωω且1122332k k ππ-ϕ+π-ϕ+π->πωω,即232π≤πω且1032π>πω,解得1533≤ω<.故答案为:1533,⎡⎫⎪⎢⎣⎭.12．已知平面向量a 、b ，且2a b == ，2a b ⋅= ，向量c满足22c a b a b --=- ，则当()c b R -λλ∈取最小值时λ的值为________.【答案】3【解析】设,a b的夹角为[],0,θθ∈π因为2,2a b a b ==⋅= ,由公式a b a b cos ⋅=⋅⋅θ 所以12cos θ=,解得3πθ=因为()()a b a b a b -=-⋅-22a a ab b b =⋅-⋅+⋅= ()()a b a b a b +=+⋅+223a a ab b b =⋅+⋅+⋅= ,243a b += 则由题,向量c满足22c a b a b --=- ,如图所示:设(),,2,OA a OB b OE a b ===+ OC c = 则(),2BA a b EC c a b=-=-+所以()22EC c a b =-+=,故C 在E 为圆心，2为半径的圆上若OD b =λ ,则DC c b =-λ由图象可知，当且仅当,,E C D 三点共线且ED OD⊥时,||DC 最小，即()c b R -λλ∈ 取得最小值,此时,666EOD OD OE cos ππ∠==⋅= 又2,b OD b ==λ,解得3λ=.二、选择题13.14.D15.A16.C15．设集合2462 sin sin sin sin ,,02023202320232023ππkπA x x k Z k ⎧⎫π==++++∈>⎨⎬⎩⎭，则集合A 的元素个数为（）.A．1012B．1013C．2024D．2025【答案】A【解析】根据题意可知,当01011,k k Z <∈时,()202023k ,π∈π,此时()2012023k sin ,π∈;又因为2023为奇数,2k 为偶数,且22023k π中的任意两组角都不关于2π对称,所以22023k sinπ的取值各不相同,因此当01011,k k Z <∈时集合A 中x 的取值会随着k 的增大而增大,所以当1011k =时，集合A 中有1011个元素;当1012k =时，易知2420232023x sinsin ππ=++⋯2022202420232023sin sin ππ++242022202320232023sin sin sinπππ=++⋯+2023sin π⎛⎫+π+ ⎪⎝⎭242022202320232023=sinsin sin πππ++⋯+2023sin π-，又易知202220232023sin sinππ=,所以可得2420232023x sin sin ππ=++⋯2022202420232023sin sin ππ++22023sinπ=4202020232023sin sin ππ++⋯+即1012k =时x 的取值与1010k =时的取值相同,与0k =时的取值不相同,根据集合元素的互异性可知,1012k =时并没有增加集合中的元素个数,以此类推可得当1012k时，集合A 中的元素个数并没有随着k 的增大而增加,所以可得集合A 的元素个数为1012个.故选：B .16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,0A 、()0,1B 、()1,1C -、()1,0D -、()0,1E -、()1,1F -．有一封闭图形ABCDEF ，其中图形第一、三象限的部分为两段半径为1的圆弧，二、四象限的部分为线段BC 、CD 、EF 、FA ．角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，α的终边与该封闭图形ABCDEF 交于点P ，点P 纵坐标y 关于α的函数记为()y f =α，则有关函数()y f =α图象的说法正确的是（）.A．关于直线4πα=成轴对称，关于坐标原点成中心对称B．关于直线34πα=成轴对称，且以2π为周期C．以2π为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心D．夹在1y =±之间，且关于点(),0π成中心对称【答案】C【解析】由题意可知,()y f =α的最小正周期为2π且当()0,;2f sin παα=α时 当()3,1;24f ππ<αα=时 当()3,;4f tan π<απα=-α时 当()3,;2f sin ππ<αα=α时 当()37,1;24f ππ<αα=-时当()72,,4f tan π<απα=α时 作出()f α的图像，如图所示:由图像要知,函数()y f =α的图像既没有对称轴,也没有对称中心.故选：C .三．解答题17.（1）（2）43,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭18.（1）（2）19.（1）80(2)220．（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）在△ABC 中，120CAB ∠=︒．（1）如图1，若点P 为△ABC 的重心，试用AB 、AC 表示AP；（2）如图2，若点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧 BC 上运动（包含B 、C 两个端点），且1AB AC ==，设(),AP AB AC R =λ+μλμ∈，求λμ的取值范围；（3）如图3，若点P 为△ABC 外接圆的圆心，设(),AP m AB nAC m n R =+∈，求m n +的最小值．【答案】（1）1133AP AB AC =+ （2）[]01,（3）2【解析】(1)延长AO 交BC 于D ,则D 是BC 中点,所以()2211133233AP AD AB AC AB AC ==⋅+=+ (2)以A 为原点,建立如图所示坐标系,则()10B ,,1322C ,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,设()P cos ,sin θθ,203,π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦,因为AP AB AC =λ+μ ,所以()()131022cos ,sin ,,⎛⎫θθ=λ+μ- ⎪ ⎪⎝⎭所以33233cos sin ⎧λ=θ+θ⎪⎪⎨⎪μ=θ⎪⎩,所以()22333231sin cos sin 2sin sin 21cos 2333333⎛⎫λμ=θθ+θ=θ+θ=θ+-θ ⎪ ⎪⎝⎭()1213sin 2cos 21sin 23363π⎛⎫=θ-θ++θ-+ ⎪⎝⎭因为203,π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦,所以72666,πππ⎡⎤θ-∈-⎢⎥⎣⎦,则[]21201;363sin ,π⎛⎫λμ=θ-+∈ ⎪⎝⎭(3)因为120CAB ∠= ,所以120CPB ∠= 由()AP m AB nAC m,n R =+∈ 可得()()AP m AP PC n AP PB =+++ 即()1m n AP mPC nPB --=+ ,平方可得()2222221m n AP m PC n PB --=+ 2mnPC PB+⋅即()222221||m n AP m PC n PB --=+ 2120mn PC PB cos +⋅所以()2221m n m n mn --=+-,整理可得3122mn m n +=+,由平行四边形法则可知1m n +>,令m n t +=,则21,13t mn t -=>,由基本不等式可得()24m n mn + ,即22134t t - ,解得2t 或23t ,所以2t ,则2m n + ,即m n +的最小值为2.21．【答案】（1）（2）（3）。
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x y O π2π 1-1 P AB CVEDF高一第二学期期中考试 数学试题（附答案）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题中的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1.已知集合{}|8,M x N x m m N =∈=-∈，则集合M 中的元素的个数为（ ▲ ） A.7 B.8 C.9 D.10 2.圆x 2+y 2-4x-2y-5=0的圆心坐标是（ ▲ ）A.(-2,-1);B.(2,1);C.(2,-1);D.(1,-2).3.已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的半径之比为（ ▲ ） A.1:3 B.1:3 C.1:9 D.1:814.圆221x y +=上的动点P 到直线34100x y --=的距离的最小值为（ ▲ ） A.2 B.1 C.3 D.45.已知直线1:20l ax y a -+=,2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直,则a 的值是( ▲ ) A.0 B.1 C.0或1 D.0或1-6.已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ▲ ）(A) 441sin()555y x =+ (B) 31sin(2)25y x =+(C) 441sin()555y x =- (D) 41sin(2)55y x =+ 7.设,m n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题：①//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭ ②//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ③//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ④////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭其中，正确的命题是 （ ▲ ）A.①④B.②③C.①③D.②④8.如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形， 主视图 左视图 俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ▲ ）A.4πB.54πC.πD.32π9.函数2()ln f x x x=-的零点所在的 主视图 大致区间是（ ▲ ）A.()1,2B.()2,3C.11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(),e +∞ 10.右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’中， 二面角D ’-AB-D 的大小是（ ▲ ）A. 300B.450C. 600D. 90011.直线3x+4y-13=0与圆1)3()2(22=-+-y x 的位置关系是（ ▲） A. 相离; B. 相交; C. 相切; D. 无法判定.12.如右图所示，正三棱锥V ABC -（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,,D E F 分别是 ,,VC VA AC 的中点，P 为VB 上任意一点，则直线DE 与PF 所成的角的大小是（ ▲ ） A ．030 B ． 090 C ． 060 D ．随P 点的变化而变化.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.半径和面积均为1的扇形的圆心角为_____▲______弧度 .14.若函数x y a )1(log -=在),0(+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ .A BD A ’B ’D ’15.已知函数()cos()4f x x π=-，先把()y f x =的图象上所有点向左平移4π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），然后再把图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），从而 得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的解析式 为 ▲16.如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，当底面ABCD 满足条件 ▲ 时， 有11D B AC ⊥（写出你认为正确的一种条件即可。
）三、解答题 本大题6题共70分.17.（本小题10分）已知二次函数2()43f x x x =-++(1)指出其图像对称轴，顶点坐标；(2)说明其图像由2y x =-的图像经过怎样的平移得来； (3)若[]1,4x ∈，求函数()f x 的最大值和最小值.18.（本小题12分）已知函数f(x)＝sin 2x ＋2sin xcos x ＋3cos 2x. (1)求函数f(x)的图象的对称中心的坐标；(2)求函数f(x)的最大值，并求函数f(x)取得最大值时自变量x 的集合； (3)求函数f(x)的增区间．19.（本小题12分）已知直线1l ：3420x y +-=与2l ：220x y ++=的交点为P ． (1)求交点P 的坐标；(2)求过点P 且平行于直线3l ：210x y --=的直线方程； (3)求过点P 且垂直于直线3l ：210x y --=直线方程. 20.（本小题12分）如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱111ABC A B C -中，,5,3==AB AC 41==AA BC ,点D 是AB 的中点.（1）求证：1AC BC ⊥（2）求证：11//AC CDB 平面（3）求三棱锥 11A B CD -的体积.21.（本小题12分）已知关于x,y 的方程C:04222=+--+m y x y x . （1）当m 为何值时，方程C 表示圆.（2）若圆C 与直线l:x+2y-4=0相交于M,N 两点，且MN=54,求m 的值.22.（本小题12分）如图所示，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，点C 在 AB 上且∠CAB ＝30°，D 为AC 的中点．(1)求证：AC ⊥平面POD ；(2)求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值．ABCDA 1B 1C 1D 1CBDA A 1B 1C 1高一第二学期期中考试 数学试题参考答案二、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题中的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1~5CBABC 6~10A CCBB 11~12C B二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.____2___ 14. )2,1( 15. x x g 2c o s 3)(= 16. ABCD 是菱形或是正方形或是对角线互相垂直的四边形三、解答题。
本大题6题共70分。
17.（本小题10分）已知二次函数2()43f x x x =-++(1)指出其图像对称轴，顶点坐标；(2)说明其图像由2y x =-的图像经过怎样的平移得来； (3)若[]1,4x ∈，求函数()f x 的最大值和最小值。
解：22()43(2)7f x x x x =-++=--+ （1）对称轴2x =，顶点坐标(2,7)（2）（2）2()43f x x x =-++ 图象可由2y x =-向右平移两个单位再向上平移7个单位可得。
（3）(1)6,(4)3,(2)7f f f ===，由图可知在[]1,4x ∈，函数()f x 的最大值为7，最小值为3 18.（本小题12分）已知函数f(x)＝sin 2x ＋2sin xcos x ＋3cos 2x.(1)求函数f(x)的图象的对称中心的坐标；(2)求函数f(x)的最大值，并求函数f(x)取得最大值时自变量x 的集合； (3)求函数f(x)的增区间．解： (1) f(x)＝12(1－cos 2x)＋sin 2x ＋32(1＋cos 2x)＝sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin )42(π+x ＋2.令2x ＋π4＝k π，得x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数f(x)的图象的对称中心的坐标是)2,82(ππ-k (k ∈Z)． (2)当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k ∈Z)时，y max ＝2＋ 2.∴ 函数f(x)取得最大值时，自变量x 的集合是},8|{Z k k x x ∈+=ππ.(3) 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)．∴ 函数f(x)的单调增区间是]8,83[ππππ+-k k (k ∈Z)． 19.（本小题12分）已知直线1l ：3420x y +-=与2l ：220x y ++=的交点为P ． (1)求交点P 的坐标；(2)求过点P 且平行于直线3l ：210x y --=的直线方程； (3)求过点P 且垂直于直线3l ：210x y --=直线方程.解：(1)由3420,220,x y x y +-=⎧⎨++=⎩ 解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩所以点P 的坐标是(2,2)-． (2)因为所求直线与3l 平行，所以设所求直线的方程为 20x y m -+=．把点P 的坐标代入得 2220m --⨯+= ，得6m =．故所求直线的方程为260x y -+=． (3)因为所求直线与3l 垂直，所以设所求直线的方程为 20x y n ++=．把点P 的坐标代入得 ()2220n ⨯-++= ，得2n =． 故所求直线的方程为 220x y ++=．20.（本小题12分）如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱111A B C A B C -中，4,5,31====AA BC AB AC ，点D 是AB 的中点。
（1）求证：1AC BC ⊥（II ）求证：11//AC CDB 平面 （III ）求三棱锥 11A B CD -的体积。
证明（1）在ABC ∆中，由勾股定理得 ABC ∆为直角三角形，AC BC ∴⊥又1CC ⊥ 面ABC 1CC AC ∴⊥，1CC BC C ⋂=∴ 1AC BCC ⊥面1AC BC ∴⊥（2） 连结1B C 交1BC 于点E ，则E 为1BC 的中点，连结DE ，则在1ABC 中，1//DE AC ，又1DE CDB ⊂面，则11//AC B CD 面（3） 在11,ABC C CF AB F ABB A ABC ⊥⊥ 中过作垂足为由面面知11CF ABB A ⊥面1111A B CD C A DB V V --∴=8)21(3111111=⨯⨯⨯⨯==--BB CF AB V V DB A C CD B A21.（本小题12分）已知关于x,y 的方程C:04222=+--+m y x y x . （1）当m 为何值时，方程C 表示圆。
（2）若圆C 与直线l:x+2y-4=0相交于M,N 两点， 且MN=54,求m 的值。
解：（1）方程C 可化为 m y x -=-+-5)2()1(22显然 5,05<>-m m 即时时方程C 表示圆。
（2）圆的方程化为 m y x -=-+-5)2()1(22圆心 C （1，2），半径 m r -=5 则圆心C （1，2）到直线l:x+2y-4=0的距离为 5121422122=+-⨯+=d5221,54==MN MN 则 ，有 222)21(MN d r += 22125()(),55m ∴-=+得 4=m 22.（本小题12分）如图所示，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，点C 在 AB 上且∠CAB ＝30°，D 为AC 的中点．(1)求证：AC ⊥平面POD ； (2)求直线OC 和平面PAC 所成角的 正弦值．(1)因为OA ＝OC ，D 是AC 的中点，所以AC ⊥OD ．又PO ⊥底面圆O ，AC ⊂底面圆O ，所以AC ⊥PO. 而OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD ．(2)由(1)，知AC ⊥平面POD ．又AC ⊂平面PAC ，所以平面POD ⊥平面PAC.如图所示，在平面POD 中，过O 作OH ⊥PD 于点H ，则OH ⊥平面PAC.*连接CH ，则CH 是OC 在平面PAC 上的射影，所以∠OCH 是直线OC 和平面PAC 所成的角． 在Rt △ODA 中，OD ＝OA ·sin 30°＝12. 在Rt △POD 中，OH ＝PO ·ODPO2＋OD2＝2×122＋14＝23. 在Rt △OHC 中，sin ∠OCH ＝OH OC ＝23. 故直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值为23.FCBD AA 1B 1C 1。