2021届百校联盟旧高考高三上学期9月联考数学(文)试卷及答案
高三数学上学期9月联考试题应届文试题
卜人入州八九几市潮王学校毛坦厂2021届高三数学上学期9月联考试题〔应届〕文本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部．总分值是150分．考试时间是是120分钟．第一卷(选择题一共60分)一、选择题(本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分)1.{}35A x Z x =∈-<<，211B x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，那么()R AC B 中的元素个数为〔〕A.1B.2C.6D.82.**∈∈∀N n f N n )(,或者n n f ≤)(〞的否认形式是〔〕 A.,()n Nf n N **∃∉∉或者n n f >)( B.,()n N f n N **∃∉∉且n n f >)(C.**∉∈∃N n f N n )(,或者n n f >)( D.**∉∈∃N n f N n )(,且n n f >)(3．以下函数中不是偶函数的是〔〕A.()sin 2f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()tan f x x = C.()ln f x x =D.()2xf x x e -=+4．函数()log 42a y x =++〔0a >，且1a ≠〕的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，那么sin 2θ=〔〕A.513-B.513C.1213-D.12135.函数f (x )=2sin cos x x x x ++在[-π，π]的图像大致为()A ．B ．C ．D ．6．在△ABC 中，2BDDC =，E 为AD 的中点，那么EB =〔〕A.5163AB AC - B.5163AB AC + C.2136AB AC - D.3144AB AC - 7．函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=>的零点构成一个公差为2π的等差数列，把函数f (x )的图象 沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数g (x )的图象．关于函数g (x )，以下说法正确的选项是() A.在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B.其图象关于直线2x π=对称C.函数g (x )是偶函数D.在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,2⎡⎤⎣⎦ 8．数列{}n a 满足11(n 2)n n n a a a +-=-≥，12,a m a n ==，S n为数列{}n a 的前n 项和，那么S2019的值是()A ．2mB ．2nC ．2019n m -D ．2019n m -9．假设向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，||1b =，那么向量2a b +与向量a 的夹角为〔〕 A.6πB.3πC.23π D.56π10．在△ABC 中，tan A 是以-2为第三项，6为第七项的等差数列的公差，tan B 是以19为第二项， 27为第七项的等比数列的公比，那么这个三角形是〔〕 A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形11.在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段表达：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：相逢时良马比驽马多行〔〕 A.1125里B.920里C.820里D.540里12.函数f (x )的定义域为R ，11()22f =-，对任意的x R ∈满足()4f x x '>. 当[0,2]απ∈时，不等式(sin )cos 20f αα+>的解集为()A.5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B.2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.45,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D.711,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭第二卷(非选择题一共90分)二、填空题(本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分)13.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231122n S n n =++，那么数列{}n a 的通项公式n a =__________.14．tan 2=-θ，那么2sin 2cos -=θθ．15.函数2cos ,112()1,1x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，那么关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数是___. 16．函数4y x =++。
2021年高三上学期9月月考数学试卷(文科)含解析
2021年高三上学期9月月考数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设等差数列{an }的公差为非零常数d，且a1=1，若a1，a3，a13成等比数列，则公差d=（）A．1 B．2 C．3 D．52．已知各项均为正数的等比数列{an }中，lg（a3•a8•a13）=6，则a1•a15的值等于（）A．10000 B．1000 C．100 D．103．已知数列{an }，an=2n+1，则=（）A．B．1﹣2n C．D．1+2n4．已知数列{an }中a1=1以后各项由公式an=an﹣1+（n≥2）给出，则a4=（）A．B．﹣C．D．5．已知数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，﹣1，b1，b2，b3﹣4成等比数列，则的值是（）A．B．C．或D．6．已知Sn 为等比数列{an}的前n项和，a1=2，若数列{1+an}也是等比数列，则Sn等于（）A．2n B．3n C．2n+1﹣2 D．3n﹣17．数列{a n}满足a1=1，a2=，且（n≥2），则a n等于（）A． B．（）n﹣1C．（）n D．8．若S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，则a5与a7的等比中项为（）A． B． C． D．329．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值10．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f（n）=n（n+1）（2n+1）吨，但如果年产量超过150吨，会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是（）A．5年B．6年C．7年D．8年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在题中横线上）11．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足S n=（1﹣a n），则数列{a n}的通项为．12．已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，则{b n}的前n项和S n=．13．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，若n≥2时，a n是S n与S n的等差中项，则S5=．﹣1=f（a n），则a xx=．14．已知函数f（x）对应关系如表所示，数列{a n}满足a1=3，a n+1x 1 2 3f（x） 3 2 12=p（n≥2，n∈N×，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，15．在数列{a n}中，若a n2﹣a n﹣1下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a}（k∈N，k为常数）也是等方差数列；+④若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为．（将所有正确的命题序号填在横线上）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）=4a n﹣2，且a1=2．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n+1﹣2a n为常数C，并求出这个常数C；（Ⅰ）求证：对任意n∈N*，a n+1（Ⅱ）如果，求数列{b n}的前n项的和．17．在等比数列{a n}中，a n＞0（n∈N*），且a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；+log2a n（n=1，2，3…），求数列{b n}的前n项和S n．（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=a n+118．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，点（a n，S n）都在直线2x﹣y﹣2=0的图象上．（1）求{a n}的通项公式；（2）是否存在等差数列{b n }，使得a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（n ﹣1）•2n +1+2对一切n ∈N *都成立？若存在，求出{b n }的通项公式；若不存在，说明理由． 20．已知数列{a n }满足a 1=3，a n +1﹣3a n =3n （n ∈N +）．数列{b n }满足b n =3﹣n a n ． （1）求证：数列{b n }是等差数列；（2）设S n =+++…+，求满足不等式＜＜的所有正整数n 的值． 21．已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10=2a 5． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m ．求数列{b m }的前m 项和S m ．xx学年山东省潍坊市临朐中学高三（上）9月月考数学试卷（文科）（1）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设等差数列{a n}的公差为非零常数d，且a1=1，若a1，a3，a13成等比数列，则公差d=（）A．1 B．2 C．3 D．5【考点】等比数列的性质；等差数列的通项公式．【分析】由a1，a3，a13成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，又数列{a n}为等差数列，利用等差数列的通项公式化简所得的关系式，把a1的值代入得到关于d的方程，根据d不为0，即可得到满足题意的d的值．【解答】解：∵a1，a3，a13成等比数列，∴a32=a1•a13，又数列{a n}为等差数列，∴（a1+2d）2=a1•（a1+12d），又a1=1，∴（1+2d）2=1+12d，即d（d﹣2）=0，由d≠0，可得d=2．故选B2．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，lg（a3•a8•a13）=6，则a1•a15的值等于（）A．10000 B．1000 C．100 D．10【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列和对数可得a8=100，进而可得a1•a15=a82=10000【解答】解：由题意可得lg（a3•a8•a13）=lg（a83）=3lga8=6，解得lga8=2，a8=100，∴a1•a15=a82=10000故选：A3．已知数列{a n}，a n=2n+1，则=（）A． B．1﹣2n C． D．1+2n【考点】等比数列的前n项和．【分析】先求出数列的第n项=，然后根据等比数列的求和公式进行求解即可．【解答】解：a n﹣a n=2n+1+1﹣（2n+1）=2n+1∴=∴=++…+=故选C．4．已知数列{a n}中a1=1以后各项由公式a n=a n+（n≥2）给出，则a4=（）﹣1A． B．﹣C． D．【考点】数列递推式．【分析】因为，由此可知，，．【解答】解：∵，∴，，．故选A．5．已知数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，﹣1，b1，b2，b3﹣4成等比数列，则的值是（）A． B． C．或D．【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】由等差数列的通项公式可得﹣4=﹣1+3d，求得公差d=a2﹣a1的值，由等比数列的通项公式可得﹣4=﹣1q4，求得q2的值，即得b2的值，从而求得的值．【解答】解：∵数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，由﹣4=﹣1+3d，求得公差d=a2﹣a1==﹣1．∵﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，由﹣4=﹣1q4，求得q2=2，∴b2=﹣1q2=﹣2．则==，故选A．6．已知S n为等比数列{a n}的前n项和，a1=2，若数列{1+a n}也是等比数列，则S n等于（）A．2n B．3n C．2n+1﹣2 D．3n﹣1【考点】等比数列的性质；数列的求和．【分析】根据{a n}为等比数列可知a1a3=a22，由数列{a n+1}也是等比数列可知（a1+1）（a3+1）=（a2+1）2，两式联立可得a1=a3，推断{a n}是常数列，每一项是2，进而可得S n．【解答】解：{a n}为等比数列，则a1a3=a22，数列{a n+1}也是等比数列，则（a1+1）（a3+1）=（a2+1）2得：a1+a3=2a2∴（a1+a3）2=4（a2）2=4（a1a3）∴（a1﹣a3）2=0∴a1=a3即{a n}是常数列，a n=a1=2{a n+1}也是常数列，每一项都是3故S n=2n故答案选A7．数列{a n}满足a1=1，a2=，且（n≥2），则a n等于（）A． B．（）n﹣1C．（）n D．【考点】数列递推式．【分析】将递推公式变形，得到一个新的等差数列，再求它的通项公式，然后求a n．【解答】解：∵（n≥2），∴∵a1=1，a2=，∴∴数列{}是以1为首项，以公差的等差数列，∴=∴故答案选A8．若S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，则a5与a7的等比中项为（）A． B． C． D．32【考点】等差数列的前n项和；等比数列的性质．【分析】利用等差数列的求和公式及S9=﹣36，S13=﹣104可求首项及公差d，进而可求a5与a7，等比中项为A，则A2=a5•a7，代入可求【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差为d由题意可得，解可得，a1=4，d=﹣2设a5与a7的等比中项为A，则A2=a5•a7=（﹣4）×（﹣8）=32所以，故选：C9．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值【考点】等差数列的前n项和．，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各【分析】利用结论：n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1选项，排除错误答案．【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d=a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0，a8＜0，显然C 选项是错误的．∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；故选C．10．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f（n）=n（n+1）（2n+1）吨，但如果年产量超过150吨，会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是（）A．5年B．6年C．7年D．8年【考点】函数模型的选择与应用．【分析】先化简得到第n年的产量函数，再令第n年的年产量小于等于150，即可求得该厂这条生产线拟定最长的生产期限．【解答】解：第n年的年产量y=∵∴f（1）=3，当n ≥2时，，∴f （n ）﹣f （n ﹣1）=3n 2． n=1时，也满足上式， ∴第n 年的年产量为y=3n 2． 令3n 2≤150， ∴n 2≤50， ∵n ∈N ，n ≥1 ∴1≤n ≤7∴n max =7． 故选C ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在题中横线上） 11．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n =（1﹣a n ），则数列{a n }的通项为 a n =（）n ．【考点】数列递推式．【分析】由S n =（1﹣a n ）知，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣a n +a n ﹣1，整理可得=，由S 1=a 1=（1﹣a 1）⇒a 1=，从而可知数列{a n }是首项为，公比为的等比数列，于是可求得数列{a n }的通项．【解答】解：因为S n =（1﹣a n ），所以，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（1﹣a n ）﹣（1﹣a n ﹣1）=﹣a n +a n ﹣1， 化简得2a n =﹣a n +a n ﹣1，即=．又由S 1=a 1=（1﹣a 1），得a 1=，所以数列{a n }是首项为，公比为的等比数列． 所以a n =×（）n ﹣1=（）n ．故答案为：a n =（）n12．已知{a n }为等差数列，且a 3=﹣6，a 6=0．等比数列{b n }满足b 1=﹣8，b 2=a 1+a 2+a 3，则{b n }的前n 项和S n = 4（1﹣3n ） ． 【考点】等比数列的前n 项和．【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 3=﹣6，a 6=0，∴， 解得a 1=﹣10，d=2，∴a n =﹣10+（n ﹣1）•2=2n ﹣12．设等比数列{b n }的公比为q ，∵b 2=a 1+a 2+a 3=﹣24，b 1=﹣8， ∴﹣8q=﹣24，即q=3，∴{b n }的前n 项和为S n ==4（1﹣3n ）． 故答案为：4（1﹣3n ）．13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，若n ≥2时，a n 是S n 与S n ﹣1的等差中项，则S 5= 81 ．【考点】数列的求和．【分析】根据已知条件推知数列{a n }的通项公式，从而易求S 5的值． 【解答】解：由题意知n ≥2时，2a n =S n +S n ﹣1，①∴2a n +1=S n +1+S n ，②由②﹣①得：2a n +1﹣2a n =a n +1+a n ， ∴a n +1=3a n （n ≥2），又n=2时，2a 2=S 2+S 1， ∴a 2=2a 1=2，∴数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，a n =2×3n ﹣2（n ≥2）， ∴S 5=81．故答案是：81．14．已知函数f （x ）对应关系如表所示，数列{a n }满足a 1=3，a n +1=f （a n ），则a xx = 3 ． x 1 2 3 f （x ） 3 2 1 【考点】函数的对应法则．【分析】根据表格中给出的值，归纳得到f （x ）的函数式，把a n 和a n +1代入后得到递推式以a n +1=﹣a n +4，把n 换成n +1得另外一个式子，两式作差后得出数列{a n }的规律，从而求出a xx ．【解答】解：由表可知：f （1）=3，f （2）=2，f （3）=1， 所以f （x ）=﹣x +4， 因为a n +1=f （a n ），所以a n +1=﹣a n +4① 则a n +2=﹣a n +1+4②②﹣①得：a n +2=a n ，则a xx =a 2011=…=a 1=3． 故答案为3．15．在数列{a n }中，若a n 2﹣a n ﹣12=p （n ≥2，n ∈N ×，p 为常数），则称{a n }为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n }是等方差数列，则{a n 2}是等差数列； ②{（﹣1）n }是等方差数列；③若{a n }是等方差数列，则{a }（k ∈N +，k 为常数）也是等方差数列； ④若{a n }既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列． 其中正确命题序号为 ①②③④ ．（将所有正确的命题序号填在横线上） 【考点】等差数列的性质．【分析】根据等差数列的性质及题中的等方差数列的新定义，即可判断出正确的答案． 【解答】解：①因为{a n }是等方差数列，所以a n 2﹣a n ﹣12=p （n ≥2，n ∈N ×，p 为常数）成立，得到{a n 2}为首项是a 12，公差为p 的等差数列；②因为a n 2﹣a n ﹣12=（﹣1）2n ﹣（﹣1）2n ﹣1=1﹣（﹣1）=2，所以数列{（﹣1）n }是等方差数列；③数列{a n }中的项列举出来是：a 1，a 2，…，a k ，a k +1，a k +2，…，a 2k ，…，a 3k ，… 数列{a kn }中的项列举出来是：a k ，a 2k ，a 3k ，…因为a k +12﹣a k 2=a k +22﹣a k +12=a k +32﹣a k +22=…=a 2k 2﹣a k 2=p所以（a k +12﹣a k 2）+（a k +22﹣a k +12）+（a k +32﹣a k +22）+…+（a 2k 2﹣a 2k ﹣12）=a 2k 2﹣a k 2=kp ， 类似地有a kn 2﹣a kn ﹣12=a kn ﹣12﹣a kn ﹣22=…=a kn +32﹣a kn +22=a kn +22﹣a kn +12=a kn +12﹣a kn 2=p 同上连加可得a kn +12﹣a kn 2=kp ，所以，数列{a kn }是等方差数列；④{a n }既是等方差数列，又是等差数列，所以a n 2﹣a n ﹣12=p ，且a n ﹣a n ﹣1=d （d ≠0），所以a n +a n ﹣1=，联立解得a n =+，所以{a n }为常数列，当d=0时，显然{a n }为常数列，所以该数列为常数列． 综上，正确答案的序号为：①②③④ 故答案为：①②③④三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n +1=4a n ﹣2，且a 1=2．（Ⅰ） 求证：对任意n ∈N *，a n +1﹣2a n 为常数C ，并求出这个常数C ； （Ⅱ）如果，求数列{b n }的前n 项的和． 【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】（Ⅰ） 利用S n +1=4a n ﹣2，与S n =4a n ﹣1﹣2，推出a n +1﹣2a n =（a 2﹣a 1）•2n ﹣1． 通过a 2+a 1=4a 1﹣2，a 1=2，推出a 2=4．得到C=0．（Ⅱ）利用，求出数列{b n }的通项公式，然后求出数列前n 项的和． 【解答】解：（Ⅰ）∵S n +1=4a n ﹣2，且S n =4a n ﹣1﹣2，相减得：a n +1=4（a n ﹣a n ﹣1）， a n +1﹣2a n =2（a n ﹣a n ﹣1），∴a n +1﹣2a n =（a 2﹣2a 1）•2n ﹣1． 又a 2+a 1=4a 1﹣2，∵a 1=2，∴a 2=4．∴a n +1﹣2a n =0． ∴C=0．… （Ⅱ）∵， ∴=． ，所以数列{b n }是等比数列， ∴=…17．在等比数列{a n }中，a n ＞0（n ∈N *），且a 1a 3=4，a 3+1是a 2和a 4的等差中项． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足b n =a n +1+log 2a n （n=1，2，3…），求数列{b n }的前n 项和S n ． 【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和． 【分析】（I ）求数列{a n }的通项公式，设出公比为q ，由a 1a 3=4，a 3+1是a 2和a 4的等差中项，这两个方程联立即可求出首项与公比，通项易求． （II ）若数列{b n }满足b n =a n +1+log 2a n （n=1，2，3…），由（I ）知求数列{b n }的前n 项和S n 要用分组求和的技巧． 【解答】解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ． 由a 1a 3=4可得a 22=4， 因为a n ＞0，所以a 2=2 依题意有a 2+a 4=2（a 3+1），得2a 3=a 4=a 3q 因为a 3＞0，所以，q=2.. 所以数列{a n }通项为a n =2n ﹣1 （II ）b n =a n +1+log 2a n =2n +n ﹣1 可得=18．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1=b 1=1，a 3+b 5=21，a 5+b 3=13． （Ⅰ）求{a n }、{b n }的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n 项和S n ．【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和． 【分析】（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d 和q ，进而可得{a n }、{b n }的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n 项和S n ． 【解答】解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q ＞0且 解得d=2，q=2．所以a n =1+（n ﹣1）d=2n ﹣1，b n =q n ﹣1=2n ﹣1．（Ⅱ）， ，① S n =，②①﹣②得S n =1+2（++…+）﹣， 则===．19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，点（a n ，S n ）都在直线2x ﹣y ﹣2=0的图象上．（1）求{a n }的通项公式；（2）是否存在等差数列{b n }，使得a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（n ﹣1）•2n +1+2对一切n ∈N *都成立？若存在，求出{b n }的通项公式；若不存在，说明理由． 【考点】数列与函数的综合；数列的求和． 【分析】（1）由题意得2a n ﹣S n ﹣2=0可得当n ≥2时由2a n ﹣S n ﹣2=0，2a n ﹣1﹣S n ﹣1﹣2=0两式相减可得即a n =2a n ﹣1可证（2）假设存在等差数列b n ，使得a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（n ﹣1）•2n +1+2对一切n ∈N *都成立，则n=1时，b 1，当n ≥2时由a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（n ﹣1）•2n +1+2，a 1b 1+a 2b 2+a n ﹣1b n ﹣1=（n ﹣1﹣1）•2n +2，两式相减可求 【解答】解：（I ）由题意得2a n ﹣S n ﹣2=0 当n=1时，2a 1﹣S 1﹣2=0得a 1=2当n ≥2时由2a n ﹣S n ﹣2=0（1）得2a n ﹣1﹣S n ﹣1﹣2=0（2） （1）﹣（2）得2a n ﹣2a n ﹣1﹣a n =0即a n =2a n ﹣1 因为a 1=2所以，所以a n 是以2为首项，2为公比的等比数列 所以a n =2•2n ﹣1=2n（2）假设存在等差数列b n ，使得a 1b 1+a 2b 2++a n b n =（n ﹣1）•2n +1+2对一切n ∈N *都成立 则当n=1时，a 1b 1=（1﹣1）•21+2得b 1=1当n ≥2时由a 1b 1+a 2b 2++a n b n =（n ﹣1）•2n +1+2（3） 得a 1b 1+a 2b 2+a n ﹣1b n ﹣1=（n ﹣1﹣1）•2n +2（4） （3）﹣（4）得a n b n =n •2n 即b n =n 当n=1时也满足条件，所以b n =n因为为等差数列{b n }，故存在b n =n （n ∈N *）满足条件20．已知数列{a n }满足a 1=3，a n +1﹣3a n =3n （n ∈N +）．数列{b n }满足b n =3﹣n a n ． （1）求证：数列{b n }是等差数列；（2）设S n =+++…+，求满足不等式＜＜的所有正整数n 的值．【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【分析】（1）由b n =3﹣n a n 得a n =3n b n ，则a n +1=3n +1b n +1．由此入手，能够证明数列{b n }是等差数列；（2）因为数列{b n }是首项为b 1=3﹣1a 1=1，公差为等差数列，所以，a n =3n b n =（n +2）×3n ﹣1．由此能手能够求出满足不等式的所有正整数n 的值．【解答】（1）证明：由b n =3﹣n a n 得a n =3n b n ，则a n +1=3n +1b n +1． 代入a n +1﹣3a n =3n 中，得3n +1b n +1﹣3n +1b n =3n ，即得．所以数列{b n }是等差数列．（2）解：因为数列{b n }是首项为b 1=3﹣1a 1=1，公差为等差数列， 则，则a n =3n b n =（n +2）×3n ﹣1．从而有，故．则，由，得．即3＜3n ＜127，得1＜n ≤4．故满足不等式的所有正整数n 的值为2，3，4．21．已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10=2a 5．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m ．求数列{b m }的前m 项和S m ．【考点】数列的求和；等差数列的前n 项和；等差数列的性质．【分析】（I ）由已知利用等差数列的通项公式及求和公式代入可求a 1，d ，从而可求通项 （II ）由（I ）及已知可得，则可得，可证{b m }是等比数列，代入等比数列的求和公式可求【解答】解：（I ）由已知得：解得a 1=7，d=7，所以通项公式为a n =7+（n ﹣1）•7=7n ．（II ）由，得n ≤72m ﹣1，即．∵=49∴{b m }是公比为49的等比数列，∴．xx年11月30日35664 8B50 譐27542 6B96 殖-W(26288 66B0 暰36557 8ECD 軍/L`-823162 5A7A 婺(26372 6704 朄。
高三数学上学期九月联考试题文含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校百校联盟2021届高三数学上学期九月联考试题文〔含解析〕第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.,，那么的真子集个数为〔〕A.9个B.7个C.3个D.1个【答案】C【解析】【详解】依题意：，∴故，的真子集个数为3个.应选：C点睛：1.用描绘法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进展集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】.应选：B3.分层抽样是将总体分成互不穿插的层，然后按照一定的比例，从各层HY地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法；在九章算术第三章“衰分〞中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？〞其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税一共100钱，要按照各人带钱多少的比例进展交税，问三人各应付多少税？那么以下说法错误的选项是〔〕A.甲应付钱B.乙应付钱C.丙应付钱D.三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少【答案】B【解析】依题意：由分层抽样知识可知，，那么甲应付：钱；乙应付：钱；丙应付：钱.应选：B的首项，，，成等比数列，那么〔〕A.238B.C.D.【答案】D【解析】∵，，，成等比数列，∴，即，由此得到，或者，∴，.应选：D5.运行如下列图的程序框图，假设输入的〔〕分别为、、、、、、、、、7.0，那么输出的值是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，该程序框图的作用是计算大于等于的数字的比例，故输出的的值是.应选:C点睛：算法与流程图的考察，侧重于对流程图循环构造的考察.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序构造、条件构造、循环构造，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，该几何体由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成，故所求体积为.应选：A点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的局部用实线表示，不能看到的局部用虚线表示．(2)由几何体的局部视图画出剩余的局部视图．先根据的一局部三视图，复原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下局部三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的局部三视图是否符合．(3)由几何体的三视图复原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图复原为实物图．7.，且，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得：，又，∴，那么.应选：D函数，那么以下说法错误的选项是〔〕A.假设，那么函数无零点B.假设，那么函数有零点C.假设，那么函数有一个零点D.假设，那么函数有两个零点【答案】A【解析】作出函数的图象如下列图：观察可知：当时，函数有一个零点，故A错误.应选：A：的左、右焦点分别为，，直线过点且与双曲线的一条渐进线垂直，直线与两条渐进线分别交于，两点，假设，那么双曲线的渐进线方程为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴为的中点，又∵，∴，又∵，∴，∴双曲线的渐进线的斜率为=，即双曲线的渐进线方程为.应选：B与的夹角为,向量与的夹角为，那么〔〕A. B. C.或者 D.【答案】B【解析】依题意可得：，同理：，而，又向量与的夹角为，可知：，由此解得：或者，又,∴.应选：B11.如图,点是正方形外的一点,过点作直线,记直线与直线，的夹角分别为，，假设，那么满足条件的直线〔〕A.有1条B.有2条C.有3条D.有4条【答案】D【解析】∵故可知；由于平移不改变两直线的夹角，故题目可以转化为过点的直线与直线，的夹角为的直线有多少条；记直线，的夹角为，可以求得，故,故，即，故，，故过点的直线与直线，的夹角为的直线有4条，分别在这两直线夹角及补角的平分面上应选：D的不等式有唯一整数解，那么实数的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得：,令，∴，得到减区间为；得到增区间为，∴，，，且,∴要使不等式有唯一整数解，实数m应满足,∴实数的最小值为.应选：A点睛：不等式有唯一整数解问题可以转化为两个图像的位置关系问题，观察与的图象的上下关系，只要保证上方只有一个整数满足即可.第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕的一条直径为线段，为圆上一点，，，那么向圆中任意投掷一点，该点落在阴影区域内的概率为__________．【答案】【解析】不妨设，那么所求的概率故答案为：〔，〕的图象如下列图，其中，，那么函数__________．【答案】【解析】依题意，，解得：，故，将点A带入，得：，解得：.故答案为：，满足那么的取值范围为__________．【答案】【解析】作出可行域:观察可知：，易得：,故，故答案为：点睛：此题考察的是线性规划问题，解决线性规划问题的本质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目的函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进展比较，防止出错;三，一般情况下，目的函数的最大值或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得.为数列的前项和，，假设〔〕，那么__________．【答案】【解析】当为奇数时，，那么，，，，当为偶数时，，那么，，，，又，∴故答案为：三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕中，的面积为，角，，所对的边分别是，，，且，．〔1〕求的值；〔2〕假设，求的值．【答案】(1);(2).【解析】试题分析：〔1〕由，可得：，再利用同角关系易得，又，故；〔2〕由，得，由正弦定理，得，可得,联立二者可得的值.试题解析：〔1〕因为，得，得，即，所以，又，所以，故，又∵，故，即，所以，故，故．〔2〕，所以，得①，又，所以，在中，由正弦定理，得，即，得②，联立①②，解得．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合条件灵敏转化边和角之间的关系，从而到达解决问题的目的.其根本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，施行边角之间的互化.第三步：求结果.18.如下列图，四棱锥中，平面平面，，，.〔1〕证明：在线段上存在一点，使得平面；〔2〕假设，在〔1〕的条件下，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：〔1〕取的中点，易得：四边形是平行四边形，从而，所以平面；〔2〕∵是的中点，∴到平面的间隔等于到平面的间隔的一半从而易得三棱锥的体积.试题解析：〔1〕如图，取的中点，的中点，连接，，∵是的中位线，∴，依题意得，，那么有，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．〔2〕∵平面平面，平面平面，，平面，故平面，∵是的中点，∴到平面的间隔等于到平面的间隔的一半，且平面，，∴三棱锥的高是2，，在等腰中，，，边上的高为，，∴到的间隔为，∴，∴．点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法：求一些不规那么几何体的体积时，常用割补法转化成体积公式的几何体进展解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或者几何体)的面积(或者体积)通过条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或者几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过详细作图得到三角形(或者三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．19.某产品的历史收益率的频率分布直方图如下列图：〔1〕试计算该产品收益率的中位数；〔2〕假设该产品的售价〔元〕与销量〔万件〕之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组与的对应数据：售价〔元〕25 30 38 45 52销量〔万份〕据此计算出的回归方程为，求的值；〔3〕假设从上述五组销量中随机抽取两组，求两组销量中恰有一组超过6万件的概率．【答案】(1);(2)；〔3〕.【解析】试题分析：〔1〕利用频率分布直方图求出该产品收益率的中位数；〔2〕由表格易得：，，利用回归直线经过样本中心点，求出的值;(3)利用古典概型公式求出两组销量中恰有一组超过6万件的概率.试题解析：解：〔1〕依题意，所求中位数为．〔2〕，，∴．〔3〕依题意，所有销量情况为，，，，，，，，，，恰有一组超过6万件的情况为，，，，，，故所求概率．的前项和为，假设，，〔，且〕．〔1〕求数列的通项；〔2〕求数列的前项和．【答案】(1);(2).【解析】试题分析：〔1〕利用等差数列有关公式求得根本量，，从而得到数列的通项；〔2〕利用错位相减法求数列的前项和.试题解析：〔1〕由得，且，设数列的公差为，那么由，∴，由，得，即，∴，∴，故．〔2〕；下面先求的前项和，①；②；两式相减得，∴〔〕．故的前项和为．点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要擅长识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n〞与“qS n〞的表达式时应特别注意将两式“错项对齐〞以便下一步准确写出“S n－qS n〞的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，假设等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.：过点，点，是椭圆上异于长轴端点的两个点．〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕直线：，且，垂足为，，垂足为，假设且，求中点的轨迹方程．【答案】(1);(2)点的轨迹方程为〔〕.【解析】试题分析：〔1〕点带入椭圆方程，解得，易得椭圆的离心率；〔2〕由，且，易得：.分类讨论直线AB的斜率情况，联立椭圆方程，易得：，借助韦达定理，易得〔〕.试题解析：〔1〕依题意，，解得，故椭圆的方程为，那么其离心率为．〔2〕设直线与轴相交于点，，，由于，即，且，得，〔舍去〕或者，即直线经过点，设，，的中点，①直线垂直于轴时，那么的重担为；②直线与轴不垂直时，设的方程为，那么整理得，，，，消去，整理得〔〕．经检验，点也满足此方程．综上所述，点的轨迹方程为〔〕．，．求函数的单调递增区间；假设，，且，，，务实数a的取值范围．【答案】(1)函数的单调递增区间为;(2).【解析】试题分析：〔1〕,解得,从而得到增区间；〔2〕，，等价于对恒成立，或者对恒成立，而，只需研究的符号情况即可.试题解析：〔1〕依题意，，令，解得，故函数的单调递增区间为．〔2〕当，对任意的，都有；当时，对任意的，都有；故对恒成立，或者对恒成立，而，设函数，．那么对恒成立，或者对恒成立，，①当时，∵,∴，∴恒成立，∴在上单调递增，，故在上恒成立，符合题意．②当时，令，得，令，得，故在上单调递减，所以，而，设函数，，那么，令，那么〔〕恒成立，∴在上单调递增，∴恒成立，∴在上单调递增，∴恒成立，即，而，不合题意．综上，故实数的取值范围为.。
高三上学期9月联考数学试题及答案
高三上学期9月联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5 分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合A =x x 2-x -2≤0 ，B =x y =x -1 ，则A ∪B =()A.1,2B.-1,+∞C.-1,1D.1,+∞2.已知角θ的终边经过点P 32,-12，则角θ可以为()A.5π6B.2π3C.11π6D.5π33.已知A ，B 为两个随机事件，P A ，P B >0，则“A ，B 相互独立”是“P A B =P A B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f x 是f x 的导函数，f x 是f x 的导函数，则曲线y =f x 在点x ,f x 处的曲率K =fx1+fx 232.已知f x =ln x -cos x -1 ，则曲线y =f x 在点1,f 1 处的曲率为()A.0B.24C.22D.25.已知函数f x =2sin ωx +φ ω>0,0<φ<π2 的部分图象如图，f x 1 =f x 2 =-32，则cos π6x 2-x 1 =()A.-34B.-74C.34D.746.已知(mx +1)n n ∈N *,m ∈R 的展开式只有第5项的二项式系数最大，设(mx +1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，若a 1=8，则a 2+a 3+⋯+a n =()A.63B.64C.247D.2557.已知tan α,tan β是方程ax 2+bx +c =0a ≠0 的两根，有以下四个命题：甲：tan α+β =-12；乙：tan αtan β=7:3；丙：sin α+β cos α-β =54；丁：tan αtan βtan α+β -tan α+β =5:3.如果其中只有一个假命题，则该命题是()A.甲B.乙C.丙D.丁8.已知函数f x =ax ln x -x 2+3-a x +1a ∈R ，若f x 存在两个极值点x 1，x 2x 1<x 2 ，当x 2x 1取得最小值时，实数a 的值为()A.0B.1C.2D.3二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2021年高三三校9月联考数学(文)试题 含答案
2021年高三三校9月联考数学（文）试题含答案本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
第一部分选择题（共50分）一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集,集合,,则集合（）A．B． C．D．2.如果复数为纯虚数,则实数的值 ( )A. 等于1B. 等于2C. 等于1或2D. 不存在3．为假命题,则的取值范围为（）A． B. C. D.4．对某商店一个月30天内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53C．47，45，56 D．45，47，535．设是两条不同直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是（）A．且则B．且,则C．则D．则6.如图,三棱柱的棱长为2,底面是边长为2的正三角形,,正视图是边长为2 的正方形,俯视图为正三角形,则左视图的面积为（）A．4 B． C． D．27．若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（）A．B．C．或D．8．函数的图像大致是( )9．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示平面区域的面积等于2，则的值为（）A. -5B. 1C. 2D. 310．已知函数在点（1,2）处的切线与的图像有三个公共点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第二部分 非选择题（100分）二、填空题：本题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分(一)必做题(11～13题)11．已知向量(3,1),(0,1),(,3),2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则 .12．在中，角的对边为，若，则角= .13．数列满足表示前n 项之积,则=_____________.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. （几何证明选讲选做题）如图所示，是⊙的两条切线，是圆上一点，已知，则= .15. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为（，曲线、曲线的交点为，则弦长为 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知向量，函数·，且最小正周期为．（1）求的值；（2）设，求的值．17.（本小题满分12分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者。
2021年高三9月测试数学(文)试题 含答案
2021年高三9月测试数学（文）试题含答案本试卷分选择题和非选择题两部分共24题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题（共60分，每小题5分）1.设集合，，，则=A． B． C． D．2.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A. B. C. D.3．设函数，若，则A. B. C. D.4. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．其中，“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程.则在这段时间内，该车每千米平均耗油量为A．升 B．升 C．升 D．升5. 下列命题，正确的是A. 命题“，使得”的否定是“，均有”B. 命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题C. 命题“若，则”的逆否命题是真命题D. 命题“若，则”的否命题是“若，则”6.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是A.若，垂直于同一平面，则与平行B.若，平行于同一平面，则与平行C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线D.若，不平行，则与不可能垂直于同一平面7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A. B.C. D.58. 设R，定义符号函数则函数的图象大致是正视图侧视图9．若函数图象上的任意一点的坐标满足条件，则称函数具有性质，那么下列函数中具有性质的是A． B． C． D．10. 如图，在正方体中，、分别是、的中点，则下列说法错误的是A． B．C． D．平面11．已知函数，，则是的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．不是充分条件，也不是必要条件12.已知函数是定义在上的函数, 若存在区间，使函数在上的值域恰为，则称函数是型函数．给出下列说法：①函数不可能是型函数；②若函数是型函数, 则，；③设函数是型函数, 则的最小值为；④若函数是型函数, 则的最大值为．下列选项正确的是A．①③ B．②③ C．①④ D．②④第Ⅱ卷非选择题（90分）二、填空题（共20分，每小题5分）13. 函数的定义域为．14. 若定义在R上的可导函数是奇函数，且对，恒成立．如果实数满足不等式，则的取值范围是 .15. 三棱锥中，三条侧棱,底面三边,则此三棱锥外接球的表面积是 .16. 若函数有且只有一个零点，则的取值范围是 .三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知命题：“方程恰好有两个不相等的负根”；命题：“不等式存在实数解”．若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．18.（本小题满分12分）已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间和极值；(Ⅱ)求函数闭区间上的最小值.19.（本小题满分12分）已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万只还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款手机万只并全部销售完，每万只的销售收入为万元，且(Ⅰ) 写出年利润(万元)关于年产量(万只)的函数解析式；(Ⅱ) 当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．20.（本小题满分12分）在三棱柱中，侧棱底面，为的中点，，，.(Ⅰ)求证：平面；（Ⅱ）求多面体的体积.21.（本小题满分12分）已知函数， (为常数)．(Ⅰ) 函数的图象在点)处的切线与函数的图象相切，求实数的值；(Ⅱ) 若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围；(Ⅲ) 若，，且，都有成立，求实数的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，是⊙的一条切线，切点为，都是⊙的割线，(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)证明：∥.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，射线与曲线交于（不包括极点）三点.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)当时，求三角形的面积．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲(Ⅰ) 求证：；(Ⅱ) 若是不全相等的实数，求证：.答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B BDDCCA A C D13. 14. 15. 16.19.解：(1) 当0<x ≤40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40；当x>40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以，W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x>40.(2) ① 当0<x ≤40，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W(32)＝6 104；② 当x>40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取最大值为6 104. 20．(Ⅰ) 证明：连接B 1C 交BC 1于O ，连接OD ．∵ O ，D 分别为B 1C 与AC 的中点， OD 为△AB 1C 的中位线， OD//AB 1．又∵ AB 1平面BDC 1， OD 平面BDC 1，∴ AB 1//平面BDC 1．（Ⅱ）解：连接A 1B ，取BC 的中点E ，连接DE ，如图． ∵ A 1C 1=BC 1，∠A 1C 1B=60º， ∴ △A 1C 1B 为等边三角形． ∵ 侧棱BB 1⊥底面A 1B 1C 1， ∴ BB 1⊥A 1B 1，BB 1⊥B 1C 1， ∴ A 1C 1=BC 1=A 1B ==．∴ 在Rt △BB 1C 1中， B 1C 1==2，于是，A 1C 12= B 1C 12+A 1B 12， ∴ ∠A 1B 1C 1=90º，即A 1B 1⊥B 1C 1， ∴ A 1B 1⊥面B 1C 1CB ． 又∵ DE//AB//A 1B 1，∴ DE ⊥面B 1C 1CB ，即DE 是三棱锥D-BCC 1的高． ∴ = ==．∴ 321111111-⨯=-=∆--BB S V V V C B A C BC D ABC C B A =．21．解：(1) 因为f(x)＝lnx ，所以f ′(x)＝1x ，因此f ′(1)＝1，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y ＝x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝12x 2－bx ，得x 2－2(b ＋1)x ＋2＝0.由Δ＝4(b ＋1)2－8＝0，得b ＝－1± 2. (还可以通过导数来求b)(2) 因为h(x)＝f (x)＋g(x)＝lnx ＋12x 2－bx(x ＞0)，所以h ′(x)＝1x ＋x －b ＝x 2－bx ＋1x，由题意知h ′(x)＜0在(0，＋∞)上有解，因为x ＞0，设u(x)＝x 2－bx ＋1，因为u(0)＝1＞0， 则只要⎩⎪⎨⎪⎧b 2＞0，－b 2－4＞0，解得b ＞2，OE所以b的取值范围是(2，＋∞)．(3) 不妨设x1＞x2，因为函数f(x)＝lnx在区间[1,2]上是增函数，所以f(x1)＞f(x2)，函数g(x)图象的对称轴为x＝b，且b＞2.当b≥2时，函数g(x)在区间[1,2]上是减函数，所以g(x1)＜g(x2)，所以|f(x1)－f(x2)|＞|g(x1)－g(x2)|等价于f(x1)－f(x2)＞g(x2)－g(x1)，即f(x1)＋g(x1)＞f(x2)＋g(x2)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx＋12x2－bx在区间[1,2]上是增函数，等价于h′(x)＝1x＋x－b≥0在区间[1,2]上恒成立，等价于b≤x＋1x在区间[1,2]上恒成立，所以b≤2. 又b≥2，所以b＝2；Z25554 63D2 插 r]38056 94A8 钨25108 6214 戔22875 595B 奛23684 5C84 岄29657 73D9 珙?24Y。
高三数学9月份联考试题文含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校仁寿一中等西南四八校2021届高三数学9月份联考试题文〔含解析〕本卷须知：2.答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选凃其它答案标号。
答复非选择题时，将答案在答题卡上，写在套本套试卷上无效。
3.在在考试完毕之后以后，将木试卷和答题卡一起交回。
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一个选项是符合题目要求的。
{}0,1A =，{}1,0B =-，那么A B =〔〕A.{}0,1B.{}1,0,1-C.{}0D.{}1,0-【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义写出A ∪B ． 【详解】集合A ＝{0，1}，B ＝{﹣1，0}，那么A ∪B ＝{﹣1，0，1}． 应选：B ．【点睛】此题考察了并集的概念及列举法表示集合的形式，是根底题． 2.()()131i i +-=〔〕A.42i +B.24i +C.22i -+D.22i -【解析】 【分析】把复数乘积展开，化简为a +bi 〔a 、b ∈R 〕的形式，可以判断选项． 【详解】∵〔1+3i 〕〔1-i 〕＝1+3+3i-i ＝4+2i 应选：A ．【点睛】此题考察复数代数形式的运算，是根底题．x ∈R ，那么“21x <〞是“31x <〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】求出不等式的等价形式，结合充分条件和必要条件的定义进展判断即可． 【详解】由2x<1得x<0，由“x 3<1〞得x ＜1，x<0是x ＜1的充分不必要条件 那么“2x<1〞是“x 3<1〞的充分不必要条件， 应选：A ．【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决此题的关键．p ：0x ∀>，lg 0x >，那么p ⌝是〔〕A.0x ∀>，lg 0x ≤B.00x ∃>，0lg 0x < C.0x ∀>，lg 0x < D.00x ∃>，0lg 0x ≤【答案】D【分析】p ：∀x ＞0，总有lgx ＞0， p 为：∃x 0＞0，使得lg x 0≤0，应选：D ．{}n a 中，242a a +=，53a =，那么{}n a 的前6项和为〔〕A.6B.9C.10D.11【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列{a n }通项公式列方程组求出a 1，d ，由此能求出{a n }的前6项和． 【详解】∵在等差数列{a n }中，a 53=，a 2+a 4＝2，∴1111433242a d a d a d a d +=⎧⎨+++=+=⎩，解得a 11=-，d 1=， ∴{a n }的前6项和S 6的值：616562S a d ⨯=+=61⨯-+（）15×19=． 应选B ．【点睛】此题考察等差数列的前n 项和的公式，考察等差数列的通项公式的应用，考察运算求解才能，是根底题．0a >，0b >，2ab =，那么2+a b 的最小值为〔〕A. B.4C.D.6【答案】B【分析】由a +2b a +2b 的最小值．【详解】∵a ＞0，b ＞0，ab ＝2，∴a +2b 4=，当且仅当a ＝2b ＝2时取等号， ∴a +2b 的最小值为4． 应选：B ．【点睛】此题考察了根本不等式的应用，关键是等号成立的条件，属根底题．()()506f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的局部图像，假设AB 4=，那么()1f -=〔〕A.-1B.1C.32-D.32【答案】D 【解析】 【分析】由图可设A 〔a ，那么B 〔a 2T +，AB =〔2T ，，利用向量模的坐标运算，求得T 2πω==4，从而可得ω的值，代入x=-1计算可得结果．【详解】设A 〔a ，函数f 〔x 〕=〔ωx +56π〕的周期为T ，那么B 〔a 2T+，，∴AB =〔2T ，224T =+12=16， ∴T 2＝16， ∴T 2πω==4，解得：ω2π=．∴f 〔x 〕=〔2πx +56π〕，∴f 〔-1〕32=，【点睛】此题考察函数y ＝A sin 〔ωx +φ〕的图象解析式确实定及应用，涉及向量模的坐标运算及其应用，属于中档题．[]6,9-内任取一个实数m ，设()2f x x mx m =-++，那么函数()f x 的图像与x 轴有公一共点的概率等于〔〕 A.815B.35C.23D.1115【答案】D 【解析】 【分析】利用f 〔x 〕＝﹣x 2+mx +m 的图象与x 轴有公一共点，可得m ≤﹣4或者m ≥0，根据在[﹣6，9]内任取一个实数m ，以长度为测度，可求概率．【详解】∵f 〔x 〕＝﹣x 2+mx +m 的图象与x 轴有公一共点， ∴△＝m 2+4m ≥0，∴m ≤﹣4或者m ≥0，∴在[﹣6，9]内任取一个实数m ，函数f 〔x 〕的图象与x 轴有公一共点的概率等于4690119615-++-=+． 应选：D ．【点睛】此题考察概率的计算，确定以长度为测度是关键，是根底题． 9.()f x 是定义在R 上的奇函数，且在(),-∞+∞上是减函数，12f ，那么满足()232f x -<的实数x 的取值范围是〔〕 A.()1,1- B.()2,0-C.()2,2-D.()0,2【答案】C 【解析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f 〔﹣1〕的值，结合函数的单调性分析可得231x ->-，解可得x 的取值范围．【详解】根据题意，函数f 〔x 〕是R 上的奇函数，假设f 〔1〕＝﹣2，那么f 〔﹣1〕＝﹣f 〔1〕＝2，那么()232(1)f x f -<=-，又由函数在(),-∞+∞上为减函数， 那么有231x ->-，解可得：24x <，即x 的取值范围是〔-2，2〕； 应选：C ．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性的综合应用，得出f 〔﹣1〕=2是关键．20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，那么ABP △面积的取值范围是A.[]26，B.[]48，C.D.⎡⎣【答案】A 【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线间隔，得到点P 到直线间隔范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,那么AB =点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为〔2，0〕，那么圆心到直线间隔1d ==故点P 到直线x y 20++=的间隔2d 的范围为那么[]2212,62ABPSAB d ==∈ 故答案选A.点睛：此题主要考察直线与圆，考察了点到直线的间隔公式，三角形的面积公式，属于中档题。
2021届湖南省百校联考高三上学期9月月考数学试题(解析版)
2021届湖南省百校联考高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．若sin1000a ︒=，则cos10︒=（ ）A ．a -B ．C ．aD【答案】A【解析】由1000360380︒=︒⨯-︒，利用诱导公式sin1000cos10︒=-︒，即可求值. 【详解】因为()()sin1000sin 360380sin 80︒=︒⨯-︒=-︒sin80cos10a =-︒=-︒=， 所以cos10a ︒=-. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的诱导公式，考查运算求解能力. 2．设集合2{|}A x x x =<，2}6{|0B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．（0，1）B ．()()3,01,2-⋃C ．（－3，1）D ．()()2,01,3-⋃【答案】B【解析】化简集合A ，B ，根据交集运算即可求值. 【详解】因为2{|}A x x x =<(,0)(1,)=-∞⋃+∞，26{|}(32)0,B x x x =+-<=-所以()()3,01,2A B ⋂=-⋃. 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的运算，属于中档题. 3．下列四个数中，最大的是（ ） A ．0.1log 6 B ．2log 9C ．3log 12D ．4log 15【答案】B【解析】根据对数的性质，判断各选项对数值所在的区间即可知它们的大小关系.【详解】因为0.1log 60<，2log 93>，32log 123<<，41log 152<<，所以最大的是2log 9. 故选：B 【点睛】本题考查对数大小的比较，考查逻辑推理的核心素养. 4．若01b <<，则“3a b >”是“a b >”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】因为01b <<，所以32(1)0b b b b -=->，即3b b >， 故a b >可推出3a b >， 而3a b >推不出a b >，（例如11,42ab ） 故“3a b >”是“a b >”的必要不充分条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，不等式的性质，属于中档题. 5．函数()2sin cos f x x x x x =-在[,]-ππ上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性，排除AC ，再由特殊值验证，排除B ，即可得出结果. 【详解】因为()2sin (cos )f x x x x x f x =-+=--，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A 与C.又因为2sin cos 3066666126f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛=⋅-⋅=< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，所以排除B.故选：D. 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题型.6．设集合{}24A y y x x a ==-+，{}2sin 2sin B y y x x ==-+，若A B A ⋃=，则a 的取值范围是（ ） A ．(,5]-∞ B ．[1,)+∞ C ．(,1]-∞ D ．[5,)+∞【答案】C【解析】由二次函数的性质求出24y x x a =-+的值域，即可求出[4,)A a =-+∞，由二次函数的性质和正弦函数的性质即可求出[3,1]B =-，结合两个集合的关系，即可得到关于a 的不等式，从而可求出a 的取值范围. 【详解】因为224(2)44y x x a x a a =-+=-+-≥-，所以[4,)A a =-+∞.因为22sin 2sin (sin 1)1y x x x =-+=--+，因为[]sin 1,1x ∈-，所以[3,1]y ∈-，所以[3,1]B =-.因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，则43a -≤-，即1a ≤. 故选:C.【点睛】本题考查集合的并集与二次函数的值域，考查运算求解能力.7．某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间t （单位：时）的变化近似满足函数关系11()sin 5(0,916)36f t A t A t ππ⎛⎫=-+>≤≤⎪⎝⎭，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（ ） A ．1万 B ．9千C ．8千D ．7千【答案】B【解析】利用当14t =时，()7f t =，求出4A =，由916t ≤≤，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】下午两点整即14t =，当14t =时，()7f t =. 即17sin576A π+=，∴4A =， ∵当916t ≤≤时，1136t ππ-∈77,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∴当115362t πππ-=时，()f t 取得最大值，且最大值为459+=. 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的性质求解析式、三角函数的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M 大约是30210⨯千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量m 大约是24610⨯千克.下列各数中与mM最接近的是（ ） （参考数据：lg30.4771≈，lg60.7782≈） A ． 5.51910- B ． 5.52110-C ． 5.52510-D ． 5.52310-【答案】D【解析】根据题意，得到6310mM-=⨯，两边同时取以10为底的对数，根据题中条件，进行估算，即可得出结果. 【详解】因为6310m M -=⨯，所以6lg lg3lg100.47716 5.5229 5.523m M-=+≈-=-≈-. 故5.52310mM-≈. 故选：D. 【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.二、多选题9．若tan 2tan 54x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan x 的值可能为（ ）A ．3-B ．2-C ．3D ．2【答案】BD【解析】先设tan x t =，再化简原式进行代换，解得t 值，即得tan x 的值. 【详解】 设tan x t =，22222tan tan 1212(1)tan 2tan 41tan 1tan 111x x t t t t x x x x t t t π++-+⎛⎫-+=-=-= ⎪-----⎝⎭222(1)1t t t -+=-22151t t +==-，232t ∴=，故tan 2x t ==±. 故选：BD. 【点睛】本题考查了换元法和三角恒等变换，属于基础题.10．设命题:(0,)p a ∃∈+∞，3()1f x x ax =-+在(1,)+∞上是增函数，则（ ） A ．p 为真命题B ．p ⌝为(0,)a ∀∈+∞，3()1f x x ax =-+在(1,)+∞上是减函数C ．p 为假命题D ．p ⌝为(0,)a ∀∈+∞，3()1f x x ax =-+在(1,)+∞上不是增函数 【答案】AD【解析】用特值可检验命题p 的真假；特称命题的否定改写即可. 【详解】当1a =时，2()310f x x '=->对(1,)x ∈+∞恒成立，故p 为真命题.因为“是增函数”的否定为“不是增函数”，所以p ⌝为“(0,)a ∀∈+∞，3()1f x x ax =-+在(1,)+∞上不是增函数”. 故选：AD. 【点睛】本题考查特称命题的否定与导数的应用，考查推理论证能力.11．已知函数()f x =，则（ ）A ．()f x 的极值点不止一个B ．()f x 的最小值为C ．()f x 的图象关于y 轴对称D ．()f x 在(],0-∞上单调递减【答案】BCD【解析】计算得出()f x =C 选项的正误；分析函数()f x 的单调性可判断A 、C 、D 选项的正误. 【详解】因为()2222424f x x x =++=++()0f x =>，所以()f x =函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -===，所以，函数()f x 为偶函数，它的图象关于y 轴对称，C 选项正确； 当0x ≥时，函数()f x 单调递增；当0x ≤时，函数()f x 单调递减. 所以，函数()f x 的极值点有且只有一个，A 选项错误，D 选项正确；由上可知，()()min 0f x f ==，B 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查函数的综合，考查了函数的单调性、奇偶性、最值以及极值点个数的判断，化简函数()f x 的解析式是解题的关键，属于中等题.12．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()2()f x xf x f x x '<<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．(2)(1)2f f > B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+ D ．(2)1(1)42f f +< 【答案】BD【解析】根据题设的不等关系构造2()()f x x g x x -=，()()f x h x x=，并求得它们的导函数，即可联系已知不等关系确定函数的单调性，进而可知(2)f 、(1)f 的不等关系. 【详解】 设2()()f x xg x x -=，()()f x h x x=，(0,)x ∈+∞， 则[]243()12[()]()2()()f x x x f x x xf x f x x g x x x '---'-+'==，2()()()xf x f x h x x '-'=.∵()()2()f x xf x f x x '<<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则()0g x '<，()0h x '>， ∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，()h x 在(0,)+∞上单调递增， 则(1)(2)g g >，(1)(2)h h <，即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <， ∴(2)1(2)(1)422f f f +<<. 故选：BD 【点睛】本题考查导数与不等式的综合应用，考查构造函数的方法的灵活应用与推理论证能力.三、填空题13．已知函数453,0(),0x x f x x a x -≥⎧=⎨+<⎩且(1)(1)f f -=，则曲线()y f x =在点(2, (2))f --处的切线方程为________.【答案】32470x y ++=【解析】先根据条件求a 值，再求导利用导数几何意义得到切线斜率，求切点，根据点斜式写方程即可. 【详解】因为(1)1(1)2f a f -=+==，所以1a =. 因为当0x <时，3()4f x x ，所以(2)32f '-=-.又(2)17f -=，所以所求切线方程为1732(2)y x -=-+， 即3247y x =--，即32470x y ++=. 故答案为：32470x y ++= 【点睛】本题考查了导数的几何意义与分段函数求值，考查运算求解能力，属于基础题.14．已知曲线sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于直线1x =对称，则ω的最小值为________.【答案】3π【解析】由题意可得出ω的表达式，由此可求得ω的最小值. 【详解】因为曲线sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于直线1x =对称，所以()62k k Z ππωπ+=+∈，所以()3k k Z πωπ=+∈，当0k =时，ω取最小值为3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数的最值，考查计算能力，属于中等题. 15．不等式1345x x +<+的解集为__________. 【答案】（－1，1） 【解析】作出函数13x y +=，45y x =+的图象，求出两个图象的交点坐标，观察图象可得结果. 【详解】在同一直角坐标系中，作出函数13x y +=，45y x =+的图象，这两个图象的交点为（－1，1），（1，9），故由图可知不等式1345x x +<+的解集为（-1，1）. 故答案为：（－1，1）【点睛】本题考查利于数形结合解决不等式的解集问题，考查指数函数的图象，属于基础题. 16．关于函数()cos 22|cos |f x x x =-有如下四个命题： ①()f x 的最小值为32-； ②()f x 在2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； ③()f x 的最小正周期为π；④方程()2f x =(0,)π内的各根之和为2π. 其中所有真命题的序号是________. 【答案】①②③④【解析】应用三角恒等变换转化函数式，可得到含有余弦绝对值的二次函数式，结合二次函数最值、复合函数的单调性可求()f x 的最小值、在2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调性，利用周期判定有()()f k x f x π+=即可知最小正周期，根据()()f x f x π-=知在(0,)π上关于2x π=对称即可求得各根的和.【详解】2213()2cos 12|cos |2|cos |22f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，当1|cos |2x =时，()f x 取得最小值且最小值为32-，当2,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，|cos |y x =单调递增且1|cos |,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()f x 在2,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.由213()2|cos()|22f k x k x ππ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭2132|cos |()22x f x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭且k Z ∈，所以()f x 的最小正周期为π.因为213()2|cos()|22f x x ππ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭2132|cos |()22x f x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线2x π=对称，由()f x =得11)|cos |2x ±==，则方程()f x =(0,)π内有四个根，且各根之和为422ππ⨯=.故答案为：①②③④. 【点睛】本题考查三角函数的性质与复合函数问题，考查逻辑推理的核心素养.四、解答题17．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的n S 存在最大值，则求出最大值；若问题中的n S 不存在最大值，请说明理由.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析【解析】若选①，求出数列{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，求出通项公式和前n 项和，通过讨论n 的奇偶性，求出其最大值即可； 若选②，求出数列{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，求出通项公式和前n 项和，求出其最大值即可；若选③，求出217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.【详解】 解：选①因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列， 所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为81132n⎛⎫+⎪⎝⎭随着n 的增加而减少，所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时，81132n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且81814323n n S ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭ 综上，n S 存在最大值，且最大值为4. 选②因为116n n a a +-=-，14a =.所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列， 所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭. 由125066n -+≥得25n ≤， 所以n S 存在最大值.且最大值为25S （或24S ）， 因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-， 所以217a a -=-，326a a -=-，…19n n a a n --=-， 则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=， 又14a =，所以217242n n n a -+=.当16n ≥时，0n a >， 故n S 不存在最大值. 【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题 18．2020年3月，受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线学习.为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查（其中男生与女生的人数之比为2∶1），结果发现男生中有10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意.（1）请完成如下2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若从全市学生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.附：参考公式22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++.【答案】（1）列联表见解析；没有；（2）分布列见解析，期望为910. 【解析】（1）根据题中数据，直接完善列联表即可；再由公式求出2K ，结合临界值表，即可得出结论；（2）由题意，得到X 的可能取值为0，1，2，3，且3~3,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭，求出对应的概率，进而可得分布列，由二项分布的期望计算公式，即可求出期望. 【详解】（1）由题意可知抽取的60名学生中男生有40人，女生有20人，则列联表如下：因为2260(1012308)101.4292.706184240207K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关” （2）X 的可能取值为0，1，2，3，由题意可知，3~3,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭， 则37(0)103431000P X ⎛⎫= ⎪⎝⎭==，3214411037(100)0110P X C ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==， 3221891037(2100)100P X C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，33(3)10271000P X ⎛⎫= ⎪⎝⎭== 所以随机变量X 的分布列为因此期望为：()31010E X =⨯=. 【点睛】本题主要考查完善列联表，考查独立性检验的思想，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型.19．在ABC 中，cos 4cos A C =，sin 14C =. （1）求B ；（2）若ABC 的周长为5求ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）2. 【解析】（1）由同角间的三角函数关系求出cos ,cos ,sin C A A ，从而结合诱导公式可求得cos B 可得B 角；（2）由正弦定理可得三边长之比，结合周长可得三边长，再由三角形面积公式计算面积． 【详解】（1）因为sin 14C =，所以cos C ==.若cos 0C =<，则40cosA cosC =<，从而A ，C 均为钝角.这不可能，故cos C =，cos =A ，sin A =. 所以()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+12==， 因为0B π<<.所以3B π=.（2）由（1）知sin :sin :sin 2:3A B C ==，由正弦定理得::23BC AC AB =.设3AB k =，则AC =，2BC k =，则ABC 的周长为(55k =解得1k =，从而2BC =，3AB =，故ABC 的面积1sin 2S AB BC B =⋅⋅⋅=. 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和的正弦公式及诱导公式，考查正弦定理及三角形面积公式，旨在考查学生的运算求解能力，属于中档题．20．如图，已知AC BC ⊥，DB ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，过点D 且垂直于DB的平面α与平面BCD 的交线为l ，1AC BD ==，BC =，2AE =.（1）证明：l ⊥平面AEC ；（2）设点P 是l 上任意一点，求平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）60︒.【解析】（1）由题意可知BD ⊥平面α，则有BD l ⊥，又BD ⊥平面ABC ，则可得出BD AC ⊥，从而得出l //BC ，再证明BC ⊥平面AEC 即可证明l ⊥平面AEC ； （2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，然后计算平面PAE 和平面ACD 的法向量，通过法向量夹角的余弦值来计算. 【详解】解：（1）证明：因为BD α⊥，BD ⊥平面ABC ， 所以α//平面ABC ， 又α平面BCD l =，平面ABC平面BCD BC =，所以BC //l .因为EA ⊥平面ABC ， 所以BC AE ⊥. 又BC AC ⊥，AEEA A =，所以BC ⊥平面AEC ， 从而l ⊥平面AEC .（2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -， 则()0,1,0A ，()0,0,0C ，)3,0,1D，()0,1,2E ，设(),0,1P a ，平面PAE ､平面ACD 的法向量分别为()111,,m x y z =，()222,,n x y z =， 则(),1,1AP a =-，()0,0,2AE =，()0,1,0AC =-，()3,0,1CD =.因为m ⊥平面PAE ，所以1111020ax y z z -+=⎧⎨=⎩，令11x =，得1y a =，10z =，即()1,,0m a =.同理22230yx z-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21x=，得2y=，23z=-，即()1,0,3n=-.因为21cos,221m na=≤+，当且仅当0a=时取等号，所以平面PAE与平面ACD所成锐二面角的最小值为60︒.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查考利用空间向量求解面面夹角，考查学生的基本运算能力与逻辑推理能力，难度一般.21．已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为坐标轴，且C经过点()4,6A.（1）求A到C的焦点的距离；（2）若C的对称轴为x轴，过（9，0）的直线l与C交于M，N两点，证明：以线段MN为直径的圆过定点.【答案】（1）203；（2）证明见解析.【解析】（1）分抛物线C的对称轴为x轴与y轴进行讨论，可得抛物线C的方程，再根据抛物线的几何意义可得A到C的焦点的距离；（2）设直线l的方程为9x my=+，设()()1122,,,M x y N x y，线段MN的中点为()00,G x y，联立抛物线和直线，可得12y y+，12y y的值，可得以线段MN为直径的圆的方程，可得证明.【详解】（1）解：当C的对称轴为x轴时，设C的方程为()220y px p=>，将点A的坐标代入方程得2624p=⋅，即92p=，此时A到C的焦点的距离为25424p+=.当C的对称轴为y轴时，设C的方程为()220x py p=>，将点A 的坐标代入方程得2426p =⋅.即43p =. 此时A 到C 的焦点的距离为20623p +=. （2）证明：由（1）可知，当C 的对称轴为x 轴时，C 的方程为29y x =.直线l 斜率显然不为0，可设直线l 的方程为9x my =+， 设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y .由299y x x my ⎧=⎨=+⎩得29810y my --=， 则129y y m +=，1281y y =-，所以120922y y m y +==，212091822x x m x ++==，且MN ==以线段MN 为直径的圆的方程为22200||()()2MN x x y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭即()2229290x m x y my -++-=，即()221890x x y m mx y -+-+=，令0mx y +=，则2180x x y +=2-，因为m R ∈.所以圆()221890x x y m mx y -+-+=过定点（0，0），从而以线段MN 为直径的圆过定点. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查学生的综合分析能力与计算能力，属于中档题22．已知函211()()().22xf x x e a x =-++ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）()0,∞+.【解析】（1）求函数的导数，讨论0a ≥和0a <，分别解导数不等式即可得到函数的单调性.（2）由（1）的单调性，可求得函数的极值，由极值的正负和函数的单调性可得函数的零点个数，从而得到a 的取值范围. 【详解】 （1）()1()22xf x x e a ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭. 当0a ≥时，令()0f x '<，得1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭， 令()0f x '>，得1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭. 故()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增.当0a <时，令()0f x '=，得112x =-，2ln(2)x a =-.①当1ln(2)2a -=-即2a e=-时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当1ln(2)2a -<-即0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.③当1ln(2)2a ->-即a <时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增. （2）当0a >时，由（1）可知()f x 只有一个极小值点12x =-.且102f e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，102f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 当x →-∞时，102x x e ⎛⎫-→ ⎪⎝⎭，212a x ⎛⎫+→+∞ ⎪⎝⎭， 从而()f x →+∞，因此()f x 有两个零点. 当0a =时，1()2xf x x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭此时()f x 只有一个零点，不符合题意.当2a e=-时，()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点.当0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ()()()()2ln 211ln ln 222ln 22a a a a f e a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦- ()()211ln ln 22222a a a a ⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦-，其中()22n 01l 2a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-<，()n 0221l a -<-，()1ln 0222a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦--， 则()2ln 0f a ⎡⎤<⎣⎦-，即函数的极大值小于0， 则()f x 在R 上不可能有两个零点；当a <时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增，102f e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，即函数的极大值小于0，则()f x 在R 上不可能有两个零点；综上，若()f x 有两个零点，a 的取值范围是()0,∞+. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的零点个数问题，考查分析问题的能力和计算能力，属于中档题.。
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2021届百校联盟旧高考高三上学期9月联考
数学（文）试卷
★祝考试顺利★
(含答案)
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分,测试时间120分钟。
5.考试范圃：必修1～5,选修1－1,1－2。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若z＝2－i,则|z2－z|＝
A.3
B.2
C.10
D.26
2.设集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)>0},B＝{－1,0,2,4},则A∩B＝
A.{－1,4}
B.{2,4}
C.{0,2}
D.{0,2,4}
3.我国古代的宫殿金碧辉煌,设计巧夺天工,下图(1)为北京某宫殿建筑,图(2)为该宫殿某一“柱脚”的三视图,其中小正方形的边长为1,则根据三视图可知,该“柱脚”的表面积为
A.9π＋2＋9
B.18π＋29
C.18π＋2＋18
D.18π＋2＋18
4.从3,5,7,9,10中任取3个数作为边长,不能够围成三角形的概率为
A.
3
10
B.
7
10
C.
1
5
D.
2
5
5.已知两个随机变量x,y呈现非线性关系。
为了进行线性回归分析,设u＝2lny,v＝(2x－3)2,。