《22.2二次函数与一元二次方程》教学课件
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《二次函数与一元二次方程》(上课)课件PPT1
有两个交点:
有两个不相等的 实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
学习目标(1分钟)
1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的 近似根.
2.能利用图象确定方程的根和不等式的解集。
还可以解一元二自次学方指导一(3分钟) 思程考求：近由似图值象如何估计一元二次方程x2 +2x-10=0的根？ 由图象知方程有两个根，一个在-5和-4之间，另一个在2 和3之间. (1)先求-5和-4之间的根.
(2)经过_1_0_s ，炮弹落在地上爆炸．
3.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数 y=ax2+bx+c与直线__y_=_h___交点的__横__坐标.
变式：（2019春•天心区校级期中）函数y=ax²+bx+c 的图象 如图所示，那么关于一元二次方程ax²+bx+c-2=0的根的情况
对应值：
x
1
1.1 1.2 1.3 1.4
y
-1 -0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x²+3x-5=0的一个近似根是( C )
A.1
B.1.1
C.1.2
D.1.3
2.在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)
与飞行时间x(s)的关系满足:y=-x2＋10x． (1)经过_5___s，炮弹达到最高点，最高点的高度是_2_5_m．
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 因此x=-4.3是方程的一用个图近象似法根求一元二次 (2)另一个根可以类似的方求程出的：近似根时，结 x 2.1 2.2 2.3 果只2.取4到十分位
22.2 二次函数与一元二次方程(优秀经典公开课比赛课件)
x2－x＋1＝0 的根的判别式△_______0．
A ．无解 B ．x＝1 C ．x＝－4 D ．x＝－1 或 x＝4
探究点二：二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中的不
等关系 【类型一】利用抛物线解一元二次不等式
抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则 关 于 x 的 不等 式 ax2＋bx＋ c＞ 0 的 解集 是
()
A ．x＜2 B ．x＞－3 C ．－3＜x＜1 D ．x＜－3 或 x＞1
归纳：二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴交点有三
种情况： ①有两个交点， ②有一个交点， ③没有交点．
类型二】利用二次函数图象与 x 轴交点坐标
确定抛物线的对称轴
如图，对称轴平行于 y 轴的抛物线与 x 轴交
于(1，0)，(3，0)两点， 则它的对称轴为________．
【类型三】利用函数图象与 x 轴交点情况确
定字母取值范围
若函数 y＝m x2＋(m ＋2)x＋12m ＋1 的图象与 x 轴只有一个交点，那么 m 的值为( ) A ．0 B ．0 或 2 C ．2 或－2 D ．0，
2 或－2
类型四】利用抛物线与 x 轴交点坐标确定一
元二次方程的解
小兰画了一个函数 y＝x2＋ax＋b 的图象如图，则关于 x 的方程 x2 ＋ax＋b＝0 的解是( )
探索新知 探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与 x 轴交点情况判断
探索二次函数与一元二次方程： 二次函数 y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2 的图象如图所示．
(1)每个图象与 x 轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2＋2x＝0，x根吗？ (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2＋ bx＋c＝0 的根有什么关系？
A ．无解 B ．x＝1 C ．x＝－4 D ．x＝－1 或 x＝4
探究点二：二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中的不
等关系 【类型一】利用抛物线解一元二次不等式
抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则 关 于 x 的 不等 式 ax2＋bx＋ c＞ 0 的 解集 是
()
A ．x＜2 B ．x＞－3 C ．－3＜x＜1 D ．x＜－3 或 x＞1
归纳：二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴交点有三
种情况： ①有两个交点， ②有一个交点， ③没有交点．
类型二】利用二次函数图象与 x 轴交点坐标
确定抛物线的对称轴
如图，对称轴平行于 y 轴的抛物线与 x 轴交
于(1，0)，(3，0)两点， 则它的对称轴为________．
【类型三】利用函数图象与 x 轴交点情况确
定字母取值范围
若函数 y＝m x2＋(m ＋2)x＋12m ＋1 的图象与 x 轴只有一个交点，那么 m 的值为( ) A ．0 B ．0 或 2 C ．2 或－2 D ．0，
2 或－2
类型四】利用抛物线与 x 轴交点坐标确定一
元二次方程的解
小兰画了一个函数 y＝x2＋ax＋b 的图象如图，则关于 x 的方程 x2 ＋ax＋b＝0 的解是( )
探索新知 探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与 x 轴交点情况判断
探索二次函数与一元二次方程： 二次函数 y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2 的图象如图所示．
(1)每个图象与 x 轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2＋2x＝0，x根吗？ (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2＋ bx＋c＝0 的根有什么关系？
《二次函数——二次函数与一元二次方程》数学教学PPT课件(4篇)
观察比较，小组讨论得出结果：
= +
与x轴的交点是： ,
y= − +
与x轴的交点是： ,
= − +
与x轴没有交点
+ =
−,
解得： =
= −
− + =
解得： =
− + =
0
5 x
新知探究
x
1
1
16
（-2，0）
课堂小结
二次函数y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0之间的关系：
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是
一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
2.b2-4ac>0⇔抛物线与x轴有2个交点⇔方程有两个不相等的实数根.
新知探究
1
2
例题：已知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+ (m2+1)=0有实数根.
(1)求m的值.
1
2
(2)先作y=x2-(m+1)x+ (m2+1)的图象关于x轴的对称图形,然后
将所作图形向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,写
出变化后图象的解析式.
(3)在(2)的条件下,当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点
k的值为
.
拓展提升
5.一元二次方程 − + = 的根与二次函数 = − +
的图像有什么关系？试把方程的根在图像上表示出来.
y
1
o
2
4
x
二次函数与一元二次方程PPT精品课件
(3)你能从中得到什么启发?
从“形”的方面看，函数 yx2 x3 的图象与x轴交点的横坐标即
4
为方程
x2
x3 4
0的解；从“数”的方面看，当二次函数
yx2 x3 4
的函数值为0的解
；
-5-
二、信息交流，揭示规律
问题2：下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如
（1）1s和3s时 （3）达不到20.5m
（2）2s时 （4）4s时小球落回地面
-4-
二、信息交流，揭示规律
问题1：画出函数 yx2 x3 的图象，根据图 4
象回答下列问题.
(1)图象与x轴交点的坐标是什么？（-0.5，0） （1.5，0）
(2)当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程
x2 x30有什么关系? 当=-0.5或=1.5时，y＝0 4
22.2 二次函数与一元二次方程
宁江初中 ：马继科
2021年3月4日
-2-
一：设计问题，创设情境
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况
可由 _b_2_-4_a__c确定。
2、在式子h=50-20t2中，如果h=15，那么50-
20t2= _1_5__ ； 如果h=20，那么50-20t2= _2_0_ ；如果h=0，那 么50-20t2= _0__。
求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点。 3、两人合作，一人画出二次函数的图象，
另一个同学说出相应一元二次方程的解；
-10-
四：变练演编，深化提高
4、在下列情形中，如果a>0，抛物线 y=ax2+bx+c的顶点在什么位置？ （1）方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根； （2）方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根； （3）方程ax2+bx+c=0无实数根。
二次函数与一元二次方程之间的关系PPT课件
人教版 九年级上
第22章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程之
间的关系
提示：点击 进入习题
1
ax2＋bx＋c＝0；y＝0； 横
6
B
2A
7C
3C
8C
4A
9C
5 没有；有一个；有两个 10 见习题
答案显示
11 见习题 12 见习题 13 见习题
答案显示
1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点横坐标， 就是求一元二次方程_a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0___的两个根；一元
1．家庭电路是最常见、最基本的实用电路，它由两根 _进__户__线___、_电__能__表___、_总__开__关___、_保__险__装__置_、用电器 和导线等组成。家庭电路中的各用电器之间是 ___并___联的；控制用电器的开关与用电器____串____联 ，接在____火____线和用电器之间。
∴方程 2ax2＋3x＋1＝0 有实数解． ∴Δ＝9－8a≥0，解得 a≤98. 又∵a≠0，∴a≤98且 a≠0.
(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足 m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；
解：根据题意可得抛物线C：y＝－x2＋2x－1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∵a＜0，∴抛物线开口向下． 当y＝－4时，有－x2＋2x－1＝－4，解得x＝－1或x＝3. ①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大， ∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4，则m＝－3；
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x___≥__－__1___时，y 的值随x值的增大而增大；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数 根，求k的取值范围．
第22章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程之
间的关系
提示：点击 进入习题
1
ax2＋bx＋c＝0；y＝0； 横
6
B
2A
7C
3C
8C
4A
9C
5 没有；有一个；有两个 10 见习题
答案显示
11 见习题 12 见习题 13 见习题
答案显示
1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点横坐标， 就是求一元二次方程_a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0___的两个根；一元
1．家庭电路是最常见、最基本的实用电路，它由两根 _进__户__线___、_电__能__表___、_总__开__关___、_保__险__装__置_、用电器 和导线等组成。家庭电路中的各用电器之间是 ___并___联的；控制用电器的开关与用电器____串____联 ，接在____火____线和用电器之间。
∴方程 2ax2＋3x＋1＝0 有实数解． ∴Δ＝9－8a≥0，解得 a≤98. 又∵a≠0，∴a≤98且 a≠0.
(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足 m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；
解：根据题意可得抛物线C：y＝－x2＋2x－1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∵a＜0，∴抛物线开口向下． 当y＝－4时，有－x2＋2x－1＝－4，解得x＝－1或x＝3. ①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大， ∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4，则m＝－3；
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x___≥__－__1___时，y 的值随x值的增大而增大；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数 根，求k的取值范围．
22.2 二次函数与一元二次方程 课件 2021-2022学年人教版 数学 九年级 上册
△＞0
例题 答案：
例题
答案：有(2.5,0),(-1,0) 归纳：一元二次方程
,则抛物线
例题 不与x轴相交的抛物线是（ D ）
练习——求交点 （0，-5）
与x轴交于点 （2.5，0），（-1，0） .
练习——判断交点个数
A.0个
B.1个
C.2个
C D.3个
练习——判断交点个数
C
A. 无交点 C. 有两个交点
①abc＞0； ②b=2a； ③a+b+c＜0； ④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0． 正确有___4___个．
例题 C
A
B
C
D
练习
a>0, b<0, c>0, △>0.
练习
a>0, b>0, c=0, △>0.
练习
a<0, b<0, c>0, △>0.
练习
a>0, b<0, c>0, △=0.
为一个常数（定值）时
一般地，当 y 取定值时，二次函数为一元二次方程 如：y=5
讨论
我们已经知道， 当 y 取定值时，二次函数为一元二次方程
换而言之 已知二次函数y的值，求自变量的值
求一元二次方程的根
思考
没有公共点
公共点的横坐 标是-2和1
公共点的 横坐标是 3
这些二次函数的图象与x轴有公共点吗？ 如果有，公共点的横坐标分别是多少？
B. 只有一个交点 D. 不能确定
练习——已知交点反求参数 .
练习——已知交点反求参数 16
练习——已知交点反求参数 8
练习——已知交点反求参数 .
九年级上《22.2二次函数与一元二次方程》课件
2．自主探究：
问题1
以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的 方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线． 如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h （单位 ：m ）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关 系 h = 20t - 5t 2． （2）小球的飞行高度能否达到 20 m？ 如能，需 要多少飞行时间？
归纳 一般地，从二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象可知： （1）如果抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴有公共点， 公共点的横坐标是 x0，那么当 x = x0 时，函数值是 0， 因此 x = x0 是方程 ax 2 + bx + c = 0 的一个根． （2）二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴的位置 关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共 点． 这对应着一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的根的三种 情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等 的实数根．
y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点
方程ax2+bx+c=0 的根
b2-4ac
函数的图象
y . o y o y o . x
有两个交点
方程有两个不相等 b2-4ac 的实数根
> 0
只有一个交点 方程有两个相等 b2-4ac = 0
的实数根
x
没有交点
方程没有实数根
b2-4ac
< 0
x
2．小组合作，类比探究
1．复习知识，回顾方法
问题1:一次函数y=kx+b与一次方程 kx+b=0之间有什么关系？
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第22章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程
2
3
4
5
6
7
7.利用二次函数的图象求方程1
1 2
x +x+2=0的近似解(精确到0.1).
2
解: 函数 y=-2x2+x+2 的图象如图.
1 2
设-2x +x+2=0
的两根分别为 x1,x2,且 x1<x2,观察图象可知
-2<x1<-1,3<x2<4.
1
因为当 x=-1 时,y=-2×(-1)2-1+2=0.5>0,
的交点个数是3.故选A.
A
解析
关闭
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
3.已知二次函数y=x2-2ax+a2-2a-4(a为常数)的图象与x轴有交点,且
当x>3时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是(
)
A.a≥-2
B.a<3
C.-2≤a<3
D.-2≤a≤3
关闭
D
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
4.(2023·浙江宁波中考)已知二次函数y=ax2-(3a+1)x+3(a≠0),下列说
1
时,y=-2×(-1.5)2-1.5+2=-0.625<0,
当 x=-1.5
所以-1.5<x1<-1.
因为当 x=3
1 2
时,y=-2×3 +3+2=0.5>0,当
1
时,y=- ×3.52+3.5+2=-0.625<0,
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深入探究
问题4 下列二次函数的图象与x轴有没有公共点？ 若有,求出公共点的横坐标；当x取公共点的横坐标 时，函数的值是多少？
2
（1）y x x 2；
2 2
（2）y x 6 x 9；
（3）y x x 1．
明确结论
2 y ax bx c 二次函数
2 ax bx c 0 的关系： 与一元二次方程
二次函数的图象 一元二次方程 一元二次方程根的 和x轴交点个数 的根的情况 判别式Δ =b2-4ac 2 两不等实数根 0
1
0
两相等实数根
无实数根
0
0
例题精析
例：利用函数图象求方程 x 2 2 x 2 0 的实数根（精 确到0.1）
巩固练习
１．填空： 2 已知二次函数 y x x 6 的图象如图所示： 图象与x轴有 个交点， 交点的横坐标是 ,则方程有 个根， 2 x 方程 x 6 0 的根是 ；
y4 –5 –6
x
6
–4
–3
–2
1
2
3
4
x
巩固练习
2 x 5x 6 0 的根． ２．用图象法求方程
函数
y=ax2+bx+c(a≠0)
方程
ax2+bx+c=0(a ≠0)
横坐标的值 图象与x轴交点 个数 根
反思收获
（1）这节课你学到了哪些知识？ （2）在用图象法解一元二次议程理要注意 哪些问题？ （3）这节课你体会到了哪些数学方法和数 学思想？
布置作业
教科书习题22．2第１题，第２题．
象与一元二次 方程的解有什 么关系？
感知应用
问题3 已知二次函数 x的值？
y x 4x 的值为3,求自变量
2
结论：
2 ax bx c 0的两个根为 x1 , x2 ， 一元二次方程
2 y ax bx c与x轴的交点坐标是 则抛物线
( x1,0),( x2 ,0)
问题思考
问题2 考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多 少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多 少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间？
图象验证
你能结合所画图象指出为什么有两个时间球 的高度是15m或0m？为什么只在一个时间 二次函数的图 球的高度是20m?
第二十二章 二次函数 二次函数与一元二次方程
北京市第二十中学 王云松
温故知新
１．解一元一次方程x+1=0； ２．画一次函数y= x+1的图象，并指出函数 y= x+1的图象与x轴有几个交点，交点的横坐标 是什么？
问题1 一元一次方程x+1=0 与一次函数y= x+1 有 什么联系？
问题情境
如图22.2-1，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角 的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果 不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行 时间t（单位：s）之间具有关系： h＝20t-5t2