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常微分期末试题及答案
常微分期末试题及答案[正文开始]第一部分：选择题1. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x + c 在区间 [0, 1] 上是增函数，则实数 c 的取值范围是：A) c > 1/4B) c > -1/4C) c < 1/4D) c < -1/4答案：A) c > 1/4解析：当 f(x) 是增函数时，f'(x) > 0。
对于 f(x) = 3x^2 + 2x + c，求导得到 f'(x) = 6x + 2。
显然当 x > -1/3 时，f'(x) > 0，即 c > 1/4。
2. 解微分方程 dy/dx = x^2 + 1 的通解为：A) y = (1/3)x^3 + x + CB) y = (1/3)x^3 + CC) y = (1/3)x^2 + x + CD) y = (1/3)x^2 + C答案：A) y = (1/3)x^3 + x + C解析：对方程 dy/dx = x^2 + 1 进行积分，得到 y = (1/3)x^3 + x + C，其中 C 为积分常数。
3. 设三角函数f(x) = sin(2x + π/3)，则 f'(x) = ？A) 2cos(2x + π/3)B) 2cos(2x - π/3)C) 2cos(2x)D) 2cos(2x + π/6)答案：B) 2cos(2x - π/3)解析：根据链式法则，对sin(2x + π/3) 求导，得到 f'(x) = 2cos(2x +π/3) * 2 = 2cos(2x - π/3)。
4. 设 f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则 f(g(2)) = ？A) e^2B) e^3C) 2D) ln(2)答案：A) e^2解析：首先求 g(2) = ln(2)，然后将结果代入 f(x) = e^x 中计算，得到 f(g(2)) = f(ln(2)) = e^ln(2) = 2。
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
常微分方程期末选择题试题库
选 择 题1、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) 2-210x x += (B) 2'y xy =(C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂ (D) 2 y x c =+(c 为常数）2、下列微分方程是线性的是（ ）(A)22' y x y =+ (B)2" xy y e +=(C)2"0 y x += (D)2'-y y xy =3、方程2-2 "3' 2xy y y x e++=特解的形状为( )(A)2-2 1 x y ax ey = (B) 2-21 () x y ax bx c e =++ (C)22-21 ()x y x ax bx c e =++ (D) 22-21 ()x y x ax bx c e =++4、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A) 4, x (B) 2,2, x x x (C)225,cos ,sin x x (D) 21,2,,x x5、微分方程2-yxdy ydx y e dy =的通解是( )(A)(-) yx y c e = (B)()yx y e c =+ (C)()xy x e c =+ (D) (-)yy x c e =6、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A)20 t dt xdx += (B)sin 1x =(C) 1 y x c =++(c 为常数） (D) 22220u ux y ∂∂+=∂∂7、下列微分方程是线性的是（ ）(A)2'1y y =+ (B)11dy dx xy=+ (C)2 ' y by cx += (D) 4'0y xy += 8、方程 "-2' 2(cos 2sin )xy y y e x x x +=+特解的形状为( )(A) 1[()cos sin ]x y e Ax B x C x =++ (B) y e Ax x C x x1=+[cos sin ](C)y e Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ] (D)y xe Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ]9、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A)31, , x x (B)222,,x x x(C)21,sin ,cos2x x (D)225,sin (1),cos (1)x x ++10、微分方程2-ydx xdy y exdx =的通解是( )(A)() x y x e c =+ (B)( ) x x y e c =+ (C)(-) x x y c e = (D)(-)xy x e c =11、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A)22-10 x y += (B) 2' x y y=(C) 222222u u u x y∂∂∂=+∂∂∂ (D) 2x y c +=(c 为常数）12、下列微分方程是线性的是（ ）(A) dy dx y x = (B)2y '+6y '=1 (C)y '=y 3+sin x (D)y '+y =y 2cos x13、方程y ''+y =2sin x 特解的形状为( )(A) )sin cos (1x B x A x y += (B) y Ax x 1=sin (C)y Bx x 1=cos (D)y Ax x x 12=+(cos sin )14、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A) 0,1, t (B) e t，2e t,e -t(C)e t e t t t --3322sin ,cos (D) t t t t ,||,242+15、微分方程ydx-xdy=x 2e xdx 的通解是( )(A) y=x(c+e x ) (B) x=y(c+e x ) (C) x=y(c-e x ) (D) y=x(c-e x)16、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) x 2+y 2-z 2=0 (B) y ce x=(C)∂∂∂∂u t ux=22 (D) y=c 1cost+c 2sint (c 1,c 2为常数） 17、下列微分方程是线性的是（ ）(A) )(t x ' -x=f(t) (B)3y '+y=cos x (C) x +2y '=y '' (D) y '+(1/3)y =y 418、方程y ''-2y '+3y =e -xcos x 特解的形状为( )(A)y A x B x 1=+cos sin (B) y Aex1=-(C)y e A x B x x1=+-(cos sin ) (D)y Axe x x1=-cos19、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A)23,,t t t e e e (B) 20,, t t(C) )22cos(),1(sin 12++t t ，(D) 4-t,2t-3,6t+820、微分方程xdx-ydy=y 2e ydy 的通解是( )(A) x=y(e y + c) (B) x=y(c-e y ) (C) y=x(e x +c) (D) y=x(c-e y)21、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) x 3+1=0 (B) y ce x= (C)∂∂∂∂u t ux=22 (D) ''+=y y e x 2'22、下列微分方程是线性的是（ ）(A)y ''+y 2=1+x (B)y '2+y=cosx (C)y '-2y=2x 2(D) xdx+ydy=023、方程''-+=-y y y e x69163'特解的形状为( )(A) 31x y Ae = (B)y Ax e x123=(C) y Axe x 13= (D) y e A x B x x1333=+(sin cos )24、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A)2,,xxxe xe x e (B) 222,cos , cos x x (C) 2 1,2,x (D) 5420,,x x e x e x25、微分方程ydx-xdy=2x 2e xdx 的通解是( )(A) y=x(c-2e x ) (B) x=y(c+2e x ) (C) x=y(c-2e x ) (D) y=x(c+2e x) 26、微分方程dy dx y x tg yx=+的通解为（ ） (A) 1sin y xcx = (B) sin y x =x +c (C) sin yx =c x (D) sin x y =c x27、微分方程2y y ''=(y ')2的通解（）(A) (x-c )2(B) c 1(x -1)2+c 2(x +1)2(C) c 1+(x -c 2)2(D) c 1(x -c 2)228、微分方程xdy-ydx=y 2e ydy 的通解为（）(A) y=x(e x +c) (B) x=y(e y +c) (C) y =x(c-e x ) (D) x=y(c-e y)29、微分方程y ''-2y '-3y =0的通解*y 为（）(A)c x c x 123+ (B) c x cx123+ (C) c e c e x x 123+- (D) c e c e x x 123-+30、微分方程y ''-3y '+2y =2x -2e x的特解y *的形式是（）(A) (ax+b)e x (B) (ax+b)xe x (C) (ax+b)+ce x (D) (ax+b)+cxe x31、通过坐标原点且与微分方程dydxx =+1的一切积分曲线均正交的曲线方程是( ) (A) e x y-=+1 (B) e x y ++=10 (C) e x y =+1 (D) 222y x x =+32、设y(x)满足微分方程(cos 2x)y ¹+y=tgx 且当x=π/4时y=0，则当x =0时y =( )(A) π/4 (B) -π/4 (C) -1 (D) 133、已知y=y(x) 的图形上点M(0,1)处的切线斜率k=0，且y(x)满足微分方程''=+y y 12(')，则y(x)=( )(A) sin x (B)cos x (C) shx (D) chx 34、微分方程y ''-2y '-3y =0的通解是y =( )(A)33x x ++ (B) c x c x123+(C) c e c e x x 123+- (D) c e c e x x123-+ 35、设y x y x y x 123(),(),()是线性非齐次方程d y dxa x dydx b x y f x 22++=()()()的特解， 则y c c y x c y x c y x =--++()()()()11211223(A) 是所给微分方程的通解 (B) 不是所给微分方程的通解 (C) 是所给微分方程的特解(D) 可能是所给微分方程的通解 也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解36、设 y(x)满足 y 'sinx=yLny ，且y (π/2)=e ，则y (π/4)=（ ）(A) e /2 (B)-1e (C) e 21- (D) e 23-37、微分方程2cos 0yn ytgx y x -+=的通解是（ ）(A) arctgx c + (B)1x ()arctgx c + (C) 1arctgx c x + (D) 1arctgx c x++38、微分方程(1+y 2)dx=(arctgy-x)dy 的通解为（ ）(A) x arctgy ce arctgy=-+-1 (B) x arctgy cearctgy=-++1(C) x arctgy cec arctgy=-++ (D) x arctgy ce c arctgy =-+39、微分方程''+=y y x 4212cos 的通解为y=（ ）(A) e c x c x c x +++1223 (B) c x c x c 1223++ (C) c e c x c x 123++ (D) c x c x c 13223++40、微分方程''-''+=y y y x 76sin 的通解是 y =（ ）(A) e x x x-++574774sin cos (B) c e c x c e c x x x 1234+++-sin cos(C) ()()c c x e c c x e x x1233+++- (D) ()sin ()cos c c x x c c x x 1233+++41、通过坐标原点且与微分方程dydxx =+1的一切积分曲线均正交的曲线方程是( )(A) e x y -=+1 (B) e x y ++=10 (C) e x y =+1 (D) 222y x x =+42、设y(x)满足微分方程xy ¹+y-y 2Lnx=0且当y(1)=1,则y(e)=( )(A) 1/e (B) 1/2 (C) 2 (D) e 43、已知()y y x =满足()()x xy y dx y xy x dy 2222220+-++-=，且(1)1y =则y 122+⎛⎝ ⎫⎭⎪=( ) (A) 1 (B) 1/2 (C) 22 (D) 122+ 44、微分方程''=+y xy x 212'满足初始条件y x ==01, y x '==03的特解是y=( ) (A)x x 33++ (B) x x 331++ (C) x x 23++ (D) x x 231++45、微分方程''++=y y y 6130'的通解是y=( )(A) ec x c x x -+31222(cos sin ) (B) e c x c x x 21233(cos sin )-(C) e c x c x x31222(cos sin )- (D) e c x c x x-+21233(cos sin )46、微分方程y yxc '++=20满足y x ==20的特解y =（ ）(A) 4422x x - (B)x x 2244- (C))2ln (ln 2-x x (D))2ln (ln 12-x x47、微分方程y ytgx y x 'cos -+=20的通解是（ ）(A)1()cos x c x y =+ (B) ()cos y x c x =+ (C) 1cos x x c y=+ (D) cos y x x c =+48、微分方程(y 2-6x )y ' +2y=0的通解为（ ）(A) 2x-y 2+cy 3=0 (B) 2y-x 3+cx 3=0 (C) 2x-cy 2+y 3=0 (D) 2y-cx 3+x 3=049、微分方程''+=y y x 4212cos 的特解的形式是y=（ ） (A) cos2a x (B) cos2ax x(C)sin2cos2 a x b x + (D)sin2cos2 ax x bx x +50、满足微分方程''-''+=y y y x 76sin 的一个特解 y*=（ ）(A)ex x x-++574774sin cos (B)e x x x ++574774sin cos(C)ex x x-++6574774sin cos (D)e e x x x x --+++6574774sin cos51、初值问题"40,(0)0,'(0)1y y y y +===的解是()y x =（ ）（其中其通解为1212()sin 2cos2,,y x c x c x c c =+为任意常数）(A)1sin 23x (B)1sin 22x (C)1sin33x （D ）1sin32x52、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A)42310x x x +-+= (B) 2"'y y x +=(C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂ (D)2u v w =+53、下列微分方程是线性的是（ ）(A)2"'y xy y x ++= (B)22'y x y =+ (C)2"()y xy f x -= (D)3"'y y y -= 54、已知(,)F x y 具有一阶连续偏导，且(,)()F x y ydx xdy +为某一函数的全微分，则（ ）(A) F F x y ∂∂=∂∂ (B)F F x y x y ∂∂=∂∂ (C)F F x y x y ∂∂-=∂∂ (D)F Fy x x y∂∂=∂∂55、设123(),(),()y x y x y x 是二阶线性非齐次微分方程"()'()()y P x y Q x y f x ++=的三个线性无关解，12,c c 是任意常数，则微分方程的解为( )(A)11223c y c y y ++ (B)1122123(1)c y c y c c y ++-- (C)1122123()c y c y c c y +-+ (D)1122123(1)c y c y c c y +--- 56、若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则()f x 为（ ） (A)2x e ln (B)22x e ln (C)2x e ln + (D)22xe ln +57、若3312,x xy e y xe ==，则它们所满足的微分方程为（ ）(A)"6'90y y y ++= (B)"90y y -= (C)"90y y += (D)"6'90y y y -+=58、设123,,y y y 是二阶线性微分方程"()'()()y p x y q x y r x ++=的三个不同的特解，且1223y y y y --不是常数，则该方程的通解为（ ）(A)11223c y c y y ++ (B)1122231()()c y y c y y y -+-+(C)11232c y c y y ++ (D)112223()()c y y c y y -+- 59、设()f x 连续，且满足方程()1()()f tx dt nf x n N =∈⎰，则()f x 为（ ）(A)1n ncx- (B)(c c 为常数） (C)sin c nx (D)s cco nx60、设12,y y 是方程"()'()0y p x y q x y ++=的两个特解，则1122y c y c y =+（12,c c 为任意常数）（ ）(A)是此方程的通解 (B)是此方程的特解 (C)不一定是该方程的解 (D)是该方程的解 61、方程22(2)"(2)'(22)0x x y x y x y ---+-=的通解为（ ）(A)12x y c e c =+ (B)12x x y c e c e -=+ (C)212x y c e c x =+ (D)12xy c e c x =+62、微分方程"'1xy y e -=+的一个特解形式为（ ）(A)x ae b + (B)x axe bx + (C)x ae bx + (D)xaxe b + 63、方程22()(2)0pxy y dx qxy x dy --+=是全微分的充要条件是（ ）(A)4,2p q == (B)4,2p q ==- (C)4,2p q =-= (D)4,2p q =-=-64、表达式22[cos()][cos()3]x y ay dx by x y x dy +++++是某函数的全微分，则（ ）(A)2,2a b == (B)3,2a b == (C)2,3a b == (D)3,3a b ==65、方程"'"'xy y y y xe -+++=是特解形式为（ ）(A)()xax b e-+ (B)()xx ax b e -+(C)2()xx ax b e -+ (D)[()cos 2()sin 2]xe ax b x cx d x +++66、方程"2'xy y y xe -+=的特解*y 的形式为（ ）(A) xaxe (B)()x ax b e + (C)()x x ax b e + (D)2()xx ax b e + 67、已知1cos y wx =与23cos y wx =是微分方程2"0y w y +=的解，则1122y c y c y =+是（ ）(A) 方程的通解 (B)方程的解，但不为通解 (C)方程的特解 (D)不一定是方程的解68、方程"3'232xy y y x e -+=-的特解*y 的形式为（ ）(A) ()x ax b e + (B)()x ax b xe + (C)()x ax b ce ++ (D)()xax b cxe ++69、方程22"3'2xy y y x e-++=特解的形式为（ ）(A) 22xy ax e-= (B)22()xy ax bx c e-=++(C)22()xy x ax bx c e -=++ (D)222()xy x ax bx c e -=++70、下列函数在定义域内线性无关的是（ ）(A) 4x (B)22x x x ⋅⋅ (C)225cos sin x x ⋅⋅ (D)212x x ⋅⋅⋅71、微分方程2yxdy ydx y e dy -=的通解是（ ）(A)()yx y c e =- (B)()yx y e c =+ (C)()xy x e c =+ (D)()yy x c e =-72、方程5,3dx dyx y x dt dt=-+-=-的奇点为（ ） (A)（0,0） (B) (0,5) (C) (5,5) (D) (5,0)73、（0,0）为系统,23dx dyy x y dt dt==--的（ ） (A) 鞍点 (B) 结点 (C) 中心 (D) 焦点74、方程dx dy dz xz yz xy==的首次积分是（ ） (A)2xy z c -= (B)2x c y= (C)2x yz c -= (D)2xz x c -=75、方程22222dx dy dzx y z xy xz==--的首次积分是（ ） (A) 2x y z c x ++= (B)222x y z cy++= (C)y c x = (D)z c x =76、系统22dxx y dtdy x y dt⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩的奇点类型为（ ）(A) 稳定结点 (B) 不稳定结点 (C) 稳定焦点 (D) 不稳定焦点77、系统3474dxx y dt dy x y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩的奇点类型为（ ）(A) 鞍点 (B) 焦点 (C) 中心 (D) 结点78、方程"xy y xe-+=有形如（ ）特解(A)xy Axe -= (B)21()x y Ax Bx c e -=++(C)1()x y Ax B e -=+ (D)xAe -79、方程2"6'13(512)t x x x e t t ++=-+特解形状为（ ）(A)21()t x At Bt c e =++ (B)1()tx At B e =+（C)1t x Ate = (D)1tx Ae =80、方程"2'2cos xy y y e x --+=的特解形状为（ ）(A)1cos x y A xe -= (B)1sin xy A xe -=(C)1(cos sin )x y e A x B x -=+ (D)1xy Ae -=81、方程"2'2cos tx x x te t -+=的特解形状为（ ）(A)21()cos tx At Bt c e t =++ (B)21()sin t x At Bt c e t =++(C)1(cos sin )t x e A t B t =+ (D)221()cos ()sin t tx At Bt c e t Dt Et F e t =++++82、微分方程()()0xyyx ye e dx xee dy ---++=的通解为（ ）(A)xyye xe c -= (B)yxye xe c -= (C)x y ye xe c --= (D)x yye xe c --=83、微分方程(sin 2sin )(cos 2cos )0x xe y y x dx e y x dy -++=的通解为（ ）(A)sin 2cos xe y y x c += (B)s 2cos xe co y y x c += (C)sin cos xe y y x c += (D)s 2cos xe co y y x c +=84、微分方程(2)0yye dx x xy e dy -+=的通解为（ ）(A)2yxe y c += (B)2y e y c x += (C)y xe xy c += (D)y y e c x+=85、方程2(3)20xe y dx xydy ++=的通解为（ ）(A)32x xe x y c += (B)232(2)xx x e x y c -+=(C)232(22)x x x e x y c --+= (D)232(2)x x e x y c -+=86、下列方程为常微分方程的是（ ）(A)2220x y z ++= (B)22u u ux y y∂∂∂+=∂∂∂ (C)sin sin y A t B t =+ (D)'x y Ae =87、方程432422(22)(3)0y y xy e xy y dx x y e x y x dy +++--=的积分因子为（ ）(A)21()x x μ= (B)1()x xμ= (C)41()y y μ= (D)21()y y μ=88、方程(2)0y ye x xy e dy -+=的积分因子为（ ）(A)21()x x μ=(B) 1()x xμ= (C)21()y y μ= (D) 1()y y μ=89、方程2(3)20xe y dx xydy ++=的积分因子为（ ）(A) 1()x xμ=(B)2()x x μ= (C) 1()y y μ= (D) 2()y y μ=90、方程(1)0y xy dx xdy --+=的积分因子为（ ）(A)()x x e μ= (B)()xx e μ-= (C)()y y e μ= (D)()yy eμ-=91、方程23(225)(22)0x y y dx x x dy ++++=的积分因子为（ ）(A) 1()x x μ=(B)21()1x x μ=+ (C) 1()y y μ= (D)21()1y y μ=+92、方程3222(1)0xy dx x y dy +-=的积分因子为（ ）(A) 1()x x μ=(B) 21()x xμ= (C) 1()y y μ= (D) 21()y y μ=93、方程(2cos )0xxe dx e ctgx y y dy ++=的积分因子为（ ）(A)()sin x x μ= (B)()s x co x μ= (C)()sin y y μ= (D)()s y co y μ=94、方程22()0ydx x y x dy -++=的积分因子为（ ）(A) 21()x x μ= (B) 21()y y μ= (C)221(,)x y x y μ=+ (D)1(,)x y x y μ=+95、方程3222()0y dx x xy dy +-=的积分因子为（ ）(A) 21x μ= (B)1xy μ= (C)221x y μ= (D)21x y μ=96、方程36330x y x dx dy y y x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的积分因子为（ ）(A)x μ= (B)y μ= (C)xy μ= (D)2x y μ=97、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) 2-210x x += (B) 2'y xy =(C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂ (D) 2 y x c =+(c 为常数）98、下列微分方程是线性的是（ ）(A)22' y x y =+ (B)2" xy y e +=(C)2"0 y x += (D)2'-y y xy =。
高等数学题库常微分方程
高等数学题库常微分方程第6章常微分方程习题一一、填空题： 1、微分方程1sin 2=+''-'''x y y 的阶数为__________。
2、设某微分方程的通解为()xex c c y 221+=，且00==x y，10='=x y 则___________1=c ，_____________2=c 。
3、通解为xce y =（c 为任意常数）的微分方程是___________。
4、满足条件()()=+?dx x f x f x2的微分方程是__________。
5、 y y x 4='得通解为__________。
6、1+=y dxdy的满足初始条件()10=y 的特解为__________。
7、设()n c c c x y y =,,,21是微分方程12=+'-'''y y x y 的通解，则任意常数的个数__________=n 。
8、设曲线()x y y =上任意一点()y x ,的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程为___________。
二、求下列微分方程满足初始条件的特解： 1、y y x y ln sin ='，e y x ==2π2、()0sin 1cos =-+-ydy e ydx x ，40π==x y3、yx ey -='2，00==x y4、xdx y xdy y sin cos cos sin =，4π==x y三、求下列微分方程得通解：1、1222+='y y y x 2、2211y y x -='-3、0ln =-'y y y x4、by ax e dx dy+= 5、022=---'x y y y x 6、xy y dx dy x ln = 四、验证函数xe c x c y 21+=是微分方程()01=-'+''-y y x y x 的通解，并求满足初始条件1,100='-===x x y y的特解。
(完整版)常微分方程试题库.(最新整理)
常微分方程一、填空题1．微分方程的阶数是____________0(22=+-+x y dxdy dx dy n 答：12．若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则),(y x M ),(y x N R ),(y x 方程有只与有关的积分因子的充要条件是 0),(),(=+dy y x N dx y x M y _________________________答：)()1(y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂3．_________________________________________ 称为齐次方程.答：形如的方程(xy g dx dy =4．如果 ___________________________________________ ,则存在),(y x f ),(y x f dx dy =唯一的解,定义于区间 上,连续且满足初始条件 ,其中)(x y ϕ=h x x ≤-0)(00x y ϕ=_______________________ .=h 答：在上连续且关于满足利普希兹条件 R y ),min(mb a h =5．对于任意的 , (为某一矩形区域),若存在常数使 ),(1y x ),(2y x R ∈R )0(>N N ______________________ ,则称在上关于满足利普希兹条件.),(y x f R y 答： 2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6．方程定义在矩形区域:上 ,则经过点 的解的22y x dxdy +=R 22,22≤≤-≤≤-y x )0,0(存在区间是 ___________________ 答：4141≤≤-x 7．若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足),.....2,1)((n i t x i =n )(t w )(t w 一阶线性方程 ___________________________________答：0)(1'=+w t a w 8．若为齐次线性方程的一个基本解组，为非齐次线性方程的一个),.....2,1)((n i t x i =)(t x 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：xx c x ni i i +=∑=19．若为毕卡逼近序列的极限，则有 __________________)(x ϕ{})(x n ϕ≤-)()(x x n ϕϕ答：1)!1(++n n h n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解 ，则经过变换 )(x y ___________________ ，可化为伯努利方程．答：形如的方程 )()()(2x r y x q y x p dx dy ++=y z y +=11．一个不可延展解的存在区间一定是区间．答：开12．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．1d d +=y x y 答：，（或不含x 轴的上半平面）}0),{(2>∈=y R y x D 13．方程的所有常数解是 ．y x x y sin d d 2=答：,2,1,0,±±==k k y π14．函数组在区间I 上线性无关的 条件是它们的)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件)(),(21x y x y 是． 答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程的基本解组是．02=+'-''y y y 答：xx x e ,e17．若在上连续，则方程的任一非零解 )(x y ϕ=),(∞+-∞y x xy )(d d ϕ=与轴相交．x 答：不能18．在方程中，如果，在上连续，那么它的0)()(=+'+''y x q y x p y )(x p )(x q ),(∞+-∞任一非零解在平面上 与轴相切．xoy x 答：不能19．若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共)(),(21x y x y ϕϕ==同零点．答：没有20．方程的常数解是 ．21d d y x y -=答：1±=y 21．向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是)(,),(),(21x x x n Y Y Y I 它们的朗斯基行列式，．0)(=x W I x ∈答：必要22．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．22d d y x x y +=答： 平面xoy 23．方程所有常数解是 ．0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 答：1,1±=±=x y 24．方程的基本解组是．04=+''y y 答：xx 2cos ,2sin 25．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线． 答：2二、单项选择题1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．n（A ） （B ）-1 （C ）+1 （D ）+2n n n n 2．如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在),(y x f y y x f ∂∂),(xoy ),(d d y x f x y =区间（ D ）．（A ）必为 （B ）必为),(∞+-∞),0(∞+ （C ）必为（D ）将因解而定)0,(-∞3．方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ D ）．y x xy +=-31d d （A ）上半平面 （B ）xoy 平面（C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解5. 方程过点共有（ B ）个解．21d d y x y -=)1,2(π （A ）一（B ）无数 （C ）两 （D ）三6. 方程（ B ）奇解．2d d +-=y x xy （A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个7．阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A ）线性空间．n （A ）维 （B ）维 （C ）维 （D ）维n 1+n 1-n 2+n 8．方程过点（ A ）．323d d y x y = （A ）有无数个解 （B ）只有三个解 （C ）只有解 （D ）只有两个解0=y 9. 连续是保证对满足李普希兹条件的（ B ）条件．),(y x f y '),(y x f y （A ）充分 （B ）充分必要 （C ）必要 （D ）必要非充分10．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间11．方程的奇解是（ D ）．y x y =d d （A ） （B ） （C ） （D ）x y =1=y 1-=y 0=y 12．若，是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=通解可用这两个解表示为（ C ）．（A ） （B ）)()(21x x ϕϕ-)()(21x x ϕϕ+（C ） （D ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+-)()(21x x C ϕϕ+13．连续是方程初值解唯一的（ D ）条件．),(y x f y '),(d d y x f xy =（A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）充分14. 方程（ C ）奇解．1d d +=y x y （A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个15．方程过点(0, 0)有（ A ）．323d d y x y = (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1．3y x y dx dy +=解： ，则 所以 23y y x y y x dy dx +=+=)(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y cy y x +=23另外 也是方程的解 0=y 2．求方程经过的第三次近似解2y x dxdy +=)0,0(解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ[]52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ[]81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x +++=+=⎰ϕϕ3．讨论方程 ，的解的存在区间 2y dx dy =1)1(=y 解：dx y dy =2两边积分 c x y+=-1所以 方程的通解为 cx y +-=1故 过的解为 1)1(=y 21--=x y 通过点 的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到 ２，)1,1(∞-所以解的存在区间为 )2,(-∞4． 求方程的奇解01(22=-+y dxdy 解: 利用判别曲线得p 消去得 即 ⎩⎨⎧==-+020122p y p p 12=y 1±=y 所以方程的通解为 , 所以 是方程的奇解)sin(c x y +=1±=y 5．0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: =, = , = , 所以方程是恰当方程.y M ∂∂2--y xN ∂∂2--y y M ∂∂x N ∂∂ 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos yx y y v y x x u )(sin y y x x u ϕ++= 所以)('2y xy yu ϕ+-=∂∂-y y ln )(=ϕ故原方程的解为 c y yx x =++ln sin6． xx x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= ,令 , 则方程可化为, x y sin =x z y sin +=2z dx dz -=cx z +=1即 , 故 c x x y +=-1sin c x x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy 解: 两边同除以得2y 037322=-+-xdy dy y ydx xdx 0732=--yd xy d dx 所以 , 另外 也是方程的解c y xy x =--7320=y 8．21d d x xy x y +=解 当时，分离变量得0≠y x x x y y d 1d 2+=等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++= 即通解为 21x C y +=9. xy xy 2e 3d d =+ 解 齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为xx C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为+ x C y 3e -=x 2e 5110. 5d d xy y xy +=解 方程两端同乘以，得5-yx y x y y +=--45d d 令 ，则，代入上式，得z y =-4xz x y y d d d d 45=-- x z x z =--d d 41 通解为 41e 4+-=-x C z x 原方程通解为41e 44+-=--x C y x 11．0)d (d 222=-+y y x x xy 解 因为，所以原方程是全微分方程． x N x y M ∂∂==∂∂2 取，原方程的通积分为)0,0(),(00=y xC y y x xy y x =-⎰⎰020d d 2 即C y y x =-323112．y y x y ln d d =解：当，时，分离变量取不定积分，得0≠y 1≠y通积分为C x y y y +=⎰⎰d ln d x C y e ln =13．03)(22=+'+''x y y y解 原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-=14．xy x y x y +-=2)(1d d 解：令，则，代入原方程，得xu y =x u x u x y d d d d +=21d d u xu x -= 分离变量，取不定积分，得（） C x x u uln d 1d 2+=-⎰⎰0≠C 通积分为： Cx xy ln arcsin=15． xy x y x y tan d d +=解 令，则，代入原方程，得u x y =xu x u x y d d d d += ， u u x u x u tan d d +=+u x u x tan d d = 当时，分离变量，再积分，得0tan ≠u C x x u u ln d tan d +=⎰⎰ Cx u ln ln sin ln +=即通积分为：Cx x y =sin 16． 1d d +=xy x y 解：齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为+Cx y =x x ln 17. 0d d )e (2=+-y x x y x y 解 积分因子为21)(x x =μ 原方程的通积分为1012d d (e C y x x y y x x =+-⎰⎰ 即 1e ,e C C C xy x +==+18．0)(2='+''y y y 解：原方程为恰当导数方程，可改写为0)(=''y y 即1C y y =' 分离变量得x C y y d d 1= 积分得通积分21221C x C y +=19．1)ln (='-'y x y 解 令，则原方程的参数形式为p y ='⎪⎩⎪⎨⎧='+=p y p p x ln 1 由基本关系式 ，有y xy '=d dp p pp x y y )d 11(d d 2+-⋅='= p p )d 11(-=积分得 C p p y +-=ln 得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 120．022=+'+''x y y y 解 原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为 23123121C x x C y +-=21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 解：由于，所以原方程是全微分方程． x N xy y M ∂∂==∂∂2 取，原方程的通积分为)0,0(),(00=y x103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即C y y x x =++42242四、计算题1．求方程的通解．x y y e 21=-''解 对应的齐次方程的特征方程为：12=-λ特征根为：1,121-==λλ故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21 因为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为1=αx Ax x y e )(1=代入原方程，有 ， 可解出 ． x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+41=A 故原方程的通解为 x xx x C C y e 41e e 21++=-2．求下列方程组的通解． ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t y y x t x 43d d 2d d 解 方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A 即 0232=+-λλ特征根为 ，11=λ22=λ 对应的解为11=λt b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡其中是对应的特征向量的分量，满足11,b a 11=λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得．1,111-==b a 同样可算出对应的特征向量分量为 ．22=λ3,212-==b a 所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程的通解．x y y 5sin 5='-''解：方程的特征根为，01=λ52=λ齐次方程的通解为 x C C y 521e += 因为不是特征根。
考研数学一常微分方程
考研数学一常微分方程1. 【单项选择题】A. x2+y2=C2B. x2-y2=C2C. x2+y2=CD. x2-y2=C正确答案：A参考解析：2. 【单项选择题】微分方程y”+2y'-3y=e-x+x的一个特解形式为（）．A. ae-x+bx+cB. axe-x+x(bx+c)C. axe-x+bx+cD. ae x+x(bx+c)正确答案：A参考解析：3. 【单项选择题】下列方程中，以y=C1e x+C2cosx+C3sinx(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是（）．A. y'''-y''+y'-y=0B. y'''+y''+y'-y=0C. y'''+y''-y'-y=0D. y'''-y''-y'-y=0正确答案：A参考解析：由通解y=C1e x+C2cosx+C3sinx，知其特征根为r1=1，r2=i，r3=-i，故对应的特征方程为(r-1)(r2+1)=0，即r3-r2+r-1=0，故对应的微分方程为y'''-y''+y'-y=0，A正确。
4. 【单项选择题】若二阶常系数线性齐次微分方程y"+py'+qy=0的通解为y=C1e x+C2xe x，则非齐次微分方程y"+py'+qy=x满足y(0)=2，y’(0)=0的特解为y=（）．A. xe x-x-2B. xe x-x+2C. -xe x+x+2D. -xe x-x+2正确答案：C参考解析：y由齐次微分方程通解为y=C1e x+C2xe x，知对应特征方程的根为r1=r2=1，其特征方程为(r-1)2=0，即r2-2r+1=0，故p=-2，q=1，所以非齐次微分方程为y"-2y'+y=x ①令特解y*=ax+b，代入上式，得-2a+ax+b=x，解得a=1，b=2，故①的通解为y=C1e x+C2xe x+x+2。
常微分方程期末试题答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ．22d d y x x y+=2. 方程组的任何一个解的图象是 n+1 维n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 空间中的一条积分曲线.3．连续是保证方程初值唯一的 充分 条件．),(y x f y '),(d d y x f xy=4．方程组的奇点的类型是 中心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d )0,0( 5．方程的通解是2)(21y y x y '+'=221C Cx y +=6．变量可分离方程的积分因子是()()()()0=+dy y q x p dx y N x M ()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=条件是 线性无关8．方程的基本解组是440y y y '''++=x x x 22e ,e--二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程的积分因子是（ A ）．d ()()d yp x y q x x+=（A ）（B ）（C ）（D ）⎰=xx p d )(e μ⎰=xx q d )(e μ⎰=-xx p d )(e μ⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程是（ B ）0d )ln (d ln =-+y y x x y y （A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A)(B)1±=x 1±=y (C ), (D ), 1±=y 1±=x 1=y 1=x12．阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．n （A ）构成一个线性空间（B ）构成一个维线性空间1-n（C ）构成一个维线性空间（D ）不能构成一个线性空间1+n 13．方程（ D ）奇解．222+-='x y y （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
自考常微分方程试题及答案
自考常微分方程试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪一项是一阶微分方程？A. dy/dx + 2y = x^2B. d^2y/dx^2 + y = 0C. dy/dx = 0D. d^3y/dx^3 - y = x答案：A2. 常数变易法主要用于求解什么类型的二阶线性微分方程？A. 欧拉方程B. 伯努利方程C. 线性齐次方程D. 线性非齐次方程答案：D3. 以下哪个解是微分方程y'' - y' - 2y = 0的一个特解？A. y = e^(2x)B. y = e^(-x)C. y = e^(x)D. y = e^(x/2)答案：A4. 微分方程y' = y/x 表示的曲线族是：A. 一系列直线B. 一系列抛物线C. 一系列双曲线D. 一系列椭圆答案：C5. 如果一个函数满足微分方程y'' + y' + y = 0，那么它是：A. 一个奇函数B. 一个偶函数C. 一个周期函数D. 一个非周期函数答案：D二、填空题（每题3分，共15分）6. 解微分方程dy/dx = x^2 - y^2，当y(0) = 1时，y(1)的值为_________。
答案：07. 微分方程的通解为y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)，其中C1和C2是任意常数，该方程是_________阶线性齐次方程。
答案：一8. 微分方程y'' - 2y' + y = 0的特征方程为_________。
答案：r^2 - 2r + 1 = 09. 微分方程dy/dx = sin(x) + cos(y)满足初始条件y(0) = 0的解是y =_________。
答案：arccos(cos(x))10. 微分方程y' = y^2的解是y =_________。
答案：C/x + C^2，其中C是任意常数。
三、解答题（共75分）11. （15分）求解微分方程dy/dx - y = e^x，并给出通解。
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湖北师范学院优质课程《常微分方程》试题库及试题解答课程负责人：李必文数学系2005年 3月 18日选择题（每小题 4 分）1、下列方程中为常微分方程的是（）(A) x2 - 2x 1 0 (B) y' xy2(C) u 2u 2u (D) y x2 c (c为常数）t x2 y22、下列微分方程是线性的是（）(A)y ' x2 y2 (B) y" y2 e x (C) y" x2 0 (D) y'- y xy 23、方程y " 3y ' 2 y x2e-2 x特解的形状为( )(A) y1 ax2ey-2 x (B) y1 (ax2 bx c)e-2 x(C) y1 x2 ( ax2 bx c)e-2 x (D) y1 x2 (ax2 bx c)e-2x4、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)4, x (B)x,2 x, x2 (C)5,cos 2 x,sin 2 x (D) 1,2, x, x 25、微分方程xdy - ydx y2 e y dy 的通解是( )(A) x y(c - e y ) (B) x y(e y c) (C) y x(e x c)(D) y x(c - e y )6、下列方程中为常微分方程的是（）(A) t2 dt xdx 0 (B) sin x 1(C) y x 1 c (c 为常数）2u 2u (D)2y2x7、下列微分方程是线性的是（）(A)y' 1 y2(B)dy1(C)y '2by cx(D)dx 1 xyy ' xy408、方程y "- 2 y ' 2y e x (x cos x 2sin x) 特解的形状为( )(A) y1 e x[( Ax B)cos x C sin x] (B) y1 e x [ Ax cos x C sin x](C) y1 e x[( Ax B) cosx ( Cx D ) sin x](D) y1 xe x[( Ax B) cos x (Cx D ) sin x]9、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A) 1, x, x3(B)2x2 , x, x2(C) 1,sin2x,cos2 x(D)5,sin 2 (x 1),cos2 (x1)10、微分方程ydx - xdy y2exdx 的通解是( )(A) y x(e x c) (B) x y( e x c) (C) x y(c - e x)(D)y( x - ) x e c11、下列方程中为常微分方程的是（）(A) x2 y2 -1 0 (B) y ' x2y(C) 2u 2 u 2u (D) x y2 c (c为常数）2x2 y212、下列微分方程是线性的是（）2(C)y =y3 +sin x (D)y +y=y2cos x(A)(B) y +6 y =113、方程y+y=2sin x特解的形状为( )(A) y 1x( A cos x B sin x)(B)(C)(D)14、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A) 0,1, t (B)e t ， 2e t ,e -t(C) (D)15、微分方程 ydx-xdy=x 2e x dx 的通解是 ( )(A) y=x(c+e x ) (B) x=y(c+e x )(C)x=y(c-e x )(D)y=x(c-e x )16、下列方程中为常微分方程的是（）(A) x 2+y 2-z 2=0(B) y ce xuu (D)y=c cost+c sint (c ,c 为常数）(C)12tx1217、下列微分方程是线性的是（ ）32y +(1/3) y(A) x (t ) -x=f(t) (B) y +y=cos x (C) x + y = y(D)=y 4-x cos x 特解的形状为 ()18、方程 y -2 y +3y =e(A) y 1 Acosx B sin x (B) y 1 Ae x (C) y 1e x ( Acos x B sin x)(D)y 1 Axe x cosx19、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)e t ,e 2t ,e 3t(B)0,t ,t 2(C) 1 sin 2(t 1),cos( 2 2)(D) 4-t,2t-3,6t+8， t20、微分方程 xdx-ydy=y 2e y dy 的通解是 ( )(A) x=y(ey+ c) (B) x=y(c-ey) (C) y=x(ex+c) (D) y=x(c-e y )21、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A)31(B)y ce xu u (D)x + =0(C)xty 2y'e x22、下列微分方程是线性的是（）(A) y+y 2=1+x(B)y' 2 +y=cosx(C)y- 2y=2x2(D)xdx+ydy=023、方程 yy 9 y 16e 3x)6 '特解的形状为 ((A) y 1 Ae 3x(B) y 1 Ax 2 e 3x(C)y 1 Axe 3x(D)y 1 e 3x ( A sin 3x B cos3x)24、下列函数组在定义域内线性无关的是（）xx2 e x22(C) 1,2, x20,e 5x4 x 2(A) e , xe , x (B)2,cosx, cos x (D)x, e x25、微分方程 ydx-xdy=2x 2e x dx 的通解是 ( )(A) y=x(c-2e x )(B) x=y(c+2e x ) (C)x=y(c-2e x )(D)y=x(c+2e x )26、微分方程dyy tg y的通解为（）dxx x(A)1cx(B) siny=x +c(C) siny=c x(D) sinx=c xyxxysinx27、微分方程 2y y =( y ) 2的通解（）(A) ( x-c ) 2(B)c 1( x -1) 2+c 2( x +1) 2 (C) c 1+( x -c 2) 2(D) c1(x -c 2) 228、微分方程 xdy-ydx=y 2e y dy 的通解为（）(A) y=x(e x +c)(B)x=y(e y +c)(C) y=x(c-e x )(D)x=y(c-e y )29、微分方程y -2 y -3 y =0 的通解 y为（）(A)c 1 c 2 x 3 (B)c 1 x c 2(C)c 1e xc 2 e 3x (D)c 1e xc 2 e 3 xxx 330、微分方程 y ''-3y '+2 y =2x -2 e x 的特解 y *的形式是（）(A) (ax+b)e x (B) (ax+b)xe x(C)(ax+b)+ce x (D) (ax+b)+cxe x31、通过坐标原点且与微分方程dy 1 的一切积分曲线均正交的曲线方程是( )xdx(A)e yx 1(B) e yx 1 0(C) e yx 1(D)2 y x 22x32、设 y(x) 满足微分方程 ( cos 2x)y1+y=tgx 且当 x=/4 时 y=0，则当 x =0 时 y =()(A) /4 (B) - /4 (C) -1(D) 133 、 已 知 y=y(x) 的 图 形 上 点 M(0,1) 处 的 切 线 斜 率 k=0 ， 且 y(x) 满 足 微 分 方 程y1 ( y')2 ，则 y(x)= ( )(A)sin x(B)cosx(C)34、微分方程y -2 y -3 y =0 的通解是 y =( )(A)x 3 x 3 (B) c 1 xc 2x 3c 1 e x c 2 e 3x2d y则 y(1 c 1 c 2 ) y 1 ( x) c 1 y 2 (x) c 2 y 3 ( x)(A) 是所给微分方程的通解 (B)(C) 是所给微分方程的特解shx(D)chx(C)c 1 e x c 2 e 3 x(D)a(x) dy b( x) yf ( x) 的特解，dx不是所给微分方程的通解(D) 可能是所给微分方程的通解也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解36、设 y(x) 满足y sinx=yLny ，且 y (/2)= e ，则 y ( /4)= （ ）(A) e /2(B)e -1 (C)e 2 1(D) e 2 337、微分方程 yn ytgxy 2 cos x0 的通解是（ ）(A)arctgx c(B)1 ( arctgx c) (C)1arctgx c (D)xxarctgx1 cx38、微分方程 ( 1+2的通解为（）y )dx=(arctgy-x)dy(A) x arctgy 1 ce arctgy (B) x arctgy1 ce arctgy (C) xarctgyce arctgyc(D)x arctgyce arctgyc39、微分方程 y4 y21cos2 x 的通解为 y=（）(A) exc x 2c x c3(B)c x 2c x c31212(C) c 1exc 2 x c 3(D)c 1 x 3 c 2 x 2 c 340、微分方程 y7 y6ysin x 的通解是 y =（）(A) ex745sin x747cosx(B)c 1e x c 2 sin x c 3e x c 4 cos x (C) ( cc x)e x (c c x)e x(D)(c c x) sin x(cc x) cosxdy41、通过坐标原点且与微分方程x 1 的一切积分曲线均正交的曲线方程是 ( ) dx(A)e yx1(B)e y x 1 0 (C) e y x 1 (D)2 yx22x42、设 y(x) 满足微分方程xy1+y -y 2Lnx=0 且当 y(1)=1, 则 y(e)=( )(A) 1/e(B) 1/2(C) 2(D) e43 、 已 知 yy(x) 满 足 ( x 2 2xy y 2 )dx ( y 22xy x 2 )dy0 ， 且 y(1) 1 则y 1 2( )2(A) 1 (B) 1/2 (C) 2 (D) 1 22 244、微分方程y 2xy' 满足初始条件 y0 1 , y' 3 的特解是 y=( )x 2 1 x x 0(A) x3 x 3 (B) x 3 3x 1 (C) x 2 x 3 (D) x 2 3x 145、微分方程y 6y' 13y 0 的通解是y=( )(A) e 3 x ( c1 cos2x c2 sin 2 x) (B) e2x (c1 cos3x c2 sin 3x)(C) e3x (c1 cos2x c2 sin 2x) (D) e 2 x (c1 cos3x c2 sin 3x)46、微分方程y' 2 y c 0 满足 yx 0 的特解 y=（）x 2(A)4 x 2 x 2 4 2 1x 2 4 (B) 4 x 2 (C) x (ln x ln 2) (D) x2 (ln x ln 2) 47、微分方程y' ytgx y 2 cosx 0 的通解是（）(A) 1( x c)cos x (B) y ( x c)cos x y(C) 1x cos x c (D) y x cosx c y48、微分方程 ( y2-6x ) y +2y=0 的通解为（）2 3(B) 2y-x 3 3(C)2 3 3 3(A) 2x-y +cy =0 +cx =0 2x-cy +y =0 (D) 2y-cx +x =049、微分方程y4 y 1 2 cos2 x 的特解的形式是y=（）(A) a cos2x(B)axcos2x(C) asin2 x bcos2 x(D)axsin2 x bx cos2x50、满足微分方程y 7 y 6y sin x 的一个特解y* =（）(A) e x 745 sin x 747 cosx (B) e x 745 sin x 747 cos x(C) e6x745sin x747cos x(D) e x e 6x745sin x747cosx51、初值问题y" 4y 0, y(0) 0, y'(0) 1 的解是 y(x)（）（其中其通解为y(x) c1 sin 2x c2 cos2 x, c1, c2为任意常数）(A) 1 sin 2 x (B) 1 sin 2x(C)3 252、下列方程中为常微分方程的是（）(A) x43x2x 1 0(B)u 2u 2u (C)x2 (D)t y253、下列微分方程是线性的是（）(A) y"xy ' y x2(B)y ' x2y2(C)1 1sin3 x （D）sin3 x3 2y" y 'x2u v2wy " xy2 f (x)(D)y " y ' y354、已知F ( x, y) 具有一阶连续偏导，且 F (x, y)( ydx xdy) 为某一函数的全微分，则（）(A)F F(B)xFyF(C)xFyF(D)yFx F x y x y x y x y55、设y1( x), y2(x), y3(x)是二阶线性非齐次微分方程y" P(x) y' Q ( x) y f ( x) 的三个线性无关解，c1 ,c2 是任意常数，则微分方程的解为( )(A) c1y1 c2 y2 y3 (B) c1 y1 c2 y2 (1 c1 c2 ) y3(C)c1 y1 c2 y2 (c1 c2 ) y3 (D) c1 y1 c2 y2 (1 c1 c2 ) y356、若连续函数f (x)满足关系式f (x) 2 xtdt ln 2 ，则 f ( x) 为（）f2(A) e x ln 2 (B) e2x ln 2 (C) e x ln 2 (D) e2 x ln 257、若y1 e3 x, y2 xe3 x，则它们所满足的微分方程为（）(A) y" 6 y' 9 y 0 (B) y" 9 y 0 (C) y" 9 y 0 (D)y" 6 y' 9y 058 、设y1, y2, y3是二阶线性微分方程y" p(x) y ' q(x) y r ( x) 的三个不同的特解，且y1 y2 不是常数，则该方程的通解为（）y2 y3(A) c1 y1 c2 y2 y3 (B) c1 ( y1 y2 ) c2 ( y2 y3) y1(C) c1 y1 c2 y3 y2 (D) c1 ( y1 y2 ) c2 ( y2 y3 )59、设f ( x)连续，且满足方程1tx dt nf ( x)( n N )，则f (x)为（f ）01 n(A) cx n (B) c(c 为常数）(C) c sin nx (D) ccosnx60、设y1, y2是方程y"p( x) y ' q( x) y 0 的两个特解，则y c1 y1c2 y2（ c1,c2为任意常数）（）(A) 是此方程的通解(B)是此方程的特解(C)不一定是该方程的解(D) 是该方程的解61、方程( x2 2x) y" ( x2 2) y ' (2 x 2) y 0 的通解为（）(A) y c1e x c2 (B) y c1e x c2e x (C) y c1e x c2x2 (D) y c1e x c2 x62、微分方程y" y ' e x 1的一个特解形式为（）(A) ae x b (B) axe x bx (C) ae x bx (D) axe x b63、方程( pxy y2 ) dx (qxy 2x2 )dy 0 是全微分的充要条件是（）(A) p 4, q 2 (B) p 4, q 2 (C) p 4, q 2 (D) p4, q264、表达式[cos(x y2 ) ay]dx [bycos(x y2) 3x]dy 是某函数的全微分，则（）(A) a 2,b 2 (B) a 3,b 2 (C) a 2,b 3 (D) a 3,b 365、方程y"' y " y ' y xe x是特解形式为（）(A) (ax b)e x (B) x(ax b)e x(C) x2(ax b)e x(D)e x[( ax b)cos 2x ( cx d )sin 2x]66、方程y" 2 y' y xe x 的特解 y*的形式为（）(A) axe x (B) (ax b)e x (C) x(ax b)e x (D)x2 (ax b)e x67、已知y1 coswx 与 y2 3cos wx 是微分方程y" w2 y 0 的解，则 y c1 y1 c2 y2是（）(A)方程的通解(B)方程的解，但不为通解(C)方程的特解(D)不一定是方程的解68、方程y " 3y' 2y3 2 x *的形式为（）x e 的特解 y(A) ( ax b)e x (B) (ax b) xe x (C)( ax b) ce x (D) (ax b) cxe x69、方程y"3y ' 2 y x2e 2 x(A)y ax2 e 2x(C) y x(ax2bx c)e 2 x 特解的形式为（）(B) y ( ax2 bx c)e 2 x(D) y x2 (ax2 bx c)e 2x70、下列函数在定义域内线性无关的是（）(A) 4x (B) x 2x x2 (C)5 cos2 x sin 2 x (D) 1 2 x x271、微分方程xdy ydx y2e y dy 的通解是（）(A) x y(c e y) (B) x y(e y c) (C) y x(e x c) (D)y x(c e y )72、方程dxy 5,dy3 ）xdt x 的奇点为（dt(A) （ 0,0 ）(B) (0,5) (C) (5,5) (D) (5,0)73、（ 0,0 ）为系统dxy,dy2x 3y 的（）dt dt(A)鞍点(B)结点(C)中心(D)焦点74、方程dxdydz的首次积分是（ ）xzyz xy(A) xy z2c(B)x 2c(C)x 2yz c (D)xz x 2 cy75、方程dx z 2 dy dz的首次积分是（）x 2y 2 2 xy 2xzx y z(B)x 2y 2 z 2(C)y(D)z(A)x2cyc xcx cdx 2xydt76、系统的奇点类型为（ ）dyx 2ydt(A) 稳定结点(B) 不稳定结点(C)稳定焦点(D)不稳定焦点dx x3dty77、系统4 的奇点类型为（）dy7 x 4ydt(A) 鞍点 (B) 焦点 (C) 中心 (D) 结点78、方程 y"y xe x 有形如（ ）特解(A) y Axe x (B)y 1 ( Ax 2 Bx c)e x(C) y 1(Ax B)e x(D)Ae x79、方程 x" 6x ' 13xe t (t 2 5t 12) 特解形状为（）(A) x 1 ( At 2 Bt c)e t(B)x 1 ( At B) e t （ C) x 1 Ate t(D)x 1 Ae t80、方程 y" 2 y' 2ye x cos x 的特解形状为（）(A) y1 A cosxe x (B) y1 Asin xe x(C) y1 e x ( Acos x B sin x) (D) y1 Ae x81、方程x" 2x ' 2x te t cost 的特解形状为（）(A) x1 ( At 2 Bt c)e t cost (B) x1 (At 2 Bt c)e t sin t(C) x1 e t ( Acost B sin t )(D) x1 ( At 2Bt c)e t cost (Dt 2Et F )e t sin t82、微分方程( ye x e y )dx (xe y e x )dy 0 的通解为（）(A) ye x xe y c (B) ye y xe x c (C) ye x xe y c (D) ye x xe y c83、微分方程(e x sin y 2 y sin x)dx (e x cos y 2cos x)dy 0 的通解为（）(A) e x sin y 2 y cos x c (B) e x co s y 2 ycos x c(C) e x sin y ycos x c (D) e x cos y 2y cos x c84、微分方程e y dx x(2 xy e y )dy 0 的通解为（）(A) xe y y2 c (B) e y y2 c (C) xe y xy c (D) e y ycx x85、方程(e x 3y2 ) dx 2xydy 0的通解为（）(A) xe x x3 y2 c (B) ( x2 2x)e x x3 y 2 c(C) (x2 2x 2)e x x3 y2 c (D) ( x2 2) e x x3 y2 c86、下列方程为常微分方程的是（）(A) x2 y2 z2 0 (B) u u 2u (C) y Asin t B sin t (D) y ' Ae xx y y287、方程(2 xy4e y 2xy 3 y)dx ( x2 y 4e y x2 y2 3x) dy 0 的积分因子为（）(A) ( x) 1(B) (x)1(C) ( y)1(D) ( y)1 x2 x y4 y288、方程e y x(2 xy e y )dy 0 的积分因子为（）(A) ( x) 1(B) ( x)1(C) ( y)1(D) ( y)1 x2 x y2 y89、方程(e x 3y2 ) dx 2xydy 0的积分因子为（）(A) ( x) 1 (B) ( x) x2 (C) ( y) 1 (D) ( y) y2x y90、方程( y 1 xy)dx xdy 0 的积分因子为（）(A) ( x) e x (B) ( x) e x (C) ( y) e y (D) ( y) e y91、方程(2 x2y 2 y 5) dx (2 x3 2x)dy 0 的积分因子为（）(A) ( x) 1(B) ( x)1(C) ( y)1(D)1 x 1 x2 y( y)1 y292、方程2 xy3dx ( x2 y2 1)dy 0 的积分因子为（）(A) ( x) 1(B) (x)1(C) ( y)1(D)1 x x y( y)2y293、方程e x dx (e x ctgx 2 ycos y)dy 0 的积分因子为（）(A) ( x) sin x (B) (x) cos x (C) ( y) sin y (D) ( y) cos y94、方程ydx (x2 y2 x)dy 0 的积分因子为（）(A)( x) 1 1(C)( x, y)1 x2(B)( y)2 2y2y x(D) ( x, y) 1yx95、方程y3dx2( x2xy2 )dy 0的积分因子为（）(A)1(B)1 1(D)1 x2(C)x2 y2 2 yxy x96、方程3x 6 x3 3 y0 的积分因子为（）dxydyy x(A)x (B) y (C) xy(D) x2 y97、下列方程中为常微分方程的是（）(A) x2 - 2x 1 0 (B) y' xy 2(C) u 2u 2u (D) y x2 c (c为常数）t x2 y298、下列微分方程是线性的是（）(A)y ' x2 y2 (B) y" y2 e x (C) y" x2 0 (D) y '- y xy2 选择题答案1 B2 C3 C4 A5 A6 A7 B8 D9 A 10 B10 B 12 A 13 A 14 C 15 D16 B 17 A 18 C 19 A 20 B21 D 22 C 23 B 24 A 25 A26 C 27 D 28 D 29 D 30 D31 A 32 C 33 D 34 D 35 D36 C 37 B 38 A 39 C 40 C41 A 42 B 43 D 44 B 45 A46 A 47 C 48 A 49 D 50 B51 B 52 B 53 A 54 B 55 B56 B 57 D 58 B 59 A 60 D 61 C 62 D 63 C 64 B 65 B 66 D 67 B 68 D 69 C 70 C 71 B 72 B 73 B 74 A 75 B 76 C 77 D 78 C 79 A 80 C 81 D 82 C 83 A 84 B 85 C 86 D 87 C 88 A 89 B 90 B 91 B 92 D 93 C 94 C 95 D 96 C 97 B 98 C。