必修一指数与指数函数

指数函数典例分析题型一 指数函数的定义与表示【例1】 求下列函数的定义域(1)32xy -= (2)213x y += (3)512xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭(4)()10.7xy =【例2】 求下列函数的定义域、值域⑴112x y -= ； ⑵3x y -=； ⑶2120.5x x y +-=【例3】 求下列函数的定义域和值域：1．xa y -=1 2．31)21(+=x y【例4】 求下列函数的定义域、值域(1)110.4x y -=； (2)y = (3)21x y =+【例5】 求下列函数的定义域(1)13xy =;(2)y =【例6】 已知指数函数()(0,x f x a a =>且1)a ≠的图象经过点(3,π)，求(0)f ，(1)f ，(3)f -的值．【例7】 若1a >，0b >，且b b a a -+=b b a a --的值为（ ）A B ．2或2- C ．2- D ．2题型二 指数函数的图象与性质【例8】 已知1a b c >>>，比较下列各组数的大小：①___b c a a ；②1ba ⎛⎫⎪⎝⎭1ca ⎛⎫ ⎪⎝⎭；②11___b ca a ；②__a abc ．【例9】 比较下列各题中两个值的大小：⑴ 2.51.7，31.7； ⑵ 0.10.8-，0.20.8-； ⑶ 0.31.7， 3.10.9．【例10】 比较下列各题中两个值的大小(1)0.80.733，(2)0.10.10.750.75-， (3) 2.7 3.51.01 1.01，(4) 3.3 4.50.990.99，【例11】 已知下列不等式，比较m 、n 的大小(1) 22m n < (2)0.20.2m n >(3)()01m n a a a <<<(4)()1m n a a a >>【例12】 图中的曲线是指数函数x y a =的图象，已知a413,,3105四个值，则相应于曲线1234,,,c c c c 的a 依次为_______________．【例13】 已知a =函数()x f x a =，若实数m n ，满足()()f m f n >，则m n ，的大小关系为 ．【例14】设ab =c a ，b ，c 的大小关系是【例15】 若对[1,2]x ∈，不等式22x m +>恒成立，求实数m 的取值范围．【例16】 判断函数11()3x y -=的单调性．【例17】 函数||()x f x e =（ ）A ．是奇函数，在(,0]-∞上是减函数B ．是偶函数，在(,0]-∞上是减函数C ．是奇函数，在[0,)+∞上是增函数D ．是偶函数，在(,)-∞+∞上是增函数【例18】 已知函数f (x )为偶函数，当()0x ∈+∞，时，()12x f x +=-,求当()0x ∈-∞，时，()f x 的解析式.【例19】 证明函数x a y =和x a y -= )10(≠>a a 且的图象关于y 轴对称。

题型三 关于指数的复合函数1.二次函数复合型【例20】 求函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭单调区间，并证明【例21】 函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间为 ，值域为 ．【例22】 函数()342x x f x =⋅-，求()f x 在[0,)x ∈+∞上的最小值．【例23】 求函数1()423x x f x a +=-⋅+ (R)x ∈的值域．【例24】 已知4323x x y =-⋅+，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是【例25】 求下列函数的单调区间．⑴232xx y a -++=（0a >，且1a ≠）；⑵已知910390x x -⨯+≤，求函数1111()4()542x x y --=-⋅+最值．【例26】 函数2281(01)x x y a a --+=<<的单调增区间是 ．【例27】 设()124()x x f x a a =++⋅∈R ，当(,1]x ∈-∞时，()f x 的图象在x 轴上方，求a 的取值范围．【例28】 如果函数221(0,1)x x y a a a a =+->≠在区间[1,1]-上的最大值是14，求a 的值．【例29】 求函数11()1([3,2])42x xf x x ⎛⎫⎛⎫=-+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调区间及其值域．【例30】 已知12x -≤≤，求函数1()3239x x f x +=+⋅-的最大值和最小值．【例31】 求函数()()444222x x x f x a --=+-+的最小值，并指出使()f x 取得最小值时x 的值2.分式函数复合型【例32】 当a ＞1时，证明函数1()1x xa f x a +=-是奇函数．【例33】 求证下列命题：(1)()2x xa a f x --=（a ＞0，a ≠1)是奇函数；(2)()(1)1x x a xf x a +=-（a ＞0，a ≠1）是偶函数.【例34】 已知函数()2121x x f x -=+，(1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)求证函数()f x 在()-∞+∞，上是增函数.【例35】 讨论函数21()21x x f x -=+的奇偶性、单调性，并求它的值域．【例36】 已知1010()1010x xx xf x ---=+，判断函数的单调性、奇偶性，并求()f x 的值域．【例37】 正实数12x x ，及函数()f x 满足()()141x f x f x +=-，且()()121f x f x +=，求()12f x x +的最小值【例38】 设a ∈R ，2()()21x f x a x =-∈+R ，若()f x 为奇函数，求a 的值．【例39】 在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数（也称高斯函数），它表示x的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数．例如：[2]2=，[3.1]3=，[2.6]3-=-．设函数21()122x x f x =-+，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为题型四 其他综合题目【例40】 小明即将进入一大学就读，为了要支付4年学费，小明欲将一笔钱存入银行，使得每年皆有40000元可以支付学费．而银行所提供的年利率为6%，且为连续复利，试求出小明现在必须存入银行的钱的数额．【例41】 求函数y =【例42】 已知函数|22|x y =-，⑴ 作出函数的图象；⑵ 根据图象指出函数的单调区间；⑶ 根据图象指出当x 取什么值时，函数有最值．【例43】 方程22xx =-的解的个数为 ．【例44】 已知函数()||122x x f x =-， ⑴若()2f x =，求x 的值；⑵若()()220t f t mf t +≥对于[]12t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．【例45】 函数()2lg 34y x x =-+的定义域为M ，当x ∈M 时，求()42234x f x =+-⨯的最值.【例46】 设a 是实数，()221x f x a =-+ (x ∈R) (1)试证明对于任意()af x 为增函数； (2)试确定a 值，使f (x )为奇函数.【例47】 因为复杂的函数，往往是由多个简单函数的加、减、乘、除运算得到，或者是多个函数的复合后得到的，比如下列函数：()()()22x f x g x h x x ==，，则()()f xg x ，复合后可得到函数()()2x g f x g ==⎡⎤⎣⎦和()f g x f==⎡⎤⎣⎦的取值，得到的函数称为复合函数；也可以由()()f x g x ，进行乘法运算得到函数()()2x f x g x =．所以我们在研究较复杂的函数时，常常设法把复杂的函数进行逆向操作，把其拆分转化为简单的函数，借助简单函数的性质进行研究． ⑴复合函数(){}f h g x ⎡⎤⎣⎦的解析式为 ；其定义域为 ．⑵可判断()()2x f x g x =是增函数，那么两个增函数相乘后得到的新函数是否一定是增函数？若是请证明，若不是，请举一个反例；⑶已知函数()2x f x -=，若()()121f x f x +>-，则x 的取值范围为 ．⑷请用函数()()()()22ln x f x g x h x x k x x ====，，中的两个进行复合，得到三个函数，使它们分别为偶函数且非奇函数、奇函数且非偶函数、非奇非偶函数．【例48】 已知函数2()()1x x af x a a a -=--，其中0a >，1a ≠．⑴判断函数()f x 的奇偶性； ⑵判断函数()f x 的单调性，并证明．【例49】 已知2()()(0,1)2x x af x a a a a a -=->≠-是R 上的增函数，求a 的取值范围．【例50】 已知函数()x f x b a =(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B(3,24).(1)求()f x ；(2)若不等式1123x xm ⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()1x ∈-∞，时恒成立，求实数m 的取值范围.【例51】 已知11()212x f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭． ⑴求证：()0f x >；⑵若()()()F x f x t f x t =++-（t 为常数），判断()F x 的奇偶性．【例52】 用{}min a b c ，，表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设{}()min 2210x f x x x =+-，， (0)x ≥，则()f x 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【例53】 已知函数()x f x a =满足条件：当(),0x ∈-∞时，()1f x >；当()0,1x ∈时，不等式，()()()23112f mx f mx x f m ->+->+恒成立，求实数m 的取值范围．【例54】 如果函数2()(31)x x f x a a a =--(0,1)a a >≠且仔区间[)0,+∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1⎫⎪⎪⎣⎭C ．(1,D ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【例55】 若关于x 的方程1125450x x m -+-+-⋅-=有实根，求m 的取值范围．【例56】 已知11235723511x y z x y z -+++=++=，，求11235x y z +-++的取值范围。

【例57】 已知()xf x =01a a >≠，。

（1）求证：函数()f x 的图像关于点1122⎛⎫ ⎪⎝⎭，中心对称（2）求1239 10101010 f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【例58】已知函数()2xf x=，()122xg x=+(1)求函数()g x的值域；(2)求满足方程()()0f xg x-=的x的值.。