高三数学一轮复习教案：5指数与指数函数必修一
高考文科数学一轮复习经典教案(带详解)第二章第5节：指数与指数函数
第5节 指数与指数函数【最新考纲】 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.【高考会这样考】 1.考查指数函数的求值、指数函数的图像和性质；2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用．要 点 梳 理1.根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .3.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质[友情提示]1． 根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．2． 指数函数的单调性是底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0<a <1和a >1进行分类讨论．3． 比较指数式的大小方法：利用指数函数单调性、利用中间值．基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)4（－4）4＝－4.( ) (2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数.( ) (4)函数y ＝a x2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞).( )解析 (1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错.(2)(－1)24＝4（－1）2＝1，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)， 故y ＝2x－1不是指数函数，故(3)错.(4)由于x 2＋1≥1，又a ＞1，∴ax 2＋1≥a . 故y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是[a ，＋∞)，(4)错.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，则f (－1)＝( ) A.1B.2C. 3D.3解析 依题意可知a 2＝13，解得a ＝33， 所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫33x ，所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎫33－1＝ 3.答案 C3.已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则f (x )( )A.是偶函数，且在R 上是增函数B.是奇函数，且在R 上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D.是奇函数，且在R 上是减函数解析 ∵函数f (x )的定义域为R ， f (－x )＝3－x－⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎫13x－3x ＝－f (x )， ∴函数f (x )是奇函数. ∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x在R 上是减函数， ∴函数y ＝－⎝⎛⎭⎫13x在R 上是增函数. 又∵y ＝3x在R 上是增函数， ∴函数f (x )＝3x－⎝⎛⎭⎫13x在R 上是增函数.答案 B4.设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.b <c <a解析 根据指数函数y ＝0.6x 在R 上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1，而c ＝1.50.6>1，∴b <a <c . 答案 C5.已知函数f (x )＝a x －2＋2的图象恒过定点A ，则A 的坐标为( ) A.(0，1)B.(2，3)C.(3，2)D.(2，2)解析 由a 0＝1知，当x －2＝0，即x ＝2时，f (2)＝3，即图象必过定点(2，3). 答案 B错误!题型分类错误!考点突破考点一 指数幂的运算【例1】 化简下列各式： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312. 解 (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012 ＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a －16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a －16b －3÷(a 13b －32)＝－54a －12·b －32＝－54·1ab3 ＝－5ab 4ab 2. 规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【变式练习1】 化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； (2)（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5.解 (1)原式＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫641 00015－5223－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813－1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫410315×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32313－1＝52－32－1＝0.(2)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a . 考点二 指数函数的图象及应用【例2】 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.解析(1)f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，∴f(x)的值域为(－∞，0]，因此排除B，C，D，只有A满足.(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].答案(1)A(2)[－1，1]规律方法 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. 【变式练习2】(1)函数f(x)＝a x－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是()A.y＝1－xB.y＝|x－2|C.y＝2x－1D.y＝log2(2x)(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.解析(1)由题意，得点A(1，1)，将点A(1，1)代入四个选项，y＝1－x的图象不过点A(1，1).(2)将函数f(x)＝|2x－2|－b的零点个数问题转化为函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝b的交点个数问题，数形结合求解.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.∴b的取值范围是(0，2).答案 (1)A (2)(0，2)考点三 指数函数的性质及应用(易错警示)【例3】 (1)若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2＋2x ＋3的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19，则f (x )的单调递增区间是________.(2)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73 B.0.6－1>0.62 C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1解析 (1)令g (x )＝ax 2＋2x ＋3， 由于f (x )的值域是⎝⎛⎦⎤0，19， 所以g (x )的值域是[2，＋∞). 因此有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －44a ＝2，解得a ＝1，这时g (x )＝x 2＋2x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2＋2x ＋3. 由于g (x )的单调递减区间是(－∞，－1]， 所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1].(2)A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确；C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误.故选B. 答案 (1)(－∞，－1] (2)B规律方法 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.【变式练习3】 (1)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <b <c B.c <a <b C.a <c <bD.c <b <a(2)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x >0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，所以log 25>|－log 23|>0， 所以b ＝f (log 25)>a ＝f (log 0.53)>c ＝f (2m )＝f (0)， 故b ＞a ＞c .(2)原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x，又y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，知⎝⎛⎭⎫12x≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2.故原不等式恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2. 答案 (1)B (2)(－1，2)错误!课后练习A 组 (时间：40分钟)一、选择题1.若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( )A.c <a <bB.c <b <aC.a <b <cD.a <c <b解析 当x >1时，0<a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝log 23x <0，所以c <a <b .答案 A2.设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A.a 12 B.a 56 C.a 76 D.a 32解析 原式＝a2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23×12＝a 2a 56＝a 76. 答案 C3.设x >0，且1<b x <a x ，则( ) A.0<b <a <1 B.0<a <b <1 C.1<b <aD.1<a <b解析 ∵x >0时，1<b x ，∴b >1. ∵x >0时，b x<a x，∴x >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x>1.∴ab >1，∴a >b ，∴1<b <a . 答案 C4.函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A.a >1，b <0 B.a >1，b >0 C.0<a <1，b >0 D.0<a <1，b <0解析 由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. 答案 D 5.若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减. 答案 B 二、填空题 6.不等式2x 2－x<4的解集为________. 解析 ∵2x2－x<4，∴2x2－x<22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2. 答案 {x |－1<x <2}7.已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________.解析 若a >1，则f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上是增函数，∴⎩⎨⎧a －1＋b ＝－1，1＋b ＝0，则a －1＝0，无解. 当0<a <1时，则f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上是减函数， 所以⎩⎨⎧1＋b ＝－1，a －1＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，因此a ＋b ＝－32. 答案 －328.已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值.若f (x )＝max{e |x |， e |x －2|}，则f (x )的最小值为________.解析 f (x )＝⎩⎨⎧e x，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)， 当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ， 因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.答案 e 三、解答题9.已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1). (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立. 解 (1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}. 对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a x－1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x ). ∴f (x )是偶函数.(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情况， 当x >0时，要使f (x )>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3>0， 即1a x －1＋12>0，即a x ＋12（a x －1）>0，则a x >1. 又∵x >0，∴a >1.因此当a 的取值范围为(1，＋∞)时，f (x )>0. 10.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1，2).(1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值.解 (1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a＝2，解得a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，又g (x )＝f (x )，则4－x－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0， 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则t >0，t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0， 又t >0，故t ＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2，解得x ＝－1， 故满足条件的x 的值为－1.B 组 (时间：20分钟)11.设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎨⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）>K ，给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意的x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A.K 的最大值为0B.K 的最小值为0C.K 的最大值为1D.K 的最小值为1解析 对于任意的x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在(－∞，1]上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可.令2x ＝t ，则t ∈(0，2]，y ＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得y 的最大值为1，故K ≥1.答案 D12.函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是________.解析 由f (x ＋1)＝f (1－x )知y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，∴b ＝2.又f (0)＝3，得c ＝3.则f (b x )＝f (2x )，f (c x )＝f (3x ).当x ≥0时，3x ≥2x ≥1，且f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (3x )≥f (2x ).当x <0时，0<3x <2x <1，且f (x )在(－∞，1]上是减函数，∴f (3x )>f (2x )，从而有f (c x )≥f (b x ).答案 f (c x )≥f (b x )13.已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |，(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)当x <0时，f (x )＝0，故f (x )＝32无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x－12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0， 将上式看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，因为2x >0，所以2x ＝2，所以x ＝1.(2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)，因为22t －1>0，所以m ≥－(22t ＋1)，因为t ∈[1，2]，所以－(22t ＋1)∈[－17，－5]，故实数m 的取值范围是[－5，＋∞).。
新高考数学一轮复习教师用书：第2章 5 第5讲 指数与指数函数
第5讲 指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若x n ＝a,则x 叫做a 的n 次方根,其中n>1且n∈N *.n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n∈N *，n>1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n∈N *时.(2)根式的性质①(n a)n ＝a(n∈N *,且n>1)． ②n a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a<0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn n a m (a>0,m,n ∈N *,且n>1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a>0,m,n∈N *,且n>1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s＝ar ＋s(a>0,r,s ∈Q)；②(a r )s ＝a rs(a>0,r,s ∈Q)； ③(ab)r＝a r b r(a>0,b>0,r ∈Q)． 3．指数函数的图象及性质函数 y ＝a x(a>0,且a≠1)图象0<a<1a>1图象特征在x 轴上方,过定点(0,1)当x 逐渐增大时,图象逐渐下降当x 逐渐增大时,图象逐渐上升性质定义域 R 值域(0,＋∞)单调性 减增函数值 变化 规律当x ＝0时,y ＝1当x<0时,y>1； 当x>0时,0<y<1当x<0时,0<y<1； 当x>0时,y>14.指数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中,分别作出指数函数y ＝a x,y ＝b x,y ＝c x,y ＝d x(a ＞1,b ＞1,0＜c ＜1,0＜d ＜1)的图象,如图所示．作出直线x ＝1,分别与四个图象自上而下交于点A(1,a),B(1,b),C(1,c),D(1,d),得到底数的大小关系是：a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0.根据y 轴右侧的图象,也可以利用口诀：“底大图高”来记忆．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)n a n ＝(n a)n＝a.( ) (2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝a －x是R 上的增函数．( )(4)函数y ＝ax2＋1(a>1)的值域是(0,＋∞)．( ) (5)函数y ＝2x －1是指数函数．( )(6)若a m<a n(a>0,且a≠1),则m<n.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× [教材衍化]1．(必修1P59A 组T4改编)化简416x 8y 4(x<0,y<0)＝________． 解析：因为x<0,y<0,所以416x 8y 4＝(16x 8·y 4)14＝(16)14·(x 8)14·(y 4)14＝2x 2|y|＝－2x 2y.答案：－2x 2y2．(必修1P55“思考”改编)函数y ＝2x与y ＝2－x的图象关于________对称．解析：作出y ＝2x与y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象(图略),观察可知其关于y 轴对称． 答案：y 轴3．(必修1P56例6改编)已知函数f(x)＝a x －2＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,则A 的坐标为________．解析：令x －2＝0,则x ＝2,f(2)＝3,即A 的坐标为(2,3)． 答案：(2,3) [易错纠偏](1)忽略n 的范围导致式子n a n(a∈R)化简出错； (2)不能正确理解指数函数的概念致错； (3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况； (4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错． 1．计算3（1＋2）3＋4（1－2）4＝________．解析：3（1＋2）3＋4（1－2）4＝(1＋2)＋(2－1)＝2 2. 答案：2 22．若函数f(x)＝(a 2－3)·a x为指数函数,则a ＝________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<a ，a ≠1，a 2－3＝1，即a ＝2.答案：23．若函数f(x)＝a x 在[－1,1]上的最大值为2,则a ＝________． 解析：当a>1时,a ＝2；当0<a<1时a －1＝2, 即a ＝12.答案：2或124．函数y ＝21x －1的值域为________． 解析：因为1x －1≠0,所以21x －1>0且21x －1≠1. 答案：(0,1)∪(1,＋∞)指数幂的运算化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312(a,b>0)．【解】 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312 ＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32＝－54a －12·b －32＝－54·1ab3＝－5ab 4ab 2.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是小数,先化成分数；底数是带分数的,先化成假分数．(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答．[提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一．化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12. 解：(1)原式＝0.32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252713－ 259＝9100＋53－53＝9100.(2)原式＝2（4ab －1）3210a 32b －32＝16a 32b －3210a 32b －32＝85.指数函数的图象及应用(1)函数f(x)＝21－x的大致图象为( )(2)函数f(x)＝|a x＋b|(a>0,a ≠1,b ∈R)的图象如图所示,则a ＋b 的取值范围是________．(3)若方程|3x－1|＝k 有一解,则k 的取值范围为________．【解析】 (1)函数f(x)＝21－x＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,单调递减且过点(0,2),选项A 中的图象符合要求．(2)因为根据图象得a>1,f(12)＝0,b<0.所以a ＋b ＝0,所以a ＋b ＝a －a>1－1＝0.(3)函数y ＝|3x－1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的,函数图象如图所示．当k ＝0或k≥1时,直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解．【答案】 (1)A (2)(0,＋∞) (3){0}∪[1,＋∞)应用指数函数图象的4个技巧(1)画指数函数y ＝a x(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点：(1,a),(0,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除． (3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地,当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(4)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解．1．函数y ＝xax|x|(a>1)的图象大致是( )解析：选B.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x>0，－a x ，x<0，因为a>1,依据指数函数的图象特征可知选B.2．若函数y ＝21－x＋m 的图象不经过第一象限,则m 的取值范围为________．解析：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m,函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象如图所示,则要使其图象不经过第一象限,则m≤－2.答案：(－∞,－2]指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性,特别受到高考命题专家的青睐,常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)比较指数式的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)复合函数的单调性； (4)函数的值域(最值)． 角度一 比较指数式的大小设a ＝0.60.6,b ＝0.61.5,c ＝1.50.6,则a,b,c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．a<c<b C ．b<a<cD ．b<c<a【解析】 因为函数y ＝0.6x是减函数,0<0.6<1.5,所以1>0.60.6>0.61.5,即b<a<1.因为函数y ＝1.5x在(0,＋∞)上是增函数,0.6>0,所以1.50.6>1.50＝1,即c>1.综上,b<a<c. 【答案】 C角度二 解简单的指数方程或不等式设函数f(x)＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x<0，x ，x ≥0 ，若f(a)<1,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,－3)B ．(1,＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞,－3)∪(1,＋∞)【解析】 当a<0时,不等式f(a)<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3,因为0<12<1,所以a>－3,此时－3<a<0；当a≥0时,不等式f(a)<1可化为a<1,所以0≤a<1.故a 的取值范围是(－3,1)．故选C.【答案】 C角度三 复合函数的单调性(1)函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调减区间为________． (2)(2020·金华十校联考)若函数f(x)＝2|x －a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x),且f(x)在[m,＋∞)上单调递增,则实数m 的最小值等于________．【解析】 (1)设u ＝－x 2＋2x ＋1,因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u在R 上为减函数, 所以函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞,1], 所以f(x)的减区间为(－∞,1]． (2)因为f(x)＝2|x －a|,所以f(x)的图象关于x ＝a 对称．又由f(1＋x)＝f(1－x),知f(x)的图象关于直线x ＝1对称,故a ＝1,且f(x)的增区间是[1,＋∞),由函数f(x)在[m,＋∞)上单调递增,知[m,＋∞)⊆[1,＋∞),所以m ≥1,故m 的最小值为1. 【答案】 (1)(－∞,1] (2)1 角度四 函数的值域(最值)如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a>0,a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14,则a 的值为( ) A.13 B ．1 C ．3D.13或3 【解析】 令a x＝t,则y ＝a 2x＋2a x－1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a>1时,因为x∈[－1,1],所以t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a , 又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增,所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14,解得a ＝3(负值舍去)． 当0<a<1时,因为x∈[－1,1],所以t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a , 又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增,则y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14,解得a ＝13(负值舍去)． 综上知a ＝3或a ＝13.【答案】 D有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题,常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)求解简单的指数不等式问题,应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a 的取值范围,并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断,最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．[提醒] 在研究指数型函数单调性时,当底数与“1”的大小关系不明确时,要分类讨论．1．已知函数f(x)＝a x＋b(a ＞0,a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0],则a ＋b ＝________．解析：当a ＞1时,函数f(x)＝a x＋b 在[－1,0]上为增函数,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a ＜1时,函数f(x)＝a x＋b 在[－1,0]上为减函数,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－322．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ≤x<0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1],则实数a 的取值范围是________．解析：当0≤x≤4时,f (x)∈[－8,1],当a≤x<0时,f(x)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－1,所以⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12a ，－1[－8,1],即－8≤－12a <－1,即－3≤a<0,所以实数a 的取值范围是[－3,0)． 答案：[－3,0)[基础题组练]1．函数f(x)＝1－e |x|的图象大致是( )解析：选A.将函数解析式与图象对比分析,因为函数f(x)＝1－e |x|是偶函数,且值域是(－∞,0],只有A 满足上述两个性质．2．化简4a 23·b －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a －13b 23的结果为( )A ．－2a3bB ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab解析：选C.原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b －13－23＝－6ab －1＝－6a b ,故选C.3．下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1解析：选B.A 中,因为函数y ＝1.7x在R 上是增函数,2.5<3,所以1.72.5<1.73.B 中,因为y ＝0.6x在R 上是减函数,－1<2,所以0.6－1>0.62.C 中,因为0.8－1＝1.25,所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．因为y ＝1.25x在R 上是增函数,0.1<0.2,所以1.250.1<1.250.2,即0.8－0.1<1.250.2.D 中,因为1.70.3>1,0<0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1.4．(2020·宁波效实中学高三质检)若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0,a ≠1)满足f(1)＝19,则f(x)的单调递减区间是 ( )A ．(－∞,2]B ．[2,＋∞)C ．[－2,＋∞)D ．(－∞,－2]解析：选B.由f(1)＝19得a 2＝19.又a>0,所以a ＝13,因此f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|. 因为g(x)＝|2x －4|在[2,＋∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[2,＋∞)．5．已知函数y ＝f(x)与y ＝F(x)的图象关于y 轴对称,当函数y ＝f(x)和y ＝F(x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时,把区间[a,b]叫作函数y ＝f(x)的“不动区间”,若区间[1,2]为函数y ＝|2x－t|的“不动区间”,则实数t 的取值范围是( )A ．(0,2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2∪[)4，＋∞ 解析：选C.因为函数y ＝f(x)与y ＝F(x)的图象关于y 轴对称,所以F(x)＝f(－x)＝|2－x－t|,因为区间[1,2]为函数f(x)＝|2x－t|的“不动区间”,所以函数f(x)＝|2x－t|和函数F(x)＝|2－x－t|在[1,2]上单调性相同, 因为y ＝2x－t 和函数y ＝2－x－t 的单调性相反, 所以(2x－t)(2－x－t)≤0在[1,2]上恒成立, 即1－t(2x＋2－x)＋t 2≤0在[1,2]上恒成立, 即2－x≤t ≤2x 在[1,2]上恒成立, 即12≤t ≤2,故答案为C. 6．指数函数y ＝f(x)的图象经过点(m,3),则f(0)＋f(－m)＝________． 解析：设f(x)＝a x(a ＞0且a≠1),所以f(0)＝a 0＝1. 且f(m)＝a m＝3.所以f(0)＋f(－m)＝1＋a －m＝1＋1a m ＝43.答案：437．(2020·杭州中学高三月考)已知e x＋x 3＋x ＋1＝0,1e3y －27y 3－3y ＋1＝0,则ex ＋3y的值为________． 解析：因为e x＋x 3＋x ＋1＝0,1e3y －27y 3－3y ＋1＝0等价于e－3y ＋(－3y)3＋(－3y)＋1＝0,所以x ＝－3y,即x ＋3y ＝0,所以ex ＋3y ＝e 0＝1.答案：18．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x>1，（2－3a ）x ＋1，x ≤1是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是________．解析：依题意,a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a<1，2－3a<0，（2－3a ）×1＋1≥a 1，解得23<a ≤34.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤23，349．当x∈(－∞,－1]时,不等式(m 2－m)·4x－2x<0恒成立,则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x, 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞,－1]上是减函数, 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2,当x∈(－∞,－1]时,m 2－m<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m<2,解得－1<m<2. 答案：(－1,2)10．已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1,求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3,求a 的值．解：(1)当a ＝－1时,f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3, 令g(x)＝－x 2－4x ＋3, 由于g(x)在(－∞,－2)上单调递增,在(－2,＋∞)上单调递减,而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减, 所以f(x)在(－∞,－2)上单调递减,在(－2,＋∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(－2,＋∞),单调递减区间是(－∞,－2)． (2)令g(x)＝ax 2－4x ＋3,f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ）,由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值－1,因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1, 即当f(x)有最大值3时,a 的值为1.11．已知函数f(x)＝a |x ＋b|(a>0,a ≠1,b ∈R)．(1)若f(x)为偶函数,求b 的值；(2)若f(x)在区间[2,＋∞)上是增函数,试求a,b 应满足的条件．解：(1)因为f(x)为偶函数,所以对任意的x∈R ,都有f(－x)＝f(x),即a |x ＋b|＝a |－x ＋b|,|x ＋b|＝|－x ＋b|,解得b ＝0.(2)记h(x)＝|x ＋b|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x<－b. ①当a>1时,f(x)在区间[2,＋∞)上是增函数,即h(x)在区间[2,＋∞)上是增函数,所以－b≤2,b ≥－2.②当0<a<1时,f(x)在区间[2,＋∞)上是增函数,即h(x)在区间[2,＋∞)上是减函数,但h(x)在区间[－b,＋∞)上是增函数,故不存在a,b 的值,使f(x)在区间[2,＋∞)上是增函数．所以f(x)在区间[2,＋∞)上是增函数时,a,b 应满足的条件为a>1且b≥－2.[综合题组练]1．已知函数f(x)＝|2x－1|,a<b<c 且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是( )A ．a<0,b<0,c<0B ．a<0,b ≥0,c>0C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2解析：选D.作出函数f(x)＝|2x －1|的图象,如图,因为a<b<c 且f(a)>f(c)>f(b),结合图象知,0<f(a)<1,a<0,c>0,所以0<2a <1.所以f(a)＝|2a －1|＝1－2a <1,所以f(c)<1,所以0<c<1.所以1<2c <2,所以f(c)＝|2c －1|＝2c －1,又因为f(a)>f(c),所以1－2a >2c －1,所以2a ＋2c <2,故选D.2．(2020·衢州市高考模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（12）x ，x ＞0－x 2－4x ，x ≤0,则此函数图象上关于原点对称的点有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对 解析：选B.作出函数y ＝f(x)图象如图所示：再作出－y ＝f(－x),即y ＝x 2－4x,恰好与函数图象位于y 轴左侧部分(对数函数的图象)关于原点对称,记为曲线C,发现y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与曲线C 有且仅有一个交点, 因此满足条件的对称点只有一对,图中的A 、B 就是符合题意的点．故选B.3．(2020·杭州模拟)已知函数y ＝a x ＋b(a>0,且a≠1,b>0)的图象经过点P(1,3),如图所示,则4a －1＋1b的最小值为________,此时a,b 的值分别为________． 解析：由函数y ＝a x ＋b(a>0且a≠1,b>0)的图象经过点P(1,3),得a ＋b ＝3,所以a －12＋b 2＝1,又a>1,则4a －1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －1＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋b 2＝2＋12＋2b a －1＋a －12b ≥52＋2 2b a －1·a －12b ＝92,当且仅当2b a －1＝a －12b ,即a ＝73,b ＝23时取等号,所以4a －1＋1b 的最小值为92. 答案：92 73,23 4．(2020·绍兴一中高三期中)已知函数f(x)＝e |x|,将函数f(x)的图象向右平移3个单位后,再向上平移2个单位,得到函数g(x)的图象,函数h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e （x －1）＋2，x ≤5，4e 6－x ＋2，x>5，若对于任意的x∈[3,λ](λ>3),都有h(x)≥g(x),则实数λ的最大值为________．解析：依题意,g(x)＝f(x －3)＋2＝e |x －3|＋2,在同一坐标系中分别作出g(x),h(x)的图象如图所示,观察可得,要使得h(x)≥g(x),则有4e 6－x ＋2≥e (x －3)＋2,故4≥e 2x －9,解得2x －9≤ln 4,故x≤ln 2＋92,实数λ的最大值为ln 2＋92. 答案：ln 2＋925．已知函数f(x)＝2a·4x －2x－1.(1)当a ＝1时,求函数f(x)在x ∈[－3,0]上的值域；(2)若关于x 的方程f(x)＝0有解,求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时,f(x)＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1, 令t ＝2x ,x ∈[－3,0],则t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－98,t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1, 故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a(2x )2－2x－1＝0有解,设2x ＝m>0,等价于方程2am 2－m －1＝0在(0,＋∞)上有解,记g(m)＝2am 2－m －1,当a ＝0时,解为m ＝－1<0,不成立．当a<0时,开口向下,对称轴m ＝14a<0, 过点(0,－1),不成立．当a>0时,开口向上,对称轴m ＝14a>0,过点(0,－1),必有一个根为正,综上得a>0.6．(2020·宁波效实中学模拟)已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,x ∈[－1,1],函数g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值为h(a)．(1)求h(a)；(2)是否存在实数m,n 同时满足下列条件：①m>n>3；②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n 2,m 2]？若存在,求出m,n 的值；若不存在,说明理由． 解：(1)因为x∈[－1,1], 所以f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3, 设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3. 则y ＝φ(t)＝t 2－2at ＋3＝(t －a)2＋3－a 2.当a<13时,y min ＝h(a)＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝289－2a 3； 当13≤a ≤3时,y min ＝h(a)＝φ(a)＝3－a 2； 当a>3时,y min ＝h(a)＝φ(3)＝12－6a. 所以h(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a<13，3－a 2，13≤a ≤3，12－6a ，a>3. (2)假设存在m,n 满足题意．因为m>n>3,h(a)＝12－6a 在(3,＋∞)上是减函数,又因为h(a)的定义域为[n,m],值域为[n 2,m 2],所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2，12－6n ＝m 2，两式相减得6(m －n)＝(m －n)(m ＋n),即m ＋n ＝6,与m>n>3矛盾, 所以满足题意的m,n 不存在．。
新高考2023版高考数学一轮总复习第2章第5讲指数与指数函数课件
1
2
D，左边＝a3 ÷a－3 ＝a1＝a，左边＝右边．故选 D．
3．(必修 1P107T2 改编)设 a>0，将
a2 表示成分数指数幂，其结
3
a·
a2
果是
( C)
A．a12
B．a56
C．a76
D．a32
[解析] 由题意得
a2
＝a2－12
－1 3
＝a67
，故选 C．
3
a·
a2
4．(必修 1P109T4 改编)化简4 16x8y4(x<0，y<0)＝__－__2_x_2y___.
当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有__两__个___，
它们互为__相__反__数___
±n a
零的 n 次方根是零
负数没有偶次方 根
(2)两个重要公式 __a__，n为奇数，
①n an＝|a|＝____－a____a_a_≥a<00，， n为偶数.
②(n a)n＝__a__(注意 a 必须使n a有意义)．
3．f(x)＝ax 与 g(x)＝1ax(a>0 且 a≠1)的图象关于 y 轴对称．
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4
(1)
－44＝－4.
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn 个 a 相乘．
m
m
(3)a－n ＝－an (n，m∈N*)．
(× ) (× ) (× )
考点突破·互动探究
考点一
例1
指数与指数运算——自主练透 (1)(多选题)下列命题中不正确的是
A．n an＝a
B．a∈R，则(a2－a＋1)0＝1
高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.5指数与指数函数课件理
第六页，共42页。
(2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ ar＋s (a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)．
第七页，共42页。
2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
第八页，共42页。
第九页，共42页。
故②正确；③
＝ ＝ 2；④ 4 －24＝2；⑤当 a≠0 时，由(1＋a2)m＜(1
＋a2)n 可知 m＜n，当 a＝0 时不成立．
答案：②
第十五页，共42页。
3
考点疑难突破
第十六页，共42页。
指数(zhǐshù)幂的化简与求值
计算：
第十七页，共42页。
【解】 (1)原式＝
－ 51－0 2＋1＝
第二十页，共42页。
[自 主 演 练]
1．化简 4 16x8y4(x＜0，y＜0)得( A．2x2y C．4x2y
) B．2xy D．－2x2y
解析： 4 16x8y4＝(16x8y4) ＝[24(－x)8·(－y)4] ＝
＝
2(－x)2(－y)＝－2x2y.
答案：D
第二十一页，共42页。
2．(2017 届四川绵阳一诊)计算：2 3×3 1.5×6 12＝________. 解析：原式＝
【答案】 C
第三十三页，共42页。
角度三 探究指数型函数的性质
(1)函数 y＝14x－12x＋1 在区间[－3,2]上的值域是________．
(2)函数 f(x)＝
的单调减区间为________．
第三十四页，共42页。
【解析】 (1)因为 x∈[－3,2]， 所以令 t＝12x，则 t∈14，8， 故 y＝t2－t＋1＝t－122＋34. 当 t＝12时，ymin＝34；当 t＝8 时，ymax＝57. 故所求函数的值域为34，57.
高中数学第一轮复习(教师用)第二章函数导数及其应用之第五节指数与指数函数
第二章函数导数及其应用第五节指数与指数函数1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的定义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．4．知道指数函数是一类重要的函数模型．◆教材通关◆1．根式的概念(1)na n＝⎩⎨⎧a，n为奇数，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a<0)，n为偶数；(2)(na)n＝a(注意a必须使na有意义)．[必记结论]在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．3．指数函数的图象与性质[1．画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2．底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．3．底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．4．指数函数的图象向左(或向右)平移不会与x 轴有交点，向上(或向下)平移a 个单位后，图象都在直线y ＝a (或y ＝－a )的上方．[小题诊断]1．化简的结果是( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9解析：＝－1＝23－1＝7.答案：B2．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象关于( )A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：∵g (x )＝21－x ＝f (－x )，∴f (x )与g (x )的图象关于y 轴对称． 答案：A3．设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．c >a >b C ．a >b >cD ．b >a >c解析：因为a ＝22.5>1，b ＝2.50＝1，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5<1，所以a >b >c . 答案：C4．(2018·邯郸质检)已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是( )解析：由函数y ＝kx ＋a 的图象可得k <0,0<a <1，又因为与x 轴交点的横坐标大于1，所以k >－1，所以－1<k <0.函数y ＝a x ＋k 的图象可以看成把y ＝a x 的图象向右平移－k 个单位得到的，且函数y ＝a x ＋k 是减函数，故此函数与y 轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，应该选B.答案：B5．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(m,3)，则f (0)＋f (－m )＝________. 解析：设f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，∴f (0)＝a 0＝1. 且f (m )＝a m ＝3.∴f (0)＋f (－m )＝1＋a －m ＝1＋1a m ＝43.答案：436．已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)， 所以函数f (x )在定义域上单调递增， 所以1a ＞1，解得0＜a ＜1. 答案：(0,1)◆ 易错通关 ◆1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.[小题纠偏]1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)． (1)n a n ＝(na )n ＝a .( )(2)分数指数幂a m n 可以理解为mn个a 相乘．( )( )答案：(1)× (2)× (3)×2．若函数y ＝(a －1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 答案：(1,2)考点一 指数幂的运算 自主探究 基础送分考点——自主练透[题组练通]1．求值：解析：原式＝＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.2．化简：解析：原式＝－54·1ab 3＝－5ab4ab 2.3．化简：解析：.指数幂运算的4个原则(1)有括号的先算括号里面的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.考点二 指数函数的图象及应用 互动探究 重点保分考点——师生共研[典例] (1)函数y ＝a x －1a(a ＞0，a ≠1)的图象可能是( )(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．解析：(1)函数y ＝a x －1a 由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到，A 项显然错误；当a ＞1时，0＜1a ＜1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0＜a ＜1时，1a＞1，平移距离大于1，所以C 项错误．故选D. (2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．故b 的取值范围是[－1,1]．答案：(1)D (2)[－1,1]与指数函数有关的图象问题的求解方法1．已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．2．对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到，特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．3．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.[即时应用]1．(2018·唐山模拟)当x ∈[1,2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x (a ＞0)的图象有交点，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，2B.⎣⎡⎭⎫12，1∪(]1，2 C.⎣⎡⎦⎤14，2D.⎣⎡⎦⎤14，2解析：当a ＞1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12×22≥a 2，即1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，如图②所示，需满足12×12 ≤a 1，即12≤a ＜1，综上可知，a ∈⎣⎡⎭⎫12，1∪(]1，2.答案：B2．若函数y ＝|3x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为________．解析：函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k 的取值范围是(－∞，0]．答案：(－∞，0]考点三指数函数的性质及应用多维探究题点多变考点——多角探明[锁定考向]高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题．常见的命题角度有：(1)比较指数式的大小；(2)与指数函数有关的函数值域问题；(3)探究指数型函数的性质．角度一比较指数式的大小1．(2018·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是()A．1.72.5＞1.73B．0.6－1＞0.62C．0.8－0.1＞1.250.2D．1.70.3＜0.93.1解析：A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5＜3，∴1.72.5＜1.73.B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1＜2，∴0.6－1＞0.62.C中，∵0.8－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1＜0.2，∴1.250.1＜1.250.2，即0.8－0.1＜1.250.2.D中，∵1.70.3＞1,0＜0.93.1＜1，∴1.70.3＞0.93.1.答案：B比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小.角度二 与指数函数有关的函数值域问题2．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.答案：52形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x 转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．角度三 探究指数函数性质的问题3．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.答案：B4．已知函数f (x )＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．解析：令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减，而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．答案：(－∞，4]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用.[即时应用]1．设a ＝40.8，b ＝80.46，c ＝⎝⎛⎭⎫12－1.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：∵a ＝21.6，b ＝21.38，c ＝21.2，函数y ＝2x 在R 上单调递增，且1.2＜1.38＜1.6，∴21.2＜21.38＜21.6，即c ＜b ＜a .答案：A2．设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1解析：根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0,2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，∴K ≥1，故选D.答案：D3．(2018·皖南八校联考)对于给定的函数f (x )＝a x －a －x (x ∈R ，a >0，a ≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________(只需写出所有真命题的编号)．①函数f (x )的图象关于原点对称； ②函数f (x )在R 上不具有单调性； ③函数f (|x |)的图象关于y 轴对称； ④当0<a <1时，函数f (|x |)的最大值是0； ⑤当a >1时，函数f (|x |)的最大值是0.解析：∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，f (x )的图象关于原点对称，①真；当a >1时，f (x )在R 上为增函数，当0<a <1时，f (x )在R 上为减函数，②假；y ＝f (|x |)是偶函数，其图象关于y 轴对称，③真；当0<a <1时，y ＝f (|x |)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x ＝0时，y ＝f (|x |)的最大值为0，④真；当a >1时，f (x )在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x ＝0时，y ＝f (x )的最小值为0，⑤假，综上，真命题是①③④.答案：①③④课时作业单独成册 对应学生用书第201页A 组——基础对点练1．函数f (x )＝2|x －1|的大致图象是( )解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜1，所以f (x )的图象在[1，＋∞)上为增函数，在(－∞，1)上为减函数．答案：B2．(2018·广州市模拟)设a ＝0.70.4，b ＝0.40.7，c ＝0.40.4，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a解析：∵函数y ＝0.4x 在R 上单调递减，∴0.40.7＜0.40.4，即b ＜c ，∵y ＝x 0.4在(0，＋∞)上单调递增，∴0.40.4＜0.70.4，即c ＜a ，∴b ＜c ＜a .答案：C 3．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )解析：故选C.答案：C4．设x >0，且1<b x <a x ，则( ) A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1C ．1<b <aD ．1<a <b解析：∵1<b x ，∴b 0<b x ，∵x >0，∴b >1，∵b x <a x ，∴⎝⎛⎭⎫a b x >1，∵x >0，∴ab >1⇒a >b ，∴1<b <a .故选C. 答案：C5．已知函数f (x )＝a x ，其中a >0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2解析：∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上， ∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A. 答案：A6．已知则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析：∵y ＝⎝⎛⎭⎫25x 为减函数，35>25，∴b <c . 又∵y ＝在(0，＋∞)上为增函数，35>25，∴a >c ，∴b <c <a ，故选D. 答案：D7．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )解析：由函数f (x )的图象可知，－1<b <0，a >1，则g (x )＝a x ＋b 为增函数，当x ＝0时，g (0)＝1＋b >0，故选C.答案：C8．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为{x |x ＜－1或x ＞12}，则f (10x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞－lg 2}B ．{x |－1＜x ＜－lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}解析：因为一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－1或x ＞12，所以可设f (x )＝a (x ＋1)·⎝⎛⎭⎫x －12(a ＜0)，由f (10x )＞0可得(10x ＋1)·⎝⎛⎭⎫10x －12＜0，即10x ＜12，x ＜－lg 2，故选D. 答案：D9．函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2的值域为( ) A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－∞，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， 又y ＝⎝⎛⎭⎫12t 在R 上为减函数， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2≥⎝⎛⎭⎫121＝12， 即值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：A10．(2018·哈尔滨模拟)函数f (x )＝e 2x ＋1e x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称 解析：f (x )＝e 2x ＋1e x ＝e x ＋1e x ，∵f (－x )＝e －x ＋1e －x ＝e x ＋1e x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，∴函数f (x )的图象关于y 轴对称．答案：D11．(2018·北京丰台模拟)已知奇函数y ＝{ f (x )，x ＞0，g (x )，x <0.如果f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝( )A.⎝⎛⎭⎫12－x B ．－⎝⎛⎭⎫12xC ．2－xD ．－2x解析：由题图知f (1)＝12，∴a ＝12，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ， 由题意得g (x )＝－f (－x )＝－⎝⎛⎭⎫12－x ＝－2x ，故选D. 答案：D12．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a 5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为________． 解析：由题意，得x ＜0，所以0＜⎝⎛⎭⎫32x ＜1， 从而0＜2＋3a 5－a ＜1，解得－23＜a ＜34.答案：⎝⎛⎭⎫－23，34 13．不等式2x 2－x ＜4的解集为________．解析：不等式2x 2－x ＜4可转化为2x 2－x ＜22，利用指数函数y ＝2x 的性质可得，x 2－x ＜2，解得－1＜x ＜2，故所求解集为{x |－1＜x ＜2}．答案：{x |－1＜x ＜2}14．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．解析：设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，∴0＜t ≤1，f (t )＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，14.∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－14，0.故函数的值域为⎣⎡⎦⎤－14，14.答案：⎣⎡⎦⎤－14，14 B 组——能力提升练1．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x－1，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫23 B ．f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫13＜f ⎝⎛⎭⎫32 D ．f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫13解析：∵函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )＝f (2－x )，∴f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫2－13＝f ⎝⎛⎭⎫53，f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫2－23＝f ⎝⎛⎭⎫43，又∵x ≥1时，f (x )＝3x －1为单调递增函数，且43＜32＜53，∴f ⎝⎛⎭⎫43＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫53， 即f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫13.选B. 答案：B2．已知实数a ，b 满足等式2 017a ＝2 018b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：设2 017a ＝2 018b ＝t ，如图所示，由函数图象，可得若t >1，则有a >b >0；若t ＝1，则有a ＝b ＝0；若0<t <1，则有a <b <0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．答案：B3．(2018·莱西一中模拟)函数y ＝a x －a －1(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a >1，平移距离大于1，所以C 项错误，故选D.答案：D4．(2018·日照模拟)若x ∈(2,4)，a ＝2x 2，b ＝(2x )2，c ＝22x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >a >c解析：∵b ＝(2x )2＝22x ，∴要比较a ，b ，c 的大小，只要比较当x ∈(2,4)时x 2,2x,2x 的大小即可．用特殊值法，取x ＝3，容易知x 2>2x >2x ，则a >c >b .答案：B5．已知a ＞0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x .当x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) B ．⎣⎡⎭⎫12，1∪(1,2] C.⎝⎛⎦⎤0，14∪[4，＋∞) D ．⎣⎡⎭⎫14，1∪(1,4]解析：当x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜12，即a x ＞x 2－12在(－1,1)上恒成立，令g (x )＝a x ，m (x )＝x 2－12，当0＜a ＜1时，g (1)≥m (1)，即a ≥1－12＝12，此时12≤a ＜1；当a ＞1时，g (－1)≥m (1)，即a －1≥1－12＝12，此时1＜a ≤2.综上，12≤a ＜1或1＜a ≤2.故选B.答案：B6．(2018·菏泽模拟)若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k ＞0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：∵f (x )＝1＋2·2x2x ＋1＋sin x＝1＋2·2x ＋1－12x ＋1＋sin x＝2＋1－22x ＋1＋sin x＝2＋2x －12x ＋1＋sin x .记g (x )＝2x －12x ＋1＋sin x ，则f (x )＝g (x )＋2，易知g (x )为奇函数，则g (x )在[－k ，k ]上的最大值与最小值互为相反数，∴m ＋n ＝4. 答案：D7．若x log 52≥－1，则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3的最小值为( )A ．－4B ．－3C ．－1D ．0解析：∵x log 52≥－1，∴2x ≥15，则f (x )＝4x －2x ＋1－3＝(2x )2－2×2x －3＝(2x －1)2－4.当2x ＝1时，f (x )取得最小值－4.答案：A8．若x ＞1，y ＞0，x y ＋x －y ＝22，则x y －x －y 的值为( )A. 6 B ．－2 C ．2D ．2或－2解析：∵x ＞1，y ＞0，∴x y ＞1,0＜x －y ＜1，则x y －x －y ＞0.∵x y ＋x －y ＝22，∴x 2y ＋2x y ·x －y ＋x －2y ＝8，即x 2y ＋x －2y ＝6，∴(x y －x －y )2＝4，从而x y －x－y ＝2，故选C.答案：C9．已知实数a ，b 满足12＞⎝⎛⎭⎫12a ＞⎝⎛⎭⎫22b ＞14，则( )A ．b ＜2b －aB ．b ＞2b －aC ．a ＜b －aD ．a ＞b －a解析：由12＞⎝⎛⎭⎫12a，得a ＞1；由⎝⎛⎭⎫12a ＞⎝⎛⎭⎫22b ，得⎝⎛⎭⎫222a ＞⎝⎛⎭⎫22b ，进而2a ＜b ； 由⎝⎛⎭⎫22b ＞14，得⎝⎛⎭⎫22b ＞⎝⎛⎭⎫224，进而b ＜4. ∴1＜a ＜2,2＜b ＜4. 取a ＝32，b ＝72，得b －a ＝72－32＝2，有a ＞b －a ，排除C ；b ＞2b －a ，排除A ；取a ＝1110，b ＝3910，得b －a ＝3910－1110＝145，有a ＜b －a ，排除D.故选B.答案：B10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫2x －12x ·，m ，n 为实数，则下列结论中正确的是( )A ．若－3≤m ＜n ，则f (m )＜f (n )B ．若m ＜n ≤0，则f (m )＜f (n )C ．若f (m )＜f (n )，则m 2＜n 2D ．若f (m )＜f (n )，则m 3＜n 3解析：∵f (x )的定义域为R ，其定义域关于原点对称，f (－x )＝＝＝f (x )，∴函数f (x )是一个偶函数，又x ＞0时，2x －12x 与是增函数，且函数值为正，∴函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫2x －12x ·在(0，＋∞)上是一个增函数，由偶函数的性质知，函数f (x )在(－∞，0)上是一个减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值越小，函数值就越小，反之也成立．对于选项A ，无法判断m ，n 离原点的远近，故A 错误；对于选项B ，|m |＞|n |，∴f (m )＞f (n )，故B 错误；对于选项C ，由f (m )＜f (n )，一定可得出m 2＜n 2，故C 是正确的；对于选项D ，由f (m )＜f (n )，可得出|m |＜|n |，但不能得出m 3＜n 3，故D 错误．综上可知，选C.答案：C11．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B ．13C.12D ．1解析：由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e －(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e －1＋1)＝0，解得a ＝12.故选C.答案：C12．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．解析：因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )关于直线x ＝1对称，所以a ＝1，所以函数f (x )＝2|x －1|的图象如图所示，因为函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，所以m ≥1，所以实数m 的最小值为1.答案：113．(2018·眉山模拟)已知定义在R 上的函数g (x )＝2x ＋2－x ＋|x |，则满足g (2x －1)＜g (3)的x 的取值范围是________．解析：∵g (x )＝2x ＋2－x ＋|x |，∴g (－x )＝2x ＋2－x ＋|－x |,2x ＋2－x ＋|x |＝g (x )，则函数g (x )为偶函数，当x ≥0时，g (x )＝2x ＋2－x ＋x ，则g ′(x )＝(2x －2－x )·ln 2＋1＞0，则函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，而不等式g (2x －1)＜g (3)等价于g (|2x －1|)＜g (3)，∴|2x －1|＜3，即－3＜2x －1＜3，解得－1＜x ＜2，即x 的取值范围是(－1,2)．答案：(－1,2)14．(2018·信阳质检)若不等式(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x ＜1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x ＜1可变形为m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x ＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x 2，设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则原条件等价于不等式m 2－m ＜t ＋t 2在t ≥2时恒成立，显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6，所以m 2－m ＜6，解得－2＜m ＜3.答案：(－2,3)。
高三数学一轮复习教案：指数与指数函数 必修一
必修Ⅰ—0５ 指数与指数函数1、 n 次方根的定义： 若nxa =，则称x 为a 的n 次方根.当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数，负数没有偶次方根. 0的n 次方根是0． 2、 方根的性质：当n = .当n =,0,0a a a a ≥⎧⎨-<⎩.3、 分数指数幂的意义：若0,,a m n >都是正整数，n >１则m na = ，m na -= .0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 4、 有理指数幂的运算性质：_______,(0)r s a a a ⋅=> ()______,(0)r s a a =>______,(0)r s a a a=> ()______,(0)rab a => 5、 指数函数的概念:函数(01)x ya a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量.6、 指数函数的图像与性质.例１、化简下列各式20)a>（２）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b-÷-例２、比较下列不等式，比较,m n的大小：（１）22m n<（２）0.20.2m n<（３）,(01)m na a a<<<（４）,(1)m na a a>>例３、已知()log()xaf x a a=-（1）当01a<<时，求()f x的定义域；（2）判断(2)f是否大于零，并说明理由.。
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第5课时 指数与指数函数精品课件 理 北师大
• 3．指数函数的图象和性质
函数
y＝ax(a＞0，且a≠1)
0＜a＜1
a＞1
图象
图象特征
在x轴 上方，过定点 (0,1)
当x逐渐增大时， 图象逐渐下降
当x逐渐增大时， 图象逐渐上升
函数
定义域
值域
性 单调性 质
函数 值变 化规律
y＝ax(a＞0，且a≠1)
D．f(－2)＞f(2)
解析： 由a－2＝4，a＞0，得a＝12， ∴f(x)＝21－|x|＝2|x|. 又∵|－2|＞|－1|，∴2|－2|＞2|－1|，即f(－2)＞f(－1)． 答案： A
4．方程3x－1＝19的解是________． • 答案： －1
5．函数y＝121－x的值域是________． 解析： 函数的定义域为R，令u＝1－x∈R， ∴y＝21u＞0. 答案： (0，＋∞)
• (2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函 数．
• 1．与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法
• (1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同； • (2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定y＝
af(x)的值域． • 2．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 • (1)求复合函数的定义域； • (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； • (3)分层逐一求解函数的单调性； • (4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．
【变式训练】 1.计算下列各式：
• 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的 图象，通过平移、对称变换得到其图象．
高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第5讲指数式与指数函数课件理
x－1|的图象有两个交点(jiāodiǎn)，应有2a<1，∴0<a< . 1 2
答案(dá àn)：D
图 2-5-2
第二十三页，共26页。
【规律方法】(1)在指数函数解析式中，必须时刻注意底数
a>0 且 a≠1，对于指数函数的底数 a，在不清楚其取值范围时，
例 2：已知实数 a，b 满足等式
，下列(xiàliè)12五个a＝关系13式：b
①成0立<b<的a；关②a系<b式<0；有③(0<a<b；④b)<a<0；⑤a＝b.其中不可能
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第十一页，共26页。
1 x 解析：在同一直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系中作出函数 y＝ ， 3y＝ 的
第十九页，共26页。
【互动(hù dònɡ)探究】
则其在4．[－若函1,2数]上f(的x)最＝小ax值(a>为0，__a_≠12_或1_)_1在_16_[_－__1.,2]上的最大值为 4， 解析：当 a>1 时，函数 f(x)＝ax 单调递增，则最大值为 a2
＝4，a＝2，此时最小值为 a－1＝12； 当 0<a<1 时，函数 f(x)＝ax 单调递减，则最大值为 a－1＝4，
第二十五页，共26页。
3．比较两个指数幂大小(dàxiǎo)时，尽量化同底或同指，当底数相 同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小(dàxiǎo)；当指数 相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小(dàxiǎo)．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
必修Ⅰ-05 指数与指数函数
1、
n 次方根的定义：
若n x a =，则称x 为a 的n 次方根.
当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数. 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数，负数没有偶次方根.
0的n 次方根是0. 2、
方根的性质：
当n = .
当n = =,0
,0a a a a ≥⎧⎨-<⎩
.
3、 分数指数幂的意义：
若0,,a m n >都是正整数，n >1则m n
a = ，m n
a -= . 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 4、
有理指数幂的运算性质：
_______,(0)r s a a a ⋅=> ()______,(0)r s a a =>
______,(0)r s a a a
=> ()______,(0)r
ab a => 5、 指数函数的概念:函数(01)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量. 6、
指数函数的图像与性质.
例1、化简下列各式
（12
0)a > （2）2115113366
22(2)(6)(3)a b a b a b -÷-
例2、比较下列不等式，比较,m n 的大小：
（1）22m n < （2）0.20.2m n <
（3）,(01)m n
a a a <<< （4）,(1)m n
a a a >>
例3、已知()log ()x a f x a a =-
（1） 当01a <<时，求()f x 的定义域；
（2）判断(2)
f是否大于零，并说明理由.。