高中数学第一章常用逻辑用语1.4.1全称量词1.4.2存在量词课时提升作业21_1

全称量词存在量词
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( )
A.存在一个α0,使tan(90°-α0)=tanα0
B.存在实数x0,使sinx0=
C.对一切α,sin(180°-α)=sinα
D.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
【解析】选A.由命题是特称命题,排除C,D;在A中,当α0=45°时,结论正确;B中,>1,所以不存在x0,使sinx0=.
2.(2016²龙岩高二检测)下列命题中的假命题是( )
A.∀x∈R,2x-1>0
B.∀x∈N*,(x-1)2>0
C.∃x0∈R,lgx0<1
D.∃x0∈R,tanx0=2
【解析】选B.A中命题是全称命题,易知2x-1>0恒成立,故是真命题;
B中命题是全称命题,当x=1时,(x-1)2=0,故是假命题;
C中命题是特称命题,当x0=1时,lgx0=0,故是真命题;
D中命题是特称命题,依据正切函数定义,可知是真命题.
【补偿训练】(2016²天津模拟)有四个关于三角函数的命题:p1:∃A0∈R,sin2+cos2=;p2:∃A0,B0∈R,sin(A0-B0)=sinA0-sinB0;p3:∀x∈[0,π],=sinx,p4:sinx=cosy→x+y=.其中假命题是
( )
A.p1,p4
B.p2,p4
C.p1,p3
D.p2,p3
【解析】选A.因为sin2+cos2=1恒成立,所以命题p1为假命题.
因为当A0=0,B0=0时,sin(A0-B0)=sinA0-sinB0,所以命题p2为真命题.
因为==|sinx|,而x∈[0,π],所以sinx≥0,所以=sinx,所以命题p3为
真命题.因为sin=cos0,而+0≠,所以命题p4为假命题.
3.(2016²金华高二检测)命题p:∃x0∈N,<;命题q:∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=log a(x-1)的图象过点(2,0).则( )
A.p假q真
B.p真q假
C.p假q假
D.p真q真
【解析】选A.因为x3<x2,所以x2(x-1)<0,所以x<0或0<x<1,在这个范围内没有自然数,命题p为假命题.因为f(x)的图象过点(2,0),所以log a1=0,对∀a∈(0,1)∪(1,+∞)的值均成立,命题q为真命题.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.下列命题是真命题的是(填序号).
①所有的实数x都能使x2-3x+6>0成立;②存在一个实数x0,使不等式-3x0+6<0成立;③存在一个实数x0,使-3x0+6=0.
【解析】因为x2-3x+6=0中,Δ=(-3)2-4³6=-15<0,
所以x2-3x+6=0无解,x2-3x+6>0恒成立.
所以①正确,②③错误.
答案:①
5.当命题(1)∀x∈R,sinx+cosx>m,(2)∃x0∈R,sinx0+cosx0>m分别为真命题时,m的范围分别是(1) ,(2) .
【解析】(1)令y=sinx+cosx,x∈R.
因为y=sinx+cosx=sin≥-,
又因为∀x∈R,sinx+cosx>m为真命题,
所以只要m<-即可.
所以所求m的取值范围是(-∞,-).
(2)令y=sinx+cosx,x∈R.
因为y=sinx+cosx=sin∈[-,],
又因为∃x0∈R,sinx0+cosx0>m为真命题,
所以只要m<即可,
所以所求m的取值范围是(-∞,).
答案:(1)(-∞,-) (2)(-∞,)
三、解答题
6.(10分)(教材P28T5改编)判断下列命题的真假:
(1)∀x∈N,x2>0.
(2)圆x2+y2=r2(r>0)上存在一点到圆心的距离是r.
(3)存在一对实数x0,y0满足2x0+4y0=3.
(4)方程2x+4y=3的所有解都不是整数解.
【解析】(1)假命题:当x=0时,x2=0.
(2)真命题:由圆的定义知圆上的每一个点到圆心的距离都是r.
(3)真命题:满足方程2x+4y=3.
(4)真命题:当x,y∈Z时,左边是偶数,右边3是奇数,不可能相等.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016²佛山高二检测)下列命题中,真命题是( )
A.∃m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是偶函数
B.∃m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是奇函数
C.∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数
D.∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数
【解析】选A.只有当m=0时,f(x)=x2(x∈R)是偶函数,故A正确,C,D不正确;又二次函数不可能为奇函数,故B不正确.
2.(2016²衡阳高二检测)设命题p:∃x0∈R,使+2ax0+2-a=0;命题q:不等式ax2-ax+2>0对任意x∈R 恒成立.若p为真,且p或q为真,则a的取值范围
是( )
A.(-2,1)
B.(-2,0)
C.[0,4)
D.(0,4)
【解题指南】若p为真,且p或q为真,则可知命题p和q都为假命题,从而求出参数a的取值范围. 【解析】选B.由命题p:∃x0∈R,使+2ax0+2-a=0可知,Δ≥0,则a≤-2或a≥1,
对于命题q,因为x∈R,ax2-ax+2>0恒成立,
所以
或a=0,即0≤a<4.
由题意知p与q都为假命题,
所以
⇒-2<a<0,
所以a的取值范围为(-2,0).
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016²本溪高二检测)不等式组的解集记为D.有下面四个命题: p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,
p2:∃(x0,y0)∈D,x0+2y0≥2,
p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,
p4:∃(x0,y0)∈D,x0+2y0≤-1.
其中真命题是.
【解析】不等式组表示的平面区域如图所示.
由得交点A(2,-1),
因为目标函数u=x+2y的斜率k=-,
所以当直线x+2y=u过A时,u取最小值0.故p1,p2正确.
答案:p1,p2
4.下列命题:
①∀x∈R,x2+1>0;②∀x∈N,x2≥1;
③∃x0∈Z,<1;④∃x0∈Q,=3;
⑤∀x∈R,x2-3x+2=0;
⑥∃x0∈R,x2+1=0.
其中所有真命题的序号是.
【解析】①∀x∈R,x2+1≥1>0;②∀x∈N,x2≥0;③∃x0=0∈Z,<1;④=3⇒x0=±∉Q;⑤x=0时x2-3x+2≠0;⑥∀x∈R,x2+1≥1>0.所以①③为真命题.
答案:①③
三、解答题
5.(10分)(2016²汉中高二检测)已知a∈R,命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈
R,+2ax0+2-a=0”.
(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围.
(2)若命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
【解题指南】(1)命题p为真命题只需a≤(x2)min即可.(2)命题“p∧q”为假命题,则p为假命题或q为假命题.p为假命题时a的取值集合与p为真命题时a的取值集合互补,从而由(1)可得p为假命题时a的范围.q 为假命题此方程无根,即判别式小于0.
【解析】(1)由命题p为真命题,a≤(x2)min,a≤1.
(2)由命题“p∧q”为假命题,所以p为假命题或q为假命题.
p为假命题时,由(1)得a>1.
q为假命题时,Δ=4a2-4(2-a)<0,解得-2<a<1.
综上,a∈(-2,1)∪(1,+∞).
【补偿训练】已知命题p:“存在a0>0,使函数f(x)=a0x2-4x在(-∞,2]上单调递减”,命题q:“存在a0∈R,使∀x∈R,16x2-16(a0-1)x+1≠0”.若命题“p∧q”为真命题,求实数a的取值范围.
【解析】若p为真,则对称轴x=-=≥2,所以0<a≤1.
若q为真,则方程16x2-16(a-1)x+1=0无实数根,所以Δ=[16(a-1)]2-4³16<0,所以<a<.因为命题“p∧q”为真命题,
所以所以<a≤1.故实数a的取值范围为.。