第二章节矩阵及其运算说课材料
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线性代数课件_第二章_矩阵及其运算——3
A 1 A A 1A E ,
则矩阵 A1称为 A的可逆矩阵或逆阵.
2020/4/25
课件
4
二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于n阶矩阵 A，如果有一个n阶矩阵B
,使得
A B B A E ,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B称为A的逆矩阵. A的逆矩阵记A作 1. 例 设 A 11 ,B 12 12 ,
得
A
2 3
6 6
4 5 ,
2 2 2
故
2
A1
1 A
A
1 2
3 2
6 6 2
54 2
1 3 1
2
3 3 1
2 5 2. 1
2020/4/25
课件
17
例2 下列 A ,B 矩 是阵 否 ?若 可可 ,求 逆逆 出其
矩.阵
1 2 3 A 2 1 2,
1 3 3
2 3 1 B 1 3 5 .
证明 由 A 2A 2E 0 ,
A1
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得 A A E 2 E AAEE
2
AAE 1A0, 故A可逆 . 2
课件
23
A11AE.
2
又 A 2 A 由 2 E 0
A 2 E A 3 E 4 E 0
A2E 1 4A3E E A2E1
A2E1A3E1, 故 A2E可.逆
4
且 A 2E 11A 3E 3E A.
4
4
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课件
24
例5 解矩 1 阵 1 5 方 X 3程 2 ;
14 14
2X11
1 1
1 1 02
2 0
3 4;
2 1 1 0 1 5
第二章 矩阵及其运算
第二章 矩阵及其运算1．教学目的和要求：(1) 使学生了解矩阵的概念，掌握矩阵的基本运算. (2) 掌握可逆矩阵的求法(3) 熟练掌握矩阵的初等变换与秩的求法 2．教学重点： (1) 矩阵的基本运算. (2) 逆矩阵的求法(3) 矩阵的初等变换与初等矩阵3．教学难点：分块矩阵的运算，矩阵的初等变换与初等矩阵.4．本章结构： 通过实例引出矩阵的概念，并介绍矩阵的基本运算，包括逆矩阵的有关性质及求法，重点介绍矩阵的初等变换，并提出初等矩阵的概念，以及两者之间的联系。
最后介绍了矩阵的秩的定义及其求法。
5．教学内容：§2.1 矩阵一、线性变换与矩阵在许多问题中，我们会遇到一些变量用另外一些变量来线性表示。
设变量m y y y ,,,21 能用变量n x x x ,,,21 线性表示，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n mn m m m n n n n x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y 22112222121212121111 （1）其中ij a 为常数（m i ,,2,1 =；n j ,,2,1 =）。
这种从变量n x x x ,,,21 到变量my y y ,,,21 的变换称为线性变换。
线性变换（1）中的系数可以排成m 行n 列的数表：mnm m n n a a a a a a a a a212222111211而线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111的系数也可以排成这样的数表，这种数表就叫做矩阵。
定义1 由n m ⨯个数ij a （m i ,,2,1 =；n j ,,2,1 =）排成m 行n 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 （2）称为m 行n 列矩阵，简称n m ⨯矩阵。
(精选)线性代数教案 第二章 矩阵及其运算
，下面给出它的三种分法，
（i） ；令 ， ， ， 。则 。
（ii） ；令 ， ，
， ， ， 。
则 。
（iii） 。令 ， ，
， ，则 。
当然矩阵分块的目的是为了简化矩阵的表示或运算，矩阵分块后的运算法则与普通矩阵运算基本相同，如
设 ， ，
当各个对应的子块是同型矩阵。则
；
。
设 ， ，则
， 。
一般地说，将矩阵分块后再运算并不减少计算量，只有特殊的矩阵，利用分块材能减少计算量，比较典型是分块对角矩阵，如：
矩阵的行列式满足以下运算律，设A、B都是方阵，则
（1） （由行列式性质）。
（2） ，n是矩阵A的阶。
（3） 。
定义8 (伴随矩阵)设 是n阶方阵，由行列式| |中的每个元素aij的代数余子式 所构成的矩阵
，
称之为矩阵 的伴随矩阵。
注意，伴随矩阵 在位置 上的元素是矩阵 在位置 上的代数余子式。
例如， 的伴随矩阵是 。
特殊的，若两个矩阵A和B满足 ，则称矩阵A和B是可交换的。
例7设 是一般矩阵， 和 分别是m和n阶单位阵，则 和 。如果A是方阵时，有
AE=EA=A，E相当于数1的作用。这就是称E为单位阵的原因。
矩阵乘法满足以下运算律：
（1）结合律 。
（2）数乘结合律 。
（3）分配律 ； 。
矩阵的幂设 是 阶矩阵，定义：
如果 ，则称A为反对称阵。显然，其元素满足： 。
例如 是一个对称矩阵，而 是一个反对称矩阵。显然，对角矩阵一定是对称矩阵。
五、方阵的行列式
定义7 (方阵的行列式)由n阶方阵 的元素，不改变它的位置构成一个n阶行列式，称此行列式为矩阵A所对应的行列式，记做|A|或det( ，即 。
（i） ；令 ， ， ， 。则 。
（ii） ；令 ， ，
， ， ， 。
则 。
（iii） 。令 ， ，
， ，则 。
当然矩阵分块的目的是为了简化矩阵的表示或运算，矩阵分块后的运算法则与普通矩阵运算基本相同，如
设 ， ，
当各个对应的子块是同型矩阵。则
；
。
设 ， ，则
， 。
一般地说，将矩阵分块后再运算并不减少计算量，只有特殊的矩阵，利用分块材能减少计算量，比较典型是分块对角矩阵，如：
矩阵的行列式满足以下运算律，设A、B都是方阵，则
（1） （由行列式性质）。
（2） ，n是矩阵A的阶。
（3） 。
定义8 (伴随矩阵)设 是n阶方阵，由行列式| |中的每个元素aij的代数余子式 所构成的矩阵
，
称之为矩阵 的伴随矩阵。
注意，伴随矩阵 在位置 上的元素是矩阵 在位置 上的代数余子式。
例如， 的伴随矩阵是 。
特殊的，若两个矩阵A和B满足 ，则称矩阵A和B是可交换的。
例7设 是一般矩阵， 和 分别是m和n阶单位阵，则 和 。如果A是方阵时，有
AE=EA=A，E相当于数1的作用。这就是称E为单位阵的原因。
矩阵乘法满足以下运算律：
（1）结合律 。
（2）数乘结合律 。
（3）分配律 ； 。
矩阵的幂设 是 阶矩阵，定义：
如果 ，则称A为反对称阵。显然，其元素满足： 。
例如 是一个对称矩阵，而 是一个反对称矩阵。显然，对角矩阵一定是对称矩阵。
五、方阵的行列式
定义7 (方阵的行列式)由n阶方阵 的元素，不改变它的位置构成一个n阶行列式，称此行列式为矩阵A所对应的行列式，记做|A|或det( ，即 。
矩阵及其运算上课讲义
§2.2 矩阵的运算
三、矩阵的线性运算
矩阵的加法和数乘称为矩阵的线性运算。
四、矩阵的乘法
1、定义 设A=[ail]m×k ,B=[blj]k×n ,设其乘法矩阵 AB用C=[cij]m×n 表示如下：
cij ai1b1 j ai 2b2 j aik bkj
k
ail blj
l 1
i {1,2, , m}, j {1,2, , n}
直接不可达
0 1 1 1
A
1
0
0 1
0 0
0
0
1 0 1 0
§2.1 矩阵的概念
【练习】 设小明家第一季度水、电、物业和煤气费用如下表 所示。请把该表格用矩阵等价的表示；如果用矩阵表示第 一季度每个月费用总额如何表示？如果用矩阵表示第一季 度水费、电费、物业费和煤气费总额如何表示？
一月 二月 三月
b11 b12
(bij ) 4 2
b
21
b
31
b 22
b32
b 41 b 42
其中bi1表示第i种商品的单价， bi2表示第i种商品的重量。
§2.1 矩阵的概念
【例如】四个城市间的直接单向可达航线如图2.1所示。若城 市之间的单向航线定义为：
1 第i个城市和j个 第城市直接可达
aij 0
a2 2 am2
a1n a2n amn
例如
2 3 1 2
A
3
2
0
6
2 2 4 5
2 3 2
AT
§2.2 矩阵的运算
二、矩阵的数乘 1、定义 设A=[aij]m×n ，k为数，数k与矩阵A的乘积定义为：
kA= [kaij]m×n ，或者记为Ak。 【例如】设k=5矩阵A如下所示，则5A=？
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
例如，设实数k=2，矩阵A=[1 2; 3 4]，则kA=[2 4; 6 8]。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
线性代数第2章矩阵PPT课件
线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
第二章 矩阵的运算及与矩阵的秩ppt课件
钢笔 100 150
铅笔 300 260
.
§2.1 矩阵的基本运算
每种商品进货单价和销售单价（元）如下表：
圆珠笔 钢笔 铅笔
进货单价 6 9 3
销售单价 8 12 4
.
§2.1 矩阵的基本运算
求每个月的总进货额和总销售额。
金额 月份
总进货额
总销售额
九月 200×6+100×9+300×3 200×8+100×12+300×4
0 0 2 5
0 1 8
0
0 0
A1
A2
0 0 0 3 2 0
A3
0 0 0 0 0 9
.
二、分块矩阵的运算
§2.2 分块矩阵
1．分块矩阵相加、减
设A、B是两个用相同方法分块的同型矩阵
A11
设Amn
A21 M
A12 L A22 L MO
Ap1 Ap2 L
A1q
B11 B12 L
001 a 31 a 32 a 33 a 3 4 a 31 a 32 a 33 a 34
.
§2.1 矩阵的基本运算
1 0 0 0
a11 A(E 2,3)a21
a12 a22
a13 a23
a a1 24 40 0
0 1
1 0
0 0a a1 21 1
a13 a23
a12 a22
a14 a24
P 1 P 2LP sA Q 1 Q 2LQ tB
.
三、矩阵的转置
§2.1 矩阵的基本运算
定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个 n×m 矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.
矩阵及其运算课件
☞矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，
AB是A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；
☞AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义，
也不一定相等；
☞AB = O 不一定有A= O或B= O ；
A(XY ) = O 且 A≠ O 也不可能一定有X=Y
如：A 11
11
B
1 1
11
AB O
BA
2 2
2 2
如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全 为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。
如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其 余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量 矩阵。
二、矩阵的运算
1.矩阵的加法: 设有两个同型的 m×n 阶矩阵
A= (aij) 、B= (bij)，则矩阵 A 与 B 的和记为 A+B，并规定
A
a21
...
a22
...
... ...
a2n
...
am1 am2 ... amn
由此可见，矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵
同型的矩阵，并且，是用数λ与矩阵的每一个 元素相乘。
矩阵数乘的运算律：
☞ (1) ()A (A)
(2) ( )A A A (3) (A B) A B
矩阵的加法与数乘合起来通称为矩阵的线性
第一节 矩阵的概念
一、概念：
1.定义 由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排 成的m行n列的数表a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n ... ... ... ... am1 am2 ... amn
称m行n列矩阵，简称m×n矩阵。记作
AB是A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；
☞AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义，
也不一定相等；
☞AB = O 不一定有A= O或B= O ；
A(XY ) = O 且 A≠ O 也不可能一定有X=Y
如：A 11
11
B
1 1
11
AB O
BA
2 2
2 2
如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全 为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。
如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其 余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量 矩阵。
二、矩阵的运算
1.矩阵的加法: 设有两个同型的 m×n 阶矩阵
A= (aij) 、B= (bij)，则矩阵 A 与 B 的和记为 A+B，并规定
A
a21
...
a22
...
... ...
a2n
...
am1 am2 ... amn
由此可见，矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵
同型的矩阵，并且，是用数λ与矩阵的每一个 元素相乘。
矩阵数乘的运算律：
☞ (1) ()A (A)
(2) ( )A A A (3) (A B) A B
矩阵的加法与数乘合起来通称为矩阵的线性
第一节 矩阵的概念
一、概念：
1.定义 由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排 成的m行n列的数表a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n ... ... ... ... am1 am2 ... amn
称m行n列矩阵，简称m×n矩阵。记作
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A B 规定为
a11b11 ABa21b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
a1n b1n
a2n
b2n
M
am1
bm1
am2 bm2
L
amn bmn
运算规律 （设 A ，B ，C 都是 mn矩阵）
（1） ABBA. （2）(A B ) C A (B C ). （3） A(A)0.
2 42 4 0 0 BA3 61 20 0
显然 AB BA.
总之，一般说来，ABBA
即矩阵的乘法不满足交换律．
不过，在有些情况下，也可能有 ABBA
例如：
A
1 0
1
1
B
x1 0
x2
x1
不难验证：ABBAx01
x1 x2
x1
一般地，如果矩阵 A ，B 的乘积与次序无关
即 ABBA，称矩阵A ，B 可交换
第二章 矩阵及其运算
矩阵概念 矩阵运算 特殊矩阵 逆矩阵 分块矩阵 初等矩阵 矩阵的秩
矩阵的基本概念
一. 历史
“矩阵 (matrix)” 这个 词首先是英国数学家 西尔维斯特使用的.
他为了将数字的矩形 阵列区别于 行 列 式 (determinant)而发明 了这个述语.
James Joseph Sylvester (1814.9.3~1897.3.15)
4 0 1
B
2
1
1
1 2 2
求 A B ，并问 B A 是否有意义？
解
4 0 1
AB
1 3
2 0
1321
1 2
1 2
5 8 9
11
2
5
显然B A 无意义
例3
2 4
A
1
2
求 AB , BA
2 4
B
3
6
解 A B 1 2 4 2 2 3 4 6 8 16 1 3 6 2
结合律和分配律：
（1） ABCABC.
（2） A B A B A B ( 为 数 ） .
（3） ABCABAC,
BCABACA.
例4 设变量 y1,y2,L,ym均可表示成变量
x1,x2,L,xn的线性函数，即
y1 a11x1 a12x2 L a1nxn
y2 L
a21x1 a22x2 L a2nxn LLLLLLLLLL
英国数学家凯莱 被公认为是矩阵 论的创立者.
他首先把矩阵作为 一个独立的数学概 念, 并发表了一系 列关于这个题目的 文章.
Arthur Cayley (1821.8.16~1895.1.26)
二. 实例 例1. 某厂家向A, B, C三个商场发送四款产品.
产品
单价 (元/箱)
重量 (Kg/箱)
ym am1x1 am2x2 L amnxn
其中 a i j 为常数( i 1 , 2 , L , m ; j 1 , 2 , L , n ) .
大前提: 同型
A = [aij]mn与B = [bij]mn相等:
对1 i m, 1 j n, aij = bij都成立 记为A = B.
一、矩阵运算 只有当两个矩阵是同型矩阵时，
1. 矩阵的加法 这两个矩阵才能进行加法运算
定义1 设有两个mn 矩阵A aij 和
B bij ，那么矩阵 A 与矩阵 B 的和记作
数量(箱) ABC
甲 20
16 200 180 190
乙 50
20 100 120 100
丙 30
16 150 160 140
丁 25
16 180 150 150
甲乙丙丁 单价 20 50 30 25 重量 16 20 16 16
200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150
其中 A aij ， A 称为矩阵 A 的负矩阵.
由此可规定矩阵的减法为
ABAB.
2. 数与矩阵相乘
定义2 数 与矩阵A 的乘积记作 A 或 A
规定为
a11
A
A
a21
M
am1
a12 L a22 L
M
am2 L
a1n
a2n
M
amn
运算规律(设 A ，B 都是 mn 矩阵， , 是数)
三. 定义
列(column)
1. mn矩阵
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n …………
am1 am2 … amn
行(row)
元素(element/entry) aij (1 i m, 1 j n) 元素都是实数——实矩阵(real ~)
元素都是复数——复矩阵(complex ~)
注: 今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵都 是实矩阵.
2. 方阵(square matrix)
n阶方阵: nn矩阵
见例2. 3. 向量(vector)
一个11的矩阵 就是一个数
行向量(column vector) [a1, a2, …, an]
a1
列向量(row vector)
a2 …
n–维
(n–dimensional)
二个矩阵 B 的列数．
例1
1
A2ຫໍສະໝຸດ 3 求 AB , BA .
解
1
AB
2 3
4
5
B4 5 6
1 4 15
6
2
4
25
3 4 3 5
16
2
6
3 6
4 5 6
8
10
1
2
1 2 1 5 1 8
1
BA4 5 62415263
3
32
显然 AB BA.
例2
A
1 3
2 3
0
1
s
aikbkj(i1,2,L,m ;j1,2,L,n) k 1
并把此乘积记作 C AB .
矩阵的第i 行第j 列的元 c i j 就是A 的第 i 行与 B 的第j 列的乘积
注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）A 的列
数等于第二个矩阵（右矩阵）B 的行数时，
乘积 A B 才是有意义的；并且A B 的行数等 于第一个矩阵A 的行数，A B 的列数等于第
an
第i分量 (ith component) ai (i = 1, …, n)
4. 同型(same-sized): 行数相等, 列数也相等
20 50 30 与 a b c 同型
16 20 16 1 2 3
20 16
50 20
30 16
与
20 50 30
16 20 16
不同型
5. 两个矩阵相等(equal)
（1） AA. （2）AAA. （3）ABAB.
（4）1gAA.
（5）A 0 当且仅当 0 或 A 0 .
3. 矩阵的乘法
定义3
设
A
aij
， B
ms
bij
sn
规定:矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个mn矩阵
C cij mn
其中
c ij a i1 b 1 j a i2 b 2 j L a is b s j
a11b11 ABa21b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
a1n b1n
a2n
b2n
M
am1
bm1
am2 bm2
L
amn bmn
运算规律 （设 A ，B ，C 都是 mn矩阵）
（1） ABBA. （2）(A B ) C A (B C ). （3） A(A)0.
2 42 4 0 0 BA3 61 20 0
显然 AB BA.
总之，一般说来，ABBA
即矩阵的乘法不满足交换律．
不过，在有些情况下，也可能有 ABBA
例如：
A
1 0
1
1
B
x1 0
x2
x1
不难验证：ABBAx01
x1 x2
x1
一般地，如果矩阵 A ，B 的乘积与次序无关
即 ABBA，称矩阵A ，B 可交换
第二章 矩阵及其运算
矩阵概念 矩阵运算 特殊矩阵 逆矩阵 分块矩阵 初等矩阵 矩阵的秩
矩阵的基本概念
一. 历史
“矩阵 (matrix)” 这个 词首先是英国数学家 西尔维斯特使用的.
他为了将数字的矩形 阵列区别于 行 列 式 (determinant)而发明 了这个述语.
James Joseph Sylvester (1814.9.3~1897.3.15)
4 0 1
B
2
1
1
1 2 2
求 A B ，并问 B A 是否有意义？
解
4 0 1
AB
1 3
2 0
1321
1 2
1 2
5 8 9
11
2
5
显然B A 无意义
例3
2 4
A
1
2
求 AB , BA
2 4
B
3
6
解 A B 1 2 4 2 2 3 4 6 8 16 1 3 6 2
结合律和分配律：
（1） ABCABC.
（2） A B A B A B ( 为 数 ） .
（3） ABCABAC,
BCABACA.
例4 设变量 y1,y2,L,ym均可表示成变量
x1,x2,L,xn的线性函数，即
y1 a11x1 a12x2 L a1nxn
y2 L
a21x1 a22x2 L a2nxn LLLLLLLLLL
英国数学家凯莱 被公认为是矩阵 论的创立者.
他首先把矩阵作为 一个独立的数学概 念, 并发表了一系 列关于这个题目的 文章.
Arthur Cayley (1821.8.16~1895.1.26)
二. 实例 例1. 某厂家向A, B, C三个商场发送四款产品.
产品
单价 (元/箱)
重量 (Kg/箱)
ym am1x1 am2x2 L amnxn
其中 a i j 为常数( i 1 , 2 , L , m ; j 1 , 2 , L , n ) .
大前提: 同型
A = [aij]mn与B = [bij]mn相等:
对1 i m, 1 j n, aij = bij都成立 记为A = B.
一、矩阵运算 只有当两个矩阵是同型矩阵时，
1. 矩阵的加法 这两个矩阵才能进行加法运算
定义1 设有两个mn 矩阵A aij 和
B bij ，那么矩阵 A 与矩阵 B 的和记作
数量(箱) ABC
甲 20
16 200 180 190
乙 50
20 100 120 100
丙 30
16 150 160 140
丁 25
16 180 150 150
甲乙丙丁 单价 20 50 30 25 重量 16 20 16 16
200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150
其中 A aij ， A 称为矩阵 A 的负矩阵.
由此可规定矩阵的减法为
ABAB.
2. 数与矩阵相乘
定义2 数 与矩阵A 的乘积记作 A 或 A
规定为
a11
A
A
a21
M
am1
a12 L a22 L
M
am2 L
a1n
a2n
M
amn
运算规律(设 A ，B 都是 mn 矩阵， , 是数)
三. 定义
列(column)
1. mn矩阵
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n …………
am1 am2 … amn
行(row)
元素(element/entry) aij (1 i m, 1 j n) 元素都是实数——实矩阵(real ~)
元素都是复数——复矩阵(complex ~)
注: 今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵都 是实矩阵.
2. 方阵(square matrix)
n阶方阵: nn矩阵
见例2. 3. 向量(vector)
一个11的矩阵 就是一个数
行向量(column vector) [a1, a2, …, an]
a1
列向量(row vector)
a2 …
n–维
(n–dimensional)
二个矩阵 B 的列数．
例1
1
A2ຫໍສະໝຸດ 3 求 AB , BA .
解
1
AB
2 3
4
5
B4 5 6
1 4 15
6
2
4
25
3 4 3 5
16
2
6
3 6
4 5 6
8
10
1
2
1 2 1 5 1 8
1
BA4 5 62415263
3
32
显然 AB BA.
例2
A
1 3
2 3
0
1
s
aikbkj(i1,2,L,m ;j1,2,L,n) k 1
并把此乘积记作 C AB .
矩阵的第i 行第j 列的元 c i j 就是A 的第 i 行与 B 的第j 列的乘积
注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）A 的列
数等于第二个矩阵（右矩阵）B 的行数时，
乘积 A B 才是有意义的；并且A B 的行数等 于第一个矩阵A 的行数，A B 的列数等于第
an
第i分量 (ith component) ai (i = 1, …, n)
4. 同型(same-sized): 行数相等, 列数也相等
20 50 30 与 a b c 同型
16 20 16 1 2 3
20 16
50 20
30 16
与
20 50 30
16 20 16
不同型
5. 两个矩阵相等(equal)
（1） AA. （2）AAA. （3）ABAB.
（4）1gAA.
（5）A 0 当且仅当 0 或 A 0 .
3. 矩阵的乘法
定义3
设
A
aij
， B
ms
bij
sn
规定:矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个mn矩阵
C cij mn
其中
c ij a i1 b 1 j a i2 b 2 j L a is b s j