26.1.3_二次函数y=a(x-h)2_的图象和性质
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
(1)对称轴是x=h; (2)顶点是(h,0). （3）抛物线y=a(x－h)2可 以由抛物线y=ax2向左或向 右平移|h|得到.
h>0，向右平移; h<0，向左平移
y
x
二次函数y=a(x-h)2的性质
y=a(x-h)2(a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 最值 a>0 向上 (h ,0)
y=9（x－3）2 的
图象向左平移5个单位得到的，其图象开口向 上 ，对 （－2，0） 称轴是 直线x=－2 ，顶点坐标是 ，当x ＞－2 时， －2 y有最 小 y随x的增大而增大，当x= 时， 值是 . 0
2、二次函数 y 3( x 2) 图像的对称轴是（ A ） （A）直线x=2 （B）直线x=-2 （ C ） y轴 （ D） x轴 2 3、将抛物线 y 3x 向左平移3个单位所得的抛 物线的函数关系式为（ D ） 2 2 A、 y 3x 3 B、 y 3( x 3) C、 y 3x 2 3 D、 y 3( x 3) 2 2 2 y=-X 4、抛物线 y ( x 1) 是由抛物线 向 右 平 移 1 个单位得到的，平称后的抛物线对称轴 是 直线x=1 ，顶点坐标是 (1,0) ，当x= 1 时， y有最 大 值，其值是 0 。
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下 向下
直线x=-3
直线x=1 直线x=3
( -3 , 0 )
(1,0) ( 3, 0)
顶点在y轴上 顶点在x轴上
y=ax2+k y=a(x－h)2
各种形式的二次函数的关系
y = ax2 + k
上下平移
y = a(x – h )2
左右平移
y=
ax2
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2与 y = ax2形状相同,位置不同。
（5）将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的函 数解析式是 y=－3（x－4）2 ；将函数y=3（x－4）2的 图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 y=3（x+4）2 ； （6）把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛 物线y=- 3（x-h）2的图象，则 a= -3 ，h= -2 .若 抛物线y= a（x-4）2的顶点A，且与y轴交于点B，抛 物线y= - 3（x-h）2的顶点是M，则SΔMAB= 144 . （7）将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函 数 y=2x2 的图象，在向 右 平移 3 个单 位得到函数y= 2（x-3）2的图象. （8）函数y=（3x+6）2的图象是由函数
• 说出下列二次 函数的开口方向、
对称轴及顶点坐标 2 向上，y轴 （0, (1) y=5x (2) y=-3x2 +2 向下，y轴 （0, (3) y=8x2+6 向上，y轴 （0, (4) y= -x2-4 向下，y轴 （0,
0) 2) 6) - 4)
下面，我们探究二次函数 y = a﹙x-h﹚2的图 像和性质,以及与y=ax2的联系与区别.
2
2
在同一坐标系中作出下列二次函数:
1 2 y x 2
1 y ( x 2) 2 2
1 2 y x 2 2
1 y ( x 2) 2 2
6 5 4
观察三条抛物线的 相互关系,并分别指 出它们的开口方向, 对称轴及顶点.
-8
y
1 2 x 2
y
1 x 2 2 2
二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质
二次函数y=ax2与y=ax2+k
顶点（0,0) 形状和开口方向一样 对称轴是y轴(直线x=0) 顶点坐标是（0，k） 当k＞0时,抛物线 y=ax2向上平移k个 单位,得y=ax2+k 当k＜0时,抛物线 y=ax2向下平移 k 个 单位,得y=ax2+k
3
2
1
-6
-4
-2
B
2
4
6
1 y ( x 2) 2 向左平移 2 2个单位
1 2 y x 2
向右平移 y 1 ( x 2) 2 2 2个单位
-1 -2 -3 -4
向左平移 向右平移 顶点(2,0) 顶点(0,0) 顶点(－2,0) 2个单位 2个单位 向左平移对称轴:y轴 向右平移 直线x=2 直线x=－2 2个单位 即直线: x=0 2个单位
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2 的形状完全相同,开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向上. 2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移 |k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.) 抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平 移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.) 3.抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k). 抛物线y=a(x－h)2有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上; (2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0).
直线x=h 当x<h时， y随着x的增大而减小。 当x>h时， y随着x的增大而增大。
a<0 向下 (h ,0)
直线x=h 当x<h时, y随着x的增大而增大。 当x>h时， y随着x的增大而减小。
x=h时,y最小= 0
x=h时,y最大= 0
抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过 左右平移得到.
如何平移：
3 2 y ( x 1) 4
3 2 y ( x 1) 4
3 y ( x 3) 2 4
1 2 y x 3 2
3 y ( x 5) 2 4
1 2 y (x 6) 2
例1. 填空题 （1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 抛物线 ，开 口向上 ，对称轴是直线x= -5 ，当x= -5 时，y有最 小 值， 是 0 . （2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x2 向 右 平移 4 个单位得到的；开口 向下 ，对称轴 4 是直线x= ，当 x= 4 时，y有最 大 值，是 0 .
即:
1 2 向左平移 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2 1 2 向右平移 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2
1 y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 1 2 y ( x 1 ) -3 2 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 2 1 y x -10 y ( x 1) 2
2
下列图像可能是y= 同一坐标系的是（ C ）
k 和y=k (x-1)2在 x
A
B
C
D
4.用配方法把下列函数化成y=a（x-h）2的
形式，并说出开口方向，顶点坐标和对称
轴。
(1) y x 6x 9
2
1 2 (2) y x 2 x 2 2
-4 -2
(0,k)
y 6 4
y=ax2
2
●
上 下 平 移
x
0
● ●
2
4
-2
二次函数y=ax2+c的性质
y＝ax2+c
图象
c
a>0
c c
a<0
c
c>0
开口 对称性 顶点 增减性
c<0cຫໍສະໝຸດ 0c<0开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
(0,c)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
画出二次函数 考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.:
x
1 y ( x 1) 2 2 1 y ( x 1) 2 2
1 1 2 y ( x 1) 2 y ( x 1 ) 、 的图像,并 2 2
解:先列表 描点
1 2 3 4
… … …
-4 -4.5
-3 -2
2
1 (1)抛物线 y ( x 1) 2 2 1 与 y ( x 1) 2 的开口 2
方向、对称轴、顶点?
1 (2)抛物线 y ( x 1) 2 2 1 2 1 2 y x y ( x 1) 2 2
有什么关系?
有什么关系？
1 1 1 2 2 2 抛物线 y ( x 1) 、y ( x 1) 与抛物线y x 2 2 2
-2
-1
0
-0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5
1
y -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 1 2 y ( x 1 ) -3 2 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 -10 2 y ( x 1 ) x=1 x=－1
（3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函 数 y=2（x-3）2 的图像，其对称轴是 直线x=3 ，顶点 是 （ 3， 0） ，当x ＞3 时，y随x的增大而增大；当 x ＜3 时，y随x的增大而减小. （4）将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个单位后 2 （-1，0） ， 得到函数 y= -3（x+1） 的图像，其顶点坐标是 直线x=-1 对称轴是 ，当x= -1 时，y有最 大 值， 是 . 0
2、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 向上 ，
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高中数学二次函数y=a(x—h)2的图象与性质的教学设计
26.1.3 二次函数y ＝a(x —h)2的图象与性质的教学设计教材分析本课时的内容是在学生已经掌握了特殊的二次函数y=ax 2和y=ax 2+k 的图象的画法、性质以及研究方法等内容的基础上提出的。
既是二次函数特殊式y=ax 2(a=0,c=0)和y=ax 2+k （b=0）的延续，又是研究顶点式y=a(x-h)2+k 和一般式y=ax 2+bx+c 的关键，具有承上启下的作用。
二．教学目的1、 使学生会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图象；2、 使学生了解抛物线y=a(x-h)2的对称轴与顶点；3、 了解抛物线y=a(x-h)2同y=ax 2的位置关系 三。
教学重点：画出形如y=a(x-h)2的二次函数图象，能指出函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标。
难点：恰当地选值列表，正确地画出形如y=a(x-h)2的函数图象，探索抛物线y=a(x-h)2同y=ax 2的位置关系。
四．教学方法为了调动学生的学习积极性，充分体现课堂教学的主体，我采用问题教学、探究、启发、引导教学法。
五．教学过程课前准备：学生准备好一张坐标纸（一）.复习导入，问题1：y=ax 2+k 图象与性质是什么？2. y=ax 2+k 图象与 与 y==ax 2图象位置之间有什么关系？设计意图：类比旧知识，为探究二次函数y ＝a(x —h)2的图象与性质起铺垫作用。
二．探索新知：问题2：二次函数y ＝a （x -h ）2的图象和性质是什么？1.画出二次函数y ＝－12 (x ＋1)2，y=－12 (x －1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点坐标．①先列表：②描点并画图122.师生互动：由学生动手画出图象，体会y ＝－12 (x ＋1)2， y ＝－12 (x －1)2图象与 y=ax 2一样仍是抛物线，并引导学生根据图象指出开口方向，顶点坐标与对称轴，在操作、观察、发现中自主建构出知识。
设计意图：由学生自己类比旧知识中通过自己努力形成新知。
26.1.3二次函数y=a(x-h)2图像
a>0
a<0
图象
h>0
开口
h<0
h>0
h<0
对称性
顶点
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
增减性
在同一坐标系中观察 y 3x 2 和 y 3 x 1 的函数图象， 回答问题。
2
(1)函数y=3(x-1)2的图象 与y=3x 2 的图象有什么关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
y 3x 2
y 3x 1
2
图象是轴对称图形 对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.
y 3x
2
y 3x 1
2
顶点是最低点,函数 有最小值.当x=1时, 最小值是0..
在对称轴(直线:x=1)左侧 (即x>1时),函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而增大,.
想一想,在同一坐标系中作出二次函数 y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样?
1. 抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2的形状完全相同, 开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下. 2.抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平 移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.) 3.抛物线y=a(x－h)2有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上; (2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0). 4.抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k).
二次函数y=a(x-h)2图像与性质
2.点A（2，y1），B（3，y2）是二次函数y=3 （x-1）² 图象上的两点，则y1与y2的大小关系为 y1__y2.
3、不画出图象，你能说明抛物线 y 3x 2
与 y 3(x 2)2 之间的关系吗?
4、已知函数y＝4x2，y＝4(x＋1)2和y＝4(x－1)2。 (1)在同一直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、
同；函数y＝ 1 (x一2)2的图象可以看作是函数
y＝
1 2
2
x2的图象向右平移2个单位得到的，它
的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，0)。
1 2、1 你(x＋能2由)2的函图数象y与＝性2质x吗2的? 图象与性质，得到函数y＝
2
问题小结
一般地,由y=ax²的图象通过平移便 可得到二次函数y=a(x-h)²的图 象:y=a(x-h)²(a≠0) 的图象可以看成 y=ax²的图象沿x轴整体向左(右)平 移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当 h<0时,向左平移)。
探究二
探究二次函数y=a(x-h)² 的性质。
y=a(x-h)²
a>o
a<o
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 直线x=h （h，0）
向下
直线x=h （h，0）
增减性
当x>h时，y随x增大而增 大；当x<h时，y随x增大 而减小
当x>h时，y随x增大而 减小；当x<h时，y随x 增大而增大
最值
最小值0
当a<0时，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x 增大而增大。
⑤当a>0时，有最小值0；当a<0时，有最大值0.
3、不画出图象，你能说明抛物线 y 3x 2
与 y 3(x 2)2 之间的关系吗?
4、已知函数y＝4x2，y＝4(x＋1)2和y＝4(x－1)2。 (1)在同一直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、
同；函数y＝ 1 (x一2)2的图象可以看作是函数
y＝
1 2
2
x2的图象向右平移2个单位得到的，它
的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，0)。
1 2、1 你(x＋能2由)2的函图数象y与＝性2质x吗2的? 图象与性质，得到函数y＝
2
问题小结
一般地,由y=ax²的图象通过平移便 可得到二次函数y=a(x-h)²的图 象:y=a(x-h)²(a≠0) 的图象可以看成 y=ax²的图象沿x轴整体向左(右)平 移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当 h<0时,向左平移)。
探究二
探究二次函数y=a(x-h)² 的性质。
y=a(x-h)²
a>o
a<o
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 直线x=h （h，0）
向下
直线x=h （h，0）
增减性
当x>h时，y随x增大而增 大；当x<h时，y随x增大 而减小
当x>h时，y随x增大而 减小；当x<h时，y随x 增大而增大
最值
最小值0
当a<0时，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x 增大而增大。
⑤当a>0时，有最小值0；当a<0时，有最大值0.
二次函数y=a(x-h)2_的图象和性质
二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质
2011年东营中考数学题
二次函数y=ax2+c的性质
y＝ax2+c
图象
a>0
a<0
c>0
开口 对称性 顶点 增减性
c<0
c>0
c<0
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
(0,c)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
h>0
h<0
对称性
顶点 增减性
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
1、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的
顶点移到原点，则下列平移方法正确
的是（ C ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位
（2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开 口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析 式。
（3）已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像 经过点（2，-2）与（-1，-8）。求此函数解析式。
10.用配方法把下列函数化成y=a（x-h）2的形式， 并说出开口方向，顶点坐标和对称轴。
(1) y x 6 x 9
2
(2) y
1 2
x 2x 2
2
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2 的形状完全相同,开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向上. 2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移 |k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.) 抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平 移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.) 3.抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k). 抛物线y=a(x－h)2有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上; (2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0)
2011年东营中考数学题
二次函数y=ax2+c的性质
y＝ax2+c
图象
a>0
a<0
c>0
开口 对称性 顶点 增减性
c<0
c>0
c<0
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
(0,c)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
h>0
h<0
对称性
顶点 增减性
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
1、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的
顶点移到原点，则下列平移方法正确
的是（ C ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位
（2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开 口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析 式。
（3）已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像 经过点（2，-2）与（-1，-8）。求此函数解析式。
10.用配方法把下列函数化成y=a（x-h）2的形式， 并说出开口方向，顶点坐标和对称轴。
(1) y x 6 x 9
2
(2) y
1 2
x 2x 2
2
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2 的形状完全相同,开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向上. 2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移 |k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.) 抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平 移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.) 3.抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k). 抛物线y=a(x－h)2有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上; (2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0)
26.1二次函数y=a(x-h)2图像与性质学案4
实验中学九年级数学学案
顶点
对称轴
最值
增减性
也画上去（草图）．①抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ，y ＝－12 x 2，y ＝－1
2 (x
．它们之间如何平移得到？
练习平台一、循序渐进：
2．对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．3．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．4．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为________________．把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为_______________．
5．将抛物线y＝－1
3(x－1)x
2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．
6．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式__________________．
7．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；
当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．
8．抛物线y＝m (x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4 (x－4)2，则m＝__________，n＝___________．
9．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为______________．
10．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．。
二次函数y=a(x-h)2-的图象和性质(定稿)
1 2
－4.5 －2 0
－4
1 2 y x 2 2
x 2
－6
x2
1 2 y x 2 2
开口、顶点坐标，对称轴，增减性，最值
y a( x h) 2 的性质 当a＞0时，开口向 ，顶点坐标 ，对 称轴是 ，当x 时，y随x的增大而增大 ，当x 时，y随x的增大而减小。当x 时， y有最 值，最 值为 。
到抛物线的表达式为
。
2 y a ( x 1 ) 6.若抛物线 的函数图象过点（3,8）
（1）确定抛物线的表达式 （2）求抛物线与y轴的交点坐标，与x轴的交点坐标
画出下列函数的大致图象，并说出抛物线 的开口方向、顶点、对称轴，最大值或最 小值各是什么及增减性如何？。
22 y= y= − 2 2 （ （ x-3 x+3 ） ） y= −2（x-2）2 y= 3（x+1）2
2
y
x O
1 2 y x 3 3.二次函数 4 开口向上
，顶点坐标 是 (3,0) ，对称轴是 直线x=3 ， 当 x>3 时，y随x的增大而增大, 当 x<3 时，y随x的增大而减小；该函数 小 有______ 值，其值是 0 .
y
O
x
2 y 2 ( x 1 ) 4.二次函数 开口向下
y x2 2
y 2( x 3) 2
y 2x2
y 2( x 3) 2
抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2得到. h>0，向右平移; 向左或向右平移|h| h<0，向左平移
1. 二次函数 y 3 x 2 的图象相当于将 2 右 平移___ 2 单位。 y 3x 的图象向___
26.1.4二次函数y=a(x-h)2的图像和性质
a<0,向下 X=0
(0,0)
y=ax² + k
a>0,向上 X=0
(0,k)
a<0,向下 X=0
(0,k)
y=a(xh)2
a>0,向上 X=h
(h,0)
a<0,向下 X=h
(h,0)
总结
(1) 抛物线 y a( x h) 的图象可由 y ax 的图象左右平
2
2
移得到, h 0,向右平移, h 0,向左平移,平移
3．将抛物线y＝－(x－1)x2向右平移2 个单位后，得到的抛物线解析式为 ____________． 4．写出一个顶点是（5，0），形状 、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同 的 二 次 函 数 解 析 式 ___________________________
小结
(1) 抛物线 y a( x h) 的图象可由 y ax 的图象左右平
2
2
移得到, h 0,向右平移, h 0,向左平移,平移
h 个单位.
(2)抛物线 y a( x h) 的性质：
2
① a 0 时,开口向上； 0 时，开口向下； a ②对称轴是：直线 ③顶点坐标是 ：
x h；
(h,0)
(3)对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状大小完全 相同，只是开口方向和位置不同
函数y＝a（x-h）2的图像和性质
黄梅县八角亭中学九年级数学组
复习:
在的图象,
2
比较它们与二次函数 y x 的图象之 间有怎样的关系?
2
抛物线
开口方向 a>o a<o 向下
对称轴 顶点坐标 X=0 X=0 （0，0）
二次函数y=a(x-h)^2的图象和性质(2)
二次函数 y a x h 的图象和性质
2
1 归纳： （1） y ( x 1) 2 的开口向，对称轴是直线，顶点坐标是。图象有最点，即 x =时， y 有
年级：
知识与技能
班级：
会画二次函数
姓名：
学号：
最值是；
2
y a( x h)
2
的图象；掌握二次函数
y a( x h)
（2）
y 随 x 的增大而；在对称轴的右侧，即 x 时 y 随 x 的增大而。 1 1 y ( x 1) 2 可以看作由 y x 2 向平移个单位形成的。 2 2
三、知识梳理--抛物线 y a( x h) 2 特点：
1.当 a
难点：掌握二次函数
0 时，开口向；当 a 0 时，开口；
2. 顶点坐标是；3. 对称轴是直线。 （二）抛物线
环节
导学任务及要求 1.将二次函数 y 2 x 的图象向上平移 2 个单位，所得图象的解析式为。
2
y a( x h) 2 与 y ax2 形状相同，位置不同， y a( x h) 2 是由 y ax2 平移
得到的。 （填上下或左右） 结合学案和课本可知二次函数图象的平移规律：左右，上下。 （三） a 的正负决定开口的；
2
的性质，并会应用.
交流 展示
在对称轴的左侧，即 x 时，
目标
过程与方法 情感、态度 与价值观
y a( x h) 2 的性质. 经历画图像、观察、比较等过程，发现
培养学生观察、比较、分析、归纳问题的能力，养成类比分析的习惯。
探究 h) 2 的性质，并会应用. y a( x h) 2 的性质.
线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线 a 值。 四、课堂训练 1.抛物线
2
1 归纳： （1） y ( x 1) 2 的开口向，对称轴是直线，顶点坐标是。图象有最点，即 x =时， y 有
年级：
知识与技能
班级：
会画二次函数
姓名：
学号：
最值是；
2
y a( x h)
2
的图象；掌握二次函数
y a( x h)
（2）
y 随 x 的增大而；在对称轴的右侧，即 x 时 y 随 x 的增大而。 1 1 y ( x 1) 2 可以看作由 y x 2 向平移个单位形成的。 2 2
三、知识梳理--抛物线 y a( x h) 2 特点：
1.当 a
难点：掌握二次函数
0 时，开口向；当 a 0 时，开口；
2. 顶点坐标是；3. 对称轴是直线。 （二）抛物线
环节
导学任务及要求 1.将二次函数 y 2 x 的图象向上平移 2 个单位，所得图象的解析式为。
2
y a( x h) 2 与 y ax2 形状相同，位置不同， y a( x h) 2 是由 y ax2 平移
得到的。 （填上下或左右） 结合学案和课本可知二次函数图象的平移规律：左右，上下。 （三） a 的正负决定开口的；
2
的性质，并会应用.
交流 展示
在对称轴的左侧，即 x 时，
目标
过程与方法 情感、态度 与价值观
y a( x h) 2 的性质. 经历画图像、观察、比较等过程，发现
培养学生观察、比较、分析、归纳问题的能力，养成类比分析的习惯。
探究 h) 2 的性质，并会应用. y a( x h) 2 的性质.
线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线 a 值。 四、课堂训练 1.抛物线
二次函数y=a(x-h)2_的图象和性质
在同一坐标系中作出下列二次函数:
y 1 x 2 y 1 (x 2)2
2
2
y
1
6
(x
2)2
25
观察三条抛物线的 y 1 x 22
4
相互关系,并分别指 2
3
出它们的开口方向,
2
对称轴及顶点.
1
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
-8
-6
-4
-2 B
2
4
6
y 1 (x 2)2 向左平移
2
2个单位
y 1 x2 2
向右-1 平移 y 1 (x 2)2
2个-2 单位
2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右-3 平移 2个-4 单位
顶点(2,0)
直线x=－2
向左平移对称轴:y轴 向右平移 2个单位即直线: x=0 2个单位
直线x=2
y＝a(x-ｈ)2(a≠0)
a>0
（A）直线x=2 （B）直线x=-2
（C）y轴
（D）x轴
4、将抛物线 y 3x 2 向左平移3个单位所得的抛
物线的函数关系式为（ D ）
A、 y 3x2 3 B、5、抛物线 y (x 1)2 是由抛物线 y=-X2 向 右 平
顶点 坐标
最值
增减性
在对称 在对称 轴右侧 轴左侧
y=ax2
y=ax2+k
a＞0 a＜0 a＞0 a＜0
向上 y轴
向下 y轴 向上 y轴 向下 y轴
（0，0） （0,0）
（0,k） （0,k）
当x=0时， Y随x的增 Y随x的增 y最小值=0 大而减小 大而增大
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
1.二次函数t;0
a<0
h>0 图
象 h<0
二次函数y=a(x-h)2的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线 x=h 是 (h,0) . 2.二次函数y=a(x-h)2的性质
,顶点坐标
a的符号 开口方向
对称轴 顶点坐标
a>0 向上
3.(沈阳中考)在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可能是( D )
4.抛物线y=-2(x-1)2的顶点坐标和对称轴分别是( B )
(A)(-1,0),直线x=-1
(B)(1,0),直线x=1
(C)(0,1),直线x=-1
(D)(0,1),直线x=1
5.对于函数y=-3(x+1)2,当 x>-1 得最 大 值,最大值y= 0 .
类型二:二次函数y=a(x-h)2的图象和性质的应用 例2 已知抛物线y=5(x-1)2,下列说法中,你认为不正确的是( B ) (A)顶点坐标为(1,0) (B)对称轴为直线x=0 (C)当x>1时,y随x的增大而增大 (D)当x<1时,y随x的增大而减小
【思路点拨】 根据二次函数y=5(x-1)2的性质,可利用排除法求解.
抛物线 y=2(x+3)2 y=-3(x-1)2 y=-4(x-3)2
开口方向 向上 向下 向下
对称轴 直线x=-3 . 直线x=1 直线x=3
顶点坐标 (-3,0) . (1,0) (3,0)
【思路点拨】 开口方向以a的正负确定,a>0,开口向上;a<0,开口向下;找对称轴 时可以令y=a(x-h)2中的x-h=0,从而求得x=h,即对称轴为直线x=h,只要求出h值则 顶点坐标即为(h,0).
1.二次函数t;0
a<0
h>0 图
象 h<0
二次函数y=a(x-h)2的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线 x=h 是 (h,0) . 2.二次函数y=a(x-h)2的性质
,顶点坐标
a的符号 开口方向
对称轴 顶点坐标
a>0 向上
3.(沈阳中考)在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可能是( D )
4.抛物线y=-2(x-1)2的顶点坐标和对称轴分别是( B )
(A)(-1,0),直线x=-1
(B)(1,0),直线x=1
(C)(0,1),直线x=-1
(D)(0,1),直线x=1
5.对于函数y=-3(x+1)2,当 x>-1 得最 大 值,最大值y= 0 .
类型二:二次函数y=a(x-h)2的图象和性质的应用 例2 已知抛物线y=5(x-1)2,下列说法中,你认为不正确的是( B ) (A)顶点坐标为(1,0) (B)对称轴为直线x=0 (C)当x>1时,y随x的增大而增大 (D)当x<1时,y随x的增大而减小
【思路点拨】 根据二次函数y=5(x-1)2的性质,可利用排除法求解.
抛物线 y=2(x+3)2 y=-3(x-1)2 y=-4(x-3)2
开口方向 向上 向下 向下
对称轴 直线x=-3 . 直线x=1 直线x=3
顶点坐标 (-3,0) . (1,0) (3,0)
【思路点拨】 开口方向以a的正负确定,a>0,开口向上;a<0,开口向下;找对称轴 时可以令y=a(x-h)2中的x-h=0,从而求得x=h,即对称轴为直线x=h,只要求出h值则 顶点坐标即为(h,0).