2020届北京市清华附中高三第二学期第三次统练数学试题(含解析)

清华附中2020届高三第二学期第三次统练数学试题

一、选择题（共10小题；共40分）

1.复数的()

12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

2.设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（ ）

A. ?

B. 1{|}2

x x <-

C. 5{|}3

x x >

D. 15{|}23

x x -

<< 3.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

4.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）

A. B. C. D.

5.已知抛物线2

4x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

6.函数()()2

13f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1,3

??-∞ ??

?

B. (],0-∞

C. 10,3

?? ??

?

D. 10,3

??????

7.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A. 3

B.

2 C. 3

3 D. 228.函数()sin()(0)4

f x A x π

ωω=+

>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3

π的等差数列，要得到函

数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）

A. 向左平移

12

π

个单位 B. 向右平移

4

π

个单位

C. 向左平移

4

π

个单位 D. 向右平移

34

π

个单位 9.已知定义在R 上的

函数()21x m

f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()3

2a f -=，

()3m b f =，()2c f =-，则（ ）

A . a b c <<

B. a c b <<

C. c a b <<

D. c b a <<

10.函数()f x x =，()2

2g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ??

???∈????

，使得

()()()()121n n

f x f x f x

g x -++???++()()()()121n n g x g x

g x f x -=++++L ，则n 的最大值是（ ）

A. 8

B. 11

C. 14

D. 18

二、填空题（共5小题；共25分）

11.已知向量()21,4a x =+r ，()2,3b x =-r ，若//a b r r

，则实数x 的值等于______.

12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则

双曲线方程为 ．

13.已知数列{}n a 对任意的*

,p q N ∈满足p q p q a a a +=+，且26a =-，则10a =______.

14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________． 15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =?，4b =，下列判断： ①若c =

，则角C 有两个解；

②若12BC BA ?=u u u r u u u r

，则AC 边上的高为

③a c +不可能是9.

其中判断正确的序号是______.

三、解答题（共6小题；共85分）

16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1n n S na n n =+-，______.指出1S 、2S 、…n S 中哪一项最大，并说

明理由.

从①120S >，130S <，②5a 是2a 和6a 的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

17.在如图所示的三棱锥A BCD -中，ABD ?是边长为2的等边三角形，2BC DC ==，MN 是ABD

?的中位线，P 为线段BC 的中点.

（1）证明：MN NP ⊥.

（2）若二面角A BD C --为直二面角，求二面角A NP M --的余弦值.

18.丑橘是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的丑橘，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下： 产地 A

B

C

D

E

批发价格 150

160

140

155

170

市场份额

15% 10% 25% 20% 30%

市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.

（1）从该地批发市场销售丑橘中随机抽取一箱，估计该箱丑橘价格低于160元的概率；

（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱丑橘进行检验，①从产地A ，B 共抽取n 箱，求n 的值；②从这n 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量X 表示来自产地B 的箱数，求X 的分布列和数学期望. （3）产地F 的丑橘明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的丑橘价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素）.设今年丑橘的平均批发价为每箱1M 元，明年丑橘的平均批发价为每箱2M 元，比较1M ，2M 的大小.（只需写出结论）

19.已知函数()ln x x

f x x a

=

+，其中0a >. （1）求曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 的最小值为-1，求实数a 的值.

20.已知椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>，上下两个顶点分别为1B ，2B ，左右焦点分别为1F ，2F ，四边

形1122B F B F

是边长为()()0,2P n n >作直线l 交椭圆于D ，E 两点. （1）求椭圆C

的

标准方程；

（2）求证：四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E 两点的位置无关.

21.设n 为给定的大于2的正整数，集合{}1,2,,S n =???，已知数列n A ：1x ，2x ，…，n x 满足条件： ①当1i n ≤≤时，i x S ∈；

②当1i j n ≤<≤时，i j x x ≠.

如果对于1i j n ≤<≤，有i j x x >，则称(

)

,i j x x 为数列n A 的一个逆序对.记数列n A 的所有逆序对的个数为

()n T A .

（1）若()41T A =，写出所有可能的数列4A ； （2）若()2n T A =，求数列n A 的个数；

（3）对于满足条件的一切数列n A ，求所有()n T A 的算术平均值.

一、选择题（共10小题；共40分）

1.复数的()

12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

【答案】C 【解析】

所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.

【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题. 2.设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（ ）

A. ?

B. 1{|}2

x x <-

C. 5{|}3

x x >

D. 15{|}23

x x -

<< 【答案】D 【解析】 【分析】

集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【详解】{}

1210|2S x x x x ?

?=+=>-????

Q ，

{}5|350|3T x x x x ?

?=-<=

?，

则15|23S T x x ?

??=-<

故选D

【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．

3.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】 【分析】

由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.

【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，

A 、

B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒

放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A.

【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力. 4.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C 【解析】 【分析】

根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.

【详解】由图可知，ABD 选项可以围成三棱柱，C 选项不是三棱柱展开图. 故选：C

【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.

5.已知抛物线2

4x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】D 【解析】

试题分析：抛物线2

4x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点

A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.

考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.

点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算. 6.函数()()2

13f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）

A. 1,3??-∞ ???

B. (],0-∞

C. 10,3??

???

D. 10,3??????

【答案】D 【解析】 【分析】

就0,0a a =≠分类讨论，后者需结合对称轴来讨论.

【详解】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上

是

增函数，符合.

若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0

112a a a

>??

-?≤-??，解得103a <≤.

综上，1

03

a ≤≤. 故选：D .

【点睛】本题考查含参数的函数的单调性，注意根据解析式的特点合理分类，比如解析式是二次三项式，则需讨论二次项系数的正负以及对称轴的位置，本题属于基础题.

7.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A. B.

C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】

直线过定点，直线y=kx +1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 两点，且∠POQ=120°（其中O 为原点），可以发现∠QOx 的大小，求得结果．

【详解】如图，直线过定点（0，1），

∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，?∠1=120°，∠2=60°， ∴由对称性可知k=±3 故选C ．

【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题． 8.函数()sin()(0)4

f x A x π

ωω=+

>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3

π

的等差数列，要得到函

数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）

A. 向左平移

12

π

个单位 B. 向右平移

4π

个单位 C. 向左平移

4

π

个单位 D. 向右平移

34

π

个单位 【答案】A 【解析】 依

题

意

有

()

f x 的周期为

()22ππ,3,sin 334T f x A x π

ωω

?

?=

=

==+ ??

?.而

()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ?????

???=+=++=++ ? ? ???????????

，故应左移π12.

9.已知定义在R 上的函数()21x m

f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()3

2a f -=，

()3m b f =，()2c f =-，则（ ） A. a b c << B. a c b <<

C. c a b <<

D. c b a <<

【答案】A 【解析】

【分析】

先根据()f x 为偶函数得到0m =，求出函数的单调性后可得,,a b c 的大小关系. 【详解】因为()2

1x m

f x -=-为偶函数，所以()()f x f x =-，

故2121x m x m +--=-即x m x m +=-对任意的x ∈R 恒成立，故0m =， 所以()21x

f x =-.

当0x ≥时，()21x

f x =-，()f x 在[)0,+∞上为增函数，

因为302132m -<<=<，故()()()3

232m

f f f -<<，所以()2a b f <<.

又()()22f f -=，故a b c <<. 故选：A.

【点睛】本题考查函数的

奇偶性、单调性以及指数式的大小比较，此类问题属于基础题. 10.函数()f x x =，()2

2g x x x =-+.若存在129,,,0,2

n x x x ?????∈????

，使得

()()()()121n n f x f x f x g x -++???++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++L ，则n 的最大值是（ ）

A. 8

B. 11

C. 14

D. 18

【答案】C 【解析】 【分析】 令

()222

h x x x =-+，

原

方

程

可

化

为

存

在

129,,,0,2n x x x ??

???∈??

??

，使得

()()()()121n n h x h x h x h x -++???+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值. 【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ??

???∈????

， 使得()()()()121n n f x f x f x g x -++???++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++L ，

故222

1111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+L .

令()2

22h x x x =-+，90,2x ??∈????

，则()5314h x ≤≤，

故()22

1111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤-L ，因为()5314

n h x ≤≤ 故53

14

n -≤，故max 14n =. 故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.

二、填空题（共5小题；共25分）

11.已知向量()21,4a x =+r ，()2,3b x =-r ，若//a b r r

，则实数x 的值等于______.

【答案】

12

【解析】 【分析】

根据向量共线的坐标形式可求x 的值.

【详解】因为//a b r r

，故()()21342x x +?=?-，解得12

x =. 故答案为：

1

2

. 【点睛】本题考查向量共线的坐标形式，一般地，如果()()1122,,,a x y b x y ==r r

，那么：

（1）若//a b r r ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥r r

，则12120x x y y +=.

12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3

3

y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则

双曲线方程为 ．

【答案】22

3144

x y -=

【解析】 由已知

，即

，取双曲线顶点

及渐近线

，则顶点到该渐近线

的

距离为，由题可知，所以

，则所求双曲线方程为22

3144

x y -=.

13.已知数列{}n a 对任意的*

,p q N ∈满足p q p q a a a +=+，且26a =-，则10a =______.

【答案】30- 【解析】 【分析】

令1p =，则11p p a a a +=+，从而可得{}n a 为等差数列且公差为1a ，再根据26a =-得到1a ，利用等差数列的通项公式可求10a .

【详解】令1p =，则11p p a a a +=+，故11p p a a a +-=，故{}n a 为等差数列且公差为1a ， 故()1111n a a n a na =+-?=.

因为26a =-，故13a =-，故1030a =-. 故答案为：30-

【点睛】本题考查等差数列的基本量的计算，注意对给定的递推关系合理赋值，本题属于基础题. 14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________． 【答案】 (1). 130. (2). 15. 【解析】 【分析】

由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值. 【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,

120y <元时,李明得到的金额为80%y ?,符合要求.

120y ≥元时,有()80%70%y x y -?≥?恒成立,即()87,8y

y x y x -≥≤

,即min

158y x ??≤= ???元. 所以x 的最大值为15.

【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质?数学的应用意识?数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.

15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =?，4b =，下列判断：

①若c =

，则角C 有两个解；

②若12BC BA ?=u u u r u u u r

，则AC 边上的高为

③a c +不可能是9.

其中判断正确的序号是______. 【答案】③ 【解析】 【分析】

利用余弦定理逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于①，若c =

2

116322

a a =+-?，

故2130a -=，此方程有唯一解a ，故角C 有唯一解，所以①错.

对于②，因为12BC BA ?=u u u r u u u r

，故1

122

ac =，即24ac =， 又由余弦定理可得22

11622

a c a c =+-???，故2240a c +=，

所以()2

88a c +=即a c +=24

a c ac ?+=?

?

=??，

消元后可得2240a -+=，因889680?=-=-<，故方程无解，

即满足12BC BA ?=u u u r u u u r

的三角形不存在，故②错误.

对于③，由余弦定理可得()()()2

2

2

2

2

31634

a c ac a c ac a c a c =+-=+-≥+-

+， 整理得到()2

164

a c +≥

即8a c +≤，故a c +不可能是9，故③正确.

故答案为：③.

【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，还考查了基本不等式的应用，注意根据三角形中已知的量选择合适的定理来构建关于未知量的方程，再对所得的方程进行代数变形（如放缩、消元等），本题属于中档题.

三、解答题（共6小题；共85分）

16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1n n S na n n =+-，______.指出1S 、2S 、…n S 中哪一项最大，并说明理由.

从①120S >，130S <，②5a 是2a 和6a 的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】①②均能得到6S 最大.

【解析】 【分析】

根据()1n n S na n n =+-可得122n a a n =+-，从而可判断{}n a 为等差数列，若选①，则可得11112a <<，故可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到n S 的最大项. 若选②，则可求出1a ，同样可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到n S 的最大项.

【详解】因为()1n n S na n n =+-，故()()11n n n S n S S n n -=-+-， 故()()111n n n S nS n n --=--. 当2n ≥时，

111n n S S n n -=--即111

n n S S

n n --=--， 所以n S n ??

?

???

是以1S 为首项，1-为公差的等差数列，所以()()11111n S S n a n n =+-?-=+-，

所以()11n S a n n =+-，故11,1

,2

n n n a n a S S n -=?=?

-≥?，也即是122n a a n =+-

故12n n a a --=-，所以{}n a 为等差数列. 若选①，

因为120S >，130S <，故11112a <<， 故61100a a =->，71120a a =-<，故6S 最大.

若选②，则2

526a a a =，故()()()2

1118210a a a -=--，解得111a =，

故132n a n =-，故670,0a a ><，故6S 最大.

【点睛】本题为数列中的补全条件解答题，考查数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系以及等差数列前n 和的最值问题，后者常通过项何时开始变号来确定n S 何时取最值，本题属于中档题. 17.在如图所示的三棱锥A BCD -中，ABD ?是边长为2

的等边三角形，BC DC ==MN 是ABD

?的中位线，P 为线段BC 的中点.

（1）证明：MN NP ⊥.

（2）若二面角A BD C --为直二面角，求二面角A NP M --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）27

7

. 【解析】 【分析】

（1）如图，由中位线可得//MN BD ，取BD 的中点为O ，取BO 的中点E ，连接,,,AO CO EN PE ，可证

BD ⊥平面NEP ，从而可证MN NP ⊥.

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，计算出平面MNP 的法向量和平面ANP 的法向量的夹角的余弦值后可得二面角A NP M --的余弦值.

【详解】（1）如图，取BD 的中点为O ，取BO 的中点E ，连接,,,AO CO EN PE . 因为ABD ?是边长为2的等边三角形，BO DO =，所以AO BD ⊥. 因为,AN BN BE EO ==，故//EN AO ，故EN BD ⊥. 因为2,2BC CD BD ==

=，所以222BD BC DC =+且CO BD ⊥，所以2

BCD π

∠=

.

因为,BP PC BE EO ==，故//EP CO ，所以EP BD ⊥.

因为EN EP E ?=，EN ?平面ENP ,EP ?平面ENP ，故BD ⊥平面ENP ， 因为NP ?平面ENP ，BD ⊥NP .

因为,AN NB AM MD ==，故//MN BD ，所以MN NP ⊥.

（2）由（1）可得,AO BD CO BD ⊥⊥， 所以AOC ∠为二面角A BD C --的平面角， 因为二面角A BD C --为直二面角，所以2

AOC π

∠=即AO OC ⊥.

建立如图所示的空间直角坐标系，

则()(1313110,0,0,3,,0,,,0,,,,0222222O A N M P ?????

- ? ? ? ??

????. 故130,,22NP ??=- ? ???u u u r ，13,0,22AN ?=- ??

u u u r ，()1,0,0MN =u u u u

r .

设平面MNP 的法向量为(),,m x y z =u r

，

则00NP m MN m ??=??=?u u u v v u u u u v v 即30

0y z x ?=??=?

?，故0x =，取3y =1z =，

所以()

3,1m =u r

.

设平面ANP 的法向量为(),,n u v w =r

，

则00NP n AN n ??=??=?u u u v v u u u v v 即30

30v w u w ?-=??=??，取1w =，则3,3u v == 故()

3,3,1n =r

，

所以27cos ,47m n m n m n

?==?u r r

u r r u r r

因为二面角A NP M --的平面角为锐角， 故二面角A NP M --的余弦值为

77

.

【点睛】

本题考查线线垂直的证明以及二面角的平面角的计算，一般地，线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为

2

得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.

18.丑橘是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的丑橘，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下： 产地 A

B

C

D

E

批发价格 150

160

140

155

170

市场份额 15% 10% 25% 20% 30%

市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.

（1）从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，估计该箱丑橘价格低于160元的概率；

（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱丑橘进行检验，①从产地A ，B 共抽取n 箱，求n 的值；②从这n 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量X 表示来自产地B 的箱数，求X 的分布列和数学期望. （3）产地F 的丑橘明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的丑橘价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素）.设今年丑橘的平均批发价为每箱1M 元，明年丑橘的平均批发价为每箱2M 元，比较1M ，2M 的大小.（只需写出结论）

【答案】（1）0.6；（2）①5， ②分布列见解析，6

5

EX =；（3）21M M >.

【解析】 【分析】

（1）根据题设中的市场份额表可得所求的概率为0.6.

（2）对于①，根据,A B 所占份额可得5n =，对于②，利用超几何分布可求X 的分布列，根据公式可求其数学期望.

（3）算出12,M M 后可得12M M <.

【详解】（1）根据市场份额表可知从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，该箱丑橘价格低于160元的概率为0.150.250.0.206++=. （2）①200.255n =?=.

②5箱中产地B 的有2箱，故X 可取0,1,2，

又()3032351010C C P X C ===，()213235315C C P X C ===，()12

323

53

210

C C P X C ===， 所以X 的分布列为：

1336012105105

EX =?

+?+?=. （3）11500.151600.11400.251550.21700.3155.5M =?+?+?+?+?=， 而2215031602140515541706160311016020202020202020a a

a a a a a a M a

M ??????+=

+++++=+++++++，

其中3:2:5:4:6:a 为,,,,,A B C D E F 五个产地的丑橘所占市场份额之比， 则21 4.5020M a

M a

-=

>+，故21M M >.

【点睛】本题考查统计图表的应用、离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，计算分布列时注意根据常见的分布（如二项分布、超几何分布）简化概率的计算，本题属于中档题.

19.已知函数()ln x x

f x x a

=

+，其中0a >. （1）求曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 的最小值为-1，求实数a 的值. 【答案】（1）11

11

y x a a =-++；（2）2a e -=. 【解析】 【分析】

（1）求出()()1,1f f '后可得曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程.

（2）求出()f x '，令()ln x x a a x ?=++，利用导数和零点存在定理可得()x ?在()0,∞+上有且只有一个零点0x ，该零点也是()f x 的最小值点，利用()f x 的最小值为1-及该零点满足的方程可求a 的值. 【详解】（1）()10f =，又()()()()()

22

1ln ln ln x x a x x x a a x

f x x a x a ++-++'==++， 故()1

11f a '=

+，所以曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程为1111

y x a a =-++.

（2）令()ln x x a a x ?=++，则()10a

x x

?'=+>，所以()x ?为()0,∞+上的增函数. 取{

}2

min ,M a e

-=，则当0x M <<时，则有()2ln 220x a a x a a ?<+<-<，

又()110a ?=+>，由零点存在定理有()x ?在()0,∞+上有且只有一个零点. 设该零点为0x ，

则当()00,x x ∈，()0x ?<即()0f x '<，所以()f x 在()00,x 为减函数； 当()0,x x ∈+∞，()0x ?>即()0f x '>，所以()f x 在()0,x +∞为增函数， 所以()()00

0min 0ln 1x x f x f x x a

==

=-+，

又00ln 0x a a x ++=，所以

00

ln 1ln x x a x =--即0x a =，故2ln 0a +=，解得2a e -=.

【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，当导函数的零点不易求得时，可以采用虚设零点的方法来处理最值问题，本题属于中档题.

20.已知椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>，上下两个顶点分别为1B ，2B ，左右焦点分别为1F ，2F ，四边

形1122B F B F

是边长为()()0,2P n n >作直线l 交椭圆于D ，E 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）求证：四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E 两点的位置无关.

【答案】（1）22

184

x y +=；

（2）见解析. 【解析】 【分析】

（1）求出,,a b c 后可得椭圆的方程.

（2）设直线():DE x t y n =-，()()1122,,,D x y E x y ，则可用,D E 的坐标表示直线2DB 与直线1EB 交点

M 的纵坐标，再联立DE 的方程和椭圆的方程，消去x 后，利用韦达定理化简M y ，从而可得M y 为定值.

【详解】（1）因为四边形1122B F B F

是边长为2b c ==

，所以a =

所以椭圆方程为：22

184

x y +=.

（2）设直线():DE x t y n =-，()()1122,,,D x y E x y ， 则直线121

2

:2y DB y x x +=

-，2

122:2y EB y x x -=+， 由11222222y y x x y y x x +?

=-???-?=+??

可得直线2DB 与直线1EB 交点M 的纵坐标为 ()()

()

211221*********M x y x y x x y x y x y x x ++-=

-++

()()

()()

122121212142422y y n y y y y n y y y y n -++-=

-++-，

由()22

184x y x t y n ?+=???=-?

可得()22222

2280t y t ny t n +-+-=， 所以222121222

28,22

t n t n y y y y t t -+==++，且222326480t t n ?=+->，

又()()22221222

21

282424222222M t n t n n y y t t y t n n y y n t -?-?+-++==??-+- ?+??

()()212212

3244282y y t n n n y y t -+-+=--+， 故四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E 两点的位置无关.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法以及椭圆中的定点问题，前者只需求出,,a b c 即可，后者应把求解目标化为与交点坐标有关的代数式，再联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理化简代数式，从而可证定点定值问题，本题属于较难题.

21.设n 为给定的大于2的正整数，集合{}1,2,,S n =???，已知数列n A ：1x ，2x ，…，n x 满足条件： ①当1i n ≤≤时，i x S ∈； ②当1i j n ≤<≤时，i j x x ≠.

如果对于1i j n ≤<≤，有i j x x >，则称()

,i j x x 为数列n A 的一个逆序对.记数列n A 的所有逆序对的个数为

()n T A .

（1）若()41T A =，写出所有可能的数列4A ； （2）若()2n T A =，求数列n A 的个数；

（3）对于满足条件的一切数列n A ，求所有()n T A 的算术平均值.

【答案】（1）不同的4A 分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4；（2）()()2

1212

n n n --；（3）

()14n n -. 【解析】