第一章习题答案

习 题1-1 一物体放在水平台面上，当台面沿竖直方向作频率为5Hz 的简谐振动时，要使物体不跳离台面，试问对台面的振幅有何限制？ 解：物体做简谐运动，设系统运动方程为：)sin()(ϕω+=t a t u对物体分离作受力分析: Fs mg t u m -=)(&&要使物体不条离台面，要求0≥Fs ，即： mg t u m ≤)(&&也就是2max )(ωa t ug =≥&& m fg ga 0099.0422==≤∴πω1-2 求简谐运动u t t 1540()cos =和u t t 2339()cos =合成运动的最大振幅与最小振幅，并求其拍频和周期。

解：最大振幅为8最大振幅为21-4 图中简支梁长l =4m 、抗弯刚度EI =⨯1961062.Nm ，且k =⨯49105.N /m ，m =400kg 。

分别求图示两种系统的固有频率。

题1-4图解：简支梁的等效刚度 m N lEIk e 53107.1448⨯==左图系统等效于弹簧并联：m N k k k e 51106.19⨯=+=系统固有频率为：s rad mk n /701==ω 右图系统等效于弹簧串联：m N k k kk k ee68.32=+=系统固有频率为： s rad mk n /3.302==ω 1-5 钢索的刚度为4105⨯N /m ，绕过定滑轮吊着质量为1000kg 的物体以匀速0.5m /s 下降。

若钢索突然卡住，求钢索内的最大张力。

解：此问题等效于单自由度无阻尼系统的自由振动固有频率s rad mkn /20==ω 初始条件是：s m uu 5.0)0(,0)0(==& 则系统的振幅025.0)0()0(222=+=nu u a ω&故由振动引起的最大动张力N ka mg T T T 421102⨯=+=+=1-6 图示重物挂在弹簧上使弹簧静变形为δs 。

现重新将重物挂在未变形弹簧的下端，并给予向上的初速度&u 0，求重物的位移响应和从开始运动到它首次通过平衡位置的时间。

sn gm k δω==初始条件是：0)0(,)0(u U U s &&-=-=δ则系统的振幅222)0()0(nu u a ω&+=初相位⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00u u artg &ωϕ 那么系统的位移响应为)sin()(ϕω+=t a t u 系统首次经过平衡位置，也即0)(=t u ，于是有： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=00u u artg g t s &ωπδωϕπ 1-7 证明对于临界阻尼或过阻尼，系统从任意初始条件开始运动至多越过平衡位置一次。

证明：1=ε时tn -21t)e a (a u(t)ω+=式中0φtn eω-，而t a 21a +单调，故对任意21,a a ，也即任意初始条件u(t)至多 有一次过平衡位置；1φε时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-2121112112222)(a e a eea ea t u ttttn n n n ωξζωξζωξζωξζ式中012φtn eωξξ⎪⎭⎫ ⎝⎛---，而21212a a et n +-ξω单调，故对任意21,a a ，也即任意初始条件u(t)至多有一次过平衡位置；1-8 一单自由度阻尼系统，m =10kg 时，弹簧静伸长δs =001.m 。

自由振动20个循环后，振幅从64103.⨯-m 降至16103.⨯-m 。

求阻尼系数c 及20个循环内阻尼力所耗能量。

解：静平衡时：s k δ=mg m N k /104= 系统固有频率s rad g m k sn /6.31===δω 自由振动20个循环有：4ln 10161064ln A A ln 2033201=⨯⨯==--δ 此时0729.0=δ又πξδ2=，ξωn m c 2=则s m N m c n ⋅=⨯⨯==97.714.3/0792.06.3110/πδω 20个循环内阻尼力所耗能量 J kA kA k 192.021212221=-=∆ 1-9 已知单自由度无阻尼系统的质量和刚度分别为m =175.kg 、k =7000N /m ，求该系统在零初始条件下被简谐力o ()52.5sin(1030)N f t t =-激发的响应。

解：系统的运动方程为：()()()mu t ku t f t ωϕ+=-&&初始条件是：0)0(,0)0(==u u &令方程特解为：)sin()(ϕω-=*t B t u d 其中)()(2220ωωc m k f B d +-=由零初始条件知齐次方程解为零 系统的激发响应为：)3010sin(01.0)3010sin(105.1770005.52)sin()(00220-=-⨯-=--=*t t t m k f t u ϕωω1-10 质量为100kg 的机器安装在刚度k =⨯9104N /m 和阻尼系数c =⨯24103.Ns /m 的隔振器上，受铅垂方向激振力f t t ()sin =90ωN 作用而上下振动。

求： (1) 当ωω=n 时的稳态振幅B d ； (2) 振幅具有最大值时的激振频率ω； (3) max{}B d 与B d 之比值。

解：s rad m k n /3010090000===ω 4.030100224002=⨯⨯==ωξm c(1) 当ωω=n 时301025.13010004.290-⨯=⨯⨯==ωc f B d (m) n ωωλ=(2) 振幅最大时激振频率s rad n /7.244.021302122=⨯-⨯=-=ξωω(3) 振幅最大时激振频率221ξωω-=n{}2022222222012)2()()()(max ξξωξωωωωωω-=+-=+-=B B c m k f B n n n d{}2222222222264.0)1(36.14.014.02)4.02()1(12)2()1(max λλλλξξξλλ+-=-⨯⨯⨯+-=-+-=d d B B 其中nωωλ=1-11 一质量为m 的单自由度系统，经试验测出其阻尼自由振动频率为d ω，在简谐激振力作用下位移共振的激振频率为ω。

求系统的固有频率、阻尼系数和振幅对数衰减率。

解：位移共振时221ξωω-=n又21ξωω-=n d那么n ω=阻尼比22222ωωω-==d n m m c0由上式有固有频率mk n 3=ω 阻尼比mk c32=ξ静力幅klfB 30=又稳态振动振幅22222)2()(ωξωωωωn nn d B B +-=当n ωω=时质量m 的线位移幅值：k mc f l B lB l B u nn n n n d 42)2()(02222202==+-==ωξωωωξωωωω当2/n ωω=时质量m 的线位移幅值：22222024814)2()(cmk mf lB l B u n nn d +=+-==ωξωωωω1-13 一电机质量为kg 22，转速为3000转/分，通过4个同样的弹簧对称地支承在基础上。

欲使传到基础上的力为偏心质量惯性力的10%，求每个弹簧的刚度系数。

解：系统运动微分方程为：2()()sin Mut ku t me t ωω+=&& 由上式可得系统的稳定振型为：)sin()(t B t u d ω=*其中22ωωM k me B d -=又21.0ωme kB d =则m N M k /1097.11160230002211522⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==πω每个弹簧的刚度系数m N k k /1093.44/4'⨯==1-14 发动机的工作转速为1500～2000 转/分，要隔离发动机引起的电子设备90%以上的振动，若不计阻尼，求隔振器在设备自重下的静变形s δ。

解：隔振系统的固有频率sn gm k δω==系统绝对运动传递率1111222-=-=nd T ωωλ 由以上两式⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=d s T g 112ωδ 又60220006021500πωπ⨯≤≤⨯，即4.2091.157≤≤ω 可得0.00250.0044s δ≤≤1-15 为测量频率为Hz 5的简谐运动，分别设计位移传感器和加速度传感器，并要求其误差不超过10%。

若取0.707ζ=，问对传感器的固有频率有何限制？解：由题意知加速度传感器测得的振幅应为实际的90％，即 ()()10090211222=+-=ξλλβd 解得：0.69λ=则要求()57.250.69n HZ ωωλ=== 位移传感器测得的振幅应为实际的90％，即 ()()10090212222=+-=ξλλλβd 解得： 1.43λ=则()5 3.51.43n HZ ωωλ===题1-16图1-16 单自由度无阻尼系统受图示力激励，求系统在初始条件0)0(u u =、0)0(u u &&=下的响应。

解：系统的运动微分方程及初始条件为()()()mu t ku t f t +=&&00)0(,)0(u u u u &&==00110 () 0 t t f t f t t t t t<⎧⎪=<<⎨⎪<⎩单位脉冲响应函数为1()sin , 0n nh t t t m ωω=> 由Duhamel 积分，求得系统响应函数 (1) 当1t t <时，系统的响应为自由响应 001()cos sin , 0n n nu u t u t t t t ωωω=+<<&(2) 当12t t t <<时，系统的响应为1100000001()cos sin 0sin ()cos sin [1cos ()]t t n n n n n t n n n n u f uu t u t t d t d u t tm ft t kωωτωττωωωωωω=+++-=++--⎰⎰&&(3) 当2t t >时，系统的响应为121200000()cos sin 0sin ()0cos sin t t t n n n t t n n nn nu f u t u t t d t d d m u u t t ωωτωτττωωωωω=+++-+=+⎰⎰⎰&& 1-170r r r 初始条件为00)0(,)0(u u u u &&==零初始条件下，由Duhamel 积分得：()()*000021()sin ()sin () 1)n n n ttt t r d d d dtd n a u t mae t d e t d m a t ζωτζωτζωωττωττωωωϕω-----=--=--⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰初始条件引起的响应为：000()cos sin n t n r d d d u u u t e u t t ζωζωωωω-⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭&%则系统的相对响应位移为：*()()()r r r u t u t u t =+%1-18 单自由度无阻尼系统的初始条件为零，求其在图示外力作用下的响应。