《空间中直线与直线之间的位置关系》公开课2
例3、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中。 （1）直线BA' 和CC' 的夹角是多少？ （2）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？
练习3 （1）如图，AA’是长方体的一条棱，长方 体中与AA’平行的棱共有 条。
（2）如果OA∥O’A’,OB∥O’B’,那么 ∠AOB和∠A’O’B’ .
练习3 （1）如图，AA’是长方体的一条棱，长方 体中与AA’平行的棱共有 3 条。
（2）如果OA∥O’A’,OB∥O’B’,那么 ∠AOB和∠A’O’B’ 相等或互补.
练习4
如图，已知长方体 ABCD ABC D中， AB 2 3 , AD 2 3 , AA 2.
(1) BC和AC 所成的角是多少度？ （2）AA和BC 所成的角是多少度？
问题：在平面上,两条直线相交成4个角，我 们把其中不大于90°的角称为它们的夹角。
在空间中，我们同样可以考察两条直线的 夹角。那么，两条异面直线的夹角应该如 何定义呢？
5. 异面直线所成的角的定义
m
m
l
m
o
l'
l
l'
5. 异面直线所成的角的范围
如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条 直线互相垂直。
c a
3、平行公理 公理4 平行于同一条直线的两直线互相 平行.
b
c a
二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相
则 a ∥c。
a
平行． 若a∥b，b∥c，
c
a α
b
c
公理4的作用：它是判断空间两条直线平行的依据
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
共面 共面 不共面
2、空间两直线的位置关系分类
(1) 从公共点的个数来看，可分为： ①有一个公共点：相交直线
②没有公共点
平行直线 异面直线
2、空间两直线的位置关系：
(1) 从公共点的个数来看，可分为： ①有一个公共点：相交直线
②没有公共点
平行直线 异面直线
(2) 从是否共面来讲，可分为： 相交直线 ①共面直线 平行直线
答:共有三对 C G D H E F B A H G(C) E
对?
A
D F(B)
3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则 直线a，b的位置关系是（D） （A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它 和另一条的位置关系是( D)
（A）平行（B）相交（C）异面（D）相交或异面
填空： 平行 、 ________ 相交 、 1、空间两条不重合的直线的位置关系有________ 异面三种。 ________ 平行 直线，也有可能是 2、没有公共点的两条直线可能是________ 异面 直线。 ________ 3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 相交、异面 。 有______________
2)定义中“任何”是指两条直 线永远不具备确定平面的条件， 即是不可能找到一个平面同时 包含这两条直线； 不能认为分别在两个平面内的 两条直线叫异面直线。
异面直线直观图的画法
m
m
l
l
m
m
l
l
2、空间中两条直线的位置关系
位置关系 相交 平行 异面 公共点个数 是否共面
只有 一 个 没有 没 有
13 2
,AC=
3 2
，
解：分别取AB、BC、CD、BD的中点，E、F、G、H，连接EF、FG、GH、EH、EG，
A
E
13 2
3 2
1
D
G
2
H
B
3F
C
P
课堂练习1
如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求 (1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？ 解: (1)如图: ∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角，
D
C
A
B
课堂练习2
如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = 2
(1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? 解答： (1)∵GF∥BC 2 E
2 3 D 2 3
3 , AD = 2 3 , AE = 2
G
H
F
C B
∴∠EGF（或其补角）为所求.
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 (2) ∵BF∥AE
练习4
如图，已知长方体 ABCD ABC D中， AB 2 3 , AD 2 3 , AA 2.
(1) BC和AC 所成的角是多少度？ （2）AA和BC 所成的角是多少度？
答案： （1）45°
（2）60°
补例：如图，在空间四边形ABCD中，AD=1,BC= 3 ,AD BC,对角线BD= 求AC与BD所成的角
答案： D1C1、C1C、CD、
D1D、AD、B1C1
A
练习2：如图在正方体中，与 BD1异面的棱有
D1 A1 B1 C1
D A B
C
AA 1 , AD, A 1B 1, B 1C1 , C1C, CD
探究:
如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB,
CD , EE , GH这四条线段所在直线是异面直线的有
问题：在平面上,我们容易证明“如果一个角的 两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角 相等或互补”。
在空间中,结论是否仍然成立呢?
4. 等角定理
A B D E F
C
4. 等角定理
A B
C
D F E
4. 等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。
5. 异面直线所成的角的定义
3、平行公理
问题：我们知道，在同一平面内，如果两 条直线都与第三条直线平行，那么这两条 直线互相平行。在空间中，是否有类似的 规律？
3、平行公理
观察 如图,正方体中, BB1 ∥ AA 1 ，
：
与 DD1 平行吗? DD1 ∥ AA 1 ，那么 BB 1
3、平行公理
公理4 平行于同一条直线的两直线互相 平行. b
b
a'
a
O
记作：a b
两异面直线所成的角 的范围是
3、特例： 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两 条异面直线互相垂直。 O α 相交垂直（有垂足）
垂直 异面垂直（无垂足） α 因此，异面直线所成角的范围是（0， 2 ]
O
5、求异面直线所成的角的基本法则：
作平行线，构三角形
求异面直线所成的角的步骤是: 一作(找)：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角
2.1.2空间中直线与直线 之间的位置关系
问题：平面中不重合的两条直线有哪几种 位置关系？
空间中的两条直线呢？
相交、平行、AA 与棱 BC 1 所在直线的位置关系.
一、空间两条直线的位置关系
1.异面直线的定义:
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做 异面直线。 1)异面直线既不平行也不相交
例2 在空间四边形ABCD中，E，F，G， H分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。
A H E D B F G C
探究：
在例2中，再加上什么条件，可以得到 四边形EFGH是菱形? 分析： 在例题2的基础上 我们只需要平行四边形 的两条邻边相等。
AC=BD
4. 等角定理
②异面直线.
练习1 判断正误
(1)l1 , l2 , 则l1 , l2一定是异面直线 .
(2)直线a与b为异面直线，若直线 c与直 线a平行，那么c与b也一定是异面直线 .
练习1 判断正误
(1)l1 , l2 , 则l1 , l2一定是异面直线 .
答案：(1)×
练习1 判断正误
o o 又 BEF中∠EBF =45 ， 所以BE与CG所成的角是45
(2)连接FH， ∵HD = EA，EA = FB ∴HD = FB
∥ ∥ ∥
H
E
O
G F
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD ∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角
连接HA、AF， 则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△ o 依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30 所以FO与BD所成的夹角是30o
o
A
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60o
课堂小结
这节课我们学习了 （1）异面直线 （2）空间中两条直线的位置关系 （3）平行公理、等角定理 （4）异面直线所成角的定义、范围及计算
(2)直线a与b为异面直线，若直线 c与直 线a平行，那么c与b也一定是异面直线 .
b
b
a
c
a
c
答案： (2) ×
练习2 如图所示：正方体的棱所在的直线 中，与直线A1B异面的有哪些？ D1
A1 D A B C1
B1
C
练习2 如图所示：正方体的棱所在的直线 中，与直线A1B异面的有哪些？
D1 A1 D B1 C B C1
空间中直线与直线之间的位置关系-公开课课件
讲授新知
D1 A1
C1 B1
1、异面直线定义
D
C
A
B
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫 做异面直线.
定义辨析：在两个平面内的两条直线是否一定是 异面直线？
合作探究
分别在两个平面内的两条直线的位置关系？
b a
M
ab
a与b是异面直线
a与b是相交直线
BACK
NEXT
a
b
a与b是平行直线
2.异面直线的画法
由 b′∥b, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理)
b
b′
a″
a ∠2
a′
O ∠1
BACK
NEXT
求异面直线所成的角
例1、如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，试求异面直线AA1
与 BC1所成的角.
D1 A1
B1 C1 解： AA1 // BB1
B1BC1为异面直线 AA1与BC1所成的角
D
C B1BC1 45
A
B
异面直线 AA1与BC1所成的角为45
变式：如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，试求异面直线BC1
与AC所成的角. D1
C1
解：连结 A1C1
AA1 //BB1 //CC1
A1
B1
四边形A CC1 A1为平行四边形
D
A1CC1B或 其AAC补1C/角1/BA为为1C异异1 面面直直线线BBCC1与1与AAC所C所成成的的角角
C'
D' C
D
B'
C'
A'
D'
B
C
A
D
B' A'
高中数学2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
第31页
2.1.2 │ 当堂自测
2．给出下列四个命题，其中正确的是( ) ①若空间中两条直线不相交，则它们一定平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另 一条相交； ④空间四条直线 a，b，c，d，如果 a∥b，c∥d，且 a∥d， 那么 b∥c. A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
第19页
2.1.2 │ 考点类析
► 考点二 证实空间中两直线平行 例 2 如图 2-1-9 所示，在三棱锥 A-BCD 中，E，F，G，H
分别是边 AC，CD，BD，AB 的中点，且 AD＝BC，求证：四 边形 EFGH 是菱形．
图 2-1-9
第20页
2.1.2 │ 考点类析
证明：在△ABC 中，E，H 分别是边 AC，AB 的中点， 所以 EH 是△ABC 的中位线，即 EH∥BC，且 EH＝12BC. 同理在△DBC 中，FG∥BC，且 FG＝12BC. 由公理 4 可知，EH FG， 所以四边形 EFGH 是平行四边形． 同理在△ADB 和△ABC 中可证，HG∥AD，且 HG＝12AD， 又 AD＝BC，所以 HG＝EH，所以四边形 EFGH 是菱形．
2.1.2 空间中直线与直线之间位置关系
第1页
2.1.2 │ 三维目标
三维目标
【知识与技能】 正确了解空间中直线与直线位置关系，尤其是两直线异面关 系． 【过程与方法】 以公理4和等角定理为基础，正确了解两异面直线所成角概念 以及它们应用． 【情感、态度与价值观】 深入培养学生空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严厉 科学态度和品质．
直线，两条直线是异面直线即等价于这两条直线 ___既__不__相__交__也__不__平__行______．
《空间中直线与直线之间的位置关系》教学课件ppt
四边形。 证明：连接BD，
因为 EH是ΔABD 的中位线，
H E
D
G
所以EH//BD,且 EH 1 BD 2
同理FG//BD,且FG 1 BD 2
B F
C
记得步骤要规范哦！
所以 EH//FG，且EH=FG
所以，四边形EFGH是平行四边形。
解题思想： 把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
在同一平面内，如果两条直线都与第三条 直线平行，那么这两条直线相互平行．在空间 中，如果两条直线都与第三条直线平行，是否 也有类似的规律？
观察
如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中, AB//A'B', D'C'// A'B',那么AB 与D'C'平行吗？
D
A
C B
D
A
平行
C
B
空间平行线的传递性
公理４：在空间中平行于同一条直线的两条直 线互相平行．
若a∥b，b∥c， 则 a∥c。a
c
a α
bc
公理4的作用：它是判断空间两条直线平行的依据
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
例2：如图 ，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是
பைடு நூலகம்
AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行 A
小结
异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线.
空间直线 不同在任何一个平面内---------异面直线 相交直线 在同一平面内-------平行直线
公理４ 平行同一条直线的两条直线互相平行.
人教版高中数学必修二 空间中直线与直线之间的位置关系公开课优质教案
§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.二、教学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.三、重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.(情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.思路2.（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？图1（二）推进新课、新知探究、提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系.③两异面直线的画法.④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？⑤什么是空间等角定理？⑥什么叫做两异面直线所成的角？⑦什么叫做两条直线互相垂直？活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧.,:;,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内异面直线没有公共点同一平面内平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线 ③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.图2④组织学生思考：长方体ABCD —A′B′C′D′中，如图1, BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？ 通过观察得出结论：BB′与DD′平行. 再联系其他相应实例归纳出公理4.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为：a ∥b,b ∥c ⇒a ∥c.强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用. 公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.图3针对这个定义，我们来思考两个问题.问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上（如图3）.图4问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？答：没有矛盾.当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.图5（三）应用示例思路1例1 如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.图6求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，且FG=BD 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 变式训练1.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD. 求证：四边形EFGH 是菱形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21,EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为AC=BD,所以EF=EH. 所以四边形EFGH 为菱形.2.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD ，AC ⊥BD.求证：四边形EFGH 是正方形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线， 所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21，EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为AC=BD ，所以EF=EH.因为FG ∥BD ，EF ∥AC ，所以∠FEH 为两异面直线AC 与BD 所成的角.又因为AC ⊥BD ，所以EF ⊥EH. 所以四边形EFGH 为正方形.点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法. 例2 如图7，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (2)直线BA′和CC′的夹角是多少？ (3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD 、DC 、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线. (2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.（3）直线AB 、BC 、CD 、DA 、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 变式训练如图8，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图8（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；（2）求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，∵△AD′C是等边三角形.∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.思路2例1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.求证：EB1∥DF，ED∥B1F.活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.图9∵EG A1D1，B1C1A1D1,∴EG B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,∴EB1GC1.同理可证DF GC1，∴EB1DF.∴四边形EB1FD是平行四边形.∴ED∥B1F.变式训练如图10，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：图10（1）AB与CC1；（2）A1B1与DC；（3）A1C与D1B；（4）DC与BD1；（5）D1E与CF.解：（1）∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD,∴AB与CC1异面.（2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，则A1、B、C、D1在同一平面内.∴A1C与D1B相交.（4）∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD,∴DC与BD1异面.（5）如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点.又AE ∥DD 1，∴GD 1过AA 1的中点E.∴直线D 1E 与CF 相交.点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB 与A 1C ），有时看上去像相交（如图中的DC 与D 1B ）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.例2 如图11，点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角.图11解：设G 是AC 中点，连接EG 、FG .因E 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG ∥BC 且EG=BC 21，FG ∥AD ，且FG=AD 21.由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求.由BC=AD 知EG=GF=AD 21，又EF=22AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.点评：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.变式训练设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB=212，CD=24，且HG·HE·sin ∠EHG=312，求AB 和CD 所成的角.解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG ∥AB ，HE ∥CD ，图12∴∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. 由题意可知EFGH 是平行四边形，HG=2621=AB ，HE=3221=CD ， ∴HG·HE·sin ∠EHG=612sin ∠EHG . ∴612sin ∠EHG=312.∴sin ∠EHG=22.故∠EHG=45°. ∴AB 和CD 所成的角为45°. （四）知能训练如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有对____________.图13答案：三 （五）拓展提升图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图14①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行；③AB与MN所在直线成60°角；④MN与EF所在直线异面.其中正确命题的序号是（）A.①③B.①④C.②③D.③④答案：D（六）课堂小结本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点.为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理.（七）作业课本习题2.1 A组3、4.。
《空间中直线与直线之间的位置关系》人教版高中数学必修二PPT课件(第2.1.2课时)__收 (1)
平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
新知探究
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.
如图： a
b
(2)
b
A
a (1)
a
b
(3)
新知探究
练习：如图：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？
感谢你的聆听
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讲解人： 时间：2020.6.1
直线AB和直线CD
新知探究
空间两直线平行的判定公理 公理4 平行于同一条直线的两直线互相 平行. 若 a//b，c//b 则 a//c.
平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.
b
a c
新知探究
例：如图，空间四边行ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形
EFGH是平行四边形. A
新知探究
B
A
C
D
E
F
AB // DE, BC // EF ABC DEF
新知探究
定理空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
A
B
C
D
F
AB // DE, BC // EF E 互补
新知探究
夹角 在平面内两直线相交成四个角，不大于90°的角成为夹角.
a b
夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度，异面直线通过异面直线所称的角来刻画.
既非平行 又非相交
D1 A1
D A
C1 B1
人教A版高中数学必修二2 空间中直线与直线之间的位置关系课件
D
A
C
B
D
C
A
B
例1： 如图 ，空间四边形ABCD中，E，F，G， H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边 形EFGH是平行四边形。
A
H E
D
G
B F
C
探 究
在例1中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形
EFGH是什么图形？
C
B
C
B
B. BB' D. B' C'
练习2：下图是一个正方体的展开图，如果将它 还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条 线段所在的直线是异面直线的有 3 对。
C
A
G
上左
后右
D
B
下
G(C ) A
E
H直线AB和直线HG
F( B )
直线AB和直线CD 直线EF和直线HG
观察
如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，
新课导入
回顾旧知
同一平面内两直线有几种位置关系？
a
o
b
相交
a b
平行
2.1.2 空间中直线与直线之间的位 置关系
观察：在长方体ABCD-A'B'C'D'中： AB与AD的位置关系是什么？相交 AB与CD的位置关系是什么？平行 AB和CC‘ 的位置关系什么？
D
C
A
B
D
C
A
B
既不平行
又不相交
观察：黑板两侧所在的直线与课桌边沿 所在直线是什么位置关系？
【课件】高中数学必修2公开课课件-2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
（3）求异面直线 BC 和 AA1 的距离．
解：(3) ∵AB⊥AA1，AB∩AA1=A，
D1
AB⊥BC，AB∩BC=B， A1
C1 B1
∴AB是BC和AA1的公垂线段
∵AB=a，
D A
C B
∴BC和AA1的距离是a .
12
例4 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求:
(1)A1B与B1D1所成角; (2)AC与BD1所成角.
BD.
C
又在△BCD
中， CF
CG
2
2
，∴FG//BD,FG=
2
BD.
CB CD 3
3
根据公理4，EH//FG
又FG＞EH,∴四边形EFGH的一组对边平行但不相等
∴四边形EFGH是梯形.
6
例例2 2 如图， A 是平面 BCD外的一点 G, H 分别是
ABC, ACD 的重心.求证： GH // BD ．
异面直线所成的角的范围： (0, ] 2
17
课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
新疆 王新敞
奎屯
王新敞 特级教师 源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯
·2007·
18
]
2
b a
O b′
a'
a
b' Ob
9
四、异面直线所成的角
如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异
面直线垂直．两条异面直线a,b 垂直，记作a⊥b.
异面直线所成的角的范围：(0, ]
D1
C1
2
A1
B1
两条异面直线的公垂线、距离
和两条异面直线都垂
D
C
直相交的直线，我们称之