测量平差 第三章

例2:若要在两已知点间布设一条附和水准路线,已 知每公里观测中误差等于±5.0mm,欲使平差后 线路中点高程中误差不大于±10mm,问该路线长 度最多可达几公里?
例3：设在测站A上（如图），已 知∠ABC=α，设无误差，而观 测角β1和β2的中误差为σ1＝σ2＝ 1.4秒，协方差σ1２＝－1秒，就 角x的中误差σx
k10 k 20 K0 t1 k t0
2 DZZ Z K DXX K T tt tn nn nt
若有X的r个函数：
y1 y2 Y FX F0 r1 y r
可得：
2 DYY Y F DXX F T rr rn nn nr
应用协方差传播公式得
N x N

2 x

2
例题
已知某台经纬仪一测回的测角中误差为±6'',如 果要使各测回的平均值的中误差不超过±2'',则至少 应测多少测回？ 解：由公式
2 x
2
N
可得
2 62 N 2 2 9 x 2
答：至少应测9测回
三、若干独立误差的联合影响
t ,1 t , n n ,1 t , r r ,1
DYY
DXY
求 DZZ
DZX
DZY
三、非线性函数的情况 设有观测值X的非线性函数：
Z f ( X ) f ( X 1 , X 2 , X n )
已知：
X [ X 1 , X 2 ,... X n ]T , DXX
n ,1 0 X 0 [ X 10 , X 2 ,... X n0 ]T n ,1
求：DZZ
将Z按台劳级数在X0处展开：
0 0 Z f ( X 10 , X 2 , X n )
f f f 0 0 0 ( )0 ( X 1 X 1 ) ( )0 ( X 2 X 2 ) ( )0 ( X n X n ) X 1 X 2 X n (二次以上项）
2 C
2 s

S2

2

2

0.84cm
2
§3-４权与定权的常用方法
一、权的定义
设Li (i 1,2,..., n), 它们的方差为 ,
2 i
如选定任一常数 0，则定义 :
2 0 pi 2 i
称为观测值Li的权。权与方差成反比。
1 2
D XX
2 X X 2 X X
1 n 2 n
2 X
nX2
2 Xn

若有X的t个函数：
z1 z2 Z KX K 0 t1 z t
1n
k2n ktn
k11 k12 k 21 k 22 K tn k t1 kt 2
解 法 一
（1）、列函数式, 由图知: X C X A S cos 0 , YC YA S sin 0 （2）、线性化
dX C cos dYC sin

dS 0
S

sin


2
dS 0
S
（3）、应用协方差传播公式可得坐标方差计算式
C
L2
α0
L1 B
s AC
s in L1 s0 s in L2
A
AC 0 (180 L1 L2 ) xC x A s AC cos AC yC y A s AC s in AC
XC,YC的中误差与L1,L2的中误差之间的关系是什么？
二．本章将要阐述的问题
hAB h1 h2 ＋hn
设水准测量中每一测站观测高差hi的精度相同, 其 方差均为 , 则具有N个测站的水准路线的总高差为

h h1 h2 ... hN
2 h2 h21 h22 h2n N 站
h
N 站
在平坦地区的水准测量中, 每公里的测站数大致相 2 等, 因此, 每公里观测高差的方差相等, 设其均为 km , 则S公里观测高差的方差和中误差分别为
（4）.计算点位方差


2 C

S2
2
X Y sin cos
2

2
cos2
2

c
c
sin 2 0
2

0

2 s
2
0
0


2
s
2
2
S2
6000 .00 *10 0 .5
206265 2
2 2 h S km
h S km
ˆ ˆ h S km
其估值公式为
2 ˆ h S km ˆ2
例题
水准测量中若要求每公里观测高差中误差不超过 10mm，水准路线全长高差中误差不超过60mm, 则该 水准路线长度不应超过多少公里？ 解：由公式
S
第三章 协方差传播律与权
在实际工作中，经常间接测量某些量，待求量通过间接测量 的方程式 y f ( x1 , x2 ,, xn ) 获得。通过测量获得量 x1 , x2 ,, xn 的数值后，即可由上面的函数关系计算出待 求量y 的数值。 本章将要讨论的问题是：测量数据的误差怎样作用于间接量 y，即给定测量数据的测量误差，现在提出这样一个问题： 观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存 在怎样的关系？如何从后者得到前者？阐述这种关系的公式 称为协方差传播律。
2 h
2 km
可得
2 h 60 2 S 2 2 36 km 10
答：该水准路线长度不应超过36公里。
二、同精度独立观测算数平均值的精度
设L1,L2,…,Ln为一组等精度的独立观测值(方差均
为σ2) , 其算术平均值为
x

1 L1 L2 ... LN N
1 1 1 L1 L2 ... LN N N N
差的关系。
一、观测值线性函数的方差
设有n维观测向量X，其数学期望μ和协方差阵分别为：
设有n维观测向量X的函数Z为：Z=KX+K0,求DZZ＝？ 式中K为系数阵，K0为常数。 根据方差的定义得：
2 DZZ Z E Z EZ Z EZ

T

DZZ KDXX K
S2 2 cos 0 s 2 sin 2 0 Xc S2 2 2 2 2 sin 0 s 2 cos2 0 Yc
2 2

cos

d 0 d 0
2 Z
T
上式的纯量形式为：
2 2 2 2 2 DZZ Z k12 12 k 2 2 k n n 2k1k 2 12
2k1k3 13 2k1k n 1n 2k n -1k n n -1,n
当向量中的各分量两两独立时，它们之间的互协m
2
解 法 二
由C点纵、横向方差求点位方差 如图AC边上边长方差称为 s2 , 而在它的垂直方 纵向方差 向的方差称为横向方差 。 横向方差是由AC边的坐标 方位角α的方差引起的, 由图知
S S
2 2 u 2
2

2

2
2
点位方差为

f k0 f ( X 1 , X 2 , X ) ( ) 0 X i0 i 1 X i
n 0 0 0 n
Z [k 1 , k 2 , kn ] X k0 KX k0
n ,1
DZZ KDXX K
T
例4、根据极坐标法测设P点的坐标，设已知 点无误差，测角中误差为m，边长中误差ms， 试推导P点的点位中误差。
设若干独立误差的联合影响下观测结果的真误差为
z 1 2 n
由协方差传播律可得：
2 2 2 Z 12 2 n
2 Z 即, 观测结果的方差 ，等于各独立误差所对应的方
差之和
。
四、平面控制点的点位精度
如下图所示导线, A为已知点, α0为AB方向的方位 角 , β 为观测角 , 其方差为 ±4.0(″)2, 观测边长 S为 600.00 m, 其方差为0.5cm2, 试求C点的点位方差。





xe
dx
数学期望的传播规律：
常数c的数学期望为E（c）=c 随机变量X乘以常数c，则有 E CX CE X 随机变量X 1 , X 2 ,, X n 之和的数学期望为
E X 1 X 2 X n E X1 E X 2 E X n
一．常见问题举例
1．如图，观测了一个 三角形的三个内角 L1,L2,L3.将其闭合差 ω平均分配后的各角的 平差值为：
C L2
L3 A
L1 B
ˆ i Li 1 L 3
即：平差值是对过观测值计算得到的，如果已知观测 值的中误差，怎么求平差值中误差？
2．如图，在侧方交会中，已知A，B 两点的坐标(XA,YA)和(XB,YB)，它们之 间的距离为S0，坐标方位角为α0，由 交会的观测角L1,L2求交会点的坐标：
二、多个观测值线性函数的协方差阵
设有观测向量n维X，其数学期望和协方差阵已知：
1 E ( X 1 ) 2 E ( X 2 ) X E( X ) n n
2 X1 2 X 2 X1 2 X X n 1 2 X X 2 X2