测量平差第二章
[精选]【测绘课件】测量平差--资料
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二、矩阵的转置
对于任意矩阵Cmn:
c11 c12 c1n
C
c21
c22
c2n
mn
cm1
cm2
cmn
将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为C的转置。
用：
c11 c21 cn1
CT c12
c22
cn
2
评定测量成果的质量
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测量平差产生的历史
最小二乘法产生的背景 18世纪末，如何从多于未知参数的观测值集合求出未 知数的最佳估值？
最小二乘的产生
1794年，C.F.GUASS，从概率统计角度，提出了最小二乘 1806年，A.M. Legendre，从代数角度，提出了最小二乘。《决定彗星轨道的 新方法》 1809年， C.F.GUASS，《天体运动的理论》
地图制图与地理信息系统工程
课程安排
前修课程：高数、几何与代数、概率与 数理统计
课程分两个学期进行： 第二学年上学期：3学分 第三学年下学期：2学分
后续课程：测绘数据的计算机处理、控 制测量、近代平差
教学方式与内容
讲授为主，例题、习题相结合。 内容：本学期主要讲前五章的内容。 参考书目：
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误差：测量值与真值之差
由于误差的存在，使测量数据之间产生
矛盾，测量平差的任务就是消除这种矛
盾，或者说是将误差分配掉，因此称为
平差。
(
)实际
180
( )理论 180
测量平差 第二章习题与答案
测量平差第二章思考题1 为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角'"450000α= 作12次同精度观测，结果为：'"450006'"455955 '"455958 '"450004 '"450003'"450004 '"450000 '"455958 '"455959 '"455959 '"450006 '"450003设a 没有误差，试求观测值的中误差。
2 已知两段距离的长度及中误差分别为300.465m ±4.5cm 及660.894m ±4.5cm ，试说明这两段距离的真误差是否相等？他们的精度是否相等？3 设对某量进行了两组观测，他们的真误差分别为：第一组：3，-3，2，4，-2，-1，0，-4，3，-2第二组：0，-1，-7，2，1，-1，8，0，-3，1试求两组观测值的平均误差1ˆθ、2ˆθ和中误差1ˆσ、2ˆσ，并比较两组观测值的精度。
4 设有观测向量1221[]T X L L =，已知1ˆL σ=2秒，2ˆL σ=3秒，122ˆ2L L σ=-秒，试写出其协方差阵22XX D 。
5 设有观测向量12331[]T X L L L =的协方差阵334202930316XXD -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，试写出观测值L 1，L 2，L 3的中误差及其协方差12L L σ、13L L σ和23L L σ。
答案：2.1 ˆ3.62"σ= 2.2 它们的真误差不一定相等，相对精度不相等，后者高于前者2.3 1ˆθ=2.4 2ˆθ=2.4 1ˆσ=2.7 2ˆσ=3.6 两组观测值的平均误差相同，而中误差不同，由于中误差对大的误差反应灵敏，故通常采用中误差做为衡量精度的的指标，本题中1ˆσ<2ˆσ，故第一组观测值精度高 2.4 22242()29XX D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭秒 2.51L σ=2, 2L σ=3, 34L σ=,122L L σ=-,130L L σ=,233L L σ=-。
误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标
一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2
参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标，但由于：
中误差具有明确的几何意义（误差分布曲线的拐点
坐标）
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
《测量平差》课程教案
附件3
交通职业学院
课程教案
学年第学期
开课单位交通职业学院道桥系测量教研室
授课教师
职称
课程名称测量平差
课程性质职业能力课
教材名称《测量平差》
适用专业（方向）工程测量与监理
交通职业学院制
年9月8日
《课程教案》填写说明
一、用宋体、5号字填写，每项页面大小可按照规定格式自行添减。
二、一次课为一份教案（不包括封面）。
三、“课程性质”填基本素质课、职业能力课、素质拓展课；素质拓展课的“适用专业（方向）”填写“全校各专业”。
四、“开课单位”填学院、学系和教研室（无教研室只填学院和学系）。
五、授课类型指理论课、讨论课、实验、社会实践、实习或见习课、其他等。
六、“教学内容”应具体，而不应只填写教材章节名称或讲授主题的题目。
测量平差复习题汇总
《测量平差》复习题第一章：绪论1、什么是观测量的真值？任何观测量，客观上总存在一个能反映其真正大小的数值，这个数值称为观测量的真值。
2、什么是观测误差？观测量的真值与观测值的差称为观测误差。
3、什么是观测条件？仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件。
4、根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为哪几类？根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为系统误差和偶然误差两类。
5、在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程，称为误差公理。
6、观测条件与观测质量之间的关系是什么？观测条件好，观测质量就高，观测条件差，观测质量就低。
7、怎样消除或削弱系统误差的影响？一是在观测过程中采取一定的措施；二是在观测结果中加入改正数。
8、测量平差的任务是什么？⑴求观测值的最或是值（平差值）；⑵评定观测值及平差值的精度。
第二章：误差理论与平差原则1、描述偶然误差分布常用的三种方法是什么？⑴列表法；⑵绘图法；⑶密度函数法。
2、偶然误差具有哪些统计特性？(1) 有界性：在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。
(2) 聚中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。
(3) 对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等。
(4) 抵偿性：偶然误差的数学期望或偶然误差的算术平均值的极限值为0。
3、由偶然误差特性引出的两个测量依据是什么？⑴制定测量限差的依据；⑵判断系统误差(粗差)的依据。
4、什么叫精度？精度指的是误差分布的密集或离散的程度。
5、观测量的精度指标有哪些？(1) 方差与中误差；(2) 极限误差；(3) 相对误差。
6、极限误差是怎样定义的？在一定条件下，偶然误差不会超过一个界值，这个界值就是极限误差。
通常取三倍中误差为极限误差。
当观测要求较严时，也可取两倍中误差为极限误差。
7、误差传播律是用来解决什么问题的？ 误差传播律是用来求观测值函数的中误差。
8、应用误差传播律的实际步骤是什么？ (1) 根据具体测量问题，分析写出函数表达式),,,(21n x x x f z =；(2) 根据函数表达式写出真误差关系式n nx x f x x f x x f z ∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂=∆ 2211； (3) 将真误差关系式转换成中误差关系式。
中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程《测量平差》第二章课件 平差数学模型与最小二
(2-1-3)
(2-1-4)
由此可见，每增加一个多余观测，在它们中间就 必然增加且只增加一个确定的函数关系式，有多少 个多余观测，就会增加多少个这样的关系式。这种 函数关系式，在测量平差中称为条件方程。
综上所述，由于有了多余观测，必然产生条件方 程，但由于观测不可避免地含有误差，故观测值之 间必然不能满足理论上的条件方程，即：
转折角度观测值 β1 = 85˚30′ 21.1″ β2 = 254˚32′ 32.2″ β3 = 131˚04′ 33.3″ β4 = 272˚20′ 20.2″ β5 = 244˚18′ 30.0″
解： 未知导线点个数n – 1 = 3，导线边数n = 4，观测角 个数n + 1 = 5 近似计算导线边长、方位角和各导线点坐标，列于表 3-2中 表3-3
0 0 0 1 1 1 1 1 0 A 0.3868 0.7857 0.0499 0.9959 1.8479 1.1887 0.7614 0.0857 0 0.9221 0.6186 0.9988 0.0906 1.2502 1.5267 0.9840 0.9417 0
一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任 何确定的函数关系的，即其中的任何一个必要观测 元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。在上 述⑵情况中，任意三个必要观测元素，如 L1、L2、S1 之间，其中 S 1 不可能表达成 L1、L2 的函数，除非再 增加其它的量。这些彼此不存在函数关系的量称为 函数独立量，简称独立量。 在测量工作中，为了求得一个几何模型中的几何 量大小，就必须进行观测，但并不是对模型中的所 有量都进行观测。假设对模型中的几何量总共观测 n个，当观测值个数小于必要观测个数，即n<t,显然 无法确定模型的解；
测量平差教案第二章
1：500
1：4000~ 1：8000
1：500
1：4000~ 1：6000
1：2000
1：8000~ 1：18000
1：2000
1：8000~ 1：12000
1：10000
1：20000~ 1：40000
1：10000
1：10000~ 1：35000
航摄比例尺与地形图比例尺的关系表
X
Y
Z
A
p
S
Xs
Zs
以Y轴为主轴的、 、
X
Y
Z
A
Xs
Ys
Zs
o
ox
X
Y
Z
N
S
旁向倾角：主光轴SO方向与SOX的夹角
航向倾角：主光轴SO在XZ平面上的投影SOX与Z轴的夹角。
像片旋角： YSO平面与像平面的交线与像平面坐标系y轴的夹角。
x
y
2-4、像点坐标变换
01
02
03
04
像点的平面坐标变换 a
Y
S
Y
186次
4.55%
Z
Z
a
X
S-XYZ绕Z轴旋转角到S-XYZ(s-xyz)
a
X
Z
Y
S
X
Y
a1 = cosφcosκ - sinφsinωsinκ a2 = -cosφsinκ – sinφsinωcosκ a3 = -sinφcosω b1= cosωsinκ b2 = cosωcosκ b3 = -sinω c1 = sinφcosκ+ cosφsinωsinκ c2 = -sinφsinκ + cosφsinωcosκ c3 = cosφcosω
测量平差第二章
第一节 偶然误差的规律性
基本假设：系统误差已消除，粗差不存在，即观测误差 仅为随机误差。
i Li Li
偶然误差：单个误差在误差大小及符号上没有明显的规 律，表现出随机性，称为偶然误差。但对大量误差进 行统计具有明显的规律。
注：一组观测值 l1 , l2 , l3 , , ln，可以是同一个量的观测 值，也可以不是同一个量的观测值，但必须是同性质， 同精度的观测值。
^
(1.0) 2
1.97
2.平均误差 设在相同的观测条件下得到一组独立观测误 差 i ，则其平均误差由 i 之绝对的数学期望(绝对值的 平均数)定义，即： n 因为 E ( ) f ()d lim n
0
i 1
i
n
所以 f ()d 2 f ()d
2
0.7979
4 5
5 1.253 2 4
23
由上式知，不同的 ，对应着不同的 ，于是就对应着 不同的误差分布曲线。所以平均误差 也可作为衡量精 度的指标。 在实际工作中，既可通过以上等量关系来计算平均 误差的估值： n
4
寻找偶然误差之规律性的方法
三种统计分析：
1. 统计表 2. 直方图 3. 误差分布
例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，三角形内角 和应为180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真 误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。
统计表
误差 区间
0.00~0.20 0.20~0.40 0.40~0.60 0.60~0.80 0.80~1.00 1.00~1.20 1.20~1.40 1.40~1.60 >1.60
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第四节 协方差传播律及其应用
• 例[1-6] 经个N测站测定两水准点A、B间的高差，其中 第i(i=1,2…N)站的观测高差为 hi • 解：A、B两水准点间的高差为： h h h h • 设：各测站观测高差是精度相同的独立观测值，其中误 差均为 ，。应用协方差传播律，得
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第二节
一、精度的含义
衡量精度的指标
所谓精度是指偶然误差分布的密集离散程度。 一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。 不同组观测值，分布不同，精度也就不同。 提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各 不相同。
第二节
频数/d
衡量精度的指标
频数/d
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8 -0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
2 j 2 0
Qii为Li的协因数。
Q jj为L j的协因数。
Qij为Li关于L j的协因数 或相关权倒数。
1 ji Qij 2 pi 0
第六节
变换形式为：
2 i2 0 Qii 2 2 j 0 Q jj 2 ji 0 Qij
第一节 偶然误差的统计规律
第二节 衡量精度的指标
第三节 协方差传播率
第四节 协因数传播率及其应用
第五节 权与定权的常用方法 第六节 协因数与协因数传播率
第七节 由真误差计算中误差及其实际应用
第八节 测量平差原则
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第一节
偶然误差的统计规律
一、几个概念 真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正 ~ 大小的数值，一般用 L 表示。 观测值：对该量观测所得的值，一般用Li表示 。 真误差：观测值与真值之差， 一般用i= L-Li 表 示。
偶然误差的统计规律
(K/n)/d△
面积= [(K/n)/d△]* d△= K/n
概率密度函数曲线
-0.8
-0.6
-0.4
0
0.4
0.6
0.8
闭合差
所有面积之和=k1/n+k2/n+…..=1
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第一节
频数/d
偶然误差的统计规律
0.630
频数/d
0.475
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
第三节
一、协方差
协方差传播律
对于变量X，Y，其协方差为：
XY E[( X E ( X ))(Y E (Y ))] YX E[(Y E (Y ))( X E ( X ))] [ ] lim XY YX n
x y xy n yx
Z [k 1 , k 2 , kn ] X k0 KX k0
n ,1
DZZ KDXX K
T
第三节 协方差传播应用步骤:
协方差传播律
• 根据实际情况确定观测值与函数,写出具 体表达式 Z KX 或 Zi f i ( X1 , X 2 ,, X n ), (i 1,2,, t ) • 写出观测量的协方差阵 • 对函数进行线性化 • 应用协方差传播律求方差或协方差阵。 • DZZ KD XX K T
闭合差
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
提示：观测值定了其 分布也就确定了，因 此一组观测值对应相 同的分布。不同的观 测序列，分布不同。 但其极限分布均是正 态分布。
频数/d
1 f () e 2
2 2 2
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
N N
N
N
N
x
• 即：N个同精度独立观测值的算术平均值的中误差， 等于各观测值的中误差除以观测值个数的平方根。
第五节
一、权的定义
权与定权的常用方法
设Li (i 1,2,..., n), 它们的方差为 i2 , 如选定任一常数 0，则定义 :
2 0 pi 2 i
称为观测值Li的权。权与方差成反比。
2
[] lim D() E (2 ) n n 2 f ()d
中误差：
[] 2 lim n n
面积为1
越小，误差曲 提示： 线越陡峭，误差分布 越密集，精度越高。 相反，精度越低。
2 1
-0.8 -0.6 -0.4
17
13 6
0.047
0.036 0.017
0.235
0.180 0.085
16
13 5
0.045
0.036 0.014
0.225
0.180 0.070
1.40~1.60
>1.60
4
0 181
0.011
0 0.505
0.055
0
2
0 177
0.006
0 0.495
0.030
0
和
第一节
用直方图表示:
2 2 2 0 0 0 1 1 1 p1 : p2 : pn 2 : 2 : : 2 2 : 2 : : 2 1 2 n 1 2 n
第五节 由此可见：
权与定权的常用方法
2 (一)权的大小随 0 而变化，但权比不会发生变化。
2 (二) 选定了 0 ，即对应一组权。
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第一节 偶然误差的统计规律 二、偶然误差的特性
• 例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每个三角 形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计 算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。
误差 区间
0.00~0.20
—△ 个数K 45 频率K/n 0.126 (K/n)/d△ 0.630 个数K 46
xy
[ x y ] n
YX XY 0
YX XY 0
表示X、Y间互不相关，对于正 态分布而言，相互独立。 表示X、Y间相关
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第三节
协方差传播律
对于向量X=[X1，X2，……Xn]T，将其元素间的 方差、协方差阵表示为：
12 12 1n 2 21 2 2 n 2 n1 n 2 n
2
P 1
Ps 2 s
i i
s2 a 2 (b 106 si ) 2
i
第六节
协因数与协因数传播律
一、协因数与协因数阵
设Li , L j 它们的方差为 i2 , 2 j , 协方差为 ij 令: 1 i2 Qii 2 pi 0 1 Q jj pj
DXX
特点：I 对称 II 正定
III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当
对角元 相等时，为等精度观测。
第三节
协方差传播律
二、观测值线性函数的方差
T X [ X , X ,... X ] , DXX , Z K X K 0 已知： n,1 1 2 n 1,1 1, n n ,1
那么：
DZZ KDXX K T
~
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第一节
偶然误差的统计规律
观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、 L2……Ln可表示为：
L1 L L 2 n ,1 Ln
~ 1 L ~ ~ L L2 n ,1 ~ Ln
~ L1 1 L ~ L L2 2 n ,1 ~ Ln L n
（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较 精度的作用，一个问题只选一个0。 （四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。
第五节
权与定权的常用方法
二、单位权中误差
0 称为单位权中误差，权等于1的观测值称为单位权观测值。
三、常用的定权方法 1、水准测量的权
2、边角定权
c pi 或 si
c pi Ni
三、多个观测值线性函数的协方差阵
已知：
Z K X K0
t ,1 t ,n n ,1 t ,1
DZZ KDXX K T
Y F X F0
r ,1 r ,n n ,1 r ,1
DZF KDXX F T ( DFZ )T
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第三节
协方差传播律
例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三 个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平 均分配后各角的协方差阵。
n ,1
求：DZZ
X 0 [ X 10 , X 20 ,... X n0 ]T
n ,1
第三节
协方差传播律
将Z按台劳级数在X0处展开：
0 Z f ( X 10 , X 20 , X n )
f f f 0 0 0 ( )0 ( X 1 X 1 ) ( )0 ( X 2 X 2 ) ( )0 ( X n X n ) X 1 X 2 X n (二次以上项）
F1 X F1 Y 已知 DXX 例4：设有函数， Z t ,1 n ,1 r ,1
t ,n t ,r
DYY
DXY
求 DZZ
DZX
DZY
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第三节 四 、非线性函数的情况
协方差传播律
设有观测值X的非线性函数：
Z f ( X ) f ( X 1 , X 2 , X n )
已知： X [ X 1 , X 2 ,... X n ]T , DXX
0 0.4
0.6
0.8
1 2
闭合差
停止
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第二节 2、极限误差
衡量精度的指标