2020年测量平差第五章
测量平差基础参考资料
第一章绪论第二、三章全书的基础知识第四章介绍测量平差理论第五、六、七、八章 4种平差方法第九章各种平差方法的总结第十章讨论点位精度第十一章统计假设检验的知识第十二章近代平差概论根据本科教学大纲的要求，重点讲解第二章~第八章以及第十章的内容。
二、如何学好测量平差1. 要有扎实的数学基础。
只有牢固地把握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差，因此课前要做到预习，对与以上三门课程有关内容进行温习，只有如此才能听懂这一节课。
2. 听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。
3. 课后及时复习并完成一定数量的习题（准备A、B两个练习本），从而巩固课堂所学的理论知识。
第一章绪论本章要紧说明观测误差的产生和分类，测量平差法研究的内容和本课程的任务。
第二章误差散布与精度指标全章共分5节，是本课程的重点内容之一。
重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。
难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。
要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。
第三章协方差传播律及权全章共分7节，是本课程的重点内容之一。
重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。
难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。
要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系；能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。
第四章平差数学模型与最小二乘原理全章共分5节。
重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。
难点：函数模型的线性化，随机模型。
要求：牢固掌握本章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；关于较简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。
《测量平差》学习辅导
《测量平差》学习辅导第一章测量平差及其传播定律一、学习要点（一）内容：测量误差的概念、测量误差来源、分类；偶然误差概率特性；各种精度指标；真误差定义；协方差传播律；权与定权的常用方法；协因数传播律；权逆阵及其传播规律。
（二）基本要求：1．了解测量平差研究的对象和内容；2．掌握偶然误差的四个概率特性；3．了解精度指标与误差传播偶然误差的规律；4．了解权的定义与常用的定权方法；5．掌握协方差传播率。
（三）重点：偶然误差的规律性，协方差、协因数的概念、传播律及应用；权的概念及定权的常用方法。
（四）难点：协方差、协因数传播率二、复习题（一）名词解释1．偶然误差2．系统误差3．精度4．单位权中误差（二）问答题1．偶然误差有哪几个概率特性?2.权是怎样定义的，常用的定权方法有哪些?（三）计算题σ的量测中误差1．在1:500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm，dσ。
σ=±0.2mm，求该两点实地距离S及中误差s三、复习题参考答案 （一）名词解释1．偶然误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律，这种误差称为偶然误差。
2．系统误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性，或者为某一常数，或者按照一定的规律变化，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。
3．精度：表示同一量的重复观测值之间密集或吻合的程度，即各种观测结果与其中数的接近程度。
4．单位权中误差：权等于1的中误差称为单位权中误差。
（二）问答题1．答：有四个概率特性：①在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零；②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；③绝对值相等的正负误差出现的概率相同；④偶然误差的数学期望为零。
2．答：设i L （i=1,2,3，…,n ）,他们的方差为2i σ，如选定任一常数0σ，则定义：22ip σσ=，称为观测值L i 的权。
测量平差教学课件PPT
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
• 3、精确度： • 描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，
精确度可用观测值的均方误差来描述，即：
• 当 时，即观测值中不存在系统误差，亦即 观测值中只存在偶然误差时，均方误差就 等于方差，此时精确度就是精度。
ZX,则 Z的方D 差 ZZ阵 D XX为 D XY
Y
D YX D YY
其中：DXY =E 为[XX 关(于u Y的X)互Y 协( 方u 差Y阵)T]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1y1
DXY
x2
y1
...
xn y1
x1y2
...
x2 y2
...
... ...
xn y2
...
实用文档
x1yr
x2 yr
...
（correlation observation） 实用文档
Chapter 3. spread of covariance
一、观测值线性函数的方差 +两观测值线性函数的协方差 设观测向量L及其期望和方差为：
实用文档
Chapter 3. spread of covariance
实用文档
Chapter 3. spread of covariance
5直接应用协方差传播律得出所求问题的方差协方差矩阵第三章协方差传播律八权及定权的常用方法权的概念一定的观测条件对应着一定的误差分布而一定的误差分布就对应着一个确定的方差方差是表征精度的一个绝对的数字指标为了比较各观测值之间的精度除了可以应用方差之外还可以通过方差之间的比例关系来衡量观测值之间的精度的高低这种表示各观测值方差之间的比例关系的数字特征成为权所以权是表征精度的相对的数字指标第三章协方差传播律权的概念权是权衡轻重的意思其应用比较广泛应用到测量上可作为衡量精度的标准如有一组观测值是等精度的那么在平差时应该将他们同等对待因此说这组观测值是等权的而对于一组不等精度的观测值在平差时就不能等同处理容易理解精度高的观测值在平差结果中应占较大的比重或者说应占较大的权所以平差时对于一组不等精度的观测值应给予不同的权
第五章 测量误差及测量平差
第五章 测量误差及测量平差§5.1 测量误差概述一、测量误差的概念某量的各测量值相互之间或观测值与理论值之间的往往存在着某些差异，说明观测中存在误差。
观测值与真值之差称为测量误差，也叫真误差。
X l i i -=∆ （i =1、2、……、n ） X 为真误差。
二、测量误差产生的原因1.测量仪器因素2.观测者的因素3.外界条件的因素测量观测条件——测量仪器、观测人员和外界条件这三方面的因素综合起来称为测量观测条件。
等精度观测——测量观测条件相同的各次观测称为等精度观测。
非等精度观测——测量观测条件不相同的各次观测称为等精度观测。
三、测量误差的分类1.系统误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小、符号表现出系统性，或按一定的规律变化，或保持不变，这种误差称为系统误差。
其特点：具有累积性，但可以采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
2.偶然误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小和符号不定，表面上没有规律性，但实际上服从于一定的统计规律性，这种误差称为偶然误差。
偶然误差单个的出现上没有规律性，不能采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
因此，观测结果中偶然误差占据了主要地位，是偶然误差影响了观测结果的精确性。
四、研究测量误差的目的分析测量误差的产生原因、性质和积累规律；正确地处理测量成果，求出最可靠值；评定测量结果的精度；为选择合理的测量方法提供理论依据。
五、减少测量误差的措施对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
对偶然误差，通常采用多余观测来减少误差，提高观测成果的质量。
六、偶然误差的特性通过对偶然误差统计规律的分析，来找出其具有的特性。
本例以对一三角形内角和观测结果（独立观测162次）来说明。
真误差——观测值与真值的差值。
△i = l i – X , i =1,2,…,162将162个真误差先进行统计分析，取误差区间d △为0.2″,各误差区间的个数为k ，相对个数为k/n ，n 为总个数，见表5-1。
误差理论和测量平差习题5(含答案)
第五章条件平差习题第五章思考题参考答案5.1（a）n=6，t=3，r=3（b）n=6，t=3，r=3（c）n=14，t=5，r=95.2（a）n=13，t=6，r=7共有7个条件方程，其中有5个图形条件，2个极条件。
（b）n=14，t=8，r=6共有6个条件方程，其中有3个图形条件，3个极条件。
（c）n=16，t=8，r=8共有8个条件方程，其中有6个图形条件，2个极条件。
（d）n=12，t=6，r=6共有6个条件方程，其中有4个图形条件，1个圆周条件，1个极条件。
5.3n=23，t=6，r=17共有17个条件方程，其中有9个图形条件，1个圆周条件，1个固定角条件，1个固定边条件，5个极条件。
5.4 （1）n=22，t=9，r=13：7个图形条件，1个圆周条件，2个极条件，2个边长条件，一个基线条件。
（2）12837941314121520111718195610166101119910111213510ˆˆˆ1800ˆˆˆ1800ˆˆˆ1800ˆˆˆ1800ˆˆˆˆ1800ˆˆˆˆ1800ˆˆˆˆ1800ˆˆˆˆˆ1800ˆˆˆsin sin sin L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ++-=++-=++-=++-=+++-=+++-=+++-=++++-=171961116203614184715192211151217121318124ˆsin 1()ˆˆˆˆsin sin sin sin ˆˆˆˆsin sin sin sin 1()ˆˆˆˆsin sin sin sin ˆˆ()ˆˆˆˆsin sin sin sin ˆˆ(ˆˆˆˆsin sin sin sin FG FG L L L L L L L L L L L L L S S S S L L L L S S L L L L ===→=以大地四边形中心为极以中点四边形D 点为极的边长条件1213611891719ˆˆ)ˆˆˆˆsin sin sin sin ˆˆˆˆsin sin sin sin FG AB S S L L L L S S L L L L →=的边长条件（基线条件）5.5 n=8，t=4，r=4；有多种条件方程的列法，其中之一为：1001000100110000120001001104000011014V ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦（注意常数项单位为mm ） 5.6 （1）P=3/2，（2）P=15.7 （1）P B =1.6，P C =2.1，P D =2.1，P E =1.6（2）P hCD =1.85.8 []ˆ 2.4998 1.9998 1.3518 1.8515h=2P σ=0.32(mm)5.9 1234561110009100110900101016V V V V V V ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ []045452TV mm =---[]ˆ 1.576 2.219 3.7950.867 2.443 1.352T h m =--- 5.10 （1）1ˆ10.3556h m = 2ˆ15.0028h m = 3ˆ20.3556h m = 4ˆ14.5008h m =5ˆ 4.6472h m = 6ˆ 5.8548h m = 7ˆ10.5020h m =（2）±2.2mm。
测量平差基础课件——误差传播定律
§1-4精度和衡量精度的指标
二、衡量精度的指标
2. 平均误差
在一定的观测条件下，一组独立偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差。
以 表示 。
E( ) f ()d Fra biblioteklim n n
ˆ n
平均误差与中误差的关系：
1.253 5
2
4
2 0.7979 4
5
所以 也可以作为衡量精度的指标。 2020/6/11 19
E() E(内E。(L) L)
E(L) E(L) 0
12
§1-3偶然误差的规律性
二、偶然误差的表示方法
1.表格法：见上页 2.直方图：以横坐标表示误差的大小，纵坐标代表各区间内误差出现的频率除以 区间的间隔值，每一误差区间上的长方条面积就代表误差出现在该区间内的频率。 3.误差分布曲线：在n无限大时，如果把误差区间间隔无限缩小，左图中各长方 条顶边所形成的折线将变成右图所示的光滑曲线。这种曲线也就是误差的概率分 布曲线，或称为误差分布曲线。
0.495
1.在一定的观测备条注 件下， 误vi差/ n 的绝对值有一定的 限d值 ，或者说，超出一
定 的00..概限05率67值45为的零误d。=差0，.0其2″出现
20..绝46对0值较小的误差比
绝 的 3差0000.....概 出对绝2210率 现9287值对5500大 的较值。概大相率等间值的等相误的于左的同差正。出负区端误现误 40.偶.0然30误差的差数学算期望入为 零0，.0即00： 该 区 间
N
表
例[1-1] 观测了两段距离，分别为1000m±2cm和500m±2cm。问：这两段距离的 真误差是否相等？中误差是否相等？它们的相对精度是否相同？
测量学 第五章 测量误差及测量平差
第五章 测量误差及测量平差§5.1 测量误差概述一、测量误差的概念某量的各测量值相互之间或观测值与理论值之间的往往存在着某些差异，说明观测中存在误差。
观测值与真值之差称为测量误差，也叫真误差。
X l i i -=∆ （i =1、2、……、n ） X 为真值。
二、研究测量误差的目的分析测量误差的产生原因、性质和积累规律；正确地处理测量成果，求出最可靠值；评定测量结果的精度；为选择合理的测量方法提供理论依据。
三、测量误差产生的原因1.测量仪器因素2.观测者的因素3.外界条件的因素测量观测条件——测量仪器、观测人员和外界条件这三方面的因素综合起来称为测量观测条件。
等精度观测——测量观测条件相同的各次观测称为等精度观测。
非等精度观测——测量观测条件不相同的各次观测称为非等精度观测。
四、测量误差的分类1.系统误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小、符号表现出系统性，或按一定的规律变化，或保持不变，这种误差称为系统误差。
其特点：具有累积性，但可以采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
2.偶然误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小和符号不定，表面上没有规律性，但实际上服从于一定的统计规律性，这种误差称为偶然误差。
偶然误差单个的出现上没有规律性，不能采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
因此，观测结果中偶然误差占据了主要地位，是偶然误差影响了观测结果的精确性。
五、减少测量误差的措施对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
对偶然误差，通常采用多余观测来减少误差，提高观测成果的质量。
§5.2 偶然误差的特性一、精度的含义1.准确度准确度是指在对某一个量的多次观测中，观测值对该量真值的偏离程度。
2.精密度精密度是指在对某一个量的多次观测中，各观测值之间的离散程度。
3.精度精度也就是精确度，是评价观测成果优劣的准确度与精密度的总称，表示测量结果中系统误差与偶然误差的综合影响的程度。
测量平差第五章条件平差习题参考答案
测量平差第五章条件平差习题参考答案测量平差第五章思考题参考答案5.1 （a ）n=6，t=3，r=3（b ）n=6，t=3，r=3（c ）n=14，t=5，r=95.2 （a ）n=13，t=6，r=7共有7个条件方程，其中有5个图形条件，2个极条件。
（b ）n=14，t=8，r=6共有6个条件方程，其中有3个图形条件，3个极条件。
（c ）n=16，t=8，r=8共有8个条件方程，其中有6个图形条件，2个极条件。
（d ）n=12，t=6，r=6共有6个条件方程，其中有4个图形条件，1个圆周条件，1个极条件。
5.3 n=23，t=6，r=17共有17个条件方程，其中有9个图形条件，1个圆周条件，1个固定角条件，1个固定边条件，5个极条件。
5.4 （1）n=22，t=9，r=13：7个图形条件，1个圆周条件，2个极条件，2个边长条件，一个基线条件。
（2）128379413141215201117181956101661011199101112135101800180018001800?1800?1800?18001800???sin sin sin L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ++-=++-=++-=++-=+++-=+++-=+++-=++++-= 171961116203614184715192211151217121318124sin 1()sin sin sin sin sin sin sin sin 1()sin sin sin sin ??()sin sin sin sin ??(sin sin sin sin FG FG L L L L L L L L L L L L L S S S S L L L L S S L L L L ===→=以大地四边形中心为极以中点四边形D 点为极的边长条件1213611891719)sin sin sin sin sin sin sin sin FG AB S S L L L L S S L L L L →=的边长条件（基线条件）5.5 n=8，t=4，r=4；有多种条件方程的列法，其中之一为：1001000100110000120001001104000011014V -??? -=-----（注意常数项单位为mm ） 5.6 （1）P=3/2，（2）P=15.7 （1）P B =1.6，P C =2.1，P D =2.1，P E =1.6（2）P hCD =1.85.8 []? 2.4998 1.9998 1.3518 1.8515h=2P σ=0.32(mm) 5.9 1234561110009100110900101016V V V V V V-+=??--????[]045452TV mm =---[]? 1.576 2.219 3.7950.867 2.443 1.352T h m =--- 5.10 （1）1?10.3556h m = 215.0028h m = 3?20.3556h m = 414.5008h m =5? 4.6472h m = 6? 5.8548h m = 7?10.5020h m = （2）±2.2mm。
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函数 VTPV = min的V 值，在数学中就是求函数的
条件极值问题。
§5.1 条件平差原理
一、基础方程及其解
设有r个平差值线性条件方程： ab11 LLˆˆ11 ab22 LLˆˆ22 bann LLˆˆnn ba00 00
r1Lˆ1 r2 Lˆ2 rn Lˆn r0 0
§5.2 条件方程
三、以坐标为观测值的条件方程
1.直角与直线型的的条件方程
则有：
§5.2 条件方程
将其代入
2.距离型的条件方程 条件方程： 线性化： 常数项：
§5.3 精度评定
随机模型：
D
ˆ 02Q
ˆ
2 0
P
1
一、单位权方差的估值公式
— r为自由度(也是多余观测数
)
二、协因数阵的计算
ˆˆ PC
ˆˆ
ˆ0
Qˆˆ 6
§5.1 条件平差原理
解：n 4，t 2，r n t 2
§5.1 条件平差原理
§5.2 条件方程
一、测角网条件方程
圆周条件只有一个！
图形条件不只列 三个，但独立的 只有三个！
§5.2 条件方程
各边均与D有关，即以D为极，故称为极条件。 在中点多边形测角网中，ai、bi、ci通常按顺时针编号，且ci以 中点为顶点，称为圆周角或间隔角；ai称为求距角；bi称为传 距角。这样，在列极条件时规律性很强！
1
1
v1
AP1AT K W 0
1v2
9
0
4Ka 12 0
vv43
Ka 3
Lˆ1 Lˆ2
Lˆ3 Lˆ4
L1
L2
L3 L4
v1 v2 v3 v4
值 Lˆ L V 。
5.为了检查平差计算的正确性，常用平差值 重新 列出平差值条件方程式，看其是否满足方程。
§5.1 条件平差原理
三、例题
解：n 3，t 2，r n t 1
Lˆi Li Vi
§5.1 条件平差原理
§5.1 条件平差原理
解：n 4，t 2，r n t 2
ˆ Hˆ C HA hˆ1
一般地,设平差值函数为：
§5.3 精度评定
其矩阵形式为：
—— 称为权函数式！
§5.3 精度评定
§5.3 精度评定
A
1 0
1 0
1 0
0 1
0 1
0 1
§5.3 精度评定
例（补）已知：
L1 573216
Lˆ和ˆ 求： ˆ PC
精品课件！
§5.3 精度评定
2.求观测量平差值函数的中误差：
①求单位权中误差 1
3
V T PV 3 3 3 3
1
3 36
1 3
1 3
②求观测量平差值函数的协因数
ˆPC PA Lˆ1 Lˆ2 168058'39''
几何 多余
条件方程数
模 型 观 测 图形条件 圆周条件 极条件
三角形
1
1
0
0
大地四边形
4
3
中点多边形 n
n
0
1
1
1
§5.2 条件方程
二、测边网条件方程
几何模型
多余观测
条件方程数 （图 形 条 件）
三角形
0
0
大地四边形
1
1
中点多边形
1
1
列立测边网图形条件基本思想： 第一步：根据边长求出网中内角，列出角度间应满足的条件； 第二步：建立边长改正数与角度改正数的关系式； 第三步：以边长改正数代替角度改正数即可。
ˆ ˆPC [1 1 0
ˆ 0
V T PV r
36 6 1
0]
Lˆ1 Lˆ2 Lˆ3 Lˆ4
38
2321
f 1 1 0 0T
Qˆˆ f TQf (AQf )T Naa1AQf f TQf f TQAT Naa1AQf
2.解决问题的基本思想
根据
2 i
Q2
0 ii
知：
要计算平差值函数的中误差，首先要求出
2 0
；
ˆ 然后，根据协因数传播律求出平差值函数 的协因数 Qˆˆ ；
最后，根据Qˆˆ 求得平差值函数的中误差 ˆ 。
§5.3 精度评定
如在例5-2中,为求C点平差高程可建立如下平差值函数式：
a1v1 a2v2 anvn wa 0
将Lˆi Li Vi代入上式，可得： b1v1 b2v2 bn vn wb 0
r1v1 r2v2 rnvn wr 0
式中常数项为：
wa a1L1 a2L2 an Ln a0 wbb1L1 b2L2 bnLn b0 wr r1L1 r2L2 rnLn r0
A)dSb
(Sc
Sb
cos
A)dSc ]
由图5-10知： SbSc sin A Sbhb （2倍三角形面积） Saha
Sb Sc cos A Sa cos C，Sc Sb cos A Sa cos B
代入上式，得：
dA
1 ha
(dSa
cos CdSb
cos
BdS c )
573213
73
0305
1265125
1023317
1 V P1AT K
1
1
1
3
1
3
3
1
3
11
3
精品课件！
2.角度改正数与边长改正数的关系式
在图5-10中：S
2 a
Sb2
Sc2
2SbSc
cos
A
微分得：2SadSa (2Sb 2Sc cos A)dSb (2Sc 2Sb cos A)dSc 2SbSc sin AdA
dA
1 SbSc sin
A [SadSa
(Sb
Sc
cos
令：
L EL
或：
Z
W K V
A
L
A0
N
W 1
aa
QAT K
Lˆ L V
L
§5.3 精度评定
条件平差基本向量的协因数阵
L
W
K
V
Lˆ
L
Q
QAT -QATNaa-1
-QVV
Q-QATNaa-1AQ
式中：
K
r1
[ka
kb
kr ]T
— 称为联系数向量
将对V求一阶导数，并令其为零，得： d 2V T P 2KT A 0
dV
即：V T P KT A
PTV AT K
PV AT K
或： V P1AT K QAT K
§5.1 条件平差原理
1.基础方程
AV W 0 — 条件方程（r个）
§5.2 条件方程
1.以角度改正数表示的图形条件方程 ˆ1 ˆ2 ˆ3 360 0 v1 v2 v3 w 0
w 1 2 3 360
ˆ1 ˆ2 ˆ3 0
v1 v2 v3 w 0
w 1 2 3
1.求观测量的平差值：
L
L2 LL43
730308
1265128
1023320
PA 382321
①列立条件方程式
Lˆ1 Lˆ2 Lˆ3 Lˆ4 360 0 P E
②组成并解算法方程 1
1
1
1
1
1
1
1 1 0 0
1
1
1
1
0
0
1
1[0.25][1
1
1
1]
1
1
1
1 0
1 1
1 0
10
11
10
③求观测量平差值函数的中误差
或vA
ha (vSa
cos CvSb
cos BvSc )
§5.2 条件方程
3.以边长改正数表示的图形条件方程（以图5-8为例）
B
vA
ha (vSa
cos CvSb
cos BvSc
)
C
v1 h1 (vS5 cos ABCvS1 cos ACBvS2 )
§5.0 概 述
通过第四章的学习，我们知道条件平差的数学模型如下：
条件平差 数学模型
函数模型
随机模型 平差准则
A Lˆ
rn n1
A0
r1
0
r1
AV W 0
条件方程
(W AL A0 )
D
nn
2 0
Q
nn
2 0