高中数学北师大版必修4第1章6《余弦函数的图像和性质》word导学案
高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质教案北师大版必修4
1.6 余弦函数的图像与性质整体设计教学分析1.上两节刚刚学习了正弦函数的图像与性质,对于本节的学习,有两个内容:一是余弦函数的图像,二是余弦函数的性质.我们可以完全类比正弦函数,只是作余弦函数图像时可通过平移的方法得到,这也是类比思想、数形结合思想、图像变换思想方法的应用.2.由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么我们就会完全清楚它在整个定义域内的性质.教材要求我们研究三角函数性质“就是要研究这类函数性质具有的共同特点”,这是对数学思考方向的一种引导.3.余弦函数性质的难点,在于函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图像观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易;单调性只要求由图像观察,不要求证明.而余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.三维目标1.通过类比正弦函数图像的作图方法,会用几何法画出余弦函数的图像;通过诱导公式能用图像平移的方法得到余弦函数的图像.2.观察函数y=cosx,x∈［0,2π］的图像上,哪些点起着关键作用,并会用关键点画出函数y=cosx在x∈［0,2π］上的简图.3.通过类比、知识迁移的学习方法,提高探究新知的能力,并通过正弦函数和余弦函数的图像与性质的对比,理解两种函数的区别及内在联系.重点难点教学重点:会通过平移得到余弦函数的图像,并会用五点法画出余弦函数的图像;余弦函数的性质.教学难点:结合图像,余弦函数性质的灵活运用是本节的一个难点.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(直接导入)我们在研究了正弦函数的图像,你能类比正弦函数图像的作法作出余弦函数的图像吗？从学生画图像、观察图像入手,由此展开余弦函数性质的探究.思路2.(复习导入)研究函数就是要讨论一些性质,y＝cosx是函数,我们当然也要探讨它的一些属性.本节课,我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质.请同学们回想一下,一般来说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值)?然后逐一进行探究.推进新课新知探究提出问题①你能类比作正弦函数图像的方法,用几何方法画出余弦函数的图像吗？②你能类比正弦函数性质的学习得到函数y=cosx,x∈［0,2π］的性质吗？③比较正弦函数、余弦函数的图像与性质,你能发现它们都有哪些不同？活动:先让学生充分思考、交流后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他按自己的思路继续探究;对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时地给予点拨、指导.在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须掌握的基本功.因此在研究余弦函数图像与性质时,教师要引导学生充分挖掘余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的.因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质.对问题①学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它们的变化趋势. 由诱导公式y=cosx=cos(-x)=sin ［2π-(-x)］=sin(2π+x)可知,y=cosx 的图像就是函数y=sin(2π+x)的图像.从而,余弦函数y=cosx 的图像可以通过将正弦曲线y=sinx 向左平移2π个单位长度得到(如图1所示).图1也可以利用描点法作出余弦函数的图像(如图2所示).余弦函数y=cosx(x∈R )的图像叫作余弦曲线.图2教师引导学生类比正弦函数的性质学习,让学生观察余弦函数的图像,从定义域、值域、周期性、最大值与最小值、单调性、奇偶性这几个方面探究.可完全放给学生自己探究,教师仅是适时地给予引导.学生很容易得出余弦函数y ＝cosx,x∈R 具有以下主要性质: (1)定义域余弦函数的定义域是R. (2)值域余弦函数的值域是［-1,1］. (3)周期性余弦函数是周期函数,它的最小正周期是2π.由于余弦函数具有周期性,为了研究问题方便,我们可以选取任意一个x 值,讨论余弦函数在区间［x,x+2π］上的性质,然后拓展到整个定义域(-∞,+∞)上. (4)最大值与最小值当x=2k π(k∈Z )时,余弦函数取得最大值1;当x=(2k+1)π(k∈Z )时,余弦函数取得最小值-1. (5)单调性我们选取长度为2π的区间［-π,π］.可以看出,当x 由-π增大到0时,cosx 的值由-1增大到1,当x 由0增大到π时,cosx 的值由1减小到-1.因此,余弦函数在区间［-π,0］上递增,在区间［0,π］上递减. 由余弦函数的周期性可知,余弦函数在每一个区间［(2k-1)π,2k π］(k∈Z )上都是递增的,在每一个区间［2k π,(2k+1)π］(k∈Z )上都是递减的.所以这两类闭区间的每一个都是余弦函数的单调区间. (6)奇偶性余弦函数的图像关于y 轴对称,即cos(-x)=cosx.∴余弦函数是偶函数.这个变化情况可从下表及图像中直观地显示出来,教师可引导学生画图并列出下表:图3类比正弦函数性质的探究,学生可能通过图像已经看出来了,在余弦曲线上也有其他的对称点和对称轴,如余弦曲线还关于直线x ＝0,x ＝π等多条直线对称,余弦曲线还关于点(2π,0)等多个点对称,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,以开阔学生的视野.探究余弦函数的性质后,学生自然会拿它与正弦函数的性质进行比较一番,这种习惯很好.比较最能澄清问题的本质属性,比较是最好的学习方法. 当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后,会发现它们有很多共同之处.我们不妨把两个图像中的直角坐标系都去掉,会发现它们其实都是同样形状的曲线.所以它们的定义域相同,都为R .值域也相同,都是［-1,1］.最大值都是1,最小值都是-1,只不过由于y 轴放置的位置不同,使取得最大(或最小)值的时刻不同.它们的周期相同,最小正周期都是2π.它们的图像都是轴对称图形和中心对称图形,且都是以图像上函数值为零所对应的点为对称中心,以过最值点且垂直于x 轴的直线为对称轴.但是由于y 轴的位置不同,对称中心及对称轴与x 轴交点的横坐标也不同.它们都不具备单调性,但都有单调区间,且都是增、减区间间隔出现.也是由于y 轴的位置改变,使增、减区间的位置有所不同.也使奇偶性发生了改变.由此可以看出,图像的平移变换对函数的性质会产生怎样的影响. 讨论结果:①—③略. 应用示例例1 画出函数y=cosx-1,x∈R 的简图,并根据图像讨论函数的性质.活动:这是课本上紧接着余弦性质后的一道例题,目的是通过这道例题直接巩固所学的余弦函数的图像与性质.课堂上可放手让学生自己去求,教师适时地指导、点拨、纠错.并提示-1对余弦函数的图像与性质的影响.让学生进一步熟悉“五点法”作图,领悟图像作法的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”作图易学却难掌握,学生需练扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.解:按五个关键点列表,描点画出图像(如图4所示).图4的是让学生熟悉“五点法”.如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生一些动手操作的时间,或者增加图像纠错的环节,效果将会更加令人满意,切不可教师画图学生看.完成本例余弦后,学生从图像上就可以一目了然地说出函数的性质了.这也让学生从中体会到了数形结合的好处.例2 利用三角函数的单调性,比较cos(-523π)与cos(-417π)的大小.活动:学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的大小比较,这很好,充分利用学生的知识迁移有利于学生能力的快速提高.本例是余弦,只需将角化为同一个单调区间,然后根据单调性比较大小即可.课堂上仍是让学生自己独立地去操作,教师点拨、纠错,对思考方法不对的学生给予帮助指导.解:cos(-523π)=cos 523π=cos 53π,cos(-417π)=cos(417π)=cos 4π.因为0＜4π＜53π＜π,且函数y=cosx,x∈［0,π］是减函数,所以cos4π＞cos53π,即cos(-523π)＜cos(-417π).点评:推进本例时应提醒学生注意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角化为同一个单调区间.其次要注意首先大致的判断一下有没有符号不同的情况,以便快速解题,如本例中,cos4π＞0,cos53π＜0,显然大小立判. 例3 求函数y=cos(21x-6π),x ∈［-2π,2π］的单调递增区间. 活动:教师引导学生探究,可以利用余弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师引导学生的思考方向:把21x-6π看成z,问题就转化为求y ＝cosz 的单调区间问题,而这就简单多了,教师应点出,这里用的是换元的思想方法. 解:令z=21x-6π.函数y=cosz 的单调递增区间是［-π+2k π,2k π］.由-π+2k π≤21x-6π≤2k π,得-35π+4k π≤x≤3π+4k π,k ∈Z .取k=0,得-35π≤x≤3π,而［-35π,3π］［-2π,2π］,因此,函数y=cos(21x-6π),x ∈［-2π,2π］的单调递增区间是［-35π,3π］.点评:本例的求解是转化与化归思想的运用,即利用余弦函数的单调性,将问题转化为一个关于x 的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的单调区间,要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法,善于将复杂的问题简单化. 4.求函数y ＝x cos 的定义域.活动:学生探究操作,寻找解题方向,教师提醒学生充分利用函数图像.并根据实际情况进行适当的指导点拨,纠正出现的一些错误或书写不规范等. 解:由cosx≥0得-2π＋2k π≤x≤2π＋2k π(k ∈Z ).∴原函数的定义域为［-2π＋2k π,2π＋2k π］(k ∈Z ).点评:本例虽然短小,学生却易出错,本例实际上是解三角不等式,应根据余弦曲线探究适合题目要求的条件,然后解之.本例可分作两步,第一步转化,第二步利用余弦函数曲线写出解集.变式训练函数y ＝1+cosx 的图像( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线x ＝2π对称答案:B例 5 (2007山东临沂一模,17(1))在给定的直角坐标系(如图5)中,作出函数f(x)=2cos(2x+4π)在区间［0,π］上的图像.图5解:列表取点如下:描点连线作出函数f(x)＝2cos(2x+4)在区间［0,π］上的图像如图6.图6点评:本题按说难度不大,但学生得分率却不高,画图是学生较薄弱的环节. 知能训练课本练习1-4. 课堂小结1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识？学习了哪些数学思想方法？这节课我们研究了余弦函数的图像与性质.通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的的比较,加深了我们对这两个函数的理解.同时也巩固了本节课所学的余弦函数的图像的画法及性质的理解,将我们所学内容很快地就纳入了已有的知识系统.2.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点. 作业课本习题1—5 3、4、5、6.设计感想1.本节教案设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动.作为函数的性质,从初中就开始学习,到高中学习幂、指数、对数函数后,对函数性质有了较深的认识.这是高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以前所学的函数不是周期函数,所以理解较为容易,而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外,又有其特殊性,共性中包含特性,特性又离不开共性,这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟.2.在学完余弦函数性质后,应着重引导学生比较正、余弦函数的性质的异同,以加深他们对两个函数的区别与联系的认识;让学生在同一坐标系中画出正弦、余弦函数的图像,在解题中突出数形结合思想,在训练中降低变化技巧的难度,提高应用图像与性质解题的力度.较好地利用图像解决问题,这也是是本节课主要强调的数学思想.3.学习正、余弦函数性质后,引导学生对过去所学的知识重新认识,例如cos(α+2π)＝cos α这个公式,以前我们只简单地把它看成一个诱导公式,现在我们认识到了它表明余弦函数的周期性,以提升学生的思维层次.备课资料备用习题1.函数y=cosx,x ∈［-6π,2π］的值域是 ( )A.［0,1］B.［-1,1］C.［0,23］ D.［-21,1］ 2.(2007山东临沂)对于函数y=f(x)=⎩⎨⎧<≥,cos sin ,cos ,cos sin ,sin x x x x x x 下列命题中正确的是( )A.该函数的值域是［-1,1］B.当且仅当x=2k π+2π(k ∈Z )时,函数取得最大值1C.该函数是以π为最小正周期的周期函数D.当且仅当2k π+π＜x ＜2k π+23π(k ∈Z )时,f(x)＜0 3.(2005山东潍坊)已知-6π≤x＜3π,cosx=11+-m m ,则m 的取值范围是( ) A.m ＜-1 B.3＜m≤7+43 C.m ＞3 D.3＜m ＜7+43或m ＜-14.(2004天津,12)定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x ∈［0,2π］时,f(x)=sinx,则f(35π)的值为( ) A.-21 B.21C.-23D.23 5.(2006广东珠海)已知函数y=2cosx(0≤x≤1 000π)的图像与直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是__________________. 6.(2005上海,10)函数f(x)=sinx+2|sinx|,x ∈［0,2π］的图像与直线y=k 有且只有两个不同的交点,则k 的取值范围是______________.7.根据余弦函数的图像,求满足cos2x≥21的x 的集合. 参考答案:1.A 画出y=cosx,x ∈［-6π,12π］的图像,从而得出y ∈［0,1］,故选A.2.D 画图像可知,值域为［-22,1］,x=2k π或x=2k π+2π时取最大值,T=2π,故选D. 3.C 由-6π≤x＜3π,21＜cosx≤1,∴21＜11+-m m ≤1.∴m＞3.故选C. 4.D 由f(x)的周期为π知,f(35π)=f(32π)=f(-3π).由f(x)是偶函数知f(-3π)=f(3π).又当x ∈［0,2π］时,f(x)=sinx, ∴f(3π)=sin3π=23. 故选D. 5.2 000π 由图像知y=2cosx 在［0,2π］上与直线y=2围成封闭图形的面积是2π×2=4π ∵1 000π÷2π=500,∴在0≤x≤1 000π上所围成的封闭图形的面积S=4π×500=2 000π. 6.1＜k ＜3f(x)=sinx+2|sinx|=⎩⎨⎧∈-∈),2,(,sin ],,0[,sin 3πππx x x x 则k 的取值范围是1＜k ＜3.7.解:由余弦函数的图像与性质知-3π+2k π≤2x≤3π+2k π(k ∈Z ), 即-6π+k π≤x≤6π+k π(k ∈Z ).∴满足函数cos2x≥21的x 的集合是{x|-6π+k π≤x≤6π+k π}(k ∈Z ).。
高一数学北师大版必修4教师用书第1章 §6 余弦函数的图像与性质 Word版含解析
§余弦函数的图像与性质
余弦函数的图像
余弦函数的性质
．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像．
．会用五点法画出余弦函数在[π]上的图像．(重点)
．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理余弦函数的图像与性质
阅读教材～“思考交流”以上部分，完成下列问题．
．利用图像变换作余弦函数的图像，所以余弦函数＝的图像可以通过将正弦曲线＝向
因为＝＝
平移
左
个单位长度得到．如图--是余弦函数＝ (∈)的图像，叫作余弦曲线．
图--
．利用五点法作余弦函数的图像
画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数＝
()
[π])的图像上有五个关键点，为
∈
(
，
，
，可利用此五点画出
(π，)
，
，
(π，－)
余弦函数＝，∈的简图(如图--)．
图--
．余弦函数的性质
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()余弦函数＝的图像关于坐标原点对称．( ) ()余弦函数＝的图像可由＝的图像向右平移个单位得到．( ) ()在同一坐标系内，余弦函数＝与＝
的图像形状完全相同，只是位置不同．( ) ()正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区间
．( )【解析】()错；余弦函数＝＝，即可看作是＝向左平移个单位得到的，因
而()错；()正确；正、余弦函数有相同的周期(都是π)，相同的最大值(都是)，相同的最小值(都是－)，也都有单调区间，但单调区间不同，因而()错．
【答案】()×()×()√()×。
高一数学北师大版必修4第一章6.1余弦函数图象的性质
安边中学 高一 年级 下 学期 数学 学科导学稿 执笔人： 王广青 总第 课时 备课组长签字： 王广青 包级领导签字： 学生： 上课时间： 集体备课个人空间一、课题： 6.1-6.2余弦函数图象的性质二、学习目标1.会用“五点法”画余弦函数的图像；2.了解正弦函数、余弦函数图像之间的关系；3.掌握余弦函数的性质及其应用。
三、教学过程【自主预习】阅读课本P 30内容，完成下列任务。
1. 在下列坐标系中画出y =cosx 的图像；2. 总结y=cosx 图像的画法：（1）变换法，将正弦曲线y=sinx 的图像向 平移 个单位长度得到。
（2）五点法，在平面直角坐标系中描出五个关键点：， ， ， ， 。
然后用光滑曲线将五个点连接起来，得y=cosx,x ∈[0,2π]的图像，再向左、右平移得到y=cosx 的图像。
3. 思考：如何刻画余弦线，运用余弦线作出函数图像。
xyo【合作探究】阅读课本P 31内容，思考下列问题。
1. 余弦函数y=cosx,x ∈R 的性质：2. 定义域： ; 值域： ;3. 最值：当x = 时，y 取最大值1；当x = 时，y 取最小值-1;4. 周期性：最小正周期是 ；5. 单调性：增区间 ； 减区间 ；6.奇偶性： 函数。
【检测训练】0cos )2(21cos 1.1>≤x x x ）（的集合求满足下面条件的1cos 3y 1.2+-=x ）（最小值：求下列函数的最大值及xx x f cos )(1.32-=）（判断下列函数的奇偶性x 2cos y .4=区间求下列函数的单调递增反思栏。
高中数学必修4北师大版1.6余弦函数的图像与性质教案(1)
1.6.2 余弦函数的性质
1．复习回顾
在上一次课中，我们知道正弦函数y ＝sinx 的图像，是通过等分单位圆、平移正弦线而得到的，在精确度要求不高时，可以采用五点作图法得到。
那么，对于余弦函数y ＝cosx 的图像是不是也是这样得到的呢？有没有更好的方法呢？（类比方法应用；分析正弦函数与余弦函数的关系）
2．思考、分析
①类比法余弦线对应画余弦函数图象（原理容易，绘图复杂）
②利用正弦函数的图象已知，结合诱导公式探讨更简单方法发现正余弦函数图象相同，只是位置不同，从而利用五点法可绘余弦函数图；
③结合正弦函数与余弦函数的关系学习余弦函数的性质及解题方法
3．例题分析
例1．请画出函数cos 1y x =-的简图，并根据图像讨论函数的性质。
分析：利用五点法画出函数图形，观察性质。
例2 .不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：
2317(1)sin()sin()(2)cos()cos()181054
π
π
ππ------ 分析：利用诱导公式把同名角化为同一个单调区间，利用单调性比较大小。
例3．求下列函数的定义域及单调区间
1．11cos y x =- 2. 1cos 12
y x =-+ 分析：利用函数图象观察范围，利用函数的单调性求值。
4．抽象归纳
1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
随堂练。
高一数学北师大版必修4《1.6余弦函数的图像与性质》教案
[解析]∵y＝cosx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，
∴只有－π<a≤0时，满足已知条件，∴a∈(－π，0]．
8．比较大小：cos ________cos(－ π)．
[答案]>
[解析]cos ＝cos ＝－cos π，cos ＝cos ＝－cos ，由y＝cosx在[0，π]上是单调递减的，所以cos π<cos ，所以cos >cos .
解：(1)－sin 46°＝－cos 44°＝cos 136°，
cos 221°＝－cos 41°＝cos 139°.
∵180°>139°>136°>0°，
∴cos 139°<cos 136°，即－sin 46°>cos 221°.
(2)cos ＝cos π＝cos ＝cos π，
cos ＝cos π＝cos ＝cos .
∴函数y＝－cos2x＋cosx的值域是 .
(2)y＝ ＝ －1.
∵－1≤sinx≤1，∴1≤2＋sinx≤3，
∴ ≤ ≤1，
∴ ≤ ≤4，
∴ ≤ －1≤3，即 ≤y≤3.
∴函数y＝ 的值域为 .
规律方法：求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：
①sinx，cosx的有界性；②sinx，cosx的单调性；③化为sinx＝f(y)或cosx＝f(y)
2．函数f(x)＝－xcosx的部分图像是()
[答案]D
[解析]由f(x)＝－xcosx是奇函数，可排除A，C.令x＝ ，则f( )＝－ cos ＝－ <0.故答案选D.
二、填空题
3．若cosx＝ ，且x∈R，则m的取值范围是________．
[答案](－∞，－3]∪
高中数学必修四(北师大版)第一章学案 正、余弦函数的图像和性质的应用
412【导学案】正、余弦函数的图像和性质的应用
【学习目标】
1、学习利用正、余弦函数的图像和性质解决一些简单应用；
2、比较单位圆和图像法研究三角函数的性质时各自的特点；
3、进一步熟悉正、余弦函数的最值、单调性、奇偶性、图像的对称性的应用；
【学习重点】正、余弦函数的图像和性质的简单应用
【学习难点】运用函数观点和数形结合思想研究函数性质
【学习过程】一、预习自学（把握基础）
（温习课本第18页、28页、31页、32页关于正、余弦函数的图像和性质的内容，解决下列内容）
1、角α终边和单位圆交于点P（u,v）时，sinα= ;cosα= ；
若P(x,y)是角α终边上一点，则sinα= ; cosα= ；
2、描点法画余弦曲线时的五个关键点是：
；
描点法画余弦曲线时的五个关键点是：
；
3、说说正、余弦函数的性质有哪些相同点和不同点？（画出表格比较）
二、合作探究（巩固深化，发展思维）
例1．书第24页A组第6题
例2.书第24页B组第4题
例3、书第35页B组第1题
三、达标检测（相信自我，收获成功）
1、函数y=2cosx,
3
,
22
x
ππ
⎡⎤
∈-⎢⎥
⎣⎦
的增区间为；减区间
为。
2、书第35页B组第2题（分cosx＜0和cosx≥0两种情况化简解析式后画出图像）（1）该函数图像为：
（2）定义域为；值域为；x= 时，函数最大值为；最小正周期为；奇偶性为；
(3)该函数图像的对称性是；增区间为；
减区间为。
（4）函数在上的图像与直线y=-1的交点个数是。
四、学习体会
我的疑惑：。
高中数学 第一章 三角函数 1.6 余弦函数的图像与性质
1.6 余弦函数的图像与性质问题导学1．余弦函数的图像及应用活动与探究1画出函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的简图．活动与探究2利用余弦函数的图像解不等式cos x ≥12．迁移与应用函数y ＝1＋cos x 的图像( )．A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝π2对称(1)作函数y ＝a cos x ＋b 的图像的步骤．(2)利用函数的图像解不等式时，要准确作出函数的图像，找出一个周期内与x 轴交点的横坐标是关键．2．余弦函数的定义域活动与探究3求下列函数的定义域．(1)y ＝11＋cos x ；(2)y ＝log 312－cos x ．迁移与应用1．函数f (x )的定义域为[0,1]，则f (cos x )的定义域为__________． 2．求函数的定义域：y ＝32－cos x ．含余弦函数的复合函数的定义域的求法：(1)利用常见函数定义域的限制条件列出不等式(组)；(2)利用余弦函数的图像或单位圆解有关余弦不等式，写出解集； (3)注意正确写出余弦值对应的特殊角． 3．余弦函数的值域(最值)活动与探究4已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，(1)求函数y ＝cos x 的值域；(2)求函数y ＝－3(1－cos 2x )－4cos x ＋4的最大值、最小值．迁移与应用1．函数y ＝e cos x的值域是______．2．求函数y ＝－cos 2x ＋cos x ＋2的最大值及相应的x 的值．(1)求形如y ＝a cos x ＋b 的三角函数的最值时，既要注意x 的限定范围，又要注意a的正、负对最值的影响．(2)形如y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c (a ≠0)的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间[m ，n ]上求二次函数最值的问题，解答时依然采用数形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”，或“轴定区间变”问题．4．余弦函数单调性的应用活动与探究5(1)比较cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的大小；(2)求y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的单调区间．迁移与应用求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的单调递减区间．(1)比较余弦值大小的常用方法是首先利用诱导公式化简到同一单调区间上，再利用单调性比较大小；(2)求函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间的关键是把ωx ＋φ看成一个整体．然后利用余弦函数的单调区间建立不等式，解出x ．注意当ω＜0时，要先利用诱导公式化负为正．5．余弦函数的奇偶性与周期性活动与探究6判断函数f (x )＝cos(2π－x )－x 3sin x 的奇偶性．活动与探究7求函数y ＝12cos 2x ，x ∈R 的周期．迁移与应用1．下列函数中，以π为周期的偶函数是( )． A ．y ＝sin|x | B ．y ＝|cos x |C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 2．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝sin 2x ＋cos x ，求f (x )的解析式．1．求函数的最小正周期的基本方法：(1)若能直接用某些结论，则用其结论即可；若不能直接用，可对其解析式进行等价变形后，再使用结论；(2)一般地，y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期为T ＝2π|ω|．2．函数奇偶性的应用：(1)画关于原点对称的区间上的图像．(2)判断函数的单调性(或比较函数值的大小)． (3)求函数的解析式． 当堂检测1．函数y ＝cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π3的值域是( )． A ．[－1,1] B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．[－1,0] 2．函数y ＝－23cos x ，x ∈[0,2π]，其单调性是( )．A ．在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上是减函数C ．在[π，2π]上是增函数，在[0，π]上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减函数3．函数y ＝－x cos x 的部分图像是图中的( )．4．(1)比较大小：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18__________cos π10； (2)函数y ＝2cos x ＋1的定义域是__________． 5．已知函数y ＝a －b cos x 的最大值是32，最小值是－12，求函数y ＝－4a sin bx 的最大值．课前预习导学 【预习导引】1．(1)向左平移π2个 (2)余弦曲线预习交流1 (0,1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0、(π，－1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0、(2π，1) 预习交流2 左 2π 2．R [－1,1] 2k π 1(2k ＋1)π －1 2π [2k π－π，2k π] [2k π，2k π＋π] 偶 yx ＝k π (k π＋π2，0)(k ∈Z )预习交流3 提示：(1)定义域都是R ，值域都是[－1,1]，也称正弦、余弦函数的有界性．(2)最小正周期都是2π.(3)图像形状相同，只是在坐标系中位置不同． 预习交流4 (1)B(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) (3)＞ ＜ 课堂合作探究 【问题导学】画法二：先用五点法画y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像，再作它关于x 轴的对称图形，即得到y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的图像．活动与探究2 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .迁移与应用 B 解析：y ＝1＋cos x 的图像由y ＝cos x 的图像向上平移1个单位得到，又因为y ＝cos x 的图像关于y 轴对称，故y ＝1＋cos x 的图像也关于y 轴对称．活动与探究3 解：(1)要使函数有意义，需满足1＋cos x ≠0， ∴cos x ≠－1.∴x ≠2k π＋π，k ∈Z . 故所求函数的定义域为 {x |x ≠2k π＋π，k ∈Z }．(2)要使函数有意义，需满足12－cos x ＞0，∴12－cos x ＞0，cos x ＜12. ∴2k π＋π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z .故所求函数的定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3<x <2k π＋5π3，k ∈Z .迁移与应用 1.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) 2．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z .活动与探究4 解：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，作出函数y ＝cos x 的图像(图像略)，从图像上可知当x ＝0时，y max ＝1，当x ＝2π3时，y min ＝cos 2π3＝－12，∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. (2)设t ＝cos x ，由(1)知，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. ∴y ＝－3(1－t 2)－4t ＋4＝3t 2－4t ＋1 ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232－13. 根据二次函数的图像，可知当t ＝23，即cos x ＝23时，y min ＝－13.当t ＝－12，即cos x ＝－12时，y max ＝154.迁移与应用 1．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 解析：∵cos x ∈[－1,1]，∴e cos x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e .2．x ＝2k π±π3(k ∈Z )时，y max ＝94活动与探究5 解：(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝cos 23π5 ＝cos 3π5，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos 17π4 ＝cos π4，而π＞3π5＞π4＞0，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 3π5＜cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4. (2)由2k π－π≤2x ＋π4≤2k π(k ∈Z )，得k π－5π8≤x ≤k π－π8(k ∈Z )，∴函数的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π8，k π－π8(k ∈Z )． 由2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，∴函数的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． 迁移与应用 解：由2k π≤3x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ，得2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12，k ∈Z .∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )．活动与探究6 解：函数的定义域为R ，关于原点对称，又f (x )＝cos x －x 3sin x ，∴f (－x )＝cos(－x )－(－x )3sin(－x )＝cos x －x 3sin x ＝f (x )． ∴f (x )为偶函数． 活动与探究7 π迁移与应用 1．B 解析：A 中函数y ＝sin|x |不是周期函数，C 中函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6既不是奇函数也不是偶函数，D 中函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2的周期为2π.2．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2x ＋cos x 0sin 2x －cos xx >0，x ＝0，x <0.【当堂检测】1．B 2．A 3．D 4．(1)＞(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) 5．2。
2018版高中数学北师大版必修四学案：第一章 6 余弦函
学习目标 1.会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数的图像.2.理解余弦函数的性质，会求y＝A cos x＋B的单调区间及最值.3.会利用余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，能根据图像解简单的三角不等式．知识点一余弦函数的图像思考1根据y＝sin x和y＝cos x的关系，你能利用y＝sin x，x∈R的图像得到y＝cos x，x∈R 的图像吗？思考2类比“五点法”作正弦函数图像，那么余弦函数图像能否用“五点法”作图？若能，y＝cos x，x∈[0,2π]五个关键点分别是什么？梳理余弦函数y＝cos x(x∈R)的图像叫作____________．知识点二余弦函数的性质思考1余弦函数的最值是多少？取得最值时的x值是多少？思考2余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？梳理类型一 用“五点法”作余弦函数的图像例1 用“五点法”作函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图．反思与感悟 作形如y ＝a cos x ＋b ，x ∈[0,2π]的图像时，可由“五点法”作出，其步骤：①列表，取x ＝0，π2，π，3π2，2π；②描点；③用光滑曲线连线成图．跟踪训练1 用“五点法”作函数y ＝2cos x ＋1，x ∈[0,2π]的简图．类型二 余弦函数单调性的应用例2 (1)函数y ＝3－2cos x 的递增区间为________． (2)比较cos(－235π)与cos(－174π)的大小．反思与感悟 单调性是对一个函数的某个区间而言的，不同函数，不在同一单调区间内时，应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小． 跟踪训练2 比较大小．(1)cos(－7π8)与cos 7π6；(2)sin 378°与cos(－641°)．类型三 余弦函数的定义域和值域 例3 (1)求f (x )＝2cos x －1的定义域．(2)求下列函数的值域． ①y ＝－cos 2x ＋cos x ；②y ＝2－cos x 2＋cos x.反思与感悟 求值域或最大值、最小值问题的依据 (1)sin x ，cos x 的有界性． (2)sin x ，cos x 的单调性．(3)化为sin x ＝f (y )或cos x ＝f (y )，利用|f (y )|≤1来确定． (4)通过换元转化为二次函数．跟踪训练3 函数y ＝－cos 2x ＋cos x ＋1(－π4≤x ≤π4)的值域是________．1．函数y ＝1－2cos π2x 的最小值，最大值分别是( )A ．－1,3B ．－1,1C ．0,3D ．0,12．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 3．函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域为________________． 4．比较大小：(1)cos 15°________cos 35°；(2)cos(－π3)________cos(－π4)．5．函数y ＝cos(－x )，x ∈[0,2π]的递减区间是________．1．对于y ＝a cos x ＋b 的图像可用“五点法”作出其图像，其五个关键点是最高点、最低点与x 轴相交的点．2．通过观察y ＝cos x ，x ∈R 的图像，可以总结出余弦函数的性质． 3．利用余弦函数的性质可以比较三角函数值的大小及求最值．答案精析问题导学 知识点一思考1 能，根据cos x ＝sin(x ＋π2)，只需把y ＝sin x ，x ∈R 的图像向左平移π2个单位长度，即可得到y ＝cos x ，x ∈R 的图像．思考2 能，五个关键点分别是(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．梳理 余弦曲线 知识点二思考1 对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 有： 当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1； 观察余弦函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图像： 函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图像如图所示．思考2 观察图像可知：当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x 的值由－1增大到1； 当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 题型探究 例1 解 列表：描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示．跟踪训练1 解 ∵x ∈[0,2π]， ∴令x ＝0，π2，π，3π2，2π，列表得：描点，连线得：例2 (1)[2k π，π＋2k π](k ∈Z )(2)解 cos(－235π)＝cos(－6π＋75π)＝cos 75π，cos(－174π)＝cos(－6π＋74π)＝cos 74π，∵π<75π<74π<2π，∴cos 75π<cos 74π，即cos(－235π)<cos(－174π)．跟踪训练2 解 (1)cos(－7π8)＝cos 7π8＝cos(π－π8)＝－cos π8，而cos 7π6＝－cos π6.∵0<π8<π6<π2，∴cos π8>cos π6，∴－cos π8<－cos π6，即cos(－7π8)<cos 7π6.(2)sin 378°＝sin(360°＋18°)＝sin 18° ＝sin(90°－72°)＝cos 72°，cos(－641°)＝cos(720°－641°)＝cos 79°， 又cos 72°>cos 79°， ∴sin 378°>cos(－641°)． 例3 解 (1)要使函数有意义， 则2cos x －1≥0，∴cos x ≥12，∴－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，∴定义域为[－π3＋2k π，π3＋2k π]，k ∈Z .(2)①y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋14. ∵－1≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，y max ＝14.当cos x ＝－1时，y min ＝－2.∴函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的值域是⎣⎡⎦⎤－2，14. ②y ＝4－(2＋cos x )2＋cos x ＝42＋cos x －1.∵－1≤cos x ≤1，∴1≤2＋cos x ≤3， ∴13≤12＋cos x≤1， ∴43≤42＋cos x ≤4，∴13≤42＋cos x －1≤3，即13≤y ≤3. ∴函数y ＝2－cos x 2＋cos x 的值域为⎣⎡⎦⎤13，3. 跟踪训练3 [1，1＋22]当堂训练 1．A 2.B3.⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5 4．(1)> (2)< 5.[0，π]。
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陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》6余弦函数的图
像和性质导学案北师大版必修4
【学习目标】
1. 会通过平移正弦曲线得到余弦函数的图像，并会用五点法画出余弦函数的图像.
2. 通过余弦函数的图像理解余弦函数的性质.
3. 通过对余弦函数的图像和性质的研究过程，体会数形结合和类比的思想方法.
【重点难点】
重点：余弦函数的图像和性质.
难点：余弦函数性质的灵活应用.
五点法：五点法作余弦函数图像的五个关键点是_________、__________、
_________、___________、____________.
2. 余弦函数的图像（余弦曲线）
3.余弦函数的性质
单调性
【合作探究】 1. 画出函数x y cos 1+=的简图，根据图像讨论函数的性质.
2. 求下列函数的定义域：
（1）1cos 1-=
x y ； （2）21cos -=x y .
3. 已知]43,4[
ππ∈x ，求函数1cos cos 2++-=x x y 的值域.
【课堂检测】
1.函数x y cos 2=，当],[ππ-∈x 时，在区间_____________上是增加的，在区间 ___________上是减少的；当=x ________时，y 取最大值_____；当=x ______ 时，y 取最小值_______.
2.求函数1cos 3
2+-
=x y 的单调区间，并判断其奇偶性.
3.在同一直角坐标系内画函数x y sin =和余弦函数x y cos =在区间]2,0[π上的图 像，并回答下列问题：
（1）写出满足x x cos sin =的x 的值；
（2）写出满足x x cos sin >的x 的取值范围；
（3）写出满足x x cos sin <的x 的取值范围；
（4）当R x ∈时，分别写出满足x x cos sin =，x x cos sin >，x x cos sin <的x 的集合.
【课堂小结】
【课后训练】。