湘教版初中数学八年级上册 5.1二次根式的概念及性质 课件
二次根式的概念及性质
创景导入 思考：用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为 ___2__m；若面积为S m2，则边长为___S__m．
图
(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积 为6m2，则它的宽为___3__m．
图
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时
9...
3...
观察两者有什么关系？
归纳总结
a2 (a 0) 的性质：
a (a≥0) a2 a
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的 绝对值.
议一议：如何区别( a )2 与 a2 ？
( a)2
a2
从运算 顺序看 先开方,后平方 先平方，后开方
从取值 范围看
从运算 结果看
注意 a2 a ，而3.14＜π，要注意a的正负性.
•辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
(1) 22 2
2
(2) 2 2
2
(3) 2 2
（×） （× ） （√ ）
(4) 22 2 （ √ ）
拓展 提升 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，
请你化简:
a2 b2 a b2 .
积的乘方： （ab）2=a2b2
例6 化简：
(1) 16; (3) 102 ;
解：(1) 16 42 4.
(2) (5)2；
(4) (3.14 π)2 .
(2) (5)2 52 5.
(3) 102 = 101 2 = 101 =101= 1 . 10 (4) (3.14 π)2 = 3.14 π=π 3.14.
二次根式的概念及有意义的条件
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式. ①外貌特征：含有“ ”
两个必备特征 ②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
例1 下列各式是二次根式不吗含二?次根号
被开方数是负数
(1) 32, (2) 6, (3)
是
不是
(4) -m 当m>0时被开 方数是负数
(5)
不是
12 ,
不是 xy＜0
xy（x,y异号），
不是
(6) a2 1 , (7) 3 5
是
非负数+正数
不是
恒大于零
根指数是3
思考：当x取何值时, 例2 当x取何值时，
x 2在实数范围内有意义? 1 在实数范围内有意义？
x 1
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足 被开方数≥0.若二次根式为分母或二次根式为分式的 分母时，应同时考虑分母不为零.
探究： a2 的性质
填一填：
a2 ＝a (a≥0).
a(a≥0)
a2
a2
平方
2
运算
4
算术平 方根
2
0.1
0.01
0.1
2
4
2
3
9
3
0
0...
0...
...
观察两者有什么关系？
•思考：当a＜0时，a2 =？-a
a(a＜0) 平方 -2 运算
a2
算术平 a2
4 方根
2
-0.1
0.01
0.1
2
4
2
...3
a≥0 a
a取全体实数 |a|
意义
表示一个非负数 表示一个实数a
a的算术平方根 的平方的算术平
的平方
方根
典例精析
例5 计算： (1) ( 1.5)2;
(2) (2 5)2；
解：(1) ( 1.5)2 1.5.
(2)可以用到幂 的哪条基本性 质呢？
(2) (2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20.
间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满
足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为
h
___5__．
一 上面问题中，得到的结果分别是： 2，S， 3，h．
5
问题1 这些式子分别表示什么意义？ h
分别表示2，S，3， 5 的算术平方根．
问题2 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2; ②被开方数为非负数.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
探究： ( a )2（a≥0）的性质
活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积 为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积， 你发现了什么？
活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面 根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
分析：
利用三角形 三边关系
三边长均为正数，a+b＞c
两边之和大于第三边，b+c-a
＞0，c-b-a＜0
解：∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，
∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|
=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）
=a+b+c-b-c+a+b+a-c=3a+b-c．
a(a≥0) 算术平 0 方根
2
a 0 0
2
平方 运算
( a)2
02 = 022 244 222 = 4
2
1 3
...
1 3
1
3
1 3
...
...
观察两者有什么关系？
归纳总结
( a )2 (a 0) 的性质： 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
即 ( a )2 ＝a (a ≥0).
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根 式 a 有意义的前提条件.
典例精析
例3 已知y= x 3 3 x 8 ,求3x+2y的算术平方根. 解：由题意得 x 3≥0，
3 x≥0，
∴x=3，∴y=8， ∴3x+2y=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5．
b 3 a 2a 6 4
3 a≥0，
解：由题意得 2a 6≥0， 解不等式组得：a=3 求得：b=4.
课堂小结
二次根式
二次根式的概念 二次根式的表示
性质
二次根式有意义的条件 → 被开方数≥0
( a )2 a(a 0)
应用
a2 a(a 0)
a
•
b•
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0， ∴原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b）
=-2a. 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要 要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.
拓展例8 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简： 提升
a b c2 b c a2 c b a2 .
创景导入 思考：用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为 ___2__m；若面积为S m2，则边长为___S__m．
图
(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积 为6m2，则它的宽为___3__m．
图
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时
9...
3...
观察两者有什么关系？
归纳总结
a2 (a 0) 的性质：
a (a≥0) a2 a
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的 绝对值.
议一议：如何区别( a )2 与 a2 ？
( a)2
a2
从运算 顺序看 先开方,后平方 先平方，后开方
从取值 范围看
从运算 结果看
注意 a2 a ，而3.14＜π，要注意a的正负性.
•辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
(1) 22 2
2
(2) 2 2
2
(3) 2 2
（×） （× ） （√ ）
(4) 22 2 （ √ ）
拓展 提升 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，
请你化简:
a2 b2 a b2 .
积的乘方： （ab）2=a2b2
例6 化简：
(1) 16; (3) 102 ;
解：(1) 16 42 4.
(2) (5)2；
(4) (3.14 π)2 .
(2) (5)2 52 5.
(3) 102 = 101 2 = 101 =101= 1 . 10 (4) (3.14 π)2 = 3.14 π=π 3.14.
二次根式的概念及有意义的条件
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式. ①外貌特征：含有“ ”
两个必备特征 ②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
例1 下列各式是二次根式不吗含二?次根号
被开方数是负数
(1) 32, (2) 6, (3)
是
不是
(4) -m 当m>0时被开 方数是负数
(5)
不是
12 ,
不是 xy＜0
xy（x,y异号），
不是
(6) a2 1 , (7) 3 5
是
非负数+正数
不是
恒大于零
根指数是3
思考：当x取何值时, 例2 当x取何值时，
x 2在实数范围内有意义? 1 在实数范围内有意义？
x 1
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足 被开方数≥0.若二次根式为分母或二次根式为分式的 分母时，应同时考虑分母不为零.
探究： a2 的性质
填一填：
a2 ＝a (a≥0).
a(a≥0)
a2
a2
平方
2
运算
4
算术平 方根
2
0.1
0.01
0.1
2
4
2
3
9
3
0
0...
0...
...
观察两者有什么关系？
•思考：当a＜0时，a2 =？-a
a(a＜0) 平方 -2 运算
a2
算术平 a2
4 方根
2
-0.1
0.01
0.1
2
4
2
...3
a≥0 a
a取全体实数 |a|
意义
表示一个非负数 表示一个实数a
a的算术平方根 的平方的算术平
的平方
方根
典例精析
例5 计算： (1) ( 1.5)2;
(2) (2 5)2；
解：(1) ( 1.5)2 1.5.
(2)可以用到幂 的哪条基本性 质呢？
(2) (2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20.
间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满
足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为
h
___5__．
一 上面问题中，得到的结果分别是： 2，S， 3，h．
5
问题1 这些式子分别表示什么意义？ h
分别表示2，S，3， 5 的算术平方根．
问题2 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2; ②被开方数为非负数.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
探究： ( a )2（a≥0）的性质
活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积 为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积， 你发现了什么？
活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面 根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
分析：
利用三角形 三边关系
三边长均为正数，a+b＞c
两边之和大于第三边，b+c-a
＞0，c-b-a＜0
解：∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，
∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|
=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）
=a+b+c-b-c+a+b+a-c=3a+b-c．
a(a≥0) 算术平 0 方根
2
a 0 0
2
平方 运算
( a)2
02 = 022 244 222 = 4
2
1 3
...
1 3
1
3
1 3
...
...
观察两者有什么关系？
归纳总结
( a )2 (a 0) 的性质： 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
即 ( a )2 ＝a (a ≥0).
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根 式 a 有意义的前提条件.
典例精析
例3 已知y= x 3 3 x 8 ,求3x+2y的算术平方根. 解：由题意得 x 3≥0，
3 x≥0，
∴x=3，∴y=8， ∴3x+2y=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5．
b 3 a 2a 6 4
3 a≥0，
解：由题意得 2a 6≥0， 解不等式组得：a=3 求得：b=4.
课堂小结
二次根式
二次根式的概念 二次根式的表示
性质
二次根式有意义的条件 → 被开方数≥0
( a )2 a(a 0)
应用
a2 a(a 0)
a
•
b•
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0， ∴原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b）
=-2a. 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要 要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.
拓展例8 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简： 提升
a b c2 b c a2 c b a2 .
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湘教版(2012)初中数学八年级上册 5.1二次根式 课件优质课件PPT
意大利物理学家伽利略 曾在比萨斜塔塔顶上做 过著名的自由落体实验， 验证了物体的下落距离 h(m)与下落时间t(s)之 间的关系约为
t hh 4 4.9.9
知识回顾
1.什么叫做平方根？ 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个
数叫做a的平方根.
用 a(a0)表示.
2.什么叫算术平方根？
如 果 x 2 a ( x 0 ) 那 么 x 称 为 a 的 算 术 平 方 根 。
（2）（2 2 ）2= 22 × ( 2 )2 = 4x2 = 8
3
（3）（ 3 ）2
=
2
3 =3
32
9
=1
3
探究
做一做：
由于02=0，因此 0 =2 0
2
3
4
5
a 根据上面 ，当 的 a结 0时 ， 果 你猜 ：测a2———
a 二次根式性质2： a 2 = (a 0).
议一议
a a 当 <0时， a 2 = 是否仍然成立？
a 2 =a （a≥0） a (a≥ 0)
a 2 =∣a∣= -a (a≤0)
课堂检测
≥ ≤
C
≤4 >7
3
0.23
20
谢谢！再见！
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激 组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的 有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自 ，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，挥动依旧没 棒和球，然后用更大的力气对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”可是接下来的结果，并未如愿。男孩子似乎有些气馁，可是转念一想：我抛球这么刁，一定是个 己喊：“我是世界上最棒的挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬的自我鼓励，可是，这故事却深深反映了这个男孩子自我鼓励下的执著，而这执
t hh 4 4.9.9
知识回顾
1.什么叫做平方根？ 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个
数叫做a的平方根.
用 a(a0)表示.
2.什么叫算术平方根？
如 果 x 2 a ( x 0 ) 那 么 x 称 为 a 的 算 术 平 方 根 。
（2）（2 2 ）2= 22 × ( 2 )2 = 4x2 = 8
3
（3）（ 3 ）2
=
2
3 =3
32
9
=1
3
探究
做一做：
由于02=0，因此 0 =2 0
2
3
4
5
a 根据上面 ，当 的 a结 0时 ， 果 你猜 ：测a2———
a 二次根式性质2： a 2 = (a 0).
议一议
a a 当 <0时， a 2 = 是否仍然成立？
a 2 =a （a≥0） a (a≥ 0)
a 2 =∣a∣= -a (a≤0)
课堂检测
≥ ≤
C
≤4 >7
3
0.23
20
谢谢！再见！
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激 组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的 有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自 ，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，挥动依旧没 棒和球，然后用更大的力气对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”可是接下来的结果，并未如愿。男孩子似乎有些气馁，可是转念一想：我抛球这么刁，一定是个 己喊：“我是世界上最棒的挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬的自我鼓励，可是，这故事却深深反映了这个男孩子自我鼓励下的执著，而这执
最新 公开课课件 新湘教版数学八年级上册5.1《二次根式》课件(共15张PPT)
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
它必须具备如下特点： 1、根指数为 2； 2、被开方数必须是非负数。
想一想： 10 、 -5 、 8
2
3
5 3 、 (-2)2
a (a＜0﹚、
a +0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10,
5,
定义：式子
0..04 04,, 0
a a ,,
3
aa ,
2
2
,
8.
叫做二次根式.
a (a 0)
其中a叫做被开方式。
不要忽略
掌握二次根式有意义的条件
ａ ≥０ 二次根式 a 有意义的条件: ____________ 例1.x是怎样的实数时，下列式子在实数范 围内有意义？
(1) x 1
(2) x 2 2
正数和0都有算术平方根；
负数没有算术平方根。
掌握二次根式的概念
定义:
0 形如 a a 的式子 叫做二次根式，其 中 根号下的数 a叫做被开方数。
注意 在实数范围内，a< 0时，
意义，只有当 a 0 时，
a
没有
a 有意义。
凭着你已有的知识,
说说对二次根式 a 的认识,好吗?
?
二次根式
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
a
2
先平方,后开方
2.从取值范围来看 , 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a
a
2
2
=a
= ∣ a∣ =
a (a≥ 0)
-a (a＜0)
它必须具备如下特点： 1、根指数为 2； 2、被开方数必须是非负数。
想一想： 10 、 -5 、 8
2
3
5 3 、 (-2)2
a (a＜0﹚、
a +0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10,
5,
定义：式子
0..04 04,, 0
a a ,,
3
aa ,
2
2
,
8.
叫做二次根式.
a (a 0)
其中a叫做被开方式。
不要忽略
掌握二次根式有意义的条件
ａ ≥０ 二次根式 a 有意义的条件: ____________ 例1.x是怎样的实数时，下列式子在实数范 围内有意义？
(1) x 1
(2) x 2 2
正数和0都有算术平方根；
负数没有算术平方根。
掌握二次根式的概念
定义:
0 形如 a a 的式子 叫做二次根式，其 中 根号下的数 a叫做被开方数。
注意 在实数范围内，a< 0时，
意义，只有当 a 0 时，
a
没有
a 有意义。
凭着你已有的知识,
说说对二次根式 a 的认识,好吗?
?
二次根式
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
a
2
先平方,后开方
2.从取值范围来看 , 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a
a
2
2
=a
= ∣ a∣ =
a (a≥ 0)
-a (a＜0)
湘教版八年级数学上册第五章《 二次根式》课件
本本节课内内容容
第五章
二次根式小结与复习
小结与复习
1. 二次根式 a 在实数范围内有意义 的条件是什么？
2. 二次根式有哪些性质？
3. 举例说明什么叫最简二次根式，试写 出一个二次根式并将它化简.
4. 如何进行二次根式的加、减、乘、 除运算？
最简二次根式
(
2.(2005.青岛) a 4+ 4 a 有意义的条件是(a=4)
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5 1 3x 说明：二次根式被开方
解：x 5 0 ① 3- x 0 ②
数不小于0，所以求二次 根式中字母的取值范围 常转化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
题型2:二次根式的非负性的应用.
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
3. 积与商的算数平方根性质公式从右至左地 使用，可以进行二次根式的乘、除运算.
4. 实数的运算律在二次根式的加、减、乘、 除运算中仍然成立.
二次根式的概念
１．二次根式的定义：
形如 a （a 0）的式子叫做二次根式
２．二次根式的识别：
（１）．被开方数 a 0
（２）．根指数是２
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
4.已知：x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
∴x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
5.(2005.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且
x 1 + 3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
a a ≥
第五章
二次根式小结与复习
小结与复习
1. 二次根式 a 在实数范围内有意义 的条件是什么？
2. 二次根式有哪些性质？
3. 举例说明什么叫最简二次根式，试写 出一个二次根式并将它化简.
4. 如何进行二次根式的加、减、乘、 除运算？
最简二次根式
(
2.(2005.青岛) a 4+ 4 a 有意义的条件是(a=4)
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5 1 3x 说明：二次根式被开方
解：x 5 0 ① 3- x 0 ②
数不小于0，所以求二次 根式中字母的取值范围 常转化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
题型2:二次根式的非负性的应用.
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
3. 积与商的算数平方根性质公式从右至左地 使用，可以进行二次根式的乘、除运算.
4. 实数的运算律在二次根式的加、减、乘、 除运算中仍然成立.
二次根式的概念
１．二次根式的定义：
形如 a （a 0）的式子叫做二次根式
２．二次根式的识别：
（１）．被开方数 a 0
（２）．根指数是２
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
4.已知：x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
∴x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
5.(2005.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且
x 1 + 3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
a a ≥
最新湘教初中数学八年级上册《5.1二次根式》精品PPT课件
答案： 5 4
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3. 计算：
( 1) 72 ；
(2)
2
-3
；
(3)
-
3 4
2
；
(4)
2
-0.01
.
答案：7 答案：3 答案：3
4 答案：0.01
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动脑筋
计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？
(1) 49 =
, 4 9=
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2. 化简下列二次根式．
(1)
45 ； 2
(2)
125 ． 12
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解
(1)
45 2
=
452 22
=
1 2
2
90
=
1 2
32 10 = 3 10. 2
(2)
125 12
=
12512 1212
=
1 12
2
v与地球半径R之间存在如下关系：v2 = gR，其中重
力加速度常数g 9.8m / s2 .若已知地球半径R，则第 一宇宙速度v是多少？
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因为速度一定大于0， 所以第一宇宙速度 v = gR .
5 的平方根是± ，5 0 的平方根是0， 正实数a的平方根是± a．
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12512
=
1 12
25543
= 1 52 22 15 12
=
5 6
15.
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本章内容 第5章
二次根式
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本课节内容 5.1
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3. 计算：
( 1) 72 ；
(2)
2
-3
；
(3)
-
3 4
2
；
(4)
2
-0.01
.
答案：7 答案：3 答案：3
4 答案：0.01
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动脑筋
计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？
(1) 49 =
, 4 9=
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2. 化简下列二次根式．
(1)
45 ； 2
(2)
125 ． 12
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解
(1)
45 2
=
452 22
=
1 2
2
90
=
1 2
32 10 = 3 10. 2
(2)
125 12
=
12512 1212
=
1 12
2
v与地球半径R之间存在如下关系：v2 = gR，其中重
力加速度常数g 9.8m / s2 .若已知地球半径R，则第 一宇宙速度v是多少？
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因为速度一定大于0， 所以第一宇宙速度 v = gR .
5 的平方根是± ，5 0 的平方根是0， 正实数a的平方根是± a．
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12512
=
1 12
25543
= 1 52 22 15 12
=
5 6
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本章内容 第5章
二次根式
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本课节内容 5.1
湘教版八年级数学上册 5.1 二次根式(共16张PPt)
性质1： a（a≥0）___≥__0，具有 双重非负性 .
二次根式的性质
2
2、
2
2 =___2___；
7 2 =___7___；
7 2
7 =___2__；
2
0 =__0___；
性质2：对于非负实数a，由于是a的一个平方根，因此
2 a
=____a___（a≥0）；
二次根式的性质
3、(1)
（4） x2 1
1 x
<0，
解 ∵无论 x取何值，都有 x2≥0
解得 x ＜0
∴ x2+1 ﹥0
因此，当 x＜0 时，
∴ x 为任意实数时，
1 x
在实数范围内有意义.
x2 1都有意义 。
二次根式的性质
> 1、当a>0时， a 表示a的算术平方根，因此 a
0；
= 当a=0时， a 表示0的算术平方根，因此 a ______0；
在实习期间,说实话,我遇到了很多困难 ,有时 候遇到 的情况 我都不 知道该 怎么去 解 决,例如我遇到的一个孩子,他的名字叫 做玉宇 ,他是 一个让 园里所 有老师 都感到 头 疼的一个孩子,他很聪明,平时我们教的 内容,他很快 就能掌 握,他的 理解能 力明显 比 其他小朋友的高,但是就有一点,他很喜 欢欺负 别而小 朋友,给老师 捣乱,破 坏幼儿 园 里的公共设施,老师好好跟他说,他很听 话,但 老师走 开了,他 又去干 他的事,从来不 把 老师说的话放在心上,老师有时候坐在 一起去 讨论应 该怎样 去对待 这样的 孩子,这 样 的孩子不多,但我问了一下我的同学,差 不多在 哪个幼 儿园也 有一两 个这样 的孩子 ,
也可以是式子。
式就包括单项式、多项式、分式
八年级数学上册5.1二次根式教学课件新版湘教版
第七页，共18页。
判断
1.下列(xiàliè)各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 12 ,
(4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数(fùshù)没有平 方根
第八页，共18页。
例
当x是怎样的实数时，二次根式 x 1在实数范围有意义？
yx
第十四页，共18页。
思考 (sīkǎo)
( a )2与 a2 有区别吗?
第十五页，共18页。
1:从运算(yùn suàn)顺序来看,
a 2先开方,后平方
a 2 先平方,后开方
2.从取值范围(fànwéi)来看,
2 a
a≥0
3.从运算结果来看:
a 2 a取任何
(rènhé)实数
a 2 =a
a2 2500
s
b3
表示(biǎoshì)一些正数的算术
平方根．
第六页，共18页。
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2.a可以(kěyǐ)是数,也可以(kěyǐ)是式.
3. 形式上含有(hán yǒu)二次根
4号. a≥0, ≥0 a ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算(yùn suàn),也可表示运算(
a2 a a (a≥0)
-a (a≤0)
第十二页，共18页。
堂练习(liànxí)
计算(jì
suàn)：
8
2
8
2
3 3
2
2 3 12
2
3
2 3
6
x xy 2 x3 y
第十三页，共18页。
判断
1.下列(xiàliè)各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 12 ,
(4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数(fùshù)没有平 方根
第八页，共18页。
例
当x是怎样的实数时，二次根式 x 1在实数范围有意义？
yx
第十四页，共18页。
思考 (sīkǎo)
( a )2与 a2 有区别吗?
第十五页，共18页。
1:从运算(yùn suàn)顺序来看,
a 2先开方,后平方
a 2 先平方,后开方
2.从取值范围(fànwéi)来看,
2 a
a≥0
3.从运算结果来看:
a 2 a取任何
(rènhé)实数
a 2 =a
a2 2500
s
b3
表示(biǎoshì)一些正数的算术
平方根．
第六页，共18页。
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2.a可以(kěyǐ)是数,也可以(kěyǐ)是式.
3. 形式上含有(hán yǒu)二次根
4号. a≥0, ≥0 a ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算(yùn suàn),也可表示运算(
a2 a a (a≥0)
-a (a≤0)
第十二页，共18页。
堂练习(liànxí)
计算(jì
suàn)：
8
2
8
2
3 3
2
2 3 12
2
3
2 3
6
x xy 2 x3 y
第十三页，共18页。
湘教版(2012)初中数学八年级上册 5.1二次根式 课件品质课件PPT
2
（1） 7 2 ；（2） -32 ；（3） - 3 （4）-0.012 4
解： （1） 7 2 = 7
（2） -32 = 3 2 =3
2
（3） - 3
4
2
= 3
4
=
3 4
（4） -0.012 = 0.012 =0.01
课堂小结
1. 本节课你有什么收获？ 2. 本节课的知识点： （1）二次根式的概念 （2）二次根式的性质
④
x2
2
y
，⑤
7
，⑥ 2x，其中，是二次根式
的有 ①④⑤ （填序号）
初步应用
例1 当x 是怎样的实数时， x -1 在实数范围内有意义？
解 由x-1≥0，解得: x≥1
：
∴ 当 x≥1时， x -1 在实数范围内有意义。
练一练:
x 取什么实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）
x3
（2）
1 x 1
用 a a0 表示
5.1 二次根式
（第一课时）
构建新知
二次根式的定义：形如 a （ a0 ）式子
叫做二次根式.
符号 “ ” 叫作二次根号，简称为根号.
根号下的数叫作被开方数.
它具备的特点：
1. 有二次根号“
”；
2.被开方数必须是非负数.
1.请同学们说出几个二次根式；
2. 下列式子：① 0.8 ， ② 8 ， ③ a ，
为什么？
计 算：
（1） -22
（2） -1.22
解： （1）-22 = 2 2 = 2
（2）-1.22 = 1.22 = 1.2
a a 可见，当 <0时， a 2= -
性质归纳
（1） 7 2 ；（2） -32 ；（3） - 3 （4）-0.012 4
解： （1） 7 2 = 7
（2） -32 = 3 2 =3
2
（3） - 3
4
2
= 3
4
=
3 4
（4） -0.012 = 0.012 =0.01
课堂小结
1. 本节课你有什么收获？ 2. 本节课的知识点： （1）二次根式的概念 （2）二次根式的性质
④
x2
2
y
，⑤
7
，⑥ 2x，其中，是二次根式
的有 ①④⑤ （填序号）
初步应用
例1 当x 是怎样的实数时， x -1 在实数范围内有意义？
解 由x-1≥0，解得: x≥1
：
∴ 当 x≥1时， x -1 在实数范围内有意义。
练一练:
x 取什么实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）
x3
（2）
1 x 1
用 a a0 表示
5.1 二次根式
（第一课时）
构建新知
二次根式的定义：形如 a （ a0 ）式子
叫做二次根式.
符号 “ ” 叫作二次根号，简称为根号.
根号下的数叫作被开方数.
它具备的特点：
1. 有二次根号“
”；
2.被开方数必须是非负数.
1.请同学们说出几个二次根式；
2. 下列式子：① 0.8 ， ② 8 ， ③ a ，
为什么？
计 算：
（1） -22
（2） -1.22
解： （1）-22 = 2 2 = 2
（2）-1.22 = 1.22 = 1.2
a a 可见，当 <0时， a 2= -
性质归纳
湘教版8上数学5.1.1二次根式的概念及性质
二次根式的概念及性质
学习目标
1．了解二次根式的概念，能判断一个式子是否是二次根式． 2．掌握二次根式有意义的条件．
3．理解并掌握二次根式的两个基本性质：( a )2＝a(a≥0)，
a2 ＝|a|. 4．经历知识生成过程，渗透类比、转化的数学思想，培养由 特殊到一般的思维能力． 【学习重点】 二次根式的概念以及二次根式的基本性质． 【学习难点】 根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围．
才有算术平方根．所以，在二次根式 a 中，字母 a必须是__非__负___实数， a 才在实数范围内有意 义．
练习 判断下列各式： 3，－ 16，3 4， －5， x2＋1 哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
解： 3，－ 16， x2＋1是二次根式； 3 4， －5不是二次根式． 因为3 4的根指数不是 2，
－5的被开方数不是非负数．
(二)合作探究 求下列二次根式中字母x的取值范围：
(1) 3x＋1； 1
解：由 3x＋1≥0，解得 x≥－3； (2) 5－2x；
解：由 5－2x≥0，解得 x≤52； 2
(3) x－5.
解：由x－5>0，解得x>5.
知识模块二 二次根式的性质及其运用 (一)合作探究 1．因为 2 是__2_的一个平方根，所以( 2 )2＝__2__；
( 2)(
5 )2 2
.
答案：3 答案：5
4
3. 计算：
( 1 ) 72 ； 答案：7
(3)
-43
2
；
答案：3 4
(2)
2
-3
；
答案：3
(4)
2
-0.01
. 答案：0.01
课堂小结
二次根式
学习目标
1．了解二次根式的概念，能判断一个式子是否是二次根式． 2．掌握二次根式有意义的条件．
3．理解并掌握二次根式的两个基本性质：( a )2＝a(a≥0)，
a2 ＝|a|. 4．经历知识生成过程，渗透类比、转化的数学思想，培养由 特殊到一般的思维能力． 【学习重点】 二次根式的概念以及二次根式的基本性质． 【学习难点】 根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围．
才有算术平方根．所以，在二次根式 a 中，字母 a必须是__非__负___实数， a 才在实数范围内有意 义．
练习 判断下列各式： 3，－ 16，3 4， －5， x2＋1 哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
解： 3，－ 16， x2＋1是二次根式； 3 4， －5不是二次根式． 因为3 4的根指数不是 2，
－5的被开方数不是非负数．
(二)合作探究 求下列二次根式中字母x的取值范围：
(1) 3x＋1； 1
解：由 3x＋1≥0，解得 x≥－3； (2) 5－2x；
解：由 5－2x≥0，解得 x≤52； 2
(3) x－5.
解：由x－5>0，解得x>5.
知识模块二 二次根式的性质及其运用 (一)合作探究 1．因为 2 是__2_的一个平方根，所以( 2 )2＝__2__；
( 2)(
5 )2 2
.
答案：3 答案：5
4
3. 计算：
( 1 ) 72 ； 答案：7
(3)
-43
2
；
答案：3 4
(2)
2
-3
；
答案：3
(4)
2
-0.01
. 答案：0.01
课堂小结
二次根式
5.1二次根式的定义与性质课件2024-2025学年湘教版数学八年级上册
知识点 二次根式注意事项：
二次根式就是一个非负数的算术平方根，当a<0
时， 没有意义，当 ， 有意义
被开方数a既可以时具体的数，也可以是单项式
或多项式
在具体问题中，若不是求二次根式有意义的条件，
就默认
形如
的式子，也是二次根式
二次根式就是一个非负数的算术平方根，当 没有意义，所以二次根式有意义的条件是
时， .
因为a是非负数，所以 也是一个非负数， 即一个非负数的算术平方根也是非负数
判断下列哪些是二次根式？
二次根式：①②④⑤ 不是二次根式：③
一般地，我们把形如
的式子叫作二次根式.
计算
议一议：
比较
从运算顺序看 先求算术平方根，再平方 先平方，再求算术平方根 从 的取值范围 看 从运算结果看
5.1.1二次根式的定义与性 质
学习目标
理解二次根式的概念与性质.（难点）
掌握二次根式有意义的条件，会求使二次根式有意义 的字母的取值范围.（重点）
知道开的尽方是什么意思.
一个正方形的闹钟的面积为
Hale Waihona Puke ，一个圆形闹钟的面积为S，那么它们的边长和半径分别是多少？
一个正方形的闹钟的面积为
，一个圆形闹钟的
面积为S，那么它们的边长和半径分别是多少？
正方形的面积=边长x边长
所以正方形闹钟的边长为 cm
圆的面积 所以圆形闹钟的半径为
知识点
我们把形如 作被开方数.
的式子叫作二次根式，根号下的数叫
二次根式的双重非负性：
二次根号
式子 表示非负数 的算术平方根，因此
被开方数
只有被开方数是非负实数时，二次根式在实数范 围才有意义.
湘教版初中数学八上二次根式的概念与性质ppt演讲教学
h=4.9t2或tຫໍສະໝຸດ h.4.9
新课导入
问题
（1）一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为39m2， 则它的宽为（ ）m；13
（2）面积为S的正方形的边长为（ S ）；
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关 系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则t=（ h ）.
一般地：当 a 0 时， a2 a 因此，我们可以得到：
a2 a
a a0 a a0
湘教版初中数学八上二次根式的概念 与性质p pt演讲 教学
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做一做：实数a，b在数轴上的位置如图所 示，化简： a2 b2 (a b)2 .
a
0b
湘教版初中数学八上二次根式的概念 与性质p pt演讲 教学
练习二：当 x 取什么值时，下列二次根式 在实数范围内有意义？
1
(1) x 6 ; (2) x 7 ; (3) 4 x ; (4)
.
x 1
解（3）由 4 x 0 得， x 4.
因此，当 x 4 时，二次根式 4 x在实数范围内有意义.
有意义？
(1) x 1 解（1）由 x 1 0 得，x 1. 因此，当 x 1 时，二次根式 x 1在实数范围内有意义.
湘教版初中数学八上二次根式的概念 与性质p pt演讲 教学
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练习二：当 x 取什么值时，下列二次根式 在实数范围内有意义？
小结：
通过本节课的学习，你有哪些收获？
1、 二次根式的定义：
形如 a（a 0）的式子叫作二次根式
2、 二次根式的基本性质：