等差数列求和公式教学设计

等差数列求和公式教学

设计

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

等差数列前n项的和教学设计

一、教材分析

本节教学内容选自高中必修5，教材安排1课时。

数列是中职数学教学的重要内容之一，与实际生活有着紧密的联系，而“等差数列前n项的和”一节，更是体现了数列在生产实际中的广泛应用, 如堆放物品总数的计算，分期付款、储蓄等有关计算都用到本节课的一些知识，因此，本节课对于学生能否树立“有用的数学”的思想，有着重要作用。本节课的教学不仅关系到学生对数列知识的学习,也关系到学生对数学这一学科的兴趣, 因此设计好这节课的教学是至关重要的，通过这节课要让学生体会到：（1）数学来源于生活，生活需要数学；（2）数学学习是为专业课学习服务的；并以此激发学生学习数学的兴趣和热情。因此，本节课可谓本章教学的关键点之一，有着举足轻重的地位。

二、教学目标

知识目标：

掌握等差数列前n项的和的公式。

能力目标：

1、能够运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题，增强学生应用知识的能力；

2、通过分组探究的方式提高学生合作学习的能力；

3、练习题采取由学生讲解的方式完成，锻炼学生的语言表达能力。

情感态度价值观：

1、通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；

2、通过与生活实际相联系的例题及习题，使学生了解数学在生活中的实用性，渗透学以致用的思想。

3、通过对解题步骤的严格要求，培养学生严谨的工作作风。

三、重点、难点

教学重点：等差数列的前n项和的公式及其应用。

教学难点：等差数列的前n项和的公式的推导。

学生对于公式的推导不容易接受，新课程标准也要求弱化推导，重在应用，因此，等差数列的前n项和的公式的推导不做重点讲解，只让学生简单了解。

四、教学方法

教学方法：

本着以学生发展为本，引导学生主动参与的原则，我主要采用讲授法、启发法和分组教学法；组织学生以小组为单位讨论、分析、探究，步步深入的学习，使学生在动手、动脑的过程中深化对所学内容的理解，进而锻炼自己自主学习及分析问题、解决问题的能力，养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生在尝试探索中不断地发现问题，并在寻求解决问题的方法的尝试过程中获得自信心和成功感，并通过分组的方式来激发学生的竞争意识，使其始终处于思维紧张的状态下，从而实现师生互动，学生乐学。以小组为单位组织教学的另一个目的是培养学生的合作意识及团队精神。

五、教学手段

多媒体辅助教学

七、教学过程分析

1、复习提问：（1’）

梯子的最高一级宽30cm，从上往下每一级比上一级宽10cm，问：第5级（自上向下数）有多宽

提问的目的是为后面等差数列的变形公式的推导打下基础。。

2．问题引入：（4’）

大家是否听过小高斯的故事还是在高斯10岁的时候，一天上数学课，老师问了这样一个问题：1+2+3+…+100=其他同学忙着用笔在纸上计算，而小高斯却很快求出了结果，你知道他是怎样计算的吗

在学生得出结论后，细致的分析此题：

设 S=1 + 2+ 3+……+100，（1）

S=100+99+98+……+ 1，（2）

（1）+（2）得 2S=（100+1）×100，则S=

2100

)1

100

(?

+

=5050通过详细此题，使学生初步感受倒序相加的方法，为下面等差数列前n项和公式的推导的讲解打下基础。同时，此题也可以增强学生对本节课知识的兴趣。

3. 多媒体演示：（6’）

堆放的钢管共9层，自上而下各层的钢管数组成等差数列4，5，6，7，8，9，10，11，12，求钢管的总数。

提示学生：除了直接相加，还能不能找到什么巧妙的算法

多媒体演示后，计算：S=

2

7 )

10

4(?

+

=49

通过多媒体演示堆放的钢管求和的例子，使学生形象的感受并建立倒序相加的思想，从而引发学生想到用同样的方法推导等差数列的前n项和的公式。

将上两题的算式用粉笔圈出来，让学生寻找求和的过程与首项、第n项及项数的关系，并由此猜想等差数列的前n项和的公式，这样可以使学生觉得数学是触手可及的，不是高不可攀的。

4.与学生一起进行公式推导（15’）

通过上面问题的铺垫，顺利进入公式推导的环节，在推导的过程中，尽量由学生思考，老师只做引导，以培养学生的数学推理能力。

设等差数列1a，2a，3a，…，n a,….的前n项和为S n，

则S n =1a+2a+3a+……+n a

提问学生用通项公式将上式展开

得：S n =1a +（1a + d ）+（1a +2 d ）+……+[1a +（n -1）d ]

利用倒序相加的思想将S n 写成

S n =n a +1-n a +2-n a + (1)

展开得：S n

=n a +（n a - d ）+（n a -2 d ）+……+[n a -（n -1）d ] 将上两式相加得2)

(S 1n n a a n +=

通过公式推导方法的形成过程使学生感受解决问题的一般思路：从特殊问题的解决中提炼一般方法，再运用这一方法解决一般情况，使学生初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法。

提示学生可以类比梯形面积公式记忆此公式。

启发学生：公式中出现了n a ,如果利用通项公式，是否能得出变形公式呢

由学生动手得出等差数列的前n 项和变形公式：d n n na S n 2

)1(1-+=。 5．例题讲解（29’）

例1、一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片21块，往下每一层多铺一块，斜面上铺了瓦片19层，共铺了多少块

通过例题1要让学生学会应用等差数列的求和公式二，学会从实际问题中找到公式中相应的量，然后利用公式解决问题。在讲解的过程中随时强调解题过程的书写，以培养学生良好的习惯及严谨的工作作风。

解：设屋顶的瓦片数从上到下分别是1a ，2a ，3a ，……，n a ,则它们构成等差数列,其中n =19, d =1, 1a =21.

将1a =21，d =1，n =19 代入求和公式二，得：

12

)119(192119S 19?-?+?==570 答：这个屋顶共铺了570块瓦片。

例2、某学校组织学生到报告厅听报告，该校共有学生2400名，已知这个学校的报告厅有30排座位，每后一排比前一排多2个座位，最后一排有120个座位，问这个报告厅是否能容纳所有学生

解法1：设这个剧场从前排起每排的座位数分别是1a ，2a ，3a ，……，n a ,则它们构成等差数列,其中n =30, d =2, n a =120.

由等差数列的通项公式n a =1a +（n -1）d 得120=1a +（30-1）×2，

求出 1a =62.

再由等差数列求和公式一得：

2730)12062(230=+?=n S 解法2：设这个剧场从最后起每排的座位数分别是1a ，2a ，3a ，……，n a ,则它们构成等差数列,其中n =30, d =－2, 1a =120.

再由等差数列求和公式二得：

)2(2)130(3012030-?-?+?=n S =2730

答：这个剧场共有2730个座位，能容纳这个学校的2400名学生。

设计例题2的目的是让学生体会如何利用数学知识解决实际问题，让学生感受到数学学习是来源于生活并为生活服务的，我们正在学习的数学是“有用的数学”，从而激发学生学习的积极性。另外，此题可以一题多解，程度好的同学可以两种方法都想到，程度稍差的同学也可以根据公式找到一种解题方法，这样可以让不同程度的学生有不同程度的收获。

6. 指导学生做练习（42’）

各小组题目如下：

1、某市2001年用于校园建设的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元，那么从2001年起的未来10年内，该市在校园建设的总投入是多少

2、如图所示,一个堆放铅笔得V 形架的最下面一层放1支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放1支笔,最上面一层放了40支,问这个V 形架上共放了多少支铅笔

3、一个扇形表演厅共设了1275个座位，已知后排比前一排多2个座位，第一排有27个座位，问这个表演厅共有几排座位

4、某圆形体育场的看台座位呈圆形排列，共24圈，从中心第二圈起，每一外圈比内圈多10个座位，最外圈有330个座位，求该体育场的座位总数。