高等数学课件D82多元函数的偏导数
合集下载
《偏导数与高阶导数》PPT课件
fz(x,y,z) lz i 0f m (x ,y ,z z z ) f(x ,y ,z )
第二节 偏导数与高阶偏导数
注意！
全导数
dy f(x) dx
dy f(x)dx
偏导数的符号
z , x
z y
是一个整体记号,
不能像一元函数那样将z , z 看成是
x y
z 与 x, y的商.
2.偏导数的计算
实质上是
df(x,y0) dx
xx0
2.偏导数的计算
2.偏导数的计算
多元函数的偏导数的计算方法, 没有任何技术性的新东西.
方法: 求偏导数时,只要将 n 个自变量 中的某一个看成变量, 其余的 n－1个
自变量均视为常数, 然后按一元函数 的求导方法进展计算即可 .
2.偏导数的计算
例1 求函数 zxy(x0) 的偏导数.
z f(x x ,y ) f(x ,y )
l i m
x x 0
x
可以看出: 定义 z 时, 变量 y 是不变的, 实际上, x
是对函数 f(x, y), 将 y 视为常数, 关于变量 x 按一元
函数导数的定义进展的：
x z(x 0 ,y 0 ) lx i 0fm (x 0 x , y 0 x ) f(x 0 ,y 0 )
解 将 y 看成常数时, 是对幂函数求导.
z yxy1.
x
(xa)axa1
将 x 看成常数时, 是对指数函数求导.
z xylnx. (ax)axln a y
例2 求函数 zex2y2的偏导数.
2.偏导数的计算
例2 求函数 zex2y2的偏导数.
解
z x
ex2y2(x2y2)x 2xex2y2.
高等数学课件D82多元函数讲义的偏导数
fy(x,y,z)? fz(x,y,z)?
(请自己写出)
23.02.2021
多元函数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二元函数偏导数的几何意义:
z
f x
xx0 yy0
ddxf(x,y0)xx0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M0Tx 对 x 轴的斜率.
o x0
f y
xx0 yy0
23.02.2021
多元函数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理. 若 fx y (x)和 ,y fy x (x)都 ,y (x 在 0 ,y 0 )连 点 ,则 续
lim
x0
x x
1
不 等
23.02.2021
多元函数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 证明函数
满足拉普拉斯
方程 u x2u2 y2u2 z2u2 0
证：
r2
2u x2
1 r3
3x r4
r x
1 r3
3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2
r13
3ry52
,
2u z2
r13
3rz52
x2u2 y2u2 z2u2yy0
x
y0
y
是曲线 斜率.
23.02.2021
在点M0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的
多元函数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
注意：函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续.
例如,
zf(x,y) x2xyy2, x2y20 0 , x2y20
大学数学偏导数PPT课件
例6 设u eax cosby,求u的二阶偏导数 .
解 u aeax cosby, x
u beax sin by, y
2u x2
a2eax
cos by,
2u y2
b2eax
cos
by,
2u abeax sin by, 2u abeax sin by.
xy
yx
定理 若z f ( x, y)的混合偏导数 2z 和 2z 在D内连续, xy yx
f x( x0 , y0 ).
记作 :
z ,
x x x0 y y0
f ,
x x x0 y y0
zx
x x0 ,
y y0
f x ( x0 , y0 ),
f x( x0 , y0 ).
同理z f ( x, y)在( x0 , y0 )处对y的偏导数定义为
lim yz lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) ,
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
x r y r z r
x2 y2 z2
r2 r.
x y z r r r r
◆有关偏导数的两点说明： １、偏导数 z 是一个整体记号 ,不能拆分; x ２、 求分界点处的偏导数要用定义求. 例如, 设z f ( x, y) xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).
y y0
z () y x x0
y y0
z x x x0
y y0
z () , x x x0
y y0
高数多元函数的偏导数与全微分
为二元函数的图形.
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
二、多元函数的极限
定 义 1 设 函 数 z f (x, y) 的 定 义 域 为 D, P0 ( x0 , y0 ) 是其聚点，如果对于任意给定的
正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点，都有| f ( x, y) A | 成立，则称 A 为函数
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念.
例1 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
y
z y
2z y 2
f yy ( x, y)
纯偏导
z 2z y x xy
f xy
(
x,
y), x
z y
2z yx
f yx ( x, y)
混合偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
第十三讲 多元函数偏导数与全微分
1 多元函数极限与连续性 2 偏导数与全微分 3 抽象符合函数的偏导数与全微分 4 高阶偏导数，求偏导次序无关性
一、多元函数的概念
（1）邻域
设P0 ( x0 , y0 )是xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为U (P0 , ) ，
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
二、多元函数的极限
定 义 1 设 函 数 z f (x, y) 的 定 义 域 为 D, P0 ( x0 , y0 ) 是其聚点，如果对于任意给定的
正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点，都有| f ( x, y) A | 成立，则称 A 为函数
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念.
例1 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
y
z y
2z y 2
f yy ( x, y)
纯偏导
z 2z y x xy
f xy
(
x,
y), x
z y
2z yx
f yx ( x, y)
混合偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
第十三讲 多元函数偏导数与全微分
1 多元函数极限与连续性 2 偏导数与全微分 3 抽象符合函数的偏导数与全微分 4 高阶偏导数，求偏导次序无关性
一、多元函数的概念
（1）邻域
设P0 ( x0 , y0 )是xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为U (P0 , ) ，
8-2多元函数的偏导数
f x ( x0 , y0 )
d f ( x0 , y) tan f y ( x0 , y0 ) y y0 dy
是曲线
z f ( x, y) x x0
z
M 0Ty
z f ( x, y) x x0
M0
y
在点 M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的斜率. o
偏导数定义为
x x
xxf y ( x, Nhomakorabeay, z ) ?
f z ( x, y, z ) ?
(请自己写出)
3º 可(偏)导
若 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处的两个偏导数
f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )均存在，则称f ( x , y )
例2 证明 : 函数z
x 2 y 2 在( 0,0)点连续,
但两个偏导数均不存在 .
证 ε 0, 取δ ε ,
则当 ( x 0) ( y 0)
2 2
x 2 y 2 δ时,
便有
x 2 y 2 02 02
x2 y2 δ ε ,
故函数在点 0,0)处连续. (
四、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 z z f x ( x, y) , f y ( x, y) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是
z = f ( x , y )的二阶偏导数 . 按求导顺序不同,
有下列四个二阶偏导数:
z 2z z 2z ( ) f x y ( x, y) ( ) 2 f x x ( x , y ); y x x y x x x
多元函数偏导数
z ∴ x z y
= 2×1 + 3× 2 = 8 , = 3×1 + 2× 2 = 7 .
x =1 y= 2
例2
y 设 z = x ( x > 0, x ≠ 1) ,
x z 1 z + = 2z . 求证 y x ln x y
证
z yx y 1 , = x
z y = x ln x , y
x z 1 z x y 1 1 y x ln x + = yx + ln x y x ln x y y
思考题
若 函 数 f ( x , y ) 在 点 P0 ( x0 , y0 ) 连 续 , 能否断定 f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的偏导数必定存在? 的偏导数必定存在?
思考题解答
不能. 不能 例如, 例如
f ( x, y) =
x +y ,
2 2
处连续, 在( 0,0)处连续
xy , x2 + y2 ≠ 0 2 z = f ( x, y ) = x + y 2 , 求f x ( 0, 0), f y (0, 0). 0, x2 + y2 = 0
3,偏导数存在与连续的关系 连续, 一元函数中在某点可导 连续, 连续, 多元函数中在某点偏导数存在 连续,
xy x2 + y2 , 例如,函数 例如 函数 f ( x , y ) = 0,
Φ = ( x, y + y ) ( x, y ); ( x, y ) = f ( x + x) f ( x, y )
u 验证函数2 ( x , y ) = ln x 2 + y 2 满足拉普拉 2u u + 2 = 0. 斯方程 2 x y
《D82偏导数》课件
偏导数的几何意义：偏导数表示函数在某一点处沿坐标轴方向的变化率。
偏导数的物理意义：偏导数在物理中常用于描述函数在某一点处的变化率，如温度、压力等。
偏导数的计算步骤
确定偏导数 的定义域
确定偏导数 的函数形式
计算偏导数 的值
验证偏导数 的结果
偏导数的计算实例
计算方法：使用偏导数公式进行计算 实例1：计算函数f(x,y)=x^2+y^2在点(1,1)处的偏导数 实例2：计算函数f(x,y)=x^2+y^2在点(2,2)处的偏导数 实例3：计算函数f(x,y)=x^2+y^2在点(3,3)处的偏导数
数值方法包括有限差分法、有限元法等
计算精度与初始条件有关
计算精度与网格划分有关
初始条件越接近真实值，计算精度越高
偏导数的误差分析
偏导数的定义：偏导 数是函数在某一点处 沿某一方向的导数
偏导数的计算方法： 使用偏导数公式进行 计算
偏导数的误差来源： 数值计算、近似计算、 计算精度等
偏导数的误差分析方法： 使用误差分析方法进行 误差分析，如误差传播 定律、误差分析公式等
在经济学中的应用
需求曲线：D82偏导数用 于计算需求曲线的斜率
供给曲线：D82偏导数用 于计算供给曲线的斜率
消费者剩余：D82偏导数 用于计算消费者剩余
生产者剩余：D82偏导数 用于计算生产者剩余
市场均衡：D82偏导数用 于计算市场均衡点
价格弹性：D82偏导数用 于计算价格弹性
在其他领域的应用
化学领域：用于描述化学反 应速率和反应平衡
生物领域：在生物学、医学等领域有广泛应用
社会领域：在社会学、心理学等领域有广泛应用
偏导数计算技术的发展方向
偏导数的物理意义：偏导数在物理中常用于描述函数在某一点处的变化率，如温度、压力等。
偏导数的计算步骤
确定偏导数 的定义域
确定偏导数 的函数形式
计算偏导数 的值
验证偏导数 的结果
偏导数的计算实例
计算方法：使用偏导数公式进行计算 实例1：计算函数f(x,y)=x^2+y^2在点(1,1)处的偏导数 实例2：计算函数f(x,y)=x^2+y^2在点(2,2)处的偏导数 实例3：计算函数f(x,y)=x^2+y^2在点(3,3)处的偏导数
数值方法包括有限差分法、有限元法等
计算精度与初始条件有关
计算精度与网格划分有关
初始条件越接近真实值，计算精度越高
偏导数的误差分析
偏导数的定义：偏导 数是函数在某一点处 沿某一方向的导数
偏导数的计算方法： 使用偏导数公式进行 计算
偏导数的误差来源： 数值计算、近似计算、 计算精度等
偏导数的误差分析方法： 使用误差分析方法进行 误差分析，如误差传播 定律、误差分析公式等
在经济学中的应用
需求曲线：D82偏导数用 于计算需求曲线的斜率
供给曲线：D82偏导数用 于计算供给曲线的斜率
消费者剩余：D82偏导数 用于计算消费者剩余
生产者剩余：D82偏导数 用于计算生产者剩余
市场均衡：D82偏导数用 于计算市场均衡点
价格弹性：D82偏导数用 于计算价格弹性
在其他领域的应用
化学领域：用于描述化学反 应速率和反应平衡
生物领域：在生物学、医学等领域有广泛应用
社会领域：在社会学、心理学等领域有广泛应用
偏导数计算技术的发展方向
高等数学偏导数PPT课件.ppt
故函数 f (x, y) 在点(0, 0) 处不连续.
f
(x, y)
xy x2 y2
( x2 y2 0 ),
f (0, 0) 0
但是
lim f (x , 0) f (0, 0) lim 0 0 ,
x0
x
x0
lim f (0, y) f (0, 0) lim 0 0 ,
y0
y
y0
( f y(0,0))x .
例 验证函数 u( x, y) ln x2 y2 满足拉普
拉斯方程
2u x 2
2u y2
0.
解 ln
x2
y2
1 ln( x2 2
y2 ),
u x
x x2
y2 ,
2u (x2 y2) x 2x y2 x2 x2 ( x2 y2 )2 ( x2 y2 )2 ,
求偏导数时,只要将 n 个自变量
中的某一个看成变量,其余的 n－1个
自变量均视为常数, 然后按一元函数 的求导方法进行计算即可 .
例 求 z x2 3xy y2在(1,2)处对 x 的偏导数．
解法一 (用定义)
z x
x 1 y2
lim z(1 x,2) z(1,2)
x0
x
8
.
解法二 (用定义)
f (x x, y, z) f (x, y, z)
fx
(
x,
y,
z)
lim
x0
x
,
f y ( x,
y, z)
lim
y0
f
(x,
y
y, z) y
f
(x,
y, z) ,
fz ( x,
y, z)
f
(x, y)
xy x2 y2
( x2 y2 0 ),
f (0, 0) 0
但是
lim f (x , 0) f (0, 0) lim 0 0 ,
x0
x
x0
lim f (0, y) f (0, 0) lim 0 0 ,
y0
y
y0
( f y(0,0))x .
例 验证函数 u( x, y) ln x2 y2 满足拉普
拉斯方程
2u x 2
2u y2
0.
解 ln
x2
y2
1 ln( x2 2
y2 ),
u x
x x2
y2 ,
2u (x2 y2) x 2x y2 x2 x2 ( x2 y2 )2 ( x2 y2 )2 ,
求偏导数时,只要将 n 个自变量
中的某一个看成变量,其余的 n－1个
自变量均视为常数, 然后按一元函数 的求导方法进行计算即可 .
例 求 z x2 3xy y2在(1,2)处对 x 的偏导数．
解法一 (用定义)
z x
x 1 y2
lim z(1 x,2) z(1,2)
x0
x
8
.
解法二 (用定义)
f (x x, y, z) f (x, y, z)
fx
(
x,
y,
z)
lim
x0
x
,
f y ( x,
y, z)
lim
y0
f
(x,
y
y, z) y
f
(x,
y, z) ,
fz ( x,
y, z)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M0Tx 对 x 轴的斜率.
o x0
f y
xx0 yy0
ddyf(x0,y)
yy0
x
y0
y
是曲线 斜率.
05.02.2021
在点M0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的
6
机动 目录 上页 下页 返回 结束
注意：函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续.
z y
3x2y
z
y (1, 2)
解法2:
z y 2 x26x4
z x (1, 2)
05.02.2021
z x1 13yy2
z y (1, 2)
8
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 设 zxy(x0,且 x1 ） ， 求证 xz 1 z2z yx lnxy
证:
xz 1 z
2z
yx lnxy
注意f:(x0f)x(x0lxim,y00)f ( x 0lx i0 xxm f)(x0 f ( x 0x ),y 0 ddx )xyxf(x0 x,0y0)
05.02.2021
3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
同样可定义对 y 的偏导数
fy(x0,y0) limf(x0,y0y) f(x0,y 0 )
第二节 偏导数
第八章
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
05.02.2021
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是
将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u u(x0,t) u(x, t )
y 0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
05.02.2021
z , f , y y
zy ,
fy(x,y), f2 (x,y)
4
机动 目录 上页 下页 返回 结束
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
( z ) x
2z x2
fxx(x,y);
(z) y x
2z x y
fxy(x,y)
x
(
z y
)
2z yx
fyx(x,
y);
y(yz)y2z2fyy(x,y)
05.02.2021
11
机动 目录 上页 下页 返回 结束
类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
( y
)
nz x n1
y
05.02.2021
12
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5. 解:
求函数 zex2y的二阶偏导数及
z ex2y x
z y
2ex2y
3 y
z x
2
.
2z x2
ex2y
2 z 2ex2y x y
2 z 2ex2y yx
2 z y2
4ex2y
3z yx2
( 2z ) x yx
2ex2y
注意:此处 2z 2z , 但这一结论并不总成立. xy yx
x2y20 x 2 y 2 0
fxy(0,0)lyi m 0fx(0,y )yfx(0,0)
lim
y0
y y
1
二 者
fyx(0,0) lx i0m fy( x,0 ) xfy(0,0)
lim
x0
x x
1
不 等
05.02.2021
14
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 证明函数
满足拉普拉斯
例3. 求 解: r
x 2
05.02.2021
的偏导数 . (P14 例4)
2x
x
x2 y2 z2 r
r z z r
9
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 已知理想气体的状态方程
(R 为常数) ,
求证: pVT 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
例如,
zf(x,y) x2xyy2, x2y20 0 , x2y20
显然
0
0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
05.02.2021
7
上节例 目录 上页 下页 返回 结束
例1 . 求 zx23xyy2在点(1 , 2) 处的偏导数.
解法1: z 2x3y, x
z x (1, 2)
05.02.2021
13
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如, f(x,y)
xyxx22 yy22, x2y20
0 ,
x2 y2 0
fx(x,y) yx4(x4 2x2y y2 2) 2y4, x2y20
0 ,
x 2 y 2 0
fy(x,y)
xx4( x4 2x2y y2 2) 2y4, 0 ,
V RT , V R p T p
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
分子与分母的商 !
pVT V T p
RT pV
1
05.02.2021
10
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
x zfx(x,y), y zfy(x,y)
方程 u x2u2 y2u2 z2u2 0
证：
r2
2u x2
1 r3
3x r4
r x
1 r3
3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2
r13
3ry52
,
2u z2
r13
3rz52
x2u2 y2u2 z2u2 r333(x2ry52z2)0
05.02.2021
15
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理. 若 fx y (x)和 ,y fy x (x)都 ,y (x 在 0 ,y 0 )连 点 ,则 续
o x0
x
05.02.2021
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义1. 设函数 zf(x,y)在点 (x0,y0) 的某邻域内
极限
x0x
x0
x
存在, 则称此极限为函数 z f( x ,y )在 ( x 0 ,y 点 0 )对 x
的偏导数，记为
f x
(x0,
y0)
;
zx (x0, y0) ;
f1(x0,y0).
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
xx
x
x
fy(x,y,z)? fz(x,y,z)?
(请自己写出)
05.02.2021
5
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二元函数偏导数的几何意义:
z
f x
xx0 yy0
ddxf(x,y0)xx0