2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛B卷论文

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年___月___日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：交巡警服务平台的设置与调度一．摘要“交巡警服务平台的设置与调度”是根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源的问题。

我们运用数学的集合、图论、运筹学等基本理论，通过CAD软件绘出A区平面图并计算出各条道路的距离，以此作为基本数据，运用集合的覆盖知识，结合交巡警服务平台到各节点所需要的时间，再联系实际每个节点的案件发生率以及人口密度来合理的分配各平台的管辖范围。

运用Dijkstra最优路径算法求出各警务平台到13条交通要道出口的最短距离，采用二部加权图设计出两种调度算法。

以每个平台点为圆心，以适当的半径画圆，在圆之外的节点或是圆内节点过多的平台点，分析处理，按照决策论和覆盖来确定所增加平台的数量和位置。

以A区为例，对全市的交巡警服务平台设置的合理性作出判断，其中考虑到工作量，工作效率，采用正态分布模型。

考虑罪犯逃逸的速度以及全市范围内的交巡警服务平台的位置，采用Dijkstra最优路径算法和树以及运筹用学的原理，拿出合理的调度方案，防止罪犯出城。

关键词：Dijkstra最优路径算法调度方案调度算法二部图树运筹学正态分布模型决策论覆盖二．问题重述“有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。

警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。

为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。

每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。

由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。

试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：（1）附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数据信息见附件2。

请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。

对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。

实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。

根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。

（2）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。

如果有明显不合理，请给出解决方案。

如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。

为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。

三．模型建立1.模型假设：（1）.交巡警服务平台中有交警随时待命，即保证有突发状况时，交警能够立即出发，保持良好的状态。

（2）.忽略其它情况对交巡警的影响，即警车以匀速行驶，不计警车启动，加速，滑行，制动时间，抛锚等情况。

（3）.各路段在任何时间都能通行，即忽略交通问题对巡警的影响。

（4）.参考市区内车辆允许行驶速度来确定犯案人的逃逸速度，即假设犯案人的逃离速度为匀速60km/h。

（5）.考虑拦截时可以在进入外区通道的必须路口处拦截。

（6）.同一区各地方的人口密度基本相同。

（7）.当任意节点发生事故，交巡警都以最短路径赶到现场。

（8）.假设交巡警服务平台接到突发案件的平均反应时间为1分钟，在案发3分钟后到交巡警出发。

此段时间范围内，犯罪嫌疑人已驾车行驶4km。

2.变量说明：A（i）：表示交巡警服务平台（i=1,2,3,┅┅80）；n（j）：表示全市交通路口节点（j=1,2,3,┅┅582）；S：没有平台在附近3km的节点的集合；y（i，j）：表示各平台到各节点的距离（i表示平台，i=1,2,3,┅┅80;j表示全市交通路口节点,j=1,2,3,┅┅582.）；k（j）：表示全市交通路口节点发案率（j=1,2,3,┅┅582；发案率为每天发生案件的次数）；T（i）：表示各交巡警服务平台的工作量（i=1,2,3,┅┅80）。

3.问题的分析与模型的建立问题一：题中所给条件，让我们给出合理的分配方案，需要我们考虑多方面的因素，如交巡警服务平台到各节点的距离以及各节点的发案率以及城市的人口密度等，通过这些方面的分析与判断，能够得出一个合理的分配方案。

立即封锁十三条交通要道，计算出各平台到各交通要道的距离，再利用调度算法以及二部图，得到最佳的调度方案，争取在最短时间内对十三条道路进行封锁。

新增二到五个平台，由题目可知，主要解决工作量不均衡和出警时间过长的问题，所以从这两方面下手，根据A区所有节点的位置，再结合具体的实际情况，然后得出最后的答案。

模型建立：模型建立过程中要用到以下概念：覆盖：设Ai（i=1，2，3，┅┅20）是平台集合B1，B2，┅┅Bn是A得子集。

且有B1∪B2∪B3┅┅∪Bn=A，则称C={B1，B2，┅┅Bn}为Ai上的一个覆盖。

度：设图G是无向图，v是图G中的顶点，与v关联的边的条数，称为点v的度。

图（1）如图所示，点v的度为6。

加权图：设G为图，对图的每一边e来说，都对应于一个实数W（e）（可以通俗的理解为边的“长度”，只是在数学定义中图的权可以为负数），我们把W（e）称为e的“权”。

把这样的图G称为“加权图”。

二部图：设G=（V，E）是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集（A，B），并且图中每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j，分别属于这两个不同的顶点集（i inA j inB），则称图G为一个二部图。

图（2）Dijkstra算法：先求出a到某一点的最短通路，然后利用这个结果再去确定a 到另一点最短通路，如此继续下去，直到找到a到z的最短通路为止。

树：树是n（n>0）个结点的有限集T，T为空时称为空树，否则它满足如下两个条件：（1）有且仅有一个特定的称为根的结点；（2）其余的结点可分为m（>=0）个互不相交的子集，T1，T2，┅┅Tm，其中每个子集本身又是一棵树，并称其为根的子树。

图（3）对于管辖范围的分配问题：⑴首先利用CAD将各个点画出，可以得到相邻两节点的距离；⑵运用覆盖的数学原理得到每个平台相距3km以内的各节点，首先以交巡警平台为圆心，3km为半径画圆，得到大概范围，再具体求距离；⑶运用迪克斯特洛算法得到各个平台到达节点的最短时间，小于3km的则作为平台的覆盖范围，大于3km的则舍去；⑷根据概率论可以求得各个平台处发案率及工作量的数学期望，其中：T=∑ki*s；⑸由树论画出不同平台交集中节点所被管辖的平台，在每一个平台处标出它的工作量，如图2所示：⑹根据工作效率平均值较高的原则，合理的进行分配。

图（4）通过附表1的坐标数据，我们通过CAD绘图软件得出各节点的距离，部分截图如下（详见附图1）：图（5）设交巡警平台集合A={a1，a2，a3，┅┅a20}；各节点集合N={n21，n22，n23，┅┅n92}；发生率k={k1，k2，k3，┅┅k92}（其中k1——>k20代表a1——>a20，k21——>k92代表n21——>n92）（另：各字母后带数字即CAD图中各点得编号）通过CAD软件上所标出的距离，以及警车的速度60km/h（3分钟即3km），各节点k1，k2，┅┅k72到各平台a1，a2，┅┅a20的距离符合在3km以内的，用A1，A2，┅┅A20表示，其中Ai表示距离a1平台在3km以内的节点集合，则得出：A1={n42，n43，n44，n64，n65，n66，┅┅n80}；A2={n40，n42，n43，n44，n65，n66，┅┅n76}；A3={n44，n54，n55，n64，n65，n66，n67，n68，n76}；A4={n60，n62，n63，n64，n65，n66}；A5={n47，n48，n49，┅┅n59}；A6={n47，n48，┅┅n53，n56，n58，n59}；A7={n30，n31，n32，n33，n34，n47，n48}；A8={n31，n32，┅┅n37，n45，n46，n47}；A9={n31，n32，┅┅n37，n45，n46}；A10=Φ；A11={n25，n26，n27}；A12={n25}；A13={n21，n22，n23，n24}；A14=Φ；A15={n31}；A16={n32，n33，┅┅n37，n45，n46}；A17={n40，n41，n42，n43，n70，n72}；A18={n72，n73，n74，n77，n78，┅┅n85，n88，n89，n90，n91}；A19={n64，n65，┅┅n69，n71，n73，n74，┅┅n83}；A20={n81，n82，┅┅n91}；对于没有平台在附近3km的节点，我们用集合S表示，则：S={n28，n29，n38，n39，n61，n92}。

采用以下的算法：①．首先根据各个平台3分钟所能到达的路口给每个平台划分所有能覆盖的区域。

②．对于没有交巡警服务平台管辖的路口，按照就近原则对其分配。

③．根据各个路口的发案率算出上述分配时各个平台的实际工作量，其工作量可由其所负责的各个路口的发生率求和，即T=∑ki。

④．求出各个平台的交集，对于每一个节点用树来描述它所能够被管辖的平台。

根据平台工作量的大小，将它分配给工作量较小的平台，则其它平台去掉该节点，依次进行筛选，使得各个交巡警平台工作量大致相同。