2015年高考第一轮复习数学：8.5 轨迹问题
2015高考数学一轮配套课件：专题八(第八篇)
依题意得，抛物线 y2＝4x 的焦点坐标是(1,0)， 则圆 C 的圆心坐标是(0,1)， 圆心到直线 4x－3y－2＝0 的距离 d ＝|4×402－＋3×－13－2 2|＝1，则 r2＝d2＋|A2B|2＝10，
因此圆 C 的方程是 x2＋(y－1)2＝10. 答案 (2)x2＋(y－1)2＝10
解(1) 若直线的斜率不存在， 则该直线的方程为 x＝－3， 代入圆的方程解得 y＝±4， 故该直线被圆截得的弦长为 8，满足条件； 若直线的斜率存在， 不 即妨kx设－直y＋线3的k－方32程＝为0，y＋32＝k(x＋3)， 因为该直线被圆截得的弦长为 8，
第四页，编辑于星期五：十四点 十一分。
故半弦长为 4.又圆的半径为 5，
· A
·M
2 折痕 B X
(1)求直线方程时，要考虑对斜率是否存在、截距相等 时是否为零以及相关位置关系进行分类讨论．
(2)本题需对斜率 k 为 0 和不为 0 进行分类讨论，易错
点是忽略斜率不存在的情况．
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1、(1)若直线过点 P－3，－32且被圆 x2＋y2＝25 截得的弦长是 8， 则该直线的方程为( )． A．3x＋4y＋15＝0 B．x＝－3 或 y＝－32 C．x＝－3 D．x＝－3 或 3x＋4y＋15＝0 倒计时
折痕
G(－k,1)，
B
X
从而折痕所在的直线与 AG 的交点坐标
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(线段 AG 的中点)为 M－k2，12.
Y D
1
G(a,1)C
∴折 即k痕y＝＝所0k在 时x＋， 的ky2直2＝＋线1212；.方k程≠0为时y，－y＝12＝kxk＋x＋k22＋k2，12y.＝12
高考数学第一轮复习 8.5 轨迹问题教案
8.5 轨迹问题●知识梳理本节主要内容是轨迹的概念及轨迹方程的求法.求轨迹方程常用的方法：（1）结合解析几何中某种曲线的定义，从定义出发寻找解决问题的方法；（2）利用几何性质，若所求的轨迹与图形的性质相关，往往利用三角形或圆的性质来解问题；（3）如果点P 的运动轨迹或所在曲线已知，又点Q 与点P 之间的坐标可以建立某种关系，则借助点P 的轨迹可以得到点Q 的轨迹；（4）参数法.●点击双基1.动点P 到直线x =1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是 A.中心在原点的椭圆 B.中心在（5，0）的椭圆 C.中心在原点的双曲线 D.中心在（5，0）的双曲线 解析：直接法. 答案：B2.（2005年春季北京，6）已知双曲线的两个焦点为F 1（－5，0）、F 2（5，0），P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|=2，则该双曲线的方程是A.22x －32y =1B.32x －22y =1C.42x －y 2=1D.x 2－42y =1解析：设双曲线的方程为22a x －22by =1.由题意||PF 1|－|PF 2||=2a ， |PF 1|2+|PF 2|2=（25）2. 又∵|PF 1|·|PF 2|=2，∴a =2，b =1.故双曲线方程为42x －y 2=1.答案：C3.已知A （0，7）、B （0，－7）、C （12，2），以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是A.y 2－482x ＝1（y ≤－1） B.y 2－482x ＝1C.y 2－482x ＝－1D.x 2－482y ＝1解析：由题意｜AC ｜＝13，｜BC ｜＝15，｜AB ｜＝14，又｜AF ｜＋｜AC ｜＝｜BF ｜＋｜BC ｜，∴｜AF ｜－｜BF ｜＝｜BC ｜－｜AC ｜＝2.故F 点的轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支.又c =7，a =1，b 2＝48，所以轨迹方程为y 2－482x ＝1（y ≤－1）.答案：A4.F 1、F 2为椭圆42x +32y =1的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________________.解析：延长F 1D 与F 2A 交于B ，连结DO ，可知DO =21F 2B =2，∴动点D 的轨迹方程为x 2+y 2=4.答案：x 2+y 2=45.已知△ABC 中，B （1，0）、C （5，0），点A 在x 轴上方移动，且tan B +tan C =3，则 △ABC 的重心G 的轨迹方程为________________.解析：设A （x 0，y 0）， ∵tan B +tan C =3，∴100-x y －500-x y =3，点A 的轨迹方程为y 0=－43（x 02－6x 0+5）（x 0≠1且x 0≠5）.若 G （x ，y ）为△ABC 的重心，则由重心坐标公式：x =3510x ++，y =30y，∴x 0=3x －6，且y 0=3y .代入A 点轨迹方程得G 的轨迹方程为y －1=－49（x －3）2（x ≠37且x ≠311）.答案：y －1=－49（x －3）2（x ≠37且x ≠311）●典例剖析【例1】 在△PMN 中，tan ∠PMN =21，tan ∠MNP =－2，且△PMN 的面积为1，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点，且过点P 的椭圆的方程.M N剖析：如上图，以直线MN 为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则所求椭圆方程为22a x +22by =1.显然a 2、b 2是未知数，但a 2、b 2与已知条件没有直接联系，因此应寻找与已知条件和谐统一的未知元，或改造已知条件.解法一：如上图，过P 作PQ ⊥MN ，垂足为Q ，令|PQ |=m ，于是可得|MQ |=|PQ |cot ∠PMQ =2m ，|QN |=|PQ |cot ∠PNQ =21m . ∴|MN |=|MQ |－|NQ |=2m －21m =23m .于是S △PMN =21|MN |·|PQ |=21·23m ·m =1. 因而m =34，|MQ |=234，|NQ |=31，|MN |=3.|MP |=22||||PQ MQ +=34316+=3152，|NP |=22||||PQ NQ +=3431+=315.以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为22a x +22by =1（a＞b ＞0）.则2a =|MP |+|NP |=15， 2c =|MN |=3，故所求椭圆方程为1542x +32y =1.解法二：设M （－c ，0）、N （c ，0），P （x ，y ），y ＞0，c x y + =21，cx y -=2， y ·c =1， 解之，得x =635，y =332，c =23.设椭圆方程为b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2，则b 2·（635）2+a 2（332）2=a 2b 2， a 2－b 2=43，解之，得a 2=415，b 2=3.（以下略）评述：解法一选择了与a 较接近的未知元|PM |、|PN |，但需改造已知条件，以便利用正弦定理和面积公式；解法二以条件为主，选择了与条件联系最直接的未知元x 、y 、c .本题解法较多，但最能体现方程思想方法的、学生易于理解和接受的是这两种解法.深化拓展则若把△PMN 的面积为1改为PM ·PN =38，求椭圆方程. 提示：由tan ∠PMN =21，tan ∠MNP =－2， 易得sin ∠MPN =53，cos ∠MPN =54.由PM ·PN =38，得|PM ||PN |=310.易求得|PM |=3152，|PN |=315.进而求得椭圆方程为1542x +32y =1.【例2】 （2004年福建，22）如下图，P 是抛物线C ：y =21x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q .若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.xyOQMTP Sl剖析：欲求PQ 中点M 的轨迹方程，需知P 、Q 的坐标.思路一，P 、Q 是直线l 与抛物线C 的交点，故需求直线l 的方程，再与抛物线C 的方程联立，利用韦达定理、中点坐标公式可求得M 的轨迹方程；思路二，设出P 、Q 的坐标，利用P 、Q 的坐标满足抛物线C 的方程，代入抛物线C 的方程相减得PQ 的斜率，利用PQ 的斜率就是l 的斜率，可求得M 的轨迹方程.解：设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）、M （x 0，y 0），依题意知x 1≠0，y 1>0，y 2>0.由y =21x 2，①得y ′=x .∴过点P 的切线的斜率k 切=x 1， ∴直线l 的斜率k l =－切k 1=－11x ，直线l 的方程为y －21x 12=－11x （x －x 1）.②方法一：联立①②消去y ，得x 2+12x x －x 12－2=0. ∵M 为PQ 的中点，0=221x x +=－11x ，y 0=21x 12－11x （x 0－x 1）.消去x 1，得y 0=x 02+221x +1（x 0≠0），∴PQ 中点M 的轨迹方程为y =x 2+221x+1（x ≠0）. 方法二：由y 1=21x 12，y 2=21x 22，x 0=221x x +，得y 1－y 2=21x 12－21x 22=21（x 1+x 2）（x 1－x 2）=x 0（x 1－x 2），则x 0=2121x x y y --=k l =－11x ，∴x 1=－1x . 将上式代入②并整理，得y 0=x 02+221x +1（x 0≠0），∴PQ 中点M 的轨迹方程为y =x 2+221x +1（x ≠0）. 评述：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法.本题的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题.深化拓展当点P 在抛物线C 上移动时，求点M 到x 轴的最短距离. 提示：∵x ≠0，x 2>0，∴y =x 2+221x +1≥221+1=2+1，当且仅当x 2=221x ，x =±214时等号成立，即点M 到x 轴的最短距离为2+1.【例3】 （2000年春季全国）已知抛物线y 2＝4px （p ＞0），O 为顶点，A 、B 为抛物线上的两动点，且满足OA ⊥OB ，如果OM ⊥AB 于M 点，求点M 的轨迹方程.剖析：点M 是OM 与AB 的交点，点M 随着A 、B 两点的变化而变化，而A 、B 为抛物线上的动点，点M 与A 、B 的直接关系不明显，因此需引入参数.解法一：设M （x 0，y 0），则k OM =00x y ，k AB =－00y x， ∴直线AB 方程是y =－y x （x －x 0）+y 0. 由y 2=4px 可得x =py 42，将其代入上式，整理，得x 0y 2－（4py 0）y －4py 02－4px 02=0. ①此方程的两根y 1、y 2分别是A 、B 两点的纵坐标， ∴A （p y 421，y 1）、B （py 422，y 2）.∵OA ⊥OB ，∴k OA ·k OB =－1. ∴14y p ·24y p =－1.∴y 1y 2=－16p 2. 根据根与系数的关系，由①可得y 1·y 2=02020)(4x y x p +-，∴02020)(4x y x p +-=16p 2.化简，得x 02+y 02－4px 0=0，即x 2+y 2－4px =0（除去原点）为所求.∴点M 的轨迹是以（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设A 、B 两点坐标为A （pt 12，2pt 1）、B （pt 22，2pt 2）. ∴k OA =12t ，k OB =22t ，k AB =212t t +.∵OA ⊥OB ，∴t 1·t 2=－4. ∴AB 方程是y －2pt 1=212t t +（x －pt 12），①直线OM 的方程是y =－221t t +x . ② ①×②，得（px ）t 12+2pyt 1－（x 2+y 2）=0.③∴直线AB 的方程还可写为y －2pt 2=212t t +（x －pt 22）.④由②×④，得（px ）t 22+（2py ）t 2－（x 2+y 2）=0.⑤由③⑤可知t 1、t 2是方程（px ）t 2+（2py ）t 2－（x 2+y 2）=0的两根. 由根与系数的关系可得t 1t 2=pxy x )(22+-.又t 1·t 2=－4，∴x 2+y 2－4px =0（原点除外）为所求点M 的轨迹方程.故M 的轨迹是以（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点. 解法三：设M （x ，y ），直线AB 方程为y =kx +b ， 由OM ⊥AB 得k =－yx. 由y 2=4px 及y =kx +b 消去y ，得 k 2x 2+x （2kb －4p ）+b 2=0.所以x 1x 2=22kb .消去x ，得ky 2－4py +4pb =0.所以y 1y 2=kpb4.由OA ⊥OB ， 得y 1y 2=－x 1x 2，所以k pk4=－22kb ，b =－4kp .故y =kx +b =k （x －4p ）. 用k =－yx代入，得 x 2+y 2－4px =0（x ≠0）.解法四：设点M 的坐标为（x ，y ），直线OA 的方程为y =kx ，显然k ≠0，则直线OB 的方程为y =－k1x .y =kx ， y 2=4px ， 类似地可得B 点的坐标为（4pk 2，－4pk ）， 从而知当k ≠±1时，由 解得A 点的坐标为（24k p ，kp4），k AB =)1(4)1(422k kp k k p -+ =k k-11.故得直线AB 的方程为y +4pk =k k-11（x －4pk 2），即（k1－k ）y +4p =x ， ① 直线OM 的方程为y =－（k1－k ）x . ② 可知M 点的坐标同时满足①②，由①及②消去k 便得4px =x 2+y 2，即（x －2p ）2+y 2=4p 2，但x ≠0，当k =±1时，容易验证M 点的坐标仍适合上述方程.故点M 的轨迹方程为（x －2p ）2+y 2=4p 2（x ≠0）， 它表示以点（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆.评述：本题考查了交轨法、参数法求轨迹方程，涉及了类比、分类讨论等数学方法，消参时又用到了整体思想法，对含字母的式子的运算能力有较高的要求，同时还需要注意轨迹的“完备性和纯粹性”.此题是综合考查学生能力的一道好题.深化拓展本题中直线AB 恒过定点（4p ，0），读者不妨探究一番.●闯关训练 夯实基础1.已知M （－2，0）、N （2，0），｜PM ｜－｜PN ｜＝4，则动点P 的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线左边一支 C.一条射线 D.双曲线右边一支 解析：利用几何性质. 答案：C2.（2003年河南）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线y =x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为－32，则此双曲线的方程是 A.32x －42y =1 B.42x －32y =1C.52x －22y =1 D.22x －52y =1解析：设双曲线方程为22a x －22b y =1.将y =x －1代入22a x －22by =1，整理得（b 2－a 2）x 2+2a 2x －a 2－a 2b 2=0.由韦达定理得x 1+x 2=2222b a a -，221x x +=222ba a -=－32. 由c 2=a 2+b 2求得a 2=2，b 2=5.答案：D3.曲线x 2＋4y 2＝4关于点M （3，5）对称的曲线方程为____________. 解析：代入法（或相关点法）.答案：（x －6）2+4（y －10）2=44.与圆x 2+y 2－4x =0外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是____________.解析：若动圆在y 轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x =－2的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在y 轴左侧，则动圆圆心轨迹是x 负半轴.答案：y 2=8x （x >0）或y =0（x <0）5.自抛物线y 2＝2x 上任意一点P 向其准线l 引垂线，垂足为Q ，连结顶点O 与P 的直线和连结焦点F 与Q 的直线交于R 点，求R 点的轨迹方程.解：设P （x 1，y 1）、R （x ，y ），则Q （－21，y 1）、F （21，0）， ∴OP 的方程为y =11x y x ，①FQ 的方程为y =－y 1（x －21）.②由①②得x 1＝x x212-，y 1＝xy 212-， 代入y 2＝2x ，可得y 2＝－2x 2+x .6.求经过定点A （1，2），以x 轴为准线，离心率为21的椭圆下方的顶点的轨迹方程. 解：设椭圆下方的焦点F （x 0，y 0），由定义2||AF =21，∴|AF |=1，即点F 的轨迹方程为（x 0－1）2+（y 0－2）2=1.又设椭圆下方顶点为P （x ，y ），则x 0=x ，y 0=23y ，∴点P 的轨迹方程是（x －1）2+（23y －2）2=1.培养能力7.AB 是圆O 的直径，且｜AB ｜＝2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使｜OP ｜＝｜MN ｜，求点P 的轨迹.解：以圆心O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如下图），则⊙O 的方程为x 2＋y 2＝a 2，设点P 坐标为（x ，y ），并设圆与y 轴交于C 、D 两点，作PQ ⊥AB 于Q ，则有||||OM OP ＝||||MN PQ .∵｜OP ｜＝｜MN ｜，∴｜OP ｜2＝｜OM ｜·｜PQ ｜. ∴x 2+y 2＝a ｜y ｜，即 x 2＋（y ±2a ）2＝（2a ）2. 轨迹是分别以CO 、OD 为直径的两个圆.8.过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.求△AOB 的重心G 的轨迹C 的方程.解：抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l 不垂直于x 轴时，设方程为y =k （x －1），代入y 2=4x ，得k 2x 2－x （2k 2+4）+k 2=0.设l 方程与抛物线相交于两点，∴k ≠0.设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），根据韦达定理，有x 1+x 2=22)2(2k k +，从而y 1+y 2=k （x 1+x 2－2）=k4. 设△AOB 的重心为G （x ，y ），x =3021x x ++=32+234k，y =3021y y ++=k34，∴y 2=34x －98.当l 垂直于x 轴时，A 、B 的坐标分别为（1，2）和（1，－2），△AOB 的重心G （32，0），也适合y 2=34x －98， 因此所求轨迹C 的方程为y 2=34x －98. 探究创新9.（2004年春季安徽）已知k ＞0，直线l 1：y =kx ，l 2：y =－kx .（1）证明：到l 1、l 2的距离的平方和为定值a （a ＞0）的点的轨迹是圆或椭圆； （2）求到l 1、l 2的距离之和为定值c （c ＞0）的点的轨迹. （1）证明：设点P （x ，y ）为动点，则则消去k ，得x =32+34（43y ）2，221||k kx y +-+221||k kx y ++=a ， 整理得2222)1(k a k x ++2)1(22ak y +=1. 因此，当k =1时，动点的轨迹为圆；当k ≠1时，动点的轨迹为椭圆.（2）解：设点P （x ，y ）为动点，则|y －kx |+|y +kx |=c 21k +.当y ≥k |x |时，y －kx +y +kx =c 21k +，即y =21c 21k +； 当y ≤－k |x |时，kx －y －y －kx =c 21k +，即y =－21c 21k +； 当－k |x |＜y ＜k |x |，x ＞0时，kx －y +y +kx =c 21k +，即x =k21c 21k +； 当－k |x |＜y ＜k |x |，x ＜0时，y －kx －y －kx =c 21k +，即x =－k 21c 21k +. 综上，动点的轨迹为矩形.●思悟小结1.求轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、代入、化简、检验.检验就是要检验点的轨迹的纯粹性和完备性.2.如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法.3.如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法.4.如果轨迹动点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （a ，b ），而Q （a ，b ）又在某已知曲线上，则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组，利用x 、y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程.此法称为代入法.5.如果轨迹动点P （x ，y ）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x 、y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数.6.注意参数的取值范围对方程的影响.●教师下载中心教学点睛1.已知曲线求方程或已知方程画曲线是解析几何中的两个基本问题.如何探求动点的轨迹方程呢？①从定义出发，还本索源.在探求动点的轨迹方程时，如能结合解析几何中某种曲线的定义，也就能寻找到解决问题的钥匙；②利用平面几何的性质.动点的轨迹与图形的性质相关，若某些轨迹与直线或圆有关，则可以利用三角形或圆的性质来帮助分析；③伴随曲线的思想和方法.如果点P 的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P 与点Q 的坐标之间可以建立起某种关系，则借助于点P 的运动轨迹，我们便可以得到点Q 的运动轨迹，这便是伴随曲线的思想方法.2.在探求轨迹的过程中，需要注意的是轨迹的“完备性”和“纯粹性”，也就是说既不能多，也不能少，因此，在求得轨迹方程之后，要深入地再思考一下：①是否还遗漏了一些点？是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在？②在所求得的轨迹方程中，x 、y 的取值范围是否有什么限制?拓展题例【例1】 是否存在同时满足下列条件的抛物线？若存在，求出它的方程；若不存在，请说明理由．（1）准线是y 轴；（2）顶点在x 轴上；（3）点A （3，0）到此抛物线上动点P 的距离最小值是2.解：假设存在这样的抛物线，顶点为（a ，0），则方程为y 2＝4a （x －a ）（a ≠0），设P （x 0，y 0），则y 02＝4a （x 0－a ），｜AP ｜2＝（x 0－3）2＋y 02＝［x 0－（3－2a ）］2＋12a －8a 2，令f （a ）＝｜AP ｜2，①当a ＞0时，有x 0≥a ，当3－2a ≥a 即a ∈（0，1］时，｜AP ｜2＝f （3－2a ），∴a ＝1或a ＝21； 抛物线方程为y 2＝4（x －1）或y 2＝2（x －21）. 当3－2a ＜a 即a ＞1时，｜AP ｜2＝f （a ）.∴a ＝5或a ＝1（舍），抛物线方程为y 2＝20（x －5）.②当a ＜0时，显然与已知矛盾，∴所求抛物线方程为y 2＝4（x －1）或y 2＝2（x －21）或y 2＝20（x －5）． 【例2】 （2003年太原市模拟题）已知椭圆的焦点为F 1（－1，0）、F 2（1，0），直线x =4是它的一条准线.（1）求椭圆的方程；（2）设A 1、A 2分别是椭圆的左顶点和右顶点，P 是椭圆上满足|PA 1|－|PA 2|=2的一点，求tan ∠A 1PA 2的值；（3）若过点（1，0）的直线与以原点为顶点、A 2为焦点的抛物线相交于点M 、N ，求MN 中点Q 的轨迹方程.解：（1）设椭圆方程为22a x +22by =1（a ＞b ＞0）. c =1，ca 2=4， c =1， a =2，由题设有 解得 ∴b 2=3.所求椭圆方程为42x +32y =1. （2）由题设知，点P 在以A 1、A 2为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上.由（1）知A 1（－2，0），A 2（2，0）， 设双曲线方程为22mx －22n y =1（m ＞0，n ＞0）. 2m =2，m =1， m 2+n 2=4， n =3.∴双曲线方程为x 2－32y =1.由 42x +32y =1， x 2－32y =1， 解得P 点的坐标为（5102，553）或（5102，－553）.当P 点坐标为（5102，553）时，tan ∠A 1PA 2=12121PA PA PA PA k k k k +-=－45. 同理当P 点坐标为（5102，－353）时， tan ∠A 1PA 2=－45.故tan ∠A 1PA 2=－45.（3）由题设知，抛物线方程为y 2=8x .设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），MN 的中点Q （x ，y ），当x 1≠x 2时，有y 12=8x 1， ① y 22=8x 2， ② x =221x x +， ③ y =221y y +， ④ 2121x x y y --=1-x y . ⑤①－②，得2121x x y y --（y 1+y 2）=8， 则解得将④⑤代入上式，有1 x y ·2y =8， 即y 2=4（x －1）（x ≠1）.当x 1=x 2时，MN 的中点为（1，0），仍满足上式.故所求点Q 的轨迹方程为y 2=4（x －1）.。
高三数学第一轮复习 轨迹方程的常用求法素材
【本讲主要内容】轨迹方程求轨迹方程的基本方法【知识掌握】 【知识点精析】1. 求曲线轨迹方程的基本步骤：⑴建立适当的平面直角坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(),M x y ；⑵寻找动点与已知点满足的关系式； ⑶将动点与已知点坐标代入； ⑷化简整理方程；⑸证明所得方程为所求曲线的轨迹方程。
通常求轨迹方程时，可以将步骤⑵和⑸省略。
2. 几种常用的求轨迹的方法：⑴直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x y 、的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。
用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。
⑵定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
⑶代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点(),P x y 却随另一动点()','Q x y 的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将','x y 表示为,x y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。
⑷参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使,x y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
说明：利用参数法求动点轨迹也是解决问题的常用方法，应注意如下几点：①参数的选择要合理，应与动点坐标,x y 有直接关系，且易以参数表达。
可供选择作参数的元素很多，有点参数、角参数、线段参数、斜率参数等。
②消参数的方法有讲究，基本方法有代入法、构造公式法等，解题时宜注意多加积累。
③对于所选的参数，要注意其取值范围，并注意参数范围对,x y 的取值范围的制约。
⑸几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后得出动点的轨迹方程。
2015届高三数学一轮复习课件：8-5 椭圆
第八章 第5讲
第14页
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抓住2个必备考点 突破3个热点考向
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迎战2年高考模拟
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02突破3个热点考向
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(×)
(3)平面内到点 A(0,2)，B(0，－2)距离之和等于 6 的点的轨迹
(√)
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[填一填] 设 P 是椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 上的点，若 F1，F2 是椭圆
(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方 程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴.
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标为(1，－1)，则 E 的方程为( )
A. 4x52 ＋3y62 ＝1 B. 3x62 ＋2y72 ＝1 C. 2x72 ＋1y82 ＝1 D. 1x82 ＋y92＝1
第八章 第5讲
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8.5.2、轨迹问题
高三数学第一轮复习讲义（54）轨迹问题（2）一、复习目标：1．掌握求轨迹方程的另几种方法——相关点法（代入法）、参数法（交规法）；2．学会用适当的参数去表示动点的轨迹，掌握常见的消参法．二、知识要点：1．相关点法（代入法）：对于两个动点，点在已知曲线上运动导00(,),(,)P x y Q x y P 致点运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为Q 然后将其代入已知曲线的方程即得到点的轨迹方程． 00(,)(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩Q 2．参数法（交规法）：当动点的坐标之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中P ,x y 间变量，并用表示动点的坐标，从而动点轨迹的参数方程消去参数，t t P ,x y ()()x f t y g t =⎧⎨=⎩t 便可得到动点的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有的范围确定出的P t ,x y 范围．三、课前预习：1．已知椭圆的右焦点为，、分别为椭圆上和椭圆外一点，且点分1162522=+y x F Q P Q FP 的比为，则点的轨迹方程为2:1P （ ） C ()A 14875)6(22=+-y x ()B 14875)6(22=++y x ()C 1144225)6(22=++y x ()D 11444225)32(22=++y x 2．设动点在直线上，为坐标原点，以为直角边，点为直角顶点作等腰P 01=-x O OP O 直角三角形，则动点的轨迹是 OPQ Q （ ）B 两条平行直线()A ()B 抛物线 双曲线()C ()D 3．已知点在以原点为圆心的单位圆上运动，则点的轨迹是 （ ） (,)P x y (,)Q x y xy +B 圆 抛物线 椭圆 双曲线()A ()B ()C ()D 4．双曲线关于直线对称的曲线方程是 22143x y -=20x y -+=22(2)(2)143y x ---=5．倾斜角为的直线交椭圆于两点，则线段中点的轨迹方程 4π1422=+y x B A ,AB 是 40(||x y x +=<四、例题分析：例1．动圆，过原点作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程． 22:(1)1C x y -+=O解：（一）直接法：设为过的任一条弦是其中点，则，则 OQ O (,)P x y CP OQ ⊥∴ ，即 0CP OQ ⋅= (1,)(,)0x y x y -=2211((01)24x y x -+=<≤（二）定义法：∵，动点在以为圆心，为直径的圆上， 090OPC ∠=P 1(,0)2M OC∴所求点的轨迹方程为 2211()(01)24x y x -+=<≤（三）参数法：设动弦的方程为，由 得： PQ y kx =22(1)1y kx x y =⎧⎨-+=⎩，设，的中点为，则： 22(1)20k x x +-=1122(,),(,)P x y Q x y PQ (,)x y ， 消去得 122121x x x k +==+21k y kx k ==+k 2211((01)24x y x -+=<≤ 小结：例2．求过点，离心率为，且以轴为准线的椭圆的下方的顶点轨迹方程． (1,2)A 12x解：设椭圆下方的焦点，椭圆的下方的顶点为 00(,)F x y由定义，∴，即点的轨迹方程是， ||1AF =F 2200(1)(2)1x y -+-= 又，∴点的轨迹方程为． 003,2x x y y ==P 223(1)(2)12x y -+-=例3．设椭圆方程为，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，1422=+y x 点P 满足，点N 的坐标为，当l 绕点M 旋转时，求： 1()2OP OA OB =+ 21,21(（1）动点P 的轨迹方程；（2）的最小值与最大值. ||NP （1）解法一：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为.1+=kx y记、由题设可得点A 、B 的坐标、是方程组 ),(11y x A ),,(22y x B ),(11y x ),(22y x的解. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y 将①代入②并化简得，，所以 032)4(22=-++kx x k于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y k k x x).44,4()2,2()(21222121k k k y y x x ++-=++=+= 设点P 的坐标为则),,(y x ①②消去参数k 得 ③ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x 0422=-+y y x当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为 .0422=-+y y x解法二：设点P 的坐标为，因、在椭圆上，所以 ),(y x ),(11y x A ),(22y x B④ ⑤ ,142121=+y x .142222=+y x④—⑤得，所以 0)(4122212221=-+-y y x x .0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x 当时，有 ⑥ 21x x ≠.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x 并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 ⑧ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y x y y y y x x x .0422=-+y y x 当时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0） 21x x =也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x五、课后作业： 班级 学号 姓名1．抛物线经过焦点的弦的中点的轨迹方程是 x y 42= （ ）()A 12-=x y ()B )1(22-=x y ()C 212-=x y ()D 122-=x y 2．已知椭圆的左、右顶点分别为和，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的22194x y +=1A 2A 两个交点分别为和，其中的纵坐标为正数，则直线与的交点的轨1P 2P 1P 11A P 22A P M 迹方程（ ） ()A 22194x y +=()B 22194y x += ()C 22194x y -=()D 22194y x -=3．已知抛物线的顶点为，那么当变化时，此抛物线焦点)(12R m mx x y ∈-+-=A m F的轨迹方程是___________________________．4．自椭圆上的任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的221204x y +=P x Q PQ M 轨迹方程为5．已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，△MF 1F 2的重心G 恰为椭圆上的点，则点15922=+y x 的轨迹方程为 ． M 6．如图， 7．设为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量，若向量,x y R ∈,i j ,x y ，，求点的轨迹C 的方程． (5)a x i y j =++ (5)b x i y j =-+ ||||8a b -= (,)M x y7．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两个观测点晚，已知各观测点到中心4s 的距离都是，试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为；1020m 340/m s 相关各点均在同一平面上）8．设双曲线的离心率为，右准线与两条渐近线交于两2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>e l ,P Q 点，右焦点为，且为等边三角形．F PQF ∆ （1）求双曲线的离心率的值；（2）若双曲线被直线截得的弦长为C e C y ax b =+，求双曲线的方程；（3）设双曲线经过点，以为左焦点，为左准22b e aC C (1,0)F l 线的椭圆，其短轴的端点为，求中点的轨迹方程．B BF。
2015年高考数学一轮总复习配套课件：8.5椭圆
对称性|AF|+|BF|=2a=14,得 a=7.又|OF|=c=5,故离心率 e=7.
考点一
考点二
考点三
第十四页，编辑于星期五：十一点 十三分。
探究突破
方法提炼
求椭圆的离心率,常见的有三种方法:一是通过已知条件列方程组,解出
a,c 的值;二是由已知条件得出关于 a,c 的二元齐次方程,然后转化为关于离
1
A.
2
2
B.
3
3
C.
4
4
D.
5
解析:令 c= 2 -2 .如图,据题
意,|F2P|=|F1F2|,∠F1PF2=30°,
∴∠F1F2P=120°,∴∠PF2x=60°,
∴|F2P|=2
3
-c
2
=3a-2c.
3
∵|F1F2|=2c,∴3a-2c=2c,∴3a=4c,∴ = ,
4
3
即椭圆的离心率为4.故选 C.
10
探究突破
考点一
求椭圆的标准方程
【例 1】已知
2
F1,F2 是椭圆 2
+
2
2 =1(a>b>0)的左、右焦点,A,B
分别是
此椭圆的右顶点和上顶点,P 是椭圆上一点,OP∥AB,PF1⊥x
轴,|F1A|= 10 + 5,则此椭圆的方程是
考点一
考点二
考点三
2
2
+ 5 =1
10
.
第十页，编辑于星期五：十一点 十三分。
考点二
考点三
第十九页，编辑于星期五：十一点 十三分。
探究突破
方法提炼
高考第一轮复习数学：85轨迹问题-教案(含习题及答案).
8.5 轨迹问题●知识梳理本节主要内容是轨迹的概念及轨迹方程的求法.求轨迹方程常用的方法：（1）结合解析几何中某种曲线的定义，从定义出发寻找解决问题的方法；（2）利用几何性质，若所求的轨迹与图形的性质相关，往往利用三角形或圆的性质来解问题；（3）如果点P 的运动轨迹或所在曲线已知，又点Q 与点P 之间的坐标可以建立某种关系，则借助点P 的轨迹可以得到点Q 的轨迹；（4）参数法.●点击双基1.动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是 A.中心在原点的椭圆 B.中心在（5，0）的椭圆 C.中心在原点的双曲线 D.中心在（5，0）的双曲线 解析：直接法. 答案：B2.（2005年春季北京，6）已知双曲线的两个焦点为F 1（－5，0）、F 2（5，0），P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|=2，则该双曲线的方程是A.22x －32y =1B.32x －22y =1C.42x －y 2=1D.x 2－42y =1解析：设双曲线的方程为22a x －22by =1.由题意||PF 1|－|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=（25）2. 又∵|PF 1|·|PF 2|=2， ∴a=2，b=1.故双曲线方程为42x －y 2=1.答案：C3.已知A （0，7）、B （0，－7）、C （12，2），以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是A.y 2－482x ＝1（y ≤－1）B.y 2－482x ＝1C.y 2－482x ＝－1D.x 2－482y ＝1解析：由题意｜AC ｜＝13，｜BC ｜＝15，｜AB ｜＝14，又｜AF ｜＋｜AC ｜＝｜BF ｜＋｜BC ｜， ∴｜AF ｜－｜BF ｜＝｜BC ｜－｜AC ｜＝2.故F 点的轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支.又c=7，a=1，b 2＝48，所以轨迹方程为y 2－482x ＝1（y ≤－1）.答案：A4.F 1、F 2为椭圆42x +32y =1的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________________.解析：延长F 1D 与F 2A 交于B ，连结DO ，可知DO=21F 2B=2，∴动点D 的轨迹方程为x 2+y 2=4. 答案：x 2+y 2=45.已知△ABC 中，B （1，0）、C （5，0），点A 在x 轴上方移动，且tanB+tanC=3，则 △ABC 的重心G 的轨迹方程为________________.解析：设A （x 0，y 0）， ∵tanB+tanC=3，∴100-x y －500-x y =3，点A 的轨迹方程为y 0=－43（x 02－6x 0+5）（x 0≠1且x 0≠5）.若 G （x ，y ）为△ABC 的重心，则由重心坐标公式：x=3510x ++，y=30y，∴x 0=3x －6，且y 0=3y.代入A 点轨迹方程得G 的轨迹方程为y －1=－49（x －3）2（x ≠37且x ≠311）.答案：y －1=－49（x －3）2（x ≠37且x ≠311）●典例剖析【例1】 在△PMN 中，tan ∠PMN=21，tan ∠MNP=－2，且△PMN 的面积为1，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点，且过点P 的椭圆的方程.MN剖析：如上图，以直线MN 为x 轴，线段轴，建立平面直角坐标系，则所求椭圆方程为22a x +22by =1.显然a 2、b 2是未知数，但a 2、b 2与已知条件没有直接联系，因此应寻找与已知条件和谐统一的未知元，或改造已知条件.解法一：如上图，过P 作PQ ⊥MN ，垂足为Q ，令|PQ|=m ，于是可得|MQ|=|PQ|cot ∠PMQ=2m ，|QN|=|PQ|cot ∠PNQ=21m. ∴|MN|=|MQ|－|NQ|=2m －21m=23m. 于是S △PMN =21|MN|·|PQ|=21·23m ·m=1.因而m=34，|MQ|=234，|NQ|=31，|MN|=3.|MP|=22||||PQ MQ +=34316+=3152，|NP|=22||||PQ NQ +=3431+=315.以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为22a x +22by =1（a＞b ＞0）.则2a=|MP|+|NP|=15，2c=|MN|=3，故所求椭圆方程为1542x +32y =1.解法二：设M （－c ，0）、N （c ，0），P （x ，y ），y ＞0，c x y + =21，cx y -=2， y ·c=1，解之，得x=635，y=332，c=23.设椭圆方程为b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2，则b 2·（635）2+a 2（332）2=a 2b 2，a 2－b 2=43，解之，得a 2=415，b 2=3.（以下略）评述：解法一选择了与a 较接近的未知元|PM|、|PN|，但需改造已知条件，以便利用正弦定理和面积公式；解法二以条件为主，选择了与条件联系最直接的未知元x 、y 、c.本题解法较多，但最能体现方程思想方法的、学生易于理解和接受的是这两种解法.深化拓展若把△PMN 的面积为1改为PM ·PN =38，求椭圆方程.提示：由tan ∠PMN=21，tan ∠MNP=－2，易得sin ∠MPN=53，cos ∠MPN=54.由PM ·PN =38，得|PM ||PN |=310.易求得|PM|=3152，|PN|=315.进而求得椭圆方程为1542x +32y =1.【例2】 （2004年福建，22）如下图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P且与抛物线C 交于另一点Q.若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.xyOQMTP Sl剖析：欲求PQ 中点M .思路一，P 、Q 是直线l 与抛物线C 的交点，故需求直线l 的方程，再与抛物线C 的方程联立，利用韦达定理、中点坐标公式可求得M 的轨迹方程；思路二，设出P 、Q 的坐标，利用P 、Q 的坐标满足抛物线C 的方程，则代入抛物线C 的方程相减得PQ 的斜率，利用PQ 的斜率就是l 的斜率，可求得M 的轨迹方程.解：设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）、M （x 0，y 0），依题意知x 1≠0，y 1>0，y 2>0.由y=21x 2，①得y ′=x.∴过点P 的切线的斜率k 切=x 1，∴直线l 的斜率k l =－切k 1=－11x ，直线l 的方程为y －21x 12=－11x （x －x 1）.②方法一：联立①②消去y ，得x 2+12x x －x 12－2=0. ∵M 为PQ 的中点，0=221x x +=－11x ，y 0=21x 12－11x （x 0－x 1）. 消去x 1，得y 0=x 02+221x +1（x 0≠0），∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+221x +1（x ≠0）. 方法二：由y 1=21x 12，y 2=21x 22，x 0=221x x +，得y 1－y 2=21x 12－21x 22=21（x 1+x 2）（x 1－x 2）=x 0（x 1－x 2），则x 0=2121x x y y --=k l =－11x ，∴x 1=－1x . 将上式代入②并整理，得y 0=x 02+2021x +1（x 0≠0），∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+221x+1（x ≠0）.评述：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法.本题的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题.深化拓展当点P 在抛物线C 上移动时，求点M 到x 轴的最短距离.提示：∵x ≠0，x 2>0，∴y=x 2+221x +1≥221+1=2+1，当且仅当x 2=221x，x=±214时等号成立，即点M 到x 轴的最短距离为2+1. 【例3】 （2000年春季全国）已知抛物线y 2＝4px （p ＞0），O 为顶点，A 、B 为抛物线上的两动点，且满足OA ⊥OB ，如果OM ⊥AB 于M 点，求点M 的轨迹方程.∴剖析：点M 是OM 与AB 的交点，点M 随着A 、B 两点的变化而变化，而A 、B 为抛物线上的动点，点M 与A 、B 的直接关系不明显，因此需引入参数.解法一：设M （x 0，y 0），则k OM =00x y ，k AB =－00y x，直线AB 方程是y=－y x （x －x 0）+y 0. 由y 2=4px 可得x=py 42，将其代入上式，整理，得x 0y 2－（4py 0）y －4py 02－4px 02=0. ①此方程的两根y 1、y 2分别是A 、B 两点的纵坐标，∴A （p y 421，y 1）、B （p y 422，y 2）.∵OA ⊥OB ，∴k OA ·k OB =－1. ∴14y p ·24y p =－1.∴y 1y 2=－16p 2. 根据根与系数的关系，由①可得 y 1·y 2=02020)(4x y x p +-，∴02020)(4x y x p +-=16p 2.化简，得x 02+y 02－4px 0=0，即x 2+y 2－4px=0（除去原点）为所求.∴点M 的轨迹是以（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设A 、B 两点坐标为A （pt 12，2pt 1）、B （pt 22，2pt 2）.∴k OA =12t ，k OB =22t ，k AB =212t t +.∵OA ⊥OB ，∴t 1·t 2=－4.∴AB 方程是y －2pt 1=212t t +（x －pt 12），①直线OM 的方程是y=－221t t +x.② ①×②，得（px ）t 12+2pyt 1－（x 2+y 2）=0.③∴直线AB 的方程还可写为y －2pt 2=212t t +（x －pt 22）.④由②×④，得（px ）t 22+（2py ）t 2－（x 2+y 2）=0.⑤由③⑤可知t 1、t 2是方程（px ）t 2+（2py ）t 2－（x 2+y 2）=0的两根. 由根与系数的关系可得t 1t 2=px y x )(22+-.又t 1·t 2=－4，∴x 2+y 2－4px=0（原点除外）为所求点M 的轨迹方程.故M 的轨迹是以（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点. 解法三：设M （x ，y ），直线AB 方程为y=kx+b ，由OM ⊥AB 得k=－y x.由y 2=4px 及y=kx+b 消去y ，得 k 2x 2+x （2kb －4p ）+b 2=0.所以x 1x 2=22k b .消去x ，得ky 2－4py+4pb=0.所以y 1y 2=kpb4.由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2，所以k pk4=－22kb ，b=－4kp.故y=kx+b=k （x －4p ）.用k=－yx代入，得x 2+y 2－4px=0（x ≠0）.解法四：设点M 的坐标为（x ，y ），直线OA 的方程为y=kx ，显然k ≠0，则直线OB 的方程为y=－k1x.y=kx ， y 2=4px ， 类似地可得B 点的坐标为（4pk 2，－4pk ）， 从而知当k ≠±1时，k AB =)1(4)1(422k k p k k p -+ =k k-11. 故得直线AB 的方程为y+4pk=k k-11（x －4pk 2），即（k1－k ）y+4p=x ， ① 直线OM 的方程为y=－（k1－k ）x. ② 可知M 点的坐标同时满足①②，由①及②消去k 便得4px=x 2+y 2，即（x －2p ）2+y 2=4p 2，但x ≠0，当k=±1时，容易验证M 点的坐标仍适合上述方程.故点M 的轨迹方程为（x －2p ）2+y 2=4p 2（x ≠0）， 它表示以点（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆.由 解得A 点的坐标为（24k p ，k p 4），评述：本题考查了交轨法、参数法求轨迹方程，涉及了类比、分类讨论等数学方法，消参时又用到了整体思想法，对含字母的式子的运算能力有较高的要求，同时还需要注意轨迹的“完备性和纯粹性”.此题是综合考查学生能力的一道好题.深化拓展本题中直线AB 恒过定点（4p ，0），读者不妨探究一番. ●闯关训练 夯实基础1.已知M （－2，0）、N （2，0），｜PM ｜－｜PN ｜＝4，则动点P 的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线左边一支 C.一条射线 D.双曲线右边一支 解析：利用几何性质. 答案：C2.（2003年河南）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为－32，则此双曲线的方程是 A.32x －42y =1 B.42x －32y =1C.52x －22y =1D.22x －52y =1解析：设双曲线方程为22a x －22b y =1.将y=x －1代入22a x －22by =1，整理得（b 2－a 2）x 2+2a 2x －a 2－a 2b 2=0.由韦达定理得x 1+x 2=2222b a a -，221x x +=222b a a -=－32.由c 2=a 2+b 2求得a 2=2，b 2=5. 答案：D3.曲线x 2＋4y 2＝4关于点M （3，5）对称的曲线方程为____________. 解析：代入法（或相关点法）.答案：（x －6）2+4（y －10）2=44.与圆x 2+y 2－4x=0外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是____________.解析：若动圆在y 轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=－2的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在y 轴左侧，则动圆圆心轨迹是x 负半轴.答案：y 2=8x （x>0）或y=0（x<0）5.自抛物线y 2＝2x 上任意一点P 向其准线l 引垂线，垂足为Q ，连结顶点O 与P 的直线和连结焦点F 与Q 的直线交于R 点，求R 点的轨迹方程.解：设P （x 1，y 1）、R （x ，y ），则Q （－21，y 1）、F （21，0），∴OP 的方程为y=11x yx ，①FQ 的方程为y=－y 1（x －21）.②由①②得x 1＝x x212-，y 1＝xy 212-， 代入y 2＝2x ，可得y 2＝－2x 2+x.6.求经过定点A （1，2），以x 轴为准线，离心率为21的椭圆下方的顶点的轨迹方程. 解：设椭圆下方的焦点F （x 0，y 0），由定义2||AF =21，∴|AF|=1，即点F 的轨迹方程为（x 0－1）2+（y 0－2）2=1. 又设椭圆下方顶点为P （x ，y ），则x 0=x ，y 0=23y ， ∴点P 的轨迹方程是（x －1）2+（23y －2）2=1. 培养能力7.AB 是圆O 的直径，且｜AB ｜＝2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使｜OP ｜＝｜MN ｜，求点P 的轨迹.解：以圆心O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如下图），则⊙O 的方程为x 2＋y 2＝a 2，设点P 坐标为（x ，y ），并设圆与y 轴交于C 、D 两点，作PQ ⊥AB 于Q ，则有||||OM OP ＝||||MN PQ .∵｜OP ｜＝｜MN ｜，∴｜OP ｜2＝｜OM ｜·｜PQ ｜. ∴x 2+y 2＝a ｜y ｜，即 x 2＋（y ±2a ）2＝（2a ）2. 轨迹是分别以CO 、OD 为直径的两个圆.8.过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.求△AOB 的重心G 的轨迹C 的方程.解：抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l 不垂直于x 轴时，设方程为y=k （x －1），代入y 2=4x ，得k 2x 2－x （2k 2+4）+k 2=0.设l 方程与抛物线相交于两点，∴k ≠0.设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），根据韦达定理，有x 1+x 2=22)2(2k k +， 从而y 1+y 2=k （x 1+x 2－2）=k4.设△AOB 的重心为G （x ，y ），x=3021x x ++=32+234k，y=3021y y ++=k34，则消去k ，得x =32+34（43y ）2，∴y 2=34x －98.当l 垂直于x 轴时，A 、B 的坐标分别为（1，2）和（1，－2），△AOB 的重心G （32，0），也适合y 2=34x －98， 因此所求轨迹C 的方程为y 2=34x －98. 探究创新9.（2004年春季安徽）已知k ＞0，直线l 1：y=kx ，l 2：y=－kx.（1）证明：到l 1、l 2的距离的平方和为定值a （a ＞0）的点的轨迹是圆或椭圆； （2）求到l 1、l 2的距离之和为定值c （c ＞0）的点的轨迹. （1）证明：设点P （x ，y ）为动点，则221||k kx y +-+221||kkx y ++=a ， 整理得2222)1(k a k x ++2)1(22ak y +=1. 因此，当k=1时，动点的轨迹为圆； 当k ≠1时，动点的轨迹为椭圆.（2）解：设点P （x ，y ）为动点，则|y －kx|+|y+kx|=c 21k +.当y ≥k|x|时，y －kx+y+kx=c 21k +， 即y=21c 21k +； 当y ≤－k|x|时，kx －y －y －kx=c 21k +，即y=－21c 21k +； 当－k|x|＜y ＜k|x|，x ＞0时，kx －y+y+kx=c 21k +，即x=k21c 21k +；当－k|x|＜y ＜k|x|，x ＜0时，y －kx －y －kx=c 21k +，即x=－k21c 21k +.综上，动点的轨迹为矩形. ●思悟小结1.求轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、代入、化简、检验.检验就是要检验点的轨迹的纯粹性和完备性.2.如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法.3.如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法.4.如果轨迹动点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （a ，b ），而Q （a ，b ）又在某已知曲线上，则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组，利用x 、y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程.此法称为代入法.5.如果轨迹动点P （x ，y ）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x 、y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数.6.注意参数的取值范围对方程的影响. ●教师下载中心 教学点睛1.已知曲线求方程或已知方程画曲线是解析几何中的两个基本问题.如何探求动点的轨迹方程呢？①从定义出发，还本索源.在探求动点的轨迹方程时，如能结合解析几何中某种曲线的定义，也就能寻找到解决问题的钥匙；②利用平面几何的性质.动点的轨迹与图形的性质相关，若某些轨迹与直线或圆有关，则可以利用三角形或圆的性质来帮助分析；③伴随曲线的思想和方法.如果点P 的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P 与点Q 的坐标之间可以建立起某种关系，则借助于点P 的运动轨迹，我们便可以得到点Q 的运动轨迹，这便是伴随曲线的思想方法.2.在探求轨迹的过程中，需要注意的是轨迹的“完备性”和“纯粹性”，也就是说既不能多，也不能少，因此，在求得轨迹方程之后，要深入地再思考一下：①是否还遗漏了一些点？是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在？②在所求得的轨迹方程中，x 、y 的取值范围是否有什么限制?拓展题例【例1】 是否存在同时满足下列条件的抛物线？若存在，求出它的方程；若不存在，请说明理由．（1）准线是y 轴； （2）顶点在x 轴上；（3）点A （3，0）到此抛物线上动点P 的距离最小值是2.解：假设存在这样的抛物线，顶点为（a ，0），则方程为y 2＝4a （x －a ）（a ≠0），设P （x 0，y 0），则y 02＝4a （x 0－a ），｜AP ｜2＝（x 0－3）2＋y 02＝［x 0－（3－2a ）］2＋12a －8a 2，令f （a ）＝｜AP ｜2， ①当a ＞0时，有x 0≥a ，当3－2a ≥a 即a ∈（0，1］时，｜AP ｜2＝f （3－2a ），∴a ＝1或a ＝21； 抛物线方程为y 2＝4（x －1）或y 2＝2（x －21）. 当3－2a ＜a 即a ＞1时，｜AP ｜2＝f （a ）. ∴a ＝5或a ＝1（舍），抛物线方程为y 2＝20（x －5）. ②当a ＜0时，显然与已知矛盾，∴所求抛物线方程为y 2＝4（x －1）或y 2＝2（x －21）或y 2＝20（x －5）． 【例2】 （2003年太原市模拟题）已知椭圆的焦点为F 1（－1，0）、F 2（1，0），直线x=4是它的一条准线.（1）求椭圆的方程；（2）设A 1、A 2分别是椭圆的左顶点和右顶点，P 是椭圆上满足|PA 1|－|PA 2|=2的一点，求tan ∠A 1PA 2的值；（3）若过点（1，0）的直线与以原点为顶点、A 2为焦点的抛物线相交于点M 、N ，求MN 中点Q 的轨迹方程.解：（1）设椭圆方程为22a x +22by =1（a ＞b ＞0）.c=1， ca 2=4， c=1，a=2， 所求椭圆方程为42x +32y =1.（2）由题设知，点P 在以A 1、A 2为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上.由题设有 解得 ∴b 2=3.由（1）知A 1（－2，0），A 2（2，0）， 设双曲线方程为22mx －22n y =1（m ＞0，n ＞0）. 2m=2，m=1，m 2+n 2=4， n=3.∴双曲线方程为x 2－32y =1.由 42x +32y =1， x 2－32y =1， 解得P 点的坐标为（5102，553）或（5102，－553）.当P 点坐标为（5102，553）时，tan ∠A 1PA 2=12121PA PA PA PA k k k k +-=－45. 同理当P 点坐标为（5102，－353）时， tan ∠A 1PA 2=－45. 故tan ∠A 1PA 2=－45.（3）由题设知，抛物线方程为y 2=8x.设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），MN 的中点Q （x ，y ），当x 1≠x 2时，有y 12=8x 1， ① y 22=8x 2， ② x=221x x +， ③ y=221y y +， ④ 2121x x y y --=1-x y . ⑤①－②，得2121x x y y --（y 1+y 2）=8， 将④⑤代入上式，有1-x y ·2y=8， 即y 2=4（x －1）（x ≠1）.当x 1=x 2时，MN 的中点为（1，0），仍满足上式.故所求点Q 的轨迹方程为y 2=4（x －1）.则 解得。
轨迹问题
课本原题2 课本原题 2（ 试验修订本 数学第二册（ 上）P85 数学第二册（ 小结与复习例2 小结与复习例2）： 求证到圆心距离为a 求证到圆心距离为a （a＞0）的两个相离定圆 的切线长相等的点的轨迹 是直线。（ 。（图 是直线。（图1 ） 图1
y O A x B C P
变式： 2005年高考 江苏卷） 年高考· 变式：（2005年高考·江苏卷） 如图2 如图2，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4， 与圆O 的半径都是1 =4， 过动点P分别作圆O 与圆O 的切线PM、PN（ 过动点P分别作圆O1与圆O2的切线PM、PN（M、 N分别为切点），使得PM= 2PN，试建立适当的 分别为切点），使得 ），使得PM= PN， 坐标系，并求动点P的轨迹方程。 坐标系，并求动点P的轨迹方程。
图2
思维感悟 ：
数学教材始终是高考数学命题的源头活水， 数学教材始终是高考数学命题的源头活水，高 考试题有相当一部分是源于教材，即从课本的例题、 考试题有相当一部分是源于教材，即从课本的例题、 习题出发，采取科学的组合、加工、扩展或赋予新 习题出发，采取科学的组合、加工、 的背景等形成的，充分体现了教材的基础作用。 的背景等形成的，充分体现了教材的基础作用。因 在复习过程中，用好教材是复习的关键， 此，在复习过程中，用好教材是复习的关键，复习 时对教材进行深加工，在每一堂复习课中， 时对教材进行深加工，在每一堂复习课中，尽量引 入一些课本典型例题、习题，从解题思路， 入一些课本典型例题、习题，从解题思路，解题方 解题规律等方面作一些探索， 法，解题规律等方面作一些探索，并做一些变式研 使之与高考试题接近。 究，使之与高考试题接近。
例 1
已知直角坐标平面上点Q( 已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C Q(2 和圆C 动点M到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ> |MQ|的比等于常数λ(λ>0 求动点M的轨迹方程， 的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0)，求动点M的轨迹方程，说 明它表示什么曲线。 明它表示什么曲线。 切圆于N，则动点M组成的集合是 解：如图，设MN切圆于 ，则动点 组成的集合是 如图， 切圆于 P=｛M||MN|=λ|MQ|｝，常数 ＞0 ｛ ｝ 常数λ＞ y 圆的半径|ON|=1 ∵圆的半径 N ∴|MN|2 = |MO|2－|ON|2 =|MO|2－1 设点M的坐标为 的坐标为（ ， ） 设点 的坐标为（x，y），则 O
提升高考数学第一轮专项复习教案8.5轨迹问题
高考数学第一轮专项复习教案8.5轨迹问题第二单元人物画廊 5.孔乙己hèyàn chuò1．字音字形yǎo chàn zhàn dǐ jiàn 惋唠叨chuò kǎn xiè 2．词语积累(1)阔绰：_________________________________________。
(2)________：谋生，筹划如何生活。
(3)颓唐：_________________________________________。
(4)大抵：_________________________________________。
(5)污人清白：_____________________________________。
(6)君子固穷：_____________________________________。
(7)不屑置辩：______________________________________。
阔气精神委靡毁坏人家的名誉“君子”能够安于穷困不值得辩论大都营生3．作家作品周树人豫才阿Q 正传祝福鲁迅(1881—1936)，中国现代文学家、思想家和革命家，中国现代文学的奠基人。
原名________，字______，浙江绍兴人。
1918 年首次以“鲁迅”为笔名发表小说《狂人日记》，其代表作还有《_________》、《_________》、《孔乙己》、《药》等。
4．文意感知科举制度封建社会这篇小说以极其经济的笔墨和典型的生活细节，塑造了孔乙己这一被残酷地抛弃于社会底层、生活穷困潦倒、最终被强大的黑暗势力所吞没的读书人形象，反映了封建文化和封建教育对读书人的毒害，控诉了____________的罪恶，揭示了____________ 的世态炎凉。
文中人们冷漠麻木、思想昏沉的精神状态，社会对于不幸者的冷酷，从侧面反映了封建社会的腐朽和病态。
大纲版数学理科高考总复习8-5轨迹问题
• 1．若点P到直线x＝－1的距离比它到 点(2,0)的距离小于1，则点P的轨迹为
()
• A．圆
B．椭圆
• C．双曲线
D．抛物线
• 解析：把P到直线x＝－1向左平移一个 单位，两个距离就相等了，它就是抛 物线的定义．
• 答案：D
• 2 ． 已 知 A(0 ， － 5) ， B(0,5) ， |PA| － |PB|＝2a，当a＝3和5时，P点的轨迹 为( )
所以x1＋x2＝4－＋2kk2
，
y1＋y2＝4＋8 k2
于是O→P＝21(O→A＋O→B)＝(x1＋2 x2，y1＋2 y2)
＝(4－＋kk2，4＋4 k2)
设点 P 的坐标为(x，y)，
则x＝4－＋kk2 y＝4＋4 k2
消去参数 k 得
4x2＋y2－y＝0
③
当直线 l 的斜率不存在时，A、B 的中点坐标为原
• 求点P的轨迹C.
解：设点 P 的坐标为(x，y)，则 d＝4 x－32＋y2
＋3|x－2|.
由题设知，d＝18＋x，即 4 x－32＋y2＋3|x
－2|＝18＋x①
当 x>2 时，由①得 x－32＋y2＝6－12x，②
化简得3x62 ＋2y72 ＝1. 当 x≤2 时，由①得
x－32＋y2＝3＋x，③ 化简得 y2＝12x.
故点 P 的轨迹 C 是由椭圆 C1：3x62 ＋2y72 ＝1 在直线 x＝2 的右侧部分与抛物线 C2：y2＝12x 在直线 x＝2 的 左侧部分(包括它与直线 x＝2 的交点)所组成的曲线， 如下图．
• 题型二 定义法求轨迹方程
• 典例2 已知Q是双曲线x2－y2＝1上任 一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个 焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线， 垂足为N，试求点N的轨迹方程．
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8.5 轨迹问题
一、知识梳理
本节主要内容是轨迹的概念及轨迹方程的求法.求轨迹方程常用的方法：（1）结合解析几何中某种曲线的定义，从定义出发寻找解决问题的方法；（2）利用几何性质，若所求的轨迹与图形的性质相关，往往利用三角形或圆的性质来解问题；（3）如果点P 的运动轨迹或所在曲线已知，又点Q 与点P 之间的坐标可以建立某种关系，则借助点P 的轨迹可以得到点Q 的轨迹；（4）参数法.
一、典例剖析
【例1】 在△PMN 中，tan ∠PMN =2
1，tan ∠MNP =－2，且△PMN 的面积为1，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点，且过点P 的椭圆的方程.
M N
剖析：如上图，以直线MN 为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标
系，则所求椭圆方程为22a x +22
b
y =1.显然a 2、b 2是未知数，但a 2、b 2与已知条件没有直接联系，因此应寻找与已知条件和谐统一的未知元，或改造已知条件.
解：如上图，过P 作PQ ⊥MN ，垂足为Q ，
令|PQ |=m ，于是可得|MQ |=|PQ |cot ∠PMQ =2m ，|QN |=|PQ |cot ∠PNQ =21m . ∴|MN |=|MQ |－|NQ |=2m －
21m =2
3m . 于是S △PMN =21|MN |·|PQ |=21·23m ·m =1. 因而m =34，|MQ |=23
4，|NQ |=31，|MN |=3. |MP |=22||||PQ MQ +=3
4316+=3152， |NP |=22||||PQ NQ +=
3431+=315. 以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为22a x +22
b
y =1
（a ＞b ＞0）.
则2a =|MP |+|NP |=15，
2c =|MN |=3，
【例2】如下图，P 是抛物线C ：y =2
1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q .若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程
.
剖析：欲求PQ 中点M 的轨迹方程，需知P 、Q 的坐标.思路一，P 、Q 是直线l 与抛物线C 的交点，故需求直线l 的方程，再与抛物线C 的方程联立，利用韦达定理、中点坐标公式可求得M 的轨迹方程；思路二，设出P 、Q 的坐标，利用P 、Q 的坐标满足抛物线C 的方程，代入抛物线C 的方程相减得PQ 的斜率，利用PQ 的斜率就是l 的斜率，可求得M 的轨迹方程.
解：由y 1=
21x 12，y 2=21x 22，x 0=2
21x x +， 得y 1－y 2=21x 12－21x 22=21（x 1+x 2）（x 1－x 2）=x 0（x 1－x 2）， 则x 0=2121x x y y --=k l =－1
1x ， ∴x 1=－
01x . 将上式代入②并整理，得y 0=x 02+2021
x +1（x 0≠0），
∴PQ 中点M 的轨迹方程为y =x 2+
2
21x +1（x ≠0）. 评述：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法.本题的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题.
【例3】已知抛物线y 2＝4px （p ＞0），O 为顶点，A 、B 为抛物线上的两动点，且满足OA ⊥OB ，如果OM ⊥AB 于M 点，求点M 的轨迹方程.
剖析：点M 是OM 与AB 的交点，点M 随着A 、B 两点的变化而变化，而A 、B 为抛物线上的动点，点M 与A 、B 的直接关系不明显，因此需引入参数.
解法一：设M （x 0，y 0）， 则k OM =00x y ，k AB =－0
0y x ，
直线AB 方程是y =－0
0y x （x －x 0）+y 0. 由y 2
=4px 可得x =p y 42
，将其代入上式，整理，得 x 0y 2－（4py 0）y －4py 02－4px 02=0.
①
此方程的两根y 1、y 2分别是A 、B 两点的纵坐标， ∴A （p y 421，y 1）、B （p
y 422，y 2）. ∵OA ⊥OB ，∴k OA ·k OB =－1. ∴14y p ·2
4y p =－1.∴y 1y 2=－16p 2. 根据根与系数的关系，由①可得
y 1·y 2=0
2020)(4x y x p +-， ∴0
2020)(4x y x p +-=16p 2. 化简，得x 02+y 02－4px 0=0，
即x 2+y 2－4px =0（除去原点）为所求.
∴点M 的轨迹是以（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.
三、思悟小结
1.已知曲线求方程或已知方程画曲线是解析几何中的两个基本问题.如何探求动点的轨迹方程呢？①从定义出发，还本索源.在探求动点的轨迹方程时，如能结合解析几何中某种曲线的定义，也就能寻找到解决问题的钥匙；②利用平面几何的性质.动点的轨迹与图形的性质相关，若某些轨迹与直线或圆有关，则可以利用三角形或圆的性质来帮助分析；③伴随曲线的思想和方法.如果点P 的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P 与点Q 的坐标之间可以建立起某种关系，则借助于点P 的运动轨迹，我们便可以得到点Q 的运动轨迹，这便是伴随曲线的思想方法.
2.在探求轨迹的过程中，需要注意的是轨迹的“完备性”和“纯粹性”，也就是说既不能多，也不能少，因此，在求得轨迹方程之后，要深入地再思考一下：①是否还遗漏了一些点？是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在？②在所求得的轨迹方程中，x 、y 的取值范围是否有什么限制?。