(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第二章 第八节 函数的模型及其综合应用 理(全国通用)
高考数学一轮复习 第二章 函数 2.8 函数模型及其应用练习 理-人教版高三全册数学试题
§2.8函数模型及其应用考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.函数的实际应用问题了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义Ⅱ2016某某,7;2015某某,8;2014某某,16解答题★★☆2.函数的综合应用问题了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用,了解函数与方程、不等式之间的联系,并能解决一些具体的实际问题Ⅰ2015某某,15;2014某某,9;2013某某,8★★★分析解读为了考查学生的综合能力与素养,高考加强了函数综合应用问题的考查力度,这一问题一般涉及的知识点较多,综合性也较强,属于中档以上的试题,题型以填空题和解答题为主,在高考中分值为5分左右,通常在如下方面考查:1.对函数实际应用问题的考查,这类问题多以社会实际生活为背景,设问新颖,要求学生掌握课本中的概念、公式、法则、定理等基础知识与方法.2.以课本知识为载体,把函数与方程、不等式、数列、解析几何等知识联系起来,构造不等式求参数X围,利用分离参数法求函数值域,进而求字母的取值等.五年高考考点一函数的实际应用问题1.(2015某某,8,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A.16小时B.20小时C.24小时D.28小时答案 C2.(2013某某,5,5分)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )答案 C3.(2014某某,16,5分)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=.(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为辆/小时;(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/小时.答案(1)1900 (2)100教师用书专用(4)4.(2013某某,14,5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为(m).答案20考点二函数的综合应用问题1.(2014某某,9,5分)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是( )A.f(x)=B.f(x)=x2C.f(x)=tan xD.f(x)=cos(x+1)答案 D2.(2014某某,9,5分)若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为( )A.5或8B.-1或5C.-1或-4D.-4或8答案 D3.(2013课标全国Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值X围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]答案 D4.(2015某某,15,5分)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1,x2,设m=,n=.现有如下命题:①对于任意不相等的实数x1,x2,都有m>0;②对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n>0;③对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=n;④对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=-n.其中的真命题有(写出所有真命题的序号).答案①④教师用书专用(5—7)5.(2014某某,10,5分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角).若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值是( )A. B. C. D.答案 D6.(2013某某,8,5分)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,x n,使得==…=,则n的取值X围为( )A.{2,3}B.{2,3,4}C.{3,4}D.{3,4,5}答案 B7.(2014某某,15,5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x 时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D, f(a)=b”;②若函数f(x)∈B,则f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)答案①③④三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一函数的实际应用问题1.(2017某某质检,5)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是( )A.8B.9C.10D.11答案 C2.(2016东城期中,12)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元,某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如表所示:型号小包装大包装质量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格 3.0元8.4元则下列说法正确的是( )①买小包装实惠;②买大包装实惠;③卖3小包比卖1大包盈利多;④卖1大包比卖3小包盈利多.A.①②B.①④C.②③D.②④答案 D3.(2018某某某某期中,13)某商品价格y(单位:元)因上架时间x(单位:天)的不同而不同,假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数,即y=k·a x(a>0且a≠1,x∈N*).若商品上架第1天的价格为96元,而上架第3天的价格为54元,则该商品上架第4天的价格为元.答案考点二函数的综合应用问题4.(2018某某模拟,11)函数y=|log3x|的图象与直线l1:y=m从左至右分别交于点A,B,与直线l2:y=(m>0)从左至右分别交于点C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,则的最小值为( )A.81B.27C.9D.3答案 B5.(2017某某红桥期中联考,10)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表:x -1 0 4 5f(x) 1 2 2 1f(x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示:下列关于函数f(x)的命题:(1)函数y=f(x)是周期函数;(2)函数f(x)在(0,2)上是减函数;(3)如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;(4)当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点.其中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 A6.(2018某某某某外国语学校月考,16)对于定义域为[0,+∞)的函数f(x),如果同时满足下列三条:(1)对任意的x∈[0,+∞),总有f(x)≥0;(2)若x1≥0,x2≥0,则f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立;(3)若0≤x1<x2<1,则>1,则称函数f(x)为“超级囧函数”.则下列函数是“超级囧函数”的是.①f(x)=sin x;②g(x)=x2(x∈[0,1]);③h(x)=2x-1;④p(x)=ln(x+1).答案③7.(2016某某三校第一次联考,16)已知函数y=f(x),对定义域内的每一个值x1,在其定义域内都存在唯一的x2,使f(x1)·f(x2)=1成立,则称该函数为“依赖函数”.给出以下命题:①y=是“依赖函数”;②y=+sin x,x∈是“依赖函数”;③y=2x是“依赖函数”;④y=ln x是“依赖函数”;⑤y=f(x),y=g(x)都是“依赖函数”,且定义域相同,则y=f(x)·g(x)是“依赖函数”.其中所有真命题的序号是.答案②③8.(2016皖北第一次联考,19)某工厂某种商品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本C(x)万元,当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x;当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+-1 450.每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解析(1)∵每件商品售价为0.05万元,∴x千件商品销售额为0.05×1 000x万元.①当0<x<80时,L(x)=(0.05×1 000x)-x2-10x-250=-x2+40x-250;②当x≥80时,L(x)=(0.05×1 000x)-51x-+1 450-250=1 200-.综合①②可得,L(x)=(2)由(1)可知,L(x)=①当0<x<80时,L(x)=-x2+40x-250=-(x-60)2+950,∴当x=60时,L(x)取得最大值,最大值为L(60)=950;②当x≥80时,L(x)=1 200-≤1 200-2=1 200-200=1 000,当且仅当x=,即x=100时,L(x)取得最大值,最大值为L(100)=1 000.∵950<1 000,∴当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为1 000万元.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:30分时间:20分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018某某某某期中,12)已知定义在上的函数f(x)满足f(x)=f,且当x∈[1,π]时,f(x)=ln x,若函数g(x)=f(x)-ax在上有唯一的零点,则实数a的取值X围是( )A. B.∪{0}C.[0,πln π]D.∪{0}答案 D2.(2017某某某某、长郡中学等十三校联考,9)某大型民企为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该民企2016年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.12=0.05,lg 1.3=0.11,lg 2=0.30)( )A.2017年B.2018年C.2019年D.2020年答案 D3.(2017某某名校联考,12)设函数f(x)=-4x+2x+1-1,g(x)=lg(ax2-4x+1),若对任意x1∈R,都存在x2∈R,使f(x1)=g(x2),则实数a的取值X围为( )A.(0,4]B.(-∞,4]C.(-4,0]D.[4,+∞)答案 B二、填空题(共5分)4.(2016某某某某五校联盟一诊,9)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有>0.给出下列命题:①f(3)=0;②直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴;③函数y=f(x)在[-9,-6]上为增函数;④函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点.其中所有正确命题的序号为.(把所有正确命题的序号都填上)答案①②④三、解答题(共10分)5.(2017某某某某七校联考,20)某店销售进价为2元/件的产品A,假设该店产品A每日的销售量y(单位:千件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=+4(x-6)2,其中2<x<6.(1)若产品A的销售价格为4元/件,求该店每日销售产品A所获得的利润;(2)试确定产品A的销售价格x的值,使该店每日销售产品A所获得的利润最大.(保留1位小数)解析(1)当x=4时,销售量y=+4×(4-6)2=21千件,所以该店每日销售产品A所获得的利润是2×21=42千元.(2)该店每日销售产品A所获得的利润f(x)=(x-2)·=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2<x<6),从而f'(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6).令f '(x)=0,得x=(x=6舍去),在上, f '(x)>0,函数f(x)单调递增;在上, f '(x)<0,函数f(x)单调递减,所以x=是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,所以当x=≈3.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格为3.3元/件时,每日销售产品A所获得的利润最大.C组2016—2018年模拟·方法题组方法常见函数模型的理解1.(2018某某某某期末,14)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-T a=(T0-T a)·,其中T a称为环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时,还需要分钟.答案102.(2017某某重点高中联合协作体期中,21)某市居民用水收费标准如下:每户每月用水不超过15吨时,每吨2元,当用水超过15吨时,超过部分每吨3元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x吨,3x吨.(1)求y关于x的函数表达式;(2)若甲、乙两户该月共交水费114元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和所交水费.解析(1)y=(2)若0<x≤3,由16x=114,解得x=(舍去);若3<x≤5,由21x-15=114,解得x=(舍去);若x>5,由24x-30=114,解得x=6.所以甲户该月的用水量为5x=30吨,所交水费为15×2+(30-15)×3=75元;乙户该月的用水量为3x=18吨,所交水费为15×2+(18-15)×3=39元.3.(2017某某金溪一中等期中联考,19)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康有一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值;(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?解析(1)甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元,∴f(50)=80+4+×150+120=277.5.(2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,依题意,得⇒20≤x≤180,故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180).令t=,则t∈[2,6],则y=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,当t=8,即x=128时, f(x)max=282.所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大总收益为282万元.4.(2016某某晨曦等四校第一次联考,20)某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间满足关系:P=(其中c为小于6的正常数).(注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品)已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数;(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?解析(1)当x>c时,P=,∴T=x·2-x·1=0.当1≤x≤c时,P=,∴T=·x·2-·x·1=.综上,日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为wordT=(2)由(1)知,当x>c时,每天的盈利额为0万元,∴1≤x≤c.(i)当3≤c<6时,T==15-2≤15-12=3,当且仅当x=3时取等号.故T max=3,此时x=3.(ii)当1≤c<3时,由T'==>0知,函数T=在[1,c]上递增,∴当x=c时,T max=, 综上,若3≤c<6,则当日产量为3万件时,可获得最大利润; 若1≤c<3,则当日产量为c万件时,可获得最大利润.。
高三新高考一轮复习(人教A版)第2章第8节函数模型及其应用课件
2. 在 实 际 应 用
写错，故建议复习时务必养成良好
问题中求最值
的审题习惯.
的方法有哪
2.在解应用题建模后一定要注意定
些？
义域，建模的关键是注意寻找量与
量之间的相互依赖关系.
课时三省
课堂回眸
思维升华
误区防范
1.解应用题思路的关键是审题，不仅
1. 在 实 际 应 用
要明白、理解问题讲的是什么，还
问题中构造函
要特别注意一些关键的字眼(如
数的解析式，你
“几年后”与“第几年后”)，学生
解决实际问题的思维过程
是否注明定义
常常由于读题不谨慎而漏读和错
域了？
读，导致题目不会做或函数解析式
：
cm)
满
足
关
系
：
C(x)
＝
k 3x＋5
(0≤x≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8
万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最大？并求最小值.
[自主解答] (1)当 x＝0 时，C＝8，∴k＝40， ∴C(x)＝3x4＋0 5(0≤x≤10)， ∴f(x)＝6x＋230x×＋450＝6x＋38x＋005(0≤x≤10).
►规律方法 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系 数. 2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实 际问题，并进行检验.
[巩固演练]
2.已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量 q(x)(单
2016高考数学-函数模型及其应用
2016高考数学:函数模型及其应用
2016高考各科复习资料
2016年高三开学已经有一段时间了，高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大家系列准备了2016年高考复习，2016年高考一轮复习，2016年高考二轮复习，2016年高考三轮复习都将持续系统的为大家推出。
1、常见函数模型：(1)一次函数模型:;
(2)二次函数模型:;(3)指数型函数模型：;
(4)对数型函数模型：(5)幂函数型模型：2、函数模型的应用：一方面是利用已知的模型解决问题;另一方面是恰当建立函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测。
解函数应用题的一般步骤：
(1)审题：深入理解关键字句，为便于数据的处理可用表格(或图形)外理数据，便于寻找数据关系。
(2)建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。
(3)解模：根据建立的数学模型，选择合适方法，求出问题的解，要特别注意变量范围的限制。
(4)还原：将数学的问题的答案还原为实际问题的答案，在这以前一定要进行检验。
精心整理，仅供学习参考。
三年高考两年模拟(浙江版)届高考数学一轮复习第二章函数2.8函数与方程知能训练
§2.8函数与方程Ａ组基础题组1.(2015陕西二模)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续的,则下列说法正确的是( )A.若f(a)f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0B.若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0C.若f(a)f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0D.若f(a)f(b)<0,则有且只有一个实数c∈(a,b)使得f(c)=02.(2014湖北武汉4月调研,8)设a1,a2,a3均为正数,λ1<λ2<λ3,则函数f(x)=++的两个零点分别位于区间( )A.(-∞,λ1)和(λ1,λ2)内B.(λ1,λ2)和(λ2,λ3)内C.(λ2,λ3)和(λ3,+∞)内D.(-∞,λ1)和(λ3,+∞)内3.(2015浙江嘉兴一中一模,7)已知函数f(x)=若函数y=f[f(x)+a]有四个零点,则实数a的取值范围为( )A.[-2,2)B.[1,5)C.[1,2)D.[-2,5)4.(2015台州调考)若函数f(x)=a+|x|+log2(x2+2)有且只有一个零点,则实数a的值是( )A.-2B.-1C.0D.25.(2015浙江重点中学协作体适应性测试,8)函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是( )A.a<-B.a<-C.a<-D.-<a<-6.(2015浙江五校联考,10)已知函数f(x)=g(x)=则函数f[g(x)]的所有零点之和是( )A.-+B.+C.-1+D.1+7.(2015安徽,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.8.(2014福建,15,4分)函数f(x)=的零点个数是.9.(2015苏州调研)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数m的取值范围是.10.(2015陕西二模)若方程x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个在(1,2)内,则的取值范围是.11.(2016超级中学原创预测卷八,20,15分)已知函数f(x)=|(ax-1)(x-1)|(a∈R).(1)当a=时,求函数f(x)的单调区间;(2)当a>1时,若函数g(x)=f(x)-|x-a|至少有三个零点,求a的取值范围;(3)当0≤a≤1时,若对任意的x∈[0,2],都有m≥f(x)恒成立,求m的取值范围.B组提升题组1.(2015安徽,2,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )A.y=cosxB.y=sinxC.y=lnxD.y=x2+12.(2015浙江冲刺卷六,4)若关于x的方程=kx+2只有一个实数根,则k的取值范围为( )A.k=0B.k=0或k>1C.k>1或k<-1D.k=0或k>1或k<-13.(2015浙江三校联考)已知函数f(x)=xe x-ax-1,则关于f(x)的零点叙述正确的是( )A.当a=0时,函数f(x)有两个零点B.函数f(x)必有一个零点是正数C.当a<0时,函数f(x)有两个零点D.当a>0时,函数f(x)只有一个零点4.(2015温州二模,6,5分)已知f(x)=则方程f[f(x)]=2的根有( )A.3个B.4个C.5个D.6个5.(2015山东临沂一模,6)若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是( )A. B.C. D.6.(2015浙江温州十校期中,10,5分)设函数f(x)=e x+x-2,g(x)=lnx+x2-3,若实数a,b满足f(a)=g(b)=0,则( )A.g(a)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<07.(2016超级中学原创预测卷十,8,5分)设f(x)是定义在R上的偶函数.对任意的x∈R,都有f(x-2)=f(x+2),且当x∈[-2,0]时,f(x)=-1,若在区间[-2,6]内,关于x的方程f(x)-log a(x+2)=0(a>1)恰有3个不同的实根,则实数a的取值范围是( )A.(,2)B.(1,2)C.(,)D.(1,)8.(2016超级中学原创预测卷九,7,5分)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足以下两个条件:①对任意的x∈R,均有f(x)+f(-x)=0成立;②对任意的x1、x2∈R,若x1≠x2,则f(x1)≠f(x2).若函数g(x)=f(9x)+f(2-k×3x)(x∈R)有两个不同的零点,则实数k的取值范围为( )A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(-2,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)9.(2015湖南,14,5分)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是.10.若关于x的方程lg(ax)·lg(ax2)=4的所有解都大于1,求实数a的取值范围.11.(2016慈溪中学高三期中文,20,15分)已知函数f(x)=|x-a|-+a,a∈R.(1)当x∈[1,4]时,求函数f(x)的最大值的表达式M(a);(2)是否存在实数a,使得f(x)=3有且仅有3个不等实根,且它们成等差数列?若存在,求出所有a的值;若不存在,说明理由.12.(2016超级中学原创预测卷十,20,15分)已知定义在R上的函数f(x)=.(1)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性;(2)设函数g(x)=f(x)+,若g(x)在区间(-1,1)上有且仅有两个不同的零点,求实数m的取值范围.Ａ组基础题组1.B 取f(x)=(x-1)2,则f(x)在[0,2]上的图象是连续的,且f(0)=1>0,f(2)=1>0,所以f(0)f(2)>0.而存在1∈(0,2)使得f(1)=0.故选B.2.B f(x)=,设g(x)=a1(x-λ2)(x-λ3)+a2(x-λ1)(x-λ3)+a3(x-λ1)(x-λ2),则g(λ1)=a1(λ1-λ2)(λ1-λ3)>0,g(λ2)=a2(λ2-λ1)·(λ2-λ3)<0,g(λ3)=a3(λ3-λ1)(λ3-λ2)>0,则函数f(x)的两个零点分别位于区间(λ1,λ2)和(λ2,λ3)内.3.C y=f[f(x)+a]有四个零点,则方程f[f(x)+a]=0有四个根.易知f(x)+a=-1和f(x)+a=2都存在两个根,故-3<-a-1≤1且-3<-a+2≤1,解得1≤a<2.故选C.4.B将函数f(x)=a+|x|+log2(x2+2)的零点问题转化为函数f1(x)=-a-|x|的图象与f2(x)=log2(x2+2)的图象的交点问题.因为f2(x)=log2(x2+2)在[0,+∞)上单调递增,且为偶函数,因此其图象的最低点为(0,1),而函数f1(x)=-a-|x|也是偶函数,在[0,+∞)上单调递减,因此其图象的最高点为(0,-a),要满足题意,则-a=1,因此a=-1.5.C 函数f(x)在(0,+∞)上为单调函数,根据零点存在性定理知,函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点即f·f(1)=(-2a+2a+3)(4a+3)<0,解得a<-,故选C.6.B f(x)=的零点是2和-2.由f[g(x)]=0,得g(x)=±2.由g(x)=-2,解得x=-;由g(x)=2,解得x=1+或x=1-(舍去).所以函数f[g(x)]的所有零点之和为-+1+=+.7.答案-解析若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则方程2a=|x-a|-1只有一解,即方程|x-a|=2a+1只有一解,故2a+1=0,所以a=-.8.答案 2解析当x≤0时,由x2-2=0得x=-;当x>0时,f(x)=2x-6+lnx在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,所以f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.综上,f(x)的零点个数为2.9.答案1<m≤2解析由题意可得g(x)=因为函数g(x)恰有三个不同的零点,所以由方程g(x)=0解得的实根2,-3和1都在相应范围上,故1<m≤2.10.答案解析令f(x)=x2+ax+2b,由题意可得即此不等式组确定的平面区域如图所示.的几何意义为可行域内的点与C(1,2)连线的斜率.易知点A的坐标为(-3,1),点B的坐标为(-1,0),则k AC=,k BC=1,所以的取值范围是.11.解析(1)当a=时,f(x)=|(x-3)(x-1)|,可知f(x)的单调递增区间为[1,2],[3,+∞);单调递减区间为(-∞,1),(2,3).(2)当a>1时,0<<1,函数g(x)=f(x)-|x-a|至少有三个零点,可以看成函数f(x)的图象与函数y=|x-a|的图象至少有三个交点(如图所示).由方程组得ax2-(a+2)x+a+1=0,则Δ=[-(a+2)]2-4a(a+1)≥0,解得-≤a≤,又a>1,∴1<a≤.根据图象可知,当a∈时,f(x)的图象与函数y=|x-a|的图象至少有三个交点,即函数g(x)=f(x)-|x-a|至少有三个零点,故实数a的取值范围是.(3)①当a=0时,f(x)=|x-1|在[0,2]上的最大值为1.②当0<a≤1时,f(x)图象的对称轴为x=>0,Δ=(a-1)2≥0,当≥2,即0<a≤时,f(x)max=max{f(0),f(2)}=max{1,|2a-1|},而|2a-1|<1,所以f(x)max=1.当<2,即<a≤1时,f(x)max=max=max1,,|2a-1|,由<a≤1⇒<1且|2a-1|≤1,∴f(x)max=1.综上,实数m的取值范围是m≥1.B组提升题组1.A y=cosx是偶函数,且存在零点;y=sinx是奇函数;y=lnx既不是奇函数又不是偶函数;y=x2+1是偶函数,但不存在零点.故选A.2.D 由=kx+2,得(1+k2)x2+4kx=0,解得x1=0,x2=-,显然x1=0符合方程,要使方程=kx+2只有一个实数根,则x2=x1=0,或kx2+2<0.由x2=x1=0,得k=0.由kx2+2<0,即-+2<0,得k>1或k<-1,故选D.3.B f(x)=0⇔e x=a+,在同一坐标系中作出函数y=e x与y=的大致图象,可观察出A、C、D选项错误,B选项正确.4.C 由f[f(x)]=2,设f(a)=2,则f(x)=a,|log2a|=2,则a=4或a=,作出f(x)与y=a的图象(图略),由图可知,当a=时两图象有3个交点,a=4时两图象有2个交点,所以f[f(x)]=2的根有5个.5.C 由题意,得解得<m<.6.A 易知函数f(x)=e x+x-2是R上的增函数,且f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,故0<a<1,且x>a 时,f(x)>0;x<a时,f(x)<0.又易知g(x)=lnx+x2-3在(0,+∞)上是增函数,且g(1)=-2<0,g()=ln>0,故1<b<,且x>b时,g(x)>0;0<x<b时,g(x)<0.由0<a<1<b<,得f(b)>0,g(a)<0,故选A.7.A 由题意可知,f(x)=f(x+4),即f(x)的周期为4,在同一平面直角坐标系内,y=f(x)在区间[-2,6]内的图象与函数y=log a(x+2)的图象如图所示,若要保证方程f(x)=log a(x+2)在区间[-2,6]内有3个不同的实根,只需log a4<3<log a8,即4<a3<8,<a<2.8.A 由条件①可知,f(x)是R上的奇函数,所以函数g(x)=f(9x)+f(2-k×3x)(x∈R)有两个不同的零点等价于关于x的方程f(9x)+f(2-k×3x)=0,即f(9x)=f(k×3x-2)有两个不相等的实根.由条件②可知,f(x)为单调函数,则关于x的方程f(9x)=f(k×3x-2)有两个不相等的实根等价于9x-k×3x+2=0有两个不相等的实根,令t=3x,则t>0,则关于t的方程t2-kt+2=0有两个不相等的正实数根,所以解得k>2.9.答案(0,2)解析函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点等价于函数y=|2x-2|与y=b的图象有两个不同的交点.在同一坐标系中作出函数y=|2x-2|及y=b的图象,如图.由图可知b∈(0,2).10.解析原方程可化为(lga+lgx)·(lga+2lgx)=4,即2(lgx)2+3lga·lgx+(lga)2-4=0,令lgx=t,t>0,则有2t2+3lga·t+(lga)2-4=0的解都是正数,设f(t)=2t2+3lga·t+(lga)2-4,则解得lga<-2,∴0<a<,∴实数a的取值范围是.11.解析(1)当a≤1时,f(x)=x-,在[1,4]上单调递增,∴f(x)max=f(4)=3.当1<a≤2时,f(x)=在[1,a]上单调递增,在(a,4]上单调递增,∴f(x)max=f(4)=3.当2<a<4时,f(x)=在[1,2]上单调递增,在(2,a)上单调递减,在[a,4]上单调递增,∴f(x)max=max{f(2),f(4)}=当a≥4时,f(x)=2a-x-,在[1,2]上单调递增,在(2,4]上单调递减,∴f(x)max=f(2)=2a-4.综上所述,M(a)=(2)存在.函数f(x)=不妨设f(x)=3的3个根为x1,x2,x3,且x1<x2<x3.当x>a时,由f(x)=x-=3,解得x=-1或x=4.当a≤-1时,∵x2=-1,x3=4,∴x1=-6,由f(-6)=2a+6+=3,解得a=-,满足f(x)=3在(-∞,a)上有一解.当-1<a≤4时,x3=4,x1,x2是2a-x-=3在(-∞,a)上的两个解,即x1,x2是x2-(2a-3)x+4=0在(-∞,a)上的两个解,得到又f(x)=3的3个根x1,x2,x3成等差数列,且x1<x2<x3,所以2x2=x1+4, 解得或当a>4时,f(x)=3最多只有两个解,不满足题意.综上所述,a=-或a=1+.12.解析(1)设0<x 1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=-===,由0<x1<x2<1易知(x2-x1)(x1x2-1)<0,所以f(x1)-f(x2)<0.故函数f(x)在区间(0,1)上单调递增.(2)令g(x)=0,即+=0,化简得x(mx2+x+m+1)=0,所以x=0或mx2+x+m+1=0.若0是方程mx2+x+m+1=0的根,则m=-1.此时mx2+x+m+1=-x2+x=0,其另一根为1,不满足g(x)在(-1,1)上有且仅有两个不同的零点, 所以g(x)=f(x)+在(-1,1)上有且仅有两个不同的零点,等价于方程mx2+x+m+1=0(*)在区间(-1,1)上有且仅有一个非零的实根.(i)当m=0时,方程(*)的根为x=-1,不符合题意.(ii)当m≠0时,①当Δ=12-4m(m+1)=0时,m=.若m=,则方程(*)的根为x=-=-=-1∈(-1,1),符合题意;若m=,则方程(*)的根为x=-=-=--1∉(-1,1),不符合题意.所以m=.②当Δ>0时,<m<,且m≠0.令φ(x)=mx2+x+m+1,则由φ(-1)·φ(1)<0,得-1<m<0.综上,实数m的取值范围是(-1,0)∪.。
高考数学 2.8 函数模型及其应用
(a>1)的增长速度会越来越慢.因此,总会存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn
<ax(a>1,n>0). 2.函数模型及其应用 (1)常见的函数模型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数模 型.
(2)函数模型的应用实例的基本类型: ①给定函数模型解决实际问题; ②建立确定性的函数模型解决实际问题; ③建立拟合函数模型解决实际问题.
系式构成时,可以构造分段函数模型,先将其作为几个不同问题,将各段
的变化规律找出来,再将其合在一起,要注意各段自变量的范围,特别是 端点值. 3.指数函数模型常与人口增长、银行利率、细胞分裂等相结合进行考
查;而对数函数模型常与价格指数、环境承载力等有一定的联系.应用 指数函数模型或对数函数模型时,关键是对模型的判定,从而建立形如y =a· bx+c+d或y=alogb(cx+d)(a>0,b>0,且b≠1,c≠0)的函数模型,再利用指数 函数或对数函数的性质及函数图象来处理.
解法二:易知当EG恰为2.5米时,活动中心的截面面积最大,此时点G的坐
标为(30,2.5), 设过点G的太阳光线所在直线为l1,则l1的方程为y- 5 =- 3 (x-30),即3x+4y-1
2 4
00=0.
由直线l1与半圆H相切,得r= 而点H(r,h)在直线l1的下方, 则3r+4h-100<0,
例2 (2017江苏南京、盐城一模,18)如图所示,某街道居委会拟在EF地 段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心,其中AE=30米. 活动中心东西走向,与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下 半部分是长方形ABCD,上半部分是以DC为直径的半圆. 为了保证居民
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第8讲指数与指数函数精选教案理
第8讲指数与指数函数1．根式(1)根式的概念(2)两个重要公式①na n＝⎩⎨⎧！！！a###(n为奇数)，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧！！！a###(a≥0)，！！！－a###(a<0)(n为偶数)；②(na )n＝__a __(注意：a 必须使na 有意义)． 2．有理数的指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mna >0，m ，n ∈N *，且n >1)；②负分数指数幂：a －mn ＝！！！ 1a n###＝！！！ 1 ###(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于__0__,0的负分数指数幂__无意义__. (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s＝__ar ＋s__(a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝__a rs__(a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝__a r b r__(a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)na n与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( × ) (2)2a·2b＝2a b ．( × )(3)函数y ＝3·2x与y ＝2x ＋1都不是指数函数．( √ )(4)若a m<a n(a >0且a ≠1)，则m <n .( × ) (5)函数y ＝2－x在R 上为单调减函数．( √ ) 解析 (1)错误．当n 为偶数，a <0时，na 不成立．(2)错误.2a ·2b ＝2a ＋b≠2ab.(3)正确．两个函数均不符合指数函数的定义． (4)错误．当a >1时，m <n ；而当0<a <1时，m >n .(5)正确．y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，根据指数函数的性质可知函数在R 上为减函数．2．函数f (x )＝1－2x的定义域是( A ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析 ∵1－2x≥0，∴2x≤1，∴x ≤0. 3．已知函数f (x )＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( A )A ．(1,5)B ．(1,4)C ．(0,4)D ．(4,0)解析 当x ＝1时，f (x )＝5.4．不等式2x 2－x <4的解集为__{x |－1<x <2}__.解析 不等式2x 2－x <4可化为2x 2－x <22，由指数函数y ＝2x 的性质可得，x 2－x <2，解得－1<x <2，故所求解集为{x |－1<x <2}．5．若函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a解析 由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2，得－2<a <－1或1<a < 2.一 指数幂的化简与求值指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．【例1】 计算：(1)3a 92 a －3÷3a －73a 13；(2)(0.027) －13 －⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912 －(2－1)0；(3)已知m 12 ＋m －12＝4，求m 32 －m －32m 12 －m －12 .解析 (1)原式＝(a 92 a －32 )13 ÷(a －73 a 133 )12 ＝(a 3)13 ÷(a 2)12 ＝a ÷a ＝1．(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 000－13 －72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45.(3)∵m 12 ＋m －12 ＝4，∴m ＋m －1＋2＝16，∴m ＋m －1＝14， ∴m 32 －m －32 m 12 －m －12 ＝(m 12 －m －12 )(m ＋m －1＋1)m 12 －m －12＝m ＋m －1＋1＝14＋1＝15.二 指数函数的图象及应用指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a 和一条渐近线y ＝0.(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换，得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． 【例2】 (1)函数y ＝a x－1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( D )(2)若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是__[－1,1]__.解析 (1)函数y ＝a x－1a(a >0，且a ≠1)的图象必过点(－1,0)，故选D ．(2)曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．三 指数函数的性质及应用指数函数性质问题的类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．【例3】 已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R ，且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解析 (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，∴f (x )在R 上是增函数．∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x－e x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)存在，由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12，∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立．1．(2018·山东德州一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525 ，则( D ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <c <a解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x为减函数，∴b <c ，又∵y ＝x 25 在(0，＋∞)上为增函数，∴a >c ，∴b <c <a ，故选D ．2．(2018·北京模拟)已知函数f (x )＝a x，其中a >0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)＝( A )A ．1B ．aC ．2D ．a 2解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0，又∵f (x )＝a x，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A ．3．函数y ＝4x＋2x ＋1＋1的值域为( B )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析 令2x＝t (t >0)，则函数y ＝4x＋2x ＋1＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)．∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y >1．∴所求值域为(1，＋∞)，故选B ．4．函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( B )A ．14 B ．12 C ．2D ．4解析 ∵在[0,1]上y ＝a x与y ＝log a (x ＋1)具有相同的单调性，∴f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上单调，∴f (0)＋f (1)＝a ，即a 0＋log a 1＋a 1＋log a 2＝a ，化简得1＋log a 2＝0，解得a ＝12.易错点 忽视对含参底数的讨论错因分析：对数函数、指数函数的底数含字母参数时，要分底数大于1和大于0小于1讨论．【例1】 已知函数f (x )＝|a －1|a 2－9(a x －a －x)(a >0且a ≠1)在R 上为增函数，求a 的取值范围．解析 ①当a >1时，a x 在R 上为增函数，y ＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 在R 上为减函数，∴y ＝a x －a－x为增函数．∵f (x )为增函数，∴|a －1|a 2－9>0，解得a >3或a <－3，又∵a >1，∴a >3.②当0<a <1时，y ＝a x 在R 上为减函数，y ＝a －x在R 上为增函数， ∴y ＝a x－a －x在R 上为减函数．∵f (x )为增函数，∴|a －1|a 2－9<0，解得－3<a <1或1<a <3.又∵0<a <1，∴此时0<a <1．综上，a 的取值范围为(0,1)∪(3，＋∞)．【跟踪训练1】 (2018·东北三校联考)若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( D )A ．(0,1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 方程|a x－1|＝2a (a >0，且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x－1|与y ＝2a 有两个交点．①当0<a <1时，如图①，∴0<2a <1，即0<a <12；②当a >1时，如图②， 而y ＝2a >1不符合要求．∴0<a <12.课时达标 第8讲[解密考纲]本考点主要考查指数的运算、指数函数的图象与性质、简单的复合函数的单调性等，通常以选择题、填空题的形式呈现，题目难度中等或中等偏上．一、选择题1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243 ，b ＝425 ，c ＝2513 ，则( A ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析 因为a ＝243 ＝1613 ，b ＝425 ＝1615 ，c ＝2513 ，且幂函数y ＝x 13 在R 上单调递增，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，所以b <a <c .2．(2018·河南洛阳模拟)已知函数f (x )＝2x－2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( B )解析 |f (x )|＝|2x－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≥1，2－2x，x <1，易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1， 且过点(1,0)，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，故选B ．3．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( C )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)解析 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9，故选C ．4．(2018·山西太原模拟)函数y ＝2x －2－x是( A ) A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减解析 令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，排除C 项，D 项．又函数y ＝－2－x，y ＝2x 均是R 上的增函数，故y ＝2x －2－x在R 上为增函数，故选A ．5．(2018·浙江丽水模拟)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是( C )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－1,2)D ．(－3,4)解析 原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2，故选C ．6．(2018·山东济宁模拟)已知函数f (x )＝|2x－1|，a ＜b ＜c ，且f (a )＞f (c )＞f (b )，则下列结论中，一定成立的是( D )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ≥0，c ＞0C ．2－a＜2cD ．2a＋2c＜2解析 作出函数f (x )＝|2x－1|的图象，如图，∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )， 结合图象知0<f (a )<1，a <0，c >0， ∴0<2a<1．∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a<1， ∴f (c )<1，∴0<c <1，∴1<2c<2， ∴f (c )＝|2c －1|＝2c－1， 又∵f (a )>f (c )，∴1－2a >2c－1， ∴2a ＋2c<2，故选D ． 二、填空题7．已知函数f (x )＝a －x(a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是__(0,1)__.解析 因为f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ，且f (－2)>f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a>1，解得0<a <1．8．已知函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a ＝__3__.解析 y ＝a 2x ＋2a x －1(a >1)，令a x ＝t ，则y ＝t 2＋2t －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1a≤t ≤a ，此二次函数图象开口向上，对称轴为t ＝－1，又a >1，所以当t ＝a ，即x ＝1时取最大值，所以a 2＋2a －1＝14， 解得a ＝3.9．(2018·皖南八校联考)对于给定的函数f (x )＝a x－a －x(x ∈R ，a >0，a ≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是__①③④__(只需写出所有真命题的编号)．①函数f (x )的图象关于原点对称； ②函数f (x )在R 上不具有单调性； ③函数f (|x |)的图象关于y 轴对称； ④当0<a <1时，函数f (|x |)的最大值是0； ⑤当a >1时，函数f (|x |)的最大值是0.解析 ∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，f (x )的图象关于原点对称，①真；当a >1时，f (x )在R 上为增函数，当0<a <1时，f (x )在R 上为减函数，②假；y ＝f (|x |)是偶函数，其图象关于y 轴对称，③真；当0<a <1时，y ＝f (|x |)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x ＝0时，y ＝f (|x |)取最大值为0，④真；当a >1时，f (|x |)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x ＝0时，y ＝f (|x |)取最小值为0，⑤假．综上，真命题是①③④.三、解答题10．化简：(1)a 3b 23ab 2(a 14 b 12 )4a －13 b 13(a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278 －23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 解析 (1)原式＝(a 3b 2a 13b 23 ) 12ab 2a －13 b 13＝a 32 ＋16 ＋13 －1·b 1＋13 －2－13 ＝ab －1．(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12 －105－2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723 ＋50012 －10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 11．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a x 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解析 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a 2＋3－4a，∵f (x )有最大值，∴g (x )应有最小值，且g (x )min ＝3－4a(a >0)， ∴f (x )max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133－4a ＝3，∴3－4a ＝－1，∴a ＝1． 12．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解析 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得解集为t ⎪⎪⎪⎭⎬⎫t >1或t <－13.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
【3年高考2年模拟】(新课标)2016届高考数学一轮复习题组训练2.7函数模型及函数的综合应用3年高考
【3年高考】（新课标）2016版高考数学一轮复习 2.7函数模型及函数的综合应用A组2012—2014年高考·基础题组1.(2013课标全国Ⅱ,10,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( )A.∃x0∈R, f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f '(x0)=02.(2013安徽,10,5分)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是( )A.3B.4C.5D.63.(2014山东,15,5分)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是.4.(2014湖北,14,5分)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a, f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为M f(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得M f(a,b)=c=,即M f(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)= (x>0)时,M f(a,b)为a,b的几何平均数;(2)当f(x)= (x>0)时,M f(a,b)为a,b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)5.(2014浙江,17,4分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则tan θ的最大值是.(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)B组2012—2014年高考·提升题组1.(2012北京,8,5分)某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,m的值为( )A.5B.7C.9D.112.(2013天津,8,5分)已知函数f(x)=x(1+a|x|).设关于x的不等式f(x+a)<f(x)的解集为A.若⊆A,则实数a的取值范围是( )A. B.C.∪D.3.(2014四川,15,5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D, f(a)=b”;②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)4.(2013江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为.5.(2013湖南,16,5分)设函数f(x)=a x+b x-c x,其中c>a>0,c>b>0.(1)记集合M={(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b},则(a,b,c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为;(2)若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论正确的是.(写出所有正确结论的序号)①∀x∈(-∞,1), f(x)>0;②∃x∈R,使a x,b x,c x不能构成一个三角形的三条边长;③若△ABC为钝角三角形,则∃x∈(1,2),使f(x)=0.A组2012—2014年高考·基础题组1.C 由三次函数值域为R知f(x)=0有解,所以A项正确;因为y=x3的图象为中心对称图形,而f(x)=x3+ax2+bx+c的图象可以由y=x3的图象平移得到,故B项正确;若f(x)有极小值点,则f '(x)=0有两个不等实根x1,x2(x1<x2), f '(x)=3x2+2ax+b=3(x-x1)·(x-x2),则f(x)在(-∞,x1)上为增函数,在(x1,x2)上为减函数,在(x2,+∞)上为增函数,故C项错误;D项正确.故选C.2.A f '(x)=3x2+2ax+b,则x1,x2为f '(x)=0的两不等实根.即3(f(x))2+2af(x)+b=0的解为f(x)=x1或 f(x)=x2.不妨设x1<x2,则f(x)=x1有两解, f(x)=x2只有一解.故原方程共有3个不同实根.3.答案(2,+∞)解析函数g(x)=的图象是以坐标原点为圆心,2为半径的圆在x轴上及其上方的部分.由题意可知,对任意x0∈I,都有h(x0)+g(x0)=2f(x0),即(x0, f(x0))是点(x0,h(x0))和点(x0,g(x0))连线的中点,又h(x)>g(x)恒成立,所以直线f(x)=3x+b与半圆g(x)=相离且b>0.即解之得b>2.所以实数b的取值范围为(2,+∞).4.答案(1) (2)x解析(1)若M f(a,b)是a,b的几何平均数,则c=.由题意知,(a, f(a)),(,0),(b,-f(b))共线,∴=,∴=,∴可取f(x)=.(2)若M f(a,b)是a,b的调和平均数,则c=,由题意知,(a, f(a)),,(b,-f(b))共线,∴=,化简得=,∴可取f(x)=x.5.答案解析过点P作PN⊥BC于N,连结AN,则∠PAN=θ,如图.设PN=x m,由∠BCM=30°,得CN=x m.在直角△ABC中,AB=15 m,AC=25 m,则BC=20 m,故BN=(20-x)m.从而AN2=152+(20-x)2=3x2-40x+625,故tan2θ====.当=时,tan2θ取最大值,即当x=时,tan θ取最大值.B组2012—2014年高考·提升题组1.C 前m年的年平均产量为,由各选项知求,,,的最大值,问题可转化为求图中4个点A(5,S5),B(7,S7),C(9,S9),D(11,S11)与原点连线的斜率的最大值.由图可知k OC=最大,即前9年的年平均产量最高.故选C.2.A 显然a=0时,A=⌀,不满足条件.a>0时,易知f(0)=0,x>0时, f(x)=x(1+a|x|)>0,于是f(0+a)>0=f(0),而由已知⊆A可得0∈A,即f(0+a)<f(0),所以a>0也不满足条件,故a<0.易知f(x)=在坐标系中画出y=f(x)与y=f(x+a)的图象如图所示,由图可知满足不等式f(x+a)<f(x)的解集A=(x C,x B).由x(1-ax)=(x+a)[1-a(x+a)]可得x C=;由x(1+ax)=(x+a)[1+a(x+a)]可得x B=-.∴A=(a<0).由⊆A得解得<a<0.故选A.3.答案①③④解析依题意可直接判定①正确;令f(x)=2x(x∈(-∞,1]),显然存在正数2,使得f(x)的值域(0,2]⊆[-2,2],但f(x)无最小值,②错误;假设f(x)+g(x)∈B,则存在正数M,使得当x在其公共定义域内取值时,有f(x)+g(x)≤M,则f(x)≤M-g(x),又∵g(x)∈B,则存在正数M1,使g(x)∈[-M1,M1],∴-g(x)≤M1,即M-g(x)≤M+M1,∴f(x)≤M+M1,与f(x)∈A矛盾,③正确;当a=0时, f(x)=∈,即f(x)∈B,当a≠0时,∵y=al n(x+2)的值域为(-∞,+∞),而∈,此时f(x)无最大值,故a=0,④正确.4.答案-1或解析设P,则|PA|2=(x-a)2+=-2a+2a2-2,令t=x+≥2(x>0,当且仅当x=1时取“=”),则|PA|2=t2-2at+2a2-2.(1)当a≤2时,(|PA|2)min=22-2a×2+2a2-2=2a2-4a+2,由题意知,2a2-4a+2=8,解得a=-1或a=3(舍).(2)当a>2时,(|PA|2)min=a2-2a×a+2a2-2=a2-2.由题意知,a2-2=8,解得a=或a=-(舍),综上知,a=-1或.5.答案(1){x|0<x≤1}(2)①②③解析(1)由已知条件(a,b,c)∈M,c>a>0,c>b>0,a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b得2a≤c,即≥2.a x+b x-c x=0时,有2a x=c x,=2,解得x=lo2,∴0<x≤1,即f(x)=a x+b x-c x的零点的取值集合为{x|0<x≤1}.(2)对于①,∵c>a>0,c>b>0,∴0<<1,0<<1.此时函数y=+在(-∞,1)上为减函数,得+>+,又a,b,c是△A BC的三条边长,∴a+b>c,即+>1,得+>1,∴a x+b x>c x,∴∀x∈(-∞,1), f(x)=a x+b x-c x>0,故①正确;对于②,∵y=,y=在x∈R上为减函数,∴当x→+∞时,与无限接近于零,故∃x∈R,使+<1,即a x+b x<c x,所以a x,b x,c x不能构成一个三角形的三条边长,故②正确;对于③,若△ABC为钝角三角形,c为最大边,则a+b>c,a2+b2<c2,构造函数g(x)=+-1.又g(1)=+-1=>0,g(2)=+-1=<0,∴y=g(x)在(1,2)上存在零点,即∃x∈(1,2),使+-1=0,即f(x)=a x+b x-c x=0,故③正确.综上所述,结论正确的是①②③.。
【大高考】(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习第二章第二节函数的基本性质文(全国通用)
...【大高考】〔三年模拟一年创新〕2021届高考数学复习第二章第二节函数的根本性质文〔全国通用〕A 组专项根底测试三年模拟精选一、选择题1．(2021 ・XX XX 模拟) f ( x )是定义在 R 上的奇函数，当xx ≥０时， f ( x )＝ 3＋m ( m 为常数 )，那么 f (－ log 35)的值为 ()A ．－ 4C ．－ 6解析B ． 4D ． 6由题意 f (0)＝ 0，即 1＋ m ＝ 0，所以 m ＝－ 1，f (－ log 35)＝－ f (log 35)＝－ (3log 35－1)＝－ 4.答案A2．(2021 ・XX 市统考 )设 f ( x )是定义在 [－ 2，2]上的奇函数，假设 f ( x )在 [－ 2，0]上单调递2a 的取值X 围是 ()A ． [－ 1， 2]C ． (0， 1)B ． [－ 1， 0)∪(1， 2]D ． (－∞， 0)∪(1，＋∞〕解析2∵ f ( x )是 [－ 2， 2]上的奇函数，∴ f (0)＝ 0， f ( a － a )＜ 0＝ f (0)，又∵ f ( x )在 [－2，0]上单调递减，∴ 答案 -19Bf ( x )在 [0，2]也单调递减，故22即 a ∈[－ 1， 0)∪(1， 2]． 3．(2021・XX 模拟 )设函数 f ( x )( x ∈ R)满足 f (－x )＝ f ( x )， f ( x ＋2)＝ f ( x )，那么 y ＝ f ( x ) 的图象可能是 ()解析因为 f (－ x )＝ f ( x )，f ( x ＋ 2)＝ f ( x )，所以 f ( x )是周期为 2的偶函数，结合选项中的图象得出正确的答案为B.答案B4．(2021・东北四校联考2)函数 f ( x )＝ln(4＋ 3x － x )的单调递减区间是()...1减，那么使f ( a－a)＜0成立的实数a－a＞0，a－a≤2，...A.－∞，3 2B.3 2，＋∞ C.－ 1，32D.3， 4 2解析y ＝ ln t 在 (0，＋∞ )上为增函数，而23 2t ＝ 4＋ 3x －x ＝－ ( x － )＋ 2 25 43 在 (－∞， ]上为2增函数，在3，＋∞上为减函数，又2t ＞ 0，23故 f ( x )在 (－ 1， ]上为增函数，在2 答案-19D32，4上为减函数． 5．(2021・荆州模拟 )定义在 R 上的奇函数 f ( x )满足 f ( x ＋ 1)＝－ f ( x )，且在 [0， 1)上单调递增，记a ＝ f12， b ＝ f (2)， c ＝ f (3)，那么 a ， b ， c 的大小关系为 ()A ． a ＞ b ＝ c C ． b ＞ c ＞ aB. b ＞a ＝ cD ． a ＞c ＞ b解析依题意得， f ( x ＋ 2)＝－ f ( x ＋ 1)＝ f ( x )，即函数 f ( x )是以 2为周期的函数， f (2)＝ f (0)＝0， 又 f (3)＝－ f (2)＝ 0，且 f ( x )在 [0， 1)上是增函数，1于是 f ( )＞ f (0)＝ f (2)＝ f (3)，即 a ＞b ＝ c .2 答案A6．(2021・XXXX 二测)函数 f ( x )( x ∈ R)的图象如下图，那么函数g ( x )＝ f (log a x )(0＜ a ＜1)的单调减区间是 ()A. 0，1 2B ． (－∞， 0)∪12 C ． [ D ． [a ，1] a ， a ＋ 1]解析 由于 0＜ a ＜ 1， y ＝ log a x 是减函数，要求1f (log a x )的减区间，那么 0≤ log a x ≤，∴2a≤x ≤ 1.答案C...即 x － 3x － 4＜ 0，－ 1＜x ＜ 4，，＋∞二、填空题2...7．(2021・XX 模拟 )假设函数 f ( x )是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞ )上是单调递增函数，如果实数t 满足 f (lnt )＋ f ln1t≤ 2f(1)，那么 t 的取值X 围是 ________．解析由于函数 f ( x )是定义在 R 上的偶函数，所以 f (ln t )＝ f ln1t，由 f (ln t )＋ f ln1t≤2f (1)，得 f (lnt )≤ f (1)，又函数f ( x )在区间 [0，＋∞ )上是单调递增函数，所以|lnt |1≤1，－ 1≤ ln t ≤ 1，故≤ t ≤ e.e答案 1 e， e 三、解答题8．(2021・XXXXx － xR 的奇函数．(1)假设 f (1)>0，试求不等式23 2x － 2x 2－ 4f ( x )，求 g ( x )在 [1，＋∞ )上的最小值．解∵ f ( x )是定义域为 R 的奇函数，∴f (0)＝ 0，∴k － 1＝ 0，∴ k ＝ 1. (1)∵ f (1)>0，1a又 a >0且 a ≠1，∴ a >1.∵k ＝ 1， x － x∴f ( x )＝ a －a ，x∴f ( x )在 R 上为增函数，－x在R 上均为增函数，原不等式可化为222∴x >1或 x <－ 4，∴不等式的解集为{ x | x >1或 x <－ 4}．3 2...5 月模拟 ) 设函数 f ( x ) ＝ ka － a ( a >0 且 a ≠1) 是定义域为f ( x ＋ 2x ) ＋ f ( x － 4)>0 的解集；(2) 假设 f (1) ＝ ，且 g ( x ) ＝ a ＋ a∴a － >0，当 a >1 时， y ＝ a 和 y ＝－ af ( x ＋2x )> f (4 －x ) ，∴x ＋ 2x >4－x ， 即 x ＋ 3x － 4>0，(2) ∵ f (1) ＝ ，即 2a － 3a － 2＝ 0，1 3 ∴a －＝，a 223...1∴a ＝ 2或 a ＝－ (舍去 )，22x － 2xx －x x －x 2 x － x－ 4(2－ 2 )＝ (2－ 2 )－ 4(2－ 2 )＋ 2， x －x2∵t ＝ h ( x )在 [1，＋∞ )上为增函数 (由 (1)可知 )，3∴h ( x )≥ h (1)＝，23即 t ≥ .22 2∴当 t ＝ 2时， g ( t )取得最小值－ 2，即 g ( x )取得最小值－ 2，32 此时 x ＝ log 2(1＋ 故当 x ＝ log 2(1＋2)， 2)时，g ( x )有最小值－ 2.一年创新演练9．偶函数f ( x )在 [0，＋∞ )上为增函数，假设不等式2a的取值X 围为 (A ． (－ 2 3， 2) C ． (－ 2 2， 2))B ． (－ 2， 2)D ． (－ 2， 2 2)解析由于函数为偶函数，因此f ( ax － 1)＝ f (| ax － 1|)，2 2据单调性可得2 2f (| ax － 1|)＜ f (2＋ x ) ? | ax － 1|＜ 2＋ x ，据题意可得不等式2 2 222恒成立，据二次函数知识可知2a － 12＜0，2解得－ 2＜ a ＜ 2，应选 B. 答案B10．假设函数 f ( x )＝ cos x ＋ 2xf ′π 6，那么 f －π 3与 fπ3的大小关系是 ()...∴g ( x ) ＝ 2 ＋ 2令 t ＝ h ( x ) ＝ 2 － 2 ( x ≥1) ， 那么 g ( t ) ＝ t －4t ＋ 2.g ( t ) ＝ t － 4t ＋ 2＝ ( t －2) － 2， t ∈ ，＋∞ ，f ( ax － 1) ＜f (2 ＋ x ) 恒成立，那么实数f ( ax － 1) ＜f (2 ＋ x ) ? f (| ax － 1|) ＜ f (2 ＋x ) ，| ax － 1| ＜2＋ x 恒成立，即－ (2 ＋ x ) ＜ax － 1＜2＋ x ?x － ax ＋ 3＞ 0， x ＋ ax ＋ 1＞0a － 4＜ 0，4...＝ ， A ． f －π 3＝fπ 3B ． f －π 3＞ fπ 3C ． f －π 3＜ fπ 3D ．不确定解析由题意得 f ′〔x )＝－ sin x ＋ 2f ′π6，∴f ′π 6＝－ sinπ 6＋ 2f ′π 6，解得 f ′π 61 2∴f ′ ( x )＝－ sinx ＋1≥0，∴f ( x )＝ cos x ＋ x 是 R 上的增函数， ∵－π 3＜π 3，∴f －π 3＜ fπ 3，应选 C. 答案C5...B 组专项提升测试三年模拟精选一、选择题11．(2021 ・XX 省名校统考)定义在 R 上的函数 f ( x )满足 f (－ x )＝－ f ( x )， f ( x － 2)＝ f ( xx1＋2)，且 x ∈(－ 1，0)时 f ( x )＝ 2＋，那么 f (log 220)＝ (5)A ．－ 1 B. 4 5C ． 1D ．－4 5解析∵ x ∈(0， 1)，－ x ∈(－ 1， 0)，－ x1－x 1∴f (－ x )＝2＋＝－ f ( x )，即 f ( x )＝－ 2－， x ∈ (0， 1)．由 f ( x － 2)＝ f ( x ＋ 2)，可得5 5f ( x )＝ f ( x － 4)．∵ 4＜ log 220＜ 5，∴ 0＜ log 220－ 4＜ 1，∴ f (log 220)＝ f (log 220)＝ f (log 220－ 4)＝－ 2－1(log 220－ 4)－＝－ 1.5 答案A12．(2021 ・XX 市一诊 ) f ( x )是定义在 (0，＋∞ )上的函数，对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有 x 2f 〔 x 1〕－ x 1f 〔 x 2〕 x 1－x 2 ＜ 0，记 a ＝20.20.2，b ＝ 0.222， c ＝ f〔 lo g 25〕 lo g 25，那么 ()A ． a ＜ b ＜ cB ． b ＜ a ＜ cC ． c ＜ a ＜ bD ． c ＜ b ＜ a解析因为对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f 〔 x 1〕－ x 1f 〔 x 2〕x 1－ x 2＜ 0， 即对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f 〔x 1〕－ x 1f 〔x 2〕 x 1x 2x 1－ x 2＝ f 〔 x 1〕 f 〔 x 2〕 － x 1 x 2 x 1－ x 2＜ 0，所以函数 h ( x )＝ f 〔 x 〕 x是 (0，＋∞ )上的减函 2 0.2答案C二、填空题13．(2021・XXXX 二模)函数 f ( x )在实数集 R 上具有以下性质：①直线 x ＝1是函数 f ( x )的一条对称轴；② f ( x ＋ 2)＝－ f ( x )；③当 1≤ x 1＜ x 2≤3时，[ f ( x 2)－f ( x 1)]・〔x 2－x 1)＜ 0，那么 f (2 011)， f (2 012)， f (2 013)从大到小的顺序为________．解析由②知f ( x)的周期为4，由③知f ( x)在[1，3]上为减函数，∴f (2 011)＝f (3)，f (2 012)＝f (0)＝f (2)，f (2 013)＝f (1)，6f〔2〕f〔0.2〕数，因为0.2＜2＜log 25，所以b＞a＞c，应选C.∴f (1)＞f (2)＞f (3)，即f (2 013)＞f (2 012)＞f (2 011)．答案f (2 013)＞f (2 012)＞f (2 011)14．(2021・XXXX模拟)设函数f ( x)是定义在R上的偶函数，且对于任意x∈R恒有f ( x＋1)＝f ( x－1)．当x∈[0，1]时，f ( x)＝1 1－x2，那么①2是f ( x)的周期；②f ( x)在(1，2)上递减，在(2，3)上递增；③f ( x)的最大值为1，最小值为0；④当x∈(3，4)时，f ( x)＝其中正确命题的序号是________．1 x－3 2.解析由条件得f ( x＋2)＝f ( x)，那么f ( x)的周期为2，①正确；1 1＋x当－1≤ x≤０时，0≤－x≤1，f ( x)＝f (－x)＝( )2，函数y＝f ( x)的图象如下图，那么②正确，③错误；当3＜x＜4时，－1＜x－4＜0，f ( x)＝f ( x－4)＝1 x－3 2答案①②④三、解答题15．(2021・XX汉沽二模2 ax(1)讨论函数f ( x)的奇偶性，并说明理由；(2)假设函数f ( x)在[2，＋∞ )上为增函数，XX数a的取值X围．解2时，f (1)＝1＋a，f (－1)＝1－a，因此f (1)≠ f (－1)，且f (－1)≠－f (1)，2 a所以函数f ( x)＝x＋( x≠0)既不是奇函数，也不是偶函数．xa (2) f′〔x)＝2x－2＝x 3x 2，当a≤０时，f′( x)>0，那么f ( x)在[2，＋∞ )上是增函数；当a>0时，令f′〔x)＝32>0，解得x>3 a2 ，由f ( x)在[2，＋∞ )上是增函数，可知3 a2 ≤2，解得0<a≤16.综上，实数a的取值X围是(－∞，16]．7，④正确．)函数f ( x)＝x＋( x≠0，常数a∈R)．(1)函数f ( x)的定义域为{ x| x≠0}，当a＝0时，f ( x)＝x ( x≠0)，显然为偶函数；当a≠０2x－a2x－ax－a ) ＋ f (1 － a ) ＜ 0，那么实数a 的取值X 围是 ( f (1 － a ) ＋f (1 － a ) ＜ 0， 得 f (1 － a ) ＜f ( a － 1) ， 那么－ 1＜ 1－a ＜ a －1＜1， 一年创新演练16．函数 f ( x )的导函数为 f ′〔x )＝ 4＋3cos x ，x ∈ (－ 1，1)，且 f (0)＝ 0，如果 f (12)A ． (1，2)B ． (0， 1)C ． (－∞， 1)∪ (2，＋∞ )D ． (－∞，－ 2)∪(1，＋∞〕解析f ′〔x )＝ 4＋ 3cos x ＞0在 (－ 1，1)上恒成立，∴f ( x )在 (－ 1， 1)上为增函数，又f ′〔x )为偶函数， 那么 f ( x )为奇函数，由222∴a ∈ (1，2)．答案A17．函数 y ＝f ( x )是定义在 R 上的偶函数，对任意 x ∈ R 都有 f ( x ＋6)＝ f ( x )＋ f (3)，当x 1，x 2∈ [0， 3]，且 x 1≠ x 2时， f 〔x 1〕－ f 〔 x 2〕 x 1－ x 2＞ 0，给出如下命题：①f (3)＝ 0；②直线 x＝－ 6是函数 y ＝ f ( x )的图象的一条对称轴；③函数y ＝f ( x )在 [－9，－ 6]上为增函数；④函数 y ＝ f ( x )在 [－ 9， 9]上有四个零点，其中所有正确命题的序号为()A ．①②B ．②④C ．①②③D ．①②④解析依题意可得 f (－ 3＋ 6)＝f (－ 3)＋f (3)，即 f (－ 3)＝ 0，又 f ( x )是定义在 R 上的偶函数， 所以 f (3)＝ f (－ 3)＝ 0，①正确；由①知 f ( x ＋ 6)＝ f ( x )，即函数 f ( x )是以 6为周期的周期函数，那么 又 f ( x )＝ f (－ x )，因此有 f ( x － 6)＝ f (－ 6－ x )，f ( x － 6)＝ f ( x ＋ 6)． 即函数 f ( x )的图象关于直线x ＝－ 6对称，②正确；依题意知，函数f ( x )在 [0， 3]上是增函数， 那么函数 f ( x )在 [－ 3， 0]上是减函数， 又函数 f ( x )是以 6为周期的周期函数，因此函数 y ＝ f ( x )在[－ 9，－ 6]上是减函数，③不正确；结合函数 y ＝ f ( x )的图象可知 f (－ 9)＝ f (9)＝ f (3)＝ f (－3)＝ 0， 故函数 y ＝f ( x )在 [－ 9， 9]上有四个零点，④正确．综上所述，其中所有正确命题的序号为①②④，选D.答案D8。
【3年高考2年模拟】(新课标)版高考数学一轮复习 2.7函数模型及函数的综合应用课件
(1)直线模型:即一次函数模型y=kx+b(k≠0),其增长特点是直线上升(x的系 数k>0),通过图象可以很直观地认识它. (2)指数函数模型:能用指数函数表达的函数模型,其增长特点是随着自变 量的增大,函数值增大的速度越来越快(a>1),常形象地称之为“指数爆炸”. (3)对数函数模型:能用对数函数表达的函数模型,其增长特点是开始阶段 增长得较快(a>1),但随着x的逐渐增大,其函数值增长的速度越来越慢,常称之 为“蜗牛式增长”.
时有⑨ ax>xα .
(2)对数函数y=logax(a>1)与幂函数y=xα(α>0) 不论a与α值的大小如何,对数函数y=logax(a>1)的增长速度总会⑩ 慢于
y=xα的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使x>x0时有
logax<xα . 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度
课标版
§ 2.7
理数
函数模型及函数的综合应用
知识梳理
1.三种增长型函数模型的图象与性质
函数性质 y=ax (a>1) 在(0,+∞) 上的增减性 增长速度 图象的变化 ④ 越来越快 ⑤ 越来越慢 相对平稳 随α值变化而不同 ① 增函数 y=logax (a>1) ② 增函数 y=xα (α>0) ③ 增函数
(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.
以上过程用框图表示如下:
1.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相
对进货价),则该家具的进货价是 ( A.118元
(江苏专用)高考数学总复习 第二章第8课时 函数模型及应用随堂检测(含解析)
（江苏专用）2023年高考数学总复习 第二章第8课时 函数模型及应用 随堂检测（含解析）1．(2023·高考湖北卷)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v ()单位：千米/时是车流密度x ()单位：辆/千米的函数．当桥上的车流密度到达200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究说明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．()1当0≤x ≤200时，求函数v ()x 的表达式；()2当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f ()x ＝x ·v ()x 可以到达最大？并求出最大值.()准确到1辆/时解：()1由题意，当0≤x ≤20时，v ()x ＝60； 当20≤x ≤200时，设v ()x ＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v ()x 的表达式为v ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x ≤20，13()200－x ， 20<x ≤200.()2依题意并由()1可得f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x ≤20，13x ()200－x ， 20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f ()x 为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200； 当20<x ≤200时，f ()x ＝13x ()200－x ≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋()200－x 22＝100003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f ()x 在区间(]20，200上取得最大值100003.综上，当x ＝100时，f ()x 在区间[]0，200上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以到达最大，最大值约为3333辆/时． 2．(2023·高考湖北卷)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造本钱为6万元．该建筑物每年的能源消消耗用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，假设不建隔热层，每年能源消消耗用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )到达最小？并求最小值．解：(1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消消耗用为C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)．而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－24003x ＋52.令f ′(x )＝0，即24003x ＋52＝6，解得x ＝5或x ＝－253(舍去)．当0≤x <5时，f ′(x )<0；当5<x ≤10时．f ′(x )>0. 故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用到达最小值70万元．[A 级 双基稳固]一、填空题1t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01________．①v ＝log 2t ； ②v ＝log 12t ；③v ＝t 2－12； ④v ＝2t －2. 解析：由表中数据可知，当t 越大时，v 递增的速度越快，而v ＝log 2t 递增速度较慢，v ＝log 12t 递减，v ＝2t －2匀速，只有v ＝t 2－12符合这一特征．答案：③2．某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备假设干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，假设超过50套就可以以每套比出厂价低30元给予优惠，如果按出厂价购置应付a 元，但再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a 元(价格为整数)，那么a 的值为________．解析：设按出厂价y 元购置x 套(x ≤50)应付a 元，那么a ＝xy ，又a ＝(y －30)(x ＋11)，又x ＋11＞50，即x ＞39， ∴39＜x ≤50，∴xy ＝(y －30)(x ＋11)， ∴3011x ＝y －30，又x 、y ∈N *且39＜x ≤50， ∴x ＝44，y ＝150，∴a ＝44×150＝6600元．答案：6600元3．某地2002年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2023年底该城市人均住房面积增加到7 m 2，平均每年新增住房面积至少为________万 m 2.(准确到1万 m 2,1.0110≈1.1046)解析：到2023年底该城市人口有500×(1＋1%)10≈552.3万人，那么500×1＋1%10×7－500×610≈87(万 m 2)．答案：874．某工厂生产某种产品固定本钱为2000万元，并且每生产一单位产品，本钱增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，那么总利润L (Q )的最大值是______万元．答案：2500 5．(2023·高考山东卷改编)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，那么使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________．解析：y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0得x ＝9，且经讨论知x ＝9是函数的极大值点，所以厂家获得最大年利润的年产量是9万件．答案：9万件6．某公司一年购置某种货物400吨，每次都购置x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x ＝________吨．解析：每年购置次数为400x，∴总费用＝400x·4＋4x ≥26400＝160.当且仅当1600x＝4x ，即x ＝20时等号成立．故x ＝20. 答案：20 7．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，a 2，…，a n 共n 个数据，我们规定所测量物理量的“最正确近似值a ”是这样一个量：与其它近似值比拟，a 与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a 1，a 2，…，a n ，推出的a ＝________.解析：设近似值为x ，那么f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2取最小值时的x 即为a ，由f (x )＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋(a 21＋a 22＋…＋a 2n )知当x ＝a 1＋a 2＋…＋a n n时，f (x )最小．答案：1n(a 1＋a 2＋…＋a n )8．某超市为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方式，即顾客在店内花钱满100元(可以是现金，也可以是现金与奖励券合计)就送20元奖励券，满200元就送40元奖励券，满300元就送60元奖励券….当日一位顾客共花现金7020元，如果按照酬宾促销方式，他实际最多能购置________元的商品．解析：7000元应给奖励券1400元，1400元应给奖励券280元，280元加上7020元余下20元满300元应给奖励券60元．故最多能购置7000＋1400＋280＋60＋20＝8760元的商品． 答案：8760 二、解答题 9．某公司是一家专做产品A 的国内外销售的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完．该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进展了跟踪调查，调查结果如图中①、②、③所示，其中图①中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图②中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系；图③中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同)．(1)分别写出国外市场的日销售量f (t )、国内市场的日销售量g (t )与第一批产品A 上市时间t 的关系式；(2)第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过6300万元？解：(1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t0≤t ≤30－6t ＋24030<t ≤40，g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)．(2)每件产品A 的销售利润h (t )与上市时间t 的关系为h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 0≤t ≤20，6020＜t ≤40.设这家公司的日销售利润为F (t )，那么F (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t－320t 2＋6t ＋2t ，0≤t ≤2060－320t 2＋6t ＋2t ，20<t ≤3060－320t 2＋6t －6t ＋240，30<t ≤40＝⎩⎪⎨⎪⎧3t－320t 2＋8t ，0≤t ≤2060－320t 2＋8t ，20＜t ≤3060－320t 2＋240.30<t ≤40.当0≤t ≤20时，F ′(t )＝－2720t 2＋48t ＝t (48－2720t )≥0， 故F (t )在[0,20]上单调递增，此时F (t )的最大值是F (20)＝6000＜6300；当20＜t ≤30时，令60(－320t 2＋8t )＞6300，解得703＜t ＜30；当30<t ≤40时，F (t )＝60(－320t 2＋240)＜60(－320×302＋240)＝6300.故第一批产品A 上市后第24天到第30天前，这家公司的日销售利润超过6300万元．10．某隧道长2150 m ，通过隧道的车速不能超过20 m/s.一列有55辆车身长都为10 m 的同一车型的车队(这种型号的车能行驶的最高速为40 m/s)，匀速通过该隧道，设车队的速度为x m/s ，根据平安和车流的需要，当0＜x ≤10时，相邻两车之间保持20 m 的距离；当10＜x ≤20时，相邻两车之间保持(16x 2＋13x )m 的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为y (s)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)求车队通过隧道时间y 的最小值及此时车队的速度．(3≈1.73) 解：(1)当0＜x ≤10时，y ＝2150＋10×55＋20×55－1x ＝3780x，当10＜x ≤20时，y ＝2150＋10×55＋16x 2＋13x×55－1x＝2700x＋9x ＋18，所以，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3780x 0＜x ≤102700x ＋9x ＋18 10＜x ≤20.(2)当x ∈(0,10]时，在x ＝10时，y min ＝378010＝378(s)．当x ∈(10,20]时，y ＝2700x＋9x ＋18≥18＋2×9x ·2700x＝18＋1803≈329.4(s)，当且仅当9x ＝2700x，即x ≈17.3(m/s)时取等号．因为17.3∈(10,20]，所以当x ＝17.3(m/s)时，y min ＝329.4(s)， 因为378＞329.4，所以，当车队的速度为17.3(m/s)时，车队通过隧道时间y 有最小值329.4(s)．[B 级 能力提升]一、填空题1．某工程由A ，B ，C ，D 四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A ，B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B 、C 完成后，D 可以开工．假设该工程总时间为9天，那么完成工序C 需要的天数x 最大是________．解析：分析题意可知，B 、D 工序不能同时进展， ∴B 、D 工序共需5＋4＝9天， 而完成总工序的时间为9天，说明A 、B 同时开工，A 完成后C 开工且5≥2＋x ， ∴x ≤3，故x 最大值为3. 答案：3 2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进展消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝(116)t －a(a 为常数)，如下图．根据图中提供的信息，答复以下问题：(1)从药物释放开场，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定：当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开场，至少需要经过________小时，学生才能回到教室．解析：(1)由图可设y ＝kt (0≤t ≤110)，把点(0.1,1)分别代入y ＝kt 和y ＝(116)t －a，得k ＝10，a ＝0.1，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t 0≤t ≤110116t －0.1t ＞110.(2)由(116)t －0.1＜0.25，得t ＞0.6.答案：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t0≤t ≤110116t －0.1t ＞110(2)0.63．江苏舜天足球俱乐部准备为救助失学儿童在江苏省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张．设x 是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数y ＝lg2x，那么这三种门票分别为____________万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大．解析：该函数模型y ＝lg2x已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．设3元、5元、8元门票的张数分别为 a 、b 、c ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2.4， ①ab ＝0.6， ②x ＝3a ＋5b ＋8c ， ③①代入③有x ＝19.2－(5a ＋3b )≤19.2－215ab ＝13.2(万元)，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝3bab ＝0.6时等号成立，解得a ＝0.6，b ＝1，所以c ＝0.8.由于y ＝lg2x为增函数，即此时y 也恰有最大值．故三种门票分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大． 答案：0.6、1、0.84．(2023·高考江苏卷)将边长为1 m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝梯形的周长2梯形的面积，那么s 的最小值是________．解析：设剪成的小正三角形的边长为x .那么s ＝3－x 234－34x 2＝433·3－x21－x 2(0＜x ＜1)， s ′＝433·－6x 2＋20x －61－x 22＝－833·3x －1x －31－x22， 令s ′＝0，得x ＝13或x ＝3(舍去)．即x ＝13是s 的极小值点且是最小值点．∴s min ＝433·3－1321－19＝3233.答案：3233二、解答题5．某商品每件本钱9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)设商品降价x 元，那么多卖的商品数为kx 2，假设记商品在一个星期的获利为f (x )，那么依题意有f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)．又由已知条件可知，24＝k ·22，于是有k ＝6，所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9072，x ∈[0,30]．(2)根据(1)，可得f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12).x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,30] f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x ) ↘ 极小 ↗ 极大 ↘故x ＝12时，f (x )取极大值，因为f (0)＝9072，f (12)＝11664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．6．(2023·高考湖南卷)如图，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向作匀速移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两局部：(1)P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；(2)其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10,0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．解：(1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋12，故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v (3|v －c |＋10)．(2)由(1)知：当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝53c ＋10v－15；当c <v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝510－3c v＋15.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧53c ＋10v－15，0<v ≤c ，510－3cv＋15，c <v ≤10.①当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数，故当v ＝10时，y min ＝20－3c2.②当103<c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v 的增函数，故当v ＝c 时，y min ＝50c.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第八节 函数的模型及其综合应用A 组 专项基础测试 三年模拟精选一、选择题1．(2015·北京昌平区模拟)在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12 000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是( ) A ．32人B ．35人C ．40人D ．45 人解析 设旅行团的人数为x 人，每张机票收费为m 元，旅行社获得的机票利润为y ， 当1≤x ≤30且x ∈N 时，m ＝800，y max ＝800×30－12 000＝12 000， 当30<x ≤45且x ∈N 时，m ＝800－20(x －30)＝1 400－20x ，则y ＝(1 400－20x )x －12 000＝－20x 2＋1 400x －12 000，对应的抛物线开口向下， 因为x ∈N ，所以当x ＝－ 1 4002×（－20）＝35，函数取得最大值．所以当旅行社人数为35时，旅行社可获得最大利润．故选B. 答案 B2．(2015·辽宁五校协作体模拟)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米，那么，此人( )A ．可在7秒内追上汽车B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D ．不能追上汽车，但其间最近距离为7米解析 以汽车停止位置为参照，人所走过的位移为－25＋6t ，汽车在时间t 内的位移为s ＝12t 2，故设相对位移为y m ，则y ＝－25＋6t －12t 2＝－12(t －6)2－7，故不能追上汽车，且当t ＝6时，其间最近距离为7米．故选D.答案 D3．(2015·沈阳模拟)某人在三个时间段内，分别乘摩托车、汽车和火车走了整个行程的三分之一，如果该人乘摩托车、汽车和火车的速度分别为v 1，v 2，v 3，则该人整个行程的平均速度是( )A.v 1＋v 2＋v 33B.1v 1＋1v 2＋1v 33C.3v 1v 2v 3D.31v 1＋1v 2＋1v 3解析 设整个行程为3S ，乘摩托车、汽车和火车的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1＝S v 1，t 2＝S v 2，t 3＝S v 3，整个行程的平均速度为3S t 1＋t 2＋t 3＝3S S v 1＋S v 2＋S v 3＝31v 1＋1v 2＋1v 3，选D.答案 D4．(2014·武汉调研)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元，8万元，那么要使这两项费用之和最小，则仓库应建在离车站( ) A ．5 km 处 B ．4 km 处 C ．3 km 处D ．2 km 处解析 设仓库建在离车站x km 处，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，根据已知数据可得k 1＝20，k 2＝0.8，两项费用之和y ＝20x ＋0.8x ≥220x×0.8x ＝8，当且仅当x ＝5时，等号成立，故仓库应建在离车站5 km 处． 答案 A 二、填空题5．(2014·金华十校期末)有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为______．(围墙厚度不计)解析 设矩形场地的宽为x m ，则矩形场地的长为(200－4x )m ，面积S ＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋2 500.故当x ＝25时，S 取得最大值2 500，即围成场地的最大面积为2 500 m 2.答案 2 500 m 2三、解答题6．(2015·四川乐山模拟)某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x (百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5（0≤x ≤7），13.5（x >7）.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？解 依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )， 则f (x )＝r (x )－g (x )所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5（0≤x ≤7）10.5－x （x >7）(1)要使工厂盈利，则有f (x )>0，因为f (x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，10.5－x >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，x 2－12x ＋27<0或 ⎩⎪⎨⎪⎧x >7，10.5－x >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，3<x <9，或7<x <10.5. 则3<x ≤7或7<x <10.5， 即3<x <10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内． (2)当3<x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5， 故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5. 而当x >7时，f (x )<10.5－7＝3.5. 所以当工厂生产600台产品时盈利最大．一年创新演练7．某堆雪在融化过程中，其体积V (单位：m 3)与融化时间t (单位：h)近似满足函数关系：V (t )＝H ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－110t 3(H 为常数)，其图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v (m 3/h). 那么瞬时融化速度等于v (m 3/h)的时刻是图中的( )A ．t 1B ．t 2C ．t 3D ．t 4解析 平均融化速度为v ＝V （100）－V （0）100－0，反映的是V (t )图象与坐标交点线的斜率，观察可知t 3处瞬时速度(即切线的斜率)为平均速速一致，故选C.答案 CB 组 专项提升测试 三年模拟精选一、填空题8．(2014·惠州模拟)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8升，则m ＝________． 解析 根据题意12＝e 5n ，令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，解得t ＝15，故m＝15－5＝10. 答案 10 二、解答题9．(2014·河南鹤壁二模)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P (元/件)．前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝)，后10天呈直线上升趋势，其中4天的单价记录如下表：而这20天相应的销售量Q (百件/天)与时间x (天)对应的点(x ，Q )在如图所示的半圆上．(1)写出每天销售收入y (元)关于时间x (天)的函数； (2)在这20天中哪一天销售收入最高？此时单价P 定为多少元为好？(结果精确到1元)解 (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧10－x ，x ∈[1，10]，x －10，x ∈[11，20](x ∈N *)，Q ＝100－（x －10）2，x ∈[1，20]，x ∈N *，∴y ＝100QP ＝100（x －10）2[100－（x －10）2]，x ∈[1，20]，x ∈N *. (2)∵(x －10)2[100－(x －10)2]≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －10）2＋100－（x －10）222＝2 500，当且仅当(x －10)2＝100－(x －10)2，即x ＝10±52时，y 有最大值．又x ∈N *，∴当x ＝3或17时，y max ＝70051≈4 999，此时，P ＝7.答：第3天或第17天销售收入最高，此时应将单价P 定为7元为好．一年创新演练10．某公司有价值a 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y (单位：万元)与技术改造投入x (单位：万元)之间的关系满足：①y 与a －x 和x 2的乘积成正比例；②当x ＝a4时，y ＝3a 316；③0≤x 2（a －x ）≤t ，其中t 为常数，且t ∈[0，2]．(1)设y ＝f (x )，求f (x )的表达式，并求y ＝f (x )的定义域； (2)求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入x 的值． 解 (1)设y ＝k (a －x )x 2，由②得k ＝4， ∴y ＝4(a －x )x 2.∵0≤x 2（a －x ）≤t ，其中t 为常数，且t ∈[0，2]，y ＝f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2ta 1＋2t ，t为常数，且t ∈[0，2]． (2)f ′(x )＝－4x (3x －2a )， 令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2a3， (ⅰ)当2ta 1＋2t ≥2a3，即1≤t ≤2时，若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3，则f ′(x )>0；若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2ta 1＋2t ， 则f ′(x )<0，故当x ＝2a 3时，y max ＝16a 327.(ⅱ)当2ta 1＋2t <2a 3，即0≤t <1时，在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2ta 1＋2t 时恒有f ′(x )>0，此时f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2ta 1＋2t 上是增函数，故当x ＝2ta 1＋2t 时，y max ＝16t 2a 3（1＋2t ）3.综上，当1≤t ≤2，投入x ＝2a 3时，附加值y 最大，为16a327万元；当0≤t <1，投入x ＝2ta 1＋2t 时，附加值y 最大，为16t 2a3（1＋2t ）3万元．。