高州市2010年学科竞赛数学试卷答案

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2010年全国大学生高等数学竞赛总决赛(答案)

2010年全国大学生数学竞赛决赛答 tian27546这是献给博士论坛一个礼物转载时请勿注明是博士论坛一、（20分）计算下列各题：1．求极限 211sin )1(lim n k n k n k n π∑-=→∞+解法1因211sin )1(n k n k n k π∑-=+211222sin sin 21(2sin 21n n k n k nn k πππ∑-=+=） )22cos 22(cos 1(2sin 2122112n k n k n k nn k πππππ+--+=∑-=） )22cos 22(cos 1(22112nk n k n k n n k πππππ+--+≈∑-=） 2112211222cos 1(22cos 1(n k nk n n k n k n n k n k ππππππ++--+=∑∑-=-=）） 222211222cos 11(22cos 1(n k n k n n k n k n nk n k ππππππ--+--+=∑∑=-=））2122222222cos 12)12(cos 11(2cos )11(n k n n n n n n n n n n n k πππππππ-+--+-+=∑-=） 21222222)12(cos 2)12(cos 12(2cos )11(nk n n n n n n n n n k ππππππ-+---+=∑-=）（*）而2122)12(cos n k n k π-∑-=212222sin 2)12(cos22sin 21n n k nn k πππ∑-=-=])1(sin [sin2sin2121222n k n k nn k πππ--=∑-= 2222sin 2sin )1(sinn n n n πππ--=222sin2)2(sin 2cos n n n n πππ-=（**）将（**）代入（*），然后取极限，得原式]2sin2)2(sin2cos2)12(cos 12(2cos )11([lim 222222n n n nn n n n n n n n n ππππππππ-+---+=→∞）]2)2(sin 2cos 2)8)12(1(12()11([lim 22342222n n n n n n n n n n n ππππππ-+----+=∞→） ]2)2(sin 2cos 2)21(12()11([lim 2232222n n n n n n n n n n ππππππ-+---+=∞→） )]48)2(2)2()(81(2)21(12()11([lim 633222232222nn n n n n n n n n n n πππππππ----+---+=∞→）)]482)(81(2)21(12()11([lim 33222232222n n n n n n n n n n n ππππππππ---+---+=∞→） 65π=上式中含2n 的项的系数为0121=+-πππ，含n 的项的系数为0)2(111=-++πππ，常数项系数为656824ππππππ=-=--解法2 Step 1因∑-=112sin n k n k π211222sinsin 22sin 21n nk nn k πππ∑-==)22cos 22(cos2sin2122112n k n k nn k πππππ+--=∑-=)2)12(cos2(cos2sin21222n n n n πππ--=故)2)12(cos 2(cos 2sin 21lim sinlim 222112n n n nn k n n k n ππππ--=→∞-=→∞∑)2)12(cos2(cos1lim222n n n n n πππ--=→∞nn n n n 2sin 2)1(sin2lim22πππ-=→∞n n n n n 22)1(2lim22πππ-=∞→2π= Step 2因222)12(cosn k nk π-∑=22222sin 2)12(cos22sin21n n k nnk πππ∑=-=])1(sin [sin2sin212222nk n k nnk πππ--=∑= 2222sin 2sinsin n n n n πππ-=2222sin 2)1(sin 2)1(cos nn n n n πππ-+=因此∑-=112sin n k n k nk π211222sin sin 22sin 21n n k n k n n k πππ∑-== ]2)12(cos 2)12(cos [2sin 212112112n k n k n k n k nn k n k πππ+--=∑∑-=-= ]2)12(cos 12)12(cos [2sin 21222112n k n k n k n k nnk n k πππ----=∑∑=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---=∑-=2122222)12(cos 12)12(cos 12cos 12sin 21n k n n n n n n n nn k ππππ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=∑=222222)12(cos 12)12(cos 2cos 12sin 21n k n n n n nnnk ππππ(*) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++--=2222222sin 2)1(sin 2)1(cos 2)12(cos 2cos 12sin 21nn n n n n n n n n n ππππππ 于是∑-=→∞112sin lim n k n n k nk π⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++--=→∞2222222sin 2)1(sin 2)1(cos 2)12(cos 2cos 12sin 21lim nn n n n n n n n n n n ππππππ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---=→∞n n n n n n n n n n 22)1(sin2)1(cos 8)12(11lim 224222πππππ）（ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+-++-=∞→n n n n n n n n n n n 2)48)1(2)1()(8)1(1211lim 6332422222ππππππ（⎥⎦⎤⎢⎣⎡----++-=∞→)24)1(1)(81211lim 52322222n n n n n n n n n ππππ（ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-=∞→)241()(81211lim 2222222n n n n n n n n ππππ（ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-=∞→)2411)(81211lim 2222222n n n n n n n ππππ（）（222222282411211lim n n n n n n n ππππ---++-=→∞ ）（22222228242lim n n n n n ππππ--=∞→62ππ-=3π=原式6532πππ=+=2．计算⎰⎰∑++++2222)(zy x dxdya z axdydz ，其中 ∑为下半球面222y x a z ---= 的上侧, 0>a .解记1∑为平面 222,0a y x z ≤+= 的上侧，2∑为下半球面 222y x a z ---= 的下侧，Ω是由1∑和2∑所围成的立体，则422222211)(adxdy a dxdy a dxdy a z axdydz ay x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+∑∑===++π，设,sin ,cos θθr y r x ==则⎰⎰∑+∑++212)(dxdy a z axdydz ⎰⎰⎰Ω+++=dxdydz a z a )220(⎰⎰⎰Ω+=dxdydz a z )32(⎰⎰⎰≤+---+=2222220)32(a y x y x a dz a z dxdy⎰⎰≤+---+=22222202]3[a y x y x a dxdy az z⎰⎰≤+--+++-=222)3(222222a y x dxdy y x a a y x a ⎰⎰≤≤≤≤-++-=πθθ2002222d d )3(ar r r r a a r a⎰-++-=a r r r a a r a 02222d )3(2π ⎰-++-=ar r a a r a 022222)d()3(π⎰-++-=22122d ))(3(a u u a a u a π223222)(42a u a a uu a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=π274a π=⎰⎰∑++++2222)(zy x dxdya z axdydz⎰⎰⎰⎰∑∑+∑+++++-=12122)(1)(1dxdy a z axdydz a dxdy a z axdydz a 227333a a a πππ-=+-=3．现设计一个容积为V 的圆柱体容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a元，而侧面的材料费为单位面积b 元. 试给出最节省的设计方案；即高与的上下底直径之比为何值时所需费用最少？解设圆柱体的底半径为r ，高为h ，则h r V 2π=，2rVh π=总造价为222r a rh b P ππ+=222r a rbVπ+=，则2322242r r a bV r a r bV P ππ--=+-='，由0='P 知，解得312⎪⎭⎫⎝⎛=πa bV r ，312⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππa bV V h ，因为是惟一的驻点，所以当3122323131222222:2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=Vab a bV V a bV a bV V h r ππππππ 时，所需费用最少.4．已知 x x x f 33cos sin 1)(+='，)21,41(∈x ，求)(x f 解因x x x f 33cos sin 1)(+='，)21,41(∈x ，故 ⎰+=x xx x f d cos sin 1)(33⎰+-+=x x x x x x x d )cos )(sin cos sin cos (sin 122⎰+-=x x x x x d )cos )(sin cos sin 1(1⎰+-=x x x d )4sin()2sin 211(21π⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x d )4sin()22cos(211121ππ⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x d )4sin()4(2cos 211121ππ 令)4(21π+=x t ，则⎰+=t tt x f d 2sin )4cos 211(2)(⎰+=t tt t d cos sin )4cos 2(2⎰-+=t t t t t d cos sin )2sin 2cos 2(222⎰+=t t t t t d cos sin )2sin 2cos 3(222 ⎰+-=t tt t t t t d cos sin )cos sin 4)sin (cos 3(222222⎰-++=t t t t t t t t t d cos sin )cos sin 2sin 3cos 3()cos (sin 22244222 ⎰-+++=t t t t t t t tt t t d cos sin )cos sin 2sin 3cos 3(cos sin 2sin cos 222442244⎰-+++=t t t t tt tan d tan )tan 2tan 33(tan 2tan 122424 令t u tan =，2u v =，则⎰-+++=u u u u u u x f d )233(212)(2424⎰-+++=224224d )233(2122u u u u u u ⎰-+++=v v v v v v d )233(212222⎰+-++=v v v v v v d )323(122222 令)()323(1222v R vAv v v v v +=+-++，则31=A ，)323(332336331)323(12)(22222+--+-++=-+-++=v v v v v v v v v v v v v v R )323(382+-=v v 因此⎰⎰+-+=323d 324d 62)(2v v vv v x f ⎰+-+=323d 324ln 622v v vv ⎰+-+=98)31(d 924ln 622v v v C v v +-+=32231arctan 3221924ln 62C v v +-+=2213arctan 32ln 62 C t t +-+=221tan 3arctan 32tan ln 6222C t t +-+=221tan 3arctan 32tan ln 6222C x x +-+++=221)82(tan 3arctan 32)82(tan ln 6222ππ 二、（10分）求下列极限1．⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→e n n n n )11(lim解设xx x f 1)1()(+=, 则))1ln()1(1()1()(21xx x x x x f x+-++=')1()1ln()1()(2x x x x x x f +++-= 原式=)(lim )1(lim010x f x e x x xx '=-+→→)()(lim )(lim 00x f x f x f x x '=→→)1()1ln()1(lim)(lim 20x x x x x x f x x +++-=→→20)1ln()1(limx x x x e x ++-=→22)1ln(lim 0e x x e x -=+-=→2．nnn n n c b a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→3lim 111，其中0>a ，0>b ，0>c 解因300ln 3ln ln ln 3ln ln ln lim 33lim abc c b a c c b b a a x c b a x x x x x x x x =++=++=-++→→ 故原式=333lim)13(1lim 10003lim abc ee c b a x c b a c b axxxx x x x x x x xx xx ===⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-++-++→→→三、（10分）设)(x f 在1=x 处可导，0)1(=f ，2)1(='f ，求xx x x x f x tan )cos (sin lim 220++→ 解设)(x f 在1=x 处可导，0)1(=f ，2)1(='f ，则xx x f x x f x x x x x f x x tan )1()cos (sin lim tan )cos (sin lim 220220+-+=++→→ 1cos sin )1()cos (sin lim 1cos sin lim tan lim 220220220-+-+-++=→→→x x f x x f x x x x x x x x x x 1cos sin )1()cos (sin lim 2sin cos sin 2lim cos 111lim220020-+-+-+=→→→x x f x x f x x x x xx x x 1cos sin )1()cos (sin lim 2sin cos sin 2lim 212200-+-+-=→→x x f x x f x x x x x x 1cos sin )1()cos (sin lim 21cos 2lim sin lim 2122000-+-+-=→→→x x f x x f x x x x x x1cos sin )1()cos (sin lim 41220-+-+=→x x f x x f x 1)1()(lim 411--=→t f t f t )1(41f '=21= 四、（10分）设)(x f 在),0[+∞上连续，⎰+∞0d )(x x f 收敛，求⎰+∞→yy x x xf y 0d )(1lim.解令⎰=xt t f x G 0d )()(，则因⎰+∞0d )(x x f 收敛，故)(lim y G y +∞→，不妨设R A y G y ∈=+∞→)(lim ，则[]}d )()(1{lim )(d 1lim d )(1lim0000⎰⎰⎰-==+∞→+∞→+∞→y yy y y y y x x G x xG yx G x y x x xf y)d )(1)((lim 0⎰-=+∞→yy x x G yy G ⎰+∞→-=yy x x G y A 0d )(1lim 0)(lim =-=-=+∞→A A y G A y五、（12分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可微，且0)1()0(==f f ，1)21(=f ，证明：（1）存在⎪⎭⎫⎝⎛∈1,21ξ使得ξξ=)(f ；（2）存在()ξη,0∈使得1)()(+-='ηηηf f .证（1）记x x f x F -=)()(，则函数)(x F 在]1,21[上连续，且1)1(-=F ，21)21(=F ，故由零点存在性定理知存在⎪⎭⎫⎝⎛∈1,21ξ使得0)(=ξF ，即ξξ=)(f . （2）因x x x f x f e x d )1)()((⎰+-'--x e x xe x x f e x x f e x x x x d d d )(d )(⎰⎰⎰⎰----+-'-= x e e x x f e x x f e x x x x d d )(d d )(⎰⎰⎰⎰----++-=x x xe x f e --+-=)(故令x e x x f x F --=))(()(, 则函数)(x F 在],0[ξ上连续，在()ξ,0内可微，0)0(=F ,0)(=ξF ,x x e x x f e x f x F -----'='))(()1)(()(, 故由罗尔定理知,存在()ξη,0∈使得0)(='ηF , 1)()(+-='ηηηf f .六、设)(x f 在),(+∞-∞上有定义，在0=x 的某邻域内有一阶连续导数，且0)(lim 0>=→a x x f x ，证明级数∑∞=-1)1()1(n n n f 条件收敛. 证因 0)(lim>=→a xx f x ，故存在一个正数δ，使得当δ<-<00x 时，有 2)(aa x x f <-因此x x f a )(2<（δ<-<00x ），于是，当δ1>n 时， δ<-<010n ，nn f a 1)1(2<，n a n f 2)1(>，这表明级数∑∞=1)1(n n f 发散，即级数∑∞=-1)1()1(n n n f 发散.下证原级数收敛：由0)(lim0>=→a xx f x 知，0)(lim lim )(lim )0(000====→→→a x x f x x f f x x x ，0)(lim )0()(lim )0(00>==-='→→a xx f x f x f f x x由)(x f 在0=x 的某邻域内有一阶连续导数知，)(lim )0(0x f f a x '='=→，因此存在一个正数η，使得当η<-0x 时，有2)(aa x f <-' 因此)(20x f a '<<（),(ηη-∈x ）. 特别地，)(x f 在),0(η上单调增，于是当η1>n 时，)1()11(n f n f <+，且0)0()1(lim ==∞→f nf .最后由Leibniz 判别法知，原级数收敛.综上可知，原级数条件收敛.六、（14分）设1>n 为整数，⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=-x n tt n t t t e x F 02d !!2!11)( ，证明：方程 2)(n x F =在⎪⎭⎫⎝⎛n n ,2内至少有一个根. 证记!!2!11)(2n t t t t p nn ++++= ,)!!2!11()(2n t t t e t r ntn ++++-= ,则)()(t r e t p n t n -=,且当0>t 时,0)(>t p n , 0)(>t r n ,0)(>-t r e n t .记2)()(n x F x -=ψ，则⎰--=n n t t t r e nx 0d )(2)(ψ,因⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=-x n tt n t t t e x F 02d !!2!11)( ，故函数)(x ψ在],2[n n 上连续，在⎪⎭⎫⎝⎛n n ,2内可微，且2)2()2(n n F n -=ψ⎰⎰<-=--=--20200d )(2d ))(1(nn t n n tt t r e n t t r e ,2d )()(0nt t p e n nn t -=⎰-ψ⎰⎰⎰⎰----+-=+--=202220d )(d )(d )(2d ))(1(n nn n t n t n n n t n n t tt p e t t r e tt p e nt t r e⎰⎰++-=---20202d )2(d )(n n n n t n tt n t p et t r e⎰⎰+++-=---20202d )2(d )!1(1nnn nt t t n t p e t e e n ξ ⎰⎰+-++-=+---202022d ))2((d )!1(1nnn nt nt t t n t r e e t e e n ξ ⎰⎰+---+-+-=202022d )!1(1d )!1(121nnnnt t t e e n t e e n n ξξ ⎰⎰--+-+-=2020d )!1(1d )!1(121n nt t t e e n t e e n n ξξ ⎰-+->202d )!1(22n nt t e e n n []202)!1(22nt ne e n n -++= )1()!1(222-+-=ne n n )!1(2)!1(222+++-=n n e n n )!1(22)!1(2222+-=+->n en n e n n n012>->n（若2>n ，则左边的两个不等式都成立） ()()⎰⎰-+-=-+=-=--101021d 121d 121)1()1(t te t t t e F ψ()[]⎰-++-=--101021d 1t e e t t t 032321)1(2111>-=--+-=--ee e 031)2(>->eψ01223!4223)3(1223144144314923232333>-=->⇒>⇒>>>e e e e ψ 01232452!522)4(2>->->->e e e ψ,0122212e e 12)(>->++->n n n n n e n n ψ 故由零点存在性定理知, 存在),2(n n ∈ξ使得0)(=ξψ, 即2)(nF =ξ.七、（12分）是否存在R 中的可微函数)(x f 使得53421))((x x x x x f f --++=? 若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明.解不存在假如存在R 中的可微函数)(x f 使得54321))((x x x x x f f -+-+=，则4325432)))((x x x x x f x f f -+-=''（，若1)1(=f ，则025432)1))1(()]1[2<-=-+-=''='（（f f f f 矛盾。

广东省高州市2010届初三缅茄杯学科竞赛模拟试卷数学试题

高州市2010年学科竞赛数学模拟试卷（七）一、精心选一选：（下面每小题均给出四个供选择答案，其中只有一个正确的，把你认为正确的答案代号填放下表相应题号下空格内，每小题4分，共40分）1. 设23-=a ，32-=b ，25-=c ，则a ，b ，c 的大小关系是A a b c >>B a c b >>C c b a >>D b c a >>2．函数y ax b =+图象经过一、二、三象限，且与x 轴交于点(一2，0)，求ax>b 的解集A ．X>－2B ．X<2C ．X>2D ．X<－23．若a 是两位数,b 是一位数（0b ≠）,把b 放在a 的左边组成三位数,则这个三位数是A 、baB 、b a +C 、10b a +D 、100b a +4. 如图,设计一个商标图案（图中阴影部分）,长方形ABCD 中,AB=2BC,且AB=8㎝,以点A 为圆心,AD 长为半径作半圆,则商标图案面积等于 A 、()248cm π+ B 、()238cm π+ C 、()2316cm π+ D 、()2416cm π+5．如图，若AB=AC ，BG=BH ，AK=KG ，则∠BAC 度数为A ．30°B ．36° C ．32° D ．40°6．多边形每一个内角都等于150º，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线共有A 11条B 10条C 9条D 8条7．如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC // 且8=DBCE S 四边形ADE S ∆ 那么:AE AC 等于A 、1 : 9B 、1 : 3C 、1 : 8D 、1 : 2 BA DEA 、第一、二象限B 、第二、三象限C 、第三、四象限D 、第一、四象限9. 甲乙丙丁四位同学站成一横排照相，如果任意安排四位同学的顺序，那么恰好甲乙相临且甲在乙左边的概率是A 、121 B 、81 C 、61 D 、41 10．下列命题:①若直角△的两条边长为3与4,则第三边长是5;②若点(,)P a b 在第三象限,则点)1,(+--b a Q 在第一象限;③函数11-=x y 的图象平移后可以和函数11+=xy 的图象重合;④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.正确的有:A 1个B 、2个C 、3个D 、4个11．已知a －b =b －c =53，a 2＋b 2＋c 2=1，则ab ＋bc ＋ca 的值等于． 12．化简：.______________)5()4(22=---+x x13．如图，已知：△AEC 是以正方形ABCD 的对角线为边的等边三角形，EF ⊥ AB ，交AB 延长线于F ，则∠BEF 度数为______________14．某人在同一条路上来回一次共用2小时. 来时步行,平均速度是5千米/小时; 回去的时坐公共汽车, 平均速度是 20千米/小时, 则这条路长是___________千米.15．观察右面图形我们可以发现：第1个图中有1个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有14个正方形，按照这种规律，第6个图形共有________个正方形．三、细心做一做：（本大题共5小题，每小题8分，共40分）16．如图，最大的正方形由九个小正方形拼成．在图中画一个顶点都在小正方形的顶点上的三角形，且使它的面积是最大正方形面积的49．17．已知一次函数y=a x+b的图象经过点A（3，8），B（-2，3），C（-3，c）。

2010年全国高中数学联赛试题及答案

2010年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 ]3,3[-.解：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-. 2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 1223≤≤-a .解：令t x =sin ，则原函数化为t a att g )3()(2-+-=，即a att g )3()(3-+-=.由 3)3(3-≥-+-t a at ， 0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即 3)(2-≥+t t a （1）当1,0-=t 时（1）总成立；对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t . 从而可知 1223≤≤-a .3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 9800 .解：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 98009848512=+⨯.4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα3.解：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则 ,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+，（2）（1）代入（2）得961292++=+d dd ，求得9,6==q d .从而有 βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即 βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立.从而 βαα+-=-=9log3,69log，求得 3,33==βα， 333+=+βα.5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f xx在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 41-.解：令,y a x =则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211m ax 1()32822g y aaa a ---=+-=⇒=⇒=，所以 412213)21()(2min -=-⨯+=y g ；当>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以 412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是1217.解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为+⨯+⨯+127)125(127)125(1274217121442511127=-⨯=.7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin4.解一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=P B A B BP BA .设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x BP m z x BA m ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x P B n x A B n 由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==n m ，所以cos m n m n α⋅=⋅，2cos cos 4αα=⇒=.所以 410sin =α.解二：如图，PB PA PC PC ==11, .设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为所以从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E . 连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角. 设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11, 即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OEO B E B O B .4105542sin sin 111===∠=EB O B EO B α.8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 336675 .解：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知 100420096100331⨯=+⨯+k ，OEP1B 1A 1CBA110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 3356713343351003=-⨯=k . 从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为 33667533567110031=++. 二、解答题（本题满分56分）9.（本小题满分16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.解一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得（4分） )21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=. （8分）所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤8≤， 38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）解二：c bx ax x f ++='23)(2.设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g . 设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b a z ba z a z g z h . （4分）容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . （8分）从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ，即 21434302≤++++≤c b a z a ，从而0143≥+++c b a ,2432≤za ，由 102≤≤z 知38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）10.（本小题满分20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.解一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则2,22210210y y y x x x +==+=，1221221212123666y y y yyy y x x y y k AB =+=--=--=.线段AB 的垂直平分线的方程是 )2(300--=-x y y y . （1）易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(. （5分）由（1）知直线AB 的方程为 )2(300-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2）（2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即 012222002=-+-y y y y .（3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且1y 22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+=]4))[(91(2122120y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=.定点)0,5(C 到线段AB 的距离 202029)0()25(y y CM h +=-+-==. （10分）2020209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆)9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤ 7314=. （15分）当且仅当20202249y y -=+，即0y =,33A B 或33A B -++时等号成立.所以ABC ∆面积的最大值为7314. （20分）解二：同解一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.（5分）设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值, （10分） 2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆221221)5()(23+-=t t t t)5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,7314≤∆ABC S , （15分）当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t 6572+-=t,33A B 或33A B -时等号成立.所以ABC ∆面积的最大值是7314. （20分）11.（本小题满分20分）数列{}n a 满足),2,1(1,312211 =+-==+n a a a a a n n nn .求证:nn n a a a 2212312131211-<+++<-- . （1）证明：由1221+-=+n n nn a a a a 知111121+-=+nnn a a a ，)11(1111-=-+nn n a a a . （2）所以211,111n nn n n nna a a a a a a ++==----即 1111n n n nn a a a a a ++=---. （5分）从而 n a a a +++ 21 1133222211111111++---++---+---=n n nn a a a a a a a a a a a a11111112111++++--=---=n n n n a a a a a a .所以（1）等价于nn n n a a 2112312112131211-<--<-++-，即 nn n n a a 21123131<-<++- . （3）（10分）由311=a 及 1221+-=+n nnn a a a a 知 712=a .当1n =时，2216a a -=，11122363<<- ，即1n =时，（3）成立.设)1(≥=k k n 时，（3）成立，即 kk k k a a 21123131<-<++-.当1+=k n 时，由（2）知kk k k k k k k a a a a a a a 2211111223)1()1(11>->-=-+++++++；（15分）又由（2）及311=a 知)1(1≥-n a a nn均为整数，从而由 kk k a a 21131<-++ 有131211-≤-++kk k a a 即kk a 2131≤+ ，所以122211122333111+<⋅<-⋅=-+++++k kkk k k k k a a a a a ，即（3）对1+=k n 也成立.所以（3）对1≥n 的正整数都成立，即（1）对1≥n 的正整数都成立. （20分）。

广东省高州一中2009-2010学年高一学科竞赛数学

高一数学竞赛试题一、单选题（8×5′＝40′）1、已知集合{}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+<<-且B ≠∅，若A B A =，则（）(A)34m -≤≤ (B)34m -<< (C)24m << (D)24m <≤2、已知()1,2a =，(),2b x =-且()a ab ⊥-，则实数x 为（） (A)－7 (B)9 (C)4 (D)－4 3、同时掷两枚骰子，得到的点数和为6的概率是（） (A)512 (B)536(C)19 (D)51840y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（）(C)--5、函数2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递减区间是（）(A)37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(B)3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C)35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D),44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6、一个与球心距离为1的平面截球所得圆面面积为π，则球的表面积为（）(A) (B)8π(C) (D)4π7、直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（） (A)210x y +-= (B)210x y +-= (C)230x y +-= (D)230x y +-=8、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()6f 的值为（） (A)－1 (B)0 (C)1 (D)2 二、填空题（6×5′＝30′）9、方程()21033log 1log xx-=+的解是。

10、正方体的内切球与其外接球的体积之比为。

11、过点()1,3-且平行于直线230x y -+=的直线方程为。

12、方程sin 10xx =有个根。

13、已知()1sin 2πα+=-，则cos α= 。

14、已知()1,2a =，()2,3b =-，则a 在b 上的射影长。

广东省高州市十校联考2010-2011学年九年级数学第一学期期末试卷北师大版

（第1题）2010—2011学年度第一学期期末考试试卷九年级数学(快)说明：本试卷六大题，共8页。

满分为120分。

考试时间120分钟。

答题卡1．如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =3，点P 是边BC 上的动点，则AP 长不可能．．．是( ) A ．2.5 B ．3 C ．4 D ．5 2. “a 是实数, ||0a ≥”这一事件是 ( )A. 必然事件B. 不确定事件C. 不可能事件D. 随机事件3. 若一个所有棱长相等的三棱柱，它的主视图和俯视图分别是正方形和正三角形，则左视图是( )A. 矩形B. 正方形C. 菱形D. 正三角形 4. 如图，在△ABC 中，∠C=90°,AC=8cm, AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若53cos =∠BDC ，则BC 的长是( )A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm5. 在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A 点出发，要到距离A 点1000m 的C 地去，先沿北偏东70︒方向到达B 地，然后再沿北偏西20︒方向走了500m 到达目的地C ,此时小霞在营地A 的（）A.北偏东20︒方向上B. 北偏东30︒方向上C.北偏东40︒方向上D.北偏西30︒方向上6．把长为8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm 2，则打开后梯形的周长是（）A ．（cmB ．（cmC ．22cmD ．18cm 7．反比例函数xy 6=图象上有三个点)(11y x ，，)(22y x ，，)(33y x ，，其中3210x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )A ．321y y y <<B ．312y y y <<C ．213y y y <<D ．123y y y << 8．如图，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ．则DM +CN 的值为（用含a 的代数式表示）( )A ．aB ．a 54C ．a 22D ． a 239．如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线 n m x a y +-=2)(的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 点C 的横坐标最小值为3-，则点D 的横坐标最大值为 A ．－3 B ．1 C ．5 D ．810. 定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 征数为 [2m ，1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论： ① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23；时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0其中正确的结论有( )A. ①②③④B. ①②④C. ①③④一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

2010年大学生数学竞赛试题及解答

（1）计算积分222,0,0.xxee dx xαβαβ--+∞->>⎰解方法一直接利用分部积分法得222xxee dx xαβ--+∞-⎰221()()xxeedx xαβ+∞--'=--⎰221(22)()xxxexe dx xαβαβ+∞--=--+-⎰22(22)xxeedx αβαβ+∞--=--⎰)22(2πβπα⋅-⋅-=)(αβπ-=；方法二不妨设0αβ<<，由于dyexe e yxxx⎰---=-βαβα2222，而积分2yxe dx +∞-⎰关于y 在[,]αβ上一致收敛，故可交换积分次序222xxee dx xαβ--+∞-⎰2yxdx edy βα+∞-=⎰⎰2yxdy edxβα+∞-=⎰⎰dy y⎰=βαπ21)(αβπ-=；方法三将0β>固定，记222(),0xxee I dx xαβαα--+∞-=>⎰　，可证()I α在(0,)+∞上收敛．设[,),0αδδ∈+∞>　，因为22xxe eαδ--≤，而2xedx δ∞-⎰＋０收敛，所以由Weierstrass 判别法知道2xedx α∞-⎰＋０对[,)αδ∈+∞一致收敛．所以可以交换微分运算和积分运算的次序，即222()()xxee I dx xαβαα--+∞∂-'=∂⎰2()xedx α+∞-=-⎰12πα=-．由δ的任意性，上式在(0,)+∞上成立．所以 ()I C απα=-+，由于()0,,I C βπβ==所以)()(αβπα-=I ，即dx xe exx⎰∞+---0222βα)(αβπ-=．(2)若关于x 的方程211kx x +=，()0k >在区间()0,+∞内有唯一的实数解，求常数k.解：设()211f x kx x=+-，则有()32f x k x'=-，当1320,x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当132,x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>. 由此()f x 在132x k ⎛⎫= ⎪⎝⎭处达到最小值，又()211f x kx x=+-在()0,+∞内有唯一的零点，必有1320f k ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13322102k k k ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3212331214k ⎛⎫⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22714k ⋅=，所以233k =.（3）设函数()f x 在区间[],a b 上连续，由积分中值公式，有()()()xaf t dt x a f ξ=-⎰，()a x b ξ≤≤≤，若导数()f a +'存在且非零，求lim x aax aξ+→--.解：()()()()()()()xaf t f a dt x a f f a ξ-=--⎰，()()()()()()21xaaa f t f a dt x af f a x a ξξξ--=⋅----⎰，由条件，可知()()()1l i m x aaf f a f a ξξ+→+-='-，()()()()()()()()21lim lim 22xax ax af t f a dtf x f a f a x a x a +++→→--'==--⎰，故有1lim 2x aax aξ+→-=-.二、设函数()f x 在0x =附近可微，()00f =，()0f a '=,定义数列22212n n x f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.证明：{}n x 有极限并求其值.证明：由导数的定义，对于任意0ε>,存在0δ>，当0||x δ<<时，有()f x a xε-<.于是()()()a x f x a x εε-<<+，()0x δ<<从而，当1nδ->时，有21k nnδ<<，()()222kk k a f a n n n εε⎛⎫-<<+ ⎪⎝⎭，其中1,2,,k n = .对于上式求和，得到()()2211nnn k k k k a x a nnεε==-<<+∑∑，即()()1122n n n a x a nnεε++-<<+，令n →∞，有()()11lim lim 22nn n n a x x a εε→∞→∞-≤≤≤+,由0ε>的任意性，得到 lim 2n n a x →∞=.设()f x 在()1,1-上有定义，在0x =处可导，且()00f =.证明：()210lim2nn k f k f n →∞='⎛⎫= ⎪⎝⎭∑.三、设函数f在[0,)+∞上一致连续，且对任何[0,1]x ∈，有()0limn f x n →∞+=，证明：()0lim x f x →+∞=。

广东省高州市—度七年级数学第一学期学科联赛试卷人教版

广东省高州市2009—2010学年度第一学期学科联赛七年级数学试卷【温馨的提示】时间：120分钟全卷共_6 _大题共_ 8 _页满分：120分温馨提示：亲爱的同学，当你打开这份试题时，请静下心来仔细阅读题目，明确每道题的答题要求。

对于个别稍难的题目，你也不必着急，只要用心多想一想，问题就会迎刃而解。

当你写下每一个答案时，请尽1、已知54320a b c d e <，下列判断一定正确的是（）（A ）0abcde <（B ）20ab cde <（C ）240ab cd e < （D ）40abcd e <2、如图1，老年人活动中心麻将馆门口的拐角处放着一个招牌，这个招牌是由三个特大号的骰子摞在一起而成的，如图1所示，其中可看见7个面，而11个面是看不到的，则看不见的面其点数总和是（）Ａ．4Ｂ．41Ｃ．22Ｄ．213、若20002020002000⨯=+x ，则x 等于( )．(A)20或21- (B)20-或21 (C)19-或21 (D)19或21-4、2009减去它的21，再减去剩余的,31再减去剩余的,41……依次类推，一直减去剩余的20091则最后剩下的数是（）（A ）20091 （B ）1 （C ）20081（D ）无法计算 5、如图，在数轴上有A 、B 、C 、D 、E 五个整数点（即各点均表示整数），且AB=2BC=3CD=4DE ，若A 、E 两点表示的数的分别为 13-和12，那么，该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段AE 的中点最近的整数是…………………（）（第5题）A 、2-B 、1-C 、0D 、26、已知关于023,034,045=+-=+-=+-c x b x a x x 有两个解无解的方程只有一个解，则化简图1ABCDEb a bc c a ---+-的结果是…………………（）A 、a 2B 、0C 、c 2D 、b 2 7、如右图，把10个相同的小正方体按如图的位置堆放，它的外表会有若干个小正方形，如果将图中标有字母P 的一个小正方体搬去，这时外表含有的小正方形的个数与搬动前相比（）A ．不增不减B ．减少一个C ．减少2个D ．减少3个8、若“学”、“科”、“能”、“力”这四个汉字中每个汉字分别代表一个非零的个位数，对于运算符号“∆”有：学科能力∆1＝科学能力；学科能力∆2＝能力科学，那么1234∆1∆2 = . A. 4312 B. 4321 C. 3412 D. 34219、当3=x 时，代数式13++bx ax 的值为2009，则当3-=x 时，代数式13++bx ax 的值为（）A 、2008-B 、2008C 、2009D 、2007- 10、20092008的末位数字是…………………（）A 、8B 、6C 、4D 、2二、耐心填一填（每小题3分，共15分）11、若2x =是方程122x k kx ++=-的解, 则200820072...kk k +++k +=_________12、已知1=a ，2=b ，3=c ，且a ＞b ＞c ，则c b a -+＝ 13、观察这一列数：43，75-, 910, 1713-, 3316，1965-…依此规律第n 个数是__________ 14、一个长方体的主视图和左视图如图所示(单位：cm)，则其俯视图的面积是15、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有 ________个点．三、细心做一做（每小题5分，共15分）（1）（2）（3）（4）（5）……第14题主视图左视图16、数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对),(b a 进入其中时，会得到一个新的实数：12++b a 。

广东省高州市2009-2010学年八年级数学上学期学科联考试题人教版

2009-2010学年度第一学期学科联考数学试卷友情提示：HI ，亲爱的同学，你好！今天又是展示你才能的时候了，只要你仔细审题、认真答题，把平常的水平发挥出来，你就会有出色的表现，放松一点，相信自己的实力！请注意：1.考试时间120分钟，全卷共6页五大题合28小题，满分120分. 2.答题时要冷静思考、仔细检查.预祝你取得优异成绩！题号一二三四五总分得分一、精心选一选，慧眼识金！（本大题共10小题．每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1、下列各式中，正确的是（）(A)2)2(2-=- (B) 9)3(2=- (C) 393-=- (D) 39±=±2、下列计算中，错误的是（）A 、（3-）2=3 B 、228=- C 、221=2 D 、211-=1+2 3、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)4、已知M （a ，b ）和N （2，8）关于y 轴对称，则（） A ．a =2，b =-8 B ．a =-2，b =8 C ．a =-2，b =-8 D ．a =8，b =25、如图，宽为50 cm 的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（）（A ）400 cm 2（B ）500cm 2（C ）600cm 2（D ）4000cm 26、足球比赛的记分规则是: 胜一场记3分, 平一场记1分, 负一场记0分. 一支中学生足球队参加了15场比赛, 负了4场, 共得29分, 则这支球队胜了 ( )(A) 5场 (B) 7场 (C) 9场 (D) 11场得分评卷人A BCD LQ M P R KST7、如图4，矩形纸片ABCD 的边AD =9，AB =3，将其折叠，使点D 与点B 重合，则折叠后DE 的长与折痕EF 的长分别为（） A ．4，10B ．5，10 C ．4，23D ．5，238、如图5，把正方形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到正方形A ′B ′C ′D ′的位置，它们重叠的部分（图中阴影部分）的面积是正方形ABCD 面积的一半．若AC =2，则正方形移动的距离AA ′是（） A ．2－B ．2 C ．2－D ．以上都不对9、把长为8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，找开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm 2，则打开后梯形的周长是（）A ．(10213)+cmB ．(1013)+cmC ．22cmD ．18cm10、如图：矩形花园ABCD 中，a AB =，b AD =，花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条平行四边形道路RSTK 。

缅茄杯数学试题及答案

缅茄杯数学试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 一个圆的半径是5，那么它的周长是多少？A. 10πB. 20πC. 30πD. 40π答案：B3. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是？A. 4B. -4C. 4或-4D. 16答案：C4. 一个等差数列的首项是3，公差是2，那么第6项是多少？A. 15B. 17C. 13D. 11答案：A5. 一个三角形的三个内角分别是40度、60度和80度，这个三角形是什么类型的三角形？A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：A二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的绝对值是5，这个数可以是________。

答案：5或-57. 一个长方体的长、宽、高分别是2、3和4，那么它的体积是________。

答案：248. 一个分数的分子是7，分母是14，化简后是________。

答案：1/29. 一个数列的前三项是2、4、6，这个数列是________数列。

答案：等差10. 一个圆的直径是10，那么它的面积是________。

答案：25π三、解答题（每题10分，共30分）11. 证明：对于任意实数x，x²≥0。

证明：根据实数的性质，实数的平方总是非负的。

设x为任意实数，x²表示x乘以自身，由于实数乘法的结合律和交换律，x²总是非负的。

因此，对于任意实数x，x²≥0。

12. 解不等式：3x + 5 > 14。

解：首先将不等式两边同时减去5，得到3x > 9。

然后将不等式两边同时除以3，得到x > 3。

所以，x的解集是所有大于3的实数。

13. 计算：(2 + 3i)(1 - 4i)。

解：根据复数乘法的规则，我们有：(2 + 3i)(1 - 4i) = 2(1) + 2(-4i) + 3i(1) + 3i(-4i)= 2 - 8i + 3i - 12i²= 2 - 5i + 12（因为i² = -1）= 14 - 5i四、应用题（每题15分，共30分）14. 一个农场主有一块长100米，宽50米的长方形土地。

高州市2009-2010学年度第一学期七年级数学联赛试卷答案

七年级数学试卷答案11、0 12、2或0 13、1312)1(1++-+n n n 14、62cm 15、12+-n n16、答案：将实数对)2,3(-放入其中得到实数m =1212)3(2=++-，… 3分再将)2,12(-放入后得到的实数为：1431)2(122=+-+…… …………5分17、答案：由x m mx )2(82+=- 解得28-=m x ，……………… 2分因为x 是正整数，则2-m 是6的正因数，故2-m 的值只能取以下1，2，4，8，……4分那么整数m 的值是3，4，6，10…………………………………………………………5分18、解：如图所示（主视图3分，左视2分）19、答案：由021=-+-ab a 知01=-a ，得1=a …………1分02=-ab 得2=b …………………………………………2分将2,1==b a 代入方程，有10042009200797755331=⨯++⨯+⨯+⨯+⨯xx x x x (4分1004)200920071971751531311(=⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ x … 5分 1004)2009120071(21)9171(21)7151(21)5131(21)311(21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-+-+- x 6分 1004)2009120071917171515131311(21=-+-+-+-+- x 1004)200911(21=-x ……………………… 7分 10042009200821=⨯x ∴2009=x ………………………………… 8分20、解：⑴若这个整数为1，则（1×2＋7）×3－21＝6；故，小明所说的结论正确； …………………………… 3分 ⑵设这个整数为a ，则（a ×2＋7）×3－21 ………………………………………………5分＝3（2a ＋7）－21……………………………………………………6分＝6a ＋21－21＝6a ………………………………………… 7分 ∴6a 一定是6的倍数。

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高州市2010年学科竞赛
数学答案
一、精心选一选：（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

每小题给出四个答案，其中只有
11．120 12．2(3)x y - 13．40 14．20- 15． 12
三、细心做一做：（本大题共5小题，每小题7分，共35分。

）
16．解：=原式……………………1分
…………………………………………2分
3分
=a b
a b +-………………………………………………4分
当44a b ==时
原式5分
…………………………………………6分
=7分
17．
（2分）（2分）（3分）
（注：其他正确的分割方法相应给分。

）
18．解：作DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AB 于F ，……………………1分
则30,60DCE ADF ∠=∠=
四边形DEBF 为矩形，……………………………………2分
在,1000500Rt CDE CD DE =∴= 中米米
500FB ∴=米…………………………3分
45,30ACB DCB ∠=∠= 15ACD ∴∠=
90B ∠= 又 45CAB ∴∠=
又453015CAD CAB DAF ∠=∠-∠=-=
ACD CAD ∴∠=∠
1000AD CD ∴==米………………………………4分在3,sin 6010005003()2
Rt ADF AF AD =⋅=⨯= 中米…………5分 …………………………6分
答：山高AB 为50031）米……………………………………7分
19、解：设甲工种招x 人，两工种每月要付工资总额为y 元，则乙工种招（150-x ）人， (1)
分
依题意得1502,x x -≥………………2分
得050x ≤≤…………………………3分
10015015x ≤-≤………………4分
即：甲工种招工不多于50人，乙工种不少于100人时，每月所付工资总额最少。

……5分又8001000(150)150000200(050)y x x x x =+-=-≤≤
50,140000(x y ∴==当时最小元)………………………………6分
答：甲工种招人不多于50人，乙工种招人不少于100人时，
工资总额最少。

最少工资总额是140000
元。

………………………………7分
20、次数 6 12 15 18 20 25 27 30 32 36
人数 1 1 7 18 10 5 2 2 2 2
（2）答：测试标准应是绝大多数学生经努力能达到。

这一
次求样本的中位数和众数都是18，且每分钟17次以
上的同学占了82%，所以定16至18次为及格标准较
合适。

（16、17、18均算正确）…………………7分
（注：此问酌情给分）
四、沉着冷静，周密考虑：（本大题共5小题，每小题8分，共40分）
21、（1）①、（21)(32)x x +-………………1分 2132-⨯…………………………2分
②、(1)(32)x x +-………………3分 21,3
-………………4分（2）解方程两边都乘以2(3)x -，得22(3)20x x -+=, 化简得42320x x -+=……5分
设2y x =，则原方程为2320y y -+=，解这个方程得121,2y y ==………………6分即22
12x x ==或
解这两个方程得12341,1,x x x x ==-==…………………………7分
经检验，12341,1,x x x x ==-=均为原方程的根……………………8分
（注：不同方法可相应给分。

）
22、解：（1）正确。

……………………1分
如图所示，在,ABC A B C AB A B '''''= 与中, ,AC A C AD A D ''''=⋅分别为BC 、B C ''
上的中线，且AD A D ''=，
求证：ABC A B C '''≅ 。

……………………2分
证明：D 、D '分别为BC 、B C ''的中点，把ACD A C D ''' 和分别绕D 、D '点按顺时针旋转180
可得到ABE 与A B E ''' ………………………………………………3分 ,,AB A B BE B E AE A E ''''''∴===
,,ABE A B E BAE B A E ''''''∴≅∴∠=∠ ……………………4分
同理可得,,CAD C A D BAC B A C ''''''∠=∠∴∠=∠…………………5分
ABC A B C '''∴≅ ………………………………………………6分
（2）不正确。

…………7分，如三边长分别为8，12，18和12，18，27的两个三角形显然相拟，
且有5个元素相等，但它们不全等。

……………………8分
23、解：（1）男、女两队行进的速度比为3：2；…………………………1分
（2）设山脚距山顶的路程为x 米，依题意得3,6002
x x =-………………2分解得1800x =（米）……………………………………………………3分
经检验，1800x =是所列方程的根。

答：山脚距山顶1800米；………………………………………………4分
（3）可提出问题“B 处距山顶小于多少米？”或“男队从B 处下到山脚的路程要超过多少米？”…………………………………………………………5分
按前面的问题，设B 处与山顶路程为a 米(0)a >，男队速度为3k 米/时，女队速度为2k 米/时，依题意得60032a a k k
-<，……………………………………6分解得：360a <（米）……………………………………………………………7分
答：B 处与山顶的路程小于360米。

………………………………………8分
24、（1）证明：连结BE ， AE 为直径，90ABE ∴∠=
………………1分 AD 是ABC 的高，ACD AEB ∠=∠…………………………2分 Rt ABE ∴ ∽Rt ADC ……………………………………3分 ,AB AE AB AC AE AD AD AC
∴=∴⋅=⋅……4分（2）要使AB ⋅AC=AE ⋅AD 成立，
须增加条件BAE CAD ∴∠=∠……5分
此时的图形有两种情况，
如图a 、图b ，在图a 中连结BE ，
可得ABE ∽ADC ，推得
AB ⋅AC=AE ⋅AD …………………7分
图b 中同理可得…………………8分
（增加条件为CAE BAD ∠=∠也正确）
25、解：（1）依题意a 的取值必须满足2(21)4(1)0(1)0
a a a a a ⎧+-+>⎨+≠⎩………………1分
解得a 为不等于0和1-的任意实数；………………………………2分
（2）设A 、B 两点坐标为1(,0)A x 、2(,0)B x ，则12,x x 是方程2(1)(21)10a a x a x +-++=的
两个不等实根………………………………………………3分
则AB 的长为12||x x -= 1212211,(1)(1)
a x x x x a a a a ++==++ ………………………………4分
代入①式得1|||(1)|
AB a a ==+……………………5分 1||(1)
a AB a a ∴=+ 为正整数,…………………………………………6分（3）当a 依次取1，2, …，2010时，所截得的线段长分别为111||12A B =
⨯,221||,23A B =⨯ …，201020101||20102011
A B =⨯，………………………………7分
1111112010(1)()()12232010201120112011
=-+-+⋅⋅⋅+-=-=…………8分。