二面角习题
二面角练习题1223
B
1.过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^
平面， 设PA=AB=a ，求二面角B PC D -
-的大小。
2. 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝3
.(Ⅰ)证明：平面PBE ⊥平面PAB ；
(Ⅱ)求二面角A －BE －P 的大小
E P A B c
D
3. 如图,在底面为直角
梯形的四棱锥,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC ABCD PA 平面⊥,32,2,3===AB AD PA ,BC=6. (Ⅰ)求证:;PAC BD 平面⊥
(Ⅱ)求二面角A BD P --的大小.
4:如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，
AB AD AC CD ⊥⊥，，60ABC ∠=°，
PA AB BC ==，E 是PC 的中点．
（Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小；
（Ⅱ）证明AE ⊥平面PCD ；
（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．
A B C
P E
5.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形．已知3AB =，2AD =，2PA =
，PD =，60PAB = ∠．
（Ⅰ）证明AD ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小（略过）；
（Ⅲ）求二面角P BD A --的正切值．
A
B C
D P。
五种方法求二面角及练习题
五种方法求二面角及练习题一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
1．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求： （1）二面角C 1—BD —C 的正切值（2）二面角11B BC D --2.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点M 在侧棱上，=60，M 在侧棱的中点 （1）求二面角的余弦值。
AB CD A 1D 1 C 1 B 1二、三垂线法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
1. 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知ο60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．三．补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。
即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决1.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。
（1）求证：AC 1⊥BC ；（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。
EABCFE 1A 1B 1C 1D 1DACB B 1C 1AL2： 如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值.3如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ;（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.角的平面角（锐角）.ABCEDPA 1D 1 B 1C 1 E DBCA图5分析 平面AB 1E 与底面A 1B 1C 1D 1交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，. 四、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。
二面角典型习题
二面角1.二面角的计算：1）定义法；2）三垂线定理法；3）垂面法；4）面积射影法；例1、已知P 是二面角AB αβ--棱上一点，过P 分别在αβ、内引射线PM ，PN ，且45,60BPM BPN MPN ∠=∠=︒∠=︒，求此二面角的度数。
例2、已知P 为锐二面角l αβ--棱上的点，,4530PQ PQ l αβ⊂︒︒与成，与成，则二面角l αβ--的度数是多少。
例3、已知二面角l αβ--的度数为θ，在面α内有一条射线AB 与棱l 成锐角δ，与面βγ成角，则必有（ ）（A ）sin sin sin θδγ= （B ）sin sin cos θδγ=（C ）cos cos sin θδγ= （D ）cos cos cos θδγ=例4、在120︒的二面角l αβ--的面α、β内分别有A 、B 两点，且A 、B 到棱l 的距离AC 、BD 分别长2、4，AB=10，求：（1）直线AB 与棱l 所成角的正弦值。
（2）直线AB 与平面β所成角的正弦值。
例5、已知二面角MN αβ--为60︒，,,A B BC AB αββ∈∈为在上的射影，且C 在棱MN 上，AB 与β所成角为60︒，且45AC MCB ∠=︒，求线段AB 的长。
例6、已知二面角DC αβ--的度数为θ，,,A B ADC αβ∈∈∆的面积为S ，且DC=m ，AB DC ⊥，AB 与平面β成30︒角，当θ变化时，求DBC ∆面积最大值。
例7、已知C 是以AB 为直径的圆周上的一点，30ABC ∠=︒，45PA ABC PBA ⊥∠=︒面，，求二面角A-PB-C 的正弦值。
例8、在正方体1111ABCD A BC D -中，利用cos S S θ=射影解下列各题1）P 、Q 分别为1,A A AB 的中点，求平面1C PQ 与底面ABCD 所成角的余弦值2）求二面角11C BD C --的大小；3）M 是棱BC 的中点，求二面角111D B M C --的余弦值。
完整版二面角练习题
周练六1.如图，已知在三棱柱ABC ABQ,中，三个侧棱都是矩形，点D为AB的中点+AC 3,BC 4, AB 5,AA, 4 ,(I)求证AC BC i;(n )求证AC1 P平面CDB1;(川)求异面直线AC i与B i C所成角的余弦值+2 .如图，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面成60°的二面角,所成角的正弦值。
求直线BD与平面ABEF A —"DF3.如图，在棱长为a的正方体ABC—ABCD中，求:(1 )面AABB与面ABCD所成角的大小；(2)二面角C-BD-C的正切值(3)二面角B1 BC1 DP4•过正方形ABCD的顶点A作PA A平面ABCD ,设PA=AB=a , (1)求二面角B- PC- D的大小；(2)求二面角C-PD-AB C5.如图所示，四棱锥P —ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，/ BCD = 60°, E是CD的中点，PA丄底面ABCD , PA= .3•⑴证明：BE丄平面PAB;⑵求二面角A—BE—P的大小(3) PB与面PAC的角6如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中,AD//BC, ABC 90 ,PA 平面ABCD PA 3, AD 2, AB ^3 BC=6(1)求证：BD平面PAC；⑵求二面角P BD A的大小.(3)求二面角B-PC-A的大小7.如图，直二面角D —AB —E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB , F为CE 上的点，且BF丄平面ACE.(I)求证AE丄平面BCE;(H)求二面角B—AC —E的大小; (川)求点D到平面ACE的距离.8•如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形•已知AB 3 , AD 2 ,PA 2 , PD 2近,/ PAB 60°.(I)证明AD 平面PAB ；(n)求异面直线PC与AD所成的角的大小;(川)求二面角P BD A的正切值.。
高二数学二面角专项练习题及参考答案(精品)
高二数学二面角专项练习题及参考答案班级_____________姓名_____________一、定义法：直接在二面角的棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角. 例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。
二、垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例2 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的正切。
三、垂面法：作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角 例3 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，求B-PC-D 的大小。
四、投影面积法:一个平面α上的图形面积为S ，它在另一个平面β上的投影面积为S'，这两个平面的夹角为θ，则S'=Scos θ或cos θ=/SS .例4 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
五、补形法：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。
例5、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
方法归纳：二面角的类型和求法可用框图展现如下： [基础练习]1． 二面角是指 （ ） A 两个平面相交所组成的图形B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有 （ ） A 1条或2条交线 B 2条或3条交线C 仅2条交线D 1条或2条或3条交线3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( )A 5B 20C 210 D225 4．在直二面角α-l-β中，RtΔABC 在平面α内，斜边BC 在棱l 上，若AB 与面β所成的角为600，则AC 与平面β所成的角为 （ ） A 300 B 450 C 600 D 1200 5．如图，射线BD 、BA 、BC 两两互相垂直，AB=BC=1，BD=26， 则弧度数为3的二面角是（ ） A D-AC-B B A-CD-BC A-BC-D D A-BD-C6．△ABC 在平面α的射影是△A 1B 1C 1，如果△ABC 所在平面和平面α成θ，则有（ ） A S △A1B1C1=S △ABC ·sinθ B S △A1B1C1= S △ABC ·cosθC S △ABC =S △A1B1C1·sinθD S △ABC =S △A1B1C1·cosθ7．如图，若P 为二面角M-l-N 的面N 内一点，PB ⊥l ，B 为垂足，A 为l 上一点，且∠PAB=α，PA 与平面M 所成角为β，二面角M-l-N 的 大小为γ，则有 （ ）A.sinα=sinβsinγB.sinβ=sinαsinγC.sinγ=sinαsinβ D 以上都不对AB C DAB M NP l C1A1B1D8．在600的二面角的棱上有两点A 、B ，AC 、BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD= 。
高二数学二面角练习题
高二数学二面角练习题一、选择题1. 已知线段a与线段b相交，如图所示，则∠AOB为（）A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 平角2. 已知线段a与线段b垂直，如图所示，则∠AOB为（）A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 平角3. 已知直线l与平面P相交，且∠AOC=90°，如图所示，则∠BOC 为（）A. 钝角B. 直角C. 锐角D. 平角4. 已知∠AOC=63°，∠BOD=127°，则∠BOC为（）A. 54°B. 63°C. 90°D. 117°二、填空题1. 在平面直角坐标系中，点A(-2, 3)与点B(4, -1)确定的直线l的斜率为______。
2. 已知点A(3, 5)，则点A关于x轴的对称点为（）。
3. 已知线段AB的长度为8，线段CD的长度为4，且AB与CD相交于点O，若∠AOC=70°，则∠DOB为______。
三、解答题1. 如图所示，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，已知∠AOB=115°，求∠COD的度数。
2. 已知A、B、C三个点在平面直角坐标系中的坐标分别为A(2, 4)，B(-1, 1)，C(-3, -2)，求∠ABC的度数。
3. 在平面直角坐标系中，点A(5, 3)与点B(-3, 7)确定的直线l与x轴交于点P，求∠APB的度数。
四、综合题如图所示，点O为正方形ABCD中心，点M为边AD上的动点，且∠MOD=60°，连接OM并延长交BC于点N。
1. 证明：三角形OND是等边三角形。
2. 若边AD的长度为2，求三角形MNO的周长。
示意图：```B ________ C| || O || |A ________ D```答案：一、选择题1. C. 钝角2. B. 直角3. B. 直角4. D. 平角二、填空题1. 斜率为-2/3。
2. （3, -5）。
3. 40°。
解二面角问题三种方法(习题及答案)
C A B DA A 1B DC C 1 B 1 解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。
下面举几个例子来说明。
例1：如图，立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。
例2：在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。
这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的：1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。
2、．边长为a 的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对角线BD 将其折成才600的二面角，则A 、C 之间的距离为 。
（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4，过BC 的一个平面与AA 1交于D ，若AD =3，求二面角D ―BC ―A 的正切值。
总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。
并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。
在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。
至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。
由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。
（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。
二面角练习题
二面角练习题二面角是几何学中一个重要的概念，它与我们日常生活息息相关。
在几何学中，二面角是指两个平面的交线所形成的角度。
它不仅仅是一个数学概念，更是我们在空间中观察和测量角度的基本工具。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用二面角的概念。
练习题一：已知一平面上有一条直线AB，另一平面上有一条直线CD，两平面相交于O点，求∠AOC和∠BOD的关系。
解析：根据二面角的定义，我们可以知道∠AOC和∠BOD的和为180度。
这是因为当两个平面相交时，它们所形成的二面角的度数之和为180度。
所以，∠AOC和∠BOD是互补角。
练习题二：在空间直角坐标系中，已知直线l1的方程为x+y+z=1，直线l2的方程为x-y+z=3，求直线l1和直线l2的二面角。
解析：为了求解这个问题，我们需要先找到直线l1和直线l2的方向向量。
直线l1的方向向量可以通过求解方程组x+y+z=1得到，即(1,1,1)。
同样地，直线l2的方向向量可以通过求解方程组x-y+z=3得到，即(1,-1,1)。
然后，我们可以通过计算这两个向量的夹角来求解二面角。
使用向量的点积公式可以得到cosθ = (1,1,1)·(1,-1,1) / |(1,1,1)||(1,-1,1)| = 1/√3。
因此，θ = arccos(1/√3)。
这就是直线l1和直线l2的二面角。
练习题三：在平面直角坐标系中，已知直线l的方程为2x+y+z=4，平面P的方程为x-2y+3z=6，求直线l和平面P的二面角。
解析：为了求解这个问题，我们首先需要找到直线l的方向向量。
由于直线l的方程为2x+y+z=4，我们可以得到方向向量为(2,1,1)。
然后，我们可以通过计算这个方向向量与平面P的法向量的夹角来求解二面角。
平面P的法向量可以通过平面的方程x-2y+3z=6得到，即(1,-2,3)。
使用向量的点积公式可以得到cosθ = (2,1,1)·(1,-2,3) / |(2,1,1)||(1,-2,3)| = 9/√30。
二面角练习题
二面角练习题1、如图，平面EAD⊥平面ABCD，ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F、G分别是AB、AD的中点，EC与平面ABCD成角300角。
(1)求证：EG⊥平面ABCD；(2)若AD=2，求二面角E-FC-G的度数。
2．如图，在棱长为a的正方体OABC-O′A′B′C′中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF.(1)求证：A′F C′E；(2)当三棱锥B′-BEF的体积取得最大值时，求二面角B′-EF-B的大小（结果用反三角函数表示）.3、如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.(1)证明：C1C⊥BD；(2)假定CD=2，CC1=3/2, ，记面C1BD为a，面CBD为b，求二面角a-BD-b的平面角的余弦值；(3)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.4、如图1-125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值．5、在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离．(图1－126)6、如图1-127过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB＝a求(1)二面角B－PC－D的大小；(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．用两种方法求解此题参考答案：1、证明(1)（略）解(2)：由（1）知EG^平面ABCD，故可取点G为原点，GE、AD所在的直线为z轴和x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可求得DC=AB=，则E（0，0，），C（1，2，0），F（-1，，0），，设 =(x,y,1)为平面EFC的法向量 , 则由×且×得取平面ABCD的法向量为 =(0,0,1)则与所成的角(或其补角)为所求的二面角.cos< , >=< , >=450二面角E-FC-G为4502、(1)证明：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz，设AE=BF=x, 则A'(a,0,a), F(a-x,a,0),C'(0,a,a), E(a,x,0)∵∴ A'F⊥C'E.(2)解：记BF=x, BE=y, 则x+y=a,三棱锥B'-BEF的体积（当且仅当时，取得最大值）过B作BD⊥EF交EF于D，连B'D,则B'D⊥EF, ∴∠B'DB是二面角B'-EF-B的平面角. 在RtΔBEF中，直角边，则斜边上高，故二面角B'-EF-B的大小为 .3、解：分别以的单位向量为空间的基底{ }依题设中的条件，可设：，,(1)∵∴C⊥BD.∴ C1O(2) 连结AC交BD于点O，连结C1∵∴∴ AC⊥BD又由(1)知：CC1⊥BD，∴ BD⊥平面AA1C1C，∴∠COC1是二面角a-BD-b的平面角依题设从而得：，∴即：二面角a-BD-b的平面角的余弦值为 .(3) 设，即：由(2)可知：BD⊥平面AA1C1C，∴ BD⊥A1C，由线面垂直的判定定理知：如果A1C⊥DC1，则A1C⊥平面C1BD成立，∵又∵，∴展开：整理：∴以上各步可逆，所以x=1时4、分析由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角．解∵ PC⊥平面ABC∴平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED 是二面角B－PA－C的平面角．设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴ D是∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴∠PAC＝45°∴在Rt△DEA评注本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解．5、分析设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ．同理，有PB⊥a，∵ PA∩PB=P，∴ a⊥面PAQB于Q又 AQ、BQ 平面PAQB∴ AQ⊥a，BQ⊥a．∴∠AQB是二面角M－a－N的平面角．∴∠AQB＝60°连PQ，则PQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有∠PAQ＝∠PBQ=90°∴ P、A、Q、B四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R在△PAB中，∵ PA=1，PB=2，∠BPA＝180°-60°=120°，由余弦定理得AB2＝1＋4-2×1×2cos120°＝7由正弦定理：评注本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角．6、分析二面角B－PC－D的棱为PC，所以找平面角作棱的垂线，而平面PAB 和平面PCD所成二面角“无棱”须找二面角的棱．解 (1)∵ PA⊥平面ABCD，BD⊥AC∴ BD⊥PC(三垂线定理)在平面PBC内，作BE⊥PC，E为垂足，连结DE，得PC⊥平面BED，从而DE ⊥PC，即∠BED是二面角B－PC－D的平面角．在Rt△PAB中，由PA＝AB=a∵ PA⊥平面ABCD，BC⊥AB∴ BC⊥PB(三垂线定理)在Rt△PBC中，在△BDE中，根据余弦定理，得∴∠BED＝120°即二面角B－PC－D的大小为120°．(2)过P作PQ∥AB，则PQ⊂平面PAB，∵ AB∥CD∴ PQ∥CD，PQ⊂平面PCD∴平面PAB∩平面PCD于PQ∵ PA⊥AB，AB∥PQ∴ PA⊥PQ∵ PA⊥平面ABCD，CD⊥AD∴ CD⊥PD(三垂线定理的逆定理)∵ PQ∥CD ∴ PD⊥PQ所以∠APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角．∵ PA＝AB=AD，∴∠APD=45°即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45°.评注在求无棱二面角的大小时有时须作出棱线后再找平面角．。
二面角典型习题
二面角1.二面角的计算：1）定义法；2）三垂线定理法；3）垂面法；4）面积射影法；例1、已知P 是二面角棱上一点，过P 分别在内引射线PM ，PN ，且AB αβ--αβ、，求此二面角的度数。
45,60BPM BPN MPN ∠=∠=︒∠=︒例2、已知P 为锐二面角棱上的点，，则二l αβ--,4530PQ PQ l αβ⊂︒︒与成，与成面角的度数是多少。
l αβ--例3、已知二面角的度数为，在面内有一条射线AB 与棱l 成锐角，与面l αβ--θαδ，则必有（ ）βγ成角（A ） （B ）sin sin sin θδγ=sin sin cos θδγ=（C ） （D ）cos cos sin θδγ=cos cos cos θδγ=例4、在的二面角的面、内分别有A 、B 两点，且A 、B 到棱l 的距离120︒l αβ--αβAC 、BD 分别长2、4，AB=10，求：（1）直线AB 与棱l 所成角的正弦值。
（2）直线AB 与平面所成角的正弦值。
β例5、已知二面角为，上的射影，且C 在棱MN αβ--60︒,,A B BC AB αββ∈∈为在MN 上，AB 与所成角为，且，求线段AB 的长。
β60︒45AC MCB =∠=︒例6、已知二面角的度数为，的面积为S ，且DC=m ，DC αβ--θ,,A B ADC αβ∈∈∆，AB 与平面成角，当变化时，求面积最大值。
AB DC ⊥β30︒θDBC ∆in例7、已知C是以AB为直径的圆周上的一点，，30ABC∠=︒，求二面角A-45PA ABC PBA⊥∠=︒面，PB-C的正弦值。
例8、在正方体中，利用解下列各题1111ABCD A B C D-cosSSθ=射影1）P、Q分别为的中点，求平面与底面ABCD所成角的余弦值1,A A AB1C PQ2）求二面角的大小；11C BD C--3）M是棱BC的中点，求二面角的余弦值。
111D B M C--例9、已知D 、E 分别是边长为a 的等边三角形ABC 的边AB 、AC 上的点，DE//BC ，现沿DE 将三角形ADE 折起，是二面角A-DE-B 成60度角，当DE 在什么位置时，使折起后的顶点A 到BC 边距离最短？最短是多少？例10、等腰Rt 和Rt 有公共边AC ，，ADC ∆BCA ∆90,60ADC BCA ABC ∠=∠=︒∠=︒以AC 为棱折起多少度的二面角时，有BD=BC ？两个平面垂直1、两个平面垂直的证明1）定义2）判定定理2、两个平面垂直的性质例1、已知ABCD 为矩形，E 为半圆CED 上一点，且平面ABCD 平面CDE ⊥1）求证DE 是AD 与BE 的公垂线2）若AD=DE=AB ，求AD 与BE 所成角的大小。
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二面角练习
1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32
，D 是 BC
边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。
°
2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱，
BDE 与BDC 为面的二面角的度数。
3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小
A
B
A
4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =0
120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。
5.已知正方体 AC'，M 、N 分别是BB'，DD'的中点，求截面 AMC'N 与面ABCD ，CC'D'D 所成的角。
6. 如图，设ABC —A1B1C1是直三棱柱，E 、F 分别为AB 、A1B1的中点，且AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a. (1)求证：AF ⊥A1C
(2)求二面角C —AF —B 的大小
D
B
A
E
C
D ’
B ’
D
A
C ’
B
A ’
C
M
N
7．如图1111D C B A ABCD -是长方体，AB=2，11==AD AA ，求二平面C AB 1与1111D C B A 所成二面角的大小．
8.在正方体1111D C B A ABCD -中，1BB K ∈，1CC M ∈，且
141BB BK =
，
1
43
CC CM =.．求：平面AKM 与ABCD 所成角的大小．
答案：1解：由已知条件，D 是BC 的中点 ∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2
∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ， 又 PC ⊥面ABC ∴ PA ⊥AB (三垂线定理)
∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角， 易求 ∠PAC =30°
2.解：∵ BS =BC ，又DE 垂直平分SC
∴ BE ⊥SC ，SC ⊥面BDE ∴ BD ⊥SC ，又SA ⊥面ABC ∴ SA ⊥BD ，BD ⊥面SAC ∴ BD ⊥DE ，且BD ⊥DC 则 ∠EDC 就是所要求的平面角 设 SA =AB =a ，
则 BC =SB =2a 且 AC = 3
易证 △SAC ∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60° 3.解：取OC 之中点N ，则 MN ∥PO ∵ PO ⊥面ABCD
∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2
过 N 作 NR ⊥BD 于 R ，连MR ，
则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 过 C 作 CE ⊥BD 于S 则 RN =2
1CE 在 Rt △BCD 中， ∴ 5
8
BD BC CD CE =⋅=
A
∴ 5
4RN =
2
5
RN MN MRN tan ==
∠ ∴ 2
5
arctan
MRN =∠ 4.解：过 A 作 AE ⊥CB 的延长线于E ， 连结 DE ， ∵ 面ABC ⊥面BCD ∴ AE ⊥面BCD
∴ E 点即为点A 在面BCD 内的射影
∴ △EBD 为△ABD 在面BCD 内的射影
设 AB =a 则AE =DE =ABsin60°=
a 2
3 ∴ AD =
4
1ABD cos 26=∠， ∴ sin ∠ABD =
4
15
∴ 22ABD a 815415a 21S =⨯=
∆ 又 a 21BE = ∴ 2BDE a 8
3a 21a 2321S =⋅⋅=
∆ ∴ 5
5
S S cos ABD BDE =
=
θ∆∆ 考虑到我们求的是二面角 A-BD-E ，而二面角 A-BD-C 与A-BD-C 互补 ∴ 二面角 A-BD-C 的余弦值为5
5
-。
5.解：设边长为a ，易证 ANC'N 是菱形 且MN =a 2，A'C =a 3 ∴Ｓ□AMC'N = 2a 2
6'AC 21MN =⋅
由于AMC'N 在面ABCD 上的射影即
C ’
A ’
C
为正方形ABCD ∴ Ｓ□ABCD =2
a ∴ 3
6a 2
6a cos 221=
=
θ ∴ 3
6arccos
1=θ 取CC'的中点M'，连结DM'
则平行四边形DM'C'N 是四边形AMC'N 在CC'D'D 上的射影，
Ｓ□DM'C'M =
2a 21 ∴ 66a 2
6a
21cos 2
22==θ ∴6
6arccos
2=θ
6分析 本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识. 解 (1)∵AC ＝BC ，E 为AB 中点，∴CE ⊥AB 又∵ABC —A1B1C1为直棱柱，∴CE ⊥面AA1BB 连结EF ，由于AB ＝2AA1 ∴AA1FE 为正方形
∴AF ⊥A1E ，从而AF ⊥A1C
(2)设AF 与A1E 交于O ，连结CO ，由于AF ⊥A1E ，知AF ⊥面CEA1 ∴∠COE 即为二面角C —AF —B 的平面角 ∵AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a
∴CE ＝2a,OE ＝22a,∴tan ∠COE ＝a
a
22
2＝2.
∴二面角C —AF —B 的大小是arctan2.
7解析：∵ 平面ABCD ∥平面1111D C B A ，∴ 平面C AB 1与平面1111D C B A 的交线l 为过点1B 且平行于AC 的直线．直线l 就是二平面C AB 1与1111D C B A 所成二面角的棱．又1AA ⊥
平面1111D C B A ，过1A 作AH ⊥l 于H ，连结AH ．则1AHA ∠为二面角1A l A --的平面角．可
求得
25tan 1=
∠AHA ．因此所求角的大小为25arctan 或25
arctan
π-
8 解析：由于BCMK 是梯形，则MK 与CB 相交于E ．A 、E 确定的直线为l ，过C 作CF
⊥l 于F ，连结MF ，因为MC ⊥平面ABCD ，CF ⊥l ，故MF ⊥l ．∠MFC 是二面角M-l-C 的
平面角．设正方体棱长为a ，则
a CM 43=
，a BK 41=．在△ECM 中，由BK ∥CM 可得
a
EB 21=，a CF 53=，故45tan =∠MFC ．因此所求角的大小为45arctan 或45
arctan
π-．。