南京市2015年中考数学试题及答案

2015年江苏省南京市中考数学试卷

（满分1２0分，考试时间120分钟）

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．） 1.（2015江苏省南京市，1，2分）计算53-+的结果是 A ．－2 B ．2 C ．－8 D ．8 【答案】B

【解析】5322-+=-=

2. （2015江苏省南京市，2，2分）计算32()xy -的结果是

A ．26x y

B ．26x y -

C ．29x y

D ．29x y - 【答案】A

【解析】由积的乘方公式可得

3. （2015江苏省南京市，3，2分）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，

1

2

AD DB =，则下列结论中正确的是 A ．

12AE AC = B ．1

2

DE BC = C ．

13ADE =ABC ??的周长的周长 D ．1

3

ADE =ABC ??的面积的面积

【答案】C

【解析】由周长比等于相似比

4. （2015江苏省南京市，4，2分）某市2013年底机动车的数量是6

210?辆，2014年新增

5310?辆，用科学记数法表示该市2014年底机动车的数量是

A ．5

2310.? B ．5

3.210? C ．6

2310.? D ．6

3.210? 【答案】C

【解析】6

5

6

210310 2.310?+?=?

5. （2015江苏省南京市，5，2

A ．0.4与0.5之间

B ．0.5与0.6之间

C ．0.6与0.7之间

D ．0.7与0.8之间 【答案】C

2.236≈

0.618≈

6. （2015江苏省南京市，6，2分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC

分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为

A ．133

B ．9

2 C

D

． 【答案】A

【解析】由勾股定理得：设GM=x ，2

2

2

(3)4(3)x x +=+-

解得，43x =

，所以DM =133

．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7. （2015江苏省南京市，7，2分）4的平方根是 ▲ ；4的算术平方根是 ▲ ． 【答案】2±；2

【解析】2=±

2=

8. jscm （2015江苏省南京市，8，2分）

x 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1x ≥- 【解析】10,1x x +≥≥

9. jscm （2015江苏省南京市，9，2分）

的结果是 ▲ ． 【答案】5

5== 10. jscm （2015江苏省南京市，10，2分）分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是 ▲ ． 【答案】2

(2)a b -

【解析】2

2

2

2

2

()(4)4444(2)a b a b ab a ab ab b ab a ab b a b --+=--++=-+=- 11.（2015江苏省市，11，2分）不等式211

213

x x +>-??+

【答案】11x -<<

【解析】211,22,1x x x +>->->-

213,22,1x x x +<<< 11x -<<

12. （2015省市，12，分）已知方程2

30x mx ++=的一个根是1，则它的另一个根是 ▲ ，m 的值是 ▲ ． 【答案】3；-4

【解析】130,4m m ++==-

2430

(1)(3)0

1,3

x x x x x x -+=--=== 13. （2015江苏省南京市，13，2分）在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（2，-3），作

点A 关于x 轴的对称点得到点A’，再作点A’关于y 轴的对称点，得到点A’’，则点A’’的坐标是（ ▲ ， ▲ ）． 【答案】-2；3 【解析】（2，-3）关于x 轴对称（2，3），关于y 轴对称（-2，3）

14. （2015江苏省南京市，14，2分）某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月

工资如下表所示．

现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工，瓦工各1名．与调整前相比，该工程队员工月工资的方差 ▲

（填“变小”，“不变”或“变大”）． 【答案】变大

【解析】电工的工资高于瓦工工资。

15. （2015江苏省南京市，15

，2分）如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD =35°，

则∠B +∠E = ▲ ．

B

E

B

【答案】215°

【解析】∠1+∠2=180°，∠3=∠4=35°，所以∠CBA +∠DEA =215°

16. （2015江苏省南京市，16，2分）如图，过原点O 的直线与反比例函数y 1，y 2的图象在

第一象限内分别交于点A 、B ，且A 为OB 的中点，若函数11

y x

=，则y 2与x 的函数表达式是 ▲ ．

y 2

y 1=

1x

【答案】24y x

= 【解析】由

1112442

ACO BOD k

S S ??===? ，得k

=4

三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. jscm （2015江苏省南京市，17，6分）解不等式2(1)132x x +-≥+，并把它的解集在数

轴上表示出来．

【答案】

【解析】解：去括号，得22132x x +-≥+ 移项，得23221x x -≥-+ 合并同类项，得1x -≥ 系数化为1，得1x ≤-

这个不等式的解集在数轴上表示如下图所示．

x

18.jscm （2015江苏省南京市，18，7分）解方程233x x

=-． 【答案】

【解析】解：方程两边乘(3)x x -，得23(3)x x =-． 解得9x =．

检验：当9x =时，(3)0x x -≠．所以，原方程的解为9x =． 19. （2015江苏省南京市，19，7分）计算22221()a

a b a ab a b

-÷--+

【答案】 【解析】解：222

21()a

a b a ab a b

-÷--+ ＝21[

]()()()a b

a b a b a a b a +-?

+-- ＝2[

]()()()()a a b a b

a a

b a b a a b a b a

++-?+-+-

＝

2()()()a a b a b

a a

b a b a -++?+-

＝

()()a b a b

a a

b a b a -+?+-

＝

21a

． 20. （2015江苏省南京市，20，8分）如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CD

CD BD

=． （1）求证△ACD ∽△CBD ； （2）求∠ACB 的大小．

【答案】 【解析】

（1）证明：∵CD 是边AB 上的高，

∴∠ADC =∠CDB =90°.

又

AD CD

CD BD

= ∴△ACD ∽△CBD

（2）∵△ACD ∽△CBD

∴∠A=∠BCD

在△ACD中，∠ADC=90°,

∴∠A+∠ACD=90°.

∴∠BCD+∠ACD=90°

即∠ACB=90°

21.（2015江苏省南京市，21，8分）为了了解2014年某地区10万名大、中、小学生50米

跑成绩情况，教育部门从这三类学生群体中各抽取了10%的学生进行检测，整理样本数据，并结合2010年抽样结果，得到下列统计图．

（1）本次检测抽取了大、中、小学生共▲ 名，其中小学省▲ 名；

（2）根据抽样的结果，估计2014年该地区10万名大、中、小学生中，50米跑成绩合格的中学生人数为▲ 名．

（3）比较2010年与2014年抽样学生50米跑成绩合格率情况，写出一条正确的结论．【答案】

【解析】解：（1）10000；4500

（2）36000

（3）本题答案不唯一，下列解法供参考。例如，与2010年相比，2014年该市大学生50米跑成绩合格率下降了5%。

22.（2015江苏省南京市，22，8分）某人的钱包内有10元钱、20元钱和50元钱的纸币各

1张，从中随机取出2张纸币．

（1）求取出纸币的总额是30元的概率；

（2）求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．

【答案】

【解析】解：某人从钱包内随机取出2张纸币，可能出现的结果有3种，即（10，20）、（10、50）、（20，50），并且它们出现的可能性相等。

（1）取出纸币的总数是30元（记为事件A）的结果有1种，即（10，20），所以

1 ()

3 P A=.

（2）取出纸币的总额可购买一件51元的商品（记为事件B）的结果有2种，即（10，50）、

（20，50）。所以

2 ()

3 P B=.

23. （2015江苏省南京市，23，8分）如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙

位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°．轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h．经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O有多远？

（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）

D C

【答案】

【解析】解：设B 处距离码头Ox km 。 在Rt △CAO 中，∠CAO =45°，

∵tan CO

CAO AO

∠=

， ∴tan (450.1)tan 45 4.5CO AO CAO x x =?∠=?+??=+ 在Rt △DBO 中，∠DBO =58°，

∵tan DO

DBO BO

∠=， ∴tan tan 58DO BO DBO x =?∠=??，

∵DC =DO -CO ，

∴360.1tan58(4.5)x x ?=??-+ ∴360.1 4.5 3.60.1 4.5

13.5tan 581 1.601

x ?+?+=

==?--

因此，B 处距离码头O 大约13.5km 。

24. （2015江苏省南京市，24，8分）如图，点E 、F 分别在AB 、CD 上，连接EF ，∠AFE 、

∠CFE 的平分线交于点G ，∠BEF 、∠DFE 的平分线交于点H ． （1）求证：四边形EGFH 是矩形．

（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G 作MN ∥EF ，分别交AB 、CD 于点

M 、N ，过H 作PQ ∥EF ，分别交AB 、CD 交于点P 、Q ，得到四边形MNQP ．此时，他猜想四边形MNQP 是菱形，请在下列图中补全他的证明思路． B

【解析】解：

（1）证明：∵EH 平分∠BEF 。

∴1

2

FEH BEF ∠=

∠， ∵FH 平分∠DFE ， ∴1

2

EFH DFE ∠=

∠ ∵AB ∥CD

∴180BEF DFE ∠+∠=?

∴11

()1809022

FEH EFH BEF DFE ∠+∠=

∠+∠=??=? 又 180FEH EFH EHF ∠+∠+∠=?

∴180()1809090EHF FEH EFH ∠=?-∠+∠=?-?=? 同理可证，90EGF ∠=? ∵EG 平分∠AEF ， ∴1

2FEG AEF ∠=

∠ ∵EH 平分∠BEF ， ∴1

2

FEH BEF ∠=

∠ ∵点A 、E 、B 在同一条直线上。 ∴∠AEB =180°.

即∠AEF +∠BEF =180°。 ∴11

()1809022

FEG FEH AEF BEF ∠+∠=

∠+∠=??=? 即 ∠GEH =90°。

∴四边形EGFH 是矩形。

（2）本题答案不唯一，下列解法供参考，例如，FG 平分∠CFE ；GE =FH ；∠GME =∠HQH ；∠GEF =∠EFH

25. （2015江苏省南京市，25，10分）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，请画出以A

为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）

D

【解析】解：满足条件的所有等腰三角形如下图所示。

3

26. （2015江苏省南京市，26，8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延

长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．

（1）求证：∠A=∠AEB．

（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD．求证：△ABE是等边三角形．

【答案】

【解析】解：

（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形

∴∠A+∠BCD=180°

∵∠DCE+∠BCD=180°,

∴∠A=∠DCE

∵DC=DE

∴∠DCE=∠AEB

∴∠A=∠AEB

（2）∵∠A=∠AEB

∴△ABE是等腰三角形。

∵OE⊥CD

∴CF=DF

∴OE是CD的垂直平分线

∴ED=EC

又DC=DE

∴DC=DE=EC

∴△DCE是等边三角形

∴∠AEB=60°

∴△AEB是等边三角形

27. （2015江苏省南京市，27，10分）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相

等．下图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1（单元：元）、销售价y 2（单位：元）与产量x （单位：kg ）之间的函数关系． （1）请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义． （2）求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式．

（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

x

【答案】 【解析】解：

（1）点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为为130kg 时，该产品每千克生产成本与

销售价相等，都为42元。 （2）设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数关系式为111y k x b =+ 因为111y k x b =+的图像过（0，60）与（90，42），

所以111

609042b k b =??+=?

解方程组得11

0.2

60k b =-??

=?

这个一次函数的表达式为10.260(090)y x x =-+≤≤ （3）设y 2与x 之间的函数表达式为222y k x b =+ 因为222y k x b =+的图像过（0，120）与（130，42），

所以222

120

13042b k b =??+=?

解方程组得220.6

120

k b =-??

=?

这个一次函数的表达式为20.6120(0130)y x x =-+≤≤

设产量为x kg 时，获得的利润为W 元。

当090x ≤≤时，2[(0.6120)(0.260)]0.4(75)2250W x x x x =-+--+=--+。所以当x =75时，W 的值最大，最大值为2250.

当90130x ≤≤时，2[(0.6120)42]0.6(65)2535W x x x =-+-=--+，当x =90时，

20.6(9065)25352160W =--+=，由-0.6<0知，当x>65时，W 随x 的增大而减小，所

以90130x ≤≤时，2160W ≤.

因此，当该产品产量为75kg 时获得的利润最大，最大利润是2250元。