线代第二章(习题课)

10
5.
初等变换
对换变换、倍乘变换、 对换变换、倍乘变换、倍加变换 三种初等变换都是可逆的， 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的 初等变换． 初等变换． 初 等 变 换 逆 变 换
ri ↔ r j (ci ↔ c j )
ri ↔ r j (ci ↔ c j )
1 1 ri × (ci × ) k k ri + (−k) r j (ci + (−k)c j )
伴随矩阵： 伴随矩阵：行列式 A 的各个元素的代数余子式 构成的如下矩阵
Aij 所
A11 A12 ∗ A = L A 1n
A21 L An1 A22 L An 2 L L L A2 n L Ann
AA∗ = A∗ A = A E .
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3. 逆矩阵
T
)
T
= A;
T T T T
(2 ) ( A + B ) = A + B ; ( 3 ) (λ A ) = λ A ; (4) ( AB ) = B A .
T T T T
对称矩阵和反对称矩阵： 对称矩阵和反对称矩阵：
A是对称矩阵 A是反对称矩阵
⇔ ⇔
AT = A AT = − A
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幂等矩阵： 阶方阵， 幂等矩阵： A 为n阶方阵，且 A2 = A 阶方阵
定义： 为 阶方阵 若存在n阶方阵 定义：A为n阶方阵，若存在 阶方阵 使得 AB = BA = E 阶方阵， 阶方阵,使得 则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的） 则称矩阵 是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的） 是可逆的 矩阵B称为矩阵 的逆矩阵 矩阵 称为矩阵A的逆矩阵。 称为矩阵 的逆矩阵。 唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的 是可逆矩阵， 的逆矩阵是唯一的. 唯一性： 是可逆矩阵 的逆矩阵是唯一的
−1
−1
( λ A) =
−1
1
λ
⋅ A ( λ ≠ 0)
−1 −1
(A ) = (A ) ,
−1
T
T −1
A
−1
= A
逆矩阵求法： ） 逆矩阵求法： 1）待定系数法 （ （2）伴随矩阵法 ） 3） （3）初等变换法
4. 分块矩阵
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似． 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．
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8. 用初等变换法求矩阵的逆矩阵
定理： 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵. 定理： 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵 推论1： 推论 ： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积 推论2：如果对可逆矩阵 A 和同阶单位矩阵 E 作同样的初等 推论 ： 行变换， 行变换，那么当 A 变成单位矩阵 E 时，E 就变成 A−1。
T
3 2 = (2 E + A) = 0 −3
0 3 0
0 0 5
2
= 2025
19
例3：设 4 阶方阵 A = ：
(α , γ 2 , γ 3 , γ 4 ) , B = ( β , γ 2 , γ 3 , γ 4 ) ,
维列向量， 其中 α , β , γ 2 , γ 3 , γ 4 均为 4 维列向量，且已知行列式
= 8( A + B ) = 56
20
100
21
22
1 0 0 1 0 0 AP = PB , B = 0 0 0 , P = 2 − 1 0 例4：已知 ： 0 0 −1 2 1 1 5 求A与A .
解： P ≠ 0
∴ P
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二. 典型例题
1. 矩阵的基本运算
1 1 例1：设矩阵 A = ： 求与A可交换的所有矩阵 可交换的所有矩阵。 , 求与 可交换的所有矩阵。 0 1 a b 解：设所求矩阵为 X = , c d
由 AX = XA,
1. 2. 3. 4. 5.
矩阵的基本运算 方阵的幂 逆矩阵的求解、 逆矩阵的求解、证明 矩阵方程 矩阵的分块运算
A = 4, B = 3, 求行列式 A + B .
解： A + B =
(α + β , 2γ 2 , 2γ 3 , 2γ 4 ) = 8 (α + β , γ 2 , γ 3 , γ 4 ) = 8( (α , γ 2 , γ 3 , γ 4 ) + ( β , γ 2 , γ 3 , γ 4 ) )
−1
存 在
∴ A = PBP −1
∴ A2 = PBP −1 ∴ A3
2
( )( ) = ( PB P ) ( PBP ) = PB P
−1 −1 3
PBP −1 = PB 2 P −1
−1
∴ A5 = PB 5 P −1
23
又 B
2
1 = 0 0
0 0 0
0 1 0, B3 = 0 0 1
+ a k −1 x
k −1
+ L + a1x + a0
f ( A ) = a k A k + a k −1 A k −1 + L + a 1 A + a 0 E
方阵的行列式： 方阵的行列式： 满足: 满足:
(1) AT = A ;
(3) AB = A B
( 2 ) λ A = λn A ;
6
一些特殊的矩阵: 一些特殊的矩阵 转置矩阵: 转置矩阵: 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的 新矩阵， 的转置矩阵， 新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 AΤ . 满足： 满足： (1) ( A
∑a
k =1
s
ik
b kj
( i = 1,2,L , m; j = 1, 2,L n)
4
乘法满足 ( AB )C = A( BC );
λ ( AB ) = (λA) B = A(λB ), (其中λ为数 );
A( B + C ) = AB + AC , ( B + C ) A = BA + CA; E m Am ×n = Am ×n = Am ×n E n .
(
)
15
A 初等列变换 E → − 1 E A
9. 解矩阵方程的初等变换法
(1)AX = B
初等行变换
( A B)
→
( E A−1 B ) ⇒ X = A − 1 B
(2)XA = B
A 初等列变换 → B
E −1 BA
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ri × k(ci × k)
ri + k r j (ci + k c j )
如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵 经过有限次初等变换变成矩阵B, 矩阵的等价： 矩阵的等价：如果矩阵 经过有限次初等变换变成矩阵 就称矩阵A与矩阵 等价。 与矩阵B等价 就称矩阵 与矩阵 等价。记作 A ~ B
6. 初等矩阵
1 ∗ 阶方阵A可逆 判定定理: 阶方阵 判定定理 n阶方阵 可逆 ⇔ A ≠ 0 且 A = A A 推论： 推论： 设A、B为同阶方阵，若 AB = E , 为同阶方阵， 、 为同阶方阵
−1
都可逆， 则A、B都可逆，且 A−1 = B，B −1 = A 、 都可逆
9
满足规律： 满足规律： ( A ) = A,
a+c 得
c
b + d a a + b =c c+d d
∴ c = 0, a = d ∴ X = a b , 其中 ，b为实数 0 a 其中a， 为实数 18
1 0 0 例2：设 A = 0 1 0 , ： −3 0 3
的行列式。 求 (2 E + A)T (2 E − A)−1 (4 E − A2 ) 的行列式。 解： (2 E + A)T (2 E − A)−1 (4 E − A2 )
= (2 E + A) (2 E − A) (2 E − A)(2 E + A)
T
−1
= (2 E + A) (2 E + A) = (2 E + A)T (2 E + A)
第二章
矩阵习题课
一、主要内容 二、 典型例题 三、测验题
1
一. 主要内容
1. 矩阵的定义
由m × n个数 aij ( i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n)
列的数表， 排成的m 行n列的数表，
a11 a21 简称 m × n矩阵 . 记作 A = L 简记为A = a ij 或 Am ×n am 1 m ×n
初等矩阵： 由单位矩阵E 初等矩阵： 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵. 称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵： 三种初等变换对应着三种初等方阵： 初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、 初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
0 0 0
0 0 = B −1
∴ B5 = B ∴ A5 = PB 5 P −1 = PBP −1 = A
又 P
−1
1 = 2 −4
0 −1 1
0 0 1
⇒ X = BA − 1
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10、 10、矩阵秩的求法
定理1 定理 初等变换不改变矩阵的 秩
初等变换求矩阵秩的方法： 初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩