上海市松江区2019-2020学年度第一学期期末质量监控试卷数学试卷(含答案)

松江区2019学年度第一学期期末质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟） 2019．12考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。

3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B = ▲ ．2．若角α的终边过点(4,3)P -，则3sin()2πα+= ▲ ． 3．设1i2i 1iz -=++，则z = ▲ ． 4．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 ▲ ．5．已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1PF = ▲ ．6．若关于,x y 的二元一次方程组{42mx y m x my m+=++=无解，则实数m = ▲ ．7．已知向量(1,2)a =，(,3)b m =-，若向量(2)a b -∥b ，则实数m = ▲ ． 8．已知函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，若函数()2xy f x =+的图像经过点(1,6)，则函数12()log y f x x -=+的图像必过点 ▲ ．9．在无穷等比数列{}n a 中，若121lim()3n n a a a →∞+++=，则1a 的取值范围是 ▲ ．10．函数ax by cx d+=+的大致图像如图，若函数图像经过(0,1)-和(4,3)-两点，且1x =-和2y =是其两条渐近线，则:::a b c d = ▲ ．11．若实数,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，则实数c 的最小值为 ▲ ． 12．记边长为1的正六边形的六个顶点分别为123456,,,,,A A A A A A ，集合{,(,1,2,3,4,5,6,)}i j M a a A A i j i j ===≠，在M 中任取两个元素m 、n ，则0m n ⋅=的概率为 ▲ ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．13．已知l 是平面α的一条斜线，直线m α，则(A) 存在唯一的一条直线m ，使得l m ⊥ (B) 存在无限多条直线m ，使得l m ⊥ (C) 存在唯一的一条直线m ，使得l ∥m (D) 存在无限多条直线m ，使得l ∥m 14．设,x y R ∈，则“2x y +>”是“,x y 中至少有一个数大于1”的(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件 15．已知b 、c R ∈，若2||x bx c M ++≤对任意的[0,4]x ∈恒成立，则 (A) M 的最小值为1 (B) M 的最小值为2 (C) M 的最小值为4 (D) M 的最小值为8 16． 已知集合{1,2,3,,10}M =，集合A M ⊆，定义()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有非空子集时，对应的()M A 的和记为10S ，则10S =(A) 45 (B) 1012 (C) 2036 (D) 9217三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，圆锥的底面半径2OA =，高6PO =，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点．（1）求圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线CD 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．A18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数2()cos 2sin f x x x x =-．（1）求()f x 的最大值；（2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()0f A =， b 、a 、c 成等差数列，且2AB AC ⋅=，求边a 的长．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t 、人的反应时间1t 、系统反应时间2t 、制动时间3t ，相应的距离分别为0d 、1d 、2d 、3d ．当车速为v （米/秒），且[0,33.3]v ∈时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，[0.5,0.9]k ∈）．（1）请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式()d v ；并求0.9k =时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间．（精确到0.1秒）（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时（精确到1千米/小时）？20． （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分设抛物线:Γ24y x =的焦点为F ，经过x 轴正半轴上点(,0)M m 的直线l 交Γ于不同的两点A 和B ．（1）若3FA =，求A 点的坐标；（2）若2m =，求证：原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部； （3）若FA FM =，且直线1l ∥l ，1l 与Γ有且只有一个公共点E ，问：OAE ∆若存在，求出最小值，并求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知数列{}n a 满足：①n a N ∈()n N *∈；②当2()kn k N *=∈时，2n n a =； 当2()kn k N *≠∈时，1n n a a +<．记数列{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求139,,a a a 的值；（2）若2020n S =，求n 的最小值；（3）求证：242n n S S n =-+的充要条件是211()n a n N *+=∈．松江区2019学年度第一学期高三期末考试数学试卷参考答案一、填空题1．{}12， ； 2．45- ； 3．1 ； 4． 40； 5．4； 6．2-；7．32-； 8．(4,3) ；9．112(0,)(,)333； 10．2:1:1:1-；11．-；12． 851；二、选择题13．B 14．A 15．B 16．C 三、解答题17． 解：（1）由题意，得OA ＝2，PO ＝6，∴PA = ………………………2分∴圆锥的侧面积为2S rl ππ==⨯⨯=；……………………4分 体积为221126833V r h πππ==⨯⨯= ；………………6分 （2）取PO 的中点E ，连接DE ，CE ，则∠CDE 或其补角即为所求，如图所示；……………… 8分因AO ⊥EO ，AO ⊥CO ，EOCO=O 知，AO ⊥平面ECO 又//DE AO ，∴DE ⊥平面ECO ，∴DE ⊥EC ，∴DEC ∆是RT ∆ ……………… 10分由112DE OA ==， ……………… 11分CE === ……………… 13分∴CDE ∠=AB 与CD 所成的角为…………14分 18． 解：（1）2()cos 2sin 2cos 212sin(2)16f x x x x x x x π=-=+-=+-……4分∴max ()()2116f x f π==-=……………… 6分此时2262x k πππ+=+，则6x k ππ=+，()k Z ∈，（2） 由 ()0f A = 得1sin(2)62A π+=， ∴2266A k πππ+=+或2266A k ππππ+=-+，()k Z ∈因0A π<< ∴3A π=………………………… 9分由b ，a ，c 成等差数列，得2a ＝b +c ， ………………… 10分 ∵2AB AC ⋅=，∴bc cos A ＝2，∴bc ＝4， ………………… 11分 由余弦定理，得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝（b +c ）2﹣3bc ，…………12分 ∴a 2＝4a 2﹣3×4，∴2a =． ………………………… 14分19． 解：（1）由题意得0123()d v d d d d =+++ ……………………… 1分 ∴21()2020d v v v k=++………………………… 3分 当0.9k =时，2()2018v d v v =++， ……………4分20()1112 3.1183v t v v =++≥+=+⋅=（秒）……………7分 （2）根据题意, 要求对于任意[0.5,0.9]k ∈，()80d v <恒成立，…………9分 即对于任意[0.5,0.9]k ∈， 21208020v v k ++< 即2160120k v v<-恒成立， 由[0.5,0.9]k ∈得 111[,]201810k ∈ ∴2160110v v<- 即2106000v v +-< ………………………12分 解得3020v -<<∴020v ≤<（米/秒）， ………………………13分360020721000⨯=（千米/小时）∴汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时………………………14分20． 解：（1）由抛物线方程知，焦点是(1,0)F ，准线方程为1x =-，设A （x 1，y 1），由|F A |=3及抛物线定义知，x 1=2，代入24y x =得y =±所以A 点的坐标(2,A 或(2,A - ………………………4分（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 设直线AB 的方程是：x ＝my +2， 联立224x my y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得：y 2﹣4my ﹣8＝0，由韦达定理得121248y y m y y +=⎧⎨=-⎩，………6分 11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+22212121212()4804416y y y y y y y y =⋅+=+=-<， 故AOB ∠恒为钝角，故原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部． ………………………10分（3）设A （x 1，y 1），则x 1y 1≠0，因为|F A |＝|FM |，则|m ﹣1|＝x 1+1，由m ＞0得m ＝x 1+2，故M （x 1+2，0）．故直线AB 的斜率K AB ＝12y -． 因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为12y y x b =-+，代入抛物线方程 得211880b y y y y +-=，由题意21164320b y y ∆=+=，得12b y =-．……………12分 设E （x E ，y E ），则14E y y =-，21141E x y x ==11111111014111222141OAEy x S x y x y x y ∆==+≥- ………………………14分当且仅当11114y x x y =，即22114y x =时等号成立， 由221121144y x y x ⎧=⎨=⎩ 得21144x x =，解得11x =或10x =（舍），………………15分 所以M 点的坐标为(3,0)M ，min ()2OAE S ∆= ………………………16分 21． 解：（1）因21a =，12a a <，且1a 是自然数，10a ∴=； ………………2分42a =，340a a ≤<，且34,a a 都是自然数；∴30a =或31a =；………………3分168a =，9101608a a a ≤<<<=，且*()i a N i N ∈∈，∴90a =或91a =．……4分（2）122()k k a k N -*=∈，当122k k n -<≤(,)n k N *∈时，1111212223202k k k k k a a a a ----+++≤<<<<=，由于n a N ∈，所以121k m a m -+=-或m ，11,2,3,,2 1.k m -=- ………………………6分∴()64max (01)(12)(1234)(128)(1216)S =+++++++++++++++23458916173233(1232)171422222⨯⨯⨯⨯⨯++++=+++++= ()128max 646571427942S ⨯=+= 7142020279<<，64128n ∴<< ………………………8分 又20207141306-=，123501275130612350511326++++=<<+++++=所以min 6451115n =+= ………………………10分（3）必要性：若242n n S S n =-+则：122422n n n S S +=-+ ①122214(21)2n n n S S +++=-++ ②①-②得：1121222141()n n n a a a n N ++*++++=-∈ ③ ………………………11分由于1121220,1n n a a ++++=⎧⎨=⎩或1121221,2n n a a ++++=⎧⎨=⎩或1121222n n a a ++++=⎧⎨=⎩，且210,n a +=或1 只有当112121221,1,2n n n a a a +++++===同时成立时，等式③才成立211()n a n N *+∴=∈ ………………………13分充分性：若211()n a n N *+=∈，由于1212223212n n n n n a a a a ++++=<<<<=所以2(,,2)n n k a k n N k N k **+=∈∈≤，即211n a +=，222n a +=，233n a +=，…，12121n n a +-=-，又122n n a +=所以对任意的n N *∈，都有2211n n a a -=+…（I ） ………………………14分 另一方面，由2n k a k +=，1222n k a k ++=(,,2)n n N k N k **∈∈≤所以对任意的n N *∈，都有22n n a a =…（II ） ………………………15分21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -∴=+++=+++++++2422232()24()n n a a a n a a a a n =+++-=++++-由于120,1a a ==2124()242n n n S a a a n S n ∴=+++-+=-+ 证毕. ………18分。