2017年高考数学大一轮复习精品课件6.3等比数列
高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第30讲 等比数列及其前n项和(53张PPT)
向
固
3．关于等比数列的性质的方法技巧
基 础
(1)在等比数列{an}中，a3a7＝a10.( )
(2)若等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝12，则a2与a4的等
比中项为14.( ) (3)若等比数列{an}中，a1＝2，a5＝18，则a3＝±6.( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
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令cn＝abnn，则cn－1＝abnn－ －11.
an 当n≥2时，ccn－n 1＝abn－n 1＝aan－n 1÷bbn－n 1＝qq12，故数列abnn也一
bn－1 定是等比数列．
(2)当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1（11－－qqn）.
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第30讲 等比数列及其前n项和
双
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第30讲 等比数列及其前n项和
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—— 链接教材 ——
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基
础
1．[教材改编]
已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝
384，则该数列的通项公式an＝________．
[答案] 3×2n－3
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第30讲 等比数列及其前n项和
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基 础
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，则 a3＝a1q2＝3，①
(1)求数列{an}的通项公式；
考 向
(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，若不等式 Sn>kan－2 对一切 n∈N*恒成立，求实数 k 的取值范围．
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第30讲 等比数列及其前n项和
［思考流程］ (1)条件：给出等比数列{an}的递推公
点 面 讲
式．目标：求数列{an}的通项公式．方法：利用等比数列 的定义及递推公式求解．
人教a版高考数学(理)一轮课件：6.3等比数列
1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比 q 等于( A.1 2 ������5 ������2 1 8
1 4
) D.
1 2
B.-2
1 2
C.2
【答案】D 【解析】∵ q3= = ,∴ q= .
2.若等差数列{an}的公差不为零,首项 a1=1,a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列 {an}的前 10 项之和是( A.90 ) B.100 C.145 D.190
1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的比等于同一个 非零常数,那么这个数列叫做等比数列,这个非零常数叫做等比数列的公比, 等比数列的通项公式为 an=a1qn-1.
等比数列的通项公式还可以改写成 an= 1· qn 的形式,显然 等比数列{an}的图象是函数 y= 1· qx 的图象上的一群孤立的点.
【答案】B 【解析】设等差数列{an}的公差为 d,则(1+d)2=1×(1+4d),∵ d≠0,∴ d=2. 于是,S10=10+
10×9 ×2=100. 2
3.若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则其公比 q 为( A.2 B.4 C.8 【答案】B 【解析】令 n=1,得 a1a2=16,① 令 n=2,得 a2a3=162.② ②÷ ①,得 3=16,即 q2=16,于是得 q=± 4. 又由①知 q>0,因此 q=4.
n-1 2
.
1-(-2) S5= =11. 1-(-2)
5
T 题型一等 比数列的定义及判定
例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}
中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式. (1)由 an+Sn=n 及 an+1+Sn+1=n+1 转化成 an 与 an+1 的递推关 系,再构造数列{an-1}. (2)由 cn 求 an 再求 bn.
高考一轮数学复习理科课件(人教版)第3课时 等比数列
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
题型三 等比数列的判定与证明
例 3 (2011·天津文)已知数列{an}与{bn}满足 bn＋1an＋bnan ＋1＝(－2)n＋1，bn＝3＋－2 1n－1，n∈N*，且 a1＝2.
设 cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列．
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
aq1＝13， 解方程组1－a1 q＝－12，
得aq1＝＝31，， ⇒n＝4
∴a2n＝a1·q2n－1＝1·32n－1＝32n－1＝37.
【答案】 37
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
探究 1 (1)等比数列的通项公式 an＝a1qn－1 及前 n 项 和公式 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq(q≠1)共涉及五个量 a1，an， q，n，Sn，知其三就能求另二，体现了方程思想的应用．
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第六章 数列
第六章 数列
高考调研
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第3课时 等比数列
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
2012·考纲下载
1．理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并 能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系.
2．(2012·大连模拟)在等比数列{an}中，a1＋a2＝30， a3＋a4＝60，则 a7＋a8＝________.
答案 240
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
3．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么( ) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
高考数学第一轮复习：《等比数列》
高考数学第一轮复习：《等比数列》最新考纲1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系.【教材导读】1．如何推导等比数列的通项公式？采用什么方法？提示：可采用累积法推导．2．b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？提示：必要而不充分条件，因为b2＝ac时，不一定有a，b，c成等比数列(如a＝0，b＝0，c＝1)，而a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac.3．如何推导等比数列的前n项和公式？采用了什么方法？提示：可用错位相减法推导．1．等比数列的相关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．符号表示为a na n－1＝q(n≥2)，q为常数．(2)等比中项：如果三个数a，G，b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项，那么Ga＝bG，即G2＝ab.2．等比数列的通项公式(1)设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，q≠0，则它的通项公式a n＝a1q n－1.(2)通项公式的推广a n＝a m·q n－m.3．等比数列的前n 项和公式S n ＝⎩⎨⎧na 1， q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q ， q ≠1.4．等比数列的常见性质(1)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍然是等比数列．(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．5．等比数列的单调性当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，{a n }是递增数列； 当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }是常数列． 6．等比数列与指数函数的关系当q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n，可以看成函数y ＝cq x ，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上．1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) (A)－24 (B)0 (C)12(D)24A 解析：由等比数列的性质和定义进行解题，由等比中项性质得(3x ＋3)2＝x ·(6x ＋6)，因x ＋1≠0，得x ＝－3.所以a 4＝(6x ＋6)·3x ＋3x ＝18·(x ＋1)2x ＝－24.故选A.2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )(A)1盏(B)3盏(C)5盏(D)9盏B解析：每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得a1(1－27)1－2＝381，解得a1＝3，选择B.3．已知a1，a2，…，a n，…为各项均大于零的等比数列，公比q≠1，则()(A)a1＋a8＞a4＋a5(B)a1＋a8＜a4＋a5(C)a1＋a8＝a4＋a5(D)a1＋a8与a4＋a5的大小关系不能由已知条件确定A解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1(1＋q7)－a1(q3＋q4)＝a1(1＋q7－q3－q4)＝a1(1－q3)(1－q4)．q＝a na n－1＞0且q≠1，当q＞1时，q3＞1，q4＞1,1－q3＜0,1－q4＜0；当0＜q＜1时，q3＜1，q4＜1,1－q3＞0,1－q4＞0.总之a1(1－q3)(1－q4)＞0.∴a1＋a8＞a4＋a5.4．若正项等比数列{a n}满足a n＋2＝a n＋1＋2a n，则其公比为()(A)12(B)2或－1(C)2 (D)－1C解析：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a n＋2＝a n＋1＋2a n，则有a n q2＝a n q＋2a n，即q2－q－2＝0，解可得q＝2或－1，由数列{a n}为正项等比数列，可得q＝2，故选C.5．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 为________． 解析：若q ＝1，则S n ＝na 1，∴{S n }是等差数列； 若q ≠1，则当{S n }是等差数列时，一定有2S 2＝S 1＋S 3， ∴2·a 1(1－q 2)1－q ＝a 1＋a 1(1－q 3)1－q ，即q 3－2q 2＋q ＝0，故q (q －1)2＝0， ∴q ＝0或q ＝1，而q ≠0，q ≠1，∴此时不成立． 答案：1考点一 等比数列的基本运算(1)在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＞0，q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) (A)31 (B)36 (C)42(D)48解析：(1)解法一 由题意知a 1＋4a 1＋16a 1＝21， 解得a 1＝1，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝4n －1.解法二 由题意可设等比数列{a n }的前3项分别为x 4，x,4x ，则x4＋x ＋4x ＝21，解得x ＝4，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2q n －2＝4×4n －2＝4n －1.(2)a 3a 5＝a 2a 6＝64，因为a 3＋a 5＝20，所以a 3和a 5为方程x 2－20x ＋64＝0的两根，因为a n ＞0，q ＞1，所以a 3＜a 5，所以a 5＝16，a 3＝4，所以q ＝a 5a 3＝164＝2，所以a 1＝a 3q 2＝44＝1，所以S 5＝1－q 51－q＝31.【反思归纳】 等比数列基本运算的方法策略(1)将条件用a 1，q 表示，在表示S n 时要注意判断q 是否为1； (2)解方程(组)求出a 1，q ，消元时要注意两式相除和整体代入； (3)利用a 1，q 研究结论．【即时训练】 (1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N )．(2)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 8等于( ) (A)255 (B)256 (C)510(D)511解析：(1)很明显等比数列的公比q ≠1，则由题意可得：S 3S 6＝a 1(1－q 3)1－q a 1(1－q 6)1－q＝11＋q 3＝89，解得：q ＝12，则：a n ＋1a n －a n －1＝a n －1q 2a n －1q －a n －1＝q 2q －1＝1412－1＝－12.(2)当n ＝1时，a 1＝2a 1－2，据此可得：a 1＝2， 当n ≥2时：S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2， 两式作差可得：a n ＝2a n －2a n －1，则：a n ＝2a n －1， 据此可得数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 其前8项和为：S 8＝2×(1－28)1－2＝29－2＝510－2＝510.故选C.答案：(1)－12 (2)C考点二 等比数列的判定与证明已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *有a n ＋S n ＝n . (1)设b n ＝a n －1，求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c 1＝a 1且c n ＝a n －a n －1(n ≥2)，求{c n }的通项公式．(1)证明：由a 1＋S 1＝1及a 1＝S 1得a 1＝12. 又由a n ＋S n ＝n 及a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1得 a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1. ∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，即2b n ＋1＝b n .∴数列{b n }是以b 1＝a 1－1＝－12为首项，12为公比的等比数列． (2)解：方法一：由(1)知2a n ＋1＝a n ＋1. ∴2a n ＝a n －1＋1(n ≥2)， ∴2a n ＋1－2a n ＝a n －a n －1， ∴2c n ＋1＝c n (n ≥2)．又c 1＝a 1＝12，a 2＋a 1＋a 2＝2，∴a 2＝34. ∴c 2＝34－12＝14，c 2＝12c 1.∴数列{c n }是首项为12，公比为12的等比数列． ∴c n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 方法二：由(1)b n ＝－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＋1.∴c n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n ≥2)． 又c 1＝a 1＝12也适合上式，∴c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .【反思归纳】 等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则数列{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式写成a n ＝c ·q n (c 、q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则数列{a n }是等比数列．如果判定某数列不是等比数列，只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可． 【即时训练】 已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．解析：(1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．所以对任意实数λ，数列{a n }都不是等比数列．(2)因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n (a n －3n ＋21)＝－23b n ，又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b 1＝0(n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列； 当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0， 则b n ≠0，所以b n ＋1b n＝－23(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列． 考点三 等比数列的性质及应用(1)等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15的值为( ) (A)1 (B)2 (C)3(D)5(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.解析：(1)因为{a n }为等比数列，所以a 5＋a 7是a 1＋a 3与a 9＋a 11的等比中项，所以(a 5＋a 7)2＝(a 1＋a 3)(a 9＋a 11)，故a 9＋a 11＝(a 5＋a 7)2a 1＋a 3＝428＝2；同理，a 9＋a 11是a 5＋a 7与a 13＋a 15的等比中项，所以(a 9＋a 11)2＝(a 5＋a 7)(a 13＋a 15)，故a 13＋a 15＝(a 9＋a 11)2a 5＋a 7＝224＝1.所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3.(2)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.答案：(1)C (2)－12【反思归纳】 在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n 项和公式，建立方程(组)求解，但如果灵活运用等比数列的性质，可减少运算量，提高解题速度．【即时训练】 (1)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )(A)18 (B)－18 (C)578(D)558(2)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________． 解析：(1)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，在等比数列中S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.故选A.(2)利用等比数列通项公式求出首项a 1与公比q ，再将a 1a 2…a n 的最值问题利用指数幂的运算法则转化为二次函数最值问题．设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8.故a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝23n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12(n －1)n 2＝23n －n 22＋n 2＝2－n 22＋72n . 记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )，结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6. 又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64. 答案：(1)A (2)64等比数列的基本运算教材源题：在等比数列{a n }中： (1)已知a 1＝－1，a 4＝64，求q 与S 4； (2)已知a 3＝32，S 3＝92，求a 1与q . 解：(1)由q 3＝a 4a 1＝－64，解得q ＝－4，所以S 4＝a 1－a 4q 1－q ＝－1＋64×41＋4＝51.(2)因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 3(q －2＋q －1＋1)， 所以q －2＋q －1＋1＝3， 即2q 2－q －1＝0，解这个方程得q ＝1或q ＝－12. 当q ＝1时，a 1＝32； 当q ＝－12时，a 1＝6.【规律总结】 解决等比数列的基本计算问题主要是利用方程思想，建立方程(组)求解．注意两式相除、整体代换、分类讨论等技巧的应用．【源题变式】 在等比数列{a n }中，a n ＞0，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________.解析：因为a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝15，a 1q 3－a 1q ＝6(q ≠1)两者相除得(q 2＋1)(q 2－1)q ·(q 2－1)＝156，即2q 2－5q ＋2＝0，所以q ＝2或q ＝12， 当q ＝2时，a 1＝1， 当q ＝12时，a 1＝－16(舍去)．所以a 3＝1×22＝4.答案：4课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件B 解析：若A ＝B ＝0，则S n ＝0，故数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2，由a 3a 2＝a 2a 1，得A ＝－B .故选B.2．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( ) (A)(－2)n －1 (B)－(－2)n －1 (C)(－2)n(D)－(－2)nA 解析：∵|a 1|＝1，∴a 1＝1或a 1＝－1.∵a 5＝－8a 2＝a 2·q 3，∴q 3＝－8，∴q ＝－2.又a 5＞a 2，即a 2q 3＞a 2，∴a 2＜0.而a 2＝a 1q ＝a 1·(－2)＜0，∴a 1＝1.故a n ＝a 1·(－2)n －1＝(－2)n －1.故选A.3．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( ) (A)16(1－4－n )(B)16(1－2－n )(C)323()1－4－n (D)323(1－2－n )C 解析：∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12.a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝323(1－4－n )．故选C. 4．在等比数列{a n }中，若a 1＝19，a 4＝3，则该数列前5项的积为( ) (A)±3 (B)3 (C)±1(D)1D 解析：因为a 4＝3，所以3＝19×q 3(q 为公比)，得q ＝3，所以a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝(a 1q 2)5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19×95＝1，故选D. 5．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn 等于( )(A)32 (B)32或23 (C)23(D)以上都不对B 解析：设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a ＜c ＜d ＜b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到：c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23.故选B.6．已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n ，若b 10b 11＝2，则a 21＝( )(A)29 (B)210 (C)211(D)212C 解析：由b n ＝a n ＋1a n，且a 1＝2，得b 1＝a 2a 1＝a 22，a 2＝2b 1；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，所以a 21＝2b 1b 2b 3…b 20，又{b n }为等比数列，所以a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211.故选C.7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝________.解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ①，∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n－1②，∵①÷②得a n ＋1a n －1＝2，∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S 2016＝1－210081－2＋2×(1－21008)1－2＝3×21008－3.答案：3×21008－38．如图，“杨辉三角”中从上往下共有n (n ＞7，n ∈N )行，设第k (k ≤n ，k ∈N *)行中不是1的数字之和为a k ，由a 1，a 2，a 3，…组成的数列{a n }的前n 项和是S n ，现有下面四个结论：①a 8＝254；②a n ＝a n －1＋2n ；③S 3＝22；④S n ＝2n ＋1－2－2n .其中正确的结论序号为________．1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 …… ……解析：a n ＝2n －2，S n ＝21＋22＋…＋2n －2n ＝2(1－2n )1－2－2n ＝2n ＋1－2－2n ，故只有①④正确．答案：①④9．设数列{a n }，{b n }都是正项等比数列，S n ，T n 分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n 项和，且S n T n ＝n 2n ＋1，则log b 5a 5＝________.解析：设正项数列{a n }的公比为q ，正项数列{b n }的公比为p ，则数列{lg a n }是公差为lg q 的等差数列，{lg b n }是公差为lg p 的等差数列． 故S n ＝n lg a 1＋n (n －1)2lg q . T n ＝n lg b 1＋n (n －1)2lg p .又S n T n＝n 2n ＋1＝lg a 1＋n －12lg q lg b 1＋n －12lg p.所以log b 5a 5＝lg a 5lg b 5＝lg a 1＋4lg q lg b 1＋4lg p ＝S 9T 9＝919.答案：91910．设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3 280，且前n 项中数值最大项为27，求数列的第2n 项．解：若q ＝1，则na 1＝40,2na 1＝3 280，矛盾． ∴q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝40 ①a 1(1－q 2n)1－q＝3 280 ②①②得1＋q n ＝82，∴q n ＝81③将③代入①得q ＝1＋2a 1④又∵q ＞0，∴q ＞1，∴a 1＞0，{a n }为递增数列． ∴a n ＝a 1q n －1＝27由③④⑤得q ＝3，a 1＝1，n ＝4. ∴a 2n ＝a 8＝1×37＝2 187.能力提升练(时间：20分钟)11．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，前100项和为S 100＝90，则其偶数项a 2＋a 4＋…＋a 100为( )(A)15 (B)30 (C)45(D)60D 解析：S 100＝a 1＋a 2＋…＋a 100＝90，设S ＝a 1＋a 3＋…＋a 99，则2S ＝a 2＋a 4＋…＋a 100， 所以S ＋2S ＝90，S ＝30，故a 2＋a 4＋…＋a 100＝2S ＝60，故选D.12．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为( )(A)158或4 (B)4027或4 (C)4027(D)158C 解析：设数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84.而S 6＝6，两者不相等，因此不合题意．当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q .解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027.故选C.13．已知各项均不相等的等比数列{a n }，若3a 2,2a 3，a 4成等差数列，设S n 为{a n }的前n 项和，则S 3a 3＝( )(A)139 (B)79 (C)3(D)1A 解析：4a 3＝3a 2＋a 4， 4a 1q 2＝3a 1q ＋a 1q 3， ∴q 2－4q ＋3＝0， q ＝3或q ＝1(舍)．∴S 3a 3＝a 1(1－q 3)1－q a 1q 2 ＝1－q 3q 2(1－q )＝1－279×(－2)＝139.故选A.14．已知数列{a n }的各项均为正数，且前n 项和S n 满足S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)．若a 2，a 4，a 9成等比数列，求数列{a n }的通项公式．解析：因为S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)，所以当n ＝1时，有S 1＝a 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)， 解得a 1＝1或a 1＝2；当n ≥2时，有S n －1＝16(a n －1＋1)(a n －1＋2)．①－②并整理，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0(n ≥2)．因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n －a n －1＝3(n ≥2)．当a 1＝1时，a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，此时a 24＝a 2a 9成立．当a 1＝2时，a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1，此时a 24＝a 2a 9不成立．所以a 1＝2舍去．故a n ＝3n －2.15．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }和通项公式．(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜32.解析：证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1，因为当n ≥1时，23n －1＜2＋13n －1＋1＝13n －1，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜1＋13＋…＋13n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－13n ×32，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.。
高考数学一轮复习 第5章第3节 等比数列课件 文 新课标
• (3)如果数列{an}和{bn}都是等比数列，那 么{anbn}是 等比数列．
• 7．等差数列与等比数列的比较：
• (1)相同点：
• ①强调的都是每一项与它前一项 系．
的关
• ②结果必须都是 常 数．
• ③数列都由公差、首项或公比、首项确定．
可以用aann≥ ≥aann－ ＋11， 或aann≤ ≤aann－ ＋11， ， 也可以转化为函数最值
问题或利用数形结合法．
• 7．数列求和的方法有公式法、倒序相加 (乘)法、错位相减法、裂项相消法、分组 转化法、归纳法．
• 8．通项公式的求解方法有观察法、构造 等差或等比数列法、猜测归纳法、累加法、 累积法、待定系数法及公式法．
• 2．运用等比法是理解和掌握两类数列的定义、通项公 式及中项公式、前n项和公式的重要方法．判定一个数 列是等比数列，不能只验证数列的前几项，需根据定义 证明
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
2025年高考数学一轮复习课件第六章数列-6.3等比数列
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3.设正项等比数列{ }满足4 − 3 = 36，2 = 6，则1 =(
C.2
√
1
2
A.3
B.
)
1
3
D.
解：设等比数列{ }的公比为， > 0.
2
2
则4 − 3 = 2 − 2 = 36，即6 − 6 = 36，解得 = 3.则1 =
2
6
3
否则可能漏解或增解.
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变式1（1） （2023年全国甲卷）已知正项等比数列{ }中，1 = 1, 为{ }的前项
和，5 = 53 − 4，则4 =(
A.
15
8
65
8
2 + 3
B.
解：由题意,知1 + +
)
C.15
√
D.40
+ 4 = 5 1 + + 2 − 4,即 3 + 2 − 4 − 4 = 0,即
解：设等比数列{ }的公比为， > 0.
1 + 2 + 3 = 14 ⇒ 1 + 1 + 1 2 = 14①.
又5 = 33 + 41 ，所以1 4 = 31 2 + 41 ②.
由①②,解得 = 2，1 = 2.则 = 1 −1 = 2 .
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2.重要关系
（1）若{ }是各项均为正数的等比数列，则{log }( > 0且 ≠ 1)必为等差数
列;若{ }为等差数列，则{ }( > 0且 ≠ 1)必为等比数列.
（2）若 = + ≠ 0, ≠ 0,1 ，则{ }是等比数列⇔ + = 0.
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第六章 数列-第三节 等比数列
解由 + = 1，得−1 + −1 = 1 ≥ 2 ，
1
2
1
0，所以 =
−1
2
两式相减得 − −1 + = 0 ≥ 2 ，即 = −1 ≥ 2 .
1
2
当 = 1时，21 = 1，得1 = ≠
1
1
所以{ }是首项为 ，公比为 的等比数列,故
{ }是等比数列
前项和公式 若数列{ }的前项和 = ⋅ − (为常数且 ≠ 0, ≠ 0,1),则{ }是等比
法
数列
角度2 等比数列的判断
典例3已知数列{ }满足1 = 1,+1 = 2 + 1 ,设 =
.
（1）求1 ,2 ,3 的值；
+1
由条件可得
+1
=
2
,即+1
= 2 ,
又1 = 1,所以{ }是首项为1,公比为2的等比数列.
（3）求{ }的通项公式.
+ = + = ,所以 > , = ,所以 + = ,解得 = ±.当
= 时,由 = = ,可得 = ；当 = −时,由 = = ,可得 = −,所
以ቊ
= −,
= ,
或ቊ
解由条件可得+1 =
2 +1
⋅ .
将 = 1代入,得2 = 41 ,而1 = 1,所以2 = 4.将 = 2代入,得3 = 32 ,所以3 = 12.
从而1 = 1,2 = 2,3 = 4.
（2）判断数列{ }是否为等比数列,并说明理由；
高考数学一轮第六章数列第三节等比数列及其前n项和人教A版
∴Sann＝41－4 21n＝2n－1. 2n
[名师微点]
等比数列基本量运算的解题策略 (1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问 题，等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三 求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解． (2)等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论， 当 q＝1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝na1；当 q≠1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq.
解析：设等比数列{an}的公比为 q，
∵aa12＋＋aa34＝＝5254，，
∴aa11＋q＋a1aq12q＝3＝52，54，
②
①
由①除以②可得1q＋＋qq23＝2，解得 q＝12，代入①得 a1＝2，
∴an＝2×21n－1＝24n，Sn＝2×11－－1212n＝41－21n，
等比数列的判定方法
[解题技法]
定义法 若aan＋n 1＝q(q 为非零常数，n∈N*)或aan－n1＝q(q 为 非零常数且 n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法 若数列{an}中，an≠0 且 a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)， 则{an}是等比数列
通项公式法 若数列{an}的通项公式可写成 an＝c·qn－1(c，q 均 为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
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是：________，为解题的方便，有时可将求和公式变形为 Sn＝Bqn －B(q≠1)，其中 B＝________且 q≠0，q≠1. 5．等比数列的判定方法 (1)定义法： an＋1＝anq 且 a1≠0(q 是不为 0 的常数， n∈N*)⇔{an} 是等比数列． (2)通项公式法： an＝cqn(c， q 均是不为 0 的常数， n∈N*)⇔{an} 是等比数列． * (3)等比中项法： a2 n＋1 ＝ an · an ＋ 2(an · an ＋ 1 · an ＋ 2 ≠ 0 ， n ∈ N ) ⇔{an}是等比数列． a1 n a1 (4) 前 n 项 和 公 式 法 ： Sn ＝ q － ＝ Bqn － q－1 q－1 a1 B B＝q－1是常数，且q≠0，q≠1 ⇒{an}是等比数列．
(2015·湖南)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和． 若 a1＝1，且 3S1，2S2，S3 成等差数列，则 an＝________．
解：由 3S1，2S2，S3 成等差数列，得 4S2＝3S1＋S3，即 3S2 － － －3S1＝S3－S2，也即 3a2＝a3，得公比 q＝3，∴an＝a1qn 1＝3n 1. － 故填 3n 1.
4．等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}中， ________，q＝1， Sn ＝ 求 和 公式 的推 导 方法 ________ ________ ＝ ，q≠1.
6．等比数列的性质 (1)在等比数列中，若 p＋q＝m＋n，则 ap·aq＝am·an； 2 若 2m＝p＋q，则 am ＝ap·aq(p，q，m，n∈N*)．
自查自纠： 1．比 常数 2．等比中项 3．(1)a1q a1 (2) q
n－1
公比 ab ± ab am q
n－m
n－m a n am
n－m a n ± am
a1 y＝ q qx
a1（1－qn） a1－anq a1 4．na1 乘公比，错位相减 1－q 1－q q－1 1 q1 6．(2) q1 q1q2 q1 q2 (3)qm (4)qn (5)①q＞1 0＜q＜1 ②0＜q＜1 q ＞ 1 ③q＝1 ④q＜0
类型二
等比数列基本量的计算
(1)在等比数列{an}中，a3＝7，前 3 项之和 S3＝21，则公比 q 的值为________．
2 a1q ＝7， 解：根据已知条件得 2 a1＋a1q＋a1q ＝21，
1＋q＋q2 ∴ ＝3，整理得 2q2－q－1＝0， 2 q 1 1 解得 q＝1 或 q＝－ .故填 1 或－ . 2 2
唐山一模)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 (2)(2015· 5 5 Sn a1＋a3＝ ，a2＋a4＝ ，则 ＝________. 2 4 an
解：设{an}的公比为 q， 5 a1＋a3＝ ， ① 2 ∵ 5 a2＋a4＝（a1＋a3）q＝ ， ② 4 n－1 1 1 4 ②÷①得 q＝ ，∴a1＝2，∴an＝2× 2 2 ＝2n， 1n 1 2× 1－ 2 41－2n 1 n Sn ∴Sn＝ ＝4 1－2n ，∴ ＝ ＝2 －1.故填 2n－1. 1 an 4 1－ 2 2n
(2014·重庆)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确 的是( ) A．a1，a3，a9 成等比数列 B．a2，a3，a6 成等比数列 C．a2，a4，a8 成等比数列 D．a3，a6，a9 成等比数列
a9 a6 解：由等比数列的性质，得 ＝ ＝q3≠0，因此，a3，a6，a9 a6 a3 一定成等比数列．故选 D.
1 ，a a ＝4(a4－1)，则 a2＝( 4 3 5 1 A．2 B．1 C. 2
( 2015·全国Ⅱ ) 已知等比数列 {an} 满足 a1 ＝ ) 1 D. 8
解： ∵{an}为等比数列， ∴a3a5＝a2 得 a4＝2， 4＝4(a4－1)， 1 a4 1 而 a1＝ ，q3＝ ＝8，得公比 q＝2，∴a2＝a1q＝ .故选 C. 4 a1 2
(2)在等比数列{an}中，若 a4－a2＝6，a5－a1＝15， 则 a3＝________.
(2013·北京)若等比数列{an}满足 a2＋a4＝20， a3 ＋ a5 ＝ 40 ，则公比 q ＝ ________ ；前 n 项和 Sn ＝ ________.
3 a q ＋ a q 1 q＝2， 1 ＝20， 解：由题意 2 解得 4 a1q ＋a1q ＝40， a1＝2.
(2015·东北联考)已知数列{an}满足 2an＋1＋an＝0， a2＝1，则数列{an}的前 10 项和 S10 为( ) 4 10 4 10 A. (2 －1) B. (2 ＋1) 3 3 4 － 4 － C. (2 10－1) D. (2 10＋1) 3 3
an＋1 1 解：∵2an＋1＋an＝0，∴ ＝－ .又 a2＝1，∴a1＝－2，∴数列 an 2 a1（1－q10） 1 {an} 是－ 2 为首项，－ 为公比的等比数列，∴ S10 ＝ ＝ 2 1－q － －2（1－2 10） 4 －10 ＝ (2 －1)．故选 C. 1 3 1＋ 2
2（1－2n） n＋1 ＋ 故 Sn＝ ＝2 －2.故填 2；2n 1－2. 1－2
类型一
等比数列的判定与证明
设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝1，Sn＋1 ＝4an＋2. (1)设 bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：由 a1＝1 及 Sn＋1＝4an＋2， 有 a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3. ① Sn＋1＝4an＋2， 又 Sn＝4an－1＋2（n≥2）， ② ①－②，得 an＋1＝4an－4an－1， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)， 故{bn}是以 3 为首项，2 为公比的等比数列． － (2)由(1)知 bn＝an＋1－2an＝3· 2n 1， an＋1 an 3 ∴ n＋1－ n＝ ， 2 4 2 an 1 3 n 故 2 是以 为首项， 为公差的等差数列． 2 4 an 1 3 3n－1 ∴ n＝ ＋(n－1)·＝ ， 2 2 4 4 － 得 an＝(3n－1)· 2n 2.
解：设等比数列{an}的公比为 q(q＞0)， 2 a a ＝ a 2 4 3＝1， 由题意得 故 a3＝1， a1＋a2＋a3＝7， 1 1 1 1 ＋ ＋1＝7，解得 q＝ ，q＝－ (舍去)． q2 q 2 3 1 ∴a1＝4，q＝ . 2 1 4 1－25 a1（1－q5） 31 ∴S5＝ ＝ ＝ .故选 B. 1 4 1－q 1－ 2
(3)设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 6Sn＋1＝9an(n∈N*)． (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； 1 (Ⅱ)若数列{bn}满足 bn＝ ，求数列{bn}前 n 项和 Tn. an
1 解：(Ⅰ)当 n＝1 时，由 6a1＋1＝9a1，得 a1＝ . 3 当 n≥2 时，由 6Sn＋1＝9an， 得 6Sn－1＋1＝9an－1， 两式相减得 6(Sn－Sn－1)＝9(an－an－1)， 即 6an＝9(an－an－1)，∴an＝3an－1. 1 1 － － ∴数列{an}是以 为首项，3 为公比的等比数列，其通项公式为 an＝ ×3n 1＝3n 2. 3 3 1 1n－2 1 (Ⅱ)∵bn＝ ＝ 3 ，b1＝ ＝3， an a1 1 ∴{bn}是以 3 为首项， 为公比的等比数列， 3 n 1 31－3 9 1n ∴Tn＝ ＝ 1－ 3 . 1 2 1－ 3
点拨： 在等比数列五个基本量 a1，q，n，an，Sn 中， 已知其中三个量，可以将已知条件结合等比数列的 性质或通项公式、前 n 项和公式转化为关于基本量 的方程(组)来求得余下的两个量，计算有时要整体 代换，根据前 n 项和公式列方程还要注意对 q 是否 为 1 进行讨论．
(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn 为其前 n 项和．已知 a2a4＝1，S3＝7，则 S5 等于( ) 15 31 33 17 A. B. C. D. 2 4 4 2
1 (2)若{an}， {bn}均为等比数列， 且公比分别为 q1， q2， 则数列a ， {p· an}(p≠0)， n an {an · bn} ， b 仍为等比数列且公比分别为 ________ ， ________ ， ________ ， n
________. (3)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即 an，an ＋m，an＋2m，„仍为等比数列，公比为________． (4)公比不为－1 的等比数列前 n 项和为 Sn(Sn≠0)， 则 Sn， S2n－Sn， S3n－S2n， „ 构成等比数列，且公比为________． － (5)对于一个确定的等比数列，在通项公式 an＝a1qn 1 中，an 是 n 的函数． ①当 a1＞0，________或 a1＜0，________时，等比数列{an}是递增数列； ②当 a1＞0，________或 a1＜0，________时，等比数列{an}是递减数列； ③当________时，它是一个常数列； ④当________时，它是一个摆动数列．