初中数学三角形旋转与极值问题
专题09 与旋转有关的最值问题
专题09 与旋转有关的最值问题题型一 费马点最值1．如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，1AC =，BC =，点O 为Rt ABC D 内一点，连接0A 、BO 、CO ，且120AOC COB BOA Ð=Ð==°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B 为旋转中心，将AOB D 绕点B 顺时针方向旋转60°，得到△A O B ¢¢（得到A 、O 的对应点分别为点A ¢、)O ¢，则A BC Т= 90° ，OA OB OC ++= ．【解答】解：（1）90C Ð=°Q ，1AC =，BC =tan AC ABC BC \Ð==，2AB =，30ABC \Ð=°，Q 将AOB D 绕点B 顺时针方向旋转60°，得到△A O B ¢¢（得到A 、O 的对应点分别为点A ¢、)O ¢，OA O A \=¢¢，BO BO =¢，2BA BA ¢==，60OBO ABA Т=Т=°，120BO A BOA Т¢=Ð=°，306090A BC CBA ABA \Т=Ð+Т=°+°=°；（2）BO BO =¢Q ，60OBO ABA Т=Т=°BOO \D ¢为等边三角形，OO BO \¢=，60BOO BO O Т=Т=°，而120BOC Ð=°，60120180COO BOC BOO \Т=Ð+Т=°+°=°，\点O ¢在直线CO 上，同理可得点O 、O ¢、A ¢共线，A C OC OO O A OC OB OA \¢=+¢+¢¢=++，306090CBA CBA ABA Т=Ð+Т=°+°=°Q ，A C \¢=，++=．即OA OB OC故答案为90°．=，点O为ABCD边界D内一点（点O不在ABC==，8AB cm2．如图，已知等腰三角形ABC，6CA CB cm++的最小值为 上）．请你运用图形旋转和“两点之间线段最短”等数学知识、方法，求出OA OB OCcm ．D．连接CD交AB于M点．D，以OB为边作等边OBE【解答】解：如图：以AB为边作等边三角形ABDQ和OBED是等边三角形DABDABD OBE=Ð=Ð=°，AB BD\==，60OE OB BE==，BO BEABO DBE\Ð=Ð且AB BDABO DBE\D@D\=AO DE\++=++AO BO CO DE OE CO\当D、E、O、C四点共线时，AO BO CO++值最小，=Q，AD BDAC BC=\是AB的垂直平分线CD==AM MB cm\^，4()AB CDAD BD cm==，Q，86==CA CB cm\=，)=，MD cm)CM cm\=+，CD cm)cm，\++最小值为)AO BO CO故答案为cm．Ð=°，点P为ABCD内一点，连接PA、PB、PC，ABCAB BC==，303．如图，在ABCD中，3++的最小值为( )PA PB PCA．B．3C．D．3D，连接PF，EC．D绕点B逆时针旋转60°得到BFE【解答】解：将ABPPBF ABEÐ=°=Ð，=，60AB BE==，BP BF由旋转的性质可知：3\D是等边三角形，PBF\=，PB PFPA EF=Q，PA PB PC PC PF EF\++=++，PC PF EF EC++Q…，\当P，F在直线EC上时，PA PB PC++的值最小，90CBE ABC ABEÐ=Ð+Ð=°Q，BE BC=，EC\==，PA PB PC\++的最小值为，故选：A．4．已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA PB PC++的最小值．【解答】解：将BPCD绕点B顺时针旋转60度，可得PBED为等边三角形．即得PA PB PC AP PE EF++=++要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA PB PC AF++=．此时60EBC CBP FBE EBC FBCÐ+Ð=Ð+Ð=°=Ð，所以9060150ABFÐ=°+°=°，30MBFÐ=°，cos30cos30BM BF BC=°=°=g g，12 MF=，则1AM==在AMFD中，勾股定理得：222AM MF AF+=AF====AC=，点P在ABCD内，将APCAB=，6D绕着点A逆时针方向旋转60°Ð=°，45．如图，已知60BACD．则AE PB PC++的最小值为( )得到AEFA．B．8C．D．【解答】解：如图，连接PE，BF，过B作AF垂线交FA延长线于G，D，Q绕着点A逆时针方向旋转60°得到AEFDAPCÐ=Ð=°，PC EF=，PAE CAFAP AE\=，60\D为等边三角形，APE=，即AE PE\++=++…，AE PB PC PB PE EF BF60BAC Ð=°Q ，120BAF \Ð=°，60BAG \Ð=°，122AG AB \==，268GF =+=，BG \===，BF \===故选：A ．6．问题背景：如图1，将ABC D 绕点A 逆时针旋转60°得到ADE D ，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：PA PC PE +=．问题解决：如图2，在MNG D 中，6MN =，75M Ð=°，MG =．点O 是MNG D 内一点，则点O 到MNG D 三个顶点的距离和的最小值是 【解答】（1）证明：如图1，在BC 上截取BG PD =，在ABG D 和ADP D 中AB AD B D BG PD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABG ADP SAS \D @D ，AG AP \=，BG DP =，GC PE \=，60GAP BAD Ð=Ð=°Q ，AGP \D 是等边三角形，AP GP \=，PA PC GP PC GC PE\+=+==PA PC PE\+=；（2）解：如图2：以MG 为边作等边三角形MGD D ，以OM 为边作等边OME D ．连接ND ，作DF NM ^，交NM 的延长线于F ．MGD D Q 和OME D 是等边三角形OE OM ME \==，60DMG OME Ð=Ð=°，MG MD =，GMO DME\Ð=Ð在GMO D 和DME D 中OM ME GMO DMEMG MD =ìïÐ=Ðíï=î()GMO DME SAS \D @D ，OG DE\=NO GO MO DE OE NO\++=++\当D 、E 、O 、N 四点共线时，NO GO MO ++值最小，75NMG Ð=°Q ，60GMD Ð=°，135NMD \Ð=°，45DMF \Ð=°，MG =Q 4MF DF \==，6410NF MN MF \=+=+=，ND \===MO NO GO \++最小值为，故答案为，7．（1）【操作发现】如图1，将ABCD绕点A顺时针旋转50°，得到ADED，连接BD，则ABDÐ= 65 度．（2）【解决问题】①如图2的等边三角形ABC内有一点P，90APCÐ=°，120BPCÐ=°，求APCD的面积．②如图3，在ABCD中，90ACBÐ=°，AC BC=，P是ABCD内的一点，若1PB=，3PA=，135BPCÐ=°，则PC= ．（3）【拓展应用】如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量4AB=，BC=，75ABCÐ=°，P为ABCD内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA PB PC++的最小值．【解答】（1）【操作发现】解：如图1中，ABCDQ绕点A顺时针旋转50°，得到ADED，AD AB\=，50DABÐ=°，\18050652ABD°-°Ð==°，故答案为：65．（2）【解决问题】①解：如图2中，Q 将APB D 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到△AP C ¢¢，APP \D ¢是等边三角形，36090120150AP C APB Т=Ð=°-°-°=°，PP AP \¢=，60AP P APP Т=Т=°，90PP C \Т=°，30P PC Т=°，PP \¢=，即AP PC =，90APC Ð=°Q ，222AP PC AC \+=，即222)PC +=，2PC \=，AP \=，11222APC S AP PC D \===g ．②如图3，将CBP D 绕着点C 按顺时针方向旋转90°，得到CAP D ¢，CP CP ¢=Q ，90P CP ACB Т=Ð=°，\△P CP ¢为等腰直角三角形，45CP P ¢\Ð=°，135BPC AP C ¢Ð=°=ÐQ ，90AP P \Т=°，3PA =Q ，1PB =，1AP \¢=，PP \¢===，2PC ¢\===．故答案为：2．（3）【拓展应用】解：如图4中，将APB D 绕B 顺时针旋转60°，得到EDB D ，连接PD 、CE ．Q 将APB D 绕B 顺时针旋转60°，得到EDB D ，ABP EBD \Ð=Ð，4AB EB ==，60PBD Ð=°，ABP PBC EBD PBC \Ð+Ð=Ð+Ð，75EBD PBC ABC \Ð+Ð=Ð=°，135CBE \Ð=°，过点E 作EF CB ^交CB 的延长线于点F ，45EBF \Ð=°，\4BF EF ===在Rt CFE D 中，90CFE Ð=°Q ，BC =，EF =，\CE ==即PA PB PC ++．8．问题提出（1）如图①，已知OAB D 中，3OB =，将OAB D 绕点O 逆时针旋转90°得△OA B ¢¢，连接BB ¢．则BB ¢= 问题探究（2）如图②，已知ABC D 是边长为的等边三角形，以BC 为边向外作等边BCD D ，P 为ABC D 内一点，将线段CP 绕点C 逆时针旋转60°，点P 的对应点为点Q ．①求证：DCQ BCP D @D ；②求PA PB PC ++的最小值；问题解决（3）如图③，某货运场为一个矩形场地ABCD ，其中500AB =米，800AD =米，顶点A ，D 为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P ，在BC 边上（含B ，C 两点）开一个货物入口M ，并修建三条专用车道PA ，PD ，PM ．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M ，P 建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）【解答】解：问题提出：（1）由旋转有，90BOB ÐТ=°，3OB =，根据勾股定理得，BB ¢=，故答案为：；问题探究：（2）①BDC D Q 是等边三角形，CD CB \=，60DCB Ð=°，由旋转得，60PCQ Ð=°，PC QC =，DCQ BCP \Ð=Ð，在DCQ D 和BCP D 中CD CB BCPCQ CP =ìïÐíï=îDCQ BCP \D @D ；②如图1，连接PQ，Ð=°PCQ=PC CQQ，60\D是等边三角形，CPQ\=，PQ PC=，由①有，DQ PBPA PB PC AP PQ QD\++=++，++…，由两点之间线段最短得，AP PQ QD ADPA PB PC AD\++…，++取最小值为AD的长，\当点A，P，Q，D在同一条直线上时，PA PB PC^，作DE ABABCQ为边长是的等边三角形，DÐ=°，BCACB AC\==，60DCEÐ=°，\==60CD CBDAE ADCÐ=Ð=°，DE\=，306\=，AD12++取最小值为12；即：PA PB PC实际应用：（3）如图2，¢¢，连接AM，DM，将ADPD绕点A逆时针旋转60°，得△AP D++最小，最小值为D N¢，由（2）知，当M，P，P¢，D¢在同一条直线上时，AP PM DPQ在BC上，M\当D M BC ¢^时，D M ¢取最小值，设D M ¢交AD 于E ，ADD D ¢Q 是等边三角形，500EM AB \==，400BM \=，500PM EM PE =-=，D E AD \¢==，500D M \¢=，\最少费用为10000500)5)´+=+万元；M \建在BC 中点(400BM =米）处，点P 在过M 且垂直于BC 的直线上，且在M 上方(500-米处，最少费用为5)+万元．9．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在(ABC BAC D Ð是一个可以变化的角），2AB =，4AC =，以BC 为边在BC 的下方作等边PBC D ，求AP 的最大值．小明是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合，他的方法是以点B 为旋转中心将ABP D 逆时针旋转60°得到△A BC ¢，连接A A ¢，当点A 落在A C ¢上时，此题可解（如图2)（1）请你回答：AP 的最大值是 6 ．参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（2）如图3，等腰Rt ABC D ，边4AB =，P 为ABC D 内部一点，则AP BP CP ++的最小值是多少？为什么？（结果可以不化简）提示：要解决AP BP CP ++的最小值问题，可仿照题目给出的作法，把ABP D 绕B 点逆时针旋转60°，得到△A BP ¢¢．（3）如图4，O 是等边ABC D 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，则AOC AOB S S D D += ．【解答】解：（1）如图2，ABP D Q 逆时针旋转60°得到△A BC ¢，60A BA \Т=°，A B AB ¢=，AP A C =¢，\△A BA ¢是等边三角形，2A A AB BA \¢==¢=，在△AA C ¢中，6A C AA AC ¢<¢+=，即6AP <，当点A ¢、A 、C 三点共线时，A C AA AC ¢=¢+，即6AP =，AP \的最大值是：6，故答案是：6．（2）AP BP CP ++的最小值是．理由：如图3，Rt ABC D Q 是等腰三角形，AB BC \=，以B 为中心，将APB D 逆时针旋转60°得到△A P B ¢¢，则4A B AB BC ¢===，PA P A =¢¢，PB P B =¢，PA PB PC P A P B PC ¢\++=¢¢++．Q 当A ¢、P ¢、P 、C 四点共线时，P A P B PC ¢¢++最短，即线段A C ¢最短，A C PA PB PC ¢\=++，A C ¢\长度即为所求．过A ¢作A D CB ¢^延长线于D ．Q 由旋转可知，60A BA ¢Ð=°，130\Ð=°．4A B ¢=Q ，2A D ¢\=，BD =，4CD \=+．在Rt △A DC ¢中，A C ¢=====+，AP BP CP \++的最小值是：+．（3）如图4，将AOB D 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至点O ¢，连接OO ¢，则AOO ¢D 是边长为3的等边三角形，COO ¢D 是边长为3、4、5的直角三角形，11343622AOC AOB COO AOO AOCO S S S S S D D D D \+=¢=¢+¢=´´+´=+四边形．故答案为：6+．D内一个动点，则PA PB PCAB=，AC=，P为ABC++的最小值为 Ð=°，610．ABCD中，75BACD，连接AK，PT，KC，过点K作KH CA^【解答】解：如图，将ABPD绕点B顺时针旋转60°得到BTK交CA的延长线于H．PBT ABKÐ=Ð=°，=，60Q，BK BABP BT=D都是等边三角形，ABK\D，BPTBAKÐ=°，=，60\==，PB BT6AK ABQ，Ð=°75BAC\Ð=°-Ð-Ð=°，18045KAH BAK BAC\==，KH AHQAC=\=+=，CH AH AC\===，CK=，PA KTQ，PB PT=\++=++…，PA PB PC CP PT TK CKPA PB PC \++…，PA PB PC \++的最小值为．故答案为：．题型二 轨迹类最值（瓜豆）11．如图，ABC D 是等边三角形，4AB =，E 是AC 的中点，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，当点D 运动时，则AF 的最小值为( )A ．2B ．CD 1+【解答】解：作DM AC ^于M ，FN AC ^于N ，如图，设DM x =，在Rt CDM D 中，CM ==，而2EM x +=，2EM \=+，Q 线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，ED EF \=，90DEF Ð=°，易得EDM FEN D @D ，当D 在BC 上时，DM EN x \==，2EM NF ==+，在Rt AFN D 中，22224(2)(2)(43AF x x =+++=++，此时2AF 没有最小值，当D 在BC 的延长线上时，DM EN x \==，2EM NF x ==+，在Rt AFN D 中，222242)(2)(43AF x x =++-=-++当x =2AF 有最小值4+，AF \1=．解法二：过点A 作AJ BC ^于J ，过点F 作FG BC ^交BC 的延长线于G ，过点E 作EM BC ^于M ，EN FG ^于N ，过点A 作AH FG ^于H ．证明EMD ENF D @D ，推出EN EM ==，推出点F 的运动轨迹是直线FG ，当AF FG ^时，AF 的值最小，最小值1AH JG ===+．故选：D ．12．如图，在ABC D 中，8AC BC ==，60BCA Ð=°，直线AD BC ^，E 是AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 按逆时针方向旋转60°得到FC ，连接DF ，则点E 运动过程中，DF 的最小值是 2 ．【解答】解：取线段AC 的中点G ，连接EG ，如图所示．8AC BC ==Q ，60BCA Ð=°，ABC \D 为等边三角形，且AD 为ABC D 的对称轴，142CD CG AB \===，60ACD Ð=°，60ECF Ð=°Q ，FCD ECG \Ð=Ð．在FCD D 和ECG D 中，FC EC FCD ECG DC GC =ìïÐ=Ðíï=î，()FCD ECG SAS \D @D ，DF GE \=．当//EG BC 时，EG 最小，Q 点G 为AC 的中点，\此时11224EG DF CD BC ====．故答案为：2．13．如图，CA ^直线l 于点A ，4CA =，点B 是直线l 上一动点，以CB 为边向上作等边MBC D，连接MA ，则MA 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：如图，以AC 为边作等边三角形ACE ，连接ME ，过点A 作AF ME ^于点F ，MBC D Q 和ACE D 为等边三角形，BC CM \=，AC CE =，60BCM ACE Ð=Ð=°，BCA MCE \Ð=Ð，在BCA D 和MCE D 中，BC MC BAC MCE AC CE =ìïÐ=Ðíï=î，()BCA MCE SAS \D @D ，BA ME \=，90BAC MEC Ð=Ð=°，906030AEF \Ð=°-=°，B Q 是直线l 的动点，M \在直线ME 上运动，MA \的最小值为AF ，4AE AC ==Q ，122AF AE \==．故选：B ．14．如图，Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，8AC BC ==，F 为AC 中点，D 是线段AB 上一动点，连接CD ，将线段CD 绕点C 沿逆时针方向旋转90°得到线段CE ，连接EF ，则点D 在运动过程中，EF 的最大值为 ，最小值为 ．【解答】解：如图所示，取BC的中点G，连接DG，Ð=°，DCE=，90由旋转可得DC ECAC BC==，F为AC中点，Q，8又90Ð=°ACBÐ+Ð=Ð+Ð=°，DCG ACD ECF ACDCG CF\=，90\Ð=Ð，DCG ECFDCG ECF SAS\D@D，()\=，EF DGD是等腰直角三角形，①如图1所示，当GD AB^时，DG最短，此时BDG\=´°==，sin454DG BG即EF的最小值为==；DG BG②当D与B重合时，4DG===>，③如图2所示，当D与A重合时，4即EF的最大值为．故答案为：，AC BC==，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连Ð=°，4ACBD中，9015．如图，在ABC接PD ，以PD 为边在PD 的下方作等边三角形PDQ ，连接CQ ．则CQ 的最小值是( )AB ．1CD ．32【解答】解：解法一：如图在CD 的下方作等边CDT D ，作射线TQ ．60CDT QDP Ð=Ð=°Q ，DP DQ =，DC DT =，CDP QDT \Ð=Ð，在CDP D 和TDQ D 中，DP DQ CDP TDQ DC DT =ìïÐ=Ðíï=î，()CDP TDQ SAS \D @D ，90DCP DTQ \Ð=Ð=°，60CTD Ð=°Q ，30CTQ \Ð=°，\点Q 在射线TQ 上运动（点T 是定点，CTQ Ð是定值），当CQ TQ ^时，CQ 的值最小，最小值1111224CT CD BC ====，解法二：如图，CD 的上方，作等边CDM D ，连接PM ，过点M 作MH CB ^于H．DPQDQ，DCMD都是等边三角形，60CDM PDQ\Ð=Ð=°，DP DQ=Q，DM DC=，()DPM DQC SAS\D@D，PM CQ\=，PM\的值最小时，CQ的值最小，当PM MH^时，PM的最小值112CH CD===，CQ\的最小值为1．故选：B．16．如图，在ABCD中，AB AC==90BACÐ=°，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转45°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 2【解答】解：如图，在AC 上取一点G ，使CG CD =，连接EG，AB AC ==Q ，90BAC Ð=°45ACB \Ð=°，cos 452CD \=°=，Q 旋转角为45°，45ECD DCF \Ð+Ð=°，又45ECD GCE ACB Ð+Ð=Ð=°Q ，DCF GCE \Ð=Ð，AD Q 是等腰直角ABC D 的对称轴，12CD BC \=，CD CG =Q ，又CE Q 旋转到CF ，CE CF \=，在DCF D 和GCE D 中，CE CF DCF GCE CD CG =ìïÐ=Ðíï=î，()DCF GCE SAS \D @D ，DF EG \=，根据垂线段最短，EG AD ^时，EG 最短，即DF 最短，190452CAD Ð=´°=°Q，2AG AC CG =-=，sin 452)2EG AG \=°=-=g2DF \=-故答案为：2．17．在平面直角坐标系中，已知y轴上一点B ，A 为x 轴上的一动点，连接AB ，以AB 为边作等边ABC D ，如图所示，连接OC ，则BC OC +的最小值是 3 ．【解答】解：如图所示，在第二象限以OB 为边长作等边BOD D ，连接CD ，延长BD 交x 轴于点B ¢，连接B C ¢，ABC D Q 、BOD D 是等边三角形，AB BC \=，BO BD =，60ABC OBD Ð=Ð=°，ABC OBC OBD OBC \Ð+Ð=Ð+Ð，ABO CBD \Ð=Ð，在BAO D 和CBD D 中，AB BC ABO CBD BO BD =ìïÐ=Ðíï=î，()BAO BCD SAS \D @D ，AOB BDC \Ð=Ð，90AOB Ð=°Q ，90BDC \Ð=°，CD BD \^，\点C 随着点A 的运动形成的图形是直线CD ，90BOB ¢Ð=°Q ，60OBD Ð=°，30BB O ¢\Ð=°，12OB BB ¢\=，12DB OB BB ¢\==，\点D 是BB ¢的中点，CD BD ^Q ，CD \是BB ¢的中垂线，BC B C ¢\=，BC OC B C OC ¢\+=+，又Q 点C 在直线CD 上运动，\点O 、C 、B ¢三点共线时，B C OC ¢+的值最小，最小值为OB ¢的长，60B BO ¢Ð=°Q ，OB =，3OB ¢\=，BC OC \+的最小值为3．故答案为：3．题型三 其他最值18．如图，在ABC D 中，2AB AC ==，120BAC Ð=°，P 为BC 边上一动点，连接AP ，将线段AP 绕点A顺时针旋转120°至AP ¢，则线段PP ¢【解答】解：如图所示，过点A 作AD PP ¢^于D ，由旋转可得，AP AP ¢=，120PAP ¢Ð=°，2PP PD ¢\=，30APD Ð=°，当PD 最短时，PP ¢最短，且cos30PD AP =´°，P Q 为BC 边上一动点，\当AP BC ^时，AP 最短，2AB AC ==Q ，120BAC Ð=°，30C \Ð=°，\当AP BC ^时，1sin 30212AP AC =´°=´=，此时，22cos3021PP PD AP ¢==´´°=´=19．如图，在三角形ABC 中，90ACB Ð=°，10AB =，8AC =，6BC =，将三角形ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到三角形A B C ¢¢，A B ¢¢与AC 相交于点P ，则线段PC 长度的最小值为( )A ．6B ．5.2C ．4.8D ．4【解答】解：当CP 与A B ¢¢垂直时，CP 有最小值，如图，由旋转的性质知6B C BC ¢==，8A C AC ¢==，10AB A B ¢¢==，1122A B C S B C A C A B CP ¢¢¢¢¢¢=´´=´´V Q ，68 4.810CP ´\==．故选：C ．20．如图，在ABC D 中，5AB AC ==，BC =，D 为边AC 上一动点(C 点除外），把线段BD 绕着点D 沿着顺时针的方向旋转90°至DE ，连接CE ，则CDE D 面积的最大值为( )A ．16B ．8C ．32D ．10【解答】解：如图，过点E 作EF AC ^于F ，作BH AC ^于点H ，90EFD BHD \Ð=Ð=°，222BH BC CH =-Q ，222BH AB AH =-，2280(5)25AH AH \-+=-，3AH \=，Q 将线段BD 绕D 点顺时针旋转90°得到线段ED ，BD DE \=，90BDE Ð=°，90BDF EDF \Ð+Ð=°，且90EDF DEF Ð+Ð=°，DEF BDF \Ð=Ð，在BDH D 和DEF D 中，BDF DEFBHD EFD BD DEÐ=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BDH DEF AAS \D @D ，EF DH \=，CDE D Q 面积2111(8)(4)8222CD EF CD CD CD =´=´´-=--+，\当4CD =时，CDE D 面积的最大值为8，故选：B ．21．如图，D 是等边三角形ABC 外一点，3AD =，2CD =，当BD 长最大时，ABC D 的面积为 【解答】解：如图1，以CD 为边作等边DCE D ，连接AE ．BC AC =Q ，CD CE =，60BCA DCE Ð=Ð=°，BCD ACE \Ð=Ð，在BCD D 和ACE D 中，BC AC BCD ACE CD CE =ìïÐ=Ðíï=î，()BCD ACE SAS \D @D ，BD AE \=，在ADE D 中，3AD =Q ，2DE CD ==，AE AD DE \+…，5AE \…，AE \的最大值为5，BD \的最大值为5，此时点D 在AE 上，如图2，过点A 作AF BD ^于F ，BCD ACE D @D Q ，60BDC E \Ð=Ð=°，60ADF \Ð=°，AF BD ^Q ，30DAF \Ð=°，1322DF AD \==，AF ==，72BF \=，22219AB AF BF \=+=，ABC \D 的面积2AB =，．22．如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，将ABC D 绕顶点C 逆时针旋转得到△A B C ¢¢，M 是BC 的中点，N 是A B ¢¢的中点，连接MN ，若4BC =，60ABC Ð=°，则线段MN 的最大值为 6 ．【解答】解：连接CN ．在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°Q ，4BC =，60B Ð=°，30A \Ð=°，28AB A B BC \=¢¢==，NB NA ¢=¢Q ，142CN A B \=¢¢=，2CM BM ==Q ，6MN CN CM \+=…，MN \的最大值为6，故答案为6．23．如图，在ABC D 中，90ACB Ð=°，15AC =，9BC =，点P 是线段AC 上的一个动点，连接BP ，将线段BP 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PD ，连接AD ，则线段AD 的最小值是 ．【解答】解：如图，过点D作DE AC^于E，Q将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，DP BP\=，90DPBÐ=°，90DPE BPC\Ð+Ð=°，且90BPC PBCÐ+Ð=°，DPE PBC\Ð=Ð，且DP BP=，90DEP CÐ=Ð=°，()DEP PCB AAS\D@DDE CP\=，9EP BC==，6AE PC AC EP+=-=Q6AE DE\+=，222AD AE DE=+Q，222(6)AD AE AE\=+-，222(3)18AD AE\=-+，当3AE=时，AD有最小值为，故答案为24．如图，Rt ABCD中，90ACBÐ=°，5AB=，3BC=，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值为( )A．125B．65C．52D．3【解答】解：由旋转的性质得，CD CE =，60DCE Ð=°，CDE \D 为等边三角形，CD CE DE \==，当DE 最短，CD 最短，当CD AB ^时，CD 最短，此时1122ABC S AC BC AB CD D =×=×，即AC BC AB CD ×=×，在Rt ABC D 中，90ACD Ð=°，5AB =，3BC =，由勾股定理得，4AC =，345CD \´=，125CD \=，\线段DE 长度的最小值是125，\故选：A ．25．如图，在ABC D 中，4AC =+45BAC Ð=°，30ACB Ð=°，将ABC D 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△11A BC ，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，将ABC D 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点1P ，则线段1EP 的最大值与最小值之差为 4+ ．【解答】解：如图，过点B 作BD AC ^，D 为垂足，在Rt ABD D 中，90ADB Ð=°Q ，45A Ð=°，AD BD \=，设AD BD x ==，在Rt BDC D 中，90BDC Ð=°Q ，BD x =，30C Ð=°，CD \==，AD CD AC +=Q，4x \=+，解得4x =，4AD BD \==，28BC BD ==，AB ==当P 在AC 上运动，BP 与AC 垂直的时候，ABC D 绕点B 旋转，使点P 的对应点1P 在线段AB 上时，1EP最小，最小值为：114EP BP BE BD BE =-=-=-当P 在AC 上运动至点，绕点旋转，使点的对应点在线段的延长线上时，最大，最大值为：，的最大值与最小值之差为．故答案为．26．如图，中，，，，点是的中点，以为旋转中心，将绕点旋转一周，、、的对应点分别为、、，则的最大值为 8 ．【解答】解：连接，，如图，点是中点，，在中，，绕点旋转得△，C ABCD B P 1P AB 1EP 18EP BC BE =+=+1EP\(8(44+--=+4+ABC D 90C Ð=°6AC =4BC =O AC O ABC D O A B C A ¢B ¢C ¢BC¢OB BC ¢Q O AC 132OC AC \==Rt BOCD 5OB ==ABC D Q O A B C ¢¢¢，（当且仅当点、、共线时，取等号），的最大值为，即在旋转过程中点、两点间的最大距离是8．故答案为：8．27．如图，等边中，，为的中点，为内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则线段的最小值为 ．【解答】解：如图，以为边作等边，连接，，，是等边三角形，点是中点，，，将线段绕点逆时针旋转得，，，是等边三角形，，，是等边三角形3OC OC \¢==BC OB OC ¢+¢Q …B O C ¢BC \¢358+=B C¢ABC D 12BC =D BC E ABC D 2DE =AE AE A 60°AF DFDF 2-ED DEG D AD EFAG ABC D Q D BC 6BD CD \==AD BC^AD \==Q AE A 60°AF AE AF \=60EAF Ð=°AEF \D AE EF \=60AEF Ð=°DEG D Q，，在和中，，，，，当点，点，点三点共线时，值最小，即值最小，最小值，故答案为：．28．如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为 ．【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，则此时，，三点在同一直线上，，，，随着点运动，总有，，总有，即，，三点在同一直线上，的运动轨迹为线段，当时，的长度最小，3DE EG \==60GED AEFÐ=°=ÐAEG FED \Ð=ÐAEG D FED D EA EF AEG FED EG ED =ìïÐ=Ðíï=î()AEG FED SAS \D @D DF AG \=AG AD DG -Q …\A G D AG DF DF \2AD DG =-=2Rt ABC D 90ACB Ð=°30A Ð=°6AB =P AC BP B 60°BQ CQ P CQ 32Rt ABC D B 60°Rt EBD D E C B 60ABC Ð=°Q 60PBQ Ð=°ABP EBQ \Ð=ÐP AE EB =PB QB =\()APB EQB SAS D @D E Q D Q \ED \CQ ED ^CQ中，，，，，，即为的中点，，，，为的中位线，，故答案为：．Rt ABC D 90ACB Ð=°30A Ð=°6AB =3BC BD \==3EC =C EB CQ ED ^Q 90D Ð=°//CQ BD \CQ EBD D 1322CQ BD \==32。
三角形旋转问题解题法和理由
三角形旋转问题解题法和理由如下：
解题方法：
1.明确题目要求：首先需要明确题目要求，确定需要旋转的角度
和旋转中心，以及旋转后需要得到的图形或关系。
2.画出原始图形：根据题目描述，画出原始三角形，并标记好相
关的点和线段。
3.确定旋转中心和角度：根据题目要求，确定旋转的中心点和旋
转角度。
4.执行旋转操作：使用旋转工具或手动操作，将三角形绕旋转中
心按指定的角度旋转。
5.验证结果：旋转后，检查是否得到了题目要求的结果，并注意
验证角度、长度等是否符合题目要求。
理由：
1.旋转是几何变换中的基本变换，它可以通过改变图形的位置来
得到新的图形关系或结构。
2.通过旋转操作，可以揭示条件与结论之间的内在联系，找出证
题途径。
3.在三角形旋转问题中，通过旋转可以得到新的角度、长度等关
系，从而为解题提供新的思路和方法。
初中数学--初三重难点突破：三角形中的最值问题(模型)
初中数学--初三重难点突破：三角形中的
最值问题(模型)
引言
三角形作为初中数学的一大重点，其最值问题在研究中也是难
点之一。
不仅需要掌握其基本概念与判定方法，还需要理解如何应
用到实际模型中。
相关知识点回顾
1. 根据勾股定理，直角三角形最大面积对应于斜边与直角边相等；
2. 根据正弦定理，三角形中最大的角对应最长的边；
3. 根据余弦定理，三角形中最短边对应最大角的余弦值最小。
常用模型
1. 边长一定，求最大面积
在已知三角形两边长度相等的情况下，如何使得三角形的面积
最大？根据勾股定理，我们可得到结论：等腰直角三角形面积最大。
2. 周长一定，求最大面积
当三角形周长一定时，如何使得三角形的面积最大？由于周长一定，我们可以根据海伦公式列出面积公式：$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中$p=\dfrac{a+b+c}{2}$。
由于面积与$p$有关，因此当$p$最大时，$S$也最大。
根据数学知识，容易得到结论：三角形为等边三角形时面积最大。
3. 已知一边及其对应的角，求另外两边的长度使其周长最小/最大
在已知一边及其对应角的情况下，如何使得三角形的周长最小/最大？根据三边不等式我们可以得到一个结论：当另外两边的长度相等时，周长最小/最大。
因此，当已知一边及其对应角时，我们可以通过正弦定理来求出另外两边的长度，进而求解周长的最小/最大值。
总结
三角形最值问题是初中数学中的难点之一，但只要掌握了基本的概念、判定方法和应用，就能轻松解决各种模型题。
希望本文能对大家在学习三角形最值问题时提供一定的参考和帮助。
林初中2017届中考数学压轴题专项汇编：专题7旋转之求线段最值(附答案)
林初中2017届中考数学压轴题专项汇编：专题7旋转之求线段最值(附答案)本题是一道典型的旋转思想解决线段最值问题的题目。
首先根据三角形三边关系，可以得到当线段OA，OB为定长时，A，B，O三点共线时，AB取得最值的情况。
具体来说，当点B位于B1处时，AB取得最小值OA-OB；当点B位于B2处时，AB取得最大值OA+OB。
接着，根据上述思路，可以解决出三种常见的题型。
第一种题型是以Rt△ABC为例，其中∠ABC=90°，点A，B分别在互相垂直的直线m，n上滑动。
取AB中点D，连接OD，CD。
当O，C，D三点共线时，OC取得最大值OD+CD。
第二种题型是以等边△ABC为例，点A，B分别在互相垂直的直线m，n上滑动。
同样取AB中点D，连接OD，CD。
当O，C，D三点共线时，OC取得最大值OD+CD。
第三种题型是以Rt△ABC为例，其中∠ABC=90°，点A，B分别在互相垂直的直线m，n上滑动。
同样取AB中点D，连接OD，CD。
当O，C，D三点共线时，OC取得最小值|CD-OD|。
最后，通过例题讲解，进一步巩固了旋转思想解决线段最值问题的方法。
例如，对于例1，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=1/2.若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕A点旋转，E始终为BD的中点，求线段CE长度的最大值。
通过画图分析，可以得到当点D在靠近点C的三等分点处时，线段CE的长度的最大值为4+35.对于例2，以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=30°。
若BO=33，点N在线段OD上，且NO=2，P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______。
通过画图分析，可以得到线段PN长度的最小值为2√3，最大值为35.1．根据题意，我们可以将△COD绕点O旋转，使得点C 和D在同一侧，此时MN的最大值即为OE+EN=3+2=5，其中O为△AOB的垂心，E为AB的中点，EN为OC的中线，MN最大值取在OE上。
旋转中的最值问题(最新)
旋转中的最值问题班级姓名座号【例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D为BC边上一个动点（不包含点B和点C），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，点D的对应点为点E，连接CE，若AC＝4，在点D移动的过程中，则CE的最小值为．【变式训练】1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝7，点D是BC边上一动点，以AD为一边等边△ADE，则线段CE长度的最小值是．2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝34，BC的中点为D，将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG．在旋转过程中，求DG的最大值和最小值．【例2】思考：（1）如图①，若点D为等边三角形△ABC的边AC上一点，以BD为边作等边△BDE（在BD下方），连接CE．若CD＝1，CE＝3，则AC＝．（2）如图②，点D为等边△ABC的AC边上一动点，以BD为边作等边△BDE（在BD 下方），点M是BC的中点，连接ME．若BC＝5，则ME长的最小值是．问题解决：（3）如图③，等边△ABC中，BC＝5，点D是BC边上的高AM所在直线上的点，以BD 为边作等边△BDE（在BD下方），连接ME，则ME的长是否存在最小值？不存在请说明理由；若存在，说明理由并求出这个最小值．【变式训练】1、如图1，△ABC，△EDC是两个等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠EDC＝90°，AB＝5，DE＝3，连接AE，取AE中点F，连接BF，DF．（1）如图1，当B，C，D三个点共线时，请直接写出BF与DF的数量关系与位置关系；（2）如图2，将△EDC绕点C逆时针旋转，取AC与EC的中点G，H，当点G，H，F 三点不共线时，连接GF，HF，BG，DH，求证：△BGF≌△FHD；（3）在（2）的条件下，连接BD，在△EDC绕点C旋转的过程中，求△BFD面积的最小值，并说明理由．2、如图，△ABC为等边三角形，AB＝12，将边AB绕点A顺时针旋转θ，得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，F为CD上一点，且DF＝2CF．（1）当∠EAB＝30°时，求∠AEC的度数；（2）M为边AC上一点，当CM＝4时，求线段BM的长；（3）在（2）的条件下，边AB绕点A旋转过程中，求线段BF长度的最小值．。
借助三角形的旋转求一条线段的最大值
借助三角形的旋转求一条线段的最大值何宗瑞求一条线段的最大值常出现在中考或模拟考试中，这类题目使许多考生一筹莫展，下面就这类试题的解法试做分析。
例题：如图，在∆ABC中，∠ACB大小不定，AC=3，BC=2，若以AB为边作等边∆BDC，求CD的最大值？分析：本题的∆ABC有两边的长是定值其夹角是变化的，第三边AB的随∠ACB的变化而变化，则CD也随之变化，就应想办法使与CD相等的线段和已知线段AC、BC或与AC、BC相等的线段转化在同一个三角形中。
因此，可以将∆DCB绕点D逆时针旋转60°到∆的位置，可得到∆为等边三角形、=CB=2，由此可得，，又因为∆为等边三角形，所以解：如右图，把∆DBC绕点D逆时针旋转60°到的位置连接.∴,∴∵∆ABD是等边三角形∴DA=DB ，∴与DA重合(点与点A重合)，∆是等边三角形∴在∠ACB 的变化过程中∴变式：如右图，在∆ABC中，∠ACB大小不定，AC=3，BC=2，若以AB为斜边作等腰直角∆ABD，求CD的最大值？DC'D D解：如右图， 把∆DBC 绕点D 逆时针旋转90°到的位置,连接. ∴,∴∵∆ABD 是等腰直角三角形 ∴DA=DB ，∴与DA 重合(点与点A 重合)，∆是等腰直角三角形∴在∠ACB 的变化过程中∴变式2（紫阳中学初中部2017年初三第三次模考第14题：） 如图1，，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在AB 的两侧，当PD 最大时，正方形的面积是 。
D)DPDCD （B')C解：如图3，把∆APB绕点P逆时针旋转90°到的位置连接DP.∴,∴∵四边形ABCD是正方形∴AD=AB ，∴与AD重合(点与点D重合)，∆是等腰直角三角形∴在∠APB的变化过程中，∴APB=过点A作AE⊥BP于点E，则∠APE=45°∴∴∴∴正方形ABCD的最大面积是30总结方法：当已知三角形的两边长度但其夹角不固定，以第三边为边长作等边三角形、等腰直角三角形或正方形等特殊图形，要使已知两边的公共顶点到特殊图形的一个顶点距离最大。
解三角形中的范围与最值问题(学生版)
解三角形中的范围与最值问题目录01方法技巧与总结02题型归纳与总结题型一：周长问题题型二：面积问题题型三：长度和差比问题题型四：转化为角范围问题题型五：倍角问题题型六：角平分线问题与斯库顿定理题型七：中线问题题型八：四心问题题型九：坐标法题型十：隐圆(阿波罗尼斯圆)问题题型十一：两边逼近思想题型十二：转化为正切有关的最值问题题型十三：最大角(米勒问题)问题题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题题型十五：托勒密定理及旋转相似题型十六：三角形中的平方问题题型十七：等面积法、张角定理03过关测试1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值．要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：(1)求角的最值；(2)求边和周长的最值及范围；(3)求面积的最值和范围．题型一：周长问题1(2024·全国·二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2a cos A=b cos C+c cos B，且a=4sin A，则△ABC周长的最大值为()A.42B.62C.43D.632(2024·广西河池·模拟预测)已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c cos A=a cos B +b cos A.(1)求角A；(2)若a=3，求△ABC的周长的最大值，并求出此时角B，角C的大小.3(2024·江西南昌·三模)在锐角△ABC中，a=23，(2b-c)cos A=a cos C，(1)求角A；(2)求△ABC的周长l的范围.4(2024·广东广州·一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足a=2，a cos B= 2c-bcos A．(1)求角A的大小；(2)求△ABC周长的范围．5(2024·贵州贵阳·模拟预测)记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2-c2a cos B+b cos A=abc．(1)求C；(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求△ABC周长范围．题型二：面积问题1(2024·四川德阳·模拟预测)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin C =c 3cos B 2，b =3.(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，求△ABC 的面积范围.2(2024·全国·模拟预测)已知在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且m =2sin x ,3 ，n =cos x ,cos2x ，f x =m ⋅n，f B +C =0．(1)求角A 的值；(2)若b =1，求△ABC 面积的范围．3(2024·四川攀枝花·三模)已知ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 其面积为S ,且(b +c 2-a 2=43S .(Ⅰ)求角A ；(II )若a =3,b =m (m >0),当ΔABC 有且只有一解时,求实数m 的范围及S 的最大值.4(2024·陕西安康·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD 中，AB =AC =BD =10，当四边形ABCD 的面积最大时，BC 2+CD 2+DA 2的最小值为.5(2024·陕西西安·模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =6，6cos B =3c -b cos A ，则△ABC 面积的最大值为.题型三：长度和差比问题1(2024·广东深圳·模拟预测)已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足3c +b sin A =3a cos B ．(1)求角A 的大小；(2)若D 是边BC 上一点，且AD 是角A 的角平分线，求BC AD 的最小值．2(2024·山西运城·模拟预测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)求证：sin (A -B )sin A +sin B=a -b c ；(2)若△ABC 是锐角三角形，A -B =π3,a -b =2，求c 的范围.3(2024·山东潍坊·一模)在①tan A tan C -3tan A =1+3tan C ；②2c -3a cos B =3b cos A ；③a -3c sin A +c sin C =b sin B 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.问题：在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且.(1)求角B 的大小；(2)已知c =b +1，且角A 有两解，求b 的范围.4在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =23，2c -a sin C =b 2+c 2-a 2 sin B b(1)求角B ﹔(2)求2a -c 的范围．5(2024·重庆·模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b =2b cos 2π12-A 2 -a sin B 2cos B 2．(1)求角A 的大小；(2)若BP =PC ，且b +c =2，求AP 的最小值．6(2024·安徽亳州·高三统考期末)在锐角ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin C =c cos A -π6.(1)求角A 的大小；(2)设H 为ΔABC 的垂心，且AH =1，求BH +CH 的范围.题型四：转化为角范围问题1在锐角ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C.(1)求A；(2)求cos B-cos C的取值范围.2已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a-b=c cos B-cos A．(1)判断△ABC的形状并给出证明；(2)若a≠b，求sin A+sin B+sin C的取值范围．3(2024·山西·模拟预测)钝角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，若a cos B=c sin A，则sin A+2sin B的最大值是.4在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a=1,b=2.(1)若∠B=π4，求角A的大小；的取值范围.(2)求cos A cos A+π6题型五：倍角问题1(多选题)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且c=b+2b cos A，则下列结论正确的有()A.A=2BB.B的取值范围为π6,π3C.ab的取值范围为(2,3)D.1tan B -1tan A+2sin A的取值范围为533,32(多选题)(2024·河北·三模)已知△ABC内角A、B、C的对边分别是a、b、c，A=2B，则()A.a2=c b+cB.bc+a2b2的最小值为3C.若△ABC为锐角三角形，则cb ∈1,2D.若a=26，b=3，则c=53(2024·江西九江·一模)锐角三角形ABC中，若∠C=2∠B，则ABAC的范围是()A.(0,2)B.(2,2)C.(2,3)D.(3,2)4在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a2=b2+bc，则cb+2cos2B的最小值为.题型六：角平分线问题与斯库顿定理1△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4a sin A=b sin C cos A+c sin A cos B.(1)求sin Asin C的值；(2)若BD是∠ABC的角平分线.(i)证明：BD2=BA·BC-DA·DC；(ii)若a=1，求BD⋅AC的最大值.2在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，a=23，6cos C-a sin C=3b.(1)求角A的大小；(2)设∠ABC的平分线与AC交于点D，当△ABC的面积最大时，求BD的长.3(2024·山西吕梁·一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b cos C+2a cos A= -c cos B．(1)求A；(2)设A的角平分线交BC于点M，AM=1，求b+4c的最小值．4(2024·广东佛山·模拟预测)记锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sin2C+ sin2B-sin2A=sin B sin C．(1)求A；(2)已知A的角平分线交BC于点D，求BDCD的取值范围．题型七：中线问题1在△ABC中，∠B=π3，D在边AC上，∠A，∠B．∠C对应的边为a，b，c．(1)当BD为∠B的角平分线且BD=3时，求1a +1c的值；(2)当D为AC的中点且BD=23时，求2c+a的取值范围．2(2024·高三·黑龙江大庆·期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sin C=c3cos B2,b=3.(1)求B；(2)求△ABC的AC边中线BD的最大值.3(2024·河北·模拟预测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sin A-3sin Ba= c-bsin C+sin B.(1)求角C的大小；(2)若边c=2，边AB的中点为D，求中线CD长的最大值.4(2024·高三·河北张家口·期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos C-2b cos B+c cos A=0．(1)若a=3，b=7c，求△ABC的面积；(2)已知AD为边BC的中线，且AD=3，求a+c的最大值．5(2024·浙江·模拟预测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c且b cos C+c sin B=a, a+2b=62，sin A+2sin B(1)求b；(2)求AC边上中线长的取值范围．题型八：四心问题1(2024·全国·模拟预测)已知锐角三角形ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且c -b sin C =a cos C -b sin B +a cos B sin C .(1)求角A ；(2)若H 为△ABC 的垂心，a =2，求△HBC 面积的最大值.2在锐角△ABC 中，cos A =22，点O 为△ABC 的外心．(1)若AO =xAB +yAC ，求x +y 的最大值；(2)若BC =2．①求证：OA +sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC =0 ；②求3OA +2OB +OC 的取值范围．3已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 是△ABC 所在平面内的一点．(1)若点O 是△ABC 的重心，且OA ⋅OB =0，求cos C 的最小值；(2)若点O 是△ABC 的外心，BO =λBA +μBC (λ，μ∈R )，且a =4，c =6，mλ+μ-12sin 2B (m ∈R )有最小值，求m 的取值范围．4从①(a +b +c )⋅(sin A +sin B -sin C )=a sin B +2b sin A ；②2a sin A cos B +b sin2A =23a cos C 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足：．(1)求角C 的大小；(2)若c =3，△ABC 的内心为I ，求△ABI 周长的取值范围．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．5已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且c cos B -2a cos A =b cos A cos B -a sin 2B .(1)求A ；(2)若a =3,O 为△ABC 的内心，求3OB +2OC 的取值范围.6在△ABC 中，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边，2a cos A =b cos C +c cos B ．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且其面积为32，点G 为△ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且AN =2NB ，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围.题型九：坐标法1(2024·山东·二模)已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点G 是△ABC 的重心，且AG ⋅BG =0.(1)若∠GAB =π6，求tan ∠GAC 的值；(2)求cos ∠ACB 的取值范围.2在Rt △ABC 中，∠BAC =π2，AB =AC =2，点M 在△ABC 内部，cos ∠AMC =-35，则MB 2-MA 2的最小值为．3在△ABC 中，AB =2，AC =32，∠BAC =135°，M 是△ABC 所在平面上的动点，则w =MA ⋅MB +MB ⋅MC +MC ⋅MA 的最小值为．4在等边△ABC 中，M 为△ABC 内一动点，∠BMC =120°，则MA MC的最小值是()A.1 B.34 C.32D.33题型十：隐圆(阿波罗尼斯圆)问题1阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC ，BC =6,sin B =12sin C ，当△ABC 的面积最大时，则AC 的长为.2阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值λ(λ>0,λ≠1)的动点的轨迹.已知在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，sin A =2sin B ,a cos B +b cos A =2,则△ABC 面积的最大值为．3在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知CD =9，BD =16，∠BDC =90°，sin A =45，则对角线AC 的最大值为()A.27 B.16 C.10 D.254已知△ABC 中，BC =2，G 为△ABC 的重心，且满足AG ⊥BG ，则△ABC 的面积的最大值为.5已知等边△ABC 的边长为2，点G 是△ABC 内的一点，且AG +BG +CG =0 ，点P 在△ABC 所在的平面内且满足PG =1，则P A 的最大值为.6在平面四边形ABCD 中，∠BAD =90°，AB =2，AD =1．若AB ⋅AC +BA ⋅BC =43CA ⋅CB ，则CB +12CD 的最小值为．题型十一：两边逼近思想1在△ABC中，若cos Asin B+cos Bsin A=2,A,B∈0,π2，且△ABC的周长为12．(1)求证：△ABC为直角三角形；(2)求△ABC面积的最大值．2设ΔABC的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列，cos A-C-cos B=12，延长BC至D，若BD=2，则ΔACD面积的最大值为.3设ΔABC的内角A，B，C的对边为a，b，c．已知a，b，c依次成等比数列，且cos A-C-cos B=12，延长边BC到D，若BD=4，则ΔACD面积的最大值为．题型十二：转化为正切有关的最值问题1在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且2S=a2-b-c2，则2b2+c2bc的取值范围为.2(2024·河南·三模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若acos A+bcos B=3ccos C，则tan A+tan C的最小值是()A.43B.83C.23D.43(2024·内蒙古呼和浩特·二模)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若1b2+54a2=c2 a2b2，则tan A-1tan C的最小值为()A.13B.23C.29D.194在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b sin B+C2=a sin B.(1)求A角的值；(2)若△ABC为锐角三角形，利用(1)所求的A角值求a-cb的取值范围.5在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b sin B+C2=a sin B．求：(1)A；(2)a-cb的取值范围．题型十三：最大角(米勒问题)问题1某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究．(1)小王获得了以下信息：a．教学楼AB和体育馆CD之间有一条笔直的步道BD；b．在步道BD上有一点M，测得M到教学楼顶A的仰角是45°，到体育馆楼顶C的仰角是30°；c．从体育馆楼顶C测教学楼顶A的仰角是15°；d．教学楼AB的高度是20米．请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度CD．(2)小李获得了以下信息：a．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米；b．大屏幕的高度PQ是2米；c．当观众所站的位置N到屏幕上下两端P，Q所张的角∠PNQ最大时，观看屏幕的效果最佳．请帮助小李完成任务二：求步道BD上观看屏幕效果最佳地点N的位置．21471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长(即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角)，这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高90m，山高160m，此人站在对塔“最大视角”(忽略人身高)的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为()A.12B.941C.1625D.9163德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角原理”：对定点A、B和在直线l上的动点P，当l与△APB的外接圆相切时，∠APB最大．若A(0,2)，B(0,8)，P是x轴正半轴上一动点，当P对线段AB 的视角最大时，△APB的外接圆的方程为()A.(x-4)2+(y-4)2=25B.(x-4)2+(y-5)2=16C.(x-5)2+(y-4)2=16D.(x-4)2+(y-5)2=254(2024·山东滨州·二模)最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面c c<b米的C处看此树，离此树的水平距离为米时看A，B的视角最大.5设△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B-b cos A=35c，则tan(A-B)的最大值为()A.35B.13C.38D.34题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题1当△ABC 的三个内角均小于120°时，使得∠AMB =∠BMC =∠CMA =120°的点M 为△ABC 的“费马点”；当△ABC 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为△ABC 的“费马点”.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，P 是△ABC 的“费马点”.(1)若a cos C +3a sin C -b -c =0，a =23，B <C .①求A ；②设△ABC 的周长为23+6，求P A +PB +PC 的值；(2)若cos 2B +cos 2C -cos 2A =1，PB +PC =t P A ，求实数t 的最小值.2“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC 的三个内角均小于120°时，使得∠AOB =∠BOC =∠COA =120°的点O 即为费马点；当△ABC 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且a sin A =b sin B +c sin C ．(1)求A ；(2)若bc =2，设点P 为△ABC 的费马点，求P A ⋅PB +PB ⋅PC +PC ⋅P A ；(3)设点P 为△ABC 的费马点，PB +PC =t P A ，求实数t 的最小值．3(2024·湖北·三模)△ABC 内一点O ，满足∠OAC =∠OBA =∠OCB ，则点O 称为三角形的布洛卡点．王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确结论，比如∠BOC =π-∠ABC =∠BAC +∠ACB ，请你和他一起解决如下问题：(1)若a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，∠CAO =∠BAO =∠OBA =∠OCB ，证明：a 2=bc ；(2)在(1)的条件下，若△ABC 的周长为4，试把AB ⋅AC 表示为a 的函数f (a )，并求AB ⋅AC 的取值范围．4拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(此等边三角形称为拿破仑三角形)的顶点．”某街角公园计划对园内的一块草坪进行改建，这块草坪是由一个半径为26的圆的一段优弧与此圆弧上一条长为26的弦AB 围成，改建计划是在优弧上选取一点C ，以AC 、BC 、AB 为边向外作三个等边三角形，其外心依次记为A 、B 、C ，在△A B C 区域内种植观赏花卉．(1)设BC =a 、AC =b ，用a 、b 表示△A B C 的面积；(2)要使△A B C 面积最大，C 点应选在何处？并求出△A B C 面积最大值．5小明同学在一次数学课外兴趣小组活动中，探究知函数f x =12-2x+12+x在-12≤x≤-6上单调递增，在-6≤x≤6上单调递减．于是小明进一步探究求解以下问题：法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC中，角A=60°，以AB、BC、AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1、O2、O3，若三角形O1O2O3的面积为3，则三角形ABC的周长最小值为．题型十五：托勒密定理及旋转相似1托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，BD=43，且△ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为()A.163B.16C.123D.122托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，BD=42，且△ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为()A.8B.16C.83D.1633克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD 内接于半径为23的圆，∠A =120°，∠B =45°，AB =AD ，则四边形ABCD 的周长为()A.43+62B.103C.43+42D.43+524凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD 中，AB =1，BC =3，AC ⊥CD ，AD =2AC ，当∠ABC 变化时，对角线BD 的最大值为()A.4B.13C.33D.7+235在△ABC 中，BC =2，AC =1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD (B 为直角顶点，C ，D 两点在直线AB 的两侧).当角C 变化时，线段CD 长度的最大值是()A.3 B.4 C.5 D.96如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB =1，BC =2，△ACD 为正三角形，则△BCD 面积的最大值为()A.23+2B.3+12C.32+2D.3+1题型十六：三角形中的平方问题1(2024·高三·江苏常州·期末)已知ΔABC中，AB=AC=3，ΔABC所在平面内存在点P使得PB2+PC2=3P A2=3，则ΔABC面积的最大值为．2(2024·辽宁辽阳·一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+4b2=6c2，则sin2Csin A sin B的最小值为.3已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为()A.55B.255C.355D.534在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足5a2+3b2=3c2，则sin A的取值范围是.5(2024·湖南常德·常德市一中校考模拟预测)秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是S=14a 2c2-a2+c2-b222，其中a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，若sin C=2sin A cos B，且b2+c2=4，则△ABC面积S的最大值为()A.55B.255C.355D.4556(2024·云南·统考一模)已知△ABC的三个内角分别为A、B、C.若sin2C=2sin2A-3sin2B，则tan B的最大值为()A.53B.52C.11520D.355题型十七：等面积法、张角定理1(2024·江苏·模拟预测)在△ABC 中，点D 在AB 边上，且满足AC BC=AD BD .(1)求证：∠ACD =∠BCD ；(2)若tan A +tan B +3tan A tan B -3=0，CD =2，求△ABC 的面积的最小值.2已知△ABC 的面积为S ,∠BAC =2α,AD 是△ABC 的角平分线,则AD 长度的最大值为()A.S ⋅sin αB.S sin αC.S ⋅tan αD.S tan α3(2024·上海宝山·高三海市吴淞中学校考期中)给定平面上四点O ,A ,B ,C 满足OA =4,OB =3,OC =2,OB ⋅OC =3，则ΔABC 面积的最大值为.4已知△ABC ，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，c =1,∠C 的角平分线交AB 于点D ．若sin A +sin B =2sin ∠ACB ，则CD 的取值范围是．5在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ABC =120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =1，则2a +c 的最小值为.1(2024·甘肃武威·一模)在△ABC 中，AB =3，AC =2，BC >2，则cos A 的范围是()A.-1,56B.-1,1112C.56,1D.1112,1 2(多选题)(2024·山东济南·三模)已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ．若a =1，且sin A -b sin B =c +b sin C ，则()A.sin A =32 B.△ABC 面积的最大值为34C.R =233 D.BC 边上的高的最大值为363(2024·贵州贵阳·二模)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且2a cos B =c -a .当c +4a b 取最小值时，A =.4(2024·四川自贡·三模)如图，D 为△ABC 的边AC 上一点，|AD |=2|DC |，∠ABC =60°，|AB |+2|BC |=4，则BD 的最小值为.5(2024·四川南充·二模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边．已知a =2，2sin B +2sin C =3sin A ．则cos A 的最小值为．6(2024·重庆九龙坡·三模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，已知a sin A +B 2=c sin A ，c =2.则C =；S 的最大值为.7已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足tan B cos C+tan C cos B =2tan B +tan C ，则A 的最大值是．8在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a 、b 、c ，D 是AB 上的三等分点(靠近点A )且CD =1，a -b sin A =c +b sin C -sin B ，则a +2b 的最大值为.9(2024·辽宁·一模)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，c =2且2sin 2A sin 2B +sin A sin B =12sin2A sin2B ,则a +b 的范围是．10△ABC 中AB =AC =2，△ABC 所在平面内存在点P 使得PB 2+PC 2=4，P A 2=1，则△ABC 的面积最大值为．11(2024·江苏苏州·三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ≠b ,c =1.(1)若|CA +CB |=|AB |,2sin A =sin C ，求△ABC 的面积;(2)若cos B -cos A =a -b 2，求使得m >a +b 恒成立时，实数m 的最小值.12(2024·江西鹰潭·二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，满足1-sin Acos A=sin Bcos B.(1)求证：A+2B=π2；(2)求a2+b2c2的最小值.13(2024·陕西安康·模拟预测)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知.在①tan A+π4=-2-3，②2b-2a cos C=c，③b+c-ab+c+a=3bc，这三个条件中任选一个填在上面的横线上，并解答问题.(1)求角A；(2)若△ABC的面积为32，求(b+1)2+(c+1)2的最小值.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.14(2024·上海宝山·二模)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sin2A+sin2C= sin2B+sin A sin C.(1)求角B的大小；(2)若△ABC的面积为3，求a+c的最小值，并判断此时△ABC的形状.15(2024·贵州贵阳·模拟预测)已知在△ABC中，1-cos A2-sin A=0，(1)求A；(2)若点D是边BC上一点，BD=2DC，△ABC的面积为3，求AD的最小值.16(2024·江苏扬州·模拟预测)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若a +b +c a +b -c =3，且△ABC 的面积为334.(1)求角C ；(2)若AD =2DB ，求CD 的最小值.17(2024·陕西西安·一模)已知△ABC 为钝角三角形，它的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin 2C =sin 2B +sin π3+Bcos π6+B ，a <c ，b <c ．(1)求tan (A +B )的值；(2)若△ABC 的面积为123，求c 的最小值．18(2024·四川·三模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2c sin B cos A=b sin A cos B+cos A sin B.(1)求A；(2)若△ABC的面积为163，D为AC的中点，求BD的最小值.19在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c-b=a cos B-b cos A.(1)求角A的大小；(2)若a=1，求△ABC周长的范围.20(2024·四川·二模)锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a c ⋅cos B=tan B +tan C ．(1)求角C 的值；(2)若c =23，D 为AB 的中点，求中线CD 的范围．21“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC 的三个内角均小于120°时，使得∠APB =∠BPC =∠CP A =120°的点P 即为费马点；当△ABC 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若cos (A -C )+cos B =tan A tan C tan A tan C -1.①求B ；②若△ABC 的面积为3，设点P 为△ABC 的费马点，求P A ⋅PC 的取值范围；(2)若△ABC 内一点P 满足∠P AB =∠PBC =∠PCA =θ，且PB 平分∠ABC ，试问是否存在常实数t ，使得b 2=tac ，若存在，求出常数t ；若不存在，请说明理由.22在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足b=a-2b cos C．(1)求证：C=2B；(2)求2sin C+cos B-sin B的最大值．23在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a2-b2=bc．(1)求证：A=2B；(2)若b=1，求a边的范围；(3)求1tan B -1tan A+2sin A的取值范围．24三边长度均为整数的三角形称为“整边三角形”.若整边三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2-cos A2cos2B2=sin Asin B.(1)证明：a+c=2b；(2)若C=2A，当a取最小值时，求整边三角形ABC的面积.。
旋转中的最值问题
中考专题复习（25） 旋转中的最值问题例1：如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠30ABC ，2=AC ，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转α（︒<<︒3600α）得到C B A 11∆，设AC 的中点为F ，11B A 的中点为E ，连接EF ，则EF 的最小值为______分析：如图2，连接CE可得：1=CF ，411=B A ，2=CE由三角形的三边关系可得：EF CF CE ≤-如图3，当C 、E 、F 在同一直线时， EF CF CE =-，所以EF 的最小值为1.例2：（2019年广州市中考题24题）如图11，等边ABC ∆中，AB=6，点D 在BC 上，BD=4，点E 为边AC 上一动点（不与点C 重合），CDE ∆关于DE 的轴对称图形为FDE ∆.（1）当点F 在AC 上时，求证：DF//AB ；（2）设ACD ∆的面积为S 1，ABF ∆的面积为S 2，记S=S 1-S 2，S 是否存在最大值？若存在，求出S 的最大值；若不存在，请说明理由；分析：因为S 1是一个定值，要使S=S 1-S 2取最大值，即使S 2取小值即可。
如图1，无论E 怎样移动，DF 始终等于DC ，长度为2所以点E 在以点D 为圆心，半径为2的圆上运动。
如图2：作AB DH ⊥，垂足为H当点F 落在DH 上时，点F 到AB 的距离最短，所以这时S 2取小值.图1 图2 图3练习1、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是____________练习2、如图，在矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形111D C AB 的位置，则在旋转过程中1CD 的最小值是___________，最大值是__________练习3、问题发现．(1)如图①，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，点D 是AB 边上任意一点，则CD 的最小值为______．(2)如图②，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点M 、点N 分别在BD 、BC 上，求CM +MN 的最小值．(3)如图③，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是AB 边上一点，且AE =2，点F 是BC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG 、CG ，四边形AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF 的长度．若不存在，请说明理由．。
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三角形旋转与极值问题
1.如图所示，AM=3，BM=2，连AB，以AB为边长作等边三角形ABC，连MC，求MC的最大值。
解析：将三角形AMC绕点A顺时针旋转60°，M’、M、B共线MC=M’B最大值为5
2.如图所示:AM=3,BM=5,连AB，以AB为边长作正方形ABCD，连DM，求DM的最大值。
解析：将△AMD绕点A顺时针旋转90°，F、M、B共线MD=FB最大为8
3.如图，正方形ABCD的边长为4，点E为正方形外的一个动点，∠AED=45°，P为AB中点，线段PE的最小值是________,最大值是____________.
解析：将△DEC绕点D顺时针旋转90°，可证∠AEC=90°，E、P、O共线PE=OE-OP，最小
值为22-2，P、O、E共线PE=OE+OP，最大值为22+2
4.如图：正方形ABCD的边长是1，点P是边BC上任意一点（可以与B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线段BB´、CC´、DD´，
①写出BB´、CC´、DD´的数量关系等式：并证明你的结论
②BB´+CC´+DD´的最大值是（）
③BB´+CC´+DD´的最小值是（）
解析：（1）如图△ADD’≌△BCN，DD’=BN=BB’+CC’
（2）P与B重合，BB´+CC´+DD´=2AD，最大值是2
（3）P与C重合，BB´+CC´+DD´=BD，最小值是2
5..在直角平面坐标系中，C（0,4），A在第三象限，B在第四象限，ΔOAB是等腰
直角三角形，AB=8，求SΔCAB最大值。
（有两种方法，）
解析：AB长一定，当CM=OM+OC时，S△CAB最大为32.故需将△AOB旋转到C、O、M共线。
6、如图所示：两个等腰直角三角形没有重叠的部分， OA=6，OC=4，
求 S ΔOBC+S ΔAOD 的最大值。
解析：△AOM ≌△BON ，∴S △AOD=S △BOC ，∴当BN=BO （如图）时， S △AOD+S △BOC 最大为24。
6、已知如图：AB=8，点M 是线段AB 上一动点，作两个等边ΔAME 和ΔBMF ，求线段EF 长度的最小值（要有步骤）
解析：如图分别过E 、F 作AB 的垂线，作FG 垂直于EC ，由EF ≥GF 知EF=FG 时，最小为 21AB=4.
7、已知如图：AB=8，点M是线段AB上一动点，作两个等腰RtΔAME和RtΔBMF，求线段EF长度的最小值（要有步骤）
解析：方法一：（作辅助线）同上题。
方法二（作辅助线）延长AE、BF交于N，作NK垂直于AB，EF=MN=NK时最小为4。