高一数学二次函数在闭区间上的最值练习题

第1课 二次函数在闭区间上的最值一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，求)(x f 在][n m x ，∈上的最大值与最小值。

分析：将)(x f 配方，得顶点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，、对称轴为a bx 2-= 当0>a 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上)(x f 的最值：（1）当[]n m ab，∈-2时，)(x f 的最小值是a b ac a b f 4422-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-， )(x f 的最大值是)()(n f m f 、中的较大者。

（2）当),(2m a b-∞∈-时，)(x f 在[]n m ，上是增函数则)(x f 的最小值是)(m f ，最大值是)(n f （3）当),(2+∞∈-n ab时，)(x f 在[]n m ，上是减函数则)(x f 的最大值是)(m f ，最小值是)(n f当0<a 时，可类比得结论。

（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定； （2）轴定，区间变； （3）轴变，区间定； （4）轴变，区间变。

1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1. 函数242-+-=x x y 在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

练习. 已知x x 322≤，求函数1)(2++=x x x f 的最值。

2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2. 如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]t t ，+1上，求f x ()的最小值。

典型例题 基础过关例3.已知32)(2+-=xxxf，当]1,[+∈t tx，()Rt∈时，求)(xf的最大值．观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。

不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。

第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。

根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。

对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a>0时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max如图如图，，nmabnfnmabmfxf⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxf当0<a时⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxf f xf mbam nf nbam n()()()()()()()min=-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图2122129103、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例4. 已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x ax ()=++23的最值。

例5. (1) 求2f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。

(2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。

4. 轴变区间变 二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。

例6. 已知)(42a x a y -= ()0>a ，求()223y x u +-=的最小值。

（二）、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例7. 已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。

例8. 已知函数2()2x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。

评注：解法利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m ，n 的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。

例9. 已知二次函数2f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,23上的最大值为3，求实数a 的值。

解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。

12++x 在]1,1[-上的最小值和最大值分别是（ ）)(A 1 ,3 )(B 43 ,3 （C ）21- ,3 （D ）41-, 3 2．函数242-+-=x x y 在区间]4,1[ 上的最小值是（ ）)(A 7- )(B 4- )(C 2- )(D 23．函数5482+-=x x y 的最值为（ ） )(A 最大值为8，最小值为0 )(B 不存在最小值，最大值为8（C ）最小值为0, 不存在最大值 )(D 不存在最小值，也不存在最大值 4．若函数]4,0[,422∈+--=x x x y 的取值范围是______________________ 5．已知函数f x ax a x a ()()()[]=+---22130322≠在区间，上的最大值是1，则实数a 的值为 6．如果实数y x ,满足122=+y x ，那么)1)(1(xy xy +-有（ ）(A) 最大值为 1 , 最小值为21 (B) 无最大值，最小值为43（C ）最大值为 1, 无最小值 (D) 最大值为1，最小值为437．已知函数322+-=x x y 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ） (A) ),1[+∞ (B) ]2,0[ (C) ]2,1[ (D) ]2,(-∞ 巩固训练8．若12,0,0=+≥≥y x y x ，那么232y x +的最小值为__________________9．设21,,x x R m ∈是方程01222=-+-m mx x 的两个实根，则2221x x +的最小值______10．设),](1,[,44)(2R t t t x x x x f ∈+∈--=求函数)(x f 的最小值)(t g 的解析式。

11．已知)(x f 22aax x +-=，在区间]1,0[上的最大值为)(a g ，求)(a g 的最小值。

12. 设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--. (1) 若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2) 求()f x 的最小值；(3) 设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．不等式()1h x ≥的解集(不需给出演算步骤).第2课 函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式，就是 .② 复合函数)]([x g f 的有关定义域，就要保证内函数)(x g 的 域是外函数)(x f 的 域. ③ 实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 基础过关二、值域：1．函数)(x f y =中，与自变量x 的值 的集合.2．求函数值域的常用方法：①观察法； ②配方法； ③反函数法； ④不等式法； ⑤单调性法； ⑥数形法； ⑦判别式法； ⑧有界性法； ⑨换元法 例如：① 221x y +=，可采用 法； ② 2312++=x x y )32(-≠x ，可采用 法或 法；③ c x bf x f a y ++=)()]([2，可采用 法； ④ x x y --=1，可采用 法；⑤21x x y --=，可采用 法； ⑥ xxy cos 2sin -=可采用 法等.例1. 求下列函数的定义域： （1）xx x y -+=||)1(0;(2)232531x x y -+-=; (3) 1·1-+=x x y .变式训练1：求下列函数的定义域：（1）02)1(12)2lg(-+-+-=x x x x y ; (2)02)45()34lg(-++=x x x y ;2. 设函数)(x f y =的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）)3(x f y =; （2）)1(xf y =; （3）)31()31(-++=x f x f y ; （4）)()(a x f a x f y -++=.典型例题变式训练2：若函数)(x f 的定义域是［0，1］，则)()(a x f a x f -⋅+（0＜a ＜21）的定义域是 （ ） A.∅B.]1,[a a - C. ]1,[a a +- D.［0，1］例3. 求下列函数的值域：（1）;122+--=x x x x y (2) x x y 21--=; (3)1e 1e +-=x x y .变式训练3：求下列函数的值域： （1）521+-=x x y ; (2) 21x x y -⋅=.例4．若函数a x x x f +-=221)(的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值.变式训练4：已知函数624)(2++-=a ax x x f (x∈R). （1）求函数的值域为［0，+∞)时的a 的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数32)(+-=a a a f 的值域.第3课 指数、对数和幂函数1．指数：(1) 规定：① a 0＝ (a ≠0)； ② a -p ＝ ； ③ (0,m n mna a a m => .(2) 运算性质：① a a a a s r s r ,0(>=⋅+ (a>0, r 、∈s R ) ② a a a s r s r ,0()(>=⋅ (a>0, r 、∈s R ) ③ >>⋅=⋅rb a b a b a rr r ,0,0()( 2．指数函数：① 定义：函数 称为指数函数，② 性质： 1) 函数的定义域为 ； 2) 函数的值域为 ； 3）恒过定点 ，4) 当________时函数为减函数， 当_______时为增函数.③ 函数图象：3．对数：(1) 定义：如果N a b =)1,0(≠>a a 且，那么 ，其中a 称为对数的底，N 称为真数.(2) 基本性质：①01log =a ； ②1log =a a ； ③N a N a =log．④ma b n log = 换底公式log a N ＝4．对数函数： ① 定义：函数 称为对数函数，② 性质 1) 函数的定义域为 ； 2) 函数的值域为 ；3）恒过定点 ，4) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；5) 函数x y a log =与函数 )1,0(≠>=a a a y x 且互为反函数.③ 函数图象：5．幂函数：① 定义：我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数； ② 性质：（1）幂函数的图象都过点 ； （2）任何幂函数都不过 象限；（3）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 ； （4）当2,2α=-时，幂函数是 ；当11,1,3,3α=-时，幂函数是 ． ③ 函数图象： 基础过关1.指数函数例1. 已知a=91,b=9. 求：（1）;315383327a a a a ⋅÷-- （2）111)(---+ab ba .变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）;)(65312121132b a b a b a ⋅⋅⋅⋅-- （2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a例2. 函数f(x)=x 2-bx+c 满足f(1+x)=f (1-x)且f(0)=3,则f(b x )与f(c x)的大小关系是 （ ） (b x )≤f(c x ) (b x )≥f(c x ) (b x )＞f(c x) D.大小关系随x 的不同而不同变式训练2：已知实数a 、b 满足等式11()()23a b=，下列五个关系式中，不可能成立的关系式有（ ）个① 0＜b ＜a; ②a ＜b ＜0; ③0＜a ＜b; ④b ＜a ＜0; ⑤a=b.例3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间： （1）f(x)=3452+-x x ;（2）g(x)=-11()4()542x x ++.变式训练3：求下列函数的单调递增区间： （1）y=(226)21x x -+; (2)y=262--x x .例4．设a ＞0,f(x)=e e x xaa +是R 上的偶函数. （1）求a 的值； （2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.变式训练4：已知定义在R 上的奇函数f(x)有最小正周期2即(2)()f x f x +=，且当x ∈(0,1)时，f(x)=241xx +. （1）求f （x)在［-1，1］上的解析式；（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.2.对数函数例1 计算：（1）23log (23)+-（2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+2(lg 2)lg 21-+;变式训练1：化简求值.（1）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（2）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).例2 比较下列各组数的大小.（1）log 332与log 556;（2）log 1.10.7与变式训练2：已知0＜a＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是 （ ）bb b b a 1log log 1<<B.b b b b aa1log 1loglog << C.b b b a b a 1log 1log log << D.b bb a a b log 1log 1log <<例3已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a 的取值范围.变式训练3：已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.例4 已知函数131()log 1x f x x +=-．（1）求)(x f 的定义域； （2）判断)(x f 的奇偶性并予以证明； （3）若()0f x > 求实数x 的取值范围变式训练4 已知).1,0(11log )(≠>-+=a a xx x f a （1）求f (x )的定义域;（2）判断f (x )的奇偶性并予以证明;（3）求使f (x )＞0的x 取值范围.3.幂函数例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1）22y x x -=+ （2）1122y x x -=+ （3）1124()3()f x x x =+-变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1）43y x-= （2）54y x = （3）12y x -=例2比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26--- （4）30.530.5,3,log 0.5变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列：（1）2223332.5,( 1.4),(3)-- （2）3338420.16,0.5,6.25-- （3）113323255(),(),log 333--例3已知幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值． 分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值．变式训练3：证明幂函数12()f x x-=在(0,)+∞上是减函数．。