材料力学_14章静不定结构-习题课
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材料力学课件-第61讲 第十四章 静不定问题分析(2)
1
2
3
4
5
6
8
P
FN7
m
m’
FN7
求解思路讨论：
A 点在与F 垂直方向位移
例: A点位移与F 方向相同，求角
解：配置单位载荷系统
作业 14-1 14-2 14-3
谢 谢
B
M
O
R
A
B
M0
q
O
R
A
B
1
图(1)
4. 计算B端水平位移（1）
方法1
B端的水平位移为
4. 计算B端水平位移（2）
q
O
R
A
B
M0
图(二)
方法2
q
O
R
A
B
1
图(2)
结果相同！
例2：求B 端反力
1. 问题分析
静不定度
相当系统
变形协调条件
2度
相当系统
单位载荷系统 1
单位载荷系统 2
④单位载荷系统
第 14 章 静不定问题分析(2)
第六十讲知识点 力法分析静不定问题（续）
外静不定问题分析（续） 内静不定问题分析
§2 用力法分析静不定问题（续）
外静不定问题分析(续)
题1：已知外力偶 M0 ，求B端约束反力和水平位移。
q
O
R
A
B
M0
1. 问题分析
静不定度
相当系统
变形协调条件
FB
例2：求B 端反力（续）
变形协调条件
相当系统
内力静不定问题分析
分析桁架内力与qCD ，各杆EA同
1. 问题分析
几度静不定问题？
材料力学(单辉组)第十四章静不定问题分析
FBy F
B
F A xA
Rj
F Ay
MA
Rj
A
静定基
解：4个反力，3个平衡方程，1次外力静不定
认为B处为多余约束，移去B支座，加反力
变形协调条件: DBy=0
11
FBy F 利用截面法求弯矩
M
B
Rj
A
M j FR1 cosj FByRsinj
利用卡氏第二定理求位移
静定基
曲杆弯矩正号 使曲率增大
静定基
A
B
Dcy
V Fcy
M2
M 2 Fcy
EI dx AB
2
M1
M1 Fcx
EI dx BC
1
a2 EI
1 2
Fcx
1 3
Fcy
3 8
qa2
C
Fcx
Fcy 利用变形协调条件求支反力
由
D D
cx cy
0 0
4
3
1
2
根据多余的约束条件
几何方程 物理方程
补充方程
当杆件外形、载荷较复杂或材料为非线性弹 性时，问题难于求解
由于能量方法可较容易给出载荷与位移关系， 从而采用能量法比较容易处理静不定问题
9
EX1
F
B
Rj
A
已知：小曲率杆，半径R
不计剪力和轴力对曲杆变形影响
求解：支反力和内力？
10
FBy F
B
4
有缝 q
F Ax A F A y (a)
刚架
B
FBy
材料力学(18)第十四章-3
A C’
x3
2 a M ( x1 ) M ( x1 )d x1 EI 0
2a 0
M ( x 2 ) M ( x 2 )d x 2
a 0
M ( x 3 ) M ( x 3 )d x 3
Page8
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
x2
x1
C A’
60° 60°
B’
P
A’
M ( ) M M
B
F NB R ( 1 cos ) 3 3
( 2 3 9)
A/O
/3
0
1 V 3 P
M ( )
2
B
PR ( 1 cos )
M
PR 6
B
V 6
Rd
2 EI
Page22
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
MECHANICS OF MATERIALS
A B FNB MB
1、解静不定问题：
C MC P FNC
利用对称性减少未知力的数目
F SB F SC 0 B C 0
F NB F NC
B C 0
3 3 P
A FNB MB B
根据平衡方程：
C
剩余一个未知力MB
P
B M C l/2 A MC FNC FSC A l/2 F
D
解: 三度外力静不定 对称结构，反对称受载
F N C＝ 0 M C＝ M / 2 f C / C ＝ 0 f C＝ 0
l
B
剩余一个多余内力——剪力
协调条件： f C / C 0
第14章 静不定结构
(Statically Indeterminate Structure) 二、对称载荷和反对称载荷
P M F P M F F M P P M F
对称载荷：作用位置对称、数值相等、指向对称; 反对称载荷：作用位置对称、数值相等、但是指向相反; 对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的作用点和 作用方向将重合，而且每对力数值相等。 反对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的数值 相等，作用点重合而作用方向相反。
l B l/2 C l/2 C B
F
l/2
F
l/2
FB
D A
D A
相当系统
解:取B处的反力为多余约束。 变形协调条件是:B点的铅锤位移等于零.
B 0
(Statically Indeterminate Structure) l
B x l/2 C D A l/2 A x x B l/2 x C D x
4 M ( ) FB asin F a sin( )( ) 4 4 2
单位力系统各段的弯矩方程：
)
(b)
B
M asin
应用莫尔积分,
1
M()
A
M ( ) M ( )ds ΔB 0 s EI
(c)
(Statically Indeterminate Structure) MMds 1 π 4 FB a sin a sin ad ΔB 0 s EI EI 0
例题2 （教材14-3） 图示刚架，C截面承受弯矩M作用，计算 M C截面转角。EI为常数。
B C D
解：图示刚架为三次静不定，但 由于结构具有对称性，载荷反对称， 故对称轴横截面上轴力、弯矩为零， 只有一个多余未知力（剪力FS ）。 变形协调条件是: 切口两侧截面的相对竖直位移等于零。
材料力学_14章-3静不定结构中对称与反对称性质
X1
X1
h
2 求出： X3 0 X1 P
h
图1没有弯矩
原刚架的弯矩=图2弯矩
三、分析图 2
4)对静定基进行受力分析,建立相当系统
竖直相对线位移, 建立正则方程 5）研究切口两侧， 2 P 22 .X 2 0 a/2 1 P/2 EI
P/2
EI EI
a/2
1
M2
MP
MP Ph 2 Ph 2
M3
解: 1) 静不定分析: 三次静不定 2) 对称性分析: 结构对称,载荷对称 3）解除多余约束，建立静定基 X3 X3 P/2
1
M1
1
1P M P M 1 3 P M P M 3
11 M 1 * M 1 33 M 3 * M 3 13 31 M 1 * M 3
P
P
1
M1
对称
1
MP
对称
12 21 0 23 32 0 13 31 0
1 p 0
1 1
M2
反对称
1
M3
对称
1
2 p 0 3 p 0
11 0
22 0 33 0
正则方 1P 11.X 1 13.X 3 结论：在对称的结构上作用着对称的载荷 X2 0 程组简 22 .X 2 0 在结构的对称截面上, 反对称的内力等于 0 化为： .X .X 0
X2
1 2P ( EI 1 1 22 EI 2
2 P 22.X 2 0
a 3 ql 3 ql 4 . . ) 2 4 6 8 3 2 EI l 1 l l .l. 2 2 2 6 EI
材料力学(15)第十四章 静不定问题分析
F
静不定问题分析
F
1（内）＋1（外）＝ 2 度
3（内）＋3（外）＝ 6 度
F
梁：外3 环：内3 圆环
梁环接触：1
3+3+1=7 度
Page 9
第十四章
静不定问题分析
梁杆结构的静不定问题
(b) (a) (a): 1度 (b): 2度 (c) (c): 2度
Page10
第十四章
静不定问题分析
§14-2
8
静不定问题分析
a 4 a 5 7 6 8 3
a 2
1
N i N i li m / m EA i 1 a [(2 2) N 7 (2 2) P] 0 P EA
2 N7 P 2
1 1
思考：若求加载点的水平位移，如何选择单位载荷状态
4 5
6 8 3
2 1
4 5
q
FS
M
FN
断开：内力静定
刚性连接：多了三个约束
F F
单闭口的平面刚架或曲杆 内3度静不定
内6度
Page 7
第十四章 F F
静不定问题分析
6度内力静不定
F
F
5度内力静不定 加一中间铰减 少一度静不定
F F
F F
2度内力静不定
4度内力静不定,加一根二力 杆增加一度静不定
Page 8
第十四章 混合静不定
H
利用单位载荷法建立补充方程
Page20
P
第十四章
x2
B
RB N
静不定问题分析
x1 C
N
D
真实载荷状态(相当系统)：
RB RD N 2
静不定问题分析
F
1（内）＋1（外）＝ 2 度
3（内）＋3（外）＝ 6 度
F
梁：外3 环：内3 圆环
梁环接触：1
3+3+1=7 度
Page 9
第十四章
静不定问题分析
梁杆结构的静不定问题
(b) (a) (a): 1度 (b): 2度 (c) (c): 2度
Page10
第十四章
静不定问题分析
§14-2
8
静不定问题分析
a 4 a 5 7 6 8 3
a 2
1
N i N i li m / m EA i 1 a [(2 2) N 7 (2 2) P] 0 P EA
2 N7 P 2
1 1
思考：若求加载点的水平位移，如何选择单位载荷状态
4 5
6 8 3
2 1
4 5
q
FS
M
FN
断开：内力静定
刚性连接：多了三个约束
F F
单闭口的平面刚架或曲杆 内3度静不定
内6度
Page 7
第十四章 F F
静不定问题分析
6度内力静不定
F
F
5度内力静不定 加一中间铰减 少一度静不定
F F
F F
2度内力静不定
4度内力静不定,加一根二力 杆增加一度静不定
Page 8
第十四章 混合静不定
H
利用单位载荷法建立补充方程
Page20
P
第十四章
x2
B
RB N
静不定问题分析
x1 C
N
D
真实载荷状态(相当系统)：
RB RD N 2
《材料力学》精品课程(全册)第十四章 超静定结构
,YB
9qa 16
X
A
qa 16
,
YA
7qa 16
目录
上面我们讲的是只有一个多余约束的情况！ 那么当多余约束不止一个时，力法方程是什么样的呢？
P2
P2
P1
P1
P3
P3
X3
X1
X2
目录
变形协调条件 ：
1 2 3 0
i 表示 X作i 用点沿着 方向X的i 位移
由叠加原理：
1 1X1 1X 2 1X3 1P 0 1 11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0
C
B 11
对于线弹性结构，位移与力成正比，X1是单位力“1”的X1倍，故1X1
的X1倍，即有
1X1 11 X1
也是11
所以（*）式可变为： 11 X 1 1F 0
若：
11
l3 3EI
于是可求得
1F
Fa 2 6EI
(3l a)
X1
Fa 2 2l 3
(3l
a)
目录
例14.1：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=常数。
可得：
12 21 23 32 0
于是正则方程可化为
11 X 1 13 X 3 1F
31 X 1 33 X 3 3F
22 X 2 0
目录
对称结构在反对称载荷作用下的情况：
F P
F P
F
X3
X2
F
X1
X3 X2
P
P
同样用图乘法可证明
当对称结构上受反对称载荷作用时，
在对称面上对称内力等于零。
目录
例如：
该体系中多出一个外部约束，为一次超静定梁
高等教育大学本科课件 材料力学 第14章 静不定问题分析
M
l
A
B
HA RA HC
相当系统
x1 l
A
l x2 C RC B
l x2 1C
单位载荷状态
真实载荷状态(相当系统)：
HA HC
RA
M l
HC
M ( x1 )
(
M l
HC
) x1
M ( x2 ) HC x2
C 0
单位载荷状态：
M( x1 ) x1 M( x2 ) x2
C
1 EI
[
l
0 M( x1 ) M( x1 )dx1
§14-2 用力法分析静不定问题
➢ 几个概念： 基本系统： 解除多余约束后的静定结构（静定基）
相当系统： 作用有载荷和多余反力的基本系统。
Page11
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
➢ 第一类静不定问题：存在多余的外部约束
解除多余的外部约束，代之以支反力
相当系统
在解除约束处，建立变形协调条件
Page3
BUAA
➢ 内力静不定
MECHANICS OF MATERIALS
存在多余内部约束 平面桁架：
内力静不定度 = m - 2n + 3 m: 杆数 n: 节点数
外力静定 内力静不定(一度)
几何可变
4 - 24 + 3 = -1
5 - 24 + 3 = 0
6 - 24 + 3 = 1
Page4
例1：已知EI为常数，求A
A
M l
B
解： 解静不定，求解多余未知力
l
存在1个多余外部约束：
一度外力静不定
C
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s
使用莫尔积分，在任一横截面上，
X
A
1
F
C φ
B
EI
EI
4
4
A
FR3
8 2 EI
X1
1F
11
F 2
2
C
1
φ
B
A
例 8 、求图示结构 的约束反力
C EI
EA
3）对静定基进行受力分析，建立相当系统 4）研究AB梁的B点与BC杆的B点的竖直相 对线位移，建立正则方程
dx,
MiMF ΔiF dx EI l
对于静不定桁架:
i j
k 1
FN i ,k FN j ,k lk Ek Ak
,
Δi F
k 1
n
FN i ,k FN F, k lk Ek Ak
例1：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F后，支座C有一 下陷量Δ ，试求刚架C处的反力。
a/2 B
X1
1P
11
6F 7
例4：已知刚架的弯曲刚度为EI，试求刚架内最大弯矩 及其作用位置。
a A
F B
a C a
E a
D
解：
a
F B
a C a
11
3 2a Fa , Δ1F 3EI EI
a
3
A
E X1 a
D
F () 由 11 X 1 1F 0 得 X1 6 5Fa M max 作用于固定端A 6
例10：平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求C处的约束力及 支座A、B的约束反力.
1 Fa 2 1 2 8
a2 1 2
2
Fa 4
2
2 3 1 a 2a a 11 EI 2 3 3EI 3 Fa 1F 3F 8 EI X1 3 a 11 8 3EI
1 1P 11. X 1 0
a
A EI
l
B
1
N
P 解： 1）判断静不定种类及次数 约束反力一次静不定 2）解除B点约束，建立静定基 P
Pl
M
1
l
M
X1
1 1 2 Pl 3 1P . ( .l.Pl. .l ) EI 2 3 3EI 3 1 a 1 1 2 l .(a.1.1) 11 . ( .l.l. .l ) EA EI 2 3 3EI EA
0
a 0
x12 dx1
a 0
4a a 2 dx2 3EI
3
a A
1 Δ1F EI
a
3 q x 0 1 x1 dx1 6a
a 0
2 q a 0 a dx2 q 0 6
q0 a 4 5EI
MM PR3 FR3 VBx dx l EI 4 EI 4 EI 1 1 2 8FR3 2FR 2R 2R VBx EI 2 3 3EI
θ
B
θ
B
F
F
N=P/2
N=P/2
P/2
P/2
协调条件
VBx VBx
3P F 32 3
习 题 课
力法及正则方程
力法的正则方程:
11 X 1 12 X 2 1n X n Δ1F Δ1 X X X Δ Δ 21 1 22 2 2n n 2F 2 n1 X 1 n 2 X 2 nn X n ΔnF Δn
（C左面）截面上外力分配P/2
N
C
P , Q 2
C
X1
v C 1 0
, 1 1P 11X 1 0
3 1 1 PR 2 2 1P PR 1 cos j sin 2 R 3 11 0 R sin j Rdj EI 4 EI
A X1 F/2
Fa/2 1 F/2
例6：已知刚架的弯曲刚度为EI。 试求截面A处弯矩。 3 2a qa 解： 11 , Δ1F EI EI
a
q
a
a q q A a
由 11 X 1 1F 0 得
1 2 M A X 1 qa 2
另解：
q q
q X1 A qa
qa2 FS 2qa , M A 2
29F 3EIΔ X1 3 64 4a
例 2 ：刚架的弯曲刚度为 EI ，承受力 F 。 A 试求：刚架多余约束反力。
A F B A
F
B a
X1
X1 B
a
FD F
a
D C
D a A
C
C
F
a
F
a
X1
X1 B
2 a 2 2a 5a3 3 11 a EI 2 3 3EI 1 Fa 2 2a Fa 2 5Fa3 Δ1F a EI 2 3 2 6EI 1P F X1 11 2
a
a a
1 F
Fa
例 5 ：已知结构的弯曲刚度为 EI ，
a
F
a a
试求对称轴上A截面的内力。
2 2 a Fa 解：11 , Δ1F 4EI EI 由 11 X 1 1F 0 得
A
a
Fa X1 8
F a 1 1
FSA 0 FNA F Fa , MA 2 8
(a)图 二、下图所示结构是 静不定机构 (A) 1次 (B) 2次 (C) 3次 (D) 4次 答案：(B) 三、下图所示结构是 静不定机构
(A) 0 次 (B) 2次 (C) 3次 (D) 4次
(b)图
四、下图所示结构是
答案：(A) 静不定机构 (A) 0 次 (B) 2次 (C) 3次 (D) 4次
5）根据相当系统图，求出其他 全部约束反力
例18:已知平面刚架的EI,GI P ,求C处约束反力. A C
2a
P
a
x1
B 解：1）判断静不定种类及次数 约束反力一次静不定 2）解除C点约束，建立静定基
P AB段: M ( x1 ) Px1
x2
1
M ( x1 ) x1 AB段: T ( x1 ) a
3qa 由11 X1 Δ1F 0 得 X1 8
FBx FAx 3qa 0, FBy 8 11qa 0, FAy , 8
qa2 逆时针 MA 8
例13：已知刚架的弯曲刚度为EI。
q0 C a B
试求支座B处的反力。
解：
11
1 EI
X1
P
例9：平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求C处的 约束力及支座A、B的约束反力。
q a/2 a A B C a/2
解：
q X1 a/2 C a qa 2/8
q 1 qa 2/8
A
a
2 3 1 a 2a a 11 3EI EI 2 3 2 2 4 1 a qa qa Δ1F EI 2 8 16EI 3qa 由力法正则方程 11 X1 Δ1F 0得 X1 16
F
a/2 C Δ
a A
解：
a
a/2 B
F
a/2 C
Δ
F
a
X1
Fa/2 Fa/2 a
1
A
11
a 3 1 2 4a 3 1 EI 2 3 3EI
3 3
Fa 1 5 1 29Fa Δ1F EI 8 6 2 48EI
由 11 X 1 Δ1F Δ 得
P
M
M
2 1 1 2 1 . ( .a. a. . a) EI 2 2 3 2 1 1 1 2 . (a.1.1) . ( .a.a. .a ) EI 2 EA 3 3 a a 1 2 EI EA
11
1
N
X1
M
1 a 2
P 3）对静定基进行受力分析， 建立相当系统
4）研究DE梁的C点与BC杆的C点的 竖直相对线位移，建立正则方程
x2
x1 X1
由 11 X 1 1F 0 得
FBy 3 X1 q0 a () 20
例14 等截面半圆形杆受力如图所示，EI为常数，略去剪力、轴力对变形影 响，求A，B固定端处的支座反力和C处垂直位移 解：从 C 截开可知此结构对 C-C 轴为反对称结构， 对称截面上仅有反对称内力—剪力。故为一次超静 定问题。
Fa a Fa Δ1F 4 EI 2 8EI
2
3
例11：图示刚架 EI为常量，画出 刚架的弯矩图。
F a a A B
F
解：
F X1 a/2 1 F
7a 3 11 24EI Fa3 Δ1F 4EI
Fa
a/2 A
6F X1 7
F 6F __ 7
3 Fa ___ 7
3 Fa ___ 7
F
F
因AD与BF对称，其受力也对称， 6 PR M D M F Fl F 2 R 32 3
例16、选择题:
一、(a)图所示悬臂梁,如在自由端B上 加一个活动铰支座(b)图,则该梁的 (A) 强度提高,刚度不变 (B) 强度不变,刚度提高 (C) 强度,刚度都提高 (D) 强度,刚度都不变 答案：(C)
BC段: M ( x2 ) x2
8 Pa3 1P dx1 0 3EI EI 2 a T ( x1 ).T ( x1 ) 2 a M ( x1 ).M ( x1 ) dx1 dx1 0 X1 11 0 P GI P EI 3 3a 2a 3 a M ( x2 ).M ( x2 ) 0 dx1 EI GI P EI 3）对静定基进行受力分析，建立相当系统
使用莫尔积分，在任一横截面上，
X
A
1
F
C φ
B
EI
EI
4
4
A
FR3
8 2 EI
X1
1F
11
F 2
2
C
1
φ
B
A
例 8 、求图示结构 的约束反力
C EI
EA
3）对静定基进行受力分析，建立相当系统 4）研究AB梁的B点与BC杆的B点的竖直相 对线位移，建立正则方程
dx,
MiMF ΔiF dx EI l
对于静不定桁架:
i j
k 1
FN i ,k FN j ,k lk Ek Ak
,
Δi F
k 1
n
FN i ,k FN F, k lk Ek Ak
例1：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F后，支座C有一 下陷量Δ ，试求刚架C处的反力。
a/2 B
X1
1P
11
6F 7
例4：已知刚架的弯曲刚度为EI，试求刚架内最大弯矩 及其作用位置。
a A
F B
a C a
E a
D
解：
a
F B
a C a
11
3 2a Fa , Δ1F 3EI EI
a
3
A
E X1 a
D
F () 由 11 X 1 1F 0 得 X1 6 5Fa M max 作用于固定端A 6
例10：平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求C处的约束力及 支座A、B的约束反力.
1 Fa 2 1 2 8
a2 1 2
2
Fa 4
2
2 3 1 a 2a a 11 EI 2 3 3EI 3 Fa 1F 3F 8 EI X1 3 a 11 8 3EI
1 1P 11. X 1 0
a
A EI
l
B
1
N
P 解： 1）判断静不定种类及次数 约束反力一次静不定 2）解除B点约束，建立静定基 P
Pl
M
1
l
M
X1
1 1 2 Pl 3 1P . ( .l.Pl. .l ) EI 2 3 3EI 3 1 a 1 1 2 l .(a.1.1) 11 . ( .l.l. .l ) EA EI 2 3 3EI EA
0
a 0
x12 dx1
a 0
4a a 2 dx2 3EI
3
a A
1 Δ1F EI
a
3 q x 0 1 x1 dx1 6a
a 0
2 q a 0 a dx2 q 0 6
q0 a 4 5EI
MM PR3 FR3 VBx dx l EI 4 EI 4 EI 1 1 2 8FR3 2FR 2R 2R VBx EI 2 3 3EI
θ
B
θ
B
F
F
N=P/2
N=P/2
P/2
P/2
协调条件
VBx VBx
3P F 32 3
习 题 课
力法及正则方程
力法的正则方程:
11 X 1 12 X 2 1n X n Δ1F Δ1 X X X Δ Δ 21 1 22 2 2n n 2F 2 n1 X 1 n 2 X 2 nn X n ΔnF Δn
（C左面）截面上外力分配P/2
N
C
P , Q 2
C
X1
v C 1 0
, 1 1P 11X 1 0
3 1 1 PR 2 2 1P PR 1 cos j sin 2 R 3 11 0 R sin j Rdj EI 4 EI
A X1 F/2
Fa/2 1 F/2
例6：已知刚架的弯曲刚度为EI。 试求截面A处弯矩。 3 2a qa 解： 11 , Δ1F EI EI
a
q
a
a q q A a
由 11 X 1 1F 0 得
1 2 M A X 1 qa 2
另解：
q q
q X1 A qa
qa2 FS 2qa , M A 2
29F 3EIΔ X1 3 64 4a
例 2 ：刚架的弯曲刚度为 EI ，承受力 F 。 A 试求：刚架多余约束反力。
A F B A
F
B a
X1
X1 B
a
FD F
a
D C
D a A
C
C
F
a
F
a
X1
X1 B
2 a 2 2a 5a3 3 11 a EI 2 3 3EI 1 Fa 2 2a Fa 2 5Fa3 Δ1F a EI 2 3 2 6EI 1P F X1 11 2
a
a a
1 F
Fa
例 5 ：已知结构的弯曲刚度为 EI ，
a
F
a a
试求对称轴上A截面的内力。
2 2 a Fa 解：11 , Δ1F 4EI EI 由 11 X 1 1F 0 得
A
a
Fa X1 8
F a 1 1
FSA 0 FNA F Fa , MA 2 8
(a)图 二、下图所示结构是 静不定机构 (A) 1次 (B) 2次 (C) 3次 (D) 4次 答案：(B) 三、下图所示结构是 静不定机构
(A) 0 次 (B) 2次 (C) 3次 (D) 4次
(b)图
四、下图所示结构是
答案：(A) 静不定机构 (A) 0 次 (B) 2次 (C) 3次 (D) 4次
5）根据相当系统图，求出其他 全部约束反力
例18:已知平面刚架的EI,GI P ,求C处约束反力. A C
2a
P
a
x1
B 解：1）判断静不定种类及次数 约束反力一次静不定 2）解除C点约束，建立静定基
P AB段: M ( x1 ) Px1
x2
1
M ( x1 ) x1 AB段: T ( x1 ) a
3qa 由11 X1 Δ1F 0 得 X1 8
FBx FAx 3qa 0, FBy 8 11qa 0, FAy , 8
qa2 逆时针 MA 8
例13：已知刚架的弯曲刚度为EI。
q0 C a B
试求支座B处的反力。
解：
11
1 EI
X1
P
例9：平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求C处的 约束力及支座A、B的约束反力。
q a/2 a A B C a/2
解：
q X1 a/2 C a qa 2/8
q 1 qa 2/8
A
a
2 3 1 a 2a a 11 3EI EI 2 3 2 2 4 1 a qa qa Δ1F EI 2 8 16EI 3qa 由力法正则方程 11 X1 Δ1F 0得 X1 16
F
a/2 C Δ
a A
解：
a
a/2 B
F
a/2 C
Δ
F
a
X1
Fa/2 Fa/2 a
1
A
11
a 3 1 2 4a 3 1 EI 2 3 3EI
3 3
Fa 1 5 1 29Fa Δ1F EI 8 6 2 48EI
由 11 X 1 Δ1F Δ 得
P
M
M
2 1 1 2 1 . ( .a. a. . a) EI 2 2 3 2 1 1 1 2 . (a.1.1) . ( .a.a. .a ) EI 2 EA 3 3 a a 1 2 EI EA
11
1
N
X1
M
1 a 2
P 3）对静定基进行受力分析， 建立相当系统
4）研究DE梁的C点与BC杆的C点的 竖直相对线位移，建立正则方程
x2
x1 X1
由 11 X 1 1F 0 得
FBy 3 X1 q0 a () 20
例14 等截面半圆形杆受力如图所示，EI为常数，略去剪力、轴力对变形影 响，求A，B固定端处的支座反力和C处垂直位移 解：从 C 截开可知此结构对 C-C 轴为反对称结构， 对称截面上仅有反对称内力—剪力。故为一次超静 定问题。
Fa a Fa Δ1F 4 EI 2 8EI
2
3
例11：图示刚架 EI为常量，画出 刚架的弯矩图。
F a a A B
F
解：
F X1 a/2 1 F
7a 3 11 24EI Fa3 Δ1F 4EI
Fa
a/2 A
6F X1 7
F 6F __ 7
3 Fa ___ 7
3 Fa ___ 7
F
F
因AD与BF对称，其受力也对称， 6 PR M D M F Fl F 2 R 32 3
例16、选择题:
一、(a)图所示悬臂梁,如在自由端B上 加一个活动铰支座(b)图,则该梁的 (A) 强度提高,刚度不变 (B) 强度不变,刚度提高 (C) 强度,刚度都提高 (D) 强度,刚度都不变 答案：(C)
BC段: M ( x2 ) x2
8 Pa3 1P dx1 0 3EI EI 2 a T ( x1 ).T ( x1 ) 2 a M ( x1 ).M ( x1 ) dx1 dx1 0 X1 11 0 P GI P EI 3 3a 2a 3 a M ( x2 ).M ( x2 ) 0 dx1 EI GI P EI 3）对静定基进行受力分析，建立相当系统