实验五指定子集个数的集合划分
集合划分问题课程设计
集合划分问题课程设计一、教学目标本节课的学习目标主要包括以下三个方面：1.知识目标：通过本节课的学习，学生需要掌握集合的基本概念，包括集合、元素、集合之间的关系等；理解并掌握集合的划分、子集、幂集等基本运算。
2.技能目标：学生能够运用集合的基本概念和运算解决实际问题，如对给定的集合进行正确的划分，判断两个集合是否相等，求解集合的子集和幂集等。
3.情感态度价值观目标：培养学生对数学学科的兴趣和好奇心，引导学生感受数学在生活中的应用，培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个部分：1.集合的基本概念：介绍集合、元素、集合之间的关系等基本概念。
2.集合的划分：讲解集合的划分、子集、幂集等基本运算，并通过示例让学生理解这些运算的含义和应用。
3.集合的性质：讲解集合的交换律、结合律、分配律等基本性质，并通过示例让学生掌握这些性质的应用。
4.集合的例子：通过具体的例子，让学生学会如何运用集合的基本概念和运算解决实际问题。
三、教学方法为了达到本节课的教学目标，我将采用以下几种教学方法：1.讲授法：通过讲解集合的基本概念、性质和运算，让学生掌握集合的基本知识。
2.案例分析法：通过分析具体的案例，让学生学会如何运用集合的知识解决实际问题。
3.讨论法：学生进行小组讨论，让学生在讨论中加深对集合知识的理解，并培养学生的团队合作能力。
4.实验法：让学生通过实际操作，验证集合的基本性质和运算，提高学生的动手能力和实践能力。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法，我将准备以下教学资源：1.教材：选用合适的数学教材，为学生提供系统的集合知识学习资料。
2.参考书：提供一些集合知识的参考书，供学生课后进一步学习。
3.多媒体资料：制作课件、示例动画等，为学生提供直观的学习材料。
4.实验设备：准备集合实验所需的设备，如卡片、集合模型等，让学生在实验中更好地理解集合知识。
五、教学评估本节课的评估方式主要包括以下几个方面：1.平时表现：通过观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评估学生的学习态度和理解程度。
集合的分类与运算规律总结
集合的分类与运算规律总结一、集合的分类1.集合的定义：集合是由确定的、互异的元素构成的整体。
2.集合的表示方法：常用的表示方法有列举法和描述法。
–列举法：将集合中的元素一一列出，用大括号括起来，如{1, 2, 3, 4, 5}。
–描述法：用描述性语言来表示集合，如集合A={x|x是正整数}。
3.集合的分类：–有限集：含有有限个元素的集合。
–无限集：含有无限个元素的集合。
–空集：不含有任何元素的集合，用符号∅表示。
–子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合是另一个集合的子集。
–真子集：如果一个集合是另一个集合的子集，并且这两个集合不相等，那么这个集合是另一个集合的真子集。
二、集合的运算规律1.并集：两个集合的并集包含这两个集合所有的元素，表示为A∪B。
2.交集：两个集合的交集包含这两个集合共有的元素，表示为A∩B。
3.补集：一个集合在全集中的补集包含全集中不属于这个集合的元素，表示为A’。
4.运算法则：–交换律：集合的并集和交集运算都满足交换律，即A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。
–结合律：集合的并集和交集运算都满足结合律，即(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
–分配律：集合的并集和交集运算都满足分配律，即A∪(B∩C)=(A∪B)∪(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∩(A∩C)。
5.集合的运算规律在解决实际问题中的应用：–统计问题：通过计算不同集合的交集和并集，可以求解不同条件下的统计问题。
–逻辑推理：在数学证明和逻辑推理中，集合的运算规律是重要的工具。
–信息技术：在数据处理和算法设计中，集合的运算规律有着广泛的应用。
通过以上知识点的学习，我们可以更好地理解和运用集合的概念及其运算规律，从而为学习更高级的数学知识打下坚实的基础。
习题及方法：1.习题：判断下列哪些选项是正确的集合表示方法？A. {a, b, c, 2, 3}B. {x | x是正整数}C. {x, y, z, 1, 2}D. {1, 2, 3, 4, 5…}–A选项中，元素2和3重复出现，所以A选项错误。
集合的分划与子集族(编辑)
集合的划分与子集族（即奥林匹克小丛书《集合》一册的第4、5讲）一、集合的划分 例1、将集合{}1,2,,1989分为117个互不相交的子集()1,2,,117i A i =使得：（1）每个i A 都含有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和都相同。
例2、对一个由非负整数组成的集合S ，定义()s r n 是满足下述条件的有序对()12,s s 的对数：12,s s S ∈ 且1212,s s s s n ≠+=，问能否将非负整数集分划为两个集合A 和B ,使得对任意n 均有()()A B r n r n =例3、设集合{}1,2,,A m =，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划1214,,,A A A ，一定存在某个集合()114i A i ≤≤，在i A 中由两个元素,a b ，满足43b a b <≤例4、证明：可以把自然数集分划为100个非空子集，使得对任何3个满足关系式99a b c +=的自然数,,a b c ，都可以从中找出两个数属于同一子集例5、设集合12,,,n A A A 和12,,,n B B B 是集合M 的两个n -分划，已知对任意两个交集为空集的集合(),1,i j A B i j n ≤≤，均有i j A B n ≥，求证：22n M ≥例6、设自然数分划成r 个互不相交的子集：12r N A A A =，求证其中必有某个子集A ，它具有如下性质P ：存在,m N ∈使对任何正整数k ，都能找到12,,,k a a a A ∈，满足11,11j j a a m j k +≤-≤≤≤-例7、将正整数集拆分成两个不相交的子集,A B ，满足条件：（1）1A ∈；（2）A 中没有两个不同的元素，使它们的和形如()220,1,2,kk +=；（3）B 中也没有两个不同的元素，其和具有上述形式。
证明：这种拆分可以以惟一的方式实现，并确定2007,2008,2009所属的子集例8、平面上横纵坐标均为有理数的点叫有理点，求证：平面上的全部有理点可以分成3个两两互不相交的集合，满足条件：（1）在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含3个点分属这3个集合； （2）下任何一条直线上都不可能有3个点分属这3个集合例9、设{}{}1,2,,2008,1004,2009,3014A M ==,对A 的任一非空子集B ，当B 中任意两数之和不属于M 时，称B 为M -自由集，如果1212,,A A A A A ==∅且12,A A 均为M -自由集，那么称有序对为()12,A A 为A 的一个M -划分，试求A 的所有M -划分的个数二、C 族例10、试证：任一有限集的全部子集可以排定次序，使得任何相邻的两个子集都相差一个元素例11、在某次竞选中各政党作出()0n n >种不同的诺言，有些政党可以作某些相同的诺言，现知其中每两个政党都至少作了一个相同的诺言，但没有两个政党的诺言完全相同，求证：政党个数12n -≤例12、设正整数5n ≥，n 各不同的正整数12,,,n a a a 有下列性质：对集合{}12,,,n S a a a =的任何两个不同的非空子集A 和B ，A 中所有数的和与B 中所有数的和都不会相等，在上述条件下， 求12111na a a +++的最大值三、求解子集族例13、已知集合{}1,2,,10A =，求集合A 的具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2各元素，且每个子集中的任何两个元素的差的绝对值大于1例14、对于正整数2n ≥，如果存在集合{}1,2,,n 的子集族12,,,n A A A 满足（1）,1i i A i n ∉≤≤；（2）若{},,1,2,,i j i j n ≠∈，则j i i A j A ∈⇔∉；（3）任意{},1,2,,i j n ∈，ij A A ≠∅，则称n 是“和谐数”证明：（1）7是和谐数；（2）除2,3,4,5,6外，其余的n 都是和谐数四、有关子集族的最值问题 例16、集合{}0,1,2,,9A =，{}12,,,k B B B 是A 的一族非空子集，当i j ≠时，ij B B 至多有两个元素，求k 的最大值例17、设{}0,1,2,,29A ⊆满足：对任何整数k 及A 中的任意数,a b （,a b 可以相同），30a b k ++均不是两个相邻整数之积，试确定所含元素个数最多的A.例18、设{}1,2,,1997A =，对A 的任意一个999元子集X ，若存在,x y X ∈，使得x y <且x y ，则称X 为好集，求最大自然数()a a A ∈，使得任一含有a 的999元子集都为好集集合的分划与子集族1、已知集合{}1,2,,31,3A n n =-，可以分为n 个互不相交的三元组{},,x y z ，其中3x y z +=，则满足上述要求的两个最小的正整数n =2、设S 是一个有6个元素的集合，选取S 的两个子集（可以相同），使得它们的并集是S ，选取的顺序无关紧要，如{}{},,,,,,a c b c d e f 与{}{},,,,,,b c d e f a c 表示同一种取法，这样的取法有 种3、设集合{}1,2,,9,A B A B ==∅，求证：在A 或B 中含有三个元素,,x y z ，使得2x y z +=.4、已知集合M 是{}1,2,,2008A =的子集，且M 中任一两个元素之和均不能被3整除，求集合M中元素个数的最大值5、试证：对于每个整数1r >，都能找到一个最小的整数()1h r >，使在集合(){}1,2,,h r 分成r 组的任何分划中，都存在整数0,1a x y ≥≤≤，使数,,a x a y a x y ++++含于分划的同一组中6、已知这个空间被分成互不相交的5个非空集合，求证：必有一个平面，它至少与其中的四个集合有公共点7、{}1,2,,X n =，,,A B C 是X 的分划，即A B C X =，并且,,A B C 两两的交集都是空集，如果,,A B C 中各取一个元素，那么每两个的和都不等于第三个，求()max min ,,A B C8、（1）证明：正整数集*N 可以表示为三个彼此互不相交的集合的并集，使得：若*,m n N ∈，且2m n -=或5，则,m n 属于不同的集合（2）证明：正整数集*N 可以表示为四个彼此互不相交的集合的并集，使得：若*,m n N ∈，且2,3m n -=或5，则,m n 属于不同的集合，并说明此时将*N 表示为三个彼此互不相交的集合的并集时，命题不成立 9、确定所有的正整数n 使得集合{}1,2,,n 可以分成5个互不相交的子集，每个子集中元素之和相等10、设k 为正整数，k M 是22k k +与223k k +之间（包括这两个数在内）的所有整数组成的集合，能否将k M 拆分为两个不相交的子集,A B ，使得22x x=∑∑？11、给定正整数3n ≥，求具有下列性质的正整数m 的最小值：把集合{}1,2,,S m =任意分成两个互不相交的非空子集的并集，其中必有一个子集内含有n 个数（不要求它们互不相同）：12,,,n x x x ，使得121n n x x x x -+++=12、正整数4n ≥具有下列性质：把集合{}1,2,,n S n =任意分成两个互不相交的子集，总有某个子集，它含有三个数,,a b c （允许a b =），使得ab c =，求这样的n 的最小值13、设S 为n 个正实数组成的集合，对S 的每个非空子集A ，令()f A 为A 中所有元素之和，求证：集合(){},f A A S A ⊆≠∅可以拆分成n 个互不相交的子集，每个子集中的最大数与最小数之差为214、试求所有正整数k ，使集合{}1990,1991,,1990M k =+可以分解为两个互不相交的子集,A B ，且使两个集合中的元素之和相等15、给定集合{}121993,,,S Z Z Z =，其中121993,,,Z Z Z 为非零复数（可视为平面上非零向量）．求证：可以把S 中元素分成若干子集，使得（1）S 中每个元素属于且仅属于一个子集；（2）每一子集中任一复数与该子集所有复数之和的夹角不超过90°；（3）将任二子集中复数分别作和，所得和数之间夹角大于90°． 116、设,,r s n 都是正整数，并且r s n +=，求证：集合()12,,,r n n n A r r r ⎧⎫-⎡⎤⎪⎪⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭，()12s n n n ⎧⎫-⎡⎤⎪⎪⎡⎤⎡⎤构成{}1,2,,2N n =-的分划的充要条件是r 和s 都与n 互质17、设集合{}1,2,,21A n =+，求一个包含元素最多的集合A 的子集B 使得B 中任意三个元素a ，b ，c 都有a b c +≠18、集合{}0,1,2,,9A =的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，那么这族子集最多有 个19、设集合{}1,2,,2008A =，现对A 的任一非空子集X ，令X α表示X 中最大数与最小数之和，则所有这样的X α的算术平均数为20、集合{}1,2,,n 的所有子集中全部元素之和的总和是21、如果一个正整数集合中没有3个数是两两互质的，则称之为“和谐”的，问从1到16的整数集中“和谐”的子集的元素的最大数目是多少？22、设S 是集合{}1,2,,9的子集，且S 中任意两个不同的数作和，所得的数两两不同，求 {}max S23、设{}1,2,,50A =，求最小正整数n 使得A 中的每个n 元子集中都有3个数能作为直角三角形的三边长24、设3p ≥为质数，考虑集合{}1,2,,2p 满足以下两个条件的子集A ：（1）A 恰有p 个元素；（2）A 中所有元素之和可被p 整除25、设2r ≥是一个固定的正整数，F 是一个无限集族，且每个集合中含有r 个元素，若F 中的任意两个集合的交集非空，求证：存在一个具有1r -个元素的集合与F 中的每一个集合的交集非空26、设2,n n N ≥∈，S 是一个n 元集合，求最小的正整数k ，使得存在S 的子集12,,,k A A A 具有如下性质：对S 的任意两个不同元,a b ，存在{}1,2,,j k ∈，使得{},j A a b 为S 的一元子集27、{}1,2,,50A =，求最小的正整数k ，使A 的每个k 元子集中都有两个数a b ≠使得()a b ab +28、S 是一个n 元集合，S 中最多有多少个这样的三元子集，使得其中任意两个三元子集都恰好有一个公共元29、集合{}1,2,,15S =，从S 中取出n 个子集12,,,n A A A 满足下列条件：（1）7i A =；（2）3,1i j A A i j n ≤≤<≤；（3）对S 的任意三元子集M ，都存在某个,1,k A k n ≤≤使得k M A ⊂，求这样一组子集的个数n 的最小值30、设{}1,2,,2002A ⊆，对任意,a b A ∈（,a b 可以相同）总有ab A ∉，求A 的最大值31、称子集{}1,2,,11A M ⊆=为好的，如果它具有下述性质：“如果2k A ∈则21k A -∈且21k A +∈”（空集和M 都是好的），M 有多少个好子集？32、n 为给定的正整数，n D 为235n n n的所有正因数组成的集合，n S D ⊆，且S 中任一数都不能整除S 中另一数，求S 的最大值34、1230,,,A A A {}1,2,,2003⊆的子集，且660i A ≥，证明：存在130i j ≤<≤，230i j A A ≥35、{}1,2,,2000A ⊆，且A 中任意两数的差不等于4也不等于7，求A 的最大值36、已知12,,,n A A A 满足：（1）30i A =；（2）1,1i j A A i j n =≤<≤；（3）12n A A A =∅，求使这样一组集合存在的最大的正整数n37、设1221,,,n A A A +是B 的一族子集且满足条件：（1）2i A n =；（2）1,121ij A A i j n =≤<≤+；（3）B 中每个元素至少属于两个子集,,121k l A A k l n ≤<≤+，试问：对怎样的*n N ∈,可以将B 中每个元素贴上一张写有0或1的标签，使得每个i A 中恰有n 个元素贴有标签038、设{}1,2,,A S n ⊆=，A k =，()()*2,11k m N n m C ∈>-+，则存在S 中的元素1,,m t t ，使得{},1,2,,j j A x t x A j m =+∈=中任意两个的交集为空集。
集合划分问题递推公式
集合划分问题递推公式在咱们数学的世界里，集合划分问题递推公式就像是一把神奇的钥匙，能打开很多复杂难题的大门。
先来说说集合划分是啥吧。
比如说，咱们有一堆水果，有苹果、香蕉、橙子，要把它们分成不同的小组，这就是集合划分。
那递推公式呢，就是根据前面已经知道的情况，一步一步推导出后面的结果。
我记得有一次，在给学生们讲集合划分问题递推公式的时候，有个特别有趣的事儿。
那是一个阳光明媚的上午，教室里的气氛却有点紧张，因为这个知识点对于他们来说有点难理解。
我在黑板上写下了一个集合，然后开始逐步讲解怎么去划分。
这时候，有个平时很活跃的小同学举起手说：“老师，我怎么觉得这比解谜题还难啊！”我笑了笑，回答他：“这就是数学里的谜题呀，咱们一起来解开它。
”然后，我从最简单的例子开始，一点点引导他们。
咱们来看看集合划分问题的递推公式到底是怎么一回事。
比如说，有一个集合 {1, 2, 3} ，我们要把它划分成不同的子集。
如果这个集合只有一个元素，那很简单，就只有一种划分方法，就是它自己。
如果有两个元素，像 {1, 2} ，那就有两种划分方法，一种是 {1} 和 {2} ，另一种是 {1, 2} 。
那如果有三个元素呢？这时候递推公式就派上用场啦。
通过研究和总结，我们发现集合划分问题的递推公式可以表示为：B(n) = B(0) * B(n - 1) + B(1) * B(n - 2) + ...... + B(n - 1) * B(0) 。
这里的B(n) 表示有 n 个元素的集合的划分方法数。
这个公式看起来有点复杂，别着急，咱们来慢慢理解。
比如说，当n = 3 时，B(3) = B(0) * B(2) + B(1) * B(1) + B(2) * B(0) 。
因为 B(0) = 1 ，B(1) = 1 ，B(2) = 2 ，所以 B(3) = 1 * 2 + 1 * 1 + 2 * 1 = 5 ，也就是说，有 3 个元素的集合，有 5 种划分方法。
集合的划分与程序实现实验报告
集合的划分与程序实现实验报告一、实验目的a) 掌握集合及等价关系的相关概念；b) 了解集合划分的概念与应用；c) 掌握集合划分总数的求解过程与不同的求解思路；d) 熟悉递归算法在本实验中的应用。
二、实验要求及实验内容在给定n元集合的条件下：a)求出它的划分总数并证明；b)编出算法的程序（输入任何一个数即可得到它的划分总数）；c)举例说明划分在现实生活中的应用。
三、概念理解1、设A为非空集合, 若A的子集族π(π⊆P(A)), 是A的子集构成的集合)满足下面的条件：a) φ∉πb) ∀x∀y(x, y∈π∧x ≠ y 且x∩y = φ)c) ∪π = A则称π是A的划分(Partition), 称π中的元素为A的划分块.2、由数学归纳法推导集合划分问题的公式：设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由m个非空子集组成的集合。
考虑3个元素的集合，可划分为①1个子集的集合：{{1，2，3}} ；②2个子集的集合：{{1，2}，{3}}，{{1，3}，{2}}，{{2，3}，{1}} ；③3个子集的集合：{{1}，{2}，{3}} ；可以得出：F(3,1)=1;F(3,2)=3;F(3,3)=1；对F(4,2)的解决方法为：S1：向①中添一个元素{4}，得到{{1，2，3}，{4}}S2：向②中的任意一个子集添一个4，得到{{1，2，4}，{3}}，{{1，2}，{3，4}}，{{1，3，4}，{2}}，{{1，3}，{2，4}}，{{2，3，4}，{1}}，{{2，3}，{1，4}}可以得出：F(4,2)=F(3,1)+2*F(3,2)＝1+2*3＝7推广，得F(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)3、用递归的方法解决集合划分的问题设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由m个非空子集组成的集合。
F(n,m) = 1where n=0, n=m, n=1, or m=1F(n,m) = 0where n<mORF(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)4、程序的伪代码表示输入：n，大于0的整数输出：元素个数为n的集合的划分数1. Procedure fun (a,b)2. if (b = 1 ||a=b)then3. return (1)4.elsereturn (fun(a-1,b-1)+b*fun(a-1,b))5.sum= sum+fun(a,i) (1<=i&&i<=n)6.end四、C语言程序实现#include "stdio.h"int F(int x,int y){if(y==1)return (1);else if(x==y)return (1);elsereturn (F(x-1,y-1)+y*F(x-1,y));}int main(){int i,j;int sum=0;int F(int x,int y);printf("请输入集合的元数:");scanf("%d",&i);for(j=1;j<=i;j++)sum=sum+F(i,j);printf("%d元集合的划分总数是:%d\n",i,sum);}结果截图：五、集合划分在实际中的应用：a)长沙国际车展即将在国际会展中心举行，为扩大厂家影响力，每部参展名车将配备1-3名车模，现某公司旗下有200名专业车模，其中25名甲级车模，75名乙级车模，100名丙级车模，参展的厂家一共有60家，每家展出3台名车，有9家公司要雇佣甲级车模，32家雇佣乙级车模，剩下的公司雇佣丙级车模，请问车模的安排方法一共有多少种？b)现在长沙市正大力创建文明城市，为更好地实现城市建设与规划，市政府拟将各部门的专业人才派遣到各个区去进行相关工作，已知长沙市共有芙蓉、开福、天心、岳麓、雨花四个区，现共有某行业人才150人，其中芙蓉，开福两个区各需要20人，天心区需要35人，岳麓区需要40人，雨花区需要40人，请问一共有多少种安排方法？c)接近春节，铁道部门预测几年的春运大潮将提前到来。
集合划分
集合划分维基百科，自由的百科全书跳转到：导航、搜索把一个集合划分成6 块的欧拉图表示。
在数学中，集合X 的划分是把X 分割到覆盖了X 的全部元素的不交叠的“部分”或“块”或“单元”中。
更加形式的说，这些“单元”关于被划分的集合是既全无遗漏又相互排斥的。
目录[隐藏]1 定义2 例子3 划分和等价关系4 注解5 引用6 参见[编辑]定义集合X 的划分是X 的非空子集的集合，使得所有X 的元素x 都精确在这些子集的其中一个内。
等价的说，X 的子集的集合P 是X 的划分，如果没有P 的元素是空集。
(NB - 某些定义不需要这个要求)P 的元素的并集等于X。
(我们称P 的元素覆盖X。
)P 的任何两个元素的交集为空。
(我们称P 的元素是两两不相交。
)P 的元素有时叫做划分的块或部分。
[1]当我们说“集合”这个概念时，划分的思想已经存在了。
当我们说给定一个集合时，也就给定了该集合的补集。
一个集合与它的补集就已经构成了一个划分。
因此说上面的定义是再次划分的定义。
可以说划分和定义是一个概念。
原始定义也就是初始划分。
原始定义和公理又是一个概念。
给定一个公理也就是给定一个划分。
[编辑]例子所有单元素集合{x} 都有精确的一个划分就是{ {x} }。
对于任何集合X，P = {X} 是X 的一个划分。
空集有精确的一个划分，就是没有块的划分。
对于集合U 的任何非空真子集A，A 和它的补集一起是U 的一个划分。
如果我们不使用前面定义中的公理1，则上述例子可以推广为任何(空和非空)子集与它的补集一起是一个划分。
集合{ 1, 2, 3 } 有五个划分。
{ {1}, {2}, {3} }，有时指示为1/2/3。
{ {1, 2}, {3} }，有时指示为12/3。
{ {1, 3}, {2} }，有时指示为13/2。
{ {1}, {2, 3} }，有时指示为1/23。
{ {1, 2, 3} }，有时指示为123。
注意如果我们使用了前面定义中的公理1，则{ {}, {1,3}, {2} } 不是一个划分(因为它包含空集)；否则它是{1, 2, 3} 的一个划分。
集合的分划与子集族(打印)
集合的划分与子集族（即奥林匹克小丛书《集合》一册的第4、5讲）一、集合的划分例1、将集合{}1,2,,1989 分为117个互不相交的子集()1,2,,117i A i = 使得：（1）每个i A 都含有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和都相同。
例2、对一个由非负整数组成的集合S ，定义()s r n 是满足下述条件的有序对()12,s s 的对数：12,s s S ∈ 且1212,s s s s n ≠+=，问能否将非负整数集分划为两个集合A 和B ,使得对任意n 均有()()A B r n r n =例3、设集合{}1,2,,A m = ，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划1214,,,A A A ，一定存在某个集合()114i A i ≤≤，在i A 中由两个元素,a b ，满足43b a b <≤例4、证明：可以把自然数集分划为100个非空子集，使得对任何3个满足关系式99a b c +=的自然数,,a b c ，都可以从中找出两个数属于同一子集例5、设集合12,,,n A A A 和12,,,n B B B 是集合M 的两个n -分划，已知对任意两个交集为空集的集合(),1,i j A B i j n ≤≤，均有i j A B n ≥ ，求证：22nM ≥例6、设自然数分划成r 个互不相交的子集：12r N A A A = ，求证其中必有某个子集A ，它具有如下性质P ：存在,m N ∈使对任何正整数k ，都能找到12,,,k a a a A ∈ ，满足11,11j j a a m j k +≤-≤≤≤-例7、将正整数集拆分成两个不相交的子集,A B ，满足条件：（1）1A ∈；（2）A 中没有两个不同的元素，使它们的和形如()220,1,2,kk += ；（3）B 中也没有两个不同的元素，其和具有上述形式。
证明：这种拆分可以以惟一的方式实现，并确定2007,2008,2009所属的子集例8、平面上横纵坐标均为有理数的点叫有理点，求证：平面上的全部有理点可以分成3个两两互不相交的集合，满足条件：（1）在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含3个点分属这3个集合； （2）下任何一条直线上都不可能有3个点分属这3个集合例9、设{}{}1,2,,2008,1004,2009,3014A M == ,对A 的任一非空子集B ，当B 中任意两数之和不属于M 时，称B 为M -自由集，如果1212,,A A A A A ==∅ 且12,A A 均为M -自由集，那么称有序对为()12,A A 为A 的一个M -划分，试求A 的所有M -划分的个数二、C 族例10、试证：任一有限集的全部子集可以排定次序，使得任何相邻的两个子集都相差一个元素例11、在某次竞选中各政党作出()0n n >种不同的诺言，有些政党可以作某些相同的诺言，现知其中每两个政党都至少作了一个相同的诺言，但没有两个政党的诺言完全相同，求证：政党个数12n -≤例12、设正整数5n ≥，n 各不同的正整数12,,,n a a a 有下列性质：对集合{}12,,,n S a a a = 的任何两个不同的非空子集A 和B ，A 中所有数的和与B 中所有数的和都不会相等，在上述条件下， 求12111na a a +++的最大值三、求解子集族例13、已知集合{}1,2,,10A = ，求集合A 的具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2各元素，且每个子集中的任何两个元素的差的绝对值大于1例14、对于正整数2n ≥，如果存在集合{}1,2,,n 的子集族12,,,n A A A 满足（1）,1i i A i n ∉≤≤；（2）若{},,1,2,,i j i j n ≠∈ ，则j i i A j A ∈⇔∉；（3）任意{},1,2,,i j n ∈ ，i j A A ≠∅ ，则称n 是“和谐数”证明：（1）7是和谐数；（2）除2,3,4,5,6外，其余的n 都是和谐数例15、集合{}*1,2,,6,X k k N =∈ ，试作出X 的三元子集族A ，满足：（1）X 的任一二元子集至少被族A 中的一个三元子集包含；（2）26k =A四、有关子集族的最值问题例16、集合{}0,1,2,,9A = ，{}12,,,k B B B 是A 的一族非空子集，当i j ≠时，i j B B 至多有两个元素，求k 的最大值例17、设{}0,1,2,,29A ⊆ 满足：对任何整数k 及A 中的任意数,a b （,a b 可以相同），30a b k ++均不是两个相邻整数之积，试确定所含元素个数最多的A例18、设{}1,2,,1997A = ，对A 的任意一个999元子集X ，若存在,x y X ∈，使得x y <且x y ，则称X 为好集，求最大自然数()a a A ∈，使得任一含有a 的999元子集都为好集集合的分划与子集族1、已知集合{}1,2,,31,3A n n =- ，可以分为n 个互不相交的三元组{},,x y z ，其中3x y z +=，则满足上述要求的两个最小的正整数n =2、设S 是一个有6个元素的集合，选取S 的两个子集（可以相同），使得它们的并集是S ，选取的顺序无关紧要，如{}{},,,,,,a c b c d e f 与{}{},,,,,,b c d e f a c 表示同一种取法，这样的取法有 种3、设集合{}1,2,,9,A B A B ==∅ ，求证：在A 或B 中含有三个元素,,x y z ，使得2x y z +=4、已知集合M 是{}1,2,,2008A = 的子集，且M 中任一两个元素之和均不能被3整除，求集合M 中元素个数的最大值5、试证：对于每个整数1r >，都能找到一个最小的整数()1h r >，使在集合(){}1,2,,h r 分成r 组的任何分划中，都存在整数0,1a x y ≥≤≤，使数,,a x a y a x y ++++含于分划的同一组中6、已知这个空间被分成互不相交的5个非空集合，求证：必有一个平面，它至少与其中的四个集合有公共点7、{}1,2,,X n = ，,,A B C 是X 的分划，即A B C X = ，并且,,A B C 两两的交集都是空集，如果,,A B C 中各取一个元素，那么每两个的和都不等于第三个，求()max min ,,A B C8、（1）证明：正整数集*N 可以表示为三个彼此互不相交的集合的并集，使得：若*,m n N ∈，且2m n -=或5，则,m n 属于不同的集合（2）证明：正整数集*N 可以表示为四个彼此互不相交的集合的并集，使得：若*,m n N ∈，且2,3m n -=或5，则,m n 属于不同的集合，并说明此时将*N 表示为三个彼此互不相交的集合的并集时，命题不成立9、确定所有的正整数n 使得集合{}1,2,,n 可以分成5个互不相交的子集，每个子集中元素之和相等10、设k 为正整数，k M 是22k k +与223k k +之间（包括这两个数在内）的所有整数组成的集合，能否将k M 拆分为两个不相交的子集,A B ，使得22x Ax Bx x∈∈=∑∑？11、给定正整数3n ≥，求具有下列性质的正整数m 的最小值：把集合{}1,2,,S m = 任意分成两个互不相交的非空子集的并集，其中必有一个子集内含有n 个数（不要求它们互不相同）：12,,,n x x x ，使得121n n x x x x -+++=12、正整数4n ≥具有下列性质：把集合{}1,2,,n S n = 任意分成两个互不相交的子集，总有某个子集，它含有三个数,,a b c （允许a b =），使得a b c =，求这样的n 的最小值13、设S 为n 个正实数组成的集合，对S 的每个非空子集A ，令()f A 为A 中所有元素之和，求证：集合(){},f A A S A ⊆≠∅可以拆分成n 个互不相交的子集，每个子集中的最大数与最小数之差为214、试求所有正整数k ，使集合{}1990,1991,,1990M k =+ 可以分解为两个互不相交的子集,A B ，且使两个集合中的元素之和相等15、给定集合{}121993,,,S Z Z Z = ，其中121993,,,Z Z Z 为非零复数（可视为平面上非零向量）． 求证：可以把S 中元素分成若干子集，使得 （1）S 中每个元素属于且仅属于一个子集；（2）每一子集中任一复数与该子集所有复数之和的夹角不超过90°；（3）将任二子集中复数分别作和，所得和数之间夹角大于90°．16、设,,r s n 都是正整数，并且r s n +=，求证：集合()12,,,r n n n A r r r ⎧⎫-⎡⎤⎪⎪⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭ ， ()12,,,s n n n B s s s ⎧⎫-⎡⎤⎪⎪⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭构成{}1,2,,2N n =- 的分划的充要条件是r 和s 都与n 互质17、设集合{}1,2,,21A n =+ ，求一个包含元素最多的集合A 的子集B 使得B 中任意三个元素a ，b ，c 都有a b c +≠18、集合{}0,1,2,,9A = 的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，那么这族子集最多有 个19、设集合{}1,2,,2008A = ，现对A 的任一非空子集X ，令X α表示X 中最大数与最小数之和，则所有这样的X α的算术平均数为20、集合{}1,2,,n 的所有子集中全部元素之和的总和是21、如果一个正整数集合中没有3个数是两两互质的，则称之为“和谐”的，问从1到16的整数集中“和谐”的子集的元素的最大数目是多少？22、设S 是集合{}1,2,,9 的子集，且S 中任意两个不同的数作和，所得的数两两不同，求 {}max S23、设{}1,2,,50A = ，求最小正整数n 使得A 中的每个n 元子集中都有3个数能作为直角三角形的三边长24、设3p ≥为质数，考虑集合{}1,2,,2p 满足以下两个条件的子集A ：（1）A 恰有p 个元素；（2）A 中所有元素之和可被p 整除25、设2r ≥是一个固定的正整数，F 是一个无限集族，且每个集合中含有r 个元素，若F 中的任意两个集合的交集非空，求证：存在一个具有1r -个元素的集合与F 中的每一个集合的交集非空26、设2,n n N ≥∈，S 是一个n 元集合，求最小的正整数k ，使得存在S 的子集12,,,k A A A 具有如下性质：对S 的任意两个不同元,a b ，存在{}1,2,,j k ∈ ，使得{},j A a b 为S 的一元子集27、{}1,2,,50A = ，求最小的正整数k ，使A 的每个k 元子集中都有两个数a b ≠使得()a b ab +28、S 是一个n 元集合，S 中最多有多少个这样的三元子集，使得其中任意两个三元子集都恰好有一个公共元29、集合{}1,2,,15S = ，从S 中取出n 个子集12,,,n A A A 满足下列条件：（1）7i A =； （2）3,1i j A A i j n ≤≤<≤ ；（3）对S 的任意三元子集M ，都存在某个,1,k A k n ≤≤使得k M A ⊂，求这样一组子集的个数n 的最小值30、设{}1,2,,2002A ⊆ ，对任意,a b A ∈（,a b 可以相同）总有ab A ∉，求A 的最大值31、称子集{}1,2,,11A M ⊆= 为好的，如果它具有下述性质：“如果2k A ∈则21k A -∈且21k A +∈”（空集和M 都是好的），M 有多少个好子集？32、n 为给定的正整数，n D 为235n n n 的所有正因数组成的集合，n S D ⊆，且S 中任一数都不能整除S 中另一数，求S 的最大值33、{}1,2,,2008A ⊆ ，且A 具有如下性质：A 中任两个不同元素之和不被7整除，求A 的最大值34、1230,,,A A A {}1,2,,2003⊆ 的子集，且660i A ≥，证明：存在130i j ≤<≤，230i j A A ≥35、{}1,2,,2000A ⊆ ，且A 中任意两数的差不等于4也不等于7，求A 的最大值36、已知12,,,n A A A 满足：（1）30i A =；（2）1,1i j A A i j n =≤<≤ ；（3）12n A A A =∅ ，求使这样一组集合存在的最大的正整数n37、设1221,,,n A A A + 是B 的一族子集且满足条件：（1）2i A n =；（2）1,121i j A A i j n =≤<≤+ ；（3）B 中每个元素至少属于两个子集,,121k l A A k l n ≤<≤+，试问：对怎样的*n N ∈,可以将B 中每个元素贴上一张写有0或1的标签，使得每个i A 中恰有n 个元素贴有标签038、设{}1,2,,A S n ⊆= ，A k =，()()*2,11k m N n m C ∈>-+，则存在S 中的元素1,,m t t ，使得{},1,2,,j j A x t x A j m =+∈= 中任意两个的交集为空集。
集合的分划与子集族
集合的划分与子集族（即奥林匹克小丛书《集合》一册的第4、5讲）一、集合的划分例1、将集合{}1,2,,1989L 分为117个互不相交的子集()1,2,,117i A i =L 使得：（1）每个i A 都含有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和都相同。
例2、对一个由非负整数组成的集合S ，定义()s r n 是满足下述条件的有序对()12,s s 的对数：12,s s S ∈ 且1212,s s s s n ≠+=，问能否将非负整数集分划为两个集合A 和B ,使得对任意n 均有()()A B r n r n =例3、设集合{}1,2,,A m =L ，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划1214,,,A A A L ，一定存在某个集合()114i A i ≤≤，在i A 中由两个元素,a b ，满足43b a b <≤例4、证明：可以把自然数集分划为100个非空子集，使得对任何3个满足关系式99a b c +=的自然数,,a b c ，都可以从中找出两个数属于同一子集例5、设集合12,,,n A A A L 和12,,,n B B B L 是集合M 的两个n -分划，已知对任意两个交集为空集的集合(),1,i j A B i j n ≤≤，均有i j A B n ≥U ，求证：22n M ≥例6、设自然数分划成r 个互不相交的子集：12r N A A A =U UL U ，求证其中必有某个子集A ，它具有如下性质P ：存在,m N ∈使对任何正整数k ，都能找到12,,,k a a a A ∈L ，满足11,11j j a a m j k +≤-≤≤≤-例7、将正整数集拆分成两个不相交的子集,A B ，满足条件：（1）1A ∈；（2）A 中没有两个不同的元素，使它们的和形如()220,1,2,k k +=L ；（3）B 中也没有两个不同的元素，其和具有上述形式。
证明：这种拆分可以以惟一的方式实现，并确定2007,2008,2009所属的子集例8、平面上横纵坐标均为有理数的点叫有理点，求证：平面上的全部有理点可以分成3个两两互不相交的集合，满足条件：（1）在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含3个点分属这3个集合；（2）下任何一条直线上都不可能有3个点分属这3个集合例9、设{}{}1,2,,2008,1004,2009,3014A M ==L ,对A 的任一非空子集B ，当B 中任意两数之和不属于M 时，称B 为M -自由集，如果1212,,A A A A A ==∅U I 且12,A A 均为M -自由集，那么称有序对为()12,A A 为A 的一个M -划分，试求A 的所有M -划分的个数二、C 族例10、试证：任一有限集的全部子集可以排定次序，使得任何相邻的两个子集都相差一个元素例11、在某次竞选中各政党作出()0n n >种不同的诺言，有些政党可以作某些相同的诺言，现知其中每两个政党都至少作了一个相同的诺言，但没有两个政党的诺言完全相同，求证：政党个数12n -≤例12、设正整数5n ≥，n 各不同的正整数12,,,n a a a L 有下列性质：对集合{}12,,,n S a a a =L 的任何两个不同的非空子集A 和B ，A 中所有数的和与B 中所有数的和都不会相等，在上述条件下， 求12111na a a +++L 的最大值三、求解子集族例13、已知集合{}1,2,,10A =L ，求集合A 的具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2各元素，且每个子集中的任何两个元素的差的绝对值大于1例14、对于正整数2n ≥，如果存在集合{}1,2,,n L 的子集族12,,,n A A A L 满足（1）,1i i A i n ∉≤≤；（2）若{},,1,2,,i j i j n ≠∈L ，则j i i A j A ∈⇔∉；（3）任意{},1,2,,i j n ∈L ，i j A A ≠∅I ，则称n 是“和谐数”证明：（1）7是和谐数；（2）除2,3,4,5,6外，其余的n 都是和谐数例15、集合{}*1,2,,6,X k k N =∈L ，试作出X 的三元子集族A ，满足：（1）X 的任一二元子集至少被族A 中的一个三元子集包含；（2）26k =A四、有关子集族的最值问题例16、集合{}0,1,2,,9A =L ，{}12,,,k B B B L 是A 的一族非空子集，当i j ≠时，i j B B I 至多有两个元素，求k 的最大值例17、设{}0,1,2,,29A ⊆L 满足：对任何整数k 及A 中的任意数,a b （,a b 可以相同），30a b k ++均不是两个相邻整数之积，试确定所含元素个数最多的A例18、设{}1,2,,1997A =L ，对A 的任意一个999元子集X ，若存在,x y X ∈，使得x y <且x y ，则称X 为好集，求最大自然数()a a A ∈，使得任一含有a 的999元子集都为好集集合的分划与子集族1、已知集合{}1,2,,31,3A n n =-L ，可以分为n 个互不相交的三元组{},,x y z ，其中3x y z +=，则满足上述要求的两个最小的正整数n =2、设S 是一个有6个元素的集合，选取S 的两个子集（可以相同），使得它们的并集是S ，选取的顺序无关紧要，如{}{},,,,,,a c b c d e f 与{}{},,,,,,b c d e f a c 表示同一种取法，这样的取法有 种3、设集合{}1,2,,9,A B A B ==∅U L I ，求证：在A 或B 中含有三个元素,,x y z ，使得2x y z +=4、已知集合M 是{}1,2,,2008A =L 的子集，且M 中任一两个元素之和均不能被3整除，求集合M 中元素个数的最大值5、试证：对于每个整数1r >，都能找到一个最小的整数()1h r >，使在集合(){}1,2,,h r L 分成r 组的任何分划中，都存在整数0,1a x y ≥≤≤，使数,,a x a y a x y ++++含于分划的同一组中6、已知这个空间被分成互不相交的5个非空集合，求证：必有一个平面，它至少与其中的四个集合有公共点7、{}1,2,,X n =L ，,,A B C 是X 的分划，即A B C X =U U ，并且,,A B C 两两的交集都是空集，如果,,A B C 中各取一个元素，那么每两个的和都不等于第三个，求()max min ,,A B C8、（1）证明：正整数集*N 可以表示为三个彼此互不相交的集合的并集，使得：若*,m n N ∈，且2m n -=或5，则,m n 属于不同的集合（2）证明：正整数集*N 可以表示为四个彼此互不相交的集合的并集，使得：若*,m n N ∈，且2,3m n -=或5，则,m n 属于不同的集合，并说明此时将*N 表示为三个彼此互不相交的集合的并集时，命题不成立9、确定所有的正整数n 使得集合{}1,2,,n L 可以分成5个互不相交的子集，每个子集中元素之和相等10、设k 为正整数，k M 是22k k +与223k k +之间（包括这两个数在内）的所有整数组成的集合，能否将k M 拆分为两个不相交的子集,A B ，使得22x A x B x x ∈∈=∑∑11、给定正整数3n ≥，求具有下列性质的正整数m 的最小值：把集合{}1,2,,S m =L 任意分成两个互不相交的非空子集的并集，其中必有一个子集内含有n 个数（不要求它们互不相同）：12,,,n x x x L ，使得121n n x x x x -+++=L12、正整数4n ≥具有下列性质：把集合{}1,2,,n S n =L 任意分成两个互不相交的子集，总有某个子集，它含有三个数,,a b c （允许a b =），使得ab c =，求这样的n 的最小值13、设S 为n 个正实数组成的集合，对S 的每个非空子集A ，令()f A 为A 中所有元素之和，求证：集合(){},f A A S A ⊆≠∅可以拆分成n 个互不相交的子集，每个子集中的最大数与最小数之差为214、试求所有正整数k ，使集合{}1990,1991,,1990M k =+L 可以分解为两个互不相交的子集,A B ，且使两个集合中的元素之和相等15、给定集合{}121993,,,S Z Z Z =L ，其中121993,,,Z Z Z L 为非零复数（可视为平面上非零向量）． 求证：可以把S 中元素分成若干子集，使得（1）S 中每个元素属于且仅属于一个子集；（2）每一子集中任一复数与该子集所有复数之和的夹角不超过90°；（3）将任二子集中复数分别作和，所得和数之间夹角大于90°．116、设,,r s n 都是正整数，并且r s n +=，求证：集合()12,,,r n n n A r r r ⎧⎫-⎡⎤⎪⎪⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭L ， ()12,,,s n n n B s s s ⎧⎫-⎡⎤⎪⎪⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭L 构成{}1,2,,2N n =-L 的分划的充要条件是r 和s 都与n 互质17、设集合{}1,2,,21A n =+L ，求一个包含元素最多的集合A 的子集B 使得B 中任意三个元素a ，b ，c 都有a b c +≠18、集合{}0,1,2,,9A =L 的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，那么这族子集最多有 个19、设集合{}1,2,,2008A =L ，现对A 的任一非空子集X ，令X α表示X 中最大数与最小数之和，则所有这样的X α的算术平均数为20、集合{}1,2,,n L 的所有子集中全部元素之和的总和是21、如果一个正整数集合中没有3个数是两两互质的，则称之为“和谐”的，问从1到16的整数集中“和谐”的子集的元素的最大数目是多少22、设S 是集合{}1,2,,9L 的子集，且S 中任意两个不同的数作和，所得的数两两不同，求 {}max S23、设{}1,2,,50A =L ，求最小正整数n 使得A 中的每个n 元子集中都有3个数能作为直角三角形的三边长24、设3p ≥为质数，考虑集合{}1,2,,2p L 满足以下两个条件的子集A ：（1）A 恰有p 个元素；（2）A 中所有元素之和可被p 整除25、设2r ≥是一个固定的正整数，F 是一个无限集族，且每个集合中含有r 个元素，若F 中的任意两个集合的交集非空，求证：存在一个具有1r -个元素的集合与F 中的每一个集合的交集非空26、设2,n n N ≥∈，S 是一个n 元集合，求最小的正整数k ，使得存在S 的子集12,,,k A A A L 具有如下性质：对S 的任意两个不同元,a b ，存在{}1,2,,j k ∈L ，使得{},j A a b I 为S 的一元子集27、{}1,2,,50A =L ，求最小的正整数k ，使A 的每个k 元子集中都有两个数a b ≠使得()a b ab +28、S 是一个n 元集合，S 中最多有多少个这样的三元子集，使得其中任意两个三元子集都恰好有一个公共元29、集合{}1,2,,15S =L ，从S 中取出n 个子集12,,,n A A A L 满足下列条件：（1）7i A =；（2）3,1i j A A i j n ≤≤<≤I ；（3）对S 的任意三元子集M ，都存在某个,1,k A k n ≤≤使得k M A ⊂，求这样一组子集的个数n 的最小值30、设{}1,2,,2002A ⊆L ，对任意,a b A ∈（,a b 可以相同）总有ab A ∉，求A 的最大值31、称子集{}1,2,,11A M ⊆=L 为好的，如果它具有下述性质：“如果2k A ∈则21k A -∈且21k A +∈”（空集和M 都是好的），M 有多少个好子集32、n 为给定的正整数，n D 为235n n n 的所有正因数组成的集合，n S D ⊆，且S 中任一数都不能整除S 中另一数，求S 的最大值33、{}1,2,,2008A ⊆L ，且A 具有如下性质：A 中任两个不同元素之和不被7整除，求A 的最大值34、1230,,,A A A L {}1,2,,2003⊆L 的子集，且660i A ≥，证明：存在130i j ≤<≤，230i j A A ≥I35、{}1,2,,2000A ⊆L ，且A 中任意两数的差不等于4也不等于7，求A 的最大值36、已知12,,,n A A A L 满足：（1）30i A =；（2）1,1i j A A i j n =≤<≤I ；（3）12n A A A =∅I I L I ，求使这样一组集合存在的最大的正整数n37、设1221,,,n A A A +L 是B 的一族子集且满足条件：（1）2i A n =；（2）1,121i j A A i j n =≤<≤+I ；（3）B 中每个元素至少属于两个子集,,121k l A A k l n ≤<≤+，试问：对怎样的*n N ∈,可以将B 中每个元素贴上一张写有0或1的标签，使得每个i A 中恰有n 个元素贴有标签038、设{}1,2,,A S n ⊆=L ，A k =，()()*2,11k m N n m C ∈>-+，则存在S 中的元素1,,m t t L ，使得{},1,2,,j j A x t x A j m =+∈=L 中任意两个的交集为空集。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
指定子集个数的集合划分
实验名称指定子集个数的集合划分系别信科院
姓名曾会蜜学号3090717116班级计本09-1
实验地点1409J日期2011年10月实验时数4
指导教师叶苗同组成员独立完成成绩
•实验目的及要求
•明确递归和递推的基本概念
•用递归和递推解决指定子集个数的集合划分问题
•通过本例掌握递归和递推的程序设计方法
•实验环境及相关情况（包括使用的软件、实验设备）
•工具软件：Microsoft visual C++ 6.0
•硬件：主板，鼠标，键盘，显示器，U盘
•操作系统：Windows 7
•实验内容及步骤（包括简要的实验步骤流程）
1.根据题目确定思路,划分集合,可以找出其中的逻辑关系.
2.根据逻辑关系,运用递归的算法来求,划分为两种情况对于一种情况，等价于把前n-1个元素分成m-1份，然后n号元素单独放。
对于第二种情况，等价于把前n-1个元素分成m份，然后把n号元素放入这m个集合中的一个（也就是说有m种放法）
那麽总数就是
F(n,m) = F(n-1,m-1) + m * F(n-1,m)
3.根据分析建立递推方程
•实验结果（拷贝屏幕，加上必要的文字说明）
四.源代码
1.#include <stdio.h>
void main()
{
int n,k,s[11][11];
int i,j;
printf("输入集合的个数");
scanf("%d",&n);
printf("输入子集的个数");
scanf("%d",&k);
for(i=1;i<=10;i++)
for(j=1;j<=10;j++)
s[i][j]=0;
for(i=1;i<=10;i++)
s[i][i]=1;
for(i=1;i<=10;i++)
s[i][1]=1;
for(i=2;i<=10;i++)
for(j=2;j<=10;j++)
s[i][j]=j*s[i-1][j]+s[i-1][j-1];
for(i=1;i<=10;i++)
{
for(j=1;j<=10;j++)
printf("%6d",s[i][j]);
printf("\n");
}
printf("n=%d,k=%d,总共个数为： %d \n", n,k,s[n][k]); }
2.#include <stdio.h>
int recursion(int a, int b);
void main()
{
int a,b,c;
printf("输入集合个数");
scanf("%d",&a);
printf("输入子集个数");
scanf("%d",&b);
c=recursion(a,b);
printf("划分的总个数为%d\n",c);
}
int recursion(int a, int b)
{
int c=0;
if(a==b)
{
return 1;
}
if(a==0||b==0||a<b)
{
return 0;
}
if(b==1)
{
return 1;
}
c=b*recursion(a-1,b)+recursion(a-1,b-1);
return c;
}
五.总结
递推在解决有规律的问题时候,很方便,但难找出其规律。