离散数学期末试卷(B)
离散数学期末考试题及详细答案
离散数学期末考试题及详细答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，下列哪个概念用来描述元素与集合之间的关系？A. 并集B. 交集C. 子集D. 元素答案：D2. 布尔代数中，下列哪个运算符表示逻辑“与”？A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案：B3. 下列哪个命题的否定是正确的？A. 如果今天是周一，则明天是周二。
B. 如果今天是周一，则明天不是周二。
答案：B4. 在图论中，一个图的顶点数为n，边数为m，下列哪个条件可以保证该图是连通的？A. m > nB. m ≥ nC. m = nD. m > n-1答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 在集合论中，一个集合的幂集包含该集合的所有______。
答案：子集2. 如果一个函数f: A → B是单射的，那么对于任意的a1, a2 ∈ A，如果a1 ≠ a2，则f(a1) ≠ f(a2)。
这种性质称为函数的______。
答案：单射性3. 在图论中，一个图的直径是指图中任意两个顶点之间的最短路径的最大值。
如果一个图的直径为1，则该图被称为______。
答案：完全图4. 一个布尔表达式可以表示为一系列逻辑运算符和变量的组合。
布尔表达式(A ∧ B) ∨ (¬ A ∧ C)的真值表中，当A为真，B为假，C为真时，整个表达式的值为______。
答案：真三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的哈密顿回路，并给出一个例子。
答案：哈密顿回路是图中的一个回路，它恰好访问每个顶点一次。
例如，在一个完全图中，任意一个顶点出发，依次访问其他顶点，最后回到出发点的路径就是一个哈密顿回路。
2. 请解释什么是二元关系，并给出一个二元关系的例子。
答案：二元关系是定义在两个集合上的一个关系，它关联了第一个集合中的元素和第二个集合中的元素。
例如，小于关系是实数集合上的一个二元关系，它关联了每一对实数，如果第一个数小于第二个数。
安徽大学-离散数学期末试卷及答案
安徽大学《离散数学》期末考试试卷（B 卷）（时间120分钟）开课院（系、部） 姓名 学号 .一、选择题（每小题2分，共20分）1．设522:=⨯P ，:Q 雪是黑的，842:=⨯R ，:S 太阳从东方升起，下列命题中真值为T 的是（ ） A 、R Q P ∧→； B 、S P R ∧→；C 、R Q S ∧→；D 、)()(S Q R P ∧∨∧。
2．下列命题公式中，为重言式的是（ ）A 、)(R Q P ∨→；B 、)()(Q P R P →∧∨；C 、)()(R Q Q P ∨↔∨；D 、))()(())((R P Q P R Q P →→→→→→。
3．设x x L :)(是演员，x x J :)(是老师，x y x A :),(钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老师”符号化为（ ）A 、)),()((y x A x L x →∀；B 、))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀；C 、)),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀；D 、)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀。
4．设}{φ=A ， ))((A B ρρ=，以下各小题中不正确的有（ ）A 、B ∈}}{{φ； B 、B ∈}}}{{,{φφ ；C 、B ⊆}}}{{,{φφ；D 、B ⊆}}}{,{},{{φφφ。
5．设φ=A ， }}{,{φφ=B ，则A B -是（ ）。
A 、 }}{{φ； B 、}{φ ； C 、 }}{,{φφ； D 、 φ。
6．设},,{c b a A =，R ,S ,T 是集合)(A ρ上的二元关系。
其中，}|,{y x y x R ⊂><=，}|,{φ=><=y x y x S ，}|,{A y x y x T =><= 。
下列哪些命题为真？（ ） I.R 是反自反、反对称和传递的 II.S 是反自反和对称的 III.T 是反自反和对称的A 、仅I ；B 、仅II ；C 、I 和II ；D 、全真。
离散数学期末试题及答案完整版
离散数学期末试题及答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】326《离散数学》期末考试题(B )一、填空题(每小题3分，共15分)1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ).2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数.3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ⌝∧∃∧→∀中量词x ∀的辖域为( ), 量词y ∃的辖域为( ).4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元.5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=⨯||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个.2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射.3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧⌝)(； (5)q q p →→)(.4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定是( )图，且其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ).三．1.设}}{},,{{c b a A =，}}{},,{},{{c c b a B =，则)(=⋃B A ，)(=⋂B A ，)()(=A P .2.集合},,{c b a A =，其上可定义( )个封闭的1元运算，( )个封闭的2元运算，( )个封闭的3元运算.3.命题公式1)(↑∧q p 的对偶式为( ).4.所有6的因数组成的集合为( ).5.不同构的5阶根树有( )棵.四、(10分)设B A f →:且C B g →:，若g f 是单射，证明f 是单射，并举例说明g 不一定是单射.五、(15分)设},,,{d c b a A =,A 上的关系)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(c d b d a d c c b c a c c a b a a a R =,1.画出R 的关系图R G .2.判断R 所具有的性质.3.求出R 的关系矩阵R M .六、(10分)利用真值表求命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 边数30<m 的简单平面图G ，必存在节点v 使得4)deg(≤v . 八、(10分) 有六个数字，其中三个1，两个2，一个3，求能组成四位数的个数.《离散数学》期末考试题(B)参考答案一、1. {{a , b }, a , b , ?}， {{a , b }, a , b }，16.2.92, 27.3.)()(x Q x P →, )()(y P y Q ⌝∧.4. 2, 4, 6, 12.5.4≤，奇数.二、1.22,2,m mn mn ., g , g . ,2,4.，不存在，不存在. 5.连通，3，10.三、1. }}{},,{},,{},{{c c b b a a B A =⋃，}}{{c B A =⋂，{)(=A P ?, {{a , b }}, {{c }}, {{a , b }, {c }}}.2.27933,3,3. 3.0)(↓∨q p .4.{-1，-2，-3，-6，1，2，3，6}. .四、证 对于任意A y x ∈,，若)()(y f x f =，则))(())((y f g x f g =，即))(())((y g f x g f =. 由于g f 是单射，因此y x =，于是f 是单射.例如取},,{},3,2,1(},,{γβα===C B b a A ，令)}2,(),1,{(b a f =，)},3(),,2(),,1{(ββα=g ，这时)},(),,{(βαb a g f = 是单射，而g 不是单射.五、解 1. R 的关系图R G 如下：2.(1)由于R b b ∉),(，所以R 不是自反的. (2)由于R a a ∈),(，所以R 不是反自反的.(3)因为R b d ∈),(，而R d b ∉),(，因此R 不是对称的. (4)因R a c c a ∈),(),,(，于是R 不是反对称的.(5)经计算知R c d a d c c b c a c c a b a a a R R ⊆=)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{( ，进而R 是传递的.综上所述，所给R 是传递的.3.R 的关系矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0111011100000111R M .六、解 命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的真值表如下:由表可知，))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式为A 的主合取范式为)()(r q p r q p A ⌝∨⌝∨∧∨⌝∨⌝=.七、证 不妨设G 的阶数3≥n ，否则结论是显然的. 根据推论1知，63-≤n m . 若G 的任意节点v 的度数均有5)deg(≥v ，由握手定理知n v m v5)deg(2≥=∑.于是m n 52≤，进而652363-⋅≤-≤m n m . 因此30≥m ，与已知矛盾. 所以必存在节点v 使得4)deg(≤v .八、解 设满足要求的r 位数的个数有a r 种，r = 0，1，2，…，则排列计数生成函数65432121211219619431x x x x x x ++++++=,因而38!412194=⋅=a .。
离散数学期末考试复习题及参考答案
参考答案： B
6、 设 A. 代数系统 B. 半群 C. 群
,*为普通乘法,则<S,*>是( )
D. 都不是
参考答案： A
7、 设S={0,1},*为普通乘法,则< S , * >是( ) A. 半群,但不是独异点 B. 只是独异点,但不是群 C. 群 D. 环,但不是群
参考答案： B
A. B. C. D.
参考答案： B
3、 命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为( ) 设D:全总个体域,F(x):x是花,M(x) :x是人,H(x,y):x喜欢y
A. B. C. D.
参考答案： D
4、 下列等价式成立的有( )
A. B. C. D.
参考答案： D
5、 下列公式是重言式的有( )
5、 ( )设S={1,2},则S在普通加法和乘法运算下都不封闭。 参考答案： 正确
8、 谓词公式
中的x是( )
A. 自由变元
B. 约束变元
C. 既是自由变元又是约束变元
D. 既不是自由变元又不是约束变元
参考答案： C
9、 设
是一个有界格,如果它也是有补格,只要满足( )
A. 每个元素都至少有一个补元
B. 每个元素都有多个补元
C. 每个元素都无补元
D. 每个元素都有一个补元
参考答案： A
10、 一棵无向树T有4度、3度、2度的分枝点各1个,其余顶点均为树叶,则T中有( )片树叶
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
参考答案： C
11、 设
A. {{1,2}} B. {1,2 } C. {1} D. {2}
参考答案： A
,则有( )
离散数学复习题
离散数学复习题一、单项选择题1.下列命题公式为重言式的是【 A 】。
A．p→(p∨q) B．(p∨┐p)→qC．q∧┐q D．p→┐q2．下列语句中不是．．命题的是【 A 】。
A．这个语句是假的。
B．1+1=1.0C．飞碟来自地球外的星球。
D．凡石头都可练成金。
3．设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}，则A上包含关系“⊆”的哈斯图为【 C 】4．在公式)QyzPyxP∧∀→x∃y∃中变元y是【 B 】。
(z()))y,(()())((,A．自由变元B．约束变元C．既是自由变元，又是约束变元D．既不是自由变元，又不是约束变元5．设A={1，2，3}，A上二元关系S={<1，1>，<1，2>，<3，2>，<3，3>}，则S是【 D 】。
A．自反关系B．反自反关系C．对称关系D．传递关系6．图中从v1到v3长度为3 的通路有【 D 】条。
离散数学试卷（B）第1页（共6页）离散数学试卷（B ）第2页（共6页）A ．0；B ．1；C ．2；D ．3。
7．在下列代数系统中，不是环的只有【 C 】。
A ．<Z ，+，*)，其中Z 为整数集，+，*分别为整数加法和乘法。
B ．(Q ，+，*)，其中Q 为有理数集，+，*分别为有理数加法和乘法。
C ．<R ，+，*>，其中R 为实数集，+为实数加法，a*b=a+2b 。
D ．<M n (R)，+，*>，其中M n (R)为实数集n×n 阶矩阵结合，+，*是矩阵加法和乘法。
8．下列整数集对于整除关系都构成偏序集，而能构成格的是【 B 】。
A ．{l ，2，3，4，5} B ．{1，2，3，6，12} C ．{2，3，7}D ．{l ，2，3，7}9．结点数为奇数且所有结点的度数也为奇数的连通图必定是【 D 】。
A ．欧拉图 B ．汉密尔顿图 C ．非平面图D ．不存在的10．无向图G 是欧拉图当且仅当G 是连通的且【 C 】。
《离散数学》期末考试试卷附答案
《离散数学》期末考试试卷附答案一、填空题(每小题3分，共15小题，共45分)1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________;ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________.4. 已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_________________________________________________________________________________________.5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝_________________________; A⋃B＝_________________________;A－B＝_____________________ .7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________,_______________________________.8. 设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________,__________________________.9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1•R2 = ________________________,R2•R1 =____________________________,R12 =________________________.10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| =_____________________________.11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________.14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____.15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
2008级离散数学试题B
天津师范大学考试试卷2009 —2010学年第一 学期期末考试试卷（B 卷）科目： 离散数学学院： 管理学院专业：08信管、物流一、 单项选择题:在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代（每小题 分，本大题共 分）1.谓词公式(∀x)(P(x) ( ∃y)R(y)) → Q(x)中量词(∀x)的辖域是（ ）。
A. (∀x) (P(x) ( ∃y)R(y))B. P(x)C. P(x) ( ∃y)R(y)D. P(x),Q(x)2. 下列公式中哪些公式不是前束范式（ ）。
A. x ∀∃y(P(x) q(y))B. ∀x ∀y(P(x) Q(y) ( ∃z)S(z))C.Q(a,b)D. P3. 给定解释N 如下：个体域为自然数D N ；D N 上特定元素a = 0；D N 上特定函数f(x,y) = x+y , g(x,y) = x ∙y ； D N 上特定谓词E(x,y)为x=y ,下列公式为真的是（ ）。
A. ∀xE(g(x,a),x) B. ∀x ∀y ∀zE(f(x,y),z) C. ∀x ∀yE(f(x,y),g(x,y)) D. ∃x ∃yE(f(x,y),g(x,y))4. 设集合X≠∅，则空关系∅不具备的性质是（）。
xA.反自反性B.自反性C.对称性D.传递性5. 下列各式中，哪个不成立（）。
A.(∀x) (P(x) Q(x))⇔(∀x) (P(x) (∀x)Q(x))B.(∃x)(P(x) Q(x))⇔(∃x) (P(x) (∃x)Q(x)C.(∀x) (P(x) Q(x))⇔(∀x) (P(x) (∀x)Q(x)D.(∀x) (P(x) Q)⇔(∀x) (P(x) Q)6. 设个体域A={a,b},则∃x(F(x) G(x))消去量词为（）。
A. F(a) G(a)B. F(b) G(b)C. ( F(a) G(a) (F(b) G(b)))D. F(a) G(b)7. 给定A={1,2,3,4}，A上的关系R={<1,3>,<1,4>,<2,3>,<2,4>,<3,4>}满足的性质是（）。
离散数学期末考试题及答案
离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项是图的边数与顶点数的关系？A. 边数小于顶点数B. 边数等于顶点数C. 边数大于顶点数D. 边数与顶点数无固定关系答案：D2. 有限自动机的英文缩写是什么？A. FAB. PDAC. TMAD. NFA答案：A3. 布尔代数中，德摩根定律是指什么？A. ¬(A ∧ B) 等于¬ A ∨ ¬ BB. ¬(A ∨ B) 等于¬ A ∧ ¬ BC. A ∧ B 等于¬(A ∨ B)D. A ∨ B 等于¬(¬ A ∧ ¬B)答案：B4. 在命题逻辑中，以下哪个符号表示蕴含？A. ∧B. ∨C. →D. ↔答案：C5. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A ∪ B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3, 4}D. {1, 3, 4}答案：A6. 以下哪个选项是正确的递归定义？A. 一个数是偶数当且仅当它是2的倍数B. 一个数是偶数当且仅当它不是2的倍数C. 一个数是偶数当且仅当它是另一个偶数加1D. 以上都是正确的递归定义答案：A7. 有向图和无向图的主要区别是什么？A. 有向图的边有方向，无向图的边没有方向B. 有向图的顶点有方向，无向图的顶点没有方向C. 有向图的边可以相交，无向图的边不可以相交D. 有向图可以有环，无向图不可以有环答案：A8. 在命题逻辑中，以下哪个公式是矛盾的？A. A ∧ ¬ AB. A ∨ ¬ AC. A → BD. A ∧ B ∧ ¬ A答案：A9. 以下哪个是图的同义术语？A. 网络B. 矩阵C. 树D. 以上全部答案：A10. 以下哪个命题逻辑公式是有效的？A. (A → B) ∧ (B → A)B. (A ∧ B) → AC. (A ∨ B) → AD. (A ∧ B) → B答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 在命题逻辑中，_________ 表示一个命题是真的，而 _________ 表示一个命题是假的。
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一．判断题（共10小题，每题1分，共10分）
在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误：
1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ⇔ p ( )
2．∀x(F(y)→G(x)) ⇔ F(y)→∃xG(x)。
( )
3．初级回路一定是简单回路。
( )
4．自然映射是双射。
( )
5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。
( )
6．群的运算是可交换的。
( )
7．自然数集关于数的加法和乘法<N，+， >构成环。
( )
8．若无向连通图G中有桥，则G的点连通度和边连通度皆为1。
( )
9．设A={a,b,c},则A上的关系R={<a,b>,<a,c>}是传递的。
( )
10．设A、B、C为任意集合，则A⨯(B⨯C)=(A⨯B)⨯C。
( )
二、填空题（共10题，每题3分，共30分）
11．设p：天气热。
q：他去游泳。
则命题“只有天气热，他才去游泳”可符号
化为。
12．设M(x)：x是人。
S(x)：x到过月球。
则命题“有人到过月球”可符号
化为。
13．p↔q的主合取范式是。
14．完全二部图K r,s（r < s）的边连通度等于。
15．设A={a,b}，,则A上共有个不同的偏序关系。
16．模6加群<Z6，⊕>中，4是阶元。
17．设A={1,2,3,4,5}上的关系R={<1,3>,<1,5>,<2,5>,<3,3>,<4,5>}，则R的传递闭包t(R) = 。
.
18．已知有向图D的度数列为(2,3,2,3)，出度列为(1,2,1,1)，则有向图D的入度
列为。
19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。
20．7阶圈的点色数是。
三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分）
21．求∃xF(x)→∃yG(x,y)的前束范式。
22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。
23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A⋃{<a,b>,<b,a>}，则R是A上的等价关系。
求等价类[a]R、[c]R及商集A/R。
24．求图示带权图中的最小生成树，并计算最小生成树的权。
25．设R*为正实数集，代数系统< R*,+>、< R*,·>、< R*,/>中的运算依次为普通加法、乘法和除法运算。
试确定这三个代数系统是否为群？是群者，求其单位元及每个元素的逆元。
四、证明题（共3小题，共20分）
26 （8分）在自然推理系统P中构造下述推理的证明：
前题：p→(q∨r)，⌝s→⌝q，p∧⌝s
结论：r
27 （6分）设<G, *>是群，H={a| a∈G∧∀g∈G，a*g=g*a},则<H, *>是G的子群
28．（6分）设G是n(≥3)阶m条边、r个面的极大平面图，则r=2n-4。
2007-2008学年第一学期《离散数学》期末试卷（B）
答案
适用年级专业：2006级软件工程专业
试卷说明：闭卷考试，考试时间120分钟
一．判断题（共10小题，每题1分，共10分）
在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误：
1．( ) 2．( ) 3．( ) 4．( ) 5．( )
6．( ) 7．( ) 8．( ) 9．( ) 10．( )
二、填空题（共10题，每题3分，共30分）
11．q→p 12．∃x(M(x)∧ S(x))
13．(⌝p∨q) ∧ (p∨⌝q) 14．r
15．3 16．3
17．.R 18．（1,1,1,2）
19．n-1 20．3
三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分）
21．解：∃xF(x)→∃yG(x,y)⇔∃xF(x)→∃yG(w,y)
⇔∀x(F(x)→∃yG(w,y))
⇔∀x∃y (F(x)→ G(w,y))
22．解：设图G有n个顶点m条边，则
2m=2(2+3)+4(n-4)，即22=10+4(n-4)
解之得n=7。
23．解：[a]R={a,b}，[c]R={c}，[d]R={d}，[e]R={e}，[f]R={f}，
A/R={{a,b},{c},{d},{e},{f}}
24．解：最小生成树T如图中红线所示，W(T) = 12
25．解：仅< R*,·>是群。
其单位元为1。
任意x∈ R*，其逆元为1/x。
四、证明题（共3小题，共20分）
26 证明：①p∧⌝s 前提引入
②p ①，化简
③p→(q∨r) 前提引入
④q∨r ②③，假言推理
⑤⌝s ①，化简
⑥⌝s→⌝q 前提引入
⑦⌝q ⑤⑥，假言推理
⑧r ④⑦，析取三段论
27 （6分）证：设e是G的单位元，∀g∈G, e*g=g*e，所以e∈H,故H非空。
（1）∀a,b∈H, ∀g∈G，有a*g=g*a, b*g=g*b,那么
(a*b)*g=a*(b*g)= a*(g*b)=(a*g)*b=(g*a)*b=g*(a*b)
所以a*b∈H。
（2）∀a∈H, ∀g∈G，有a*g=g*a，a-1∈G。
a-1*g=a-1*g*e=a-1*g*a*a-1= a-1*(g*a)*a-1=a-1*(a*g)*a-1
=(a-1*a)*g*a-1=e*g*a-1=g*a-1
所以，a-1∈H。
根据子群判定定理一，H是G的子群。
28．（6分）证：极大平面图一定是连通图，由欧拉公式
r=2+m-n (1)
又因为极大平面图每面的次数皆为3，从而
2m=3r (2)
由(1)、(2)式联立解得
r=2n-4。