2019年第十一届全国大学生数学竞赛初赛题目及答案解析全《非数学专业》高清无水印版
2019年数学竞赛试题及答案
Day 1 — Solutions
Problem 1. Amy and Bob play the game. At the beginning, Amy writes down a positive integer on the board. Then the players take moves in turn, Bob moves first. On any move of his, Bob replaces the number n on the blackboard with a number of the form n − a2 , where a is a positive integer. On any move of hers, Amy replaces the number n on the blackboard with a number of the form nk , where k is a positive integer. Bob wins if the number on the board becomes zero. Can Amy prevent Bob’s win? Russia, Maxim Didin Solution. The answer is in the negative. For a positive integer n, we define its square-free part S (n) to be the smallest positive integer a such that n/a is a square of an integer. In other words, S (n) is the product of all primes having odd exponents in the prime expansion of n. We also agree that S (0) = 0. Now we show that (i) on any move of hers, Amy does not increase the square-free part of the positive integer on the board; and (ii) on any move of his, Bob always can replace a positive integer n with a non-negative integer k with S (k ) < S (n). Thus, if the game starts by a positive integer N , Bob can win in at most S (N ) moves. Part (i) is trivial, as the definition of the square-part yields S (nk ) = S (n) whenever k is odd, and S (nk ) = 1 ≤ S (n) whenever k is even, for any positive integer n. Part (ii) is also easy: if, before Bob’s move, the board contains a number n = S (n) · b2 , then Bob may replace it with n = n − b2 = (S (n) − 1)b2 , whence S (n ) ≤ S (n) − 1. Remarks. (1) To make the argument more transparent, Bob may restrict himself to subtract only those numbers which are divisible by the maximal square dividing the current number. This restriction having been put, one may replace any number n appearing on the board by S (n), omitting the square factors. After this change, Amy’s moves do not increase the number, while Bob’s moves decrease it. Thus, Bob wins. (2) In fact, Bob may win even in at most 4 moves of his. For that purpose, use Lagrange’s four squares theorem in order to expand S (n) as the sum of at most four squares of positive integers: 2 2 2 2 S (n) = a2 1 + · · · + as . Then, on every move of his, Bob can replace the number (a1 + · · · + ak )b 2 2 on the board by (a2 1 + · · · + ak−1 )b . The only chance for Amy to interrupt this process is to replace a current number by its even power; but in this case Bob wins immediately. On the other hand, four is indeed the minimum number of moves in which Bob can guarantee himself to win. To show that, let Amy choose the number 7, and take just the first power on each of her subsequent moves.
全国大学生数学竞赛(非数学专业)复习讲义
全国大学生数学竞赛（非数学专业）复习讲义微 分 学一、基本概念与内容提要1. 由参数方程确定的函数的导数设⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ， 则'')(')('/t t x y t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy ===⋅=ϕψ )('1)]('[)('')(')(')(''])(')('[)(222t t t t t t dx dt t t dt d dx dy dx d dx y d ϕϕϕψϕψϕψ⋅-=⋅==或 dt dx y dt dy ]'[''= 2.多元函数微分学z z u u u dz dx dy du dx dy x y x y z∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂全微分： dz 具有形式不变性。
()()()()00y000000,,,xz f x y f x y f x y x y z y y =⎧⎪⎨=⎪⎩、、偏导数的几何意义：和分别表示曲线在点，，x y 处的切线对轴和轴的斜率。
函数的连续性和可微、可导必须会用定义判断。
连续的混合高阶偏导数与求导顺序无关。
二元函数的偏导数存在是连续的既不充分又不必要条件。
二元函数存在两个偏导数是可微的必要不充分条件。
偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。
函数连续是可微的必要不充分条件。
(,)(,)[(),()]x y z dz f x y x f x y ydz z u z v z f u t v t dt u t v t∆≈=∆+∆∂∂∂∂==⋅+⋅∂∂∂∂全微分的近似计算：多元复合函数的求导法： [(,),(,)](,)(,)z z u z vz f u x y v x y x u x v xu u v vu u x y v v x y du dx dy dv dx dy x y x y∂∂∂∂∂==⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂===+=+∂∂∂∂ 当，时， 22(,)0()()x x x y y y F F F dy d y dy F x y dx F dx x F y F dx∂∂==-=--⋅∂∂隐函数的求导公式：隐函数， ， ＋ (,,)0y x z zF F z zF x y z x F y F ∂∂==-=-∂∂隐函数， ， (,,,)0(,)(,,,)0(,)1(,)1(,)1(,)1(,),(,)(,)(,)(,)u v u v F FF F F x y u v FG u vJ G G G x y u v G G u v u vu F G v F G u F G v F G x J x v x J u x y J y v y J u y ∂∂=⎧∂∂∂===⎨=∂∂∂⎩∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-⋅=-⋅=-⋅=-⋅∂∂∂∂∂∂∂∂隐函数方程组： , ,二、常考例题讲解用基本方法求导数1. 设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________. 2. 已知函数,),(byax ey x u z +=且02=∂∂∂y x z ，确定b a ,，使得函数),(y x z z =满足02=+∂∂-∂∂-∂∂∂z yzx z y x z . 3. 设函数)(t f有二阶连续的导数，()1,r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求2222g g x y ∂∂+∂∂. 4. 已知()2ln 1arctan t t x e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d y dx . 5.设函数),(y x u 的所有二阶偏导数都连续，2222yux u ∂∂=∂∂且x x x u =)2,(，21)2,(x x x u ='，求)2,(11x x u ''. 解：x x x u =)2,(两边对x 求导，得到：1)2,(2)2,(21='+'x x u x x u ，代入 21)2,(x x x u ='求得：21)2,(22x x x u -='； 21)2,(x x x u ='两边对x 求导，得到：x x x u x x u 2)2,(2)2,(1211=''+''； 21)2,(22x x x u -='两边对x 求导，得到 x x x u x x u -=''+'')2,(2)2,(2221. 以上两式与2222yux u ∂∂=∂∂联立，又二阶导数连续，所以2112u u ''=''，故 x x x u 34)2,(11-=''用全微分求解隐函数5. 设),(y x z z =是方程0)1,1(=-+yz x z F 确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数，以及0),(),(≠'='v u F v u F v u ，求证：022=∂∂+∂∂yz y x z x 和.0)(2232223=∂∂+∂∂∂++∂∂y z y y x z y x xy x z x导数与极限、积分、微分方程等结合求函数表达式6. 设函数)(x f 在),0[+∞上连续，在),0(+∞上可导，已知0)(lim 0='+→x f x 且函数)(22y x f u +=满足⎰⎰+≤+++=∂∂+∂∂2222.11222222y x t s dsdt t s y u x u （1）.求函数)0)((>'x x f 的表达式； （2）.若,0)0(=f 求.)1ln()(lim 20x x f x ++→7. 设函数y=f(x)由参数方程()()221x t t t y t ϕ⎧=+⎪>-⎨=⎪⎩确定，且()22341d y t dx =+，其中()t ϕ具有二阶导数，曲线()y t ϕ=与22132t u y edu e-=+⎰在t=1处相切，求函数()t ϕ.8．设一元函数()u f r =当0r <<+∞时有连续的二阶导数，且(1)0,(1)1f f '==，又u f =满足方程2222220u u u x y z ∂∂∂++=∂∂∂，试求()f r 的表达式。
2019年第十一届全国大学生数学竞赛
预赛模拟试题
一 、(15 分) 设点 P, Q, R 分别分三角形的边 AB, BC, CA 成定比 l, m, n， 证明: 三点 P, Q, R 共线的充要条件为 lmn = −1.
1
2
二
、(12 分) 已知方程
1 ln(1 + x)
−
·
·
·
，证明:
6
六 、(15 分) 设 A 是复数域上的一个 n 阶方阵，f (x) = |xE − A| 是 A 的特征多项式，g(x) 是一个复系数多项式. 证明:g(A) 是可逆的充分必 要条件为 g(x) 与 f (x) 互素.
7
七 、(20 分) 将 m 阶单位矩阵的第一行移到最后一行所得矩阵具有如下
1 x
= 2k
在区间 (0, 1)
内有实根，求常
数 k 的取值范围.
3
三 、(13 分) 设 f 是一连续函数
(a)
令
g(t1,
t2)
=
f
(t1)·f
(t2)，证明
∫t
0
dt1
∫ t1
0
g(t1,
t2)dt2
=
1 2
(∫0t
f
(x)dx)2.
(b) 请把上述结果推广到 g 为 3 元函数的情形，并证明之.形式:Βιβλιοθήκη 01
0
... ...
1
(1)
1
0
特别地，m = 1 时，上式为 1 阶矩阵 (1). 设 n 阶矩阵 A 的每一行每
一列元素均为一个 1，其余元素均为 0，证明:A 与如下形式准对角矩
阵 J 相似，其中
历年全国大学生数学竞赛初赛真题全(数学类)十一届试卷高清无水印(2009-2019)
（数学类）试卷第一题：(15分)求经过三平行直线1:L x y z ==，2:11L x y z -==+，3:11L x y z =+=-的圆柱面的方程.第二题：(20分)设n nC ⨯是n n ⨯复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间，12100010*******n n n a a a F a --⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (1)假设111212122212n n n n nn aa a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若AF FA =，证明： 121112111n n n n A a F a F a F a E ---=++++ ；(2)求n nC⨯的子空间{}()|n n C F X C FX XF ⨯=∈=的维数.第三题：(15分)假设V 是复数域C 上n 维线性空间（0n >），,f g 是V 上的线性变换. 如果fg gf f -=，证明：f 的特征值都是0，且,f g 有公共特征向量.第四题：(10分)设{}()n f x 是定义在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足()nf x M '≤.（1）证明{}()n f x 在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上一致收敛；（2）设()lim ()n n f x f x →∞=，问()f x 是否一定在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上处处可导, 为什么？第五题：(10分)设320sin d sin n nt a t t t π=⎰，证明11nn a ∞=∑发散.第六题：(15分)(,)f x y 是{}22(,)|1x y x y +≤上二次连续可微函数，满足222222f f x y x y ∂∂+=∂∂，计算积分221d d x y I x y +≤⎛⎫=⎰⎰第七题：(15分)假设函数()f x 在[0,1]上连续，在()0,1内二阶可导，过点(0,(0))A f ，与点(1,(1))B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ，其中01c <<. 证明：在 ()0,1内至少存在一点ξ，使()0f ξ''=.（数学类）试卷一、（本题共10分）设(0,1)ε∈，0x a =，1sin 0,1,2).n n x a x n ε+=+= （证明lim n n x ξ→+∞=存在，且ξ为方程sin x x a ε-=的唯一根.二、（本题共15分）设01030002010000B ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 证明2X B =无解，这里X 为三阶未知复方阵.三、（本题共10分）设2D ⊂ 是凸区域，函数(,)f x y 是凸函数. 证明或否定：(,)f x y 在D 上连续.注：函数(,)f x y 为凸函数的定义是(0,1)α∀∈以及1122(,),(,)x y x y D ∈，成立12121122((1),(1))(,)(1)(,)f x x y y f x y f x y αααααα+-+-≤+-.四、（本题共10分） 设()f x 在0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上黎曼(Riemann)可积，在1x =可导，(1)0,f =(1)f a '=. 证明：120lim ()d .n n n x f x x a →+∞=-⎰五、（本题共15分）已知二次曲面∑（非退化）过以下九点：(1,0,0),(1,1,2),(1,1,2),(3,0,0),(3,1,2),(3,2,4),(0,1,4),(3,1,2),(5,8).A B C D E F G H I ------问∑是哪一类曲面？六、（本题共20分） 设A 为n n ⨯实矩阵（未必对称），对任一n 维实向量T 1(,,),0n A ααααα=≥ （这里T α表示α的转置），且存在n 维实向量β使得T 0A ββ=. 同时对任意n 维实向量x 和y ，当T 0xAy ≠时有TT 0xAy yAx +≠. 证明：对任意n 维实向量v ，都有T0.vA β=七、(本题共10分) 设f 在区间0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上黎曼(Riemann)可积，0 1.f ≤≤ 求证：对任何0ε>，存在只取值为0和1的分段（段数有限）常值函数()g x ，使得,0,1αβ⎡⎤⎡⎤∀⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()()().f x g x dxβαε-<⎰八、(10分) 已知:(0,)(0,)ϕ+∞→+∞是一个严格单调下降的连续函数，满足0lim (),t t ϕ+→=+∞且10()d ()d ,t t t t a ϕϕ+∞+∞-==<+∞⎰⎰其中1ϕ-表示ϕ的反函数. 求证：32212001()d ()d .2t t t t a ϕϕ+∞+∞-⎡⎤⎡⎤+≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰（数学类）试卷一、（本题15分）已知四点(1,2,7),(4,3,3),(5,1,0).-试求过这四点的球面方程。
2019年数学建模竞赛答案8页word
输油管道的铺设设计符号约定m 炼油厂A 到铁路线L 的距离n 炼油厂B 到铁路线L 的距离b 炼油厂A 、B 间水平距离F 输送管道的总费用f 铺设管道的附加费用W 铺设费用的权重系数1k A 厂铺设非共用管线每千米的费用2k B 厂铺设非共用管线每千米的费用3k 共用管线每千米的费用问题一分析与模型建立最短路径的存在性论证如图4.1，假设C 点为在铁路线上设计增建的车站，由费尔马问题的结论，在ABC ∆中，存在费尔马点P ，使点P与ABC ∆三个顶点距离之和小于三角形二边之和，即有PA+PB+PC<AC+BC图4.1且0120ACB ∠<时，费尔马点P 在ABC ∆内部而当0120>∠ACB 时，费尔马点P 与C 点重合。
为此有如下结论：①当0120<∠ACB 时，铺设公用管道PC 的输送费用比不铺设公用管道费用低；②当0120>∠ACB 时，不需要铺设公用管道，即公用管道PC =0。
问题一分析与模型建立如图4.1，以炼油厂A 、B 间铁路线所在直线为x 轴，以过炼油厂A 且垂直于铁路线L 直线为y 轴，建立平面直角坐标系。
设 A(0,m), B(b,n),P(r,t)，并设非公用管道的费用为每千米1个单位，公用管道的费用为每千米k 个单位（下同），根据实际意义易知21<≤k 。
根据参考文献[1]，点P 不可能在A 的上方，故m t ≤≤0。
易得，A 点关于过点P 平行于x 轴的直线1L 的对称点'A （0，2t-m ）。
由费尔马点的应用及平面几何对称性有为此，得到铺设管道的最优模型min 1F BA k PC '=⨯+⨯ 4-1问题一模型求解对模型分两种管道费用相同与不同两种情形研究，并根据点A 、B 的坐标不同的取值，进行A 、B 不同位置时管道铺设设计。
1公用管道与非公用管道费用不同，即k <1时模型的求解已知A 点关于1l 对称点'A （0，2t-m ）求一阶导数，令'()0F t =求解： 2224m n kb t k +=--或2224m n kb t m k +=+>-（舍去） 又20224m n kb m k+≤-≤-可得： （1）如图4.2，在2()40n m k b k--≤≤时，易判断'()0F t <，即()F t 为单调递减。
附录：中国大学生数学竞赛(非数学专业类)竞赛内容
附录：中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立。
2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数。
4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限。
5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较。
6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限。
7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型。
8．连续函数的性质和初等函数的连续性。
9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)。
二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线。
2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性。
3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法。
4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数。
5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。
6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限。
7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘。
8. 函数最大值和最小值及其简单应用。
9. 弧微分、曲率、曲率半径。
三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念。
2. 不定积分的基本性质、基本积分公式。
3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式。
4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法。
5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分。
6. 广义积分。
7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值。
第十一届中国大学生数学竞赛预赛参考答案_LaTeX
1 x = t 2(1
1 ;y = t ) t(1
; dx = t)
2+ t 3(1
3t t )2
dt
这样,
Z
Z
1 y2
dx
=
2 + 3t dt = 3t t
2 ln jtj
+
C
=
3y x
2 ln ˇˇˇ y ˇˇˇ + C x
Þ
学校
省市
(3)
定积分
Z 2 0
ex(1 + sin x) 1 + cos x
Þ
(5) 设 a; b; c;
> 0, 曲面 xyz =
与曲面
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
=
1
相切,
则
=
abc p
.
33
解. 根据题意有: 以及 从而得:
2x
2y
2z
yz = a2 ; xz = b2 ; xy = c2
x2
y2
z2
= 2 a2 ; = 2 b2 ; = 2 c2
83 = a2b2c2 ; 3 = 2
且 f (0) 6 1. 证明: 存在常数 M > 0, 使得 x 2 [0; +1) 时，恒有 jf (x)j 6 M .
证明. 由于 f 0(x) > 0, 所以 f (x) 是 [0; +1) 上的严格增函数, 故 lim f (x) = L(有限或为 +1).
x!+1
下面证明 L ¤ +1.
联立解得:
=
abc p
.
2019年第十一届全国大学生数学竞赛初赛非数学专业试题
1 2019年第十一届全国大学生数学竞赛非数学专业竞赛试题一、填空题（本题满分30分，共5小题，每小题6分）(1)sin 0ln sin lim x x e x →+-= .(2)设隐函数()y y x =由方程22()y x y x -=所确定，则2d x y =⎰. (3)定积分20(1sin )d 1cos x e x x x π+=+⎰ .(4)已知22d d d (,)323y x x y u x y x xy y -=-+，则(),u x y =.(5)设,,,0a b c μ>，曲面xyz μ=与曲面2222221x y z a b c++=相切，则μ=. 二、(本题满分14分)计算三重积分22d d d xyz x y z x y Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面()22222x y z xy ++=围成的区域在第一卦限部分.三、(本题满分14分) 设()f x 在[0,)+∞上可微，()00f =，且存在常数0A >，使得()()||||f x A f x '≤在[0,)+∞上成立，试证明在(0,)+∞上有()0.f x ≡四、(本题满分14分)计算积分2sin (cos sin )00d sin d .I e ππθφφφθθ-=⎰⎰ 五、(本题满分14分)设()f x 是仅有正实根的多项式函数，满足0()()n n n f x c x f x +∞='=-∑，证明：()00,n c n >≥极限lim n →+∞存在，且等于()f x 的最小根.六、(本题满分14分)设()f x 在[0,)+∞上具有连续导数，满足222233()()21()x f x f x f x e -⎡⎤⎡⎤'+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 且()01f ≤. 证明：存在常数0M >，使得[0,)x ∈+∞时，恒有()||.f x M ≤。